1. Die Brauergruppe eines Körpers

Die Theorie der Brauergruppen von Körpern ist ein Teil der nicht-kommutativen Algebrentheorie und wurde im Anschluss an den grundlegenden Struktursatz von Wedderburn für einfache K-Algebren aus dem Jahr 1907 entwickelt. Nach dem Struktursatz ist jede endlich dimensionale, einfache K-Algebra A zu einer Matrixalgebra M_{n}(D) über einem Schiefkörper D isomorph. Dabei ist n eindeutig und D bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Insbesondere folgt die Isomporphie der Zentren von A und D. Nach dem Struktursatz von Wedderburn besteht das Studium endlich dimensionaler einfacher, zentraler K-Algebren im Wesentlichen aus dem Studium endlich dimensionaler, zentraler Schiefkörper über K und so stellt sich ganz natürlich die Frage nach einer Klassifikation solcher Schiefkörper. Der Satz von Wedderburn legt dann nahe, zwei endlich dimensionale, einfache, zentrale K-Algebren ähnlich zu nennen, wenn sie zu Matrixalgebren über dem selben endlich dimensionalen, zentralen Schiefkörper isomorph sind. Wie der Mathematiker Richard Brauer im Jahr 1929 zeigen konnte, lässt sich die Menge Br(K) aller Ähnlichkeitsklassen endlich dimensionaler, einfacher, zentraler K-Algebren mit der Struktur einer abelschen Gruppe versehen. Jede dieser Ähnlichkeitsklassen enthält (bis auf Isomorphie) genau einen endlich dimensionalen zentralen Schiefkörper über K. Das bestimmen der Brauergruppe eines Körpers ist ein im Allgemeinen sehr schwieriges Unterfangen und es gibt viele Körper, deren Brauergruppe bis heute nicht bekannt ist.

Vereinbarung:

- Mit einem Ring wird im Folgenden stets ein assoziativer Ring mit 1 mit 1 ≠ 0 verstanden.

- Für einen Ringhomomorphismus φ : A ⟶ B gelte immer φ(1_{A}) = 1_{B}.

Definition 1.1: Sei A ein Ring und sei K ein Körper.

1. Z(A) := {a ∈ A|ab = ba für alle b ∈ A} heißt das Zentrum von A.

2. A heißt genau dann K-Algebra, wenn A ein K-Vektorraum ist (wobei die Vektorraumaddition die des Ringes A ist) und

λ(a b) = (λ a)b = a(λ b)  (1)

für alle λ ∈ K und alle a, b ∈ A erfüllt ist. Unter der (K-) Dimension dim_{K}(A) einer K-Algebra A verstehen wir die (K-) Dimension des K-Vektorraums A.

3. Eine K-Algebra A heißt Schiefkörper oder Divisionsalgebra über K, wenn jedes 0 ≠ a ∈ A invertierbar in A ist.

Beispiele:

1. Sei 0 < n ∈ N. Der Ring M_{n}(K) der (n × n)-Matrizen über K ist eine K-Algebra mit K-Basis e_{i,j}, 1 ≤ i, j ≤ n, wobei e_{i,j} die Matrix ist, in der Eins an der (i, j)-ten Stelle und Null an allen anderen Stellen steht. Es ist dim_{K}(M_{n}(K)) = n^{2}. Für n ≥ 2 ist M_{n}(K) nicht kommutativ und kein Schiefkörper. Wie wir noch sehen werden, ist Z(M_{n}(K)) ≃ K für alle 0 < n ∈ N.

2. Der Körper C der komplexen Zahlen ist ein kommutativer Schiefkörper über R.

3. Die Geschichte der Schiefkörper beginnt mit der Entdeckung der Quarternionen durch W.R. Hamilton (1805-1865). Diese Entdeckung aus dem Jahr 1843, ist ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Schiefkörpers über R.

Es bezeichne \overline{z} die zu z ∈ C konjugiert komplexe Zahl und es sei

H := \{( \begin{matrix}z & u \\ −\overline{u} & \overline{z} \end{matrix} )|z, u ∈ C\} ⊂ M_{2}(C).

H ist ein Teilring von M_{2}(C) sowie eine R-Algebra mit dim_{R}(H) = 4 und Basis

1 := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), α := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ), β := ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ), γ := ( \begin{matrix}0 & i \\ i & 0 \end{matrix} ),

wobei i ∈ C mit i^{2} = −1 ist. H ist nicht-kommutativ, denn es ist α β = −γ und β α = γ. Ferner ist h^{−1} := det(h)^{−1}( \begin{matrix}\overline{z} & −u \\ \overline{u} & z \end{matrix} ) für alle 0 ≠ h ∈ H ein Element von

H und h h^{−1} = 1. H ist somit ein Schiefkörper über R. H ist bis auf Isomorphie der einzige nicht-kommutative, endlich dimensionale Schiefkörper über R. Man nennt H den Hamilton’schen Quaternionenschiefkörper.

Definition 1.2: Sei A ein Ring.

1. ∅ ≠ A ⊆ A heißt Rechtsideal (bzw. Linksideal) in A, wenn gilt:

i) Für alle x, y ∈ A ist x + y ∈ A, ii) Für alle a ∈ A und alle x ∈ A ist x a ∈ A (bzw. a x ∈ A). A heißt zweiseitiges Ideal, wenn A sowohl Rechtsideal als auch Linksideal ist.

2. (0) bezeichne das nur aus der Null bestehende Ideal in A. Ein Rechtsideal (bzw. Linksideal) A ≠ (0) in A heißt minimales Rechtsideal (bzw. minimales Linksideal), wenn für jedes in A enthaltene Rechtsideal (bzw. Linksideal) A′ folgt, dass entweder A′ = A oder A′ = (0) ist.

Bemerkung: In jeder endlich dimensionalen K-Algebra gibt es minimale Rechts- bzw. Linksideale.

Beispiel: Sei A ein Ring. Für jedes x ∈ A ist dann Ax := {ax|a ∈ A} ein Linksideal in A und entsprechend xA ein Rechtsideal in A und die Menge AxA aller endlichen Summen der ∑_{i} a_{i} x b_{i} mit a_{i}, b_{i} ∈ A ein zweiseitiges Ideal in A.

Definition 1.3: Sei A ein Ring.

1. Eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe M, zusammen mit einer Abbildung (Multiplikation) M × A ⟶ M, (m, a) ⟼ ma heißt ein A-Rechtsmodul, wenn für alle a, b ∈ A und alle m, m′ ∈ M folgende Bedingungen erfüllt sind:

a) m (a + b) = m a + m b,

b) (m + m′) a = m a + m′ a,

c) (m a) b = m (ab),

d) m 1 = m. Ersetzt man Bedingung c) durch die Bedingung c’) (m a) b = m (ba), so heißt M ein A-Linksmodul. Man notiert dann die Multiplikation M × A ⟶ M auch als eine Multiplikation von links, also (m, a) ⟼ am für alle a ∈ A, m ∈ M. Bedingung c’) schreibt sich dann folgendermaßen: b (a m) = (ba) m.

2. Sei M ein A-Rechtsmodul (bzw. A-Linksmodul). U ⊂ M heißt ein Teilmodul des A-Rechtsmoduls (bzw. A-Linksmodul) M, wenn für alle u, u′ ∈ U auch u + u′ ∈ U ist und für alle a ∈ A und u ∈ U auch u a ∈ U (bzw. a u ∈ U) ist.

Bemerkung: 1. Ist A ein kommutativer Ring, so ist jeder A-Rechtsmodul auch ein A-Linksmodul und umgekehrt. Man spricht dann einfach von A-Moduln. Ist A ein Körper, so ist ein A-Modul M ein A-Vektorraum.

2. Sei A eine K-Algebra. Die Menge End_{A}(M) ist vermöge

(f + g)(m) := f(m) + g(m), (f g)(m) := f(m) g(m) und (k f)(m) := k f(m)

in natürlicher Weise eine K-Algebra.

Beispiel:

1. Jede abelsche Gruppe ist in natürlicher Weise ein Z-Modul.

2. Sei A ein Ring. Jedes Rechtsideal (bzw. Linksideal) in A ist ein A-Rechtsmodul (bzw. A-Linksmodul) in A.

Lemma 1.4 (Lemma von Schur): Sei A eine K-Algebra und A ein minimales Rechtsideal in A, dann ist D := End_{A}(A) ein Schiefkörper über K.

Definition 1.5: Eine K-Algebra A heißt einfach, wenn A außer (0) und A keine weiteren zweiseitigen Ideale enthält.

Als ein wichtiges Beispiel zeigen wir:

Lemma 1.6: Für jeden Schiefkörper D über K ist die K-Algebra M_{n}(D) für alle n ≥ 1 einfach.

Lemma 1.7: Das Zentrum Z(A) einer einfachen K-Algebra A ist ein Körper.

Satz 1.8 (Struktursatz von Wedderburn): Eine endlich dimensionale K-Algebra A ist genau dann einfach, wenn A zu einer Matrixalgebra M_{n}(D) über einem endlich dimensionalen Schiefkörper D über K isomorph ist. Dabei ist n eindeutig und D bis auf K-Algebraisomorphie eindeutig durch die Isomorphiebeziehung

A ≃ M_{n}(D)  (2)

bestimmt.

Korollar 1.9: Sei A eine endlich dimensionale, einfache K-Algebra. Ist dann D ein Schiefkörper, so dass A ≃ M_{n}(D) für ein n ∈ N ist, so hat man folgende K-Algebraisomorphie:

Z(A) ≃ Z(D).

Insbesondere ist genau dann K das Zentrum von A, wenn K das Zentrum von D ist.

Definition 1.10:

1. Eine K-Algebra A heißt zentral, wenn K (bis auf Isomorphie) das Zentrum von A ist.

2. Azumaya-Algebra über K heißt jede endlich dimensionale, zentrale, einfache K-Algebra.

Beispiel: 1. Der Quaternionenschiefkörper H (vgl. Beispiel 3 zu Definition 3.1.1) ist eine 4-dimensionale Azumaya-Algebra über dem Körper R der rellen Zahlen.

2. Ist A eine K-Algebra, so liegt K stets im Zentrum Z(A) von A. Da nach Lemma 1.7 das Zentrum Z(A) einer K-Algebra A ein Körper ist, ist A in natürlicher Weise auch eine Z(A)-Algebra und als solche zentral.

Korollar 1.11: Eine K-Algebra A ist genau dann eine Azumaya-Algebra über K, wenn es einen endlich dimensionalen, zentralen Schiefkörper D über K mit A ≃ M_{n}(D) für ein n ∈ N gibt.

Definition 1.12: Zwei Azumaya-Algebren A und B über K heißen ähnlich, wenn es einen endlich dimensionalen, zentralen Schiefkörper D über K und 1 ≤ r, s ∈ N mit

A ≃ M_{r}(D) und B ≃ M_{s}(D)

gibt. Sind A und B ähnlich, so schreiben wir dafür A ∼ B.

Bemerkung:

1. ∼ hat die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse [A] einer Azumaya-Algebra A über K nennen wir im Folgenden dann die Ähnlichkeitsklasse von A.

2. Jede Ähnlichkeitsklasse enthält bis auf Isomorphie genau einen endlich dimensionalen, zentralen Schiefkörper über K.

Definition 1.13: Sei K ein Körper. Die Menge aller Ähnlichkeitsklassen

[A] := {B|B ist Azumaya-Algebra über K, B ∼ A}

von Azumaya-Algebren A über K bezeichenen wir mit Br(K). Es ist also

Br(K) := {[A]| A ist Azumaya-Algebra über K}.

Br(K) heißt die Brauergruppe von K.

Satz 1.14: Die Menge Br(K) aller Ähnlichkeitsklassen von Azumaya-Algebren über K wird durch die Multiplikation

[A] · [B] := [A ⊗_{K} B]  (3)

mit der Struktur einer abelschen Gruppe versehen.

Satz 1.15: Ist K ein algebraisch abgeschlossener Körper, so ist die Brauergruppe von K trivial, d.h. es ist Br(K) = 1.

2. Zerfällungskörper einer Azumaya- Algebra

Ist K ein Körper, L|K eine Körpererweiterung von K und A eine Azumaya-Algebra über K, so ist A_{L} := A⊗_{K} L eine Azumaya-Algebra über L. Man fragt nun nach solchen L, für die [A_{L}] = [L] = 1 in Br(L) gilt. L heißt dann ein Zerfällungskörper von A. Die Zerfällungskörper sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung von Brauergruppen. Zu jeder Azumaya-Algebra A über K gibt es Zerfällungskörper von A (z.B. ist der algebraische Abschluss von K ein Zerfällungskörper von A. Es stellt sich dann die Frage, ob es zu A auch stets Zerfällungskörper von endlichem Grad über K gibt. Diese Frage lässt sich mithilfe des Zentralisatorsatzes, der aus dem Satz von Skolem-Noether folgt, positiv beantworten. Insbesondere sind die maximalen kommutativen Teilalgebren von A Zerfällungskörper von A. Weiter kann man zeigen, dass es zu jeder Azumaya-Algebra über K sogar einen über K endlich dimensionalen galoisschen Zerfällungskörper gibt. Aus diesen Resultaten folgt dann, dass

Br(K) = ⋃_{L|K endl. gal.} Br(L|K)

gilt, wobei Br(L|K) den Kern der folgenden Abbildung bezeichnet.

Lemma 2.1: Sei L|K eine Körpererweiterung von K. Dann ist

r_{L|K} : Br(K) ⟶ Br(L), [A] ⟼ [A ⊗_{K} L]

ein Gruppenhomomorphismus und für jeden Zwischenkörper E von L|K gilt

r_{L|K} = r_{L|E} ∘ r_{E|K}.

Definition 2.2: Sei K ein Körper und L|K eine beliebige Körpererweiterung von K.

1. Der Homomorphismus r_{L|K} : Br(K) ⟶ Br(L) aus Lemma 3.4.1 heißt die Restriktion bzgl. L|K.

2. Br(L|K) := Kern (r_{L|K}) heißt die relative Brauergruppe von K bzgl. L.

3. Sei A eine Azumaya-Algebra über K. L heißt Zerfällungskörper von A, wenn [A] ∈ Br(L|K) ist. Ist L ein Zerfällungskörper von A, so sagt man auch A zerfällt über L.

Bemerkung:

1. Sei A ∼ B mit Azumaya-Algebren A, B über K. Dann ist [A] = [B] und somit jeder Zerfällungskörper von A auch ein Zerfällungskörper von B.

2. Nach Definition gilt

Br(L|K) = {[A] ∈ Br(K)|A ⊗_{K} L ∼ L}.

3. Offensichtlich ist L genau dann Zerfällungskörper einer Azumaya-Algebra A, wenn man eine (L-Algebra-) Isomorphie

A ⊗_{K} L ≃ M_{n}(L)  (4)

mit n^{2} = dim_{K}(A) hat.

Satz 2.3 (Satz von Skolem-Noether): Sei A eine Azumaya-Algebra über K und sei B eine endlich dimensionale, einfache K-Algebra. Dann gibt es zu beliebigen K-Algebrahomomorphismen f, g : B ⟶ A eine Einheit u ∈ A mit

g(b) = u f(b) u^{−1} für alle b ∈ B.

Korollar 2.4 (Zentralisatorsatz): Sei A eine Azumaya-Algebra über K und B eine einfache Teilalgebra von A mit dim_{K}(B) = n, dann gelten:

1. Man hat eine K-Algebraisomorphie

Z_{A}(B) ⊗_{K} M_{n}(K) ≃ A ⊗_{K} B^{O}.

2. Z_{A}(B) ist eine einfache K-Algebra und es ist Z(Z_{A}(B)) = Z(B).

3. Es ist Z_{A}(Z_{A}(B)) = B.

4. Ist B eine Azumaya-Algebra über K, so ist auch Z_{A}(B) eine Azumaya-Algebra über K und man hat eine K-Algebraisomorphie

Z_{A}(B) ⊗_{K} B ≃ A.

Definition 2.5: Sei A eine K-Algebra und B eine K-Teilalgebra von A.

1. B heißt maximale kommutative Teilalgebra von A, wenn Z_{A}(B) = B gilt.

2. Ein Teilkörper L von A heißt maximaler Teilkörper von A, wenn L = L′ für jeden Teilkörper L′ von A mit L ⊂ L′ gilt.

Beispiel: Es ist B := \{( \begin{matrix}a & b \\ b & a \end{matrix} ) ∈ M_{2}(K)| a, b ∈ K\} eine maximale kommutative

Teilalgebra von M_{2}(K).

Satz 2.6:

1. Sei A eine Azumaya-Algebra über K und L ein Teilkörper von A mit K ⊂ L ⊂ A und n := dim_{K}(L). Dann ist Z_{A}(L) eine Azumaya-Algebra über L und es gilt

A ⊗_{K} L ≃ Z_{A}(L) ⊗_{L} M_{n}(L).

Ist insbesondere Z_{A}(L) = L, ist der Körper L also eine maximale kommutative Teilalgebra von A, dann ist

A ⊗_{K} L ≃ M_{n}(L) und dim_{K}(A) = (dim_{K}(L))^{2} = n^{2}.

2. Sei D ein endlich dimensionaler, zentraler Schiefkörper über K. Für jeden maximalen Teilkörper L von D gilt dann

D ⊗_{K} L ≃ M_{n}(L) mit n^{2} = (dim_{K}(L))^{2} = dim_{K}(D).

Eine Konsequenz von Satz 2.6 ist somit:

Satz 2.7: Jede Azumaya-Algebra A über K besitzt einen über K endlich dimensionalen Zerfällungskörper L.

Lemma 2.8: Sei D ein endlich dimensionaler und zentraler Schiefkörper über K mit D ≠ K. Dann gibt es einen Teilkörper L {⊃ \atop ≠} K von D, so dass die Körpererweiterung L|K separabel ist.

Satz 2.9: Sei D ein endlich dimensionaler, zentraler Schiefkörper über K. Dann gibt es einen über K separablen maximalen Teilkörper von D. Jede Azumaya-Algebra A über K besitzt demnach einen Zerfällungskörper L, für den L|K separabel mit dim_{L}(K) = \sqrt{dim_{K}(D)} (mit eine zu A ähnlichen Schiefkörper D) ist.

Korollar 2.10: Jede Azumaya-Algebra A über K besitzt einen Zerfällungskörper L, für den L|K galoissch von endlichem Grad ist.

Korollar 2.11: Sei K ein Körper und C ein algebraischer Abschluss von K. Dann ist

Br(K) = ⋃_{L|K endl. gal.} Br(L|K),

wobei L|K alle in C enthaltenen galoisschen Körpererweiterungen endlichen Grades durchläuft.

3. Kohomologische Beschreibung der Brauergruppe

Definition 3.0: Sei G eine Gruppe und M eine abelsche Gruppe.

a) M heißt ein G-Modul, wenn es eine Abbildung

G × M ⟶ M
(σ, m) ⟼ σ(m)

gibt mit:

1. σ(τ(m)) = (στ)(m),

2. σ(m m′) = σ(m)σ(m′),

3. 1_{G}(m) = m, für alle σ, τ ∈ G, m, m′ ∈ M.

b) Seien M und P zwei G-Moduln. G-Modulhomomorphismus heißt jeder Gruppenhomomorphismus φ : M ⟶ P, für den φ(σ(m)) = σ(φ(m)) für alle σ ∈ G, m ∈ M gilt.

c) Sei M ein G-Modul. 2-Kozyklus oder Faktorensystem des G-Moduls M heißt jede Abbildung f : G × G ⟶ M für die

f(σ, τ)f(στ, ρ) = σ(f(τ, ρ))f(σ, τρ)

für alle σ, τ, ρ ∈ G gilt. Ist h : G ⟶ M eine Abbildung, so ist

f_{h} : G × G ⟶ M, f_{h}(σ, τ) := h(σ) σ(h(τ)) h(στ)^{−1}  (5)

ein 2-Kozyklus. Ein solcher heißt ein zerfallender 2-Kozyklus oder 2-Korand von G in M. Die 2-Kozyklen von G in M bilden (unter Multiplikation der Funktionswerte in M) eine Gruppe, die mit Z^{2}(G, M) bezeichnet sei. Die 2-Koränder von G in M bilden einen Normalteiler von Z^{2}(G, M), der mit B^{2}(G, M) bezeichnet sei. Die Quotientengruppe

H^{2}(G, M) := Z^{2}(G, M)/B_{2}(G, M)

heißt die zweite Kohomologiegruppe von G mit Koeffizienten in M.

Satz 3.1: Sei A eine Azumaya-Algebra über K und L|K eine Galoiserweiterung endlichen Grades. Sei G := Gal(L|K) die Galoisgruppe von L|K. Ist L ein Teilkörper von A und gilt dim_{K}(L) = dim_{L}(A), dann gibt es einen 2-Kozyklus f : G × G ⟶ L^{×} und zu jedem σ ∈ G eine Einheit u_{σ} ∈ A so, dass

A = ⨁_{σ∈G} L u_{σ}  (6)

ist und folgende Gleichungen erfüllt sind:

1. u_{σ}x = σ(x) u_{σ} für alle x ∈ L, σ ∈ G,

2. u_{σ}u_{τ} = f(σ, τ) u_{στ} für alle σ, τ ∈ G.

Satz 3.2: Sei L|K eine Galoiserweiterung endlichen Grades und n = dim_{K}(L). Sei G die Galoisgruppe von L|K und f : G × G ⟶ L^{×} ein 2-Kozyklus. Dann gilt:

a) Der n-dimensionale L-Vektorraum (L|K, G, f) := ⨁_{σ∈G} L u_{σ} mit L-Basis {u_{σ}|σ ∈ G}

ist mit der durch

1. u_{σ} x = σ(x) u_{σ},

2. u_{σ}u_{τ} = f(σ, τ)u_{στ},

3. ( ∑_{σ∈G} x_{σ}u_{σ})( ∑_{τ∈G} y_{τ}u_{τ}) = ∑_{σ,τ∈G} x_{σ}σ(y_{τ})f(σ, τ)u_{στ}

für alle x_{σ}, y_{τ} ∈ L, σ, τ ∈ G definierten Multiplikation in (L|K, G, f) eine Azumaya-Algebra über K mit dim_{L}((L|K, G, f)) = (dim_{K}(L)) und 1_{(L|K,G,f)} = f(1, 1)^{−1}u_{1_{G}}.

b) L ist (bis auf kanonische Isomorphie) ein Teilkörper von (L|K, G, f) und es ist Z_{(L|K,G,f)}(L) = L, d.h. L ist eine maximale kommutative Teilalgebra von (L|K, G, f) und somit insbesondere ein Zerfällungskörper von (L|K, G, f).

Definition 3.3: Sei L|K eine galoissche Körpererweiterung endlichen Grades und sei G die Galoisgruppe von L|K. Sei weiter f : G × G ⟶ L^{×} ein 2-Kozyklus von G in L^{×}. Eine K-Algebra (L|K, G, f) wie in Satz 2 heißt ein verschränktes Produkt von L und G bezüglich f.

Bemerkung: Nach Satz 1 und Satz 2 sind für eine Azumaya-Algebra A über K die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Es gilt A ≃ (L|K, G, f) für einen 2-Kozyklus f.

2. A enthält einen über K galoisschen Körper L mit dim_{L}(A) = dim_{K}(L).

Satz 3.4: Jede Azumaya-Algebra A über K ist ähnlich einem verschränkten Produkt, d.h. es gibt eine Galoiserweiterung L|K endlichen Grades und ein 2-Kozyklus f von G in L^{×} derart, dass A ∼ (L|K, G, f) ist, wobei G die Galoisgruppe von L|K bezeichnet.

Lemma 3.5: Sei L|K Galoiserweiterung endlichen Grades und sei G die Galoisgruppe von L|K.

a) Seien f, g : G×G ⟶ L^{×} 2-Kozyklen. Genau dann hat man eine K-Algebraisomorphie

(L|K, G, f) ≃ (L|K, G, g),

wenn eine Abbildung λ : G ⟶ L^{×} mit

f(σ, τ) = λ(σ) λ(στ)^{−1}σ(λ(τ)) g(σ, τ)

für alle σ, τ ∈ G existiert, wenn also fg^{−1} ein 2-Korand ist.

b) Seien f_{1} und f_{2} normierte 2-Kozyklen von G in L^{×}, d.h. es gilt f_{i}(σ, 1) = f_{i}(1, σ) = 1 für alle σ ∈ G, i = 1, 2. Dann gilt:

(L|K, G, f_{1}) ⊗_{K} (L|K, G, f_{2}) ∼ (L|K, G, f_{1}f_{2}),

wobei f_{1}f_{2}(σ, τ) := f_{1}(σ, τ) f_{2}(σ, τ) ist.

Satz 3.6: Sei L|K eine Galoiserweiterung endlichen Grades und sei G die Galoisgruppe von L|K. Dann ist

α : H^{2}(G, L^{×}) ⟶ Br(L|K), [f] ⟼ [(L|K, G, f)]

ein Gruppenisomorphismus.

4. Zyklische Algebren

Definition 4.1: Ein verschränktes Produkt (L|K, G, f) von L in G bzgl. eines 2-Kozyklus f heißt zyklische Algebra oder zyklisch verschränktes Produkt, wenn L|K eine \underline{zyklische} Körpererweiterung ist.

Bemerkung: Nach Satz 1 und Satz 2 sind für eine Azumaya-Algebra A über K die folgenden Aussagen äquivalent:

1. A ≃ (L|K, G, f) mit einer zyklischen Körpererweiterung L|K und einen 2-Kozyklus f.

2. A enthält einen über K galoisschen Körper L endlichen Grades mit zyklischer Galoisgruppe und es gilt dim_{L}(A) = dim_{K}(L).

Beispiel: Der Hamilton’sche Quaternionenschiefkörper H ist eine zyklische Algebra.

Man hat folgende Spezialfall von Satz 3.1 und 3.2:

Satz 4.2: Sei L|K eine zyklische Erweiterung und n = dim_{K}(L). Sei σ ein erzeugendes Element der Galoisgruppe G von L|K. Dann gilt:

a) Für jedes a ∈ K^{×} ist f_{σ,a} : G × G ⟶ L^{×} mit

f_{σ,a}(σ^{i}, σ^{j}) := \{ \begin{matrix}1 & für i + j < n \\ a & für i + j ≥ n \end{matrix}

ein 2-Kozyklus von G in L^{×} und es gilt

(L|K, σ, a) := (L|K, G, f_{σ,a}) = ⨁_{i=0}^{n−1} Lu^{i}  (7)

mit einer Einheit u ∈ (L|K, G, f_{σ,a}), für die a := u^{n} ∈ K^{×} und u x = σ(x)u gilt.

b) Zu jeder zyklischen Algebra (L|K, G, f) gibt es ein a ∈ K^{×}, so dass man eine K-Algebraisomorphie

(L|K, G, f) ≃ (L|K, σ, a)

hat.

Satz 4.3: Sei L|K eine zyklische Körpererweiterung und σ ein erzeugendes Element der Galoisgruppe G von L|K. Dann ist

β : K^{×}/N_{L|K}(L_{×}) ⟶ Br(L|K)
a N_{L|K}(L^{×}) ⟼ [(L|K, σ, a)]

ein Gruppenisomorphismus.

Satz 4.4: Für die Brauergruppe des Körpers R der reellen Zahlen gilt:

Br(R) = {[R], [H]} ≃ Z/2Z,

wobei H den Hamilton’schen Quaternionenschiefkörper bezeichnet.

Korollar 4.5: (Satz von Frobenius (1878)): Ist D ein endlich dimensionaler, zentraler, nicht-kommutativer Schiefkörper über dem Körper R der reellen Zahlen, so hat man eine R-Algebraisomorphie D ≃ H.