Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Mathematische Fakultät Institut für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik

Was ist Modelltheorie?

Einführung

• Chang und Keisler: "Modelltheorie = Logik + universelle Algebra"
• Hodges: "Model theory is the study of the construction and classification of structures within specified classes of structures".
• und "Modelltheorie = algebraische Geometrie ohne über Körper zu reden" (ungefähr so bei Hodges zitiert.)

In der Regel arbeitet man mit der Logik der ersten Stufe und nimmt für K die zu M elementar äquivalenten Strukturen, d.h. diejenigen, die sich nicht durch eine erststufige Formel von M unterscheiden lassen. im Falle eines algebraisch abgeschlossenen Körpers M sind dies alle anderen algebraisch abgeschlossenen Körper der selben Charakteristik. Im allgemeinen ist es nicht einfach zu bestimmen, welche Strukturen zu einem gegebenen M elementar äquivalent sind.

Die Logik der ersten Stufe gibt einem nämlich zwei wichtige Hilfsmittel an die Hand: den Kompaktheitssatz und den Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski. Letzterer garantiert zu jeder unendlichen Struktur M und jeder unendlichen Kardinalzahl µ die Existenz einer zu M elementar äquivalente Struktur der Mächtigkeit µ. Der Kompaktheitssatz besagt, daß eine Menge von Aussagen (ein Axiomensystem) schon dann ein Modell hat, wenn jede endliche Teilmenge davon ein Modell besitzt.

Auf diesen beiden Sätzen gründet sich ein Wechselspiel zwischen Semantik und Syntax, d.h. zwischen Eigenschaften der Strukturklasse einerseits und der Komplexität einer Axiomatisierung der Strukturen andererseits. Ein kleines Beispiel dafür:
Satz: Jede injektive konstruktible Abbildung Cⁿ -> Cⁿ ist surjektiv.
(Konstruktibel bedeutet, daß der Graph der Funktion durch Polynomgleichungen und -ungleichungen beschrieben wird.)
Beweis: Diese Eigenschaft gilt in endlichen Körpern und läßt sich (für jedes gegeben System von Polynomgleichungen und -ungleichungen) in einer erststufigen Formel der Form für alle ... es gibt ... beschreiben. Erste Anwendung der Modelltheorie: dann gilt sie in aufteigenden Vereinigungen von Körpern, in denen sie gilt, also auch in den algebraischen Abschlüssen der endlichen Primkörpern. Zweite Anwendung der Modelltheorie: gilt eine erststufige Eigenschaft in allen algebraisch abgeschlossenen Körpern positiver Charakteristik, so in sämtlichen algebraisch abgeschlossenen Körpern.

Die Modelltheorie gliedert sich wiederum in verschiedene Teilbereiche, etwa:

• Allgemeine Modelltheorie:
  Dieser Bereich mit der Entwicklung der grundlegenden Sätze und Techniken kann als abgeschlossen betrachtet werden, auch wenn einige Fragen wie Vaughts Vermutung bis heute offen sind.
• "Algebraische Modelltheorie"
  untersucht mit Hilfe modelltheoretische Methoden konkrete algebraische Strukturen, etwa Moduln oder bewertete Körper.
• Klassifikationstheorie:
  Welche Bedingungen an eine Theorie erlauben es, deren Modelle durch Kardinalzahlinvarianten zu klassifizieren (wie z.B. Vektorräme über einem festen Körper durch die Dimension)? Diese Frage ist durch Shelahs Arbeit inzwischen beantwortet, der Bereich hat sich aber weiterentwickelt zu
• "Geometrische Modelltheorie":
  Im Falle "schöner" Theorien, etwa o-minimale oder superstabile von endlichem Rang, kann man strukturelle Aussagen über die Modelle gewinnen, z.B. daß diese unter bestimmten Bedingungen algebraische Varietäten sind. Sowohl die Bedingungen an die Theorie als auch die Aussagen sind oft geometrischer Natur.
  Stabilitätstheorie wurde ursprünglich synonym für Klassifikationstheorie benutzt, wird aber heute gerne im weiteren Sinne der "Geometrische Modelltheorie" verstanden.
• Die Endliche Modelltheorie ist von der Frage ausgegangen, welche modelltheoretischen Eigenschaften für Klassen von endlichen Strukturen gelten. Da grundlegende Sätze wie der Kompaktheitssatz hier versagen, sucht man nach anderen aussagekräftigen Logiken: stärkeren wie etwa Fixpunktlogiken, aber auch schwächeren z.B. mit endlich vielen Variablen. Über diese Logiken gibt es Bezüge zur Komplexitätstheorie und Datenbanken, womit die endliche Modelltheorie aus dem Bereich der eigentlichen Modelltheorie hinausgeht.

Literatur

• M. Ziegler, Vorlesungsskript Modelltheorie I, WS97/98.
• M. Ziegler, Vorlesungsskript Modelltheorie II, SS96.
• Ph. Rothmaler Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995.
• B. Poizat Cours de théorie des modèles, Nur Al-Mantiq Wal-Ma'rifah, Villeurbanne 1995.
• W. Hodges Model Theory, Cambridge University Press 1993.

Links

• Qu'est-ce que la théorie des modèles ?, französische Einführung in die Modelltheorie von Luck Darnière.
• Finite and Infinite Model Theory: a historical perspective von John Baldwin.
• "La théorie des modèles de Peirce à Morley" von Daniel Lascar

Sternstunden

• Der Satz von Löwenheim.
• Der Gödelsche Vollständigkeitsatz.
• Der Satz von Ax-Kochen-Ershov.
• Der Satz von Morley.

Offene Fragen

• Vaughts Vermutung: hat eine abzählbare vollständige Theorie entweder abzählbar viele abzählbare Modelle oder kontinuumsviele?