Die Geometrie lokal modularer Typen

Diplomarbeit von Ingo Kraus geschrieben unter der Betreuung von

Professor Dr. Martin Ziegler Albert-Ludwigs-Universität Freiburg

Freiburg, Juni 1995

Überarbeitete Fassung vom 10. Dezember 1996

Einleitung

In seinem bald erscheinenden Buch stellt Anand Pillay Ergebnisse der geometrischen Stabilitätstheorie vor, in der die Geometrien von regulären Typen untersucht werden. Dabei stellen sich sofort die Fragen, welche Konsequenzen es für eine solche Geometrie hat, daß sie von einem regulären Typ stammt und wie sich die Geometrie bei nichtforkender Fortsetzung verändert. Eine kombinatorische Geometrie heißt modular, wenn für je zwei abgeschlossene Unterräume X, Y gilt:

dim(X ∪ Y) + dim(X ∩ Y) = dim(X) + dim(Y)

sie heißt lokal modular, wenn diese Formel noch gilt, solange der Schnitt der Räume eine positive Dimension hat; ein regulärer Typ heißt (lokal) modular, wenn seine Geometrie es ist. Die Standardbeispiele für modulare Geometrien sind projektive Räume und man weiß, daß im wesentlichen alle modularen Geometrien so aussehen. Die Standardbeispiele für lokal modulare nicht modulare Geometrien sind affine Räume, aber in diesem Fall hat man keinen entsprechenden Darstellungssatz. Ist diese Situation vielleicht besser, wenn die Geometrie von einem regulären Typ stammt ?

Ist die Geometrie eines lokal modularen nicht modularen Typs die eines affinen Raumes ?

Die kanonischen Arten, die Geometrie eines affinen Raumes zu verändern, sind Lokalisierungen nach Teilmengen des affinen Raumes und nach Teilmengen des zugehörigen Vektorraums. Dabei wird die lokalisierte Geometrie genau dann modular, wenn die Lokalisierungsmenge einen affinen Punkt enthält. Wie verhält sich das in der Modelltheorie ?

Wenn eine nichtforkende Fortsetzung eines lokal modularen nicht modularen Typs p modular ist, enthalten dann die neuen Parameter (modulo eines geeigneten Abschlusses) eine Realisierung von p ?

Diese zwei Fragen liegen dem hier zu behandelnden Gebiet zugrunde. Im fünften Kapitel seines Buches zeigt Pillay, daß beide Fragen für Typen von U-Rang 1 eine positive Antwort haben. Im siebten Kapitel stellt er dann Begriffe und Techniken vor, mit denen die alten Beweise auf beliebige reguläre Typen übertragen werden können. Ich führe die Übertragung in dieser Arbeit durch.

Meine Arbeit besteht aus vier Kapiteln. Im ersten Kapitel stelle ich einige Grundlagen aus der Stabilitätstheorie und aus der kombinatorischen Geometrie bereit. Dabei habe ich besonders im Kapitel über Funktionen auf Ausführlichkeit Wert gelegt, unter anderem deshalb, weil ich die Ergebnisse nirgends systematisch zusammengestellt gefunden habe. Im zweiten Kapitel werde ich die beiden wichtigsten Begriffe dieser Arbeit vorstellen, nämlich p-Einfachheit und p-Gewicht, das p-Gewicht übernimmt dann die Rolle des U-Rangs. Mit Hilfe dieser Begriffe kann man geometrische Strukturen auf dem Modell einführen, welche bei der Analyse lokal modularer Typen zur Geltung kommen. Als kleine Ermunterung zwischendurch wende ich diese Theorie dann an, um die Struktur modularer Typen genauer zu beleuchten. Da mein Ziel die Konstruktion eines Vektorraumes beinhaltet, komme ich um die Theorie stabiler Gruppen nicht herum, einer knappen Darstellung der allgemeinen Theorie dienen die ersten beiden Teile des dritten Kapitels; diese Theorie läßt sich dann kanonisch auf p-einfache Gruppen übertragen. Außerdem beweise ich verschiedene Gruppenexistenzsätze, die alle im Verlauf der Arbeit zur Anwendung kommen. Im letzten Kapitel wende ich mich dann endlich den lokal modularen Typen zu. Ich werde erst zeigen, wie man Schiefkörper schon aus regulären Gruppen konstruieren kann, wobei ein geeigneter Quotient der Gruppe zu einem Vektorraum wird. Falls die Gruppe sogar lokal modular ist, so ist die zu diesem Vektorraum gehörende Geometrie gerade die Geometrie des generischen Typs. Mit diesem Ergebnis kann ich dann im letzten Teil zeigen, daß die Geometrie eines lokal modularen nicht modularen Typs eine affine Geometrie über dem Vektorraum einer geeigneten modularen Gruppe ist und daß eine nichtforkende Fortsetzung des Typs nur dadurch modular werden kann, daß man eine seiner Realisierung zu den Parametern (modulo p-Abschluß) hinzunimmt. Die meiste Arbeit macht dabei die Konstruktion der modularen Gruppe.

Ich habe mir zum Ziel gesetzt, daß diese Arbeit für Leserinnen und Leser verständlich ist mit etwa dem Wissensstand, den ich am Anfang der Arbeit hatte. Ich hoffe sehr, daß ich einen guten Mittelweg zwischen Ausführlichkeit und Fokussierung auf das Wesentliche gefunden habe. Bedanken möchte ich mich bei Martin Erkens, der mir viel Zeit und Hilfestellung gab. Viel Spaß beim Lesen !

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 2

1.1 Verschiedenes aus der Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Invariante, typdefinierbare und definierbare Klassen …. 2 1.1.2 Definierbare Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Domination, Orthogonalität und Regularität . . . . . . . . 4 1.1.4 Basiertheit und kanonische Basen . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Gute Eigenschaften von Typen . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Realisierte Typen über invarianten Klassen . . . . . . . . . 10

1.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Typdefinierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Die stationäre Theorie: Keime von Funktionen . . . . . . . 20

1.3 Kombinatorische Geometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.1 Abschlußstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.2 Prägeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.3 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.4 Modularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.5 Lokale Modularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.6 Gewichtete Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 p-Einfachheit und p-Gewicht 41

2.1 Internalität und Fremdheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 Internalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2 Erbliche Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 p-Einfachheit und p-Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.1 Die Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . 47 2.2.2 Weitere Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.3 Der gewichtete Raum D_{p}(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.4 Kanonische Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.5 p-semireguläre Typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Modularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.3.1 D_{p}(A) als modularer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.3.2 Die Geometrie modularer Typen . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.3 Geometrie in D_{p}(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Stabile Gruppen 68

3.1 Typdefinierbare Gruppen und Gruppenoperationen . . . . . . . . 68 3.1.1 Die Kategorie der C-Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2 Typdefinierbare Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . 71 3.1.3 Der G-Raum (G, X̂) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Generizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.1 Generische Typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.2 Zusammenhängende Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Gruppenexistenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.1 Von Prägenerischen zu Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.2 Eine nette Konstruktion mit Keimen . . . . . . . . . . . . 88 3.3.3 Die Bindungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.4 Konfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 p-einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4.1 p-einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4.2 p-semireguläre Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4.3 p-zusammenhängende Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 99

4 Die Geometrie lokal modularer Typen 101

4.1 Kategorien regulärer Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.1 Quasihomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.2 Kategorien regulärer Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1.3 Die Kategorie R_{A} und der Funktor σ_{A} . . . . . . . . . . . 107

4.2 Lokal modulare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3 Die Geometrie lokal modularer Typen . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3.1 Einstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3.2 Projektifizierbare affine Typen . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3.3 Die Existenz der starken Projektifizierung . . . . . . . . . 123

Kapitel 1

Grundlagen

1.1 Verschiedenes aus der Stabilitätstheorie

Theorien seien stets vollständig und mit unendlichem Modell. Die zugrundeliegende Theorie T sei stets stabil, deshalb gibt es beliebig große saturierte Modelle von T. Ist M ein saturiertes Modell von T, so sei der Begriff “Menge” für die Teilklassen von M reserviert, die eine kleinere Kardinalität als M haben und (partielle) Mengentypen seien (partielle) Typen über mengenvielen Parametern. M realisiert also alle Mengentypen. Außerdem sind je zwei Tupel, die den gleichen Typ (über ∅) haben, durch einen Automorphismus von M konjugiert. Die gleiche Konvention gilt für das Monstermodell C, in dem ich i.a. arbeiten werde. Außerdem arbeite ich in T^{eq}. Sollte ich dann ausnahmsweise mal die verwendete Sorte benennen, so bezeichne “C_{x}” die Sorte der Variablen x.

1.1.1 Invariante, typdefinierbare und definierbare Klassen

Eine Klasse heißt A-invariant, wenn sie von allen Automorphismen, die A fixieren (punktweise), invariant (also als Klasse) gelassen wird. Sie heißt A-typdefinierbar (definierbar), wenn es einen partiellen Typ (eine Formel) mit Parametern aus A gibt, dessen Realisierungsklasse sie ist. Eine A-typdefinieerbare Klasse nenne ich A-Klasse, wenn es einen partiellen Mengentyp mit Parametern aus A gibt, dessen Realisierungsklasse sie ist. Ist A eine echte Klasse, so fallen die Begriffe “A-typdefinierbare Klasse” und “A-Klasse” also auseinander. Ganz allgemein verwende ich diese Sprechweise: ein A-Objekt (Funktion, Gruppe, Äquivalenzrelation) ist mit mengenvielen Parametern aus A (typ)definierbar. So sind zum Beispiel die C-Klassen gerade die Klassen, die durch partielle Mengentypen typdefiniert sind und die C-Gruppen sind gerade die mengentypdefinierbaren Gruppen (in C). I.a. werden A, B, C, ... stets Teilmengen des Monsters sein. Typen über echten Klassen müssen in C nicht realisiert sein und haben zwei Mengen den gleichen Typ über einer Klasse Q, so müssen sie über Q nicht konjugiert sein (d.h. es existiert i.a. kein Automorphismus von C, der Q fixiert und die beiden Mengen ineinander überführt.) Ich werde später zeigen, daß die Situation besser ist, wenn Q invariant ist: dann existiert (wegen Stabilität) ein solcher Automorphismus. Noch ein Wort zur Saturiertheit: ist Π(x, y) ein partieller Typ, so nenne ich Π(y) = ∃xΠ(x, y) := {∃xφ(x, y) | φ(x, y) ∈ Π(x, y)} und entsprechend Π(x) Projektionen von Π. Ist Π(x, y) vollständig, so auch jede Projektion und wegen Saturiertheit ist ∃xΠ(x, y)^{C} genau die Projektion von Π(x, y)^{C} auf die y-Koordinate. Diese Tatsache wird permanent verwendet, wenn es um Fragen der Typdefinierbarkeit bestimmter Klassen geht. Die A-typdefinierbaren Klassen bilden eine Topologie von abgeschlossenen Mengen auf dem Modell, mit der clopen-Basis der A-definierbaren Klassen, die boolsche Algebra der A-definierbaren Klassen ist kanonisch isomorph zu der Lindenbaumalgebra von T (A). Ebenso topologisieren die A-invarianten Klassen das Modell, diese Topologie verfeinert die erste. Eine typdefinierbare Klasse ist genau dann A-typdefinierbar, wenn sie A-invariant ist, dafür braucht man, daß das Modell |A|^{+}-saturiert ist (ist A endlich, so sei |A|^{+} := ℵ_{0}). Die A-invarianten Klassen bilden sogar eine vollständige boolsche Unteralgebra der Potenzmengenalgebra, diese Algebra ist die von den A-typdefinierbaren Klassen erzeugte vollständige Algebra, denn jede A-invariante Klasse ist eine Vereinigung von A-typdefinierbaren Klassen. Eine Klasse nenne ich A-vollständig, wenn sie die Realisierungsklasse eines A-Typs ist. Die A-vollständigen Klassen sind dann gerade die Bahnen unter Aut_{A} (den Automorphismen von C, die A punktweise fixieren) und deshalb genau die minimalen A-invarianten Klassen. Jede A-invariante Klasse ist eine disjunkte Vereinigung von A-vollständigen Klassen. Demnach sind A invariante Klassen i.a. echte Klassen: ist X A-invariant, so ist X genau dann eine Menge, wenn X ⊂ acl(A). Invariante Klassen sind folglich noch modelltheoretische Objekte: jeder invarianten Klasse X ordne ich eine Klasse X̂ ⊂ S(C) zu: es sei X eine A-invariante Klasse und X̂ := {p̂ ∈ S(C)|p̂ ⊃ tp(a/A) für ein a ∈ X}. Ist dann B ⊃ A, so ist X̂ = {p̂ ∈ S(C)|p̂ ⊃ tp(a/B) für ein a ∈ X}, die Definition von X̂ ist also parameterunabhängig. Für jedes p̂ ∈ X̂ gibt es dann ein B ⊃ A (etwa B = ACb(p̂), also braucht man Stabilität), so daß p̂ = stp(a/B)|C für ein a ∈ X. Identifiziert man globale bzw. stationäre Typen mit ihren ∥-Klassen so ist also X̂ = {stp(a/B)|a ∈ X, B ⊃ A}. Diese Identifizierung wird häufig auftauchen, wenn es um parameterunabhängige Betrachtungen geht.

Noch etwas Notation: “St(A) ” bezeichnet die Menge der stationären Typen in S(A), also St(A) ≠ S(acl(A)). Ist p ∈ St(A), so bezeichne ich die ∥-Klasse von p mit “∥_{p}”. p ist genau dann B-definierbar, wenn jeder B-Automorphismus σ die globale nichtforkende Fortsetzung von p fixiert, wenn er also ∥_{p} fixiert. p wird dann zu einem parallelen Typ p^{σ} ∈ St(A^{σ}) konjugiert und p∥B sei der zu p parallele Typ über B, dieser ist zu unterscheiden von p|B ∈ St(AB).

1.1.2 Definierbare Äquivalenzrelationen

Ist x_{1}Ex_{2} eine ∅-Äquivalenzrelation, so bezeichne pr_{E} die zugehörige ∅-definierbare Projektion, a_{E} := pr_{E}(a) nenne ich den Parameter der Klasse x_{1}Ea^{C}.

1.1 Fakt Es sei x_{1}E_{c}x_{2} eine c-Äquivalenzrelation, dann gibt es eine ∅-Äquivalenzrelation x_{1}y_{1}Ex_{2}y_{2}, so daß

T h(c)^{⊧}∀x_{1}, x_{2}(x_{1}E_{c}x_{2} ↔ x_{1}cEx_{2}c)

Definiert man dann pr_{E_{c}}(x) := pr_{E}(x, c) und a_{E_{c}} := ac_{E}, so gilt nach dem Fakt für beliebiges a: (xE_{c}a)^{C} = pr_{E_{c}}^{−1}(a_{E_{c}}) und deshalb kann a_{E_{c}} als Parameter der Klasse (xE_{c}a)^{C} aufgefasst werden, pr_{E_{c}} ist dann die zugehörige Projektion, sie ist c-definierbar. Die E_{c}-Sorte ist die E-Sorte, die E_{c}-Klassen sind E-Klassen. Ist D eine definierbare Klasse, so bezeichne ich die induzierte Äquivalenzrelation mit “E_{D}”, pr_{E_{D}} mit “pr_{D}” und, für a ∈ D, a_{E_{D}} mit “cp_{D}”. Taucht in diesem Zusammenhang eine Formel als Index auf, so steht sie für die durch sie definierte Klasse. Für jede Formel φ(x; y) und beliebige c, d gilt:

d = cp_{φ(x,c)} ⟺ (c, d)^{⊧}∃x (φ(x, y) ∧ pr_{φ(x,y)}(x, y) = z)

Da es zu jedem c ∈ C_{y} genau ein solches d gibt, definiert ∃x (φ(x, y)∧pr_{φ(x,y)}(x, y) = z) den Graph der Funktion cp : C_{y} → C, die jedem c den Parameter der Formel φ(x, c) zuordnet. Eine A-Äquivalenzrelation auf der A-Klasse X ist eine Äquivalenzrelation x_{1}Ex_{2}, zu der es eine A-Formel φ(x_{1}, x_{2}) gibt, so daß E = φ(x_{1}, x_{2}) ∩ (X × X)^{C}. Mit Kompaktheit gibt es dann eine definierbare Klasse D ⊃ X, so daß

x_{1}E′x_{2} ⟺ (x_{1} ∈ D ∨ x_{2} ∈ D) → (x_{2} ∈ D ∧ x_{2} ∈ D ∧ φ(x_{1}, x_{2})^{C}

eine A-definierbare Äquivalenzrelation ist, die E fortsetzt. Dann sei natürlich pr_{E} := pr_{E′_{|X}}, auf diese Weise gibt es auch für typdefinierbare Äquivalenzrelationen kanonische Projektionen und Sorten. Ist X nicht typdefinierbar, so klappt die Konstruktion nicht, da Kompaktheit nicht angewendet werden kann.

1.1.3 Domination, Orthogonalität und Regularität

Ich wiederhole kurz einiges aus der Stabilitätstheorie, vieles davon werde ich oft verwenden. Für stationäre Typen sind alle drei Eigenschaften (in der jeweils parameterunabhängigen Version) ∥-invariant. Ich setze außerdem die Theorie der a-Modelle voraus. (Details findet man z.B. im Ziegler-Skript und bei Pillay).

1.2 Definition (Domination)

(1) Es seien A, B und C Teilmengen von C und p, q ∈ S(A):

(a) B ⊳_{A} C, wenn für alle D ⊂ C gilt: B | ⌣_{A} D ⇒ C | ⌣_{A} D

(b) B ◇_{A} C, wenn B ⊳_{A} C und C ⊳_{A} B

(c) p ⊳_{A} q, wenn es a^{⊧}p und b^{⊧}q gibt, so daß a ⊳_{A} b

(2) Es seien p, q beliebige Typen:

(a) p ⊳ q, wenn es nichtforkende Fortsetzungen p′ ⊃ p und q′ ⊃ q auf eine gemeinsame Parametermenge B gibt, so daß p′ ⊳_{B} q′

(b) p◇q, wenn p ⊳ q und q ⊳ p.

Alle diese Relationen sind reflexiv und transitiv. Achtung, p◇q bedeutet nicht, daß es dominationsäquivalente Realisierungen von geeigneten nichtforkenden Fortsetzungen geben muß. Eigenschaften

(1) B ⊳_{A} B′ ⟺ B ⊳_{acl(A)} B′ ⟺ ∀p ∈ S(acl(A)) : p|B ^{⊧} p|B′

(2) Sei A_{i} ⊳_{A} B_{i} (i ∈ I), dann gilt

(i) ⋃_{I} A_{i}⊳_{A} ⋃_{I} B_{i} und (ii) (A_{i})_{i∈I} unabhängig über A ⇒ (B_{i})_{i∈I} unabhängig über A (induktiv, einfache Forkingrechnung)

(3) Aus (2) folgt unmittelbar: p_{i}, q_{i} ∈ St(A) (i ∈ I), alle p_{i} ⊳_{A} q_{i} ⇒ ⨂ p_{i} ⊳_{A} ⨂ q_{i}

(4) Seien p, q ∈ St(A), p ⊳_{A} q, dann gilt für jedes a-Modell M ⊃ A: wird p in M realisiert, so auch q. (Achtung: die Aussage wird falsch, wenn nur ”p⊳q” statt ”p⊳_{A}q” gefordert wird)

(5) Für Typen über einem a-Modell M fallen ⊳ und ⊳_{M} zusammen.

(6) Es sei M ein a-Modell und M[B] ein a-Primmodell von MB, dann B ⊳_{M} M[B].

1.3 Definition (Orthogonalität) (1) Zwei Typen p, q ∈ S(A) sind fast orthogonal, p ⊥^{a} q, wenn für alle a^{⊧}p und b^{⊧}q gilt: a | ⌣_{A} b.

(2) Zwei Typen p, q über beliebigen Parametern sind orthogonal, p ⊥ q, wenn alle nichtforkenden Fortsetzungen p′ ⊃ p und q′ ⊃ q auf gemeinsame Parametermengen fast orthogonal sind.

Eigenschaften Seien q_{i} (i ∈ I) paarweise orthogonale stationäre Typen, dann gilt:

(1) ⨂_{I_{1}} q_{i} ⊥ ⨂_{I_{2}} q_{i} für alle disjunkten I_{1}, I_{2} ⊂ I.

(2) ⋃_{I} q_{i} ^{⊧} ⨂_{I} q_{i}

(3) alle q_{i} ⊥̸ q (q beliebig), so #I < κ(T).

(4) q ⊳ q_{i} für alle i, so q ⊳ ⨂_{I} q_{i}.

(5) Sind p, q ∈ St(A), so p ⊥ q ⟺ p^{(ω)} ⊥^{a} q^{(ω)}.

1.4 Definition (Regularität) Ein Typ p heißt regulär, wenn jede forkende Fortsetzung p′ von p orthogonal zu p ist.

Achtung, es gibt in der Literatur auch andere Definitionen, etwa die obige Definition für stationäre Typen, ein beliebiger Typ wird dann regulär genannt, wenn er eine nichtforkende stationäre reguläre Fortsetzung hat (bzw. wenn alle seine nichtforkenden stationären Fortsetzungen regulär sind). Diese Definition liefert mehr reguläre Typen als die hier gewählte! Eigenschaften

(1) Sei p ∈ St(A) regulär, J ⊂ p^{C} und alle j |̸ ⌣_{A} B (B beliebig), dann gilt p|B^{⊧}p|BJ. Falls J unabhängig über A ist, dann gilt sogar B ⊳_{A} J.

(2) Aus (1) folgt unmittelbar: Ist stp(a/A) regulär, so gilt für jedes b : b |̸ ⌣_{A} a ⟺ b ⊳_{A} a Ist p regulär, so gilt für jeden Typ q : q ⊥̸ p ⟺ q ⊳ p

(3) p_{i} ∈ St(A), p_{1} ⊥̸^{a} p_{2}, M ⊃ A a-Modell: Alle p_{1} bzw. p_{2} Basen von M sind dominationsäquivalent über A und gleichmächtig. (Ist I_{1} eine p_{1}-Basis von M, so wähle (mit Domination(4)) für jedes i_{1} ein i_{2} ∈ p_{2}^{M}, dann entsteht (mit (1) und Domination(2)) ein I_{2} ◇_{A} I_{1}, I_{2} unabhängig in p_{2}^{M}. I_{2} erzeugt p_{2}^{M} über A: sei c ∈ p_{2}^{M}, wähle c′ ∈ p_{1}^{M} mit c′ |̸ ⌣_{A} c, dann c |̸ ⌣_{A} c′ |̸ ⌣_{A} I_{1}, also c |̸ ⌣_{A} I_{1}. Aber I_{1} ◇_{A} I_{2}, also c |̸ ⌣_{A} I_{2}. Der Rest ist einfach.)

(4) Ist p ∈ St(A) regulär, M ⊃ A ein a-Modell und I eine p-Basis von M, dann gilt für jede Menge J: J unabhängig in p|I ⇒ J unabhängig in p|M (d.h. (p|I)^{(α)}^{⊧}(p|M)^{(α)}, für alle α) (OE J endlich, sei J unabhängig in p|I, angenommen J |̸ ⌣_{A} M, dann J |̸ ⌣_{AI} M und da J endlich ist gibt es eine endliche Teilmenge B von M, so daß alle j |̸ ⌣_{AI} B, also B ⊳_{AI} J (wegen (1) und wegen Domination(4) realisiert M stp(J/AI), Widerspruch zur Maximalität von I.)

(5) Sei p ∈ St(A) regulär, q ∈ S(A) und n ∈ IN: q ◇_{A} p^{(n)} genau dann, wenn für alle a^{⊧}q, I^{⊧}p^{(n)}: a |̸ ⌣_{A} I ⇔ a ◇_{A} I (Wähle nämlich J^{⊧}p^{(n)} mit J ⊳_{A}a, dann alle i |̸ ⌣_{A} J, in der Prägeometrie (p^{C}, | ⌣_{A}) gilt also I ⊂ cl(J), aus Dimensionsgründen gilt dann cl(I) = cl(J), also alle j |̸ ⌣_{A} I und I ⊳_{A} J und schließlich I ⊳_{A} a; die Umkehrung geht analog)

1.1.4 Basiertheit und kanonische Basen

Ich werde nun einige Begriffe, die oft nur für stationäre Typen definiert sind, für beliebige Typen definieren und einige Eigenschaften beweisen, von denen besonders die über Definierbarkeit später noch verwendet werden. Dieser Abschnitt ist etwas ausführlicher, da der Inhalt nicht mehr unbedingt zum Standardwissen gehört.

Basiertheit

1.5 Definition Seien p und q beliebige Typen: p^{⊧}_{nf} q :⟺ p ⊂_{nf} q und q ist die einzige nichtforkende Fortsetzung von p nach dom(q)

Ich sage dann, daß q auf p bzw. dom(p) basiert ist, ein Typ tp(a/A) ist genau dann stationär, wenn tp(a/A)^{⊧}_{nf} tp(a/acl(A))(= stp(a/A)), ein stationärer Typ ist genau dann auf einer Menge basiert, wenn er über dieser Menge definierbar (Achtung, definierbar im guten Sinne, etwa wie bei Lascar) ist. Für B ⊃ dom(p) sei NF_{p}(B) die Menge der nichtforkenden Fortsetzungen von p nach B, für NF_{p}(C) schreibe ich nur NF_{p}, dann gilt p ⊂_{nf} q ⟺ NF_{p} ⊃ NF_{q} und p^{⊧}_{nf} q ⟺ NF_{p} = NF_{q} und falls B = acl(B), so NF_{p} ∼ NF_{p}(B) (Restriktion). Brauchbar ist die folgende Eigenschaft der Basiertheit:

1.6 Basiertheitslemma Für beliebige Mengen A ⊃ A_{0}, B, C gilt: tp(BC/A_{0})^{⊧}_{nf} tp(BC/A) ⟺ tp(B/A_{0}C)^{⊧}_{nf} tp(B/AC) und tp(C/A_{0})^{⊧}_{nf} tp(C/A)

Beweis ′′ ⇒′′: Sei tp(BC/A) basiert auf A_{0},

(i) Sei σ ∈ Aut_{A_{0}C}, so daß tp(B^{σ}/AC) über A_{0}C nicht forkt, dann ist tp(B^{σ}C/A) eine nichtforkende Fortsetzung von tp(BC/A_{0}) (B^{σ}C ≡_{A_{0}} BC und B^{σ} | ⌣_{A_{0}C} AC, B^{σ}C | ⌣_{A_{0}C} A, B^{σ}C | ⌣_{A_{0}} A, da nach Voraussetzung A | ⌣_{A_{0}} C). Also tp(B^{σ}C/A) = tp(BC/A) nach Basiertheitsvoraussetzung, deshalb auch tp(B^{σ}/AC) = tp(B/AC), also tp(B/A_{0}C) ^{⊧}_{nf} tp(B/AC). (ii) Sei σ ∈ Aut_{A_{0}}, τ ∈ Aut_{A_{0}C}, so daß C^{σ} | ⌣_{A_{0}} A und B^{τ} | ⌣_{A_{0}C} A, dann B^{τ}C^{σ} ≡_{A_{0}} B^{σ}C^{σ} ≡_{A_{0}} BC und tp(B^{τ}C^{σ}/A) forkt nicht über A_{0} (B^{τ} | ⌣_{A_{0}C} A und C^{σ} | ⌣_{A_{0}} A), also nach Voraussetzung tp(B^{τ}C^{σ}/A) = tp(BC/A), damit folgt tp(C/A_{0})^{⊧}_{nf} tp(C/A).

′′ ⇐′′: Sei tp(B/AC) basiert auf A_{0}C und tp(C/A) basiert auf A_{0}, sei σ ∈ Aut_{A_{0}} mit (BC)^{σ} | ⌣_{A_{0}} A, dann C^{σ} ≡_{A} C (weil tp(C/A_{0})^{⊧}_{nf} tp(C/A)), etwa C = C^{στ} für ein τ ∈ Aut_{A}, also B^{στ}C = B^{στ}C^{στ} ≡_{A} (BC)^{σ} und B^{στ} ≡_{A_{0}C} B. Da außerdem B^{σ} | ⌣_{A_{0}C^{σ}} AC^{σ}, gilt B^{στ} | ⌣_{A_{0}C} AC, mit der Basiertheitsvoraussetzung dann B^{στ} ≡_{AC} B, also B^{στ}C ≡_{A} BC und folglich (BC)^{σ} ≡_{A} BC, fertig. □

Mit dem Basiertheitslemma spart man sich einige Standardrechnungen, z.B. sieht man damit, daß Projektionen stationärer Typen stationär sind und daß die Stationarität eine transitive Eigenschaft hat: Sind tp(C/A) und tp(B/AC) stationär, so ist tp(BC/A) stationär (Umkehrung ist offensichtlich falsch, z.B. mit A = acl(A) und tp(B/AC) nicht stationär). Gibt es minimale Mengen, über denen ein Typ basiert ist?

Kanonische Basen

1.7 Definition Eine Menge C heißt kanonische Basis von p, wenn für jeden Automorphismus σ gilt:

σ fixiert C ⇔ σ läßt NF_{p} invariant

Für stationäre Typen bedeutet das: σ fixiert C ⇔ σ fixiert die globale nichtforkende Fortsetzung von p. Offensichtlich ist C eindeutig bis auf Interdefinierbarkeit, d.h. für jede weitere kanonische Basis C′ von p gilt dcl(C′) = dcl(C). Aus den Grundlagen der Stabilitätstheorie zitiere ich die folgenden

1.8 Fakten (1) p forkt nicht über A_{0} ⇔ jeder acl(A_{0})-Automorphismus fixiert NF_{p} ⇔ jeder acl(A_{0})-Automorphismus läßt NF_{p} invariant ⇔ p hat eine globale nichtforkende Fortsetzung mit beschränkter Aut_{A_{0}}-Bahn

(2) p ∈ S(A), so operiert Aut_{A} transitiv auf NF_{p}

(3) Falls p stationär ist und a_{I} eine unendliche Morleyfolge in p ist, so fixiert jeder a_{I}-Automorphismus die globale nichtforkende Fortsetzung von p

Aus der Definition und den Fakten ergeben sich dann sofort die folgenden Eigenschaften, sie sind es, die eine kanonisch Basis so brauchbar machen:

1.9 Eigenschaften Sei p ∈ S(A), C eine kanonische Basis und A_{0} ⊂ A, dann gilt

(1) p forkt nicht über A_{0} ⇔ C ⊂ acl(A_{0})

(2) p ist basiert auf A_{0} ⇔ C ⊂ dcl(A_{0})

(3) Ist für p′ ∈ NF_{p}(acl(A)) I_{p′} eine unendliche Morleyfolge in p′, so C ⊂ dcl({I_{p′} | p′ ∈ NF_{p}(acl(A))}).

Man beachte, daß die I_{p′} in (3) so gewählt werden können, daß {I_{p′} | p′ ∈ NF_{p}(acl(A))} unabhängig über A ist. Aus (2) folgt, daß ”die” kanonische Basis die kleinste Menge ist, auf der p basiert ist, dcl(C) = ⋂{dcl(A_{0})|p basiert auf A_{0}}, es fehlt also nur noch ein

1.10 Existenzsatz Jeder Typ hat eine kanonische Basis.

Beweis Ist p̂(x) ein globaler Typ und φ(x; y) ∈ L(∅), so bezeichne c(p̂, φ) ∈ C^{eq} den Parameter der durch dp̂xφ(x; y) definierten Klasse {c |φ(x; c) ∈ p̂}. Für einen beliebigen Typ p ist dann {c(p̂, φ)|p̂ ∈ NF_{p}} eine endliche (also definierbare) Teilmenge von C, c(p, φ) ∈ C sei der zugehörige Parameter. Behauptung: {c(p, φ)|φ ∈ L(∅)} ist eine kanonische Basis von p Beweis: Ein Automorphismus σ fixiert diese Menge genau dann, wenn für jede Formel die Menge {c(p̂, φ)|p̂ ∈ NF_{p}} invariant bleibt, das ist aber genau dann der Fall, wenn σ die globalen nichtforkenden Fortsetzungen von p permutiert. □

Eine kanonische Basis von p bezeichne ich mit “Cb(p)”, damit sei im Zweifelsfall die gerade konstruierte kanonische Basis gemeint - das ist aber i.a. egal, da sich verschiedene kanonische Basen nur bis auf Interdefinierbarkeit unterscheiden, genauso bedeutet “C = Cb(p)” manchmal nur, daß C eine kanonische Basis von p ist. Noch zwei Schreibweisen: Cb(a/A) := Cb(tp(a/A)), Cb^{s}(a/A) := Cb(stp(a/A)). Achtung, in der Literatur gibt es oft nur kanonische Basen von stationären Typen, dort wäre dann Cb(a/A) = Cb(stp(a/A)), ist aber tp(a/A) stationär, so ist natürlich Cb^{s}(a/A) = Cb(a/A). Einen kleinen, aber feinen Unterschied sollte man im Kopf behalten: Cb(a/A) ⊂ dcl(A), aber Cb^{s}(a/A) liegt nur in acl(A). Außderdem gilt Cb(a/A) ⊂ Cb(ab/A) und für p ⊂ q:

p ⊂_{nf} q ⇔ acl(Cb(p)) ⊃ Cb(q), p^{⊧}_{nf} q ⇔ Cb(p) = Cb(q).

1.11 Definition Zwei beliebige Typen p und q heißen parallell, p∥q, wenn NF_{p} = NF_{q}.

Zwei Typen sind genau dann parallell, wenn sie auf einem gemeinsamen Typ basiert sind (etwa der über der kanonischen Basis). Frage: gibt es für jeden Typ p eine Menge I von Realisierungen von p, so daß es einen zu p parallelen Typ über I gibt (das klapt, wenn p stationär ist)?

Basiertheit und Definierbarkeit

1.12 dcl-Lemma (1) Sei tp(a/A_{0}) ^{⊧}_{nf} tp(a/A), dann gilt a ∈ dcl(A) ⇒ a ∈ dcl(A_{0})

(2) Sei A_{0} ⊃ Cb(aB/A), dann gilt a ∈ dcl^{A}(B) ⇒ a ∈ dcl^{A_{0}}(B)

(3) Sei a ∈ dcl^{B}(A), dann gilt dcl^{B}(a) = dcl^{B}(Cb(A/Ba)).

Beweis (1) Wegen a ∈ acl(A) und tp(a/A_{0}) ⊂_{nf} tp(a/A) gilt a ∈ acl(A_{0}), deshalb tp(a/A_{0}) ^{⊧} tp(a/A) (keine Fortsetzung forkt und nach A gibt es nur eine). Ist also a die einzige Realisierung von tp(a/A), so auch von tp(a/A_{0}).

(2) Folgt aus (1) und dem Basiertheitslemma: tp(aB/A) ist basiert auf A_{0}, also ist tp(a/AB) basiert auf A_{0}B, jetzt (1) anwenden.

(3) C := Cb(A/Ba) ⊂ dcl(Ba), also zu zeigen: a ∈ dcl(BC). Sei also σ ∈ Aut_{BC}, Behauptung: a^{σ} = a Beweis: Sei A′^{⊧} tp(A/BC) mit A′ | ⌣_{BC} a^{σ}a, dann A′ ≡_{BCa} A und A′ ≡_{BCa^{σ}} A^{σ} (denn tp(A/BC)^{⊧}_{nf} tp(A/BCa) und tp(A^{σ}/BC) ^{⊧}_{nf} tp(A^{σ}/BCa^{σ})), insbesondere a ∈ dcl(A′B). Also A′a^{σ} ≡_{BC} A^{σ}a^{σ} ≡_{BC} Aa ≡_{BC} A′a und a^{σ} ≡_{A′B} a, damit folgt die Behauptung. □

1.1.5 Gute Eigenschaften von Typen

Ist p ∈ S(A), so sei q ∈ dcl(p):⟺ q ∈ S(A) und es gibt a^{⊧}p, b^{⊧}q, so daß b ∈ dcl^{A}(a). dcl wird so zu einem Abschlußoperator auf S(A), entsprechend kann acl als ein solcher Operator aufgefasst werden. Eine Eigenschaft E von Typen nenne ich gut, wenn sie die folgen beiden Bedingungen erfüllt:

p^{⊧}_{nf}q, so Ep ⟺ Eq q ∈ dcl(p), so Ep ⟹ Eq

Manche Eigenschaften sind nur für nichtalgebraische Typen definiert, in diesem Fall verlange ich natürlich nur, daß sich die Eigenschaft auf die nichtalgebraischen Typen überträgt. Gute Eigenschaften übertragen sich auf Projektionen von Typen. Zwei stationäre Typen nenne ich interdefinierbar, wenn sie nichtforkende Fortsetzungen p und q auf eine gemeinsame Parametermenge haben, so daß q′ ∈ dcl(p′) und p′ ∈ dcl(q′). Diese Forderung ist echt schwächer, als die folgende: es gibt nichtforkende Fortsetzungen p und q auf eine gemeinsame Parametermenge B und Realisierungen a^{⊧}p, b^{⊧}q, so daß a und b interdefinierbar sind über B. Interdefinierbare Typen lassen sich dann nicht durch gute Eigenschaften unterscheiden und viele der wichtigen Eigenschaften von Typen sind gut, etwa

• Stationarität
• Rang ≤ α
• nicht orthogonal zu q sein
• dominiert sein von q
• Regularität

Es gibt einige wichtige Eigenschaften, die sich zwar auf Restriktionen vererben, auf denen der Typ basiert sind, nicht aber auf beliebige Restriktionen, über denen der Typ nicht forkt. Eine prominente solche Eigenschaft ist Regularität (siehe z.B. [?, Beispiel 13.3]).

1.1.6 Realisierte Typen über invarianten Klassen

Da sich Saturiertheit und Homogenität nur auf Mengentypen beziehen, sind Typen über echten Klassen modelltheoretisch nicht so gut zu behandeln wie sloche über Mengen. Mit Hilfe der Definierbarkeit von Typen (genauer: der Existenz kanonischer Basen) sind jedoch realisierte Typen über invarianten Klassen schon durch einen Mengentyp isoliert und man kann einige angenehme Eigenschaften von Mengentypen retten. Das ist in dieser Arbeit wichtig, da ich viel mit echten Klassen arbeiten werde.

1.13 Lemma Es sei X eine A-invariante Klasse, dann gilt für C := Cb(a/AX) (a beliebig):

(1) C ⊂ dcl^{A}(a) ∩ dcl^{A}(X)

(2) tp(a/AC)^{⊧}tp(a/AX)

(3) tp(a/AX)^{C} ist eine Aa-Klasse Beweis

(1) Wegen der A-Invarianz von X wird tp(a/AX) von jedem Aa-Automorphis-mus fixiert, also C ⊂ dcl(Aa), und C ⊂ dcl(AX) gilt sowieso.

(2) Es sei a′^{⊧}tp(a/AC), etwa a′ = a^{σ} (σ ∈ Aut_{AC}), wegen a | ⌣_{AC} AX gilt dann a^{σ} | ⌣_{AC} AX^{σ}, aber AX^{σ} = AX, also forkt tp(a′/AX) nicht über AC. Wegen der Basiertheit ist dann tp(a′/AX) = tp(a/AX).

(3) Wegen (2) ist tp(a/AX)^{C} = tp(a/AC)^{C} und wegen (1) gibt es für jedes c ∈ C eine A-Funktion f_{c}, so daß f_{c}(a) = c. Es sei Π(x, y) := {f_{c}(x) = f_{c}(y) | c ∈ C} ⊂ L(A).

Behauptung:tp(a/A)(x) ∪ Π(x, a) typdefiniert tp(a/AC)^{C} Beweis: Für beliebiges a′ gilt a′^{⊧}Π(x, a) ⇔ für alle c ∈ C : f_{c}(a′) = c. Sei nun σ ∈ Aut_{AC}, so a^{σ} ^{⊧}tp(a/A) und für c ∈ C gilt f_{c}(a^{σ}) = f_{c}(a)^{σ} = c^{σ} = c, also a^{σ} ^{⊧}tp(a/A) ∪ P i(x, a). Ist andererseits σ ∈ Aut_{A}, so daß a^{σ} ^{⊧}Π(x, a), dann a^{σ}C = a^{σ}(f_{c}(a^{σ}))_{c∈C} = a^{σ}(f_{c}(a)^{σ})_{c∈C} ≡_{A} a(f_{c}(a))_{c∈C} = aC, also a^{σ} ≡_{AC} a, das beweist die Behauptung.

Insgesammt sieht man, daß tp(a/AX)^{C} durch tp(a/A)(x)∪Π(x, a) A-typdefiniert wird. □

Zum Abschluß beweise ich die anfangs erwähnte starke Homogenität über invarianten Klassen:

1.14 Satz Es sei M ein saturiertes Modell der stabilen Theorie T und Q ⊂ M sei eine Ainvariante Klasse (A ⊂ M Menge). Sind dann B_{1} und B_{2} (mengengroße) Tupel in M mit B_{1} ≡_{AQ} B_{2}, so gibt es einen Automorphismus σ ∈ Aut_{AQ}(M), so daß B_{1}^{σ} = B_{2}.

Beweis OE A = ∅ (da A klein ist, ändert das Zufügen von A zur Sprache nichts an den Voraussetzungen). Ich zeige, daß es für alle b_{1} ein b_{2} gibt, so daß B_{1}b_{1} ≡_{Q} B_{2}b_{2}. Mit den üblichen Techniken konstruiert man dann den Automorphismus (das Modell aufzählen und hin&her die Elemente wählen). Es sei also b_{1} ∈ M: wegen des Lemmas oben (1.13) gilt dann für C_{1} := Cb(b^{1}/B_{1}Q)

tp(b^{1}/B_{1}C)^{⊧}tp(b^{1}/B_{1}C_{1}Q) und C_{1} ⊂ dcl(B_{1}Q)

Wegen C_{1} ⊂ dcl(B_{1}Q) gibt es ein C_{2} mit B_{1}C_{1} ≡_{Q} B_{2}C_{2}, denn für c_{1} ∈ C_{1}, c_{1} ∈ dcl(B_{1}Q_{0}) (Q_{0} ⊂ Q endlich) sei c_{2} mit der gewöhnlichen Homogenität gefunden (oder einfach ein Konjugat von c_{1}), das so entstehende C_{2} tut’s. Nun sei T′ := T h(M, B_{1}C_{1}Q), Π := tp(b^{1}/B_{1}C_{1}) und p := tp(b^{1}/B_{1}C_{1}Q). Man beachte, daß alle auftretenden Formeln nicht die Elemente von B_{1}C_{1}Qb_{1} enthalten, sondern Konstantensymbole für sie. Außerdem ist Π ein partieller und p ein vollständiger Typ T′.

B_{1}C_{1} ≡_{Q} B_{2}C_{2} bedeutet, daß (M, B_{2}C_{2}Q) ein Modell von T′ ist und wegen tp(b^{1}/B_{1}C) ^{⊧}tp(b^{1}/B_{1}C_{1}Q) gilt T′ ∪ Π ⊢ p. Da M saturiert ist, wird Π in (M, B_{2}C_{2}Q) realisiert, etwa durch b_{2}. Dann wird auch p in (M, B_{2}C_{2}Q) durch b_{2} realisiert und (M, B_{1}C_{1}Qb_{1}) und (M, B_{2}C_{2}Qb_{2}) bleiben elementar äquivalent, also B_{1}b_{1} ≡_{Q} B_{2}b_{2}. □

1.2 Funktionen

Ich werde Funktionen mit ihren Graphen identifizieren, deshalb sind zwei Funktionen schon dann identisch, wenn ihre Definitionsbereiche identisch sind und sie die gleiche Wirkung haben (d.h. jedem Argument den selben Wert zuordnen). Trotz dieser Identifizierung werde ich natürlich die gewohnten Sprechweisen, etwa ”der Graph von f” beibehalten, ”f : X → Y ist surjektiv” bedeutet dann ganz einfach nur ”Y = f(X)”.

1.2.1 Typdefinierbare Funktionen

Ich habe hier die folgende Perspektive eingenommen: als Teilklassen des Monsters sind Funktionen (d.h. ihre Graphen) noch keine modelltheoretischen Objekte und man muß schauen, wie sie beschaffen sein müssen, daß sie zu solchen werden. Die Antwort ist klar, der Graph muß eine typdefinierkase Klasse sein. Der Ausführlichkeit zuliebe habe ich noch einen Zwischenschritt eingeführt, indem ich den Blick auf die Wirkung von Funktionen richte.

A-Funktionen

Es sei X stets eine nichtleere Teilklasse von C

2.1 Definition f : X → C sei eine Funktion und Φ(x, y) ein partieller Typ.

(1) Φ(x, y) definiert die Wirkung von f :⟺ Graph(f) = Φ(x, y)^{C} ∩ (X × C)

(2) f heißt A-(typ)definierbar, wenn Graph(f) A-(typ)definierbar ist.

2.2 Lemma Sei f : X → C eine Funktion, dann gilt

(1) Ist f A-typdefinierbar, so gibt es schon eine A-Formel φ(x, y), welche die Wirkung von f definiert.

(2) f ist A-(typ)definierbar ⇔ X und die Wirkung von f sind A-(typ)definierbar (3) Ist f A-(typ)definierbar, so auch Bild(f).

Beweis (1) Γ(x, y) typdefiniere Graph(f), dann gilt Γ(x, y_{1}) ∪ Γ(x, y_{2}) ^{⊧} y_{1} = y_{2}. Mit Kompaktheit findet man schon eine Formel φ(x, y) ∈ Γ(x, y), so daß φ(x, y_{1}) ∪ φ(x, y_{2}) ^{⊧} y_{1} = y_{2}, diese tut’s.

(2) ”⇒”: Graph(f) sei typdefiniert durch Γ(x, y), dann definiert Γ(x, y) die Wirkung von f und X ist die Projektion von Graph(f) auf die x-Koordinate, also (Saturiertheit) typdefiniert durch ∃y Γ(x, y) (genauso für ”definierbar”). ”⇐”: Die Wirkung von f sei definiert durch Φ(x, y) und X sei typdefiniert durch Π(x), Graph(f) ist dann typdefiniert durch Π(x) ∪ {Φ(x, y)}. Wegen (1) kann Φ(x, y) durch eine Formel ersetzt werden, ist dann auch Π(x) nur eine Formel, so ist Graph(f) definierbar.

(3) Bild(f) ist die Projektion von Graph(f) auf die y-Koordinate, die Behauptung folgt also wegen der Saturiertheit. □

Beispiel (Kanonische Projektionen und uniforme Familien): Ist E eine A-Äquivalenzrelation auf der A-Klasse X, so ist pr_{E|X} A-typdefinierbar. Eine Familie F = {D_{i}|i ∈ I} definierbarer Klassen induziert die Teilklasse {c_{D_{i}}|i ∈ I} des Monstermodells. Eine gute Kontrolle über eine solche induzierte Klasse hat man, wenn man mit einer uniformen Familie definierbarer Klassen startet. Es sei φ(x; z) eine beliebige Formel, dann heißt eine Familie F definierbarer Klassen φ(x; z)-uniform, wenn F ⊂ {φ(x, c)^{C} | c ∈ C}. Es gibt dann eine Klasse X von Parametern, so daß

F = F_{φ(x;z),X} := {φ(x, c)^{C} | c ∈ X}

Die Wirkung der Funktion cp : X → C, die jedem c ∈ X den Parameter von φ(x, c) zuordnet, wird dann definiert durch ∃x (φ(x, y) ∧ pr_{φ(x,y)}(x, y) = z) (siehe Abschnitt 1.1.2). Eine A-uniforme Familie ist eine Familie F_{φ(x;z),X}, wobei φ(x; z) eine A-Formel ist. Ist dann X A-(typ)definierbar, so auch cp : X → C.

[figure: {φ(x, c) | c ∈ X}; {φ(x, c)^{C} | c ∈ X}; X; C; Realisierungen; φ(x; z); Parameter; der Klasse; cp; im Monster; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

2.3 Lemma Für eine typdefinierbare Funktion f : X → C sind äquivalent:

(1) f ist A-typdefinierbar

(2) Für alle a ∈ X, σ ∈ Aut_{A} gilt: a^{σ} ∈ X und f(a^{σ}) = f(a)^{σ}

Beweis Da Graph(f) typdefinierbar ist, ist er genau dann A-typdefinierbar, wenn er A-invariant ist und letzteres ist gerade die Aussage von (2). □

2.4 Definition Es seien Φ(x, y) und Π(x) partielle Typen:

(1) Φ(x, y) heißt funktional auf X, wenn es für alle a ∈ X genau ein b ∈ C gibt, so daß (a, b)^{⊧}Φ(x, y).

(2) Φ(x, y) heißt funktional auf Π(x), wenn Π(x)^{⊧}∃yΦ(x, y) und Π(x) ∪ Φ(x, y_{1}) ∪ Φ(x, y_{2})^{⊧}y_{1} = y_{2} Ich habe zwei Begriffe eingeführt, um einerseits von funktionalen Typen auf beliebigen Klassen X, andererseits von funktionalen Typen auf nicht notwendig realisierten Typen Π sprechen zu können. Ist aber Π(x)^{C} ≠ ∅, so ist ein partieller Paartyp genau dann funktional auf Π(x), wenn er funktional auf Π(x)^{C} ist. Ein auf X funktionaler partieller Paartyp Φ induziert die Funktion f_{Φ,X} auf X, ist X typdefinierbar, so auch f_{Φ,X} und Φ kann dann durch ein φ ∈ Φ ersetzt werden. Da ich mich eigentlich nur für typdefinierbare Funktionen interessiere, reicht es also, sich auf funktionale Formeln zu beschränken. φ(x, y) ist genau dann funktional auf Π(x), wenn Π(x)^{⊧}∃!yφ(x, y) und wegen Kompaktheit gibt es ein π(x) ∈ Π(x), so daß φ funktional auf π ist. φ̂(x, y) := π(x) ∧ φ(x, y) definiert dann den Graphen. Eine A-typdefinierbare Funktion nenne ich kurz A-Funktion, die A-Funktionen sind genau die f_{φ,X}, wobei X eine A-Klasse ist und φ = φ(x, y) eine auf X funktionale A-Formel. ”x ∈ X ∧ φ(x, y)” typdefiniert Graph(f_{φ,X}) und ∃x(x ∈ X ∧φ(x, y)) typdefiniert Bild(f_{φ,X}). Bilder und Urbilder von A-Klassen unter A-Funktionen sind wieder A-Klassen und jede A-Funktion ist die Restriktion einer A-definierbaren Funktion auf eine A-Klasse. Ist Π̂(x) ⊃ Π(x), so ist φ auch funktional auf Π̂ und f_{φ,Π̂} ist gerade die Restriktion von f_{φ,Π} auf Π̂^{C}. So ”operiert” f = f_{φ,Π} auf den (partiellen) Fortsetzungen und insbesondere auf den globalen (vollständigen) Fortsetzungen von Π:

f(Π̂) sei der partielle Typ ∃x(Π̂(x) ∧ φ(x, y)

Ist Π̂) ein partieller Mengentyp, so ist wegen Saturiertheit f(Π̂)^{C} = f(Π̂^{C}) = Bild(f_{φ,Π̂}). Ist f : X → C eine Funktion, σ ein Automorphismus und definiert φ(x, y) die Wirkung von f, so definiert φ^{σ} die Wirkung von σ ∘ f ∘ σ^{−1} : X^{σ} → C, denn Graph(σ ∘ f ∘ σ^{−1}) = Graph(f)^{σ}. Ist f eine typdefinierbare Funktion, so bezeichne “f(x) = y” eine die Wirkung von f definierende Formel. Spreche ich von “f(x) = y”, so sei natürlich vorausgesetzt, daß f(x) = y ^{⊧} ∃!yf(x) = y (sonst macht die Notation keinen Sinn). Natürlich kann die Wirkung einer typdefinierbaren Funktion durch verschiedene Formeln definiert sein, deshalb sollte man - besonders wenn es um die verwendeten Parameter geht - Funktion und Formel auseinanderhalten. Es sei f eine definierbare Funktion und c_{f} ∈ C sei der Parameter der (definierbaren) Klasse Graph(f). c_{f} ist unabhängig von der Wahl der f definierenden Formel und für jede weitere definierbare Funktion f′ gilt: c_{f} = c_{f′} ⇔ f = f′, außerdem ist f genau dann A-definierbar, wenn c_{f} ∈ dcl(A). Das ganze klappt nicht, wenn der Definitionsbereich nur typdefinierbar ist, denn dann ist der Graph nur noch typdefinierbar, hat also keinen zugehörigen Parameter. Da hilft es auch nicht, die Funktion auf eine definierbare Klasse fortzusetzen, denn diese Fortsetzung ist abhängig von der f definierenden Formel.

Funktionstypen und vollständige Funktionen

2.5 Definition (1) Ein Paartyp p(x, y) nenne ich Funktionstyp, wenn er eine auf p(x) funktionale Formel enthält, p(y) nenne ich dann den Bildtyp von p.

(2) Eine Funktion heißt A-vollständig, wenn ihr Graph A-vollständig ist.

2.6 Lemma Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(1) tp(ab/A) ist ein Funktionstyp

(2) tp(ab/A)^{C} ist Graph einer Funktion

(3) Es gibt eine A-Funktion f : tp(a/A) → tp(b/A) mit f(a) = b

(4) b ∈ dcl^{A}(a)

Beweis b ∈ dcl^{A}(a) ⇔ es gibt eine A-Formel φ(x, y), so daß φ(a, y)^{C} = {b}, diese Formel ist dann funktional auf tp(a/A), der Rest ist damit klar. □

Eine vollständige A-Funktion f : tp(a/A) → tp(f(a)/A) ist genau dann injektiv, wenn a und f(a) A-interdefinierbar sind, f ist dann schon bijektiv und in diesem Fall nenne ich den Funktionstyp invertierbar. Die Eigenschaft, Funktionstyp zu sein, kann bei nichtforkender Restriktion zwar verlorengehen, aber im stationären Fall ist diese Eigenschaft ∥-invariant. Es gilt sogar

2.7 Lemma (1) Fortsetzungen von Funktionstypen sind Funktionstypen

(2) Ist p(x, y) ein Funktionstyp und basiert auf p_{0}(x, y), so ist auch p_{0}(x, y) ein Funktionstyp

Beweis (1) ist klar und (2) folgt mit dem dcl-Lemma (1.12) und der Äquivalenz (1) ⇔ (4) von oben (2.6). □

2.8 Lemma Es sei f : X → C eine Funktion, dann gilt: f ist A-vollständig ⇔ X ist A-vollständig und die Wirkung von f ist A-definierbar

Beweis Projektionen von A-vollständigen Klassen sind A-vollständig. Ist X = tp(a/A)^{C} und f A-definierbar, so ist Graph(f) = tp(a, f(a)/A)^{C}. □

Achtung, eine typdefinierbare Funktion auf einem vollständigen Typ muß nicht vollständig sein. Die vollständigen Funktionen sind das algebraische Pendant zu den realisierten Funktionstypen, denn offensichtlich liefert p(x, y) ↦ p(x, y)^{C} eine 1:1 Korrespondenz zwischen realisierten Funktionstypen (modulo logischer Implikation) und vollständigen Funktionen. Wegen der Invarianz (2.3) ist eine vollständige Funktion schon durch die Wirkung auf einen beliebigen Punkt (und ihren Definitionsbereich) festgelegt, d.h. für vollständige Funktionen f und f′ auf p gilt: f = f′ ⇔ es gibt ein a^{⊧}p : f(a) = f′(a). Die vollständigen A-Funktionen sind genau die (bezüglich der Inklusion) minimalen A-Funktionen und insofern die Bausteine für alle weiteren A-Funktionen, denn da A-invariante Klassen stets eine disjunkte Vereinigung von A-vollständigen Klassen sind, gilt das

2.9 Lemma Es sei f eine Funktion auf X: ist X A-invariant und die Wirkung von f ist A-definierbar, so ist f disjunkte Vereinigung von vollständigen A-Funktionen.

Die Kategorie der C-Klassen

Sind f und g komponierbare Funktionen, deren Wirkungen durch die Formeln φ(x, y) bzw. ψ(y, z) definiert werden, so definiert (ψ ∘ φ)(x, z) := ∃y(φ(x, y) ∧ ψ(y, z)) die Wirkung von g ∘ f und entsprechend ist die Komposition von A-Funktionen wieder eine A-Funktion und man erhält die Kategorie der typdefinierbaren Klassen, deren Morphismen typdefinierbare Funktionen sind. Inerhalb dieser Kategorie kann man einige der gewohnten Konstruktionen machen, d.h. die Typdefinierbarkeit bleibt dabei erhalten.

2.10 Lemma Es seien X und Y A-Klassen, f : X → Y und g : Y → C Funktionen, so daß g ∘ f eine A-Funktion ist:

(1) Ist f eine A-Surjektion, so ist g eine A-Funktion

(2) Ist g eine A-Injektion, so ist f eine A-Funktion

[figure: X; Y; Z; f; g ∘ f; g]

Beweis (1) Es gilt für alle y ∈ Y : g(y) = z ⇔ (es gibt ein x ∈ X : f(x) = y und (g ∘ f)(x) = z). Sind f und g ∘ f A-Funktionen, so wird Graph(g) A-typdefiniert durch “Y (y) ∧ ∃x (X(x) ∧ f(x) = y ∧ (g ∘ f)(x) = z)”

(2) Es gilt für alle x ∈ X : f(x) = y ⇔ (es gibt ein z ∈ Z : (g ∘ f)(x) = z und g(y) = z). Jetzt analog zu (1). □

Anwendung von (2) Die von einer A-Funktion f induzierte Faseräquivalenzrelation E_{f} auf dem Definitionsbereich X ist A-definiert durch f(x_{1}) = f(x_{2}). Da X A-typdefinierbar ist, stammt E_{f} von einer globalen A-Äquivalenzrelation (Kompaktheit) und hat somit eine eigene Sorte und die A-Projektion pr_{E_{f}}. X/E_{f} = {pr_{E_{f}} (a)| a ∈ X} ist dann (als Bild einer A-Klasse unter einer A-Funktion) A-Klasse und die induzierte Bijektion f̄: X/E_{f} → f(X) ist A-definierbar.

Das geht auch ganz allgemein: f : X → C sei eine Funktion, E_{1}, E_{2} seien A-Äquivalenzrelationen auf X bzw. auf C und f sei (E_{1}, E_{2})-verträglich (also stets aE_{1}b ⇒ f(a)E_{2}f(b)):

(1) X/E_{1} und f(X)/E_{2} sind A-Klassen

(2) die induzierte Surjektion f̃: X/E_{1} → f(X)/E_{2} ist A-definierbar.

[figure: X; C; X/E_{1}; C/E_{2}; f; pr_{1}; pr_{2}; f̃]

Uniforme Familien

Ich gebe nun einige Beispiele, was im Fall uniformer Familien passiert. Eine Auniforme Familie von Funktionen ist eine Familie F von Funktionen, zu der es eine A-Formel φ(x, y; z) gibt, so daß die Wirkung eines jeden f ∈ F durch φ(x, y, c_{f}) definiert wird, für ein geeignetes c_{f} ∈ C_{z}. Die Wirkung der Zuordnung (c_{f}, a) ↦ f(a) =: F (c_{f}, a) ist dann A-definiert durch y = f(a) ⇔ φ(a, y, c_{f}) (der Definitionsbereich ist ⋃_{f∈F}{c_{f}} × dom(f)). Ist dann P_{F} = {c_{f} | f ∈ F} und haben alle f ∈ F den Definitionsbereich X, so ist also die Wirkung der Funktion F : P_{F} × X → C A-definierbar und falls P_{F} und X A-Klassen sind, so ist F eine A-Funktion. Man beachte, daß dann für jedes feste c_{f} F (c_{f},.) : X → C die A-Funktion f ist, der Witz hier ist, daß man eine uniform (für alle c_{f}) definierte Funktion F hat. Ein Tupel (F_{1}, ..., F_{n}) von Funktionenfamilien nenne ich komponierbar, wenn für alle f_{i} ∈ F_{i} die Komposition f_{n} ∘ ... ∘ f_{1} definiert ist. F_{n} ∘ ... ∘ F_{1} sei dann die Familie aller dieser Kompositionen. Ist (F_{1}, ..., F_{n}) ein komponierbares Tupel von A-uniformen Funktionenfamilien, so ist auch F_{n} ∘ ... ∘ F_{1} A-uniform, und die Komposition der Funktionen entspricht der Konkatenation der Parameter:

\begin{matrix}φ_{1}(x_{1}, x_{2}, c_{1}), ..., φ(x_{n}, x_{n+1}, c_{n}) & ↦ & (φ_{n} ∘ ... ∘ φ_{1})(x_{1}, x_{n+1}, c_{1}...c_{n}) \\ (c_{1}, ..., c_{n}) & ↦ & c_{1}...c_{n} \\ P_{F_{1}} × ... × P_{F_{n}} & →^{Konkatenation} & P_{F_{1}∘...∘F_{n}} \end{matrix}

Es sei wieder φ(x, y; z) eine A-Formel, P eine A-Klasse und F = {φ(x, y, c)^{C} | c ∈ P} eine uniforme Familie von (definierbaren) Funktionen mit der A-Klasse X als gemeinsamem Definitionsbereich, f_{c} ∈ C sei der Parameter von φ(x, y, c).

Die Zuordnung c ↦ f_{c} ist also gerade eine kanonische Projektion und f_{c} = f_{c′} ⇔ φ(x, y, c)^{C} = φ(x, y, c′)^{C}. Für a ∈ X sei f(c, a) das b mit φ(a, b, c). Mit der Notation von oben hat man dann die folgende kommutative Situation, f ist dann auch eine A-Funktion.

[figure: P × X; f(P) × X; C; pr × id; F; f]

Wir haben also die Funktion F, die u.a. auf Parametern P operiert, zur Funktion f faktorisiert, die auf den Funktionen selber, das heißt auf den repräsentierenden Elementen f_{c}, operiert. Auch die Komposition findet man auf der Ebene der repräsentierenden Elemente wieder: Es seien F_{i} = {φ_{i}(x, y, c)^{C} | c ∈ P_{i}} uniforme Familien, alles seien A-Objekte. (F_{1}, ..., F_{n}) sei komponierbar, F = F_{n} ∘ ... ∘ F_{1} und P die entsprechende Parameterklasse, also die konkatenierten Tupel aus P_{1}× ... × P_{n}, dann faktorisiert die Konkatenation über den kanonischen Projektionen:

(f_{1,c_{1}}, ..., f_{n,c_{n}}) = (f_{1,c′_{1}}, ..., f_{n,c′_{n}}) ⇒ f_{c_{1}...c_{n}} = f_{c′_{1}...c′_{n}}

Definiert man dann f_{1,c_{n}} ∘ ... ∘ f_{n,c_{1}} := f_{c_{1}...c_{n}}, so wird ∘ : f_{1}(P_{1}) × ... × f_{n}(P_{n}) → f(P) zu einer A Funktion.

[figure: P_{1} × ... × P_{n}; P; f_{1}(P_{1}) × ... × f_{n}(P_{n}); f(P); Konkatenation; pr; pr; Komposition]

1.2.2 Die stationäre Theorie: Keime von Funktionen

Definierbare Funktionen leben, wie gesehen, in C, und hat man uniforme Familien, so ist die Situation noch besser. Andererseits bricht diese Theorie zusammen, wenn man nur noch mit typdefinierbare Funktionen arbeitet. Es ist aber möglich, unter Ausnutzung der Definierbarkeit von Typen (Stabilität), für definierbare Funktionen auf stationären Typen eine ähnliche Theorie zu entwickeln. Ich muß also erst sagen, welche Elemente von C die Funktionen repräsentieren (und in welchem Sinne sie das tun), dann kann ich schauen, was bei uniformen Familien geschieht. Nachdem ich die Theorie für die modelltheoretischen Objekte, nämlich ”p-funktionale Formeln” und ”p-Funktionstypen” dargestellt habe, werde mich noch kurz den eher algebraischen Objekten zuwenden, nämlich den ”p-Funktionen”. Die in diesem Kontext adäquaten algebraischen Objekte sind dann Äquivalenzklassen von “generisch identischen” p-Funktionen, ihnen entsprechen globale p-Funktionstypen (bzw. deren Parallelitätsklassen). Repräsentiert werden diese Objekte durch Elemente von C, “Keime”, die mit Hilfe der Definierbarkeit von Typen gewonnen werden. Im Gegensatz zum definierbaren Fall gibt es allerdings i.a. weder kanonische Keime, noch lassen sich die repräsentierten Objekte aus den Keimen zurückgewinnen. Es sei p = p(x) ein stationärer Typ, C seine kanonische Basis, p̂ seine globale nichtforkende Fortsetzung und p_{0} := p∥C. (Zur Erinnerung: ”p|A” bezeichnet die nichtforkende Fortsetzung von p auf A ∪ dom(p), ”p∥A” bezeichnet den zu p parallelen Typ in S(A), wobei stillschweigend angenommen wird, daß p A-definierbar ist.) Auch alle anderen Typen seien stationär.

p-funktionale Formeln

2.11 Definition (1) Eine Formel φ(x, y) nenne ich p-funktional, wenn φ(x, y) funktional auf p̂(x) ist (wenn also ∃!yφ(x, y) ∈ p̂(x))

(2) Zwei p-funktionale Formeln φ(x, y) und ψ(x, y) nenne ich p-äquivalent,

φ ∼_{p} ψ:⟺ ∀y, y′(φ(x, y) ∧ ψ(x, y′) → y = y′) ∈ p̂(x)

p-Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der p-funktionalen Formeln und wegen der Funktionalität gilt φ ∼_{p} ψ ⇔ ∃y(φ(x, y) ∧ ψ(x, y)) ∈ p̂. Die Klasse der p-funktionalen Formeln ist C-invariant.

2.12 Lemma Es sei φ(x, y; z) ∈ L(∅): Die Klasse D_{φ} der Parameter c, für die φ(x, y, c) p-funktional ist, ist C-definierbar und c ∼_{p} c′:⟺ φ(x, y, c) ∼_{p} φ(x, y, c′) definiert eine C-Äquivalenzrelation auf D_{φ}.

Beweis dp̂x∃!yφ(x, y; z) ∈ L(C) definiert die Klasse D_{φ}, denn für beliebiges c gilt: c^{⊧}dp̂x∃!yφ(x, y) ⇔ ∃!yφ(x, c) ∈ p̂ ⇔ φ(x, c) ist p-funktional. Genauso sieht man, daß ∼_{p} durch dp̂x(∃y(φ(x, y; z) ∧ φ(x, y; z′)) definiert wird. □

2.13 Definition Der Keim einer p-funktionalen Formel φ(x, y, c) sei der Parameter c̃ der definierbaren Klasse (z ∼_{p} c)^{C}.

Es sei von nun an A ⊃ Cb(p).

2.14 Korollar Für jede A-Formel φ(x, y; z) gilt:

(1) Die Funktion ˜ auf D_{φ}, die jedem c den Keim von φ(x, y, c) zuordnet, ist A-definierbar.

(2) Für c ∈ D_{φ} und σ ∈ Aut_{A} gilt: σ fixiert c̃ ⇔ φ(x, y, c) ∼_{p} φ(x, y, c^{σ})

[figure: {φ(x, y, c) | c ∈ D_{φ}}; D_{φ}; C; Keim; φ(x, y; z); ; ˜  im Monster; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

p-Funktionstypen

2.15 Lemma Ein Funktionstyp r(x, y) ist genau dann stationär, wenn r(x) stationär ist, dann ist auch r(y) stationär.

Beweis Das folgt alles unmittelbar aus dem Basiertheitslemma: Projektionen stationärer Typen sind stationär, ist andererseits r = tp(ab/A) und b ∈ dcl^{A}(a), dann ist mit tp(a/A) auch tp(ab/A) stationär. □

2.16 Definition (1) Einen Funktionstyp r(x, y) nenne ich p-Funktionstyp, wenn r stationär ist und r(x)∥p

(2) Es sei r ein p-Funktionstyp: κ ∈ C heißt ein Keim von r, wenn Cκ eine kanonische Basis von r ist.

(3) Für eine p-funktionale Formel φ(x, y) sei r_{φ(x,y)} der von p̂(x) ∧ φ(x, y) implizierte globale Typ.

Die Beziehung “r ist ein p-Funktionstyp” ist fur r und p ∥-invariant, insbesondere können p-Funktionstypen mit ihrer ∥-Klasse identifiziert werden. Ein beliebiger stationärer Paartyp r(x, y) ist folglich genau dann ein p-Funktionstyp, wenn es eine p-funktionale Formel φ(x, y) ∈ r gibt, so daß r_{φ} ⊃_{nf} r. Ist dann φ ∈ L(A), so ist r_{φ} AC-definierbar und für jedes a^{⊧}p|A gibt es ein b ∈ C, so daß r_{φ} = tp(ab/AC)|C. Die globale nichtforkende Fortsetzung des stationären Typs r(y) nenne ich den Bildtyp von r.

2.17 Lemma Es seien φ(x, y) und ψ(x, y) p-funktional: φ ∼_{p} ψ ⇔ r_{φ} = r_{ψ}

Beweis Es sei alles definiert über A ⊃ C und r_{φ}∥tp(ab/A), r_{ψ}∥tp(ab′/A): Ist φ ∼_{p} ψ, dann ∀y, y′ (φ(x, y) ∧ ψ(x, y′) → y = y′) ∈ p∥A = tp(a/A), also ⊧∀y, y′ (φ(a, y) ∧ ψ(a, y′) → y = y′). Aber (b, b′)^{⊧}φ(a, y) ∧ ψ(a, y′), also

b = b′ und r_{φ} = r_{ψ}.

Ist umgekehrt r = r′, so tp(ab/A)=tp(ab′/A), also b′^{⊧}tp(b/Aa). Aber b ∈ dcl^{A}(a) (2.6), deshalb b′ = b und (a, b)^{⊧}φ(x, y) ∧ ψ(x, y), also ∃y (φ(x, y) ∧ ψ(x, y)) ∈ tp(a/A) ⊂ p̂, d.h. φ ∼_{p} ψ. □

2.18 Lemma Jeder p-Funktionstyp hat einen Keim, dieser ist bis auf C-Interdefinierbarkeit eindeutig.

Beweis Es sei r∥r_{φ}, dann ist der Keim von φ ein Keim von r, denn für σ ∈ Aut gilt: σ fixiert C und den Keim von φ ⇔ σ fixiert p̂ und (wegen 2.14) φ ∼_{p} φ^{σ} ⇔ (r_{φ})^{σ} = r_{φ^{σ}} und r_{φ^{σ}} = r_{φ} ⇔ σ fixiert r_{φ}. Da nach Definition jeder Keim von r C-Interdefinierbar mit Cb(r) ist, ist die “Eindeutigkeit” klar. □

2.19 Korollar Keime von p-äquivalenten Formeln sind C-interdefinierbar.

Der Witz ist, daß hier auch Keime bezüglich verschiedener zugrundeliegender Formeln gemeint sind. Achtung, die Unkehrung ist leider falsch: haben zwei pfunktionale Formeln C-interdefinierbare Keime, so müssen sie noch nicht p-äqui-valent sein. Sind etwa a und b interdefinerbar über A, etwa durch die A-Formel φ(x, y) und ist ψ(y, x) := φ(x, y), so ist φ(x, y) stp(a/A)-funktional und ψ(y, x) ist stp(b/A)-funktional. Aber beide Formeln haben denselben Keim, falls also p = stp(a/A) = stp(b/A), so haben wir ein einfaches Gegenbeispiel.

Komposition von Keimen

Eine p→q funktionale Formel ist eine p-funktionale Formel, deren Bildtyp parallel zu q ist (der Bildtyp einer p-funktionalen Formel ist natürlich der Bildtyp des zugehörigen p-Funktionstyps). Sind φ_{i}(x_{i}, x_{i+1}) p_{i}→p_{i+1} funktionale Formeln, so ist (φ_{n} ∘ ... ∘ φ_{1})(x_{1}, x_{n+1}) = ∃x_{2}...x_{n}(⋀ φ_{i}(x_{i}, x_{n+i})) eine p_{1}→p_{n+1} funktionale Formel. Die Komposition der Formeln entspricht dann wieder der Konkatenation der Parameter:

\begin{matrix}φ_{1}(x_{1}, x_{2}, c_{1}), ..., φ(x_{n}, x_{n+1}, c_{n}) & ↦ & (φ_{n} ∘ ... ∘ φ_{1})(x_{1}, x_{n+1}, c_{1}...c_{n}) \\ (c_{1}, ..., c_{n}) & ↦ & c_{1}...c_{n} \\ D_{φ_{1}} × ... × D_{φ_{n}} & →^{Konkatenation} & D_{φ_{n}∘...∘φ_{1}} \end{matrix}

2.20 Lemma Es seien φ_{i}(x, y) p→q funktional und ψ_{i}(y, z) q-funktional und φ_{1} ∼_{p} φ_{2}, dann

ψ_{1} ∼_{q} ψ_{2} ⟺ ψ_{1} ∘ φ_{1} ∼_{p} ψ_{2} ∘ φ_{2}

Beweis Es sei alles definiert über A und (a, b)^{⊧}r_{φ_{1}}∥A =^{V or} r_{φ_{2}}∥A, dann b^{⊧}q∥A und es gibt c_{i}, so daß (b, c_{i})^{⊧}r_{ψ_{i}}∥A. Dann (a, c_{i})^{⊧}r_{ψ_{i}∘φ_{i}} und ψ_{1} ∼_{q} ψ_{2} ⇔ r_{ψ_{1}} = r_{ψ_{2}} ⇔ c_{1} = c_{2} ⇔ r_{ψ_{1}∘φ_{1}} = r_{ψ_{2}∘φ_{2}} ⇔ ψ_{1} ∘ φ_{1} ∼_{p} ψ_{2} ∘ φ_{2} □

2.21 Korollar Die Konkatenation der Parameter faktorisiert über der Keimbildung und die dadurch entstehende Komposition von Keimen erlaubt Rechtskürzung.

[figure: D_{φ_{1}} × ... × D_{φ_{n}}; D_{φ_{n}∘...∘φ_{1}}; D^{φ_{1}}/∼_{p} × ... × D^{φ_{n}}/∼_{p}; D^{φ_{n}∘...∘φ_{1}}/∼_{p}; Konkatenation; pr; pr; Komposition]

Sind alle Formeln aus L(A), so ist also die Keimkomposition eine A-Funktion. Ist φ(x, y; z) eine p→p funktionale A-Formel, so ist also ∘ : D_{φ}^{n} → D_{φ^{n}} für jedes n eine A-definierbare Funktion. Es macht also noch keinen Sinn, von “Abgeschlossenheit” der Komposition zu sprechen, da die komponierten Keime in einer anderen Sorte liegen, D_{φ^{n}} ≠ D_{φ}. Ist aber X ⊂ D_{φ} derart, daß es für jedes c̄ ∈ X^{n} ein c ∈ D_{φ} gibt, so daß φ^{n}(x, y, c̄) ∼_{p} φ(x, y, c) dann ist ∘ : X^{n}/∼_{p} → X/∼_{p}, ˜ (c_{1}, ..., c_{n}) ↦ c̃ ⟺ φ^{n}(x, y, c̄) ∼_{p} φ(x, y, c) eine Funktion mit A-definierbarer Wirkung, denn c̃ ist nach Definition eindeutig festgelegt: φ^{n}(x, y, c̄) ∼_{p} φ(x, y, c_{1}) und φ^{n}(x, y, c̄) ∼_{p} φ(x, y, c_{2}), so φ(x, y, c_{1}) ∼_{p} φ(x, y, c_{2}) und c̃_{1} = c̃_{2}.

[figure: X^{n}; X; D_{φ^{n}}; ∘; ∘; pr]

Das ist wichtig bei der Konstruktion von Gruppen, weil man auf diese Weise (typ)definierbare Halbgruppen mit Rechtskürzung bekommen kann, denn ∘ ist offensichtlich assoziativ und erlaubt Rechtskürzung. Definiert man auf offensichtliche Weise eine Komposition von globalen Funktionstypen (oder stationären Funktionstypen oder ihren ∥-Klassen: r_{ψ} ∘r_{φ} := r_{ψ∘φ}), so besagt das Lemma, daß diese Komposition wohldefiniert ist und Rechtskürzung erlaubt. Insbesondere entsteht so die Kategorie der stationären Typen (globalen Typen, ∥-Klassen), deren Morphismen stationäre Funktionstypen sind (die entsprechende parameterabhängige Kategorie ist die der A-Typen mit A-Funktiones-typen, diese ist, geht man zu den Realisierungen über, eine Unterkategorie der Kategorie der C-Klassen).

p-Funktionen

2.22 Definition (1) Eine p-Funktion ist eine typdefinierbare Funktion, deren Definitionsbereich gerade ein (p∥A)^{C} ist (für ein A ⊃ C).

(2) Zwei p-Funktionen nenne ich p-äquivalent (generisch identisch), wenn sie auf einem (p∥A)^{C} (A ⊃ C geeignet) übereinstimmen.

(3) Ist f eine p-Funktion, so heißt κ ∈ C ein Keim von f, wenn für alle σ ∈ Aut_{C} gilt: σ fixiert κ ⇔ f ∼_{p} f^{σ}

Stellt man sich die (p∥A)^{C} als Umgebungen von p̂ vor, so sind zwei p-Funktionen genau dann p-äquivalent, wenn sie auf einer Umgebung von p̂ übereinstimmen, daher der Begriff ”Keim”. Ist φ(x, y, c) p-funktional, so sei f_{φ(x,y,c)} die auf p_{0}|c definierte Cc-Funktion. Dann gilt für beliebige p-funktionale Formeln φ(x, y, c), ψ(x, y, d): φ ∼_{p} ψ ⇔ f_{φ} ∼_{p} f_{ψ} ⇔ es gibt ein a^{⊧}p_{0}|cd mit f_{φ}(a) = f_{ψ}(a) ⇔ f_{φ} = f_{ψ} auf p_{0}|cd. Deshalb ist der Keim von φ(x, y, c) ein Keim von f_{φ} und er liegt in dcl^{C}(c). Jede p-Funktion hat also einen bis auf C-Interdefinierbarkeit eindeitigen Keim. Ist andererseits f eine p-Funktion, so ist f(x) = y p-funktional, f induziert den globalen p-Funktionstyp r_{f} := r_{f(x)=y} und für beliebige p-Funktionen f, f′ gilt: f ∼_{p} f′ ⇔ r_{f} = r_{f′}. Der Bildtyp von f sei der (globale) Bildtyp von r_{f}. Ist r ein globaler p-Funktionstyp, dann sei f_{r} die durch r_{|Cb(r)} definierte p-Funktion sie ist eine (bezüglich der Inklusion) maximale vollständige p-Funktion: r = r_{φ}, so f_{r} ⊃ f_{φ}. Insgesammt erhalten wir also eine kanonische 1:1 Korrespondenz zwischen ∼_{p}- Klassen von p-funktionalen Formeln, (Parallelitätsklassen von) p-Funktionstypen und ∼_{p}-Klassen von p-Funktionen, wobei es in den letzten beiden Fällen kanonische Repräsentanten gibt (globale p-Funktionstypen und maximale vollständige p-Funktionen). Außerdem ist jeder dieser Äquivalenzklassen eine Klasse von C-interdefinierbaren Elementen von C zugeordnet, nämlich die Klasse der entsprechenden Keime. Eindeutigkeit der Keime bekommt man, wenn die relevanten Formeln im Hintergrund fixiert bleiben, etwa bei uniformen Familien. Leider kann ein Funktionstyp aus seinen Keimen nicht zurückgewonnen werden.

[figure: .; .; .; .; p-funktionale Formeln; p-Funktionstypen; p-Funktionen; r = r_{φ}; f_{r}; f_{φ}; φ; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; im Monster; Keime]

Im allgemeinen muß eine p-Funktion nicht vollständig sein, obwohl oft nur die “generische Operation” von f von Interesse ist, d.h. die Operation von f auf (p∥Ac)^{C}, wobei f Ac-definierbar ist. Andererseits ist manchmal gerade der folgende Unterschied zwischen f auf (p∥A)^{C} und auf (p∥Ac)^{C} interessant: ist a^{⊧}p∥Ac und q = stp(f(a)/A), so muß f keine p→q Funktion sein, denn das ist sie dann und nur dann, wenn tp(f(a)/Ac)∥q, wenn also f(a) | ⌣_{A} c. Sind also p, q ∈ St(A), so hat der Begriff “p→q Funktion” eine nicht zu vernachlässigende Schärfe (für Funktionen, die nicht A-definierbar sind), an die man sich zum Beispiel bei der Behandlung generischer Typen in Gruppen erinnern sollte:

a | ⌣_{A} c ⟹ f(a) | ⌣_{A} c

Übrigens bekommt man mit Hilfe von Morleyfolgen noch eine Information über Keime: ist (a_{i})_{ω} eine Morleyfolge in p∥Af̃, so ist (a_{i}, f(a_{i}))_{ω} eine Morleyfolge in r_{f}∥Af̃ und folglich f̃ ∈ dcl(a_{1}, ..., a_{n}, f(a_{1}), ..., f(a_{n})) für ein geeignetes n.

1.3 Kombinatorische Geometrien

Dieses Kapitel ist rein algebraisch und ich werde recht ausführlich sein. In der kombinatorischen Geometrie axiomatisiert man den Begriff des n-dimensionalen Unterraums, wobei beliebige Schnitte von Unterräumen wieder Unterräume sind, so hat man den Begriff des erzeugten Unterraums, also einen Abschlußoperator. Ineinander enthaltene (endlich dimensionale) Räume sollen durch ihre Dimension unterscheidbar sein und die Dimension des Erzeugnisses zweier Räume soll durch die Dimensionen der Räume und ihres Schnittes kontrolliert sein, wobei diese Situation im modularen Fall optimal ist. Obwohl das Kapitel mit “Geometrien” überschrieben ist, sind schon “Prägeometrien” hinreichend geeignete Strukturen. Am Ende werde ich den Begriff der Prägeometrie verallgemeinern und “gewichtete Räume” einführen.

1.3.1 Abschlußstrukturen

Ich denke, daß Abschlußoperatoren bekannt sind, sie sind gewissermaßen das Extrakt aus den Begriffen (i) der “erzeugten Substruktur” aus der Algebra und (ii) der “abgeschlossenen Menge” aus der Topologie. Deshalb sind algebraische Strukturen und topologische Räume “Abschlußstrukturen”.

3.1 Definition (1) Ein Abschlußoperator cl auf einer (nichtleeren) Menge U ist eine inflationäre, monotone und idempotente Abbildung cl : P ot(U) → P ot(U) (also cl(X) ⊃ X, X ⊂ Y ⇒ cl(X) ⊂ cl(Y), cl^{2} = cl). cl heißt trivial, wenn cl(X) = ⋃_{x∈X} cl(x) (für X ⊂ U), cl heißt diskret, wenn cl = id_{P ot(U)}. Das Paar U = (U, cl) heißt dann (triviale; diskrete) Abschlußstruktur

(2) I ⊂ U heißt unabhängig (in U), wenn für jedes i ∈ I gilt: i ∉ cl(I\{i})

(3) E ⊂ U heißt Erzeugendensystem (von U), wenn cl(E) = U

(4) a, b ∈ U heißen aquivalent (in U),a ∼_{cl} b, wenn cl(a) = cl(b)

Beispiel ((S(A), acl) und (S(A), dcl) sind triviale Abschlußstrukturen): Es sei R ⊂ U ×U reflexiv und transitiv, dann wird durch cl(Y) := {x ∈ U | R(x, y) für ein y ∈ Y } ein trivialer Abschlußoperator auf U definiert. Daher induzieren acl und dcl triviale Abschlußoperatoren auf jedem S(A), wobei acl(p, q) :ngdw es gibt a^{⊧}p b^{⊧}q : b ∈ acl(Aa) für p, q ∈ S(A) , dcl(p) entsprechend). Da im Falle trivialer Abschlußoperatoren die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen ist, sind triviale Abschlußstrukturen Topologische Räume, in der die offenen (!) Mengen gerade die “cl(X)” sind. Das rechtfertigt topologische Sprechweisen im Zusammenhang mit (S(A), acl) und (S(A), dcl). Es sei U von nun an eine Abschlußstruktur und alle Punkte (Elemente) und Mengen seien aus U. Ein Element ist unabhängig, wenn es nicht in cl(∅) liegt, zwei Mengen nenne ich fast disjunkt, wenn ihre Abschlüsse so disjunkt wie möglich sind, sich also höchstens in cl(∅) schneiden. Die Begriffe “unabhängig” und “Erzeugendensystem” sind denen aus der linearen Algebra abgeguckt. Ein Erzeugendensystem ist genau dann minimal, wenn es unabhängig ist, es ist dann eine maximal unabhängige Menge, aber eine maximal unabhängige Menge muß kein Erzeugendensystem sein und minimale Erzeugendensysteme können verschiedene Kardinalität haben.

Beispiel Sind (U, cl) und (U′, cl′) Abschlußstrukturen (etwa mit cl(∅) = cl′(∅) = ∅), so auch (U ∪^{.} U′, c̃l), wobei c̃l(X) := cl(X) ∪^{.} cl′(X), falls X ⊂ U oder X ⊂ U′ und c̃l(X) := U ∪^{.} U′ sonst. Vereinigt man auf diese Weise zwei triviale Abschlußstrukturen, so gewinnt man (ziemlich triviale) ”Gegenbeispiele”: V sei auf diese Weise konstruiert aus (W, id) und ({p}, id) (wobei W eine Menge mit mindestens 2 Elementen ist), dann ist W eine maximal unabhängige Menge in V, die kein Erzeugendensystem ist. Will man minimale Erzeugendensysteme von verschiedener Größe, so sei der Abschluß von W einfach als ganz V definiert (cl bleibt dann ein Abschlußoperator), dann ist W ein minimales Erzeugendensystem und auch {x, p} für jedes x ∈ W.

Abschlußstrukturen haben “Substrukturen” und “Quotienten”, für X ⊂ U seien cl_{X} und cl∩X wie folgt definiert: für Y ⊂ U sei cl_{X}(Y) := cl(XY) und für Y ⊂ X sei (cl ∩X)(Y) := cl(Y)∩X, dann ist cl_{X} ein Abschlußoperator auf U und cl ∩X einer auf X. Wenn ich ”(X, cl)” schreibe, dann ist natürlich ”(X, cl∩X)” gemeint.

3.2 Definition Sei U eine Abschlußstruktur und X ⊂ U, dann heißt U/X := (U, cl_{X}) die Lokalisierung von U an X und U ∩ X := (X, cl ∩ X) ist ein Unterraum von U (U\X := U ∩ (U\X))

Die folgenden Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen:

(1) (U/X_{1})/X_{2} = U/X_{1}X_{2}, (U ∩ X_{1}) ∩ X_{2} = U ∩ (X_{1} ∩ X_{2})

(2) U/∅ = U, U/X = U/cl(X)

(3) X_{0} ⊂ X, so (U ∩ X)/X_{0} = (U/X_{0}) ∩ X Achtung, (3) wird falsch, sogar sinnlos, wenn man auf die Voraussetzung “X_{0} ⊂ X” verzichtet. Selbst “(U ∩ X)/(cl(X_{0}) ∩ X) = (U/X_{0}) ∩ X” gilt nicht allgemein, zum Beispiel gilt für das Beispiel V von oben: (V/p) ∩ W ≠ (V ∩ W)/(c̃l(p) ∩ W) (denn im ersten Raum sind nur ∅ und W abgeschlossen, der zweite Raum ist diskret).

Nun können die Begriffe von oben übertragen werden: I heißt unabhängig in X über Y, wenn I unabhängig in (U/Y) ∩ X ist, das ist genau dann der Fall, wenn I ⊂ X und I unabhängig/Y. Ist eine Menge unabhängig in einer Lokalisierung, so auch in U. Eine Menge E erzeugt X über Y, wenn E ein Erzeugendensystem von (U/Y) ∩ X ist, das ist genau dann der Fall, wenn E ⊂ X und E ⊂ cl(Y E). Ich denke, das ist alles ziemlich klar, man braucht nur im Kopf behalten, daß erst lokalisiert wird, dann geschnitten.

3.3 Definition Ein Abschlußoperator heißt algebraisch, wenn stets gilt: a ∈ cl(X) ⇒ a ∈ cl(X_{0}) für ein endliches X_{0} ⊂ X. Eine Abschlußstruktur heißt algebraisch, wenn ihr Abschlußoperator algebraisch ist.

Die meisten in der Algebra vorkommenden Abschlußstrukturen sind algebraisch, sie haben einen endlichen Charakter (anders in der Topologie, man betrachte X = Q ⊂ U = IR). Achtung: in jeder Abschlußstruktur ist jede abgeschlossene Menge gerade die Vereinigung ihrer endlich erzeugten abgeschlossenen Teilmengen, Algebraizität ist eine strengere Forderung. Ist U algebraisch, so auch jede Lokalisierung und jeder Unterraum.

1.3.2 Prägeometrien

Grundlegend für die lineare Algebra ist der Austauschsatz von Steinitz. Es zeigt sich, daß Abschlußoperatoren, die das “Austauschaxiom” erfüllen, die Abschlußstruktur schon so gut machen, daß ein Dimensionsbegriff definierbar ist.

3.4 Definition Das Austauschaxiom lautet: ∀a, b, X : a ∉ cl(X) ∧ a ∈ cl(Xb) ⇒ b ∈ cl(Xa) Eine algebraische Abschlußstruktur heißt Prägeometrie, wenn ihr Abschlußoperator das Austauschaxiom erfüllt.

Die Standardbeispiele

(1) Es sei K ein Schiefkörper und V ein Vektorraum über K, V ist dann mit dem Operator ”X ↦ der von X erzeugte Unterraum” eine Prägeometrie. Das gleich gilt für affine und projektive Räume.

(2) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, dann ist K mit dem Operator ”X ↦ der von X erzeugte algebraisch abgeschlossene Unterkörper” eine Prägeometrie.

(3) Jede diskrete Abschlußstruktur ist eine triviale Prägeometrie.

3.5 Fakt In einer Prägeometrie ist jede maximal unabhängige Menge ein Erzeugendensystem und alle maximal unabhängigen Mengen haben die gleiche Kardinalität.

Eine maximal unabhängige Teilmenge einer Prägeometrie U heißt Basis, Basen sind also gerade die minimalen Erzeugendensysteme. Die Kardinalität einer Basis ist eine Invariante der Prägeometrie, sie wird die Dimension, dim(U), genannt. Die Austauscheigenschaft vererbt sich auf Lokalisierungen und auf Unterräume (auch, wenn diese nicht abgeschlossen sind), also sind Lokalisierungen und Unterräume von Prägeometrien wieder Prägeometrien. Für X, Y ⊂ U sei dim_{Y} (X) := dim(X/Y) := dim((U/Y) ∩ X), eine Basis von (U/Y) ∩ X nenne ich eine Basis von X über Y, sie ist eine maximal unabhängige/Y Teilmenge von X. Eine endliche Menge I ist genau dann unabhängig/Z, wenn dim_{Z}(I) = #I. Wie in der linearen Algebra zeigt man die Gültigkeit der folgenden

3.6 Eigenschaften

(0):  dim(X/X) = 0
(cl_{1}):  x ∈ cl(X) ⇔ dim(x/X) = 0
(cl_{2})  dim(X/Y) = dim(cl(X)/Y) = dim(X/cl(Y))
(Monotonie): Y_{0} ⊂ Y, so dim(X/Y_{0}) ≥ dim(X/Y)
(Additivität): dim(XY) = dim(X/Y) + dim(Y)
(endl Char_{1}): dim(X) endlich ⇔ dim(X) = dim(X_{0}) für ein endl. X_{0} ⊂ X
(endl Char_{2}): dim(X) endlich, dann gibt es für alle Y ein endliches Y_{0} ⊂ Y,
so daß dim(X/Y) = dim(X/Y_{0})

Beweis von (endlicher Charakter_{2}): Es sei I eine endliche Basis von X und I_{0} eine Basis von I über Y, dann dim(X/Y) = dim(I/Y) = dim(I_{0}Y) = #I_{0}. Dann ist jedes j ∈ I\I_{0} abhängig von I_{0} über Y und j ∈ cl(I_{0}Y), es gibt also ein endliches Y_{j} ⊂ Y, so daß j ∈ cl(I_{0}Y_{j}). Es sei Y_{0} = ⋃_{j∈I\I_{0}} Y_{j}, dann ist I_{0} immer noch unabhängig über Y_{0}, aber I ⊂ cl(I_{0}Y_{0}), also ist I_{0} eine Basis von I über Y_{0} und #I_{0} = dim(I^{0}/Y_{0}) = dim(I/Y_{0}) = dim(X/Y_{0}) und Y_{0} ist endlich. Diese Eigenschaften gelten natürlich auch für “dim_{Z}, cl_{Z}” an Stelle von “dim, cl”. Die Dimensionen müssen nicht endlich sein, jedoch sind sie hauptsächlich im endlich dimensionalen wirklich nützlich. Nun will ich doch noch sagen, was eine (kombinatorische) Geometrie ist:

3.7 Definition Eine Prägeometrie heißt Geometrie, wenn jeder Punkt unabhängig und abgeschlossen ist (d.h. wenn cl(∅) = ∅ und für alle x : cl(x) = {x})

Die (als Abschlußstruktur) trivialen Geometrien sind genau die diskreten Abschlußstrukturen. Affine und projektive Räume sind Geometrien, Vektorräume aber nicht. Aber so wie man aus der Prägeometrie des Vektorraums durch Übergang zum projektiven Raum eine Geometrie macht, kann jeder Prägeometrie ganz kanonisch eine Geometrie zugeordnet werden: zuerst schmeißt man die abhängigen Punkte raus, dann identifiziert man äquivalente Punkte: ist U eine Prägeometrie, so sei G(U) := (U\cl(∅)/∼, c̃l), wobei a ∼ b ⇔ cl(a) = cl(b) und x̃ ∈ c̃l(X̃):⟺ x ∈ cl(X). Das ist wohldefiniert, weil in Prägeometrien, und deshalb auch in allen Lokalisierungen, alle unabhängigen Punkte in eindimensionalen Räumen cl-äquivalent sind; G(U) ist dann wieder eine Prägeometrie. Nach Konstruktion ist G(U) dann eine Geometrie. In einer Geometrie sind die eindimensionalen abgeschlossenen Räume genau die Punkte, die zweidimensionalen abgeschlossenen Räume heißen Geraden (u.s.w.), das unterscheidet sich allerdings vom Dimensionsbegriff aus der affinen Geometrie, dort sind die zweifach erzeugten Räume zwar auch Geraden, aber eindimensional (also: affine Dimension = kombinatorische Dimension - 1). Induzieren zwei Prägeometrien U_{1}, U_{2} isomorphe Geometrien, so schreibe ich U_{1} ∼ U_{2}. Viele Eigenschaften von Prägeometrien werden über den Verband der Unterräume definiert. Dieser Verband ist kanonisch isomorph zum Unterraumverband der zugehörigen Geometrie, deshalb sind solche Eigenschaften schon Eigenschaften der gesammten ∼-Klasse. Prägeometrien können auf viele Weisen axiomatisiert werden, zum Beispiel durch eine Abhängigkeitsrelation |̸ ⌣ ⊂ U × P ot(U), welche die “van der Waerden-Axiome” (siehe z.B. [?, Kapitel 13]) erfült. Definiert man dann cl(X) := {x ∈ U|x |̸ ⌣ X}, so ist (U, cl) eine Prägeometrie. Andererseits ist (U, cl) genau dann eine Prägeometrie, wenn die Relation ”∈ cl” die van der Waerden-Axiome erfüllt. Ebenso ist eine Prägeometrie durch die Dimensionsfunktion festgelegt und auch durch den Begriff ”unabhängige Menge” (d.h. alle diese Begriffe lassen sich durch jeweils nur einen gegebenen Begriff definieren).

Reguläre Typen

Ist P eine Teilklasse des Monsters, so kann man auf offensichtliche Weise |̸ ⌣_{A} ⊂ P × P ot(P) als eine Relation betrachten (für beliebige A) und erhält so die Struktur (P, |̸ ⌣_{A}), deren Eigenschaften man rein algebraisch untersuchen kann. Manchmal ist es hilfreich, die Forkingrelation als einen Operator zu betrachten: |̸ ⌣_{A} : P ot(P) → P ot(P), B ↦ |̸ ⌣_{A} B := {a ∈ P | a |̸ ⌣_{A} B}. Es ist bekannt, daß die Forkingrelation symmetrisch ist und (wegen Transitivität) die Austauscheigenschaft besitzt:

a | ⌣_{A} B und a |̸ ⌣_{A} Bb ⇒ b |̸ ⌣_{A} Ba

Ist P die Realisierungsklasse eines nichtalgebraischen Typs p ∈ S(A), so ist |̸ ⌣_{A} auf P auch reflexiv (für “(P, |̸ ⌣_{A})” schreibe ich auch “(p, |̸ ⌣_{A})”). Alles, was wir also noch brauchen, damit (P, |̸ ⌣_{A}) eine Prägeometrie ist, ist die Transitivität (nicht mit der Forkingtransitivität zu verwechseln):

a |̸ ⌣_{A} B und alle b |̸ ⌣_{A} C ⇒ a |̸ ⌣_{A} C

Schreibt man |̸ ⌣_{A} als Operator, dann sieht Transitivität so aus: a ∈ |̸ ⌣_{A} B und B ⊂ |̸ ⌣_{A} C, so a ∈ |̸ ⌣_{A} C. Es ist bekannt, daß diese Transitivität genau dann auf P erfüllt ist, wenn p regulär ist, es gilt also 3.8 Fakt

Es sei p ∈ S(A): p ist genau dann regulär, wenn (p^{C}, |̸ ⌣_{A}) eine Prägeometrie ist.

Es sei p ∈ St(A) regulär, dann kann die Prägeometrie (p, |̸ ⌣_{A}) wie üblich nach X ⊂ p^{C} lokalisiert werden, man erhält dann die Prägeometrie (p, |̸ ⌣_{A}X) (nicht (p, |̸ ⌣_{AX}), das ist gar keine Prägeometrie). Die Frage, welche Eigenschaften beim Lokalisieren erhalten bleiben ist i.a. eine rein algebraische Frage. Der einzige Unterschied jedoch zwischen der Lokalisierung und der Prägeometrie (p|X, |̸ ⌣_{AX}) ist, daß es im ersten Fall abhängige Elemente gibt, nämlich die a^{⊧}p mit a |̸ ⌣_{A} X. Daraus folgt, daß die Lokalisierung dieselbe Geometrie hat, wie die nichtforkende Fortsetzung: (p, |̸ ⌣_{A}X) ∼ (p|X, |̸ ⌣_{AX}). Daher kann man auch nach beliebigen Parametern “lokalisieren”, d.h. für beliebiges B ⊃ A kann man (p|B, |̸ ⌣_{B}) als “Lokalisierung” von (p, |̸ ⌣_{A}) auffassen. Wie diese “Lokalisierungen” aussehen, ist dann eine modelltheoretische Frage. Ist zum Beispiel p ein nichttrivialer regulärer Typ, so ist auch jede nichtforkende Fortsetzung nichttrivial (wie man durch “hochziehen” eines die Trivialität zerstörenden Tupels sofort sieht). Trivialität vererbt sich aus algebraischen Gründen auf echte Lokalisierungen, daß sie sich auf beliebige nichtforkende Fortsetzungen vererbt kann ich erst später zeigen. Angenommen p^{⊧}p|B, dann ist zwar p^{C} = (p|B)^{C}, aber es gilt nicht notwendig (p, |̸ ⌣_{A}) = (p|B, |̸ ⌣_{AB}), denn diese Gleichheit gilt genau dann, wenn zusätzlich der Begriff der unabhängigen Menge in beiden Strukturen übereinstimmt. Da jede in p|B unabhängige Menge auch unabhängig in p ist, gilt also

(p, |̸ ⌣_{A}) = (p|B, |̸ ⌣_{AB}) ⇔ für alle I ⊂ p^{C} : (I unabhängig/A ⇒ I unabhängig/AB)

Das ist sicherlich erfüllt, wenn p^{C} | ⌣_{A} B, aber diese Forderung ist echt stärker. Es lohnt sich, den Unterschied kurz zu beleuchten: falls p^{C} | ⌣_{A} B, so gilt für alle X, Y ⊂ p^{C}: X |̸ ⌣_{A} Y ⇔ X |̸ ⌣_{AB} Y, für die Identität der Abschlußstrukturen reicht hingegen. daß für alle x ∈ p^{C}, Y ⊂ p^{C} x |̸ ⌣_{A} Y ⇔ x |̸ ⌣_{AB} Y gilt.

1.3.3 Unabhängigkeit

In affinen Räumen gibt es parallele Geraden, also gibt es 4 Punkte a, b, c, d, so daß dim(ab) = dim(cd) = 2 und cl(ab) ∩ cl(cd) = ∅, aber dim(abcd) ≠ 4. Ich werde nun eine Unabhängigkeitsrelation zwischen Unterräumen einführen, die stärker ist als fast Disjunktheit.

3.9 Definition Eine endliche Familie von endlich dimensionalen abgeschlossenen Unterräumen einer Prägeometrie heißt unabhängig, wenn die Dimension des von ihr erzeugten Unterraums gleich der Summe der Dimensionen der einzelnen Räume ist.

Man kann die Definition dann sofort auf beliebige Familien von Mengen ausdehnen, indem man von jeder endlichen Teilfamilie von endlichen Teilmengen die Unabhängigkeit der jeweils erzeugten Unterräume fordert: {X_{i} | i ∈ I} ist genau dann unabhängig, wenn für alle endlichen I_{0} ⊂ I und für alle endlichen X_{i,0} ⊂ X_{i} gilt: dim(⋃_{I_{0}} X_{i,0}) = ∑_{I_{0}} dim(X_{i,0}). Ich habe den Begriff so speziell definiert, um ihn in den richtigen Kontext zu stellen. Man sollte ihn auch nicht mit dem früheren Begriff der unabhängigen Menge verwechseln, obwohl eine offensichtliche Verwandschaft besteht: eine (endliche) Menge I ist genau dann unabhängig, wenn sie als Familie von Singeltons unabhängig ist, wenn also dim(I) = #I.

3.10 Lemma Es seien X, Y ⊂ U: X ist genau dann unabhängig von Y, wenn für alle endlichen, unabhängigen I ⊂ X, J ⊂ Y gilt: dim(IJ) = #I + #J

Beweis Umabhängigkeit vererbt sich auf Teilmengen: sind X und Y voneinander unabhängig und Y_{0} ⊂ Y, OE Y endlich, so dim(X) =^{V or} dim(X/Y) ≤ dim(X/Y_{0}) ≤ dim(X), also dim(X/Y_{0}) = dim(X), d.h X und Y_{0} sind voneinander unabhängig, entsprechend auch X_{0} und Y_{0}. Die Umkehrung gilt wegen der Existenz von Basen: es seien I und J (OE endliche) Basen von X bzw. Y,

dann dim(X) + dim(Y) = dim(I) + dim(J) =^{V or} dim(IJ) ≤ dim(XY) ≤

dim(X) + dim(Y), X und Y sind also voneinander unabhängig. □

In unendlich Dimensionalen kann man die Unabhängigkeit natürlich nicht mehr an der Dimension ablesen: ist X ein unendlich dimensionaler Unterraum und y ∉ cl(X), so sind X und {y} voneinander abhängig, obwohl dim(Xy) = dim(X) + dim(y). Sind I und J jeweils unabhängig und auch voneinander unabhängig, so ist auch IJ unabhängig (die Umkehrung gilt auch, wenn man IJ als Konkatenation von Tupeln liest, auf diese Weise kann die Unabhängigkeit von Räumen auch über den Begriff des “unabhängigen Tupels” definiert werden, es wird aber im übernächsten Parapraphen klar, warum ich mich für diese Variante entschieden habe). I ist genau dann unabhängig über Z, wenn dim(I/Z) = #I, folglich gilt für unabhängiges I: I ist genau dann unabhängig von Z, wenn I unabhängig über Z ist. Was mit “X und Y sind unabhängig über Z” gemeint ist, sollte klar sein, in den Lokalisierungen gelten die gleichen Eigenschaften.

1.3.4 Modularität

Fast Disjunktheit kann man ”sehen” (am Schnitt), Unabhängigkeit dagegen ist ein subtilerer Begriff. Zwar sind unabhängige Mengen fast disjunkt (das folgt z.B. aus der Submodularität), aber die Umkehrung gilt nicht ohne Weiteres, es kann Mengen geben, die ”unabhängig aussehen” (fast disjunkt sind), aber nicht unabhängig sind (z.B. parallele Geraden in affinen Räumen).

3.11 Definition Eine Prägeometrie heißt modular, wenn für alle endlich dimensionalen, abgeschlossenen Unterräume X, Y gilt:

dim(XY) + dim(X ∩ Y) = dim(X) + dim(Y)

Modularität garantiert die Existenz von nicht trivialen Schnittpunkten und so werde ich sie haupsächlich verwenden: sind X und Y Mengen, so daß dim(XY) < dim(X) + dim(Y), dann gibt es ein a ∈ cl(X) ∩ cl(Y)\cl(∅).

Beispiel Triviale Prägeometrien, Vektorräume und projektive Räume sind modular, affine Räume und algebraisch abgeschlossene Körper jedoch nicht.

3.12 Lemma Für eine Prägeometrie U sind äquivalent:

(1) U ist modular

(2) Je zwei abgeschlossene Unterräume sind unabhängig über ihrem Schnitt

(3) Die Begriffe ”voneinander unabhängig” und ”fast disjunkt” fallen in jeder Lokalisierung von U zusammen

(4) Für unabhängige Mengen fallen die Begriffe ”voneinander unabhängig” und ”fast disjunkt” in jeder Lokalisierung zusammen.

Beweis (1) ⇒ (2): Seien X und Y abgeschlossene Unterräume, OE endlich dimensional, so gilt wegen Additivität und Modularität dim_{X∩Y} (XY) = dim(XY) − dim(X∩Y) = (dim(X)+dim(Y)−dim(X∩Y))−dim(X∩Y) = dim_{X∩Y} (X)+ dim_{X∩Y} (Y), X und Y sind also voneinander unabhängig in U/(X ∩ Y).

(2) ⇒ (3): voneinander unabhängige Mengen sind stets fast disjunkt. Sind X, Y fast disjunkt/Z, d.h. cl(ZX)∩cl(ZY) = cl(Z), dann gilt dim_{Z}(XY) =

dim_{Z}((ZX)(ZY)) =^{(2)} dim_{Z}(ZX) + dim_{Z}(ZY) = dim_{Z}(X) + dim_{Z}(Y), X ist

also unabhängig/Z von Y.

(3) ⇒ (4) ist klar

(4) ⇒ (1): Seien X, Y endlich dimensional, Z := cl(X) ∩ cl(Y) und I, J Basen von X bzw. Y über Z, dann dim_{Z}(X) + dim_{Z}(Y) = dim_{Z}(I) +

dim_{Z}(J) =^{(4)} dim_{Z}(IJ) ≤ dim_{Z}(XY) ≤ dim_{Z}(X) + dim_{Z}(Y), also (Addi-

tivität) dim(XY) + dim(Z) = dim(X) + dim(Y). □

Insbesondere vererbt sich die Modularität auf Lokalisierungen. Bei Unterräumen muß man etwas aufpassen: in der Formel ”dim(cl(X) ∩ cl(Y)) = dim(X) + dim(Y) − dim(XY)” ist die rechte Seite unsensibel für Schnitte im XY umgebenden Raum, die linke Seite jedoch nicht. So sieht man aber, daß Modularität sich auf solche Unterräume Z überträgt, mit:

X, Y ⊂ Z, so dim(cl(X) ∩ cl(Y)) = dim(cl(X) ∩ cl(Y) ∩ Z)

Abgeschlossene Unterräume bleiben also modular. Das ist auch aufgrund einer anderen Überlegung klar: Modularität hängt nur von von dem Verband der abgeschlossenen Unterräume ab, (die Dimension eines endlich dimensionalen Unterraums ist gerade sein Fundierungsrang in diesem Verband) und der zu einem abgeschlossenen Unterraum Z gehörende Verband ist gerade der Unterverband (des Ausgangsverbandes) der (in U) abgeschlossenen Mengen, die in Z enthalten sind. Da eine Prägeometrie und ihre zugehörige Geometrie isomorphe Verbände haben, rechtfertigt diese Überlegung auch die folgende

3.13 Bemerkung Eine Prägeometrie ist genau dann modular, wenn die zugehörige Geometrie modular ist.

Modularität läßt sich auch etwas ”geometrischer” charakterisieren. Dazu vorab die folgenden Sprechweisen: Ist X ein abgeschlossener Unterraum und a ein beliebiger Punkt, so heißt K(X, a) := ⋃_{x∈X} cl(xa) ein Kegel. Geraden seien 2dimensionale abgeschlossene Unterräume, sie heißen parallel, wenn ihr ihr Schnitt 0-dimensional, ihre Vereinigung aber nur 3-dimensional ist. Parallele Geraden machen also die Modularität kaputt, sie sind fast disjunkt, aber voneinander abhängig. Außerdem gibt es keine ”kleineren Gegenbeispiele”: ist X oder Y eindimensional, so gilt die Modularitätsformel.

3.14 Lemma Für eine Prägeometrie U sind äquivalent:

(1) U ist modular

(2) Kegel sind abgeschlossen

(3) In keiner Lokalisierung von U gibt es parallele Geraden

Beweis (1) ⇒ (2): Seien X, a in U, a ∉ X (sonst klar), dann K(X, a) ⊂ cl(Xa). Sei b ∉ K(X, a), dann dim(ab) = 2 und dim(cl(X) ∩ cl(ab)) = 0 (sonst x ∈ cl(ab) und wegen (Austausch) b ∈ cl(xa) für ein x ∈ cl(X), Widerspruch), wegen Modularität dann dim(Xab) = dim(X) + 2 also b ∉ cl(Xa). Also cl(Xa) ⊂ K(X, a).

(2) ⇒ (3): Seien cl(Zab) und cl(Zcd) voneinander abhängige Geraden in U/Z, etwa b ∈ cl(Zacd) = cl((Zcd)a), dann gibt es wegen (2) ein x ∈ cl(Zcd) mit b ∈ cl(xa). Dann schneiden sich die beiden Geraden in x, denn b ∉ cl(Za), b ∈ cl(Zxa), x ∈ cl(Zab) (Austausch), also x ∈ cl(Zab)∩cl(Zcd), andererseits x ∉ cl(Z) (sonst b ∈ cl(Za)), fertig.

(3) ⇒ (1) indirekt: Ich werden zeigen, wie man aus einem ”Gegenbeispiel”, welches noch keine parallelen Geraden sind ein ”Gegenbeispiel von kleinerer Dimension” konstruiert, induktiv folgt dann die Behauptung. Seien also X, Y derart, daß dim(XY) +dim(Z) < dim(X) + dim(Y)(< ω) und dim(Y \Z) > 2, wobei Z := cl(X) ∩ cl(Y). Sei a ∈ Y \Z. Fall 1: cl(Xa) ∩ cl(Y) = cl(Za) dann zeigt eine einfache Dimensionsrechnung, daß auch Xa, Y ein Gegenbeispiel ist mit dim(Y \(cl(Xa) ∩ cl(Y))) < dim(Y \Z) (d.h. mit ”kleinerer Dimension”). Fall 2: sonst gibt es ein b ∈ cl(Xa)∩cl(Y)\cl(Za), und eine Dimensionsrechnung zeigt, daß X, Zab wieder ein Gegenbeispiel mit ”kleinerer Dimension” ist (da dim(Y \Z) > 2). □

1.3.5 Lokale Modularität

3.15 Definition Eine Prägeometrie heißt lokal modular, wenn für alle endlich dimensionalen, abgeschlossenen Unterräume X, Y gilt:

dim(X ∩ Y) > 0 ⇒ dim(XY) + dim(X ∩ Y) = dim(X) + dim(Y)

Eine Prägeometrie ist also genau dann modular, wenn jede echte Lokalisierung (d.h. mit Mengen positiver Dimension) modular wird. Das ist schon dann der Fall, wenn jede Lokalisierung mit einem unabhängigen Punkt modular wird, denn alle weiteren Lokalisierungen bleiben modular, deshalb sind modulare Prägeometrien auch lokal modular. Die Standardbeispiele für lokal modulare, nicht modulare Geometrien sind affine Räume: lokalisiert man einen affinen Raum an einem beliebigen Punkt, so wird die entstehende Prägeometrie isomorph zu der modularen Geometrie des zugrundeliegenden Vektorraumes (das Lokalisieren an einem Punkt entspricht der Auszeichnung eines “Nullpunkts”). Leider sehen nicht alle lokal modularen Räume so aus, wie ein Beispiel unten zeigen wird. Ich möchte es nicht unerwähnt lassen, daß die Geometrie algebraisch abgeschlossener Körper i.a. nichtmals lokal modular ist. Denn ist t transzendent über K (alles im großen algebraisch abgeschlossenen Körper L), so ist die Lokalisierung nach t nicht modular: sind {a, b, c} algebraisch unabhängig über K(t) und ist d = ac^{2} + bc + t, so sind acl_{K(t)}(ab) und acl_{K(t)}(cd) parallele Geraden, d.h. trdeg_{K(t)}(ab) = trdeg_{K(t)}(cd) = 2, trdeg_{K(t)}(abcd) = 3 und acl_{K(t)}(ab) ∩ acl_{K(t)}(cd) = acl(K(t)). Es gibt zwei natürliche Möglichkeiten, den Abschlußoperator span zu verändern: ist A ein affiner Raum über V und Z ⊂ A, U ⊂ V, so sei für X ⊂ A:

a ∈ span_{Z}^{U}(X):⟺ {x − a | x ∈ ZX} ist linear abhängig über U

Offensichtlich ist span = span_{∅}^{{0}} und span_{Z} = span_{Z}^{{0}} ist die übliche Lokalisierung. Man kann sich recht einfach überlegen, daß jede solche gemischte ,,Lokalisierung” identisch zu einer nicht-gemischten ,,Lokalisierung” ist, wobei die echten Lokalisierungen (d.h. die nach Teilmengen von A) genau die sind, bei denen die Geometrie modular wird.

Man sollte sich diese Situation gut einprägen, denn das Ziel meiner Arbeit ist es zu zeigen, daß sich im Falle lokal moduraler nicht modularer Typen alle ,,genauso” wie in diesen Standardbeispielen aus der linearen Algebra verhält: daß ihre Geometrien affine Räume sind und daß die Geometrie von nichtforkenden Fortsetzungen aus der alten affinen Geometrie durch die zwei oben erwähnten Arten von ,,Lokalisierung” hervorgeht. Man weiß übrigens, daß im wesentlichen alle modularen Geometrien projektive Räume sind. Ich zeige nun, daß es lokal modulare Räume gibt, die keinem Standardbeispiel entsprechen.

Ein lokal modularer nicht modularer Raum, der nicht affin ist

Es sei A = {a_{1}, ..., a_{8}} eine Menge mit 8 (paarweise verschiedenen) Elementen. Für X ⊂ A sei

cl(X) := X falls #X ≤ 2, cl(X) := A sonst

Behauptung: (A, cl) ist eine lokal modulare nicht modulare Prägeometrie. Beweis: Man sieht schnell, daß cl ein algebraischer Abschlußoperator auf A ist. Es sei X ⊂ A, a, b ∈ A, a ∉ cl(X) und a ∈ cl(Xb): da a ∉ cl(X), ist #X ≤ 2. Falls #X ≤ 1, so ist a = b. Falls #X = 2, so ist cl(Xa) = A, es gilt also in allen Fällen, daß b ∈ cl(Xa). (A, cl) ist somit eine Prägeometrie. a_{1}a_{2} und a_{3}a_{4} sind parallele Geraden, sie bezeugen die Nichtmodulatität. Da die Modularitätsformel stets gilt, wenn einer der Räume Dimension ≤ 1 oder volle Raumdimension hat oder beide Räume identisch sind, muß ich hier nur jeweils verschiedene zweidimensionale Räume betrachten: a_{i}a_{j} und a_{k}a_{l} seien derart, dann ist dim(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}) + dim(cl(a_{i}a_{j}) ∩ cl(a_{k}a_{l})) = 3 + 1 = 2 + 2 = dim(a_{i}a_{j}) + dim(a_{k}a_{l}). (A, cl) ist also lokal modular. Behauptung: (A, cl) ist kein affiner Raum. Beweis: affine Räume haben die Kardinalität des zugrundeliegenden Vektorraums, im endlichen also Kardinalität p^{(}n − 1), wobei p die Charakteristik des Körpers und n die (kombinatorische) Dimension des affinen Raumes ist. Für A müßte also gelten: 8 = p^{2} für eine Primzahl p, das geht nicht. Was ich getan habe, ist folgendes: die Unterräume {a_{1}, ..., a_{4}} und {a_{5}, ..., a_{8}} sind jeweis der zu dem Vektorraum F_{2}^{2} gehörende affine Raum. In gewissem Sinne ist A eine disjunkte Vereinigung dieser beiden Räume, wobei der Gesamtraum jedoch 3-dimensional blieb. Zu je zwei Punkten a_{i}, a_{k} (1 ≤ i ≤ 4 < k ≤ 8) habe ich dann noch die Gerade cl(a_{i}a_{k}) = {a_{i}, a_{k}} hinzugefügt. Auf diese Weise lassen sich beliebig viele solche Räume konstruieren.

1.3.6 Gewichtete Räume

Es wird später in der Arbeit eine wichtige Abschlußstruktur auftauchen, die zwar keine Prägeometrie ist, auf der aber eine ”Gewichtung” definiert ist, die sich ähnlich der Dimension in Prägeometrien verhält. Um das Verständnis dieser Situation zu verbessern, habe ich mich entschieden, sie zu axiomatisieren.

3.16 Definition Es sei U = (U, cl) eine algebraische Abschlußstruktur, eine Gewichtung auf U ist eine Abbildung w, die je zwei Mengen X, Y ⊂ U eine Kardinalzahl w(X/Y) zuordnet, so daß für alle Teilmengen von U die folgenden Eigenschaften erfüllt sind (wobei w(X) = w(X/∅) und w_{Z}(X/Y) = w(X/ZY):

(0):  w_{Z}(X/X) = 0
(cl_{1}):  x ∈ cl_{Z}(Y) ⇔ w_{Z}(x/Y) = 0
(cl_{2}):  w_{Z}(X/Y) = w_{Z}(cl(X)/Y) = w_{Z}(X/cl(Y))
(Monotonie): Y_{0} ⊂ Y, so w_{Z}(X/Y_{0}) ≥ w_{Z}(X/Y)
(Additivität): w_{Z}(XY) = w_{Z}(X/Y) + w_{Z}(Y)
(endl Char_{1}): w_{Z}(X) endlich ⇔ w_{Z}(X) = w_{Z}(X_{0}) für ein endliches X_{0} ⊂ X
(endl Char_{2}): w_{Z}(X) endlich, dann gibt es für alle Y ein endliches Y_{0} ⊂ Y,
so daß w_{Z}(X/Y) = w_{Z}(X/Y_{0})

U zusammen mit w heißt dann gewichteter Raum.

Die geforderten Eigenschaften sind denen der Dimension in Prägeometrien abgeguckt und so formuliert, daß Lokalisierungen und Unterräume von gewichteten Räumen wieder gewichtete Räume sind. w(X/Y) ist dann eine Invariante des gewichteten Raumes (U/Y) ∩ X. Wegen (cl_{1}) ist cl durch w definierbar, man könnte deshalb einen geweichteten Raum nur als Paar (U, w) auffassen und so axiomatisieren, daß durch ”x ∈ cl_{Z}(Y):⟺ w_{Z}(x/Y) = 0” ein (algebraischer) Abschlußoperator definiert wird. Aus den Axiomen folgen außerdem

(Monotonie’):  X_{0} ⊂ X, so w_{Z}(X^{0}/Y) ≤ w_{z}(X/Y)
(Submodularität): w_{Z}(XY) + w_{Z}(cl_{Z}(X) ∩ cl_{Z}(Y)) ≤ w_{Z}(X) + w_{Z}(Y)
(cl′_{1}):  X ⊂ cl_{Z}(Y) ⇔ w_{Z}(X/Y) = 0

3.17 Beispiele Jede Prägeometrie ist mit dim ein gewichteter Raum, auch mit n.dim (0 < n < ω), instruktiver aber ist das folgende Beispiel: U = (U, cl) sei eine Prägeometrie, Ū := ⋃_{n<ω} U^{n} und π : P ot(Ū → P ot(U) sei folgendermaßen definiert: für x = (x_{1}, ...x_{n}) ∈ Ū sei x^{π} := π({x}) := {x_{1}, ..., x_{n}}, für X ⊂ Ū sei dann π(X) := ⋃_{x∈X} x^{π} (π ist sozusagen die Vorschrift: ”fasse Tupel als Mengen auf”), dann gilt

(i) π ist eine Projektion, d.h. surjektiv und idempotent (bzw. π_{|P ot(U)} = id_{P ot(U)}) (ii) π ist ⊂ und ∪ homomorph. Für X, Y ⊂ Ū sei dann c̄l(X) := {x ∈ Ū | x^{π} ⊂ cl(π(X))}, dann gilt

X′ ⊂ c̄l_{Y} (X) ⇔ π(X′) ⊂ cl_{π(Y)}(π(X))

und daraus folgt

(iii) π(c̄l(X)) = cl(π(X))  [figure: P ot(Ū); P ot(Ū); P ot(U); P ot(U); c̄l; π; π; cl]

(denn c̄l_{Y} (X) ⊂ c̄l_{Y} (X) ⇒ π(c̄l(X)) ⊂ cl(π(X)), π(cl_{π(Y)}(π(X))) ⊂^{(i)} cl_{π(Y)}(π(X))

⇒ cl_{π(Y)}(π(X)) ⊂ c̄l_{Y} (X) ⇒ cl_{π(Y)}(π(X)) ⊂ π(cl_{π(Y)}(π(X))) ⊂^{(ii)} π(c̄l_{Y} (X)))

Definiert man dann w(X/Y) := dim(π(X)/π(Y)), so ist (Ū, c̄l, w) ein gewichteter Raum und (Ū, c̄l, w) ∩ U = (U, cl, dim). Ich nenne Ū den von U induzierten gewichteten Raum. Nun noch ein Beispiel aus der Stabilitätstheorie: Es sei C ein Monstermodell einer stabilen Theorie und für A ⊂ C sei

D(A) := {a | U(a/A) < ω}
U_{A}(X/B) := sup{U(tp(X^{0}/AB)) | X_{0} ⊂ X endlich}

dann ist (D(A), acl_{A}, U_{A}) ein gewichteter Raum. Ist p ∈ St(A) ein U-Rang 1 Typ, so ist seine Prägeometrie als gewichteter Raum ein Unterraum von D(A):

(p^{C}, acl_{A}, dim_{p}) ⊂ (D(A), acl_{A}, U_{A})

Der später auftauchende gewichtete Raum dient dazu, diese Situation auf beliebige stationäre reguläre Type zu verallgemeinern. Wie in dem Beispiel hier ergeben sich dann einige Eigenschaften des gewichteten Raums sofort aus den Definitionen, für andere (etwa Monotonie und Additivität) muß man “knallharte Modelltheorie” anwenden.

Wie in Prägeometrien kann man nun Unabhängigkeit und Modularität definieren:

3.18 Definition (1) Eine Familie {X_{i}|i ∈ I} von Mengen X_{i} ⊂ U heißt unabhängig (in U), wenn für alle endlichen I_{0} ⊂ M, X_{i,0} ⊂ X_{i} gilt

w( ⋃_{i∈I_{0}} X_{i,0}) = ∑_{i∈I_{0}} w(X_{i,0})

(2) U heißt modular, wenn für alle abgeschlossenen X, Y ⊂ U gilt: w(XY) + w(X ∩ Y) = w(X) + w(Y)

Entsprechen definiert man den Begriff ”unabhängig über Z”. Wie in Prägeometrie zeigt man, daß für endlich gewichtete Räume X, Y gilt: w_{Z}(XY) = w_{Z}(X) + w_{Z}(Y), so w_{Z}(X_{0}Y_{0}) = w_{Z}(X_{0}) + w_{Z}(Y_{0}) für alle endlichen X_{0} ⊂ X, Y_{0} ⊂ Y (”w_{Z}(X) = w_{Z}(X/Y) ≤ w_{Z}(X/Y_{0} ≤ w_{Z}(X)”). Endlich gewichtete Räume X und Y sind also genau dann voneinander unabhängig über Z, wenn w_{Z}(XY) = w_{Z}(X) + w_{Z}(Y).

Achtung: Den Begriff der unabhängigen Menge gibt es schon in der Abschlußstruktur und es gilt in gewichteten Räumen nicht mehr, daß eine Menge I genau dann unabhängig ist, wenn sie als Familie von Singeltons unabhängig ist. Dieser Unabhängigkeitsbegriff ist aber in gewichteten Räumen unbrauchbar und ich definiere deshalb: eine Teilmenge eines gewichteten Raumes heißt w-unabhängig (oder einfach nur unabhängig), wenn sie als Familie von Singeltons unabhängig ist. In Prägeometrien gilt also: I ist genau dann unabhängig, wenn jedes i ∉ I\{i}, in gewichteten Räumen kann das falsch werden.

Beispiel: Es sei Ū der von der Prägeometrie U induzierte gewichtete Raum, (a, b, c, d) sei minimal (w-)abhängig in U und X := {(a, b), (b, c)}, so ist X (w- )abhängig, obwohl jedes x ∉ X\{x}. Außerdem ist w(X) = 3, obwohl für jede (..)unabhängige Teilmenge I von X gilt: w(I) < 3. Ist Y := {d}, so sind alle unabhängigen Mengen in X und Y voneinander unabhängig, obwohl cl(y) ⊂ cl(X). Von Standpunkt der Prägeometrie aus ist das eine pathologische Situation, aber für gewichtete Räume ist sie ganz normal. Der Grund ist, daß in gewichteten Räumen kein ”Basisexistenzsatz” gilt und daß deshalb die Unabhängigkeit von Unterräumen nicht mehr durch unabhängige Mengen charakterisiert werden kann, denn es muß keine (w-)unabhängigen Teilmengen geben, die das Gewicht einer Menge realisieren (ich weiß nichtmals, ob jeder abgeschlossene Raum eine ”Basis” hat). Die Richtung, für die keine Existenzannahme benötigt wird, gilt natürlich immer noch: sind X und Y voneinander unabhängig, dann gilt für alle unabhängigen I ⊂ X, J ⊂ Y: IJ ist unabhängig. U = (U, cl, w) sei ab nun ein gewichteter Raum. Das nächste Lemma gibt einen ersten Eindruck:

3.19 Lemma

(1) a ∈ cl_{Z}(b), so w_{Z}(a) = w_{Z}(b) ⇔ cl_{Z}(a) = cl_{Z}(b) ( ⇔^{Def} a ∼_{cl_{Z}} b)

(2) Es sei w_{Z}(a) = w_{Z}(b) und a unabhängig von X über Z: a ∈ cl_{Z}(Xb) ⇒ b ∈ cl_{Z}(Xa) und b ist unabhängig von X über Z.

(3) U_{1} = {x ∈ U | w(x) ≤ 1}, so ist U_{1} = U ∩ U_{1} eine Prägeometrie.

Beweis (1) Ist a ∈ cl_{Z}(b), so w_{Z}(b/a) = w_{Z}(ab)−w_{Z}(a) (w_{Z}(a) < ω) = w_{Z}(b)−w_{Z}(a), also w_{Z}(a) = w_{Z}(b) ⇔ w_{Z}(b/a) = 0 ⇔ b ∈ cl_{Z}(a) ⇔ cl_{Z}(a) = cl_{Z}(b).

(2) Es sei a ∈ cl_{Z}(Xb) (und die anderen Voraussetzungen gelten, OE X endlich), so w_{Z}(b/Xa) = w_{Z}(ab/X) − w_{Z}(a/X) = w_{Z}(b/X) − w_{Z}(a) = w_{Z}(b/X) − w_{Z}(b) ≤ 0, also w_{Z}(b/X) = w_{Z}(b) und b ∈ cl_{Z}(Xa).

(3) Wegen (2) gilt die Austauscheigenschaft: a ∈ cl(Xb) und a ∉ cl(X), so w(a) = 1 = w(b) und w(Xa) = w(X) + w(a), also b ∈ cl(Xa). □

(2) kann man auch eine “schwache Austauscheigenschaft” nennen. Ist U modular, so auch jede Lokalisierung und jeder abgeschlossnen Unterraum und ist die Modularität verletzt, so sieht man das schon in einem endlich gewichteten Unterraum. Außerdem gilt wieder

3.20 Lemma Für einen gewichteten Raum U sind äquivalent:

(1) U ist modular

(2) Je zwei abgeschlossene Unterräume sind unabhängig über ihrem Schnitt (3) Die Begriffe ”voneinander unabhängig” und ”fast disjunkt” fallen in jeder Lokalisierung von U zusammen

p-Einfachheit und p-Gewicht

2.1 Internalität und Fremdheit

Die Begriffe der Internalität und der Fremdheit führen aus, in welchem Sinne ein Objekt sehr bzw. sehr wenig von einem anderen Objekt abhängig sein kann. Das Begriffspaar ist in diesem Kontext wichtig, da p-Einfachheit als eine Verallgemeierung der Internalität aufgefasst werden kann, wobei gleichzeitig eine spezielle Form der Fremdheit, nämlich erbliche Orthogonalität, eine wichtige Rolle bei der Definition der p-Einfachheit spielt.

2.1.1 Internalität

Ich habe verschiedene Definitionen für Internalität gesehen, als Relation zwischen 2 Typen über den gleichen Parametern, als Relation zwischen zwei definierbaren Klassen, als Relation zwischen einem stationären Typ und einer Klasse von partiellen Typen. Mit der Einführung des Int-Operators auf dem Monster habe ich hier einen recht algebraischen Standpunkt eingenommen. Die Definition ist sehr allgemein und macht die Beziehung zum definierbaren Abschluß klar: Int ⊃ dcl. Ich werde einige Charakterisierungen der Internalität geben, die weitestgehende ist die Existenz einer “Fundamentallösung”. Diese brauche ich später bei der Konstruktion der “Bindungsgruppe”.

1.1 Definition Es sei Q eine beliebige Teilklasse von C und q ∈ St(A):

(1) q heißt Q-intern, wenn es ein B gibt, so daß (q|B)^{C} ∩ dcl^{B}(Q) ≠ ∅

(2) Int_{A}(Q) := {a | stp(a/A) ist Q-intern}

Der Begriff ist erst dann brauchbar, wenn Q A-invariant ist, dann ist Int_{A}(Q) A-invariant (Int_{A}(Q) ist nach Definition schon acl(A)-invariant und i.a. eine echte Klasse) und stp(a/A) ist genau dann Q-intern, wenn es ein B ⊃ A gibt, so daß a | ⌣_{A} B und a ∈ dcl^{B}(Q). Man kann den Begriff anstatt für Klassen auch für Familien von (partiellen) Typen definieren, dann muß man noch zusätzlich aufpassen, daß die Parameter “B” die Parameter der relevanten Typen enthalten: ist P eine Klasse von (partiellen) Typen, so bedeute “a^{⊧}P|B”, daß tp(a/B) ein Π ∈ P fortsetzt, man sagt “a realisiert P über B”. (P|B)^{C} sei dann die Klasse der Elemente, die P über B realisieren. Dann kann man wie oben definieren: q ∈ St(A) ist P-intern, wenn es ein B ⊃ A gibt, so daß (q|B)^{C}∩dcl^{B}((P|B)^{C}) ≠ ∅. Ist z.B. P nur ein einziger Typ p, so ist q genau dann p-intern, wenn es ein B ⊃ A gibt, so daß q|B in dcl^{B}(p^{C}) realisiert wird \underline{und} B ⊃ dom(p). Q-Internalität vererbt sich sicher von q auf ganz dcl(q) und ist, falls Q Cb(q)- invariant ist, eine ∥-Invariante Eigenschaft (man braucht die Cb(q)-Invarianz beim ”hochgehen”). Abgesehen von dieser Einschränkung ist Internalität also eine gute Eigenschaft von stationären Typen.

1.2 Lemma Q sei A-invariant, q ∈ St(A) und M ⊃ A ein hinreichend saturiertes Modell, dann gilt:

q ist Q-intern ⟺ q^{C} ⊂ dcl^{M}(Q)

Beweis Ist q^{C} ⊂ dcl^{M}(Q), so sicher (q|M)^{C} ∩ dcl^{M}(Q) ≠ ∅, d.h. q ist Q-intern. Ist andererseits q Q-intern und a^{⊧}q dann gibt es eine endliche Menge B, so daß a | ⌣_{A} B und a ∈ dcl^{AB}(Q). OE B | ⌣_{Aa} M, dann B | ⌣_{M} a. Basiere stp(Ba/M) auf einer kleinen Menge A′ ⊃ A, und realisiere stp(B/A′) in M, etwa durch B′ (M muß also (|A|+|T |)^{+}-saturiert sein). Wegen Ba | ⌣_{A′} M gilt dann B′ | ⌣_{A′} a und B | ⌣_{A′} a also B′ ≡_{A′a} B und B′a ≡_{A} Ba, also a ∈ dcl^{AB′}(Q) ⊂ dcl^{M}(Q).

□

1.3 Korollar Ist Q A-invariant, so gilt

(1) Ist q ∈ St(A) Q-intern, so auch jede Fortsetzung von q

(2) Int_{A}(Int_{A}(Q)) = Int_{A}(Q)

Beweis (1) Ist q Q-intern und q′ ⊃ q, so q^{′C} ⊂ q^{C} ⊂ dcl^{M}(Q) und deshalb ist auch q′ Q-intern (M geeignet)

(2) Es sei a ∈ Int_{A}(Int_{A}(Q)), etwa a | ⌣_{A} B und a ∈ dcl^{B}(c_{1}, ..., c_{n}) für geeignete c_{i} ∈ Int_{A}(Q). Wähle ein geeignetes M ⊃ A mit Ba | ⌣_{A} M und c_{i} ∈ dcl^{M}(Q), dann a | ⌣_{A} MB und a ∈ dcl^{MB}(Q), also a ∈ Int_{A}(Q). □

Da für beliebige Q ⊂ Q′ Q ⊂ Int_{A}(Q) ⊂ Int_{A}(Q′) ist Int_{A} ein Abschlußoperator auf den A-invarianten Klassen, dort ist auch dcl(Int_{A}(Q)) = Int_{A}(Q), denn dcl(Int_{A}(Q)) ⊂ Int_{A}(Int_{A}(Q)). Der Operator Int_{A} kann als natürliche Verallgemeinerung von dcl_{A} aufgefasst werden, offensichtlich gilt für beliebige Q: dcl_{A}(Q) ⊂ Int_{A}(Q). “a ∈ dcl_{A}(b)” läßt sich auch mit der Existenz einer A-Funktion charakterisieren, die a auf b abbildet (also auch tp(a/A) surjektiv auf tp(b/A) abbildet). Definierbare Funktionen sind auch im internen Kontext anwesend:

1.4 Definition Ein Tupel ā von Realisierungen von q ∈ St(A) heißt eine Fundamentallösung von q bezüglich Q ⊂ C, wenn q^{C} ⊂ dcl^{Aā}(Q).

Gibt es eine Fundamentallösung, so gibt es eine partielle Surjektion f : Q^{m} ⊃→ → (q|ā)^{C}, deren Wirkung Aā definierbar ist und q ist dann sicher Q-intern. Es geht aber noch viel besser:

1.5 Lemma über die Fundamentallösung Ist q ∈ St(A) und Q eine A-invariante Klasse, so sind äquivalent:

(1) q ist Q-intern

(2) q hat eine Fundamentallösung bezüglich Q

(3) Es gibt ein m < ω und eine partielle Surjektion g : Q^{m} ⊃→ → q^{C}, deren Wirkung q^{C}-definierbar ist.

Beweis (3) ⇒ (2) ⇒ (1) ist klar, Arbeit macht nur (1) ⇒ (3): Es sei a ∈ dcl^{B}(c̄) für ein a^{⊧}q|B und c̄ ⊂ Q, MF sei eine Morleyfolge in stp(ac̄/B)|ac̄, dann ist stp(ac̄/B, MF) basiert auf tp(ac̄/MF) und nach dem dcl-Lemma ist a ∈ dcl^{MF} (c̄), d.h. es gibt a_{1}c̄_{1}, ..., a_{n}c̄_{n} unabhängig in stp(ac̄/B)|ac̄, so daß a ∈ dcl(c̄, a_{1}c̄_{1}, ..., a_{n}c̄_{n}) und (a, a_{1}, ..., a_{n})^{⊧}q^{(n+1)} (da a | ⌣_{A} B) etwa a = f(d̄, ā), wobei d̄= c̄c̄_{1}...c̄_{n} und ā = a_{1}...a_{n}. Behauptung: ā ist eine Fundamentallösung von q bezüglich Q. Beweis: Es sei g(x̄, x̄_{1}, ..., x̄_{n}, ā) := f(x̄, f(x̄_{1}, ā), ..., f(x̄_{n}, ā)), wobei x̄ die Stelligkeit von d̄ hat und die f(x̄_{i}, ā) an den Stellen der a_{i} stehen. Es sei nun a′^{⊧}q, wie oben findet man d̄′ ⊂ Q und (a′_{1}, ..., a′_{n})^{⊧}(q|a′)^{(n)}, so daß a′ = f(d̄′, ā′). Nun kann ā′ sogar unabhängig von ā gewählt werden (mit der geeigneten Morleyfolge), dann jedes (a′_{i}, ā)^{⊧}q^{(n+1)}, also a′_{i}ā ≡_{A}^{s} aā und a′_{i} = f(d̄′_{i}, ā) für geeignete d̄′_{i} ⊂ Q (konjugiere ”a = f(d̄, ā)”). Dann a′ = f(d̄′, a′_{1}, ..., a′_{n}) = f(d̄′, f(d̄′_{1}, ā), ..., f(d̄′_{n}, ā)) = g(d̄, d̄′_{1}, ..., d̄′_{n}, ā), g ist also die gesuchte partielle Surjektion. □

Da stets Cb(c/AB) ⊂ dcl(U) gilt, wobei U eine geeignete unabhängige Folge in tp(c/AB) ist, ist Cb(c/AB) ⊂ dcl(U). Deshalb ist für Q = tp(c/AB)^{C} und C ⊂ Q Cb(C/AB) ⊂ Int(Q), insbesondere gilt

Q  | ⌣_{Int_{A}(Q)∩dcl_{A}(B)} B

Auch hier geht’s noch besser:

1.6 Lemma Es sei Q A-invariant und D | ⌣_{A} B, dann DQ | ⌣_{Int_{A}(Q)∩dcl_{A}(B)} B

Beweis Es sei c̄ ⊂ Q und e ∈ Cb(Dc̄/AB), für D_{1}c̄_{1}, ..., D_{n}c̄_{n} geeignet unabhängig in tp(Dc/AB) ist dann e ∈ dcl(D_{1}c̄_{1}, ..., D_{n}c̄_{n}) = dcl^{D_{1},...,D_{n}}(c̄_{1}, ..., c̄_{n}) ⊂ dcl^{D_{1},...,D_{n}}(Q). Da D | ⌣_{A} B ist dann D_{1}, ..., D_{n} | ⌣_{A} B. Aber auch e ∈ dcl(AB), also e | ⌣_{A} D_{1}...D_{n} und e ∈ dcl^{D_{1}...D_{n}}(c̄_{1}, ..., c̄_{n}). Da Q A-invariant ist, sind c̄_{1}, ..., c̄_{n} ⊂ Q und deshalb ist e ∈ Int_{A}(Q). Also Cb(Dc̄/AB) ⊂ Int_{A}(Q) ∩ dcl_{A}(B) und Dc̄ | ⌣_{Int_{A}(Q)∩dcl_{A}(B)} B. □

1.7 Definition Es sei q ∈ St(A) und Q eine Teilklasse von C. q heißt Q-fremd, wenn für alle B ⊃ A und a^{⊧}q|B gilt: a | ⌣_{B} Q

Eine äquivalente Forderung ist (wegen Transitivität): für alle B ⊃ A, a^{⊧}q|B und c ∈ Q (Elemente, nicht Tupel!) gilt: a | ⌣_{B} c. Fremdheit ist die stärkste Form der Unabhängigkeit, die bisher aufgetaucht ist. Aus dem nächsten Lemma folgt dann, daß die Q-internen Typen “dicht” in den Typen liegen, die nicht Q-fremd sind:

1.8 Lemma Es sei q nicht Q-fremd, dann gibt es ein nicht algebraisches q′ ∈ dcl(q), welches Q-intern ist.

Beweis Es sei D ⊃ A, a^{⊧}q|D und a |̸ ⌣_{D} Q, dann a |̸ ⌣_{A} DQ. Aber a | ⌣_{Int_{A}(Q)∩dcl_{A}(a)} DQ (wegen 1.6), also a |̸ ⌣_{A} Int_{A}(Q) ∩ dcl_{A}(a) und Int_{A}(Q) ∩ dcl_{A}(a) ⊄ acl(A). Wähle ein c ∈ Int_{A}(Q) ∩ dcl(Aa)\acl(A), dann q′ := stp(c/A). □

2.1.2 Erbliche Orthogonalität

Einen Spezialfall der Fremdheit müssen wir für das Folgende genauer kennenlernen. Alle Typen seien stationär, A_{0}, A bezeichnen stets dom(p), dom(q).

1.9 Definition q heißt erblich orthogonal zu p, q ⊥^{h} p :⟺ q′ ⊥ p ∀q′ ⊃ q

Mit q ist auch jede Fortsetzung von q erblich orthogonal zu p und da ⊥ eine ∥-Invariante ist, ist ⊥^{h} ∥-invariant im zweiten Argument, es kann also i.a. OE A_{0} = Cb(p) angenommen werden. Sind p, q ∈ St(A), dann ist q genau dann erblich orthogonal zu p, wenn p q^{C}-fremd ist. In Elementen geschrieben bedeutet das:

q ⊥^{h} p ⇔ ∀a^{⊧}q B ⊃ A_{0}A, c^{⊧}p|B : a | ⌣_{B} c

1.10 Eigenschaften (1) Cb(p) ⊂ A, so q ⊥^{h} p ⇔ ∃a^{⊧}q ∀B ⊃ A_{0}A, c^{⊧}p|B : c | ⌣_{B} a

(2) ⊥^{h} ist ∥-invariant im ersten Argument für Parametermengen über Cb(p).

(3) stp(a^{i}/A_{i}) ⊥^{h} p (i = 1, 2) ⇒ stp(a^{1}a^{2}/A_{1}A_{2}) ⊥^{h} p

Beweis (1) ′′ ⇒′′ klar, ′′ ⇐′′: a erfülle die Bedingung der rechten Seite, sei B ⊃ A_{0}A, c^{⊧}p|B, a′^{⊧}q, zu zeigen: c | ⌣_{B} a′ OE A_{0} = Cb(p), sei σ ∈ Aut_{A} mit σ(a′) = a, dann B^{σ} ⊃ A, c^{σ} ^{⊧}p|B^{σ} (p^{σ} = p), dann gilt nach Voraussetzung c^{σ} | ⌣_{B^{σ}} a, also c | ⌣_{B} a′.

(2) Sei A′ ⊃ A ⊃ Cb(p), q|A′ ⊥^{h} p, zu zeigen: q ⊥^{h} p (alles andere ist klar) Sei q̂ ⊃ q, wähle ein σ ∈ Aut_{A}, so daß dom(q̂)^{σ} | ⌣_{A} A′, dann gilt mit dem ◇-Lemma: q̂^{σ}|A′ ⊃ q|A′. Da nach Voraussetzung q|A′ ⊥^{h} p, ist q̂^{σ}|A′ ⊥ p, also q̂ ⊥ p^{σ^{−1}}. Aber Cb(p) ⊂ A, deshalb p^{σ^{−1}}∥p und q̂ ⊥ p.

(3) Seien a′_{1}a′_{2}^{⊧}stp(a^{1}a^{2}/A_{1}A_{2}), B ⊃ A_{1}A_{2}, c^{⊧}p|B, dann c | ⌣_{B} a′_{1} (denn a′_{1}^{⊧} stp(a^{1}/A_{1}) ⊥^{h} p) und c | ⌣_{Ba′_{1}} a′_{2} (a′_{2}^{⊧}stp(a^{2}/A_{2}) ⊥^{h} p), also c | ⌣_{B} a′_{1}a′_{2}. □

1.11 Definition Es sei p ein stationärer, regulärer Typ und X eine beliebige Klasse von Parametern.

c̃l_{p}(X) := {a | es gibt eine Menge A ⊂ X : stp(a/A) ⊥^{h} p}

1.12 Lemma (1) acl ⊂ c̃l_{p}

(2) c̃l_{p} ist ein Abschlußoperator auf C.

(3) Für a^{⊧}p gilt: a ∈ c̃l_{p}(A_{0}B) ⇔ a |̸ ⌣_{A_{0}} B.

Beweis (1) Jeder algebraische Typ ist orthogonal, also auch erblich orthogonal zu p.

(2) Bis auf die Idempotenz ist alles schon bekannt. Sei also a ∈ c̃l_{p}(c̃l_{p}(X)), etwa stp(a/B) ⊥^{h} p für eine Teilmenge B ⊂ c̃l_{p}(X), dann gibt es eine Teilmenge A ⊂ X, so daß stp(B/A) ⊥^{h} p.

Behauptung: stp(a/A) ⊥^{h} p Beweis: Sei D ⊃ A_{0}A und c^{⊧}p|D, dann B | ⌣_{D} c (da stp(B/A) ⊥^{h} p), also c^{⊧}p|BD. Aber BD ⊃ B, also a | ⌣_{BD} c (da stp(a/B) ⊥^{h} p), also a | ⌣_{D} c (da B | ⌣_{D} c).

(3) Es seien a^{⊧}p, dann a ∈ c̃l_{p}(A_{0}B) ⇔ stp(a/A_{0}B) ⊥^{h} p ⇔ stp(a/A_{0}B) ist eine forkende Fortsetzung von p ⇔ a |̸ ⌣_{A_{0}} B. □

Aus (3) folgt ((C, c̃l_{p})/A_{0}) ∩ p^{C} = (p^{C}, |̸ ⌣_{A_{0}}), anders gesagt:

(p^{C}, |̸ ⌣_{A_{0}}) ist ein Unterraum von (C, c̃l_{p,A_{0}}).

Schön wäre, wenn erbliche Orthogonalität im ersten Argument auf nichtforkende Einschränkungen vererben würde. Das folgende Beispiel zeigt, daß das i.a. nicht der Fall ist, aber das anschließende Lemma gibt ein hinreichendes Kriterium.

1.13 Beispiel Sei T die Theorie einer Äquivalenzrelation E mit unendlich vielen unendlichen Klassen. T ist ω-kategorisch und ω-stabil. Sei q der Typ in S_{1}(∅), a ein Element und p der nicht algebraische Typ in S_{1}(a) mit E(x, a) ∈ p, dann sind beide Typen sationär, U(p) = 1 und es gilt ∅ ⊥ p, q|a ⊥^{h} p, q ⊥̸^{h} p. Für b^{⊧}q|a gilt also: b ∈ c̃l_{p}(a)\c̃l_{p}(∅).

1.14 Lemma Sei p regulär und A ⊥̸ p, dann gilt für beliebiges B: q|B ⊥^{h} p ⇒ q ⊥^{h} p

Beweis Der Beweis verläuft analog zum Beweis von 1.10(2), bis an die Stelle, wo q̂ ⊥ p^{σ^{−1}} gilt. Dann muß man anders argumentieren, da p^{σ^{−1}}∥p i.a. nicht gilt. Dazu braucht man den folgenden (er folgt z.B. aus [?, C.6])

1.15 Fakt Sei p ein regulärer Typ, p ⊥̸ A = acl(A), σ ∈ Aut_{A}, dann p^{σ} ⊥̸ p

Damit erhalten wir in der obigen Situation q̂ ⊥ p^{σ^{−1}}⊥̸ p, also q̂ ⊥ p (Regularität) □

Schränkt man sich also in der zweiten Variablen auf reguläre Typen ein, so bekommt man sogar ∥-Invarianz im ersten Argument für Parametermengen, die nicht orthogonal zum regulären Typ im zweiten Argument sind und das zweite Argument wird invariant für ⊥̸-Klassen regulärer Typen.

2.2 p-Einfachheit und p-Gewicht

Ich komme nun zu zwei der wichtigsten Begriffe dieser Arbeit. Nachdem ich die Begriffe definiert und einige grundlegende Eigenschaften bewiesen habe, werde ich zeigen, daß sich das p-Gewicht auf der Klasse der p-einfachen Typen ähnlich wie ein Rang verhält und daß man auf diese Weise gewichtete Räume erhält. Dies verallgemeinert die Situation des Beispiels 3.17: die Prägeometrie des regulären Typs ist ein Unterraum des gewichteten Raums. Das werde ich in zwei Schritten tun, erst wird ein Abschlußoperator auf C definiert, welcher die Rolle von acl übernimmt, dann wird auf einer geeigneten Klasse ein Gewicht eingeführt, welches die Rolle des U-Rang übernimmt. Um ein besseres Verständnis für das Verhältnis zwischen Forking und p-Gewicht zu bekommen, werde ich dann erst etwas über kanonische Basen sagen und schließlich den Begriff der p-Semiregularität einführen.

2.2.1 Die Definition und erste Eigenschaften

p und q seien stets stationäre Typen, p regulär, A_{0}, A bezeichnen dom(p), dom(q).

2.1 Definition Es sei p ⊥̸ A:

(1) Ein Tripel (I, B, a) nenne ich p-Zeuge für q :⟺

I ⊂ p^{C}, B ⊃ A_{0}A, a^{⊧}q|B, und stp(a/BI) ⊥^{h} p

(2) q heißt p-einfach :⟺ dom(q) ⊥̸ p und es gibt einen p-Zeugen für q.

(3) Ist q p-einfach, dann ist das p-Gewicht von q

w_{p}(q) := min{#J|(J, B, a) ist ein p-Zeuge für q}

Für “w_{p}(stp(a/A))” schreibe ich “w_{p}(a/A)”, ich sage, daß (I, B, a) w_{p}(q) realisiert, wenn (I, B, a) ein p-Zeuge (oder einfache nur ”Zeuge”) für q ist und #I = w_{p}(q). Wenn ich vom p-Gewicht eines Typs spreche, dann meine ich natürlich insbesondere, daß es existiert, d.h. daß der Typ p-einfach ist. So gilt

stp(a/A) ⊥^{h} p ⇔ a ∈ cl_{p}(A) ⇔ w_{p}(a/A) = 0.

Offensichtlich ist ein Typ genau dann p-einfach, wenn alle seine Projektionen p-einfach sind, sein p-Gewicht ist dann das Maximum der p-Gewichte seiner Projektionen. So kann man die Begriffe auch für *-Typen erklären: Ein *-Typ heißt p-einfach, wenn alle seine Projektionen auf Typen p-einfach sind und sein p-Gewicht ist dann das Supremum der p-Gewichte der Projektionen.

2.2 Lemma Es sei J ⊂ p^{C} endlich und B ⊃ A_{0}, dann ist stp(J/B) p-einfach und

w_{p}(J/B) = dim_{p|B}(J).

Beweis Sei I eine p|B-Basis von J, dann gilt für D ⊃ BI : p|D ^{⊧} p|DJ (Regularität), also für c^{⊧}p|D : c | ⌣_{D} J. (I, B, J) ist also ein Zeuge für stp(J/B) und w_{p}(J/B) ≤ #I = dim_{p|B}(J). Sei (I′, B′, J′) eine Realisierung von w_{p}(J/B), dann gilt stp(J′/B′I′) ⊥^{a} p|B′I′, also kann kein j′ in p|B′I′ liegen, d.h. alle j′ |̸ ⌣_{B′} I′. Dann gilt aber (Regularität) dim_{p|B′}(J′) ≤ dim_{p|B′}(I′) ≤ #I′ =

w_{p}(J/B). Insgesammt ergibt sich also w_{p}(J/B) ≤ dim_{p|B}(J) = dim_{p|B}(J′) =^{|_{⌣}} dim_{p|B′}(J′) ≤ w_{p}(J/B) □

Achtung: Nach Definition ist (für J ⊂ p^{C} beliebig groß, b ⊃ A_{0}) w_{p}(J/B) ≤ ω (da

w_{p}(J/B) =^{Def} sup{w_{p}(J^{0}/B)|J_{0} ⊂ J endlich } = sup{dim_{p|B}(J_{0})|J_{0} ⊂ J endlich

} ≤ ω), falls also J überabzählbar ist, fallen w_{p}(J/B) und dim_{p|B}(J) auseinander.

Die Begriffe ”p-einfach” und ”p-Gewicht” hängen vom Begriff des Zeugen ab, dieser sieht aber auf den ersten Blick etwas zu liberal aus, da z.B. nicht ”I ⊂ (p|B)^{C}” gefordert wurde: einen Zeugen (I, B, a) nenne ich gut, wenn I unabhängig in p|B ist und a ⊳_{B} I. Das folgende Lemma enthält so ungefähr alles, was man über Zeugen wissen muß.

2.3 Zeugenlemma (1) Ist (J, B, a) ein Zeuge für q und J′ ⊂ p, so daß alle j |̸ ⌣_{B} J′, dann ist auch (J′, B, a) ein Zeuge für q.

(2) Ist (J, B, a) ein Zeuge für q, so gibt es ein B′ ⊃ B, I ⊂ J, so daß (I, B′, a) ein guter Zeuge für q ist.

(3) Über a-Modellen gibt es stets gute Zeugen: sei M ⊃ A_{0} ein a-Modell und tp(b/M) p-einfach, dann gibt es ein I, so daß (I, M, b) ein guter Zeuge für tp(b/M) ist.

(4) stp(a/A) sei p-einfach von endlichem p-Gewicht und (J, B, a) ein Zeuge, dann gilt: (J, B, a) realisiert w_{p}(a/A) ⇔ (J, B, a) ist gut und w_{p}(J/B) = w_{p}(a/A)

(5) Es sei p′ ∈ St(A′_{0}) regulär und p′ ⊥̸ p, B ⊃ A_{0}A′_{0}, I′ ⊂ p′, so daß alle i |̸ ⌣_{B} I′: Ist (I, B, a) ein p-Zeuge für q, so ist (I′, B, a) ein p′-Zeuge für q.

Beweis (1) zu zeigen: stp(a/BJ′) ⊥^{h} p. Sei D ⊃ BJ′, c^{⊧}p|D, dann c^{⊧}p|DJ (alle j |̸ ⌣_{B} J′ ⊂ D und Regularität), also c | ⌣_{DJ} a, da stp(a/BJ) ⊥^{h} p. Weil c | ⌣_{D} J, gilt c | ⌣_{D} a, damit folgt die Behauptung.

(2) Wähle J_{0} ⊂ J maximal mit J_{0} | ⌣_{B} a, dann ist für B′ := BJ_{0} auch (J\J_{0}, B′, a) ein Zeuge. Sei I eine p|B′-Basis von J\J_{0}, wegen (1) ist dann auch (I, B′, a) ein Zeuge, nach Konstruktion ist I unabhängig in p|B′ und alle i |̸ ⌣_{B′} a (Maximalität von J_{0}), also a ⊳_{B′} I (Regularität).

(3) Es sei (J, B, a) ein guter Zeuge für q = tp(b/M), C := Cb(p)∪Cb(q), wähle eine kleine Menge B_{0} ⊂ B, so daß C ⊂ B_{0} und stp(aJ/B) auf B_{0} basiert ist. Wähle σ ∈ Aut_{C} mit B_{0}^{σ} ⊂ M (das geht, denn C ⊂ dcl(A_{0}A) ⊂ M, CB_{0} ist klein und M ist ein a-Modell) und τ ∈ Aut_{B_{0}^{σ}} mit a^{στ}J^{στ} | ⌣_{B_{0}^{σ}} M.

Behauptung: (J^{στ}, M, a^{στ}) ist ein guter Zeuge für q. Beweis: stp(a/BJ) ⊥^{h} p und a | ⌣_{B_{0}J} BJ, also stp(a/B_{0}J) ⊥^{h} p, stp(a^{στ}/B_{0}^{σ}J^{στ}) ⊥^{h} p^{στ} und stp(a^{στ}/MJ^{στ}) ⊥^{h} p (p∥p^{στ}, weil Cb(p) fixiert bleibt).

Nun gilt (i) aJ | ⌣_{B_{0}} B und (ii) a^{στ}J^{στ} | ⌣_{B_{0}^{σ}} M. Also a⊳_{B}J ⇒^{(i)} a⊳_{B_{0}}J ⇒ a^{στ}⊳_{B_{0}^{σ}}

J^{στ} ⇒^{(ii)} a^{στ} ⊳_{M} J^{στ} und analog J unabhängig in p|M ⇒^{(i)} J unabhängig in p|B_{0} ⇒ J^{στ} unabhängig in p|B_{0}^{σ} ⇒^{(ii)} J^{στ} unabhängig in p|M, das beweist die Behauptung.

Konjugiert man jetzt noch a^{στ} über M auf b, so sei I das Konjugat von J^{στ}, das erfüllt das Gewünschte.

(4) ”⇒”: Wie im Beweis von (2) gibt es disjunkte Teilmengen I und J_{0} von J, so daß (I, BJ_{0}, a) ein guter Zeuge für q ist. Aber w_{p}(a/A) =≤ #I ≤ #J = w_{p}(a/A), deshalb folgt I = J, da #J endlich ist. Dann ist aber J_{0} = ∅ und J unabhängig in p|B, also w_{p}(J/B) = dim_{p|B}(J) = #J = w_{p}(a/A). ”⇐”: Da J unabhängig in p|B ist, gilt #J = dim_{p|B}(J) = w_{p}(J/B), da aber w_{p}(J/B) = w_{p}(a/A), realisiert (J, B, a) das p-Gewicht von stp(a/A).

(5) zu zeigen ist: stp(a/BI′) ⊥^{h} p′. Wie in (1) zeigt man stp(a/BI′) ⊥^{h} p, dazu braucht man, daß alle i |̸ ⌣_{B} I′, mit p′ ⊥̸ p folgt dann die Behauptung.

□

Aus dem Lemma folgt, daß man die Definition auch auf gute Zeugen hätte einschränken können. Im Beweis von (3) hätte ich auch mit einem guten Zeugen beginnen können, der w_{p}(b/M) realisiert, dann wäre eine gute Realisierung (I, M, b) rausgekommen. Die nächsten 3 Lemmas zeigen, daß die Begriffe den Mindestanforderungen genügen.

2.4 Lemma p-Einfachheit und p-Gewicht sind ∥-invariante Begriffe für Parametermengen, die nicht orthogonal zu p sind.

Beweis Seien q_{i} ∈ St(A_{i}), (i = 1, 2), A_{2} ⊃ A_{1} ⊥̸ p, q_{2} ⊃ q_{1}: jeder Zeuge für q_{2} ist auch ein Zeuge für q_{1}, insbesondere ist w_{p}(q_{1}) ≤ w_{p}(q_{2}).

Sei andererseits (I, B, a) ein Zeuge für q_{1} und a′^{⊧}q_{2}|B, dann ist wegen Stationarität stp(a′/B) = stp(a/B). Für ein σ ∈ Aut_{acl(B)} mit a ↦ a′, gilt dann:

q_{2} ⊂^{nf} q_{2}|B = stp(a′/BA_{2}) ⊂ stp(a^{σ}/BA_{2}I^{σ}) ⊃ stp(a^{σ}/BI^{σ}) = stp(a/BI)^{σ} ⊥^{h}

p^{σ} = p Also ist (I^{σ}, BA_{2}, a^{σ}) ein Zeuge für q_{2} und folglich w_{p}(q_{2}) ≤ w_{p}(q_{2}) □

2.5 Lemma Seien M, N a-Modelle, A_{0} ⊂ M ≺ N, a ∈ N: Ist tp(a/M) p-einfach, so gilt für jede p|M-Basis I von {c ∈ N | c |̸ ⌣_{M} a}: (I, M, a) realisiert w_{p}(a/M)

Beweis OE A_{0} = M, sei (J, M, a) eine gute Realisierung von w_{p}(a/M), dann kann J ⊂ N gewählt werden: Basiere tp(aJ/M) wieder auf einer kleinen Teilmenge B_{0}, die die kanonischen Basen der betrachteten Typen umfasst, konjugiere dann J über B_{0}a auf J′ ⊂ N, dann ist wieder stp(a/MJ′) ⊥^{h} p. Für j ∈ J gilt j |̸ ⌣_{M} a, also a ⊳_{M} j, a ⊳_{B_{0}} j, a ⊳_{B_{0}} j′, j′ | ⌣_{B_{0}} M, j′ |̸ ⌣_{M} a (man verwendet aj | ⌣_{B_{0}} M), also ist (J′, M, a) ein guter Zeuge. Es sei I′ eine p-Basis von J′, dann realisiert auch (I′, M, a) das p-Gewicht von q.

Behauptung: I′ ist eine p-Basis von Y := {c ∈ N |c |̸ ⌣_{M} a} Beweis: I′ ⊂ Y, denn (I′, M, a) ist gut, und für c^{⊧}p|MI′ gilt c | ⌣_{MI′} a (denn stp(a/MI′) ⊥^{h} p), also c | ⌣_{M} a. Das bedeutet ∀c ∈ p^{Y} : c |̸ ⌣_{M} I′, I′ ist also ein unabhängiges Erzeugendensystem, d.h. eine Basis. Ist I eine weitere p-Basis von Y, so gilt wegen des Zeugenlemmas (2.3), daß auch (I, M, a) ein Zeuge ist, also realisiert (I, M, a) das p-Gewicht von stp(a/M). □

2.6 Korollar (1) Es sei M ⊃ A_{0}A ein a-Modell, a^{⊧}q|M und M[a] sei ein a-Primmodell von Ma: Falls stp(a/A) p-einfach ist, so gilt für jede p|M-Basis I von M[a]: (I, M, a) realisiert w_{p}(a/A), insbesondere gilt w_{p}(a/A) = dim_{p|M}(M[a])

(2) Es sei q p-einfach, dann gilt für alle n ∈ IN: w_{p}(q) ≥ n ⟺ q ⊳ p^{(n)}

Beweis (1) {c ∈ M[a] | c |̸ ⌣_{M} a} = M[a]\M, da a ⊳_{M} M[a]

(2) Wähle wieder M[a] ≻ M ⊃ A_{0}A für ein a^{⊧}q|M: aus Korollar (1) folgt, daß (p|M)^{(n)} genau dann in M[a] realisiert wird, wenn q ⊳ p^{(n)} □

Das Korollar (2) macht übrigens die Verwandschaft zwischen dem “lokalen” p-Gewicht und dem für beliebige Typen definierten Gewicht deutlich (mehr zu diesem allgemeinen Gewicht findet man z.B. in [?] oder auch bei [?, Kapitel 1]). Ich nenne einen zu p nicht orthogonalen regulären Typ p-regulär. Wie bei der Domination hängen die Begriffe nur von der Orthogonalitätsklasse von p ab:

2.7 Lemma Die Begriffe ”p-einfach” und ”p-Gewicht” bleiben invariant, wenn man p durch einen p-regulären Typ ersetzt.

Beweis Es sei q ein p-einfacher Typ, p′ ∈ St(A′_{0}) regulär, p′ ⊥̸ p, zu zeigen ist: q ist p′-einfach und w_{p′}(q) = w_{p}(q). Sei M ⊃ A_{0}A′_{0}A ein a-Modell, a^{⊧}q|M, M(a) sei ein a-Primmodell von Ma, I eine p|M-Basis von M(a) und I′ eine p′|M-Basis von M(a): Da alle i |̸ ⌣_{M} I′, bezeugt (I′, M, a) die p′-Einfachheit von q (Zeugenlemma, 2.3). Dann wird w_{p′}(q) von (I′, M, a) und w_{p}(q) von (I, M, a) realisiert und mit #I = #I′ folgt die Behauptung. □

2.2.2 Weitere Eigenschaften

2.8 Lemma (Algebraischer Abschluß) Es sei q p-einfach und q′ ∈ acl^{s}(q), dann ist auch q′ p-einfach und w_{p}(q′) ≤ w_{p}(q)

Beweis Es sei (J, B, a) ein Zeuge für q und b^{⊧}q′, b ∈ acl(Aa), dann ist (J, B, b) ein Zeuge für q′. □

2.9 Lemma (Monotonie)

Fortsetzungen von p-einfachen Typen bleiben p-einfach und das p-Gewicht kann dabei nicht steigen.

Beweis Es sei q′ ∈ St(B), q′ ⊃ q, q sei p-einfach, zu zeigen: q′ ist p-einfach und w_{p}(q′) ≤ w_{p}(q) Wähle ein a-Modell M ⊃ A_{0}A, zu finden ist ein a^{⊧}q|M∪q′|MB, denn dann ist für jeden Zeugen (I, M, a) von q (I, MB, a) ein Zeuge von q′ (und wegen des Zeugenlemmas gibt es solche Zeugen) und damit folgte die Behauptung. Angenommen es könnte M | ⌣_{A} B gewählt, so hätten wir mit dem ◇-Lemma q′|MB^{⊧}q|M und wir wären fertig, aber wir können M nicht ohne weiteres so wählen, denn A_{0} | ⌣_{A} B muß nicht gelten. Wähle deshalb ein σ ∈ Aut_{acl(A)}, so daß A_{0}^{σ} | ⌣_{A} B. Wegen p ⊥̸ A gilt dann p^{σ} ⊥̸ p (1.15) und p kann durch p^{σ} ersetzt werden. Dann klappt alles. □

2.10 Lemma (Additivität) Es seien stp(a/A), stp(b/A) p-einfach, dann ist auch stp(ab/A) p-einfach und es gilt:

w_{p}(ab/A) = w_{p}(a/Ab) + w_{p}(b/A)

Beweis Sei M ⊃ A_{0}A ein a-Modell, M | ⌣_{A} ab, M[b] sei ein a-Primmodell von Mb, so daß M[b] | ⌣_{Mb} a, I sei eine p|M-Basis von M[b]. Sei N ≻ M[b] ein a-Modell, dann gilt I ⊂ Y := {c ∈ N | c |̸ ⌣_{M} ab}, I läßt sich also durch J zu einer p|M-Basis IJ von Y fortsetzen. Behauptung: (I, M, b) realisiert w_{p}(b/M), (IJ, M, ab) realisiert w_{p}(ab/M), (J, M, a) realisiert w_{p}(a/M[b]) Beweis: (I, M, b) realisiert w_{p}(b/M) wegen (2.6), (IJ, M, ab) ist wegen (1.10(3)) ein Zeuge für stp(ab/M) und realisiert w_{p}(ab/M), weil IJ eine p|M-Basis von Y ist (und 2.5). Für den letzten Teil reicht es zu zeigen: J ist eine p|M[b]- Basis von {c ∈ N |c |̸ ⌣_{M[b]} a}. J ist unabhängig in p|M[b], denn J | ⌣_{M} I und I ist eine p|M-Basis von M[b] (Regularität). Sei c^{⊧}p|M[b], c ∈ N , c | ⌣_{M[b]} J, dann gilt c | ⌣_{M} M[b]J, also c | ⌣_{M[b]} a, denn stp(a/M) ⊥^{h} p. J ist also ein unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis, das beendet den Beweis der Behauptung. Insgesammt gilt deshalb: w_{p}(ab/M) = #IJ = #J + #I = w_{p}(a/M[b]) + w_{p}(b/M), und da alle Fortsetzungen nicht forkend waren, sind wir fertig. □

2.11 Korollar (1) (I, A, a) realisiere das endliche p-Gewicht eines p-einfachen Typen, sei B ⊃ A und stp(b/A) p-einfach, so gilt

w_{p}(ab/B) = w_{p}(Ib/B) und w_{p}(b/Ba) = w_{p}(b/BI)

(a und I sind also bei Gewichtsrechnungen “stets austauschbar”).

(2) Sind q_{1}, q_{2} ∈ St(A) p-einfach, so auch q_{1}⊗q_{2} und w_{p}(q_{1}⊗q_{2}) = w_{p}(q_{1})+w_{p}(q_{2}).

Beweis (1) stp(a/AI) ⊥^{h} p, also w_{p}(a/BI) ≤ w_{p}(a/AI) = 0, und da w_{p}(a/A) endlich

ist, ist w_{p}(a/A) = w_{p}(I/A) < ω (Zeugenlemma). w_{p}(I/Aa) + w_{p}(a/A) =^{additiv}

w_{p}(Ia/A) =^{additiv} w_{p}(a/AI) + w_{p}(I/A) = w_{p}(I/A), also w_{p}(I/Aa) = w_{p}(I/A) −

w_{p}(a/A) = 0. Wegen (Monotonie) ist w_{p}(I/Bab) = w_{p}(a/BIb) = 0, also

w_{p}(ab/B) = w_{p}(ab/B) +w_{p}(I/Bab) =^{additiv} w_{p}(Iab/B) =^{add} w_{p}(a/BIb)+w_{p}(Ib/B) =

w_{p}(Ib/B) und w_{p}(b/BI) =^{add} w_{p}(Ib/B) − w_{p}(I/B) =^{s.o.} w_{p}(ab/B) − w_{p}(a/B) =^{add}

w_{p}(b/Ba).

(2) Sei ab^{⊧}q_{1} ⊗ q_{2}, dann w_{p}(ab/A) = w_{p}(a/Ab) + w_{p}(b/A) und w_{p}(a/Ab) = w_{p}(a/A), da a | ⌣_{A} b. □

2.12 Lemma (endlicher Charakter) Sei stp(a/A) p-einfach von endlichem p-Gewicht, dann gibt es für jede Parametermenge B ein endliches B_{0} ⊂ B, so daß w_{p}(a/AB) = w_{p}(a/AB_{0}).

Beweis OE Ba | ⌣_{A} A_{0} (sonst konjugiere p geeignet über acl(A)), M ⊃ A_{0}A sei ein a-Modell mit Ba | ⌣_{A_{0}A} M, also Ba | ⌣_{A} M, (I, M, a) realisiere w_{p}(a/A). Wegen des Korollars (2.11) gilt für beliebige B′ ⊂ B : w_{p}(I/MB′) =

w_{p}(a/MB′) =^{|_{⌣}} w_{p}(a/AB′) und nach 2.2 gilt w_{p}(I/MB′) = dim_{p|MB′}(I).

Behauptung: Es gibt ein endliches B_{0} ⊂ B, so daß dim_{p|MB}(I) = dim_{p|MB_{0}}(I) Beweis: Sei J eine p|MB-Basis von I, B_{i} ⊂ B endlich mit i |̸ ⌣_{M} JB_{i} für i ∈ I\J und B_{0} = ⋃_{i∈I\J} B_{i} (B_{0} ist endlich, da I endlich ist). J ist dann eine p|MB_{0}-Basis von I, denn J ist unabhängig in p|MB_{0} weil J unabhängig in p|MB war und alle i |̸ ⌣_{M} B_{0}J, also stimmen beide Dimensionen mit #J überein.

Insgesammt haben wir also: w_{p}(a/AB) = w_{p}(a/MB) = w_{p}(I/MB) = dim_{p|MB}(I) = dim_{p|MB_{0}}(I) = w_{p}(I/MB_{0}) = w_{p}(a/MB_{0}) = w_{p}(a/AB_{0}) □

Man beachte, daß der Beweis der Behauptung ganz wie der Beweis von (endl. Charakter_{2}) für Prägeometrien aussieht. Der Grund, warum ich die Behauptung nicht aus (endlicher Charakter_{2}) folgern kann ist, daß B keine Teilmenge der Prägeometrie sein muß, p|MB also keine echte Lokalisierung ist. Der modelltheoretische Grund, warum der Beweis trotzdem klappt ist natürlich der endliche Charakter des Forkens. Ich mache darauf aufmerksam, weil es das erste Beispiel dafür ist, daß sich eine Eigenschaft, die sich auf Lokalisierungen überträgt, auch auf nicht forkende Fortsetzungen überträgt.

2.2.3 Der gewichtete Raum D_{p}(A)

Ab jetzt sei A_{0} = Cb(p). Ich nehme nun wieder einen algebraischeren Standpunkt ein.

2.13 Definition Für A ⊥̸ p und beliebiges X sei

D_{p}(A) := {a | stp(a/A) ist p-einfach von endlichem p-Gewicht}
cl_{p}^{A}(X) := c̃l_{p}(AX) ∩ D_{p}(A)

Man beachte, daß cl_{p}^{A} auf beliebige Parameterklassen angewendet werden kann. Aus den Definitionen und den Eigenschaften des vorigen Abschnitts erhält man für A ⊂ B: acl(A) ⊂ c̃l_{p}(A) = cl_{p}^{A}(∅) ⊂ D_{p}(A) ⊂ D_{p}(B) und

(D_{p}(A), cl_{p}^{A}) ⊂ (C, c̃l_{p})_{A}

Aber Achtung, D_{p}(A) ist im allgemeinen kein abgeschlossener Unterraum von (C, c̃l_{p})_{A}, in nicht superstabilen Theorien kann es zum Beispiel für ein M ⊃ A_{0} einen p-einfache Typ stp(a/M) von unendlichem p-Gewicht geben, für ein geeignetes I ⊂ p^{C} ⊂ D_{p}(M) ist dann w_{p}(a/MI) = 0, also a ∈ c̃l_{p}(D_{p}(A))\D_{p}(A). Es gilt aber

2.14 Lemma Es sei c ∈ c̃l_{p}(AB) und B ⊂ D_{p}(A), dann ist stp(c/A) ist p-einfach und w_{p}(c/A) ≤ w_{p}(B/A).

Beweis Wähle ein geeignetes M ⊃ A mit M | ⌣_{A} Bc und eine Realisierung (I, M, B) von w_{p}(B/A), dann ist B ⊂ c̃l_{p}(MI), also c ∈ c̃l_{p}(MI), also ist (I, M, c) ein Zeuge für tp(c/M). Wegen c | ⌣_{A} M (und A ⊥̸ p) folgt die Behauptung. □

Es folgt, daß für B ⊂ D_{p}(A) mit w_{p}(B/A) < ω gilt: c̃l_{p}(AB) ⊂ D_{p}(A), also

c̃l_{p}(AB) = cl_{p}^{AB}(∅) = cl_{p}^{A}(B).

Ich werde nun noch einmal die bisher gezeigten Eigenschaften auflisten, aus ihnen folgt dann insbesondere der erwartete

2.15 Satz Für jedes A ⊥̸ p ist (D_{p}(A), cl_{p}^{A}, w_{p}) ein gewichteter Raum.

Es seien X, Y ⊂ D_{p}(A) und B beliebig:

(Additivität) w_{p}(XY/A) = w_{p}(X/AY) + w_{p}(Y/A)
(Monotonie) w_{p}(X/A) ≥ w_{p}(X/AB)
(cl_{p})  Z ⊂ cl_{p}^{A}(X), Z′ ⊂ c̃l_{p}(A), so w_{p}(XZ/A) = w_{p}(X/A) = w_{p}(X/AZ′)
(endl Char) X ist genau dann endlich gewichtet, wenn es ein a ∈ D_{p}(A) gibt,

so daß X ∼_{cl_{p}^{A}} a. Dann gibt es endliche X_{0} ⊂ X und B_{0} ⊂ B:

w_{p}(X/A) = w_{p}(X^{0}/A) und w_{p}(X/AB) = w_{p}(X/AB_{0})
( | ⌣)  X | ⌣_{A} B, so w_{p}(X/A) = w_{p}(X/AB)
(Algebr)  acl^{A}(X) ⊂ cl_{p}^{A}(X)
(Zeugen)  Ist a ∈ D_{p}(A) und (I, A, a) eine Realisierung von w_{p}(a/A), so
a ∼_{cl_{p}^{A}} I
(?)  Ist X endlich gewichtet, so c̃l_{p}(AX) = cl_{p}^{A}(X)

Ist A ⊃ A_{0}, so ist also auch ⋃_{n<ω} p^{(n)} ⊂ D_{p}(A) und (⋃_{n<ω} p^{(n)}, cl_{p}^{A}, w_{p}) ist der von (p^{C}, dim_{p|A}) induzierte gewichtete Raum (siehe Kapitel 1.3.6). Zu Unabhängigkeit in D_{p}(A) sage ich p-Unabhängigkeit, dieser Unabhängigkeitsbegriff unterscheidet sich von Begriff der Forkingunabhängigkeit: Forkingunabhängigkeit impliziert p-Unabhängigkeit.

2.2.4 Kanonische Basen

Kanonische Basen sind ein wichtiges technisches Hilfsmittel und die folgenden Eigenschaften werde ich häufig unerwähnt verwenden.

2.16 Lemma Es sei a ∈ D_{p}(A), B ⊃ A und C = Cb^{s}(a/B):

(1) C ⊂ cl_{p}^{A}(B)

(2) w_{p}(a/A) = w_{p}(a/B) ⇔ C ⊂ cl_{p}^{A}(∅)

(3) w_{p}(C/A) ist endlich.

(4) Cb(B/Aa) ⊂ cl_{p}^{A}(a).

Beweis Es sei c ∈ C und (b_{1}, ..., b_{k}) = b̄ eine unabhängige Folge in tp(a/B), so daß c ∈ dcl(b̄).

(1) dcl(b̄) ⊂ acl(Ab̄) ⊂ D_{p}(A) und c ∈ acl(B_{0}) ⊂ cl_{p}(B_{0}) für ein endliches B_{0} ⊂ B, also c ∈ cl_{p}^{A}(B)

(2) ”⇒”: zu zeigen ist w_{p}(c/A) = 0. Ist w_{p}(a/A) = w_{p}(a/B), so w_{p}(b̄/A) = w_{p}(b̄/B) < ω, denn w_{p}(b̄/A) ≤ ∑_{i=1}^{k} w_{p}(b^{i}/A) = k.w_{p}(a/A) = k.w_{p}(a/B) = w_{p}(b̄/B) ≤ w_{p}(b̄/A). Also w_{p}(b̄/A) ≤ w_{p}(b̄/Ac) ≤ w_{p}(b̄/Bc) = w_{p}(b̄/B) (da c ∈ acl(B)). Aus w_{p}(b̄/A) = w_{p}(b̄/Ac) folgt mit der Additivität (und dem endlichen p-Gewicht von stp(b̄/A)) w_{p}(c/A) = w_{p}(c/Ab̄). Aber w_{p}(c/Ab̄) = 0, da c ∈ dcl(b̄), folglich c ∈ cl_{p}(A).

”⇐”: w_{p}(a/A) =^{V or} w_{p}(a/AC) =^{|_{⌣}} w_{p}(a/B) ≤ w_{p}(a/A)

(3) Es sei b_{α} eine Morleyfolge in stp(a/B), so daß stp(a/B)∥stp(a/Ab_{α}), dann C = Cb^{s}(a/Ab_{α}) und w_{p}(a/Ab_{α}) = w_{p}(a/B) < ω. Aber (wegen endlichem Charakter) w_{p}(a/Ab_{α}) = w_{p}(a/Ab̄) für ein geeignetes endliches Tupel b̄ ∈ b_{α}. Aus (2) folgt C ⊂ cl_{p}^{Ab̄}(∅) = cl_{p}^{A}(b̄), also w_{p}(C/A) ≤ w_{p}(b̄/A) < ω. (Mit dem endlichen Charakter hätte man zwar sofort ein endliches B_{0} ⊂ B bekommen mit C ⊂ cl_{p}^{AB_{0}}(∅), aber eventuell B_{0} ⊄ D_{p}(A).)

(4) Cb(B/Aa) ⊂ dcl(Aa) ⊂ c̃l_{p}(Aa) = cl_{p}^{A}(a). □

Anmerkung Man beachte die Verwandtschaft von (2) mit ”a | ⌣_{A} B ⇔ C ⊂ acl(A)”. Kanonische Basen sind ein zentralen Hilfsmittel und man möchte gerne mehr über ihr Gewicht wissen. Wünschenswert wäre folgende Situation: a ∈ D_{p}(A), B ⊃ A, w_{p}(Cb^{s}(a/B)/A) = w_{p}(a/A) − w_{p}(a/B). Eine kurze Gewichtsrechnung zeigt, daß das äquivalent ist zu: a ∈ D_{p}(A), B ⊃ A, Cb^{s}(a/B) ⊂ cl_{p}^{A}(a). (denn w_{p}(C/A) = w_{p}(C/Aa) + w_{p}(a/A) − w_{p}(a/B) wegen Additivität und w_{p}(a/AC) = w_{p}(a/B)). Das ist i.a. natürlich falsch, erinnert aber an 1-Basiertheit (”Cb^{s}(a/B) ⊂ acl(a)”). Ich werden später, im Abschnitt über Modularität, nochmal darauf zurückkommen. Zum Abschluß bringe ich noch ein interessantes Lemma, welches ich jedoch nicht weiter verwenden werde (glaube ich). Man beachte, daß die Aussage nur für den Fall interessant ist, wenn b |̸ ⌣_{B} a (denn sonst Cb(Bb/Aa) ⊂ acl(A)).

2.17 Lemma Sei A = acl(A) ⊂ B, a | ⌣_{A} B und b ∈ D_{p}(B), dann Cb(Bb/Aa) ⊂ D_{p}(A)

Beweis Sei c ∈ C = Cb(Bb/Aa) und (B_{i}b_{i})_{i≤k} unabängig in tp(Bb/Aa), so daß c ∈ dcl(B_{1}b_{1}...B_{k}b_{k})

Behauptung: c ∈ D_{p}(B_{1}...B_{k}) Beweis: b ∈ D_{p}(B) ⇒ b_{i} ∈ D_{p}(B_{i}) (i ≤ k), denn es gibt σ_{i} ∈ Aut_{A} mit σ_{i}(Bb) = B_{i}b_{i}, also b_{i} ∈ D_{σ_{i}(p)}(B_{i}) = D_{p}(B_{i}) (da wegen 1.15 σ_{i}(p) ⊥̸ p, hier geht A = acl(A) ein!). Wegen (Monotonie) und (Additivität) gilt dann (b_{1}...b_{k}) ∈ D_{p}(B_{1}...B_{k}), also c ∈ dcl(B_{1}...B_{k}, b_{1}...b_{k}) ⊂ D_{p}(B_{1}...B_{k}), fertig.

Behauptung: c | ⌣_{A} B_{1}...B_{k} Beweis: a | ⌣_{A} B, a | ⌣_{A} B_{1}...B_{k} (B_{1}...B_{k} sind unabhängig in tp(B/Aa)), mit c ∈ C ⊂ dcl(Aa) folgt die Behauptung. Insgesammt gilt also c ∈ D_{p}(A). □

Internalität

2.18 Lemma Es sei B ⊃ A, dann

Int_{A}(D_{p}(B)) = D_{p}(A) und Int_{A}(cl_{p}(B)) = cl_{p}(A)

Beweis Es sei q ∈ St(A) D_{p}(B)-intern, da D_{p}(B) A-invariant ist, gilt für ein hinreichend saturiertes M ⊃ B, daß q^{C} ⊂ dcl^{M}(D_{p}(B)), etwa a ∈ dcl^{M}(c_{1}, ..., c_{n}) für ein a^{⊧}q|M und geeignete c_{i} ∈ D_{p}(B) ⊂ D_{p}(M). Dann aber dcl^{M}(c_{1}, ..., c_{n}) ⊂ D_{p}(M) und a ∈ D_{p}(M). Wegen a | ⌣_{A} M gilt dann a ∈ D_{p}(A). Andersrum ist D_{p}(A) ⊂ D_{p}(B) ⊂ Int_{A}(D_{p}(B)). Für ,,cl_{p}” klappt der gleiche Beweis. □

2.19 Korollar Die Eigenschaft, p-einfach und von endlichen p-Gewicht zu sein (von p-Gewicht Null zu sein), vererbt sich von einem Typ q auf jeden q-internen Typ.

Mit dem Existenzlemma 1.8 erhält man dann auch das folgende

2.20 Korollar Es sei q p-einfach und r nicht q-fremd, r ∈ St(A) und A ⊥̸ p, dann gibt es einen nichtalgebraischen Typ r′ ∈ dcl(r), so daß r′ p-einfach ist. Hat q endliches p-Gewicht, so auch r′.

2.2.5 p-semireguläre Typen

Ich wende mich jetzt einer besonders guten Klasse von p-einfachen Typen zu, sie werden im folgenden eine wichtige Rolle spielen, weil man bei ihnen das Forken schon am p-Gewicht ablesen kann.

2.21 Definition Ein (stationärer) Typ q heißt p-semiregulär, wenn er p-einfach ist und es ein n < ω gibt, so daß q ⋄ p^{(n)} (n ≠ 0)

Das Paradebeispiel für einen p-semiregulären Typ ist natürlich p^{(n)} selber. Der Typ q ist genau dann p-semiregulär, wenn er endliches p-Gewicht hat und es eine Realisierung (I, M, a) gibt, so daß I ◇_{M} a (M ist natürlich ein geeignetes a-Modell, bei der einen Richtung muß man nur beachten, daß aus (p|M)^{(n)} ⊳_{M} q|M und q|M ⊳_{M} (p|M)^{(n)} schon (p|M)^{(n)} ◇_{M} q|M, folgt, wegen Regularität) Außerdem ist, falls stp(a/A) p-semiregulär ist und b ∈ acl(Aa), auch stp(ab/A) p-semiregulär (da a ◇_{B} ab für alle B ⊃ A), insbesondere ist p-Semiregularität eine gute Eigenschaft und Projektionen von p-semiregulären Typen sind wieder p-semiregulär – oder algebraisch. Für ⋆-Typen gilt die gleiche Definition.

2.22 Satz über p-semireguläre Typen Sei a ∈ D_{p}(A), dann sind äquivalent

(1) stp(a/A) ist p-semiregulär

(2) w_{p}(a/AB) < w_{p}(a/A) ⟺ a |̸ ⌣_{A} B (für alle B)

(3) a | ⌣_{A} c̃l_{p}(A)

(4) acl(Aa) ∩ cl_{p}(A) = acl(A)

(5) dcl(acl(A)a) ∩ cl_{p}(A) = acl(A)

(6) Für jeden p-einfachen Typ q gilt: q ⊥ p ⇒ q ⊥^{h} stp(a/A)

Beweis (1) ⇒ (2): Sei a |̸ ⌣_{A} B, zu zeigen: w_{p}(a/AB) < w_{p}(a/A) (die Umkehrung gilt stets) Sei (I, M, a) eine gute Realisierung von w_{p}(a/A), so daß I ◇_{M} a (das geht nach Voraussetzung), OE M | ⌣_{A} Ba, dann a | ⌣_{AB} MB, a |̸ ⌣_{M} B und (I, MB, a) ist ein Zeuge für stp(a/AB), also w_{p}(a/AB) ≤ dim_{p|MB}(I) ≤ dim_{p|M}(I) = w_{p}(a/A) Behauptung: dim_{p|MB}(I) < dim_{p|M}(I) Beweis: I ◇_{M} a und a |̸ ⌣_{M} B ⇒ I |̸ ⌣_{M} B, also ist I nicht unabhängig in p|MB. Da aber I unabhängig in p|M und endlich (!) ist, folgt die Behauptung.

(2) ⇒ (3) ⇒ (4): klar.

(4) ⇒ (5): acl(A) ⊂ dcl(acl(A), a) ∩ cl_{p}(A) ⊂ acl(Aa) ∩ cl_{p}(A) =^{(4)} acl(A)

(5) ⇒ (6): q sei ein p-einfacher Typ mit q ⊥ p, also w_{p}(q) = 0, da diese Voraussetzungen bei beliebiger Fortsetzung von q erhalten bleiben, reicht es zu zeigen: q ⊥ tp(a/A) (OE A = acl(A)). Sei M ⊃ A_{0}Adom(q) ein a-Modell, OE M | ⌣_{A} a, sei b^{⊧}q|M, zu zeigen: b | ⌣_{M} a. Wegen w_{p}(b/M) = 0 und 2.16

gilt Cb(Mb/Aa) ⊂ cl_{p}(A), also Cb(Mb/Aa) ⊂ dcl(Aa) ∩ cl_{p}(A) ⊂^{(5)} acl(A),

d.h. Mb | ⌣_{A} Aa, also q|M ⊥^{a} stp(a/A)|M, fertig.

(6) ⇒ (1) indirekt: Sei (I, M, a) eine gute Realisierung von w_{p}(a/A) mit I ⊂ M[a]. Angenommen I ⋫_{M}a, dann gibt es ein b mit b | ⌣_{M} I, b |̸ ⌣_{M} a. Sei C = Cb^{s}(Ia/Mb), dann a |̸ ⌣_{M} C (denn Ia |̸ ⌣_{M} Mb, also Ia |̸ ⌣_{M} C, wegen a ⊳_{M} Ia dann a |̸ ⌣_{M} C).

Behauptung: C ⊂ cl_{p}(M) Beweis: Es sei (I_{i}a_{i})_{ω} eine Morleyfolge in stp(Ia/Mb), wegen a ∈ cl_{p}(MI) sind alle a_{i} ∈ cl_{p}(MI_{i}), dann C ⊂ dcl(I_{i}a_{i}|i ≤ ω) ⊂ cl_{p}(MI_{ω}). Andererseits ist C ⊂ acl(Mb) und b | ⌣_{M} I, also b | ⌣_{M} I_{ω} und C | ⌣_{M} I_{ω}, damit folgt die Behauptung.

Für ein geeignetes c̄ ∈ C gilt dann w_{p}(c̄/M) = 0 und a |̸ ⌣_{M} c̄, also widerlegt tp(c̄/M) Aussage (6). □

2.23 Korollar (1) Die p-regulären Typen sind genau die p-semiregulären Typen von p-Gewicht 1.

(2) a ∈ D_{p}(A): stp(a/A) ist genau dann p-semiregulär, wenn stp(a/A)^{⊧}stp(a/cl_{p}(A))

(3) a ∈ D_{p}(A), Ā := cl_{p}(A)∩dcl(Aa), so ist stp(a/Ā) p-semiregulär und cl_{p}(Ā) = cl_{p}(A) (insbesondere w_{p}(a/Ā) = w_{p}(a/A)).

(4) Sei a ∈ D_{p}(A), B beliebig: w_{p}(a/A) = w_{p}(a/AB) ⇔ a | ⌣_{cl_{p}(A)} B

Beweis (1) Sei q p-einfach, q ⋄ p: ist q′ eine forkende Fortsetzung von q, so folgt aus dem Satz, daß das Gewicht fällt, also w_{p}(q′) = 0, d.h. q′ ⊥ p, dann auch q′ ⊥ q (da q ⋄ p), q ist demnach regulär. Der Rest ist klar.

(2) Bei keiner Fortsetzung von stp(a/A) nach S(cl_{p}(A)) verändert sich das p-Gewicht, mit Eigenschaft (3) folgt die Behauptung.

(3) Wegen dcl(Āa) ⊂ dcl(Aa) und cl_{p}(Ā) = cl_{p}(A) gilt cl_{p}(Ā) ∩ dcl(Āa) ⊂ cl_{p}^{A}(Ā) ∩ dcl(Aa) ⊂ cl_{p}(A) ∩ dcl(Aa) = Ā, mit dem Satz folgt dann, daß stp(a/Ā) p-semiregulär ist.

(4) Wegen Eigenschaft (4) ist stp(a/cl_{p}(A)) p-semiregulär, also w_{p}(a/cl_{p}(A)) = w_{p}(a/cl_{p}(A)B) ⇔ a | ⌣_{cl_{p}(A)} B, aber w_{p}(a/A) = w_{p}(a/cl_{p}(A)) und w_{p}(a/AB) = w_{p}(a/cl_{p}(A)B) □

Aus (2) und (3) folgt unter anderem, daß man cl_{p}(A) (in gewissem Sinne) wie eine Menge behandeln kann: es sei a ∈ D_{p}(A) und Ā wie in (3), dann gilt stp(a/Ā)^{⊧}stp(a/cl_{p}(A)) (z.B. gilt deshalb für ein a′^{⊧}stp(a/Ā)|B: a′^{⊧}stp(a/cl_{p}(A))|B).

2.24 Existenzsatz Es sei p′ p-semiregulär und q ⊥̸ p′, etwa q ∈ St(A) und A ⊥̸ p, dann gibt es einen p-einfachen nichtalgebraischen Typ q′ ∈ dcl(q), so daß

(1) 0 < w_{p}(q′) < ω

(2) q′ ist p-semiregulär, falls p′ p-regulär und q orthogonal zu jeder forkenden Fortsetzung von p′ ist.

Beweis Es sei B ⊃ A = acl(A) und q|B ⊥̸^{a} p′|B vermöge a |̸ ⌣_{B} b (a^{⊧}q|B, b^{⊧}p′|B), dann gilt für C := Cb(Bb/Aa): b |̸ ⌣_{A} C und C | ⌣_{A} B (wegen Bb |̸ ⌣_{A} C und a | ⌣_{A} B, C ⊂ dcl(Aa)). Sei c ∈ C\acl(A), so daß c |̸ ⌣_{B} b, tp(c/A) erfüllt dann das Gewünschte: tp(c/A) ∈ dcl(q) da c ∈ C ⊂ dcl(Aa) (deshalb habe ich nicht die kanonische Basis des starken Typs genommen). Seien (B_{i}b_{i})_{i≤k} unabhängig in tp(Bb/Aa), so daß c ∈ dcl(B_{1}b_{1}...B_{k}b_{k}), B̄ := ⋃ B_{i} ⊃ A, dann gilt dcl(Ac) ⊂ dcl(Aa) ∩ dcl(B̄b_{1}...b_{k}).

(1) stp(c/A) ist p′-intern und p′ hat endliches p-Gewicht, also auch stp(c/A) (2.19). Nach Voraussetzung ist stp(b/B) p-semiregulär, wegen b |̸ ⌣_{B} c gilt deshalb w_{p}(b/Bc) < w_{p}(b/B), also c ∉ cl_{p}(B) und auch w_{p}(c/A) > 0.

(2) OE p′ = p. . Wegen des Satzes über semireguläre Typen reicht es zu zeigen: d ∈ dcl(Ac)\acl(A) ⇒ w_{p}(d/A) > 0. Für ein solches d gilt d | ⌣_{A} B̄ (denn c | ⌣_{A} B̄, s.o.) und d ∈ dcl(B̄b_{1}...b_{k}), folglich d |̸ ⌣_{B̄} b_{1}...b_{k} (sonst wäre d ∈ acl(A)). Wähle b̄ ∈ b_{1}...b_{k} maximal mit d | ⌣_{B̄} b̄, OE b_{1} ∉ b̄, dann d |̸ ⌣_{B̄b̄} b_{1}

Behauptung: stp(b^{1}/B̄b̄) ist regulär und nichtorthogonal zu p Beweis: Nach Voraussetzung ist stp(a/A) orthogonal zu jeder forkenden Fortsetzung von p und da stp(b^{1}/B_{1}) über A = acl(A) zu p|B konjugiert ist und d ∈ dcl(Aa), gilt dasselbe für stp(d/A) anstelle von stp(a/A) und für stp(b^{1}/B_{1}) anstelle von p. Da nun stp(d/A)|B̄b̄ ⊥̸^{a} stp(b^{1}/B̄b̄) (vermöge d |̸ ⌣_{B̄b̄} b_{1}), muß stp(b^{1}/B̄b̄) die nichtforkende Fortsetzung von stp(b^{1}/B_{1}) sein. Weil außerdem stp(b^{1}/B_{1}) regulär und nicht orthogonal zu p ist, folgt die Behauptung.

Es gilt also stp(d/A) ⊥̸ p, d.h. w_{p}(d/A) > 0 □

2.3 Modularität

Jetzt ist es an der Zeit, für die Mühen etwas zu ernten. Es wird sich nun zeigen, daß die Theorie des p-Gewichts und besonders der gewichtete Raum (D_{p}(A), cl_{p}^{A}) eine wichtige Rolle in der geometrischen Stabilitätstheorie spielt.

2.3.1 D_{p}(A) als modularer Raum

Ich habe auf Seite 55 die Frage nach dem genauen Gewicht von kanonischen Basen und die Parallele zur Monobasiertheit angesprochen. Monobasiertheit bedeutet, daß je zwei algebraisch abgeschlossene Mengen unabhängig über ihrem Schnitt sind, man darf also auch eine Verwandtschaft mit der Modularität vermuten. Diesen Fragen wende ich mich jetzt noch einmal zu, bevor ich eine wichtige Charakterisierung der lokalen Modularität von Typen gebe.

3.1 Modularitätslemma Für alle D_{p}(A) sind äquivalent

(1) D_{p}(A) ist modular

(2) Für alle a, b ∈ D_{p}(A) gilt: a | ⌣_{cl_{p}^{A}(a)∩cl_{p}^{A}(b)} b

(3) Für a ∈ D_{p}(A) und beliebiges B gilt: a | ⌣_{cl_{p}^{A}(a)∩cl_{p}^{A}(B)} B

(4) Für alle a ∈ D_{p}(A), B ⊃ A : stp(a/B) p-semiregulär ⇒ Cb^{s}(a/B) ⊂ cl_{p}^{A}(a)

Beweis (1) ⇔ (2): Modularität bedeutet, daß endlich gewichtete abgeschlossene Unterräume unabhängig über ihrem Schnitt sind, Gewichtsunabhängigkeit und Forkingunabhängigkeit sind aber über abgeschlossenen (in D_{p}(A)) Mengen dasselbe.

(1) ⇒ (4): Sei C = Cb^{s}(a/B), D = cl_{p}^{A}(C) ∩ cl_{p}^{A}(a), dann w_{p}(a/AD) =^{mod.}

w_{p}(a/AC) =^{|_{⌣}} w_{p}(a/B) = w_{p}(a/BD) (da D ⊂ cl_{p}(B)), also nach (2.16) Cb^{s}(a/BD) ⊂

cl_{p}^{A}(D). Da stp(a/B) semiregulär ist und w_{p}(a/B) = w_{p}(a/BD), gilt a | ⌣_{B} D, also Cb^{s}(a/BD) = Cb^{s}(a/B) = C, also C ⊂ cl_{p}^{A}(D) ⊂ cl_{p}^{A}(a).

(4) ⇒ (3): Es sei a ∈ D_{p}(A), B beliebig, B̄ = cl_{p}(AB) ∩ acl(ABa) und D = cl_{p}(Aa) ∩ cl_{p}(AB), dann ist cl_{p}(AB̄) = cl_{p}(AB), stp(a/B̄) p-semiregulär und w_{p}(a/B̄) = w_{p}(a/B̄D), also (Semiregularität) a | ⌣_{B̄} D, d.h. Cb^{s}(a/B̄D) = Cb^{s}(a/B̄). Wegen (3) ist Cb^{s}(a/B̄) ⊂ cl_{p}(Aa), also Cb^{s}(a/B̄D) ⊂ cl_{p}(Aa) ∩ cl_{p}(AB) = D und deshalb a | ⌣_{D} B̄ und a | ⌣_{D} B.

(3) ⇒ (2) ist klar □

3.2 Korollar Ist T monobasiert, so sind alle D_{p}(A) modular Ist T monobasiert, so gilt für alle kanonischen Basen Cb^{s}(a/B) ⊂ acl(a) ⊂ cl_{p}^{A}(a) □

Eigenschaft (3) gilt auch für beliebige Teilmengen von D_{p}(A), d.h. D_{p}(A) ist genau dann modular, wenn für C ⊂ D_{p}(A) und beliebiges B gilt:

C  | ⌣_{cl_{p}^{A}(C)∩cl_{p}^{A}(B)} B

Außerdem gilt wegen den Bemerkungen auf Seite 55 gilt, daß Modularität von D_{p}(A) gleichbedeutend zur “optimalen Kontrolle” des Gewichts (einiger) kanonischer Basen ist: für alle p-semiregulären stp(a/B) (a ∈ D_{p}(A), B ⊃ A) gilt:

w_{p}(Cb^{s}(a/B)/A) = w_{p}(a/A) − w_{p}(a/B)

3.3 Definition In Anlehnung an Pillays Terminologie (Pillay, Definition 2.2.4) nenne ich den regulären Typ p ∈ St(A_{0}) linear, falls für a, b^{⊧}p, B ⊃ A_{0} und C = Cb^{s}(ab/B) gilt: stp(ab/B) p-regulär, so w_{p}(C/A_{0}) ≤ 1.

3.4 Modularitätssatz Es sei p ∈ St(A_{0}) ein regulärer Typ, dann sind äquivalent:

(1) p ist lokal modular.

(2) D_{p}(A) ist modular, für alle A ⊥̸ p.

(3) D_{p}(A_{0}) ist modular.

(4) p ist linear.

Beweis (1) ⇒ (2), der Weg ist naheliegend, aber etwas mühsam, ich brauche dazu noch ein

Lemma

Seien a, b ∈ D_{p}(A), M ⊃ A_{0}A, ab | ⌣_{A} M und (a, M, J_{a}), (b, M, J_{b}) Realisierungen von w_{p}(a/A), w_{p}(b/A): a und b sind fast disjunkt in D_{p}(A) ⇒ J_{a} und J_{b} sind fast disjunkt in (p|M, |̸ ⌣_{M})

Beweis Indirekt: Es gebe ein d^{⊧}p|M, so daß J_{a} |̸ ⌣_{M} d |̸ ⌣_{M} J_{b} Behauptung 1: Es gibt ein m ∈ M∩D_{p}(A), so daß cl_{p}^{A}(ma)∩cl_{p}^{A}(mb) ⊄

cl_{p}^{A}(M)

Beweis: Cb^{s}(ab/Md) ⊂ D_{p}(A) ∩ acl(Md) ⊂ cl_{p}^{A}(Ma) ∩ cl_{p}^{A}(Mb), denn d ∈ cl_{p}(Ma) ∩ cl_{p}(Mb). Da ab |̸ ⌣_{M} d (das Gewicht von d fälllt), gibt es ein c ∈ Cb^{s}(ab/Md), so daß c ∈ acl(Md)\M, also c ∉ cl_{p}(M) (Semiregularität von stp(d/M)) und c ∈ cl_{p}^{A}(Ma) ∩ cl_{p}^{A}(Mb)\cl_{p}^{A}(M). (Nun könnte sofort ein m ∈ M gefunden werden, welches die Behauptung erfüllt, wir wollen aber ein m ∈ M ∩ D_{p}(A)) Es sei C = Cb^{s}(abc/M), dann c | ⌣_{Ca} Ma, c | ⌣_{Cb} Mb, also c ∈ cl_{p}^{A}(Ca) ∩ cl_{p}^{A}(Cb) und für ein m ∈ C ⊂ M ∩ D_{p}(A) gilt dann c ∈ cl_{p}^{A}(ma) ∩ cl_{p}^{A}(mb)\cl_{p}^{A}(M). Behauptung 2: cl_{p}^{A}(ma) ∩ cl_{p}^{A}(mb) = cl_{p}^{A}(m, cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(b)) Beweis: Sei X = cl_{p}^{A}(ma)∩cl_{p}^{A}(mb) und C′ = Cb^{s}(X/Aab), so X | ⌣_{AC′} ab, also X | ⌣_{AC′m} Aabm und w_{p}(X/AC′m) = w_{p}(X/Aabm) = 0, d.h. X ⊂ cl_{p}^{A}(mC′). Wegen m ∈ M | ⌣_{A} ab, gilt w_{p}(ma/Aa) = w_{p}(ma/Aab), also w_{p}(X/Aa) = w_{p}(X/Aab), mit (2.16) dann C′ ⊂ cl_{p}^{A}(a), genauso C′ ⊂ cl_{p}^{A}(b). Folglich gilt cl_{p}^{A}(ma) ∩ cl_{p}^{A}(mb) = X ⊂ cl_{p}^{A}(mC′) ⊂ cl_{p}^{A}(m, cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(b)) ⊂ cl_{p}^{A}(ma) ∩ cl_{p}^{A}(mb), deshalb Behauptung 2. Insgesammt haben wir also cl_{p}^{A}(m, cl_{p}^{A}(a)∩cl_{p}^{A}(b)) = cl_{p}^{A}(ma)∩cl_{p}^{A}(mb) ⊄ cl_{p}^{A}(M) und deshalb cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(b) ⊄ cl_{p}^{A}(M). a und b sind also nicht fast disjunkt in D_{p}(A). □

Nun zum Beweis von (1) ⇒ (2): Es seien a, b ∈ D_{p}(A), zu zeigen ist: w_{p}(a/Ab) = w_{p}(a/A, cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(b)). A′ := A ∪ (cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(b)), dann sind a und b fast disjunkt in D_{p}(A′). Wähle ein M ⊃ A_{0}A′, so daß p|M modular ist, M | ⌣_{A′} ab (OE A_{0} | ⌣_{A} ab) und es Realisierungen (a, M, J_{a}), (b, M, J_{b}) von w_{p}(a/A′), w_{p}(b/A′) gibt. Wegen des Lemmas sind dann J_{a} und J_{b} fast disjunkt in p|M, also unabhängig wegen der Modularität von p|M. Diese Unabhängigkeit überträgt sich nun wieder: w_{p}(a/Ab) = w_{p}(a/A′b) = w_{p}(a/Mb) = w_{p}(J^{a}/MJ_{b}) = w_{p}(J^{a}/M) = w_{p}(a/M) = w_{p}(a/A′) = w_{p}(a/A, cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(b)), fertig.

(2) ⇒ (3) ist klar.

(3) ⇒ (4): Seien a, b^{⊧}p, B ⊃ A_{0} und sei stp(ab/B) p-regulär: da D_{p}(A_{0}) modular ist, gilt w_{p}(Cb^{s}(ab/B)/A_{0}) = w_{p}(ab/A_{0}) − w_{p}(ab/B) ≤ 2 − 1 (Modularitätslemma).

(4) ⇒ (1): Sei OE A_{0} = ∅, sei c^{⊧}p, ich zeige, daß jeder Kegel in p|c abgeschlossen ist. Seien a, b, B aus p|c, so daß b ∈ cl_{p}^{c}(Ba), zu finden ist ein d ∈ cl_{p}^{c}(B) ∩ p|c, so daß b ∈ cl_{p}^{c}(ad). OE a, b ∉ cl_{p}^{c}(B), b ∉ cl_{p}^{c}(a) (sonst ist die Sache klar), dann gelten die folgenden (Un)abhängigkeiten: Bab | ⌣ c, a | ⌣ Bc, b | ⌣ Bc, (abc)^{⊧}p^{(3)}, a |̸ ⌣_{Bc} b, also auch a |̸ ⌣_{B} b (da ab | ⌣_{B} Bc) und w_{p}(ab/B) = w_{p}(ab/Bc) = w_{p}(a/Bc) = 1.

Sei B′ := cl_{p}^{c}(B) ∩ dcl^{c}(ab) und C = Cb^{s}(ab/B′), dann ist stp(ab/B′) semiregulär von Gewicht 1, also auch w_{p}(ab/C) = 1 = w_{p}(a/C) (1 = w_{p}(a/B) = w_{p}(a/B′) = w_{p}(a/C)) und deshalb b ∈ cl_{p}(Ca), außerdem C ⊂ cl_{p}^{c}(B).

Behauptung: (i) C ⊂ cl_{p}(ab), (ii) a ≡_{C}^{s} c Beweis: Weil p linear ist, gilt w_{p}(C) = 1, mit (Additivität) folgt dann (i). w_{p}(c) = w_{p}(c/ab) =^{(i)} w_{p}(c/abC), also c | ⌣ C (semigerulär). Entsprechend w_{p}(a) = w_{p}(a/C) und a | ⌣ C, also folgt (ii), da a ≡^{s} c.

Wähle nun ein d, so daß ab ≡_{C}^{s} cd, dann erfüllt d das Gewünschte: b^{⊧}p|a, also d^{⊧}p|c, b ∈ cl_{p}^{a}(C), also d ∈ cl_{p}^{c}(C) ⊂ cl_{p}^{c}(B), schließlich folgt aus (i), daß C ⊂ cl_{p}(cd), zusammen mit b ∈ cl_{p}(Ca) erhält man b ∈ cl_{p}^{c}(ad). □

3.5 Korollar (1) Lokale Modularität ist eine Eigenschaft der Orthogonalitätsklasse von regulären Typen.

(2) Ist T monobasiert, so sind alle regulären Typen lokal modular.

Beweis (1) Sind p und p′ nicht orthogonale reguläre Typen, so sind alle Räume D_{p}(A) und D_{p′}(A) identisch, mit Charakterisierung (2) folgt das Gewünschte.

(2) folgt aus dem Korollar oben wieder mit Charakterisierung (2). □

Mit dem Modularitätslemma erhält man noch weitere Charakterisierungen der lokalen Modularität von regulären Typen. Eine neue Charakterisierung möchte ich zum Abschluß noch geben, dazu beachte man, daß D_{p}^{1}(A) = {a ∈ D_{p}(A) | w_{p}(a/A) = 1} eine Prägeometrie ist (siehe etwa ??).

3.6 Lemma Für den regulären Typ p ∈ St(A_{0}) sind äquivalent:

(1) p ist lokal modular.

(2) D_{p}^{1}(A) ist für alle A ⊥̸ p modular.

(3) Es gibt ein a-Modell M ⊃ A_{0} , so daß D_{p}^{1}(M) modular ist.

Beweis (1) ⇒ (2): Ist p lokal modular, so sind nach dem Modularitätssatz alle gewichteten Räume D_{p}(A) modular. Rein algebraisch folgt dann (wirklich?), daß auch die Prägeometrie D_{p}^{1}(A) modular ist.

(2) ⇒ (3) ist klar.

(3) ⇒ (1): Sei D_{p}^{1}(M) modular, dann ist p|M linear: OE M = ∅, seien a, b^{⊧}p, stp(ab/B) p-regulär, C = Cb^{s}(ab/B) und D = cl_{p}(ab) ∩ cl_{p}(C) ∩ D_{p}^{1}, dann w_{p}(ab/C) = w_{p}(ab/B) = w_{p}(ab/BD), also C = Cb^{s}(ab/CD) = Cb^{s}(ab/BD) (Semiregularität).

Behauptung: w_{p}(ab/C) = w_{p}(ab/D) Beweis: Es sei (c̄, ∅, ab) eine Realisierung von w_{p}(C), dann gilt C ∼_{cl_{p}} c̄ und folglich w_{p}(ab/C) = w_{p}(ab/c̄) und w_{p}(ab/D) = w_{p}(ab/cl_{p}(ab) ∩ cl_{p}(c̄) ∩ D_{p}^{1}). Wegen der Modularität von D_{p}^{1} folgt dann die Behauptung.

Dann gilt auch w_{p}(ab/D) = w_{p}(ab/CD) und nach (2.16) ist dann Cb^{s}(ab/CD) ⊂ cl_{p}(D). Also C ⊂ cl_{p}(ab) und w_{p}(C) = w_{p}(Cab) − w_{p}(ab/C) ≤ 2 − 1. □

Die Modularität von D_{p}^{1} konnte angewendet werden, weil c̄ ⊂ D_{p}^{1}. Um dieses c̄ zu bekommen, war es nötig, über einem a-Modell zu arbeiten, denn ich sehe nicht, warum eine solche ,,Basis” i.a. existieren muß (dazu werde ich später noch etwas sagen). Mit anderen Worten: die Parameterabhängigkeit des Lemmas ergibt sich aus der Tatsache, daß D_{p}^{1}(A) nur dann garantiert dicht genug in D_{p}(A) liegt, wenn A ein a-Modell ist.

2.3.2 Die Geometrie modularer Typen

Bevor ich mich den modularen Typen zuwende, will ich noch auf eine wichtige Kleinigkeit aufmerksam machen: ist p ∈ St(A) ein regulärer Typ, so gilt:

(p, |̸ ⌣_{A}) = (p|cl_{p}(A), |̸ ⌣_{cl_{p}(A)})

denn für alle unabhängigen I ⊂ (p)^{C} ist tp(I/A) p-semiregulär und w_{p}(I/A) = w_{p}(I/cl_{p}(A)), also I | ⌣_{A} cl_{p}(A) und deshalb ist I unabhängig in (p|cl_{p}(A))^{C}. Anders gesagt: für B ⊃ A sind (p, |̸ ⌣_{A}) und (p|B, |̸ ⌣_{B}) genau dann identisch, wenn für beliebige I ⊂ p^{C} gilt: w_{p}(I/A) = w_{p}(I/B). Es gilt dann natürlich nicht p^{C} | ⌣_{A} B, aber Semiregularität stopft gerade die entscheidende Lücke: für unabhängige I ⊂ p^{C} gilt I | ⌣_{A} B.

3.7 Lemma

Es sei p ∈ St(A) modular und I ⊂ p^{C} endlich, dann gilt für beliebiges B: cl_{p}^{A}(C ∩ p^{C}) = C, wobei C = cl_{p}^{A}(I) ∩ cl_{p}^{A}(B)

Beweis Es reicht zu zeigen, daß w_{p}(C ∩ p^{C}/A) = w_{p}(C/A): es sei I′ ≡_{C} I mit I′ | ⌣_{C} I, dann C ⊂ cl_{p}^{A}(I′), I′ ⊂ p^{C} (A ⊂ C) und cl_{p}^{A}(I′) ∩ cl_{p}^{A}(I) ⊂ cl_{p}^{A}(C) = C (da I′ | ⌣_{C} I), also cl_{p}^{A}(I′) ∩ cl_{p}^{A}(I) = C. Wegen der Modularität von p gilt dann w_{p}(I′/AI) = w_{p}(I′/A, C ∩ p^{C}) ≤ w_{p}(I′/AC) ≤ w_{p}(I′/AI), da auch w_{p}(I′C/A) = w_{p}(I′, C ∩ p^{C}/A), folgt mit der Additivität die Behauptung. □

Das p-Gewicht von C wird also schon von C ∩ p^{C} annuliert. Die Aussage des Lemmas ist übrigens Äquivalent zu: a ∈ cl_{p}^{A}(p^{C}) ⇒ a ∈ cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(a) ∩ p^{C})

[figure: D_{p}(A); B; p^{C}; I; cl_{p}^{A}(I); cl_{p}^{A}(B)]

Damit hat man wieder eine “globale Konsequenz” der Modulatität:

3.8 Satz Ist p ∈ St(A) regulär, dann sind äquivalent

(1) p ist modular

(2) Für alle endlichen I ⊂ p^{C} und beliebige B gilt: I | ⌣_{cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(I)∩cl_{p}^{A}(B)∩p^{C})} B

Beweis (1) ⇒ (2): Ist p modular, so gilt nach dem Modularitätslemma w_{p}(I/AB) = w_{p}(I/A, cl_{p}^{A}(I) ∩ cl_{p}^{A}(B)), letzteres ist aber wegen des Lemmas gerade w_{p}(I/A, cl_{p}^{A}(I) ∩ cl_{p}^{A}(B) ∩ p^{C}). Da Unabhängigkeit und w_{p}-Unabhängig-keit über abgeschlossenen Räumen dasselbe sind, folgt (2).

(2) ⇒ (1) ist klar nach Definition der Modularität. □

Die Unabhängigkeit I | ⌣_{cl_{p}^{A}(I)∩cl_{p}^{A}(B)} B hat man wegen des Modularitätslemmas schon dann, wenn p lokal modular ist. Ist p modular und von U-Rang 1, so weiß man, daß sogar I | ⌣_{cl_{p}^{A}(I)∩cl_{p}^{A}(B)∩p^{C}} B (sogar I | ⌣_{acl^{A}(I)∩acl^{A}(B)∩p^{C}} B, I und B sind

also unabhängig über dem Schnitt ,,ihrer Abschlüsse in p^{C}”). Ist p nicht minimal, so hat man nur die lokale p-Unabhängigkeit von I und B über dem Schnitt ,,ihrer Abschlüsse in p^{C}”, um globale Forkingunabhängigkeit zu bekommen, muß man noch einmal den cl_{p}^{A}-Abschluß bilden.

3.9 Korollar Es sei p ∈ St(A) modular, B ⊃ A und B_{p} := cl_{p}^{A}(B) ∩ p^{C}:

(1) p^{C} | ⌣_{cl_{p}^{A}(B_{p})} cl_{p}(B)

(2) (p|B, |̸ ⌣_{B}) = (p|B_{p}, |̸ ⌣_{AB_{p}})

(3) “Lokalisierungen” von modularen Typen sind echte Lokalisierungen.

(4) Trivialität ist eine Eigenschaft der gesammten Orthogonalitätsklasse regulärer Typen.

Beweis (1) Es sei I ⊂ p^{C}, dann I | ⌣_{cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(I)∩cl_{p}^{A}(B)∩p^{C})} B, I | ⌣_{cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(I)∩cl_{p}^{A}(B)∩p^{C})} cl_{p}(B)

und fertig wegen cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(I) ∩ cl_{p}^{A}(B) ∩ p^{C}) ⊂ cl_{p}^{A}(B_{p}) ⊂ cl_{p}(B).

(2) Wegen (1) gilt (p|cl_{p}^{A}(B_{p}), |̸ ⌣_{cl_{p}^{A}(B_{p})}) = (p|cl_{p}(B), |̸ ⌣_{cl_{p}(B)}), wendet man

nun die Bemerkung von oben auf beide Seiten an, so (p|cl_{p}^{A}(B_{p}), |̸ ⌣_{cl_{p}^{A}(B_{p})}) =

(p|B_{p}, |̸ ⌣_{AB_{p}}) (denn cl_{p}(AB_{p}) = cl_{p}^{A}(B_{p})) und (p|cl_{p}(B), |̸ ⌣_{cl_{p}(B)}) = (p|B, |̸ ⌣_{B}), fertig.

(3) Das folgt aus (3), da B_{p} ⊂ p^{C}.

(4) Folgt aus (3), da Lokalisierungen trivialer Abschlußstrukturen trivial bleiben (und Nichttrivialität vererbt sich auch auf nichtforkende Fortsetzungen). □

3.10 Korollar Ist p ∈ St(A) modular, so gilt

(1) Für alle q ∈ S(A) und n < ω gilt: q ⊥̸^{a} p^{(n)} ⇒ q ⊥̸^{a} p

(2) Es sei q ∈ St(A) modular, dann q ⊥̸^{a} p ⇔ q ⊥̸ p

Beweis (1) Es gilt für alle unabhängigen I ⊂ p^{C} und beliebige B: I | ⌣_{A} B ⇔ cl_{p}^{A}(I)∩ cl_{p}^{A}(B)∩p^{C} = ∅, denn wegen p-Semiregularität und 3.8 ist I | ⌣_{A,cl_{p}^{A}(I)∩cl_{p}^{A}(B)∩p^{C}} B. Wendet man das auf B = b^{⊧}q an, so folgt die Behauptung.

(2) Es sei q ⊥̸ p dann gilt q^{(m)} ⊥̸^{a} p^{(n)} (für geeignete m,n), (1) zweimal angewendet ergibt q ⊥̸^{a} p, die andere Richtung ist klar. □

(2) bedeutet, daß es in der Orthogonalitätsklasse eines lokal modularen Typs über jeder Parametermenge (höchstens) eine modulare Geometrie gibt. Damit haben wir einen guten Überblick über alle modularen Geometrien in der Orthogonalitätsklasse von p.

2.3.3 Geometrie in D_{p}(A)

Die D_{p}(A) haben eine nette Struktur, nun können wir anfangen, darin Geometrie zu betreiben. Es sei X ein abgeschlossener (endlich gewichteter) Unteraum von D_{p}(A). Ich sage, c_{1}, ...c_{n} ist eine Basis von X, wenn c_{1}, ..., c_{n} ∈ X, alle w_{p}(c^{i}/A) = 1 und w_{p}(c^{1}...c^{n}/A) = n = w_{p}(X/A). {c_{1}, ..., c_{n}} ist also eine Basis (im Sinne der Prägeometrie D_{p}^{1}(A)) in X ∩ D_{p}^{1}(A), die das p-Gewicht von X annimmt und X hat genau dann eine Basis, wenn w_{p}(X ∩ D_{p}^{1}(A)/A) = w_{p}(X/A). Ich sage ”D_{p}(A) hat Basen”, wenn jeder endlich gewichtete abgeschlossene Unterraum von D_{p}(A) eine Basis hat (dieser Begriff macht allgemein in gewichteten Räumen Sinn). Ist A = M ein a-Modell und (c_{1}...c_{n}, M, a) eine Relisierung von w_{p}(a/M), so ist c_{1}, ..., c_{n} eine Basis von cl_{p}^{M}(a) in D_{p}(M), D_{p}(M) hat also Basen, aber ich sehe keinen Grund, warum es über beliebigen Parametern Basen geben sollte.

3.11 Lemma Es sei p lokal modular, dann hat jedes D_{p}(A) Basen.

Beweis Es sei a ∈ D_{p}(A) und c_{1}, ..., c_{k} ∈ cl_{p}^{A}(a) seien schon gefunden (k < w_{p}(a/A)), so daß alle w_{p}(c^{i}/A) = 1 und w_{p}(c^{1}...c^{k}/A) = k, A′ := Ac_{1}...c_{k}. Wähle ein B ⊃ A′, so daß stp(a/B) p-semiregulär von p-Gewicht w_{p}(a/A′) − 1 ist (gehe etwa hoch in ein a-Modell und wähle einen Teil der Zeugenelemente, um das Gewicht von a kontrolliert zu verringern, dann mache alles p-semiregulär). Da D_{p}(A′) modular ist, gilt für C := Cb^{s}(a/B): C ⊂ cl_{p}^{A′}(a) und w_{p}(C/A′) = w_{p}(a/A′)−w_{p}(a/B) = 1. Es gibt dann also ein c′_{k+1} ∈ C, so daß w_{p}(c′_{k+1}/A′) = 1. Dann ist auch w_{p}(c^{1}...c^{k}c′_{k+1}/A) − w_{p}(c^{1}...c^{k}/A) = 1 und es gibt ein c_{k+1} ∈ cl_{p}^{A}(c_{1}...c_{k}c′_{k+1})\cl_{p}^{A}(c_{1}...c_{k}), für dieses gilt dann: c_{k+1} ∈ cl_{p}^{A}(a), w_{p}(c^{k+1}/A) = 1 und w_{p}(c^{1}...c^{k}c^{k+1}/A) = k + 1. Induktiv folgt also die Existenz einer Basis.

□

3.12 Korollar (Koordinatisierung) Es sei q ein beliebiger stationärer Typ, der nichtorthogonal zu p ist: ist p lokal modular, so gibt es einen p-einfachen Typ q′ ∈ cl_{p}(q) von p-Gewicht 1.

Beweis Wegen des Existenzsatzes 2.24 gibt es ein p-einfaches r ∈ acl(q) mit endlichem, positiven p-Gewicht. Zu a^{⊧}r gibt es wegen des Lemmas ein b ∈ cl_{p}^{A}(a) (A = dom(r)) mit w_{p}(b/A) = 1, also q′ := stp(b/A) ∈ cl_{p}(r) ⊂ cl_{p}(q). □

3.13 Lemma Es sei p ∈ St(A) ein lokal modularer nicht trivialer Typ, dann gilt: Zu je zwei unabhängigen Realisierungen a, b von p gibt es ein c ∈ D_{p}(A), so daß w_{p}(c/A) = 1 und (a, b, c) minimal abhängig ist. Ist p modular, so kann c schon in p^{C} gefunden werden.

Beweis Es sei (a, b)^{⊧}p^{(2)}. Da p nicht trivial ist, gibt es eine minimal abhängige Menge I = {a_{1}, ...a_{n}} in p^{C} der Mächtigkeit n ≥ 3. Dann sind insbesondere a_{1}, a_{2} unabhängige Realisierungen von p und deshalb läßt sich I so konjugieren, daß (a_{1}, a_{2}) in (a, b) übergeht (es gilt also in jedem regulären nicht trivialen Typ: es gibt ein n, so daß jedes unabhängige Paar zu einer minimal abhängigen Menge der Machtigkeit n fortgesetzt werden kann. Im allgemeinen hat man in nicht trivialen Prägeometrien nichtmals die Existenz einer solchen Fortsetzung).

Wähle also nun c_{1}, ..., c_{k}, so daß a, b, c_{1}, ..., c_{k} minimal abhängig über A sind. Dann ist w_{p}(ab/A) = 2, w_{p}(c^{1}...c^{k}/A) = k, w_{p}(abc^{1}...c^{k}/A) = k+1 und (Modularität) es gibt ein c ∈ cl_{p}^{A}(a, b) ∩ cl_{p}^{A}(c_{1}...c_{k}) mit w_{p}(c/A) = 1. Ist p modular, so kann c schon in p^{C} gefunden werden. Da a | ⌣_{A} c_{1}...c_{k} und c ∈ cl_{p}^{A}(c_{1}...c_{k}), gilt w_{p}(a/Ac) = w_{p}(a/A), aber stp(a/A) ist p-semiregulär, also a | ⌣_{A} c, analog b | ⌣_{A} c und (a, b, c) ist minimal abhängig. □

Insbesondere hat, falls p modular und nicht trivial ist, in der von p induzierten Geometrie jede Gerade eine Mächtigkeit ≥ 3.

Stabile Gruppen

Ich werde nun einigen Standardstoff aus der Theorie stabiler Gruppen darstellen, wobei es sich als praktisch erweist, die Theorie schon für homogene Räume zu entwickeln. Eine stabile Gruppe ist eine C-Gruppe, wobei C ein Monstermodell einer stabilen Theorie ist. Ich werde erst etwas über die Definierbarkeit der relevanten Objekte sagen und dann den Begriff der Generizität erläutern, mit dessen Hilfe die Struktur stabiler Gruppen genauer untersucht werden kann. Ein wichtiger Baustein für stabile Gruppen sind zusammenhängende Gruppen, und da jede solche Gruppe gerade ein Stabilisator (unter der kanonischen Operation der Gruppe auf ihren globalen Typen) ist, werde ich auch etwas über Stabilisatoren sagen. Es folgen dann einige Existenzsätze, welche ich später bei der Konstruktion des Vektorraumes verwenden werde. Zum Abschluß übertrage ich die Standardtheorie auf p-einfache Gruppen. Ich habe mich bemüht, den recht umfangreichen Stoff so zu gliedern, daß ich mit so wenig Zitaten wie möglich die Theorie verständlich machen kann. Lokale Modularität spielt in diesem Kapitel keine Rolle.

3.1 Typdefinierbare Gruppen und Gruppenoperationen

3.1. TYPDEFINIERBARE GRUPPEN UND GRUPPENOPERATIONEN 69

A sei eine Teilmenge des Monstermodells und B ⊃ A. Eine A-Gruppe ist eine A-typdefinierbare Klasse G zusammen mit einer A-Funktion μ : G × G → G, so daß (G, μ) eine Gruppe ist (für μ(g, h) schreibe ich natürlich g.h). Das neutrale Element ist dann A-invariant, also A-definierbar und die Inversabbildung wird durch die A-Formel ”g.x = 1” definiert, insbesondere sind g und g^{−1} A-interdefinierbar (das brauche ich z.B. bei Forkingrechnungen). Eine A-Gruppe ist auch eine B-Gruppe, mit den Konventionen vom Anfang der Arbeit gilt das auch, falls B eine Klasse ist. Eine C-Gruppe ist also eine (mengen)typdefinierbare Gruppe. Eine A-Gruppe heißt A-definierbar, wenn die Trägerklasse schon A-definierbar ist. Die modelltheoretischen Eigenschaften von G werden in C bestimmt, deshalb ist die Struktur G i.a. keine reine Gruppe, sondern eine Gruppe mit der von C induzierten Zusatzstruktur. G ohne die Zusatzstruktur nenne ich einfach die reine Gruppe G. Jeder A-Automorphismus läßt die Gruppenstruktur invariant, ist also eingeschränkt auf G ein Automorphismus von G (mit Zusatzstruktur) und jeder solche Automorphismus läßt sich zu einem A-Automorphismus fortsetzen (?!). Andererseits stammt natürlich nicht jeder reine Gruppenautomorphismus von G von einem Automorphismus des Monsters. G sei in diesem Abschnitt stets eine A-Gruppe.

3.1.1 Die Kategorie der C-Gruppen

Ein Morphismus von typdefinierbaren Gruppen ist natürlich ein typdefinierbarer Gruppenhomomorphismus. Die C-Gruppen bilden zusammen mit den C-Homomor-phismen die Kategorie der C-Gruppen. Viele modelltheoretischen Eigenschaften von C-Gruppen bleiben durch C-Homomorphismen erhalten, i.a. jedoch nicht durch reine Homomorphismen. Deshalb ist der reine Isomorphiebegriff hier nicht mehr adäquat, man braucht C-Isomorphie.

Untergruppen

Eine B-Untergruppe U von G ist eine Untergruppe von G, die B-typdefinierbar ist, die Gruppenoperation auf U sei dann durch die gleiche Formel gegeben, wie die auf G. Die Nebenklasse g.U ist dann Bg-typdefinierbar. Falls die Trägerklasse von U sogar der Schnitt von G mit einer B-definierbaren Klasse D ist, so heißt U eine relativ B-definierbare Untergruppe. D kann mit Kompaktheit so gewählt werden, daß die Gruppenverknüpfung und die Inversabbildung noch darauf definiert sind, sie sind dann aber i.a. nicht abgeschlossen auf D. Die Nebenklasse g.U ist dann relativ Bg-typdefinierbar, nämlich der Schnitt von G mit der Bgdefinierbaren Klasse g.D = ∃x(x ∈ D ∧ y = g.x)^{C}. Die relativ B-definierbaren Untergruppen von B-definierbaren Gruppen sind genau die B-definierbaren Untergruppen. B-Untergruppen sind abgeschlossen unter beliebigen Schnitten, relativ B-definier-bare Untergruppen hingegen nur unter endlichen Schnitten. Eine feste Formel φ(x; z) kann mit verschiedenen Parametern verschiedene Untergruppen definieren. Die Ordnung der relativ φ-definierbaren Untergruppen hat dcc:

1.1 Fakt Es sei φ(x; z) eine ∅-Formel und {c_{i} | i ∈ I} eine Klasse von Parametern, so daß für jedes i G_{i} := G ∩ φ(x, c_{i})^{C} eine Untergruppe von G ist, dann gibt es ein endliches I_{0} ⊂ I, so daß ⋂_{I} G_{i} = ⋂_{I_{0}} G_{i}.

Das ist gerade [?, 1.6.13] 1.2 Korollar

G_{i} ≤ G seien relativ A-definierbare Untergruppen (i ∈ I), dann gibt es ein I_{0} ⊂ I mit #I_{0} ≤ #T und ⋂_{I_{0}} G_{i} = ⋂_{I} G_{i}, d.h. für jede Schnitt von relativ A-definierbaren Untergruppen braucht man höchstens #T der Untergruppen.

Ein erfreulicher Satz von Hrushovski besagt, daß zwischen einer A-Gruppe G und einer A-definierbaren Oberklasse dieser Gruppe stets eine A-definierbare Obergruppe von G liegt, siehe etwa [?, 1.6.19]. Jede A-Gruppe G liegt also schon in einer A-definierbaren Gruppe Ĝ und ist Schnitt von höchstens #T vielen A-definierbaren Gruppen G_{i} ≤ Ĝ. Ganz genauso ist eine B-Untergruppe einer A-Gruppe gerade der Schnitt von höchstens |T |-vielen relativ B-definierbaren Untergruppen.

Quotienten

Eine relativ B-definierbare Untergruppe induziert über die Linksnebenklassen eine B-definierbare Äquivalenzrelation, denn ist die Untergruppe relativ definiert durch die B-Formel φ(x), dann ist Exy := φ(x^{−1}.y) eine B-Äquivalenzrelation auf G. Die kanonische Projektion pr_{E} ist eine B-Funktion und bildet die B-Klasse G auf die B-Klasse G/U := {pr_{E}(g)|g ∈ G} ab. Für das Element pr_{E}(g) ∈ C schreibe ich “g_{U}”, Achtung, g_{U}, also auch G/U, ist abhängig von der Wahl der Formel φ(x) und sollte außerdem nicht mit der Bg-Nebenklasse g.U ⊂ C verwechselt werden. Falls U nun ein Normalteiler von G ist, so wird G/U auf kanonische Weise zu einer B-Gruppe, wobei die kanonische Projektion ein B-Homomorphismus ist. Ich nenne G/U dann einen “B-Quotienten” von G. Mit Hilfe der Elemente von G/U lernen wir auch noch etwas über die Nebenklassen von U: g_{U} ist ein kanonischer Parameter für g.U (über B), d.h. ein B-Automorphismus fixiert g_{U} genau dann, wenn er g.U invariant läßt. Insbesondere ist g_{U} eindeutig bis auf B-Interdefinierbarkeit, g.U ist schon Bg_{U}-typdefinierbar und es gilt: G/U ⊂ dcl(B) ⇔ alle Linksnebenklassen von U sind B-invariant. Das gleiche kann auch für Rechtsnebenklassen gemacht werden, der kanonische Parameter von U.g ist dann _{U}g ∈ U\G. Sei H eine B-Untergruppe von G und g ∈ G, dann ist die Nebenklasse g.H Bg-typdefinierbar. Die Konstruktion des Quotienten klappt aber nicht mehr wie oben, da “g ≡ h modH” keine definierbare Äquivalenzrelation mehr ist. Man kann aber G/H noch hinreichend gut durch eine Klasse von unendlichen Tupeln repräsentieren: es sei H = ⋂_{I} H_{i} (H_{i} relativ B-definierbare Untergruppen), definiere für g ∈ G : g_{H} := (g_{H_{i}})_{i∈I}. Dieses Tupel im Monstermodell ist dann ein kanonischer Parameter (über B) der Nebenklasse g.H: falls ein B-Automorphismus g_{H} fixiert (also jedes g_{H_{i}}), so läßt er jedes g.H_{i} invariant, also auch g.H. Bewegt er jedoch ein g_{H_{i}}, so bewegt er die ganze Nebenklasse g.H_{i} auf eine andere Nebenklasse, die enthaltene Klasse g.H wird also auch wegbewegt. Damit sieht man auch, daß g_{H} bis auf B-Interdefinierbarkeit eindeutig ist (d.h. nur bis auf B-Interdefinierbarkeit von der Wahl der H_{i} abhängt) und daß g.H Bg_{H}- typdefinierbar ist. Der Faktor G/H wird mit {g_{H}|g ∈ G} identifiziert, sie ist dann die Extension eines (von der Wahl der H_{i} und der Wahl der definierenden Formeln abhängigen) partiellen ⋆-Typen (über B). Die Menge {H_{i}|i ∈ I} kann so gewählt werden, daß sie durch die Inklusion ”invers gerichtet” wird, d.h. für I_{0} ⊂ I endlich gibt es ein j ∈ I, so daß H_{j} ⊂ ⋂_{I_{0}} H_{i} (man kann z.B. die Menge sofort unter endlichen Schnitten abschließen). Mit dem gleichen Argument wie oben ist dann jedes g_{H_{i}} ∈ dcl^{B}(g_{H_{j}}) (i ∈ I_{0}) (G/H ist dann der projektive Limes von {G/H_{i}|i ∈ I}). Ich werde oft so tun, als ob g_{H} ein Element von C ist, ich deute das dann durch Anführungsstriche an, etwa “g_{H} ′ ∈′ A”, “G/H ′ ⊂′ acl(A)′′, “G/H ist ein ’B-Quotient’ von G”. Dann gilt wie oben: g_{H} ′ ∈′ dcl^{B}(g), alle G/H′ ⊂′ dcl(B) ⇔ alle Nebenklassen von H sind B-invariant. Mit Hilfe der kanonischen Parameter sieht man auch: ist H′ eine B′-invariante Nebenklasse von H und enthält H′ ein Element, das über B unabhängig von B′ ist, so ist H′ schon acl(B)-invariant (a ∈ H′, a | ⌣_{B} B′, so a_{H} ′ ∈′ dcl(B, a) ∩ B′ ⊂ acl(B)).

Kartesische Produkte

Sind G_{1}, ..., G_{k} A-Gruppen, so auch G_{1} ×...×G_{k} und die Projektionsabbildungen pr_{i} : G_{1} ×...×G_{k} → → G_{i} sind A-Funktionen. Für eine B-Gruppe H < G_{1} ×...×G_{k} ist pr_{i}(H) als Bild einer B-Klasse unter einer B-Funktion wieder eine B-Klasse, also eine B-Untergruppe von G_{i}. Für H < G_{1} × G_{2} sei kern(H) := {h_{1} ∈ G_{1}|(h_{1}, e) ∈ H} und cokern(H) := {h_{2} ∈ G_{2}|(e, h_{2}) ∈ H}, sind G_{1}, G_{2} und H A-Gruppen, so auch kern(H) und cokern(H).

Isomorphielemmas

Aus dem bisherigen Wissen über Definierbarkeit folgt, daß man bei den Isomorphielemmas die Kategorie der C-Gruppen nicht verläßt: Ist π : G → → H, alles typdefinierbar über A, so ist N = kern(π) relativ Adefinierbar, G/N eine A-Gruppe und der Isomorphismus G/N ≅ H ist eine A-Funktion. Sind U < H < G relativ A-definierbar, so ist die kanonische Bijektion G/H ∼ G/U/H/U eine A-Bijektion von A-Klassen. Sollte dabei H ein Normalteiler sein, so ist diese Bijektion ein Gruppenisomorphismus – das ist reine Algebra, die Definierbarkeit bleibt natürlich bestehen. Ist H nur eine A-Untergruppe, so gilt analog: durch die kanonische Bijektion sind alle g_{H} und (g_{U})_{H/U} A-interdefinierbar.

3.1.2 Typdefinierbare Gruppenoperationen

Eine A-Gruppenoperation (G, X) ist eine A-Gruppe G, die A-definierbar auf einer A-Klasse X operiert (also ω : G × X → X ist eine A-Abbildung, die X zu einem G-Raum macht, für ω(g, a) schreibe ich g.a). Ein Morphismus von Gruppenoperationen f : (G, X) → (H, Y) ist ein paar von Funktionen f_{1} : G → H und f_{2} : X → Y, wobei f_{1} ein Gruppenhomomorphismus ist und f_{2}(g.a) = f_{1}(g).f_{2}(a) ∀g ∈ G, a ∈ X. Ich verlange außerdem, daß f_{1} surjektiv ist. Ein A-Morphismus ist dann ein Morphismus, bei dem beide Abbildungen A-Funktionen sind. Für a ∈ X ist Stab_{G}(a) = G ∩ {x.a = a}^{C}, also relativ Aa-definierbar, und die Bahn von a ist als Bild der A-Klasse G unter der Aa-Abbildung (.a) Aa-typdefinierbar. (G,G) ist mit den üblichen Operationen jeweils eine A-Gruppenoperation, wenn ich nichts weiteres dazusage (etwa durch einen Index _{r} für die Rechtstranslation), ist stets die Linkstranslation gemeint. Durch ”g.a = a” operiert G trivial auf ganz C.

Wie gewohnt sind die homogenen Räume gerade die Faktorräume: Sei U ≤ G relativ A-definierbar, dann wird (G, G/U) durch g.(h/U) := (g.h)/U zu einer transitiven A-Gruppenoperation. Sei andererseits (G, X) eine transitive A-Gruppenoperation und a ∈ X, dann ist (G, G/Stab_{G}(a)) eine Aa-Gruppenopera-tion und bekannterweise ist die Abbildung g.a ↦ g_{Stab_{G}(a)} ein Isomorphismus von G-Räumen, er ist dann ein Aa-Isomorphismus. Eine B-Untergruppe H operiert durch Linkstranslation auf jeder ihrer Rechtsnebenklassen, (H, H.g)_{l} wird so zu einer regulären Bg-Gruppenoperation.

Ist H < G nur typdefinierbar, so ist zwar (G, G/H) ein homogener Raum, aber nicht typdefinierbar, da G/H nicht typdefinierbar ist (siehe oben). Die Konstrukton von oben zieht sich aber durch, für g_{H} = (g_{H_{i}})_{I} und g′ ∈ G ist g′.g_{H} = (g′.g)_{H} = ((g′.g)_{H_{i}})_{I} = (g′.g_{H_{i}})_{I}. Im Folgenden wird sich vieles von typdefinierbaren homogenen Räumen recht kanonisch auf “typdefinierbare” homogene Räume übertragen lassen.

3.1.3 Der G-Raum (G, X̂)

Ich habe vorher schon gesagt, wie Funktione auf Typen operieren. Es sei X̂ die Klasse der globalen Typen von X (bzw. der Stationaritätsklassen), ist dann p̂ ∈ X̂, so ist also erklärt, was g.p̂, die Funktion (g.) angewendet auf p̂, bedeutet. Dann ist g.p̂ ∈ X̂ (denn ist p̂ = stp(a/Bg), so ist g.p̂ = stp(g.a/Bg) und g.a ∈ X). So wird X̂ auf kanonische Weise zu einem G-Raum. Wie gehabt sei für einen beliebigen stationären B-Typ p von X g.p definiert als g.(p|g)(∈ S(Bg)). Ebenso ”operiert” X auf Ĝ, den stationären Typen von G durch (p, a) ↦ p.a = (p|a).a. Ist f = (f_{1}, f_{2}) : (G, X) → (H, Y) ein A-Morphismus von A-Gruppenoperationen, so induziert f einen Morphismus f̂ = (f̂_{1}, f̂_{2}) : (G, X̂) → (G, Ŷ), wobei f̂_{1} = f_{1} und f̂_{2} die Operation von f_{2} auf den (globalen) Typen von X ist. ˆ wird so zu einem Funktor von der Kategorie der typdefinierbaren Gruppenoperationen in die Kategorie der Gruppenoperationen. Natürlich schreibe ich i.a. f für f̂.

[figure: (G, X); (H, Y); (G, X̂); (H, Ŷ); f; f̂]

Zwei stationäre Typen von X nenne ich translatiert, wenn ihre ∥-Klassen in der gleichen Bahn liegen. Sind p und q translatiert, so sind sie offensichtlich interdefinierbar (a und g.a sind sogar Bg-interdefinierbar). Insbesondere teilen translatierte Typen alle guten Eigenschaften. Der Raum (G, X̂) spielt eine zentrale Rolle in der “parameterfreien Theorie”, als sehr wichtig werden sich auch die Stabilisatoren dieser Operation herausstellen, das können sie nur aufgrund von

1.3 Fakt Es sei (G, X) eine typdefinierbare Gruppenoperation und p̂ ∈ X̂, dann ist Stab(p̂) typdefinierbar.

(folgt z.B. aus [?, 1.6.17])

3.2 Generizität

Generizität ist ein zentraler Begriff für das Studium stabiler Gruppen, denn in gewissem Sinne sind “fast alle” Gruppenelemente generisch. Es ist wieder nützlich, den Begriff schon für Gruppenoperationen zu definieren.

3.2.1 Generische Typen

Generische Typen von C-Gruppenoperationen

Sei G weiterhin eine A-Gruppe und(G, X)eine A-Gruppenoperation, B sei setes eine Obermenge von A, g,h seien stets Elemente von G und a,b Elemente von X.

2.1 Definition (1) Ein Element a von X heißt B-generisch (in X, oder auch in (G, X)), wenn

∀g ∈ G : (a | ⌣_{B} g ⇒ g.a | ⌣_{B} g)

(2) Eine definierbare Klasse D (bzw. eine Formel) heißt generisch (in (G, X)), wenn endlich viele Translate von D ∩ X schon ganz X überdecken.

(3) Ein partieller Typ von X heißt generisch, wenn alle enthaltenen Formeln generisch sind.

2.2 Fakt Ist Π ein partieller B-Typ von X, so ist Π genau dann generisch, wenn es eine B-generische Realisierung von Π gibt.

Das folgt z.B. aus [?, 1.6.9].

2.3 Korollar (1) In jeder A-Gruppenoperation gibt es A-generische Elemente.

(2) Ein (vollständiger) B-Typ von X ist genau dann generisch, wenn alle seine Realisierungen B-generisch sind.

Beweis X ist selber ein generischer partieller A-Typ von (G, X), also enthält X eine A-generische Realisierung. Außerdem ist A-Generizität nur abhängig vom A-Typ des Elements, damit folgt (2). □

Ich werde hauptsächlich diese Charakterisierung von generischen Typen verwenden. Deshalb noch ein paar Bemerkungen zu Forkingrechnungen:

Bemerkungen:

(1) Will man für ein a mit a | ⌣_{B} g nachgerechnen, ob g.a | ⌣_{B} g, so kann a ohne Einschränkung unabhängig (über B) von weiteren Parametern gewählt werden: a | ⌣_{B} g und a^{σ} | ⌣_{Bg} C (σ ∈ Aut_{Bg}), dann a^{σ} | ⌣_{B} Cg und g.a | ⌣_{B} g ⇔ a^{σ}.g | ⌣_{B} g (2) Für ein B-generisches Element a ∈ X gilt ein Analogon zur Domination: ist g ∈ G und C eine beliebige Parametermenge, so

a | ⌣_{B} gC ⇒ g.a | ⌣_{B} gC

denn a | ⌣_{B} gC ⇒ g.a | ⌣_{Bg} gC und g.a | ⌣_{B} g, also g.a | ⌣_{B} gC.

Offensichtlich sind Restriktionen von generischen (partiellen) Typen wieder generisch, natürlich gilt das auch für nichtforkende Fortsetzungen:

2.4 Lemma a ∈ X sei A-generisch und a | ⌣_{A} B, so ist a auch B-generisch.

Beweis a | ⌣_{B} g, so a | ⌣_{A} g und a | ⌣_{Ag} B, also g.a | ⌣_{A} g und g.a | ⌣_{Ag} B, also g.a | ⌣_{A} gB und g.a | ⌣_{B} g. □

Ein partieller Typ von X ist also genau dann generisch, wenn er von einem (globalen) generischen Typ fortgesetzt wird und wie erwartet ist Generizität eine Forkinginvariante. Daß i.a. aber auch nichtforkende Fortsetzungen eines generischen Typen generisch sein können, zeigt schon das triviale Beispiel: bei der trivialen Operation sind alle Typen generisch. Generizität hängt nur vom Typ, nicht vom starken Typ ab, für a ∈ X ist also tp(a/B) genau dann generisch, wenn stp(a/B) generisch ist. Es ist eleganter und übersichtlicher, Generizität auf der Ebene der stationären Typen zu behandeln, deshalb seien generische Typen von nun an stets stationär. G (bzw. G_{X}) sei die Klasse der (globalen) generischen Typen bzw. ihre Stationaritätsklassen, also G ⊂ X̂. Gerechnet wird natürlich weiterhin auf der Ebene der Elemente.

2.5 Lemma (1) Translate von generischen B-Typen sind generisch und acl(B)-definierbar.

(2) Ein C-Morphismus von C-Gruppenoperationen erhält die Generizität von Typen.

Beweis (1) Es sei a B-generisch und a | ⌣_{B} g, so ist g.a Bg-generisch: g.a | ⌣_{Bg} h, so OE h | ⌣_{Bg} a, dann a | ⌣_{B} h.g, h, g und (h.g).a | ⌣_{B} h.g, h, g (da a B-generisch ist), also h.(g.a) | ⌣_{Bg} h, außerdem ist g.a | ⌣_{B} g. Ist also p = stp(a/B) generisch, so auch g.p = stp(g.a/Bg) und dieser Typ forkt nicht über B.

(2) a ∈ X sei B-generisch und OE seien (G, X), (H, Y) und f B-typdefinierbar, so ist f(a) B-generisch in (H, Y): sei f(a) | ⌣_{B} h, OE h | ⌣_{B} a. Wähle ein g ∈ G mit h = f(g) (f : G → → H ist surjektiv nach Definition), OE g | ⌣_{Bh} a, dann g, h | ⌣_{B} a und a | ⌣_{B} g, also g.a | ⌣_{B} g und f(g.a) | ⌣_{B} f(g). Aber f(g.a) = f(g).f(a) und f(g) = h, also h.f(a) | ⌣_{B} h. □

Aus (1) folgt, daß (G, G_{X}) ein Unterraum von (G, X̂) ist und aus (2) folgt, daß f̂ : (G, G_{X}) → (H, G_{Y}) ein Morphismus ist (falls f : (G, X) → (H, Y) ein C-Morphismus ist).

[figure: (G, X̂); (H, Ŷ); (G, G_{X}); (H, G_{Y}); f̂; f̂_{|G_{X}}]

Außerdem bildet ein A-Morphismus (unter der Operation der Gruppen auf den generischen Typen) Bahnen surjektiv auf Bahnen ab (das ist eine allgemeine Eigenschaft von Morphismen) und (2) angewendet auf den C-Morphismus (.a) : (G, G)_{l} → (G, X) ergibt: Ist g B-generisch in G und g | ⌣_{B} a ∈ X, so ist g.a Ba-generisch in X. Da es einen generischen acl(A)-Typ gibt und alle seine Translate sind acl(A)- definierbar sind, ist jeder generische Typ von (G, X) acl(A)-definierbar, falls (G, G) transitiv ist.

2.6 Fakt Ist (G, X) transitiv, so auch (G, G_{X}).

Das folgt z.B. aus [?, 1.6.6]. In homogenen Räumen (über A) hat man also folgende schöne Situation: ist ein B-Typ von X ist generisch, so auch seine Restriktion auf acl(A), Generizität ist also ein parameterunabhängiger Begriff. Daß das i.a. falsch ist, hat schon das triviale Beispiel oben gezeigt, dort können generische Typen über A forken. Für Elemente geschrieben hat man also in homogenen Räumen die folgende Situation: g | ⌣ a, so

(i) g generisch, dann a | ⌣ g.a (ii) a generisch, so g | ⌣ g.a

Das werde ich bei Forkingrechnungen ständig verwenden. Ist (G, X) homogen und p generisch in G, so ist übrigens p.X gerade die Menge der generischen Typen von X, denn sind g^{⊧}p, q generisch in X und a^{⊧}q|g, so ist p.(g^{−1}.a)∥q).

Quotienten und Nebenklassen

Es sei H < G relativ definierbar. Wendet man 2.5(2) auf die kanonischen C-Morphismen (G, G) → → (G, G/H) und (G, G) → → (G/H, G/H) an, so erhält man das

2.7 Lemma (1) Die kanonische Projektion g ↦ g_{H} induziert eine Surjektion der generischen Typen von G auf die generischen Typen von (G, G/H)_{l}.

(2) Ist H ein Normalteiler von G, so induziert die kanonische Projektion eine Surjektion der generischen Typen von G auf die generischen Typen der Gruppe G/H, insbesondere sind die generischen Typen von (G, G/H)_{l} gerade die generischen Typen der Gruppe G/H.

Die Theorie der Generizität soll nun auf ‘Quotienten’ übertragen werden, das Problem war, daß G/H nicht in C lebt. Ein Element g_{H} ∈ G/H heißt B-generisch (in (G, G/H)), wenn für alle g′ ∈ G gilt: g_{H} | ⌣_{B} g′ ⇒ g′.g_{H} | ⌣_{B} g′ (das macht Sinn, da g_{H} und g′.g_{H} Tupel in C sind, außerdem ist die Definition wegen der Interdefinierbarkeit unabhängig von der Wahl der H_{i}), entsprechend für Typen. g_{H} ist genau dann B-generisch, wenn alle g_{H_{i}} B-generisch sind, damit folgt aus dem Bisherigen das folgende

2.8 Lemma Es seien H < G A-Gruppen, dann gilt:

(1) Die A-generischen Elemente von (G, G/H) sind genau die g_{H} mit g Agenerisch in G.

(2) G operiert transitiv auf den generischen Typen von (G, G/H).

Für die Uniformität der Translation in

(2) betrachte man, daß h unabhängig von i gewählt werden kann.

[figure: g; h.g; g_{H_{i}}; h.g_{H_{i}}; (h.); pr; pr; (h.)]

Das obige angewendet auf den C-Isomorphismus (g.) : (H, H)_{r} ≅ (H, g.H)_{r} ergibt schließlich:

2.9 Lemma Ist H eine typdefinierbare Untergruppe von G, so induziert (g.) eine Bijektion der generischen Typen von H mit den generischen Typen von (H, g.H)_{r} (g ∈ G).

Generische Typen von Gruppen

Ich zeige nun, daß der Begriff des generischen Typs in Gruppen nicht von der Entscheidung für die Linkstranslation (in der Definition) abhängt:

2.10 Lemma Für jedes Element g der A-Gruppe G gilt: g ist B-generisch bezüglich der Linkstranslation ⇔ g ist B-generisch bezüglich der Rechtsstranslation

Beweis Das Lemma ergibt sich aus den folgenden beiden Eigenschaften:

(1) Ist g B-linksgenerisch, dann ist g^{−1} B-rechtsgenerisch: g^{−1} | ⌣_{B} h, so (wegen der B-Interdefinierbarkeit) g | ⌣_{B} h^{−1}, also h^{−1}.g | ⌣_{B} h^{−1} und g^{−1}.h | ⌣_{B} h.

(2) Ist g B-linksgenerisch, so auch g^{−1}, denn stp(g/B) und stp(g^{−1}/B) sind linkstranslatiert: wähle g′^{⊧}stp(g^{−1}/B)|g^{−1}, dann ist g′ rechtsgenerisch (s.o.), also g′.g^{−1} | ⌣_{B} g^{−1} und g′.g^{−1} | ⌣_{B} g, folglich ist stp(g′/Bg′.g^{−1}) = (g′.g^{−1}).stp(g/B) generisch und forkt (Transitivität) nicht über B, also stp(g^{−1}/B)∥(g′.g^{−1}).stp(g/B). □

Kartesische Produkte

G_{1}, ..., G_{n} seien A-Gruppen, dann ist auch G_{1} × ... × G_{n} eine A-Gruppe, es sei U eine B-Untergruppe von G_{1}×...×G_{n} und U_{i} := pr_{i}(U), dann ist U < U_{1}×...×U_{n}, aber i.a. natürlich U ≠ U_{1}×...×U_{n} (z.B. Δ_{G} ≠ G×G). Wie sehen die generischen Elemente von U aus?

2.11 Lemma (1) Ist (g_{1}, ..., g_{n}) B-generisch in U, so ist g_{i} B-generisch in U_{i} (i = 1, ..., n).

(2) (g_{1}, ..., g_{n}) ist B-generisch in U_{1} × ... × U_{n} ⇔ jedes g_{i} ist B-generisch in U_{i} und g_{1}, ..., g_{n} ist unabhängig über B

Beweis (1) Es sei (g_{1}, ..., g_{n}) B-generisch in U und g_{i} | ⌣_{B} h_{i} ∈ U_{i} (für ein i): OE h_{i} | ⌣_{B} g_{1}, ..., g_{n}, sei (h_{1}, ..., h_{n}) ∈ U (h_{i} ∈ pr_{i}(U)), OE h_{1}, ..., h_{n} | ⌣_{Ah_{i}} g_{1}..g_{n}, also h_{1}, ..., h_{n} | ⌣_{A} g_{1}, ..., g_{n}. Dann (g_{1}, ..., g_{n}).(h_{1}, ..., h_{n}) | ⌣_{B}(h_{1}, ..., h_{n}) wegen Generizität, insbesondere g_{i}.h_{i} | ⌣_{B} h_{i}. g_{i} ist also B-generisch in U_{i}.

(2) ”⇐”: Es seien die g_{i} B-generisch in U_{i} und voneinander unabhängig über B, (g_{1}, ..., g_{n}) | ⌣_{B}(h_{1}, ..., h_{n}) ∈ U_{1} × ... × U_{n}: g_{i} | ⌣_{B} h_{1}, ..., h_{n}, also g_{i}.h_{i} | ⌣_{B} h_{1}, ..., h_{n}. Aber g_{1}.h_{1}, ..., g_{n}.h_{n} ist unabh. über Bh_{1}, ..., h_{n} (denn g_{1}, ..., g_{n} sind unabhängig über Bh_{1}, ..., h_{n} und g_{i} ⊳_{Bh_{1},...,h_{n}} g_{i}.h_{i}), also g_{1}.h_{1}, ..., g_{n}.h_{n} | ⌣_{B} h_{1}, ..., h_{n}, (g_{1}, ..., g_{n}).(h_{1}, ..., h_{n}) | ⌣_{B}(h_{1}, ..., h_{n}). Also ist (g_{1}, ..., g_{n}) B-generisch in U.

” ⇒ ”: OE n = 2 (induktiv), es sei (g_{1}, g_{2}) B-generisch in U_{1}×U_{2}, wähle h_{1} ∈ U_{1}, h_{2} ∈ U_{2}, h_{1} | ⌣_{B} h_{2}, h_{1}, h_{2} | ⌣_{B} g_{1}, g_{2}, dann gilt (g_{1}, g_{2}) | ⌣_{B}(h_{1}^{−1}, h_{2}^{−1}) und mit Generizität (h_{1}^{−1}, h_{2}^{−1}).(g_{1}, g_{2}) | ⌣_{B}(h_{1}^{−1}, h_{2}^{−1}), also (h_{1}^{−1}.g_{1}, h_{2}^{−1}.g_{2}) | ⌣_{B} h_{1}, h_{2} und, da a_{1} | ⌣_{B} a_{2}, h_{2}, h_{2}^{−1}.g_{2}, h_{1}^{−1}.g_{1} | ⌣_{B} a_{1}. Dann a_{2}.a_{2}^{−1}.b_{2} | ⌣_{B,a_{1}^{−1}.b_{1}} a_{1}.h_{1}^{−1}.g_{1}, also g_{1} | ⌣_{B,h_{1}^{−1}.g_{1}} g_{2}. Nun hätte man natürlich h_{1} auch noch B-generisch wählen

können, dann wäre auch h_{1}^{−1} B-generisch und h_{1}^{−1} | ⌣_{B} g_{1}, also h_{1}^{−1}.g_{1} | ⌣_{B} g_{1}. Zusammen mit g_{1} | ⌣_{B,h_{1}^{−1}.g_{1}} g_{2} bekommt man schließlich g_{1} | ⌣_{B} g_{2}. □

Formuliert man Teil (2) für Typen, dann klingt das so:

2.12 Korollar Die generischen Typen von G_{1} × ... × G_{n} sind genau die p_{1} ⊗ ... ⊗ p_{n} mit p_{i} generisch in G_{i}.

Aus (2) folgt (etwa mit U = U_{1} × … × U_{n}), daß die Umkehrung von (1) i.a. nicht gilt.

Eigenschaften von Gruppenoperationen

Es sei (G, X) eine typdefinierbare Gruppenoperation und E eine Eigenschaft von (globalen) Typen.

2.13 Definition (G, X) hat die Eigenschaft E :⟺ alle globalen generischen Typen von X haben die Eigenschaft E

Diese Definition ist parameterunabhängig, d.h. es ist egal, über welchen Parametern (G, X) typdefiniert wird. Sie ist aber eigentlich nur brauchbar, wenn E eine gute Eigenschaft und (G, X) transitiv ist. Dann sind nämlich alle generischen Typen ”interdefinierbar” und es gilt:

(G, X) hat E ⇔ ein generischer Typ von X hat E

Zum Beispiel ist eine C-Gruppe genau dann regulär, wenn sie einen regulären generischen Typ besitzt. Bei mir seien reguläre Gruppen außerdem stets zusammenhängend, denn ich werde die folgende Tatsache ([?, 1.6.23]) häufig verwenden:

2.14 Fakt Eine reguläre zusammenhängende Gruppe ist abelsch.

Die Definition geht auch für (G, G/H), wenn H nur typdefinierbar ist, ein globaler Typ von G/H ist dann ein globaler ⋆-Typ und er hat genau dann die Eigenschaft E, wenn alle seine Projektionen (auf globale Typen) die Eigenschaft E haben. Dann muß E aber gut sein, damit alles unabhängig von der Wahl der H_{i} bleibt. Ist H B-typdefinierbar, so gilt

(G, G/H) hat E ⇔ es gibt ein B-generisches g ∈ G: alle stp(g^{H_{i}}/B) haben E

3.2.2 Zusammenhängende Gruppen

Die Zusammenhangskomponente

Eine Untergruppe von G heißt generisch, wenn ihr Träger eine generische (also insbesondere typdefinierbare) Klasse von G ist, wenn sie also einen (in G) generischen (globalen) Typ enthält, wegen Translation sind dann alle ihre eigenen generischen Typen schon generisch in G und ihre Nebenklassen sind dann auch generisch, beliebige Schnitte von generischen Gruppen sind generisch (betrachte z.B. die Vereinigung der definierenden Formeln, die sind alle generisch). Eine relativ B-definierbare Untergruppe H ist genau dann generisch, wenn sie endlichen Index hat, wenn also G/H ⊂ acl(B) (das folgt alles sofort aus der Definition). Folglich sind für eine B-typdefinierbare Untergruppe H äquivalent:

– H ist generisch

– G/H ′′⊂′′ acl(B) (oder: G/H ist mengengroß)

– alle Nebenklassen von H sind acl(B)-invariant

– es gibt eine Menge, über der alle Nebenklassen von H invariant sind

– H enthält ein (in G) B-generisches Element.

Insbesondere sind alle typdefinierbaren Untergruppen mit endlichem Index generisch (die Umkehrung ist i.a. falsch). Außerdem ist Generizität von Untergruppen eine ”transitive” Eigenschaft: Ist H′ < H generisch und H < G generisch, so auch H′ < G. H (bzw. H_{G}) sei die Menge der generischen Untergruppen von G, N ⊂ H sei die Menge der relativ A-definierbaren generischen Normalteiler von G (im Gegensatz zu H ist N parameterabhängig).

2.15 Definition Es sei G eine beliebige typdefinierbare Gruppe:

(1) G^{0} := ⋂ H_{G} heißt die Zusammenhangskomponente von G.

(2) G heißt zusammenhängend, wenn G = G^{0}.

G ist also genau dann zusammenhängend, wenn G keine echte generische Untergruppe hat und eine typdefinierbare Untergruppe ist genau dann generisch, wenn sie G^{0} enthält. G^{0} ist wieder generisch, die Zusammenhangskomponente von G ist also die eindeutig bestimmte kleinste generische Untergruppe von G, sie ist außerdem zusammenhängend (”Transitivität”). Da H invariant unter Gruppenkonjugation ist, ist G^{0} ein Normalteiler von G.

2.16 Fakt (1) G^{0} = ⋂ N_{G}

(2) G^{0} operiert trivial auf den generischen Typen von G.

Teil (2) folgt z.B. aus [?, 1.6.6], Teil (1) bekommt man mit einer Standardkonstruktion unter Verwendung von 1.1.

2.17 Korollar (1) Ist G eine A-Gruppe, so auch G^{0} und G^{0} ist genau der Schnitt aller typdefinierbaren Untergruppen von G mit endlichem Index.

(2) G^{0} hat genau einen generischen Typ, dieser ist definierbar über A und auch generisch in G.

(3) Ist (G, X) transitiv, so operiert G^{0} trivial auf G_{X}.

Beweis (1) G^{0} ist als Schnitt von A-Gruppen auch eine A-Gruppe und N ⊂ {H|H < G typdefinierbar und von endlichem Index} ⊂ H.

(2) G^{0} ist generisch und enthält deshalb einen generischen Typ von G, etwa p. p ist dann auch generisch in G^{0} und jeder weitere generische Typ von G^{0} ist G^{0}-translatiert zu p. Aber p bewegt sich nicht unter G^{0}-Translation, also ist er der einzige generische Typ von G^{0}. Außerdem ist jede Fortsetzung von p_{|A} nach acl(A) generisch, also hat p_{|A} nur eine Fortsetzung nach acl(A) und ist deshalb stationär.

(3) Ist (G, X) transitiv, so (.a) : (G, G_{G}) → → (G, G_{X}). Ist dann q̂ generisch in X und g ∈ G^{0}, so g.q̂ = g.(p̂.a) = (g.p̂).a = p̂.a = q̂ für einen geeigneten generischen Typ p̂ von G. □

gen(G) sei der generische Typ von G^{0}, er heißt der hauptgenerische Typ von G und ist über den gleichen Parametern definierbar, wie G (die anderen generischen Typen sind i.a. nur über dem algebraischen Abschluß definierbar). Da gen(G) der einzige generische Typ von G^{0} ist, gilt gen(G)^{−1} = gen(G) und G^{0} = gen(G)^{C}.gen(G)^{C} (jedes Gruppenelement ist stets das Produkt von zwei generischen Elementen). (Ist (gen(G) durch ”generisch und identisch zum Inversen” charakterisiert?). Ist stp(g/B) ein generischer Typ von G, so ist g.gen(G) = gen(G).g = stp(g/B) (bz.w. ”∥” statt ”=”).

Klar ist auch, daß eine Gruppe genau dann trivial ist, wenn sie zusammenhängend und nur mengengroß ist.

Untergruppen, Quotienten und kartesische Produkte

Mit Hilfe der hauptgenerischen Elemente kann ich nun noch etwas Interessantes über Generizität in Untergruppen und einigen ihrer Nebenklassen sagen:

2.18 Lemma Es seien H eine B-Untergruppe von G und g sei B-generisch in G. Die generischen Typen von (H, g.H)_{r} sind genau die stp(g′/Bg_{H}), wobei g′ B-generisch in G ist und g′ ∈ g.H.

[figure: .; G; H; g.H; g′; stp(g′/B)^{C}; e; stp(g′/Bg_{H})^{C}]

Beweis Jeder generische Bg_{H}-Typ von (H, g.H) ist nach 2.9 ein stp(g.h/Bg_{H}) mit h B-generisch in H, h | ⌣_{B} g, wobei dann stp(g.h/Bg_{H})∥g.stp(h/B). Aber g.h ∈ g liegt in H und ist B-generisch in G (wegen 2.7), damit folgt die eine Richtung. Für die andere Richtung reicht es zu zeigen, daß stp(g/Bg_{H}) generisch in g.H ist. Es sei h | ⌣_{B} g ein B-hauptgenerisches Element von H.

Behauptung: tp(g/Bg_{H}) = tp(g.h/Bg_{H})

Beweis: stp(g.h/B)∥stp(g.h/Bh) = stp(g/Bh).h =^{!} stp(g/Bh)∥stp(g/B), denn

h ∈ H^{0} ⊂ G^{0} fixiert die generischen Typen von G. Also stp(g.h/B) = stp(g/B) und stp(a.h, g^{H}/B) = stp(g, g^{H}/B) (denn (g.h, (g.h)_{H}) = (g^{σ}, (g^{σ})_{H}) = (g, g_{H})^{σ} für σ ∈ Aut_{B}^{s} geeignet und (g.h)_{H} = g_{H}), damit folgt die Behauptung (falls sogar stp(g/Bg_{H}) = tp(g.h/Bg_{H}), so wäre die Situation schöner und der Beweis fertig). Aber g.h ist Bg-generisch in g.H, also Bg_{H}-generisch, und Generizität hängt nur vom Typ, nicht vom starken Typ ab, deshalb ist auch g Bg_{H}-generisch in g.H. □

2.19 Korollar Jeder generische Typ von H ist translatiert zu stp(g/Bg_{H}), wobei g ein B-generisches Element in G ist, insbesondere kann man alle guten Eigenschaften der Gruppe H schon an stp(g/Bg_{H}) ablesen.

Beweis Es sei p generisch in H, g.p und stp(g/Bg_{H}) sind generisch in (H, g.H)_{r}, also rechtstranslatiert, deshalb sind auch p und stp(g/Bg_{H}) rechtstranslatiert. □

2.20 Lemma Es sei N ⊲ G relativ definierbar und H typdefinierbar, N < H < G: H ist genau dann generisch in G, wenn H/N generisch in G/N ist.

Es sei alles definiert über B, dann gilt mit einem Isomorphielemma: alle g_{H} und (g_{N})_{H/N} sind B-interdefinierbar, deshalb gilt

H ist generisch in G ⇔ alle g_{H} ⊂ acl(B) ⇔ alle (g_{N})_{H/N} ⊂ acl(B) ⇔ H/N

ist generisch in G/N. □

[figure: erhält; Generizität; G; N; G/N; ⟨1⟩; H; G/H]

Klar ist dann auch das

2.21 Korollar (1) C-Quotienten von zusammenhängenden Gruppen sind zusammenhängend.

(2) Es sei π ein C-Homomorphismus: (a) H generisch in G ⇒ π(H) generisch in π(G) (b) H zusammenhängend ⇒ π(H) zusammenhängend (c) π(G^{0}) = π(G)^{0}

Mit 2.11 erhält man einen guten Überblick über die Situation in kartesischen Produkten:

2.22 Lemma (1) G_{1}×...×G_{n} ist genau dann zusammenhängend, wenn alle G_{i} zusammenhängend sind. Dann ist gen(G_{1} × ... × G_{n}) = gen(G_{1}) ⊗ ... ⊗ gen(G_{n}).

(2) (G_{1} × ... × G_{n})^{0} = G_{1}^{0} × ... × G_{n}^{0}

(3) gen(G_{1} × ... × G_{n}) = gen(G_{1}) ⊗ ... ⊗ gen(G_{n})

Beweis

(1) Eine Gruppe ist genau dann zusammenhängend, wenn sie nur einen generischen Typ hat und die generischen Typen des Produkts sind die Produkte der generischen Typen der Komponenten.

(2) G_{1}^{0} × ... × G_{n}^{0} ist generisch in G_{1} × ... × G_{n} und zusammenhängend, also identisch mit (G_{1} × ... × G_{n})^{0}.

(3) gen(G_{1}×...×G_{n}) = gen((G_{1}×...×G_{n})^{0}) =^{(1),(2)} gen(G_{1}^{0})⊗...⊗gen(G_{n}^{0}) =

gen(G_{1}) ⊗ ... ⊗ gen(G_{n}) □

Stabilisatoren

Es sei p ein stationärer Typ von X, dann ist Stab(p) = {g ∈ G|g.p̂ = p̂}, also g ∈ Stab(p̂) ⇔ (g.) ist eine p→p-Funktion. Ist p ein stationärer Typ von G, so bezeichnet Stab(p) natürlich den Stabilisator von (G, Ĝ) bezüglich der Linkstranslation. Manchmal schreibe ich auch einen Index dazu. Für σ ∈ Aut_{A} ist Stab(p^{σ}) = Stab(p)^{σ}, insbesondere ist Stab(p), falls p definierbar über B ist, Binvariant, also eine B-Gruppe. (Cb(p) ist aber i.a. keine ”kanonische Basis” von Stab(p) (über A), da p̂ und p̂^{σ} verschiedene Typen mit gleichem Stabilisator sein können.) Ist G eine zusammenhängende Gruppe, so ist (G, G) trivial und folglich ist G genau der Stabilisator seines generischen Typs. Wann Stabilisatoren zusammenhängend sind, besagt Teil (3) des folgenden Lemmas.

2.23 Stabilisatorlemma Es sei p ein stationärer B-Typ von G und S := Stab_{l}(p):

(1) Für jedes g ∈ G ist Stab_{l}(p.g) = S, d.h. rechtstranslatierte Typen haben denselben Linksstabilisator.

(2) Für jedes g ∈ G ist Cb(g.p) = Bg_{S}.

(3) p setzt genau dann eine rechts-Nebenklasse S′ von S fort, wenn S zusammenhängend und p generisch in dieser Nebenklasse ist.

Beweis OE B = acl(B), S ist dann B-typdefinierbar.

(1) Man rechnet leicht nach, daß für beliebige g, h ∈ G h.(p.g) = (h.p).g ist.

(2) Für σ ∈ Aut_{B} gilt: σ fixiert Cb(g.p) ⇔ σ fixiert g.p̂ ⇔ g.p̂ = g^{σ}.p̂ ⇔ g ≡ g^{σ} mod Stab(p) ⇔ g.S = (g^{σ}).S ⇔ σ läßt g.S invariant. Cb(g.p) ist also eine kanonische Basis von g.S über B, Bg_{S} auch, damit sind beide Mengen interdefinierbar.

(3) “ ⇒ ”: Sei g^{⊧}p und q = stp(a/B) ein generischer Typ von S, a | ⌣_{B} g.

Behauptung: q̂.g = p̂

Beweis: q̂.g und a.p̂ sind beides globale Fortsetzungen von stp(a.g/B). Aber a.p̂ =^{a∈S} p̂ forkt nicht über B und q̂.g ist generisch in (S, S.g) = (S, S′). Nach Voraussetzung ist aber S′ B-invariant, (S, S′) ist also eine transitive B-Gruppenoperation, deshalb forken ihre generischen Typen nicht über B, insbesondere p̂∥stp(a.g/B)∥q̂.g, damit folgt die Behauptung.

q̂ = p̂.g^{−1} ist also der einzige generische Typ von S und da (.g) eine Bijektion der generischen Typen von S mit den generischen Typen von S′ induziert, ist der Rest klar. Die andere Richtung ist sowieso klar (p ist generisch in der Nebenklasse, setzt sie also fort). □

2.24 Korollar (1) Ist p generisch in G, so ist Stab(p) = G^{0}.

(2) Ist S eine zusammenhängende Untergruppe der A-Gruppe G, so ist Cb(gen(S)) eine “kanonische Basis” von S über A.

(3) q̂ ∈ Ĝ ist genau dann der generische Typ einer zusammenhängenden Gruppe S < G, wenn S = Stab(q̂) und S ⊂ q̂ (als Typen).

Beweis (1) p und gen(G) sind rechtstranslatiert, also Stab(p) = Stab(gen(G)) = G^{0}.

(2) Fixiert ein A-Automorphismus gen(S), so läßt er S = Stab(gen(S)) invariant. Läßt er S invariant, so fixiert er gen(S), da S zusammenhängend ist.

(3) klar. □

Für nicht zusammenhängende Gruppen ist Teil (2) falsch, denn ein Automorphismus kann den hauptgenerischen Typ, also auch die Zusammenhangskomponente, festhalten, die anderen generischen Typen jedoch echt permutieren.

3.3 Gruppenexistenzsätze

3.3.1 Von Prägenerischen zu Gruppen

3.1 Definiton (1) Ein Paar (q,.) nenne ich einen prägenerischen A-Typ, wenn q ∈ St(A) und . : q^{(2)} → q eine A-Funktion ist, so daß

(a) . ist generisch assoziativ (∀(a, b, c)^{⊧}q^{(3)} : (a.b).c = a.(b.c))

(b) . ist beidseitig generisch (∀(a, b)^{⊧}q^{(2)} : a, b, a.b sind paarw. unabhängig über A)

(2) Ein A-Morphismus von prägenerischen A-Typen (q,.), (r, ∘) ist eine A-Funktion f : q → r, so daß f(a.b) = f(a) ∘ f(b) (für (a, b)^{⊧}q^{(2)})

Ist (G,.) eine A-Gruppe, so ist (gen(G)∥A,.) ein prägenerischer A-Typ. Ich werde nun zeigen, daß alle prägenerische A-Typen so aussehen:

3.2 Satz Jeder prägenerische A-Typ (q,.) induziert auf kanonische Weise eine zusammenhängende A-Gruppe G = (G(q,.), ∘), so daß (gen(G)∥A, ∘) ≅_{A} (q,.)

Beweis Da . beidseitig generisch ist, ist jedes (a.) eine q→q Funktion. Die uniforme Familie {(a.) | a^{⊧}a} induziert also eine Familie von q→q Keimen { ˜ (a.) | a^{⊧}q} und die Zuordnung ˜ : q → q̃ = tp( ˜ (a.)/A) (a^{⊧}q) ist eine A-Surjektion. Die Keime sind selber wieder q→q Funktionen, es ist ã(c) = (a.)(c) = a.c, die Komposition ∘ ist eine A-Funktion auf q̃.

Behauptung: (q̃, ∘) ist ein prägenerischer A-Typ und˜ : (q,.) ≅_{A} (q̃, ∘).

Beweis: Es sei (a, b)^{⊧}q^{(2)} und c^{⊧}q|ab, dann ã.b(c) =^{Def} (a.b).c =^{(a)} a.(b.c) =^{Def}

ã(b̃(c)) = (ã ∘ b̃)(c) die Keime sind also generisch identisch, also identisch und˜ ist homomorph. Nun seien a, a′^{⊧}q, so daß ã = ã′, wähle dann c^{⊧}q|aa′, wegen (b) ist (.c) eine q→q Funktion und deshalb surjektiv auf q|c, es gibt

also b, b′^{⊧}q|c, so daß b.c = a und b′.c = a′. Dann ist aber b̃ ∘ c̃ =^{hom} b̃.c =^{V or}

b̃′.c = b̃′ ∘ c̃ und da für Keime die Rechtskürzung gilt, ist b̃ = b̃′ und a = b.c = b̃(c) = b̃′(c) = b′.c = a′. Insgesammt ist˜ also injektiv, homomorph und A-definierbar, damit folgt die Behauptung.

Ich habe also den alten prägenerischen Typ durch einen besseren ersetzt, denn nun ist die Verknüpfung (Komposition) auch für abhängige Elemente definiert, sie ist außerdem assoziativ und erlaubt Rechtskürzung. Es sei nun G = q̃^{C} ∘ q̃^{C}, G ist dann eine A-Klasse und die Komposition auf G ist eine A-Funktion.

Behauptung: q̃^{C} ⊂ G = G ∘ G Beweis: wie im Beweis der vorigen Behaupung sieht man, daß es wegen der beidseitigen Generizität von ∘ zu (g, h)^{⊧}q̃^{(2)} Keime f_{1}, f_{2}^{⊧} q̃ gibt, so daß f_{1} ∘ g = h, g ∘ f_{2} = h und f_{i}, g, h sind paarweise unabhängig über A. Ich bezeichne f_{1} mit ”(hg^{−1})” und f_{2} mit ”(g^{−1}h)”. Wegen Rechtskürzung ist f_{1} eindeutig, also (hg^{−1}) ∈ dcl^{A}(g, h). Jetzt ist offensichtlich q̃ ⊂ G (h = (hg^{−1})∘g). Es seien nun f_{1}, f_{2}, f_{3}^{⊧} q̃ und g^{⊧} q̃|f_{1}f_{2}f_{3}, dann ist f_{2} = (f_{2}g^{−1})∘g und f_{1} ∘f_{2} ∘f_{3} = (f_{1} ∘(f_{2}g^{−1}))∘(g ∘f_{3}). Aber g | ⌣_{A} f_{3} und f_{1} | ⌣_{A} f_{2}g^{−1} (denn

f_{1} | ⌣_{Af_{2}} g ⇝^{dcl} f_{1} | ⌣_{Af_{2}} f_{2}g^{−1} ⇝^{f_{2} | ⌣ f_{2}g^{−1}} f_{1} | ⌣_{A} f_{2}g^{−1}), also f_{1} ∘ (f_{2}g^{−1}), g ∘ f_{3}^{⊧} q̃

und folglich q̃ ∘ q̃ ∘ q̃ ⊂ q̃ ∘ q̃. Ich habe also

G = q̃ ∘ q̃ ⊂ G ∘ G = q̃ ∘ q̃ ∘ q̃ ∘ q̃ ⊂ q̃ ∘ q̃ ∘ q̃ ⊂ G.

Sind (g, h)^{⊧}q̃^{(2)}, dann sind g, h ∘ g, (g(h ∘ g)^{−1}) paarweise unabhängig über A. Behauptung: (g(h ∘ g)^{−1}) ∘ h ist neutral Beweis: Es sei f ∈ G, OE f | ⌣_{A} g, dann (g(h ∘ g)^{−1}) ∘ h ∘ f = (g(h ∘ g)^{−1}) ∘ h ∘ (g ∘ (g^{−1}f) = (g(h ∘ g)^{−1}) ∘ (h ∘ g) ∘ (g^{−1}f) = g ∘ (g^{−1}f) = f, wir haben also Linksneutralität, wegen Rechtskürzung auch Rechtsneutralität (”(g ∘ 1) ∘ h = g ∘ (1 ∘ h) = g ∘ h ⇒ g ∘ 1 = g”)

(G, ∘) ist also ein stabiler Monoid mit Rechtskürzung. Bei [?, Kapitel IV, Lemma 5] kann man nachlesen:

Fakt Ist ein Monoid mit Rechtskürzung stabil, so ist er schon eine Gruppe

Da q̃ offensichtlich ein generischer Typ von G ist (g | ⌣_{A} h ⇒ g ∘ h | ⌣_{A} h) und G von q̃ erzeugt wird, ist G zusammenhängend und (gen(G)∥A, ∘) ≅_{A} (q,.), fertig. □

Man sieht an der Konstruktion, daß A-isomorphe prägenerische Typen A-isomorphe Gruppen induzieren und so erhalten wir das

3.3 Korollar Die Zuordnung (q,.) ↦ G(q,.) ergibt eine 1:1 Korrespondenz zwischen A-Isomor-phieklassen von prägenerischen A-Typen bzw. zusammenhängenden A-Gruppen.

(Die Konstruktion liefert wohl sogar einen Funktor der Kategorie der prägenerischen A-Typen in die Kategorie der zusammenhängenden A-Gruppen. Dieser Funktor ist dann hofentlich eine Äquivalenz von Kategorien, der ,,inverse” Funk-

tor ist wohl (G →^{f} H) ↦ ((gen(G), ·) →^{f|gen(G)} (gen(H), ·)).)

Die folgende Konstruktion liefert prägenerische Typen:

3.4 Lemma Es sei f_{0} ein invertierbarer Keim eines A-Funktionstyps, so daß für (f_{1}, f_{2})^{⊧} stp(f^{0}/A)^{(2)} f_{1}, f_{2}, f_{1}^{−1} ∘ f_{2} paarweise unabhängig über A sind (wobei ∘ die Komposition von Keimen ist). Dann ist (stp(f_{1}^{−1} ∘ f^{2}/A), ∘) ein prägenerischer A-Typ.

Beweis OE A = ∅. Es seien f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2} unabhängig in stp(f_{0}), h_{1} = f_{1}^{−1} ∘ g_{1}, h_{2} = f_{2}^{−1} ∘ g_{2} und q = stp(h_{1}).

Behauptung: (h_{1}, h_{2})^{⊧}q^{(2)}, h_{1} ∘ h_{2}^{⊧}q und h_{1}, h_{2}, h_{1} ∘ h_{2} sind paarweise unabhängig. Beweis: man beachte, daß h_{1}, f_{1}, g_{1} und h_{2}, f_{2}, g_{2} nach Voraussetzung jeweils paarweise unabhängig sind, aber je zwei Elemente sind interdefinierbar über dem dritten. Wähle nun ein

f^{⊧}stp(f_{0}), so daß f | ⌣ f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}, dann gilt f | ⌣ h_{1}, g_{1} | ⌣ h_{1}, f | ⌣ h_{2} und f_{2} | ⌣ h_{2}, also f ≡_{h_{1}} g_{1} und f ≡_{h_{2}} f_{2}. Wähle also geeignete Automorphismen σ und τ, so daß (f_{1}g_{1}h_{1})^{σ} = f_{1}^{σ}fh_{1} und (f_{2}g_{2}h_{2})^{τ} = fg_{2}^{τ}h_{2}, die Unabhängigkeiten und Interdefinierbarkeiten bleiben dann erhalten und es gilt: h_{1} ∘ h_{2} = f_{1}^{−1} ∘ g_{1} ∘ f_{2}^{−1} ∘ g_{2} =

(f_{1}^{σ})^{−1} ∘ f ∘ f^{−1} ∘ g_{2}^{τ} = (f_{1}^{σ})^{−1} ∘ g_{2}^{τ} [figure: f; f_{2}; g_{2}; g_{2}^{τ}; h_{1}; g_{1}; f_{1}; f_{1}^{σ}; h_{2}; h_{1} ∘ h_{2}]

(^{−1} ist eine ∅-Funktion, kommutiert also mit den Automorphismen). Mit Hilfe des Bildes rechnet man leicht nach, daß f_{1}^{σ} | ⌣ g_{2}^{τ} und h_{i} | ⌣ f_{1}^{σ}, g_{2}^{τ}. Dann aber f_{1}^{σ}g_{2}^{τ} ≡ f_{1}g_{1} und (f_{1}^{σ})^{−1} ∘ g_{2}^{τ} ≡ f_{1}^{−1} ∘ g_{1} = h_{1}, also h_{1} ∘ h_{2}^{⊧}q und auch die restlichen Unabhängigkeiten gelten.

Damit ist die Behauptung bewiesen und ich bin fertig, da jedes weitere unabhängige Paar zu (h_{1}, h_{2}) konjugiert ist. □

3.3.2 Eine nette Konstruktion mit Keimen

Es sei G eine zusammenhängende A-Gruppe und f eine A-Funktion auf p = gen(G)∥A, etwa f : p → q ∈ St(A). Dann ist f_{g} := f ∘ (g.) für jedes g ∈ G eine p→q Funktion, denn für a^{⊧}q|g ist f_{g}(a) = f(g.a) und g.a | ⌣_{A} g (Generizität), also f(g.a) | ⌣_{A} g und f_{g}(p|g)∥q. Folglich ist {f_{g} | g ∈ G} eine uniforme Familie von p→q Funktionen und ”f_{g} und f_{g′} sind generisch identisch” induziert eine A-Äquivalenzrelation auf G, g̃ ist dann der (ein) Keim von f_{g}. Es sei U := {g ∈ G | f_{g} ∼_{p} f}, U ist also die Klasse, die die 1 enthält.

3.5 Lemma (1) U ist eine relativ A-definierbare Untergruppe von G

(2) g̃ ↦ _{U}g ist eine A-Bijektion G̃ ∼ U\G

(3) U\G ⊂ Int_{A}(q)

(4) U ist genau dann eine generische Untergruppe, wenn f konstant ist.

(1) Es seien g, h ∈ U und a^{⊧}p|g, h: f_{g^{−1}}(a) = f(g^{−1}.a) =^{g^{−1}.a |_{⌣} g} f_{g}(g^{−1}.a) =

f(a), also g^{−1} ∈ U. f_{(}g.h)(a) = f_{g}(h.a) =^{h.a |_{⌣} g} f(h.a) =^{h |_{⌣} a} f(a), also g.h ∈ U.

U ist also eine Untergruppe und als Klasse einer A-Äquivalenzrelation auf G relativ A-definierbar.

(2) g̃ = h̃ ⇔ f_{g} ∼_{p} f_{h} ⇔ f(g.a) = f(h.a) für ein a^{⊧}p|g, h ⇔ f_{g.h^{−1}}(h.a) = f(h.a) für ein a^{⊧}p|g, h ⇔ f_{g.h^{−1}} ∼_{p} f (denn a^{⊧}p|g, h, so h.a | ⌣_{A} g.h^{−1}) ⇔ g.h^{−1} ∈ U ⇔ _{U}g =_{U} h, die A-definierbarkeit der Bijektion ist dann auch klar.

[figure: G; U\G; G̃; pr; pr]

(3) Es sei g ∈ G und (a_{i})_{I} eine lange Morleyfolge in p|g,

Behauptung: _{U}g ∈ dcl^{Aa_{I}}((f(g.a_{i}))_{I}) Beweis: Für h^{⊧}stp(g/A, a_{I}, (f(g.a_{i}))_{I}) ist dann f_{g}(a_{i}) = f′_{g}(a_{i}) für alle i ∈ I, aber mindestens ein a_{i} muß von (g, g′) unabhängig sein (über A, da I lang genug, d.h. |I| > κ(T)), deshalb f_{g} ∼_{p} f_{g′}, wegen (2) dann _{U}g =_{U} g′, damit folgt die Behauptung.

Da außerdem _{U}g | ⌣_{A} a_{I} und alle f(g.a_{i})^{⊧}q, ist stp(^{U}g/A) q-intern.

(4) Ist f konstant, so U = G. Es sei nun U generisch in G (d.h. q^{C} ⊂ U)

und a, b^{⊧}p: wähle c^{⊧}p|a, b, so f(a) =^{a |_{⌣} c.a^{−1}∈U} f_{c.a^{−1}}(a) = f(c) =^{b |_{⌣} c.b^{−1}∈U}

f_{c.b^{−1}}(b) = f(b), f ist also konstant. □

Mit dieser Konstruktion erhält man einen schönen Existenzsatz im Internen Kontext:

3.6 Satz Es sei G eine A-Gruppe, Q eine A-invariante Klasse und B ⊃ A. Angenommen, es gibt ein B-generisches a ∈ G, so daß a |̸ ⌣_{B} Q, dann gibt es einen relativ Adefinierbaren Normalteiler N ⊲ G, so daß G/N ⊂ Int_{A}(Q) und G/N ⊄ acl(A).

Beweis Wegen a | ⌣_{A} B gilt a | ⌣_{Int_{A}(Q)∩dcl_{A}(a)} BQ (1.6), da aber a |̸ ⌣_{A} BQ, gilt a |̸ ⌣_{A} Int_{A}(Q) ∩ dcl_{A}(a), also gibt es ein c ∈ Int_{A}(Q) ∩ dcl_{A}(a) acl(A) und deshalb eine nicht konstante A-Funktion f : p → stp(c/A) mit c = f(a) . Damit kann man nun wie oben eine relativ A-definierbare Untergruppe U konstruieren, so daß U\G ⊂ Int_{A}((stp(c/A))^{C} ⊂ Int_{A}(Int_{A}(Q)) = Int_{A}(Q). f ist nicht konstant, also ist U keine generische Untergruppe. Mit einer Standardkonstruktion (unter Verwendung von 1.1) findet man dann einen relativ A-definierbaren Normalteiler N ⊲ G, so daß N ⊂ U, G/N bleibt in Int_{A}(Q). N ist nicht generisch in G, also G/N ⊄ acl(A). □

3.3.3 Die Bindungsgruppe

Es seien p, q ∈ S(A), p sei stationär und q-intern. Q sei eine Aq^{C} umfassende A-invariante Klasse, P := p^{C} und p̄ ∈ S(A) sei der Typ einer Fundamentallösung von p bezüglich q. Man behalte im Hinterkopf, daß aus elementarer Äquivalenz über Q schon Konjugiertheit über Q folgt (1.14). Ich werde nun zeigen, wie sich mit Hilfe der Fundamentallösung eine A-Gruppe konstruieren läßt.

Schritt 1 Es gibt eine A-Formel φ(x, y, x̄, ȳ), so daß für beliebige c^{⊧} p̄ und σ ∈ Aut_{Q} gilt: φ(x, y, c, c^{σ}) definiert die Wirkung von σ auf P Beweis: Es sei g(v, x̄) = y ∈ L(∅), so daß für ein geeignetes m < ω und jedes c^{⊧} p̄ g(v, c) eine partielle Surjektion von q^{m} nach P ist (g existiert nach der Definition der Fundamentallösung). Nun sei

Π(x, y, x̄, ȳ) := ∃v(q^{m}(v) ∧ x = g(v, x̄) ∧ y = g(v, ȳ)) ⊂ L(A)

Behauptung: Für jedes c^{⊧} p̄ und σ ∈ Aut_{Q} definiert Π(x, y, c, c^{σ}) die Wirkung von σ auf P Beweis: Es sei a ∈ P, dann (a, b)^{⊧}Π(x, y, c, c^{σ}) ⇔ es gibt ein d^{⊧}q^{m} : a = g(d, c) und b = g(d, c^{σ}). Aber g(d, c^{σ}) = g(d, c)^{σ} = a^{σ} (Q wird von σ fixiert) und da es in jedem Fall für a ein d^{⊧}q^{m} gibt mit a = g(d, c), gilt: b = a^{σ} ⇔ es gibt ein d^{⊧}q^{m} : a = g(d, c) und b = g(d, c^{σ}), damit folgt die Behauptung. Fixiere nun ein c und finde mit Kompaktheit ein φ(x, y, x̄, ȳ) ∈ Π(x, y, x̄, ȳ), so daß (für jedes σ ∈ Aut_{Q}) φ(x, y, c, c^{σ}) die Wirkung von σ auf P definiert. Für ein τ ∈ Aut_{A} definiert dann φ(x, y, c, c^{τστ^{−1}}) die Wirkung von τ^{−1}∘σ∘τ auf P, also definiert φ(x, y, c^{τ}, c^{τσ}) = φ(x, y, c, c^{τστ^{−1}})^{τ} die Wirkung von τ ∘(τ^{−1}∘σ∘τ)∘τ^{−1} = σ auf P^{τ} = P, φ leistet also das Gewünschte.

Schritt 2 Wegen der A-Invarianz von P ist jedes σ̃ := σ_{|P} ∈ Aut_{Q}(P) eine Permutation von P, also sei Aut_{Q}(P) die Restriktion von Aut_{Q} auf P und

X := {(c, c′) | c^{⊧} p̄, c′ ≡_{Q} c} = {(c, c^{σ}) | c^{⊧} p̄, σ ∈ Aut_{Q}}

Für (c, c′) ∈ X sei f_{c,c′} die durch φ(x, y, c, c′) definierte Funktion auf P, dann gilt wegen Schritt (1) für alle c^{⊧} p̄ und σ ∈ Aut_{Q}:

f_{c,c^{σ}} = σ̃

Insbesondere ist f : X → Aut_{Q}(P), (c, c′) ↦ f_{c,c′} eine Surjektion. Die kanonische Operation von Aut_{Q}(P) auf p̄^{C} ⊂ P^{n} ist fixpunktfrei, denn sind σ̃, τ̃ ∈ Aut_{Q}(P), c^{⊧} p̄, σ̃(c) = τ̃(c), so c^{σ} = c^{τ} und σ̃ = f_{c,c^{σ}} = f_{c,c^{τ}} = τ̃. Wegen der Stationarität von p ist Aut_{Q}(P) = {f_{c,c′} | (c, c′) ∈ X} eine A-uniforme Familie von p-Funktionen und ∼_{p} ist eine Äquivalenzrelation auf X ((c, c′) ∼_{p} (d, d′) ⇔ f_{c,c′} ∼_{p} f_{d,d′}). Dann gilt:

(c, c′) ∼_{p} (d, d′) ⟺ f_{c,c′} = f_{d,d′}

denn ist (c, c′) ∼_{p} (d, d′), so stimmen f_{c,c′} und f_{d,d′} auf p∥Acc′dd′ überein, also auch auf einer hinreichend unabhängigen Realisierung von p̄. Wegen der Fixpunktfreiheit ist dann f_{c,c′} = f_{d,d′}.

Es sei G := X/ ∼_{p}, dann ist also σ̃ ↦ ˜ (c, c^{σ}) (c^{⊧} p̄) eine kanonische (unabhängig von der Wahl von c) Bijektion Aut_{Q}(P) →^{∼} G, so wird G zu einer Gruppe.

[figure: X; G; Aut_{Q}(P); pr; pr]

Schritt 3 G ist eine A-Gruppe, denn X ist eine A-Klasse und für die auf G induzierte Verknüpfung gilt:

g_{2}.g_{1} = g_{3} ⟺ es gibt (c_{1}, c_{2}), (c_{2}, c_{3}) ∈ X : g_{1} = ˜ (c_{1}, c_{2}), g_{2} = ˜ (c_{2}, c_{3}), g_{3} = ˜ (c_{1}, c_{3})

Beweis: X = ⋃_{c ⊧ p̄}{c}×tp(c/Q)^{C}. Fixiere erst ein c^{⊧} p̄, dann gibt es (nach 1.13) einen partiellen A-Typ Φ(x̄, ȳ), so daß tp(c/Q)^{C} = (p̄(ȳ) ∪ Φ(c, ȳ))^{C}. Durch A-Konjugation sieht man dann, daß X durch p̄(x) ∪ p̄(y) ∪ Φ(x, y) A-typdefiniert wird. Da ∼_{p} eine A-Äquivalenzrelation auf X ist, ist pr : X → → G eine A-Funktion und G eine A-Klasse. Nun zur Definierbarkeit der Verknüpfung: ” ⇒ ”: Es sei c_{1}^{⊧} p̄, wähle σ_{i} ∈ Aut_{Q}, so daß g_{i} = ˜ (c_{1}, c_{1}^{σ_{i}}), dann gilt für c_{2} := c_{1}^{σ_{1}} und c_{3} := c_{1}^{σ_{3}}: ˜ (c_{2}, c_{3}) = g_{2}, denn g_{2} = g_{3}.g_{1}^{−1} = ˜ (c_{1}, c_{1}^{σ_{3}}). ˜ (c_{1}, c_{1}^{σ_{1}})^{−1} ↦ σ̃_{3} ∘ σ̃_{1}^{−1} ↦

˜ (c_{2}, c_{2}^{σ_{1}^{−1}σ_{3}}) = ˜ (c_{2}, c_{3}). Also erfüllen c_{1}, c_{2}, c_{3} das Gewünschte. ”⇐”: Für c^{⊧} p̄, σ, τ ∈ Aut_{Q} gilt: ˜ (c^{σ}, c^{στ}). ˜ (c, c^{σ}) = ˜ (c, c^{στ}).

Schritt 4 Die kanonischen Operationen von G auf P und p̄^{C} sind auch A-definierbar: durch

g.a = b :⟺ ∃x̄, ȳ ((x̄, ȳ) ∈ X ∧ ˜ (x̄, ȳ) = g ∧ φ(a, b, x̄, ȳ))

wird (G, P) zu einer (treuen) A-Gruppenoperation, dann ist auch (G, p̄^{C}) eine A-Gruppenoperation, nach Schritt (2) ist sie fixpunktfrei. Die Bahnen dieser Operation sind gerade die p̂^{C}, wobei p̂ eine Fortsetzung von p̄ nach Q ist. Dann ist p̂^{C} = (p̂_{|ACb(p̂)})^{C}, also ist jedes (G, p̂^{C}) eine reguläre ACb(p̂)-Gruppenoperation, insbesondere ist G ∼ p̂^{C}. Mit Hilfe dieser regulären Operationen können wir noch mehr über G erfahren:

Schritt 5 Aut_{acl(Q)}(P) ist die Zusammenhangskomponente von Aut_{Q}(P) Beweis: Die gesammte Konstruktion hatte nur die Invarianz von Q vorausgesetzt, wir können also auch Q durch acl(Q) ersetzen, d.h. OE Q = acl(Q). Es sei p̄′ eine Fortsetzung von p̄ nach Q mit kanonischer Basis D und g, g′ seien generisch über AD in G. Wähle ein c^{⊧} p̂ mit c | ⌣_{AD} g, g′, dann g.c | ⌣_{AD} c und g′.c | ⌣_{AD} c (denn g, g′ sind generisch und die Operation ist transitiv). Aber g.c und g′.c realisieren denselben stationären (deshalb acl(Q)) Typ über AD, also g.c ≡_{ADc} g′.c, etwa g′.c = (g.c)^{σ}. Dann g′ = f_{c,g′.c} = f_{c,(g.c)^{σ}} = f_{c,g.c}^{σ} = g^{σ}, also g′ ≡_{AD} g. G hat also nur einen generischen Typ (über AD), ist also zusammenhängend.

3.7 Definition Es seien p, q ∈ S(A), p stationär, p̄ sei der A-Typ einer Fundamentallösung von p bezüglich q. Dann heißt Aut_{acl(Aq^{C})}(p^{C}) := {σ_{|p^{C}}|σ ∈ Aut_{acl(Aq^{C})}} die Bindungsgruppe von p bezüglich q.

Ich habe also insbesondere den folgenden Satz bewiesen:

3.8 Satz über die Bindungsgruppe Sind p, q ∈ S(A), p stationär und q-intern, so ist die Bindungsgruppe von p bezüglich q eine zusammenhängende A-Gruppe, die treu und A-definierbar auf p^{C} operiert.

3.3.4 Konfigurationen

Ich hatte in Kapitel 2.3.3 angedeutet, daß man in D_{p}(A) “Geometrie betreiben” kann, besonders, wenn D_{p}(A) modular ist. Das will ich nun tun und zeigen, wie man aus geeigneten “Konfigurationen” Gruppen konstruieren kann. Grob gesagt ist eine Konfiguration in D_{p}(A) eine endliche Teilmenge {a_{1}, ..., a_{n}} von D_{p}(A), so daß die a_{i} paarweise p-unabhängig sind, zusammen mit einer (nicht notwendig vollständigen) Beschreibung der bestehenden p-Abhängigkeiten. Konfigurationen kann man durch Diagramme geben, wobei je 3 Punkte genau dann kollinear sind, wenn einer von ihnen schon im Abschluß der beiden anderen liegt, drei nicht kollineare Punkte sollen i.a. p-unabhängig sein. Die ganze Sache kann allgemein für gewichtete Räume formuliert werden, das folgende Lemma dient zur Einstimmung, (1) und (2) verlaufen ganz ohne Modelltheorie im gewichteten Raum D_{p}(A).

3.9 Lemma Es sei {a, a_{1}, a_{1}, b_{1}, b_{2}} eine Konfiguration in D_{p}(A), so daß (a) a ∈ cl_{p}^{A}(a_{1}b_{1}) ∩ cl_{p}^{A}(a_{2}b_{2})

(b) Je drei nicht kollineare Punkte sind p-unabhängig

(c) Die beiden b mit je einem weiteren Punkt spannen die Konfiguration auf, dann gilt

(1) w_{p}(a/A) = w_{p}(a^{1}/A) = w_{p}(a^{2}/A) und a ∼_{cl_{p}^{Ab_{i}}} a_{i}

(2) cl_{p}^{A}(a) = cl_{p}^{A}(a_{1}b_{1}) ∩ cl_{p}^{A}(a_{2}b_{2})

(3) (tp(a/Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2}))^{C} ⊂ cl_{p}^{A}(a) und cl_{p}^{A}(Cb(a/Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2})) = cl_{p}^{A}(a)

(4) Es gibt ein a′ ∈ dcl^{A}(a_{1}a_{2}b_{1}b_{1}) mit a′ ∼_{cl_{p}^{A}} a [figure: a; b_{1}; b_{2}; a_{2}; a_{1}]

Beweis

(1) Nach Voraussetzung ist w_{p}(a/A)+w_{p}(b^{1}b^{2}/A) = w_{p}(a/Ab_{1}b_{2})+w_{p}(b^{1}b^{2}/A) = w_{p}(ab^{1}b^{2}/A) = 3 = w_{p}(a^{i}b^{1}b^{2}/A) = w_{p}(a^{i}/Ab_{1}b_{2}) + w_{p}(b^{1}b^{2}/A) = w_{p}(a^{i}/A) + w_{p}(b^{1}b^{2}/A), also w_{p}(a/A) = w_{p}(a^{i}/A). Dann w_{p}(ab^{i}/A) = w_{p}(a/A) + w_{p}(b^{i}/A) = w_{p}(a^{i}/A) + w_{p}(b^{i}/A) = w_{p}(a^{i}b^{a}/A), also cl_{p}^{A}(ab_{i}) = cl_{p}^{A}(a_{i}b_{i})

(2) Es sei X = cl_{p}^{A}(a_{1}b_{1}) ∩ cl_{p}^{A}(a_{2}b_{2}), dann cl_{p}^{A}(a) ⊂ X nach Voraussetzung, aber w_{p}(X/A) = w_{p}(Xa^{1}b^{1}/A)−w_{p}(a^{1}b^{1}/AX) ≤ w_{p}(a^{1}b^{1}/A)−w_{p}(a^{1}b^{1}/Aa_{2}b_{2}) = w_{p}(a^{1}/A) + w_{p}(b^{1}/A) − w_{p}(b^{1}/a_{2}b_{2}) = w_{p}(a^{1}/A) = w_{p}(a/A), also cl_{p}^{A}(a) = cl_{p}^{A}(X) = X.

(3) Es sei U eine geeignete Folge in tp(a/Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2}), so daß C = Cb(a/Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2}) ⊂ dcl(U), aber wegen (2) ist cl_{p}^{A}(a) Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2}-invariant, also (tp(a/Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2}))^{C} ⊂ cl_{p}^{A}(a) und deshalb U ⊂ cl_{p}^{A}(a) und C ⊂ cl_{p}^{A}(a). Andererseits w_{p}(a/AC) =^{|_{⌣}} w_{p}(a/Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2}) = 0 und deshalb a ∈ cl_{p}^{A}(C).

(4) Ein geeignetes Element aus Cb(a/Aa_{1}a_{2}b_{1}b_{2}) tut’s. □

3.10 Lemma Es sei p ∈ St(A) lokal modular und nicht trivial, dann gibt es Elemente a, b, c ∈ D_{p}(A) und eine Menge E von Parametern, so daß

(1) A ⊂ E ⊂ D_{p}(A) und w_{p}(E/A) = 1

(2) stp(a/E), stp(b/E), stp(c/E) sind p-regulär

(3) {a, b, c} ist minimal abhängig über E und a und b sind Ec-interdefinierbar.

Beweis

Es sei (a′_{1}, a′_{2})^{⊧}p^{(2)}, da p lokal modular, aber nicht trivial ist, gibt es ein e ∈ D_{p}(A), so daß a′_{1}, a′_{2}, e paarweise unabhängig über A sind (“jede Gerade hat mindestens 3 Punkte”, (3.13)), es sei E := acl^{A}(a′_{1}a′_{2}e) ∩ cl_{p}^{A}(e), dann ist stp(a′_{1}a′_{2}/E) p-semiregulär und stp(a′_{i}/E) = p|E.

[figure: E; a′_{1}; a′_{2}; a_{1}^{′σ}; a_{2}^{′σ}; c_{2}; c_{1}]

Wähle ein σ ∈ Aut_{E}, so daß a_{1}^{′σ}, a_{2}^{′σ} | ⌣_{E} a′_{1}, a′_{2}, dann sind a′_{1}, a′_{2}, a_{1}^{′σ}, a_{2}^{′σ} minimal abhängig über A und es gibt ein c_{2} ∈ cl_{p}^{A}(a′_{1}a_{2}^{′σ}) ∩ cl_{p}^{A}(a′_{2}a_{1}^{′σ}), so daß w_{p}(c^{2}/A) = 1 (Modularität von D_{p}(A)), dann ist c_{2} p-unabhängig, also unabhängig (über A) von jedem der a. Andererseits ist das p-Gewicht der gesammten Konfiguration 3 und wieder gibt es ein c_{1} ∈ cl_{p}^{A}(a′_{1}, a_{1}^{′σ})∩cl_{p}^{A}(E, c_{2}) mit w_{p}(c^{1}/A) = 1. (Jetzt, wo ich diese Konfiguration habe, brauche ich die lokale Modularität nicht mehr)

Es seien a′ = (a′_{1}, a′_{2}), b′ = (a_{1}^{′σ}, a_{2}^{′σ}), c = (c_{1}, c_{2}), Behauptung: Es gibt a = (a_{1}, a_{2}) und b, so daß a_{i} ∼_{cl_{p}^{E}} a′_{i}, b ∼_{cl_{p}^{E}} b′ und a und b sind Ecinterdefinierbar. Beweis: wende das Einstimmungslemma 3.9 an auf das obere Bild und finde so ein a_{1} ∈ dcl^{A}(b′c) mit a_{1} ∼_{cl_{p}^{A}} a′_{1}, wende das Lemma dann an auf untere Bild und finde ein a_{2} ∼_{cl_{p}^{A}} a′_{2} mit a_{2} ∈ dcl^{A}(Ea_{1}a_{1}^{′σ}c_{2}) ⊂ dcl^{E}(b′c), dann a ∈ dcl^{E}(b′c)

und cl_{p}^{E}(a) = cl_{p}^{E}(a_{1}) = cl_{p}^{E}(a′_{1}) = cl_{p}^{E}(a′). [figure: a_{1}^{′σ}; a_{2}^{′σ}; c_{1}; c_{2}; a′_{1}; E; a_{1}; a′_{2}; a_{1}^{′σ}; c_{2}]

Nun sei B = Cb(b′/Eac), da a ∈ dcl(Eb′c) sind nach dem dcl-Lemma (1.12) B und a interdefinierbar über Ec, wähle also ein b ∈ B, so daß a ∼_{dcl^{Ec}} b, dann ist insbesondere w_{p}(b/Ec) = 1 und b ∉ cl_{p}(E). Wieder mit dem Einstimmungslemma folgt, daß (tp(a_{1}^{′σ}/Eac))^{C} ⊂ cl_{p}^{E}(a_{1}^{′σ}), und, wegen a_{2}^{′σ} ∈ cl_{p}^{E}(a_{1}^{′σ}), tp(b′/Eac))^{C} ⊂ (tp(a_{1}^{′σ}/Eac))^{C}∪(tp(a_{2}^{′σ}/Eac))^{C} ⊂ cl_{p}^{E}((tp(a_{1}^{′σ}/Eac))^{C}) ⊂ cl_{p}^{E}(a_{1}^{′σ}), also b ∈ B ⊂ cl_{p}^{E}(a_{1}^{′σ}) und schließlich cl_{p}^{E}(b) = cl_{p}^{E}(a_{1}^{′σ}) = cl_{p}^{E}(b′), damit ist die Behauptung bewiesen.

Zwar ist nun die Semiregularität kaputtgegangen, aber wir haben p-Gewicht 1 und können sie wieder herstellen (indem wir zu E noch einige Parameter aus cl_{p}^{A}(E) dazufügen), also OE seien alle 3 Typen p-regulär, dann gelten auch die gewünschten Unabhängigkeiten. □

3.11 Lemma Es sei p lokal modular und a, b, c ∈ D_{p}(A), so daß

(1) tp(a/A), tp(b/A), tp(c/A) sind p-regulär,

(2) {a, b, c} ist minimal abhängig über A und a und b sind interdefinierbar über Ac, dann gibt es eine zusammenhängende p-reguläre A-Gruppe.

Beweis Da a ∼_{dcl^{Ac}} b und tp(a/Ac) stationär ist (alle drei Typen sind nach Voraussetzung stationär), ist tp(ab/Ac) ein stationärer invertierbarer Funktionstyp, es sei c̃ ein Keim (über A), d.h. Ac̃ = Cb(ab/Ac) (ab jetzt arbeite ich in der durch tp(c̃/A) gegebenen uniformen Familie). Es sei σ ∈ Aut_{Ab}^{s}, so daß c̃^{σ} | ⌣_{Ab} c̃, dann c̃^{−1}(c̃^{σ}(a^{σ}) = c̃^{−1}(b^{σ}) = c̃^{−1}(b) = a, also a^{σ}a | ⌣_{A,c̃^{−1}∘c̃^{σ}} c, c^{σ} und es sei d̃= c̃^{−1} ∘ c̃^{σ} (ich habe eine Formel im Hintergrund fixiert, deshalb “der” Keim).

Behauptung: c̃, c̃^{σ}, d̃ sind paarweise unabhängig über A. Beweis: Ad̃ = Cb(a^{σ}a/Acc^{σ}) =: C und tp(a^{σ}a/Acc^{σ}) ist p-semiregulär, denn tp(a/Acc^{σ}) = tp(a/A)|cc^{σ} ist p-semiregulär und a^{σ} ∈ dcl^{A}(a, cc^{σ}). Da p lokal modular ist, ist w_{p}(C/A) = w_{p}(aa^{σ}/A) − w_{p}(aa^{σ}/Acc^{σ}) = 2 − 1 = 1, also w_{p}(d̃/A) = 1. Aber d̃∉ cl_{p}^{A}(c̃), denn c̃^{σ} ∈ dcl^{A}(c̃, d̃)\cl_{p}^{A}(c̃), folglich c̃ ∉ cl_{p}^{A}(d̃) (Austausch), also c̃ | ⌣_{A} d̃, entsprechend c̃^{σ} | ⌣_{A} d̃, fertig.

Wegen (3.4) ist dann tp(d̃/A) ein prägenerischer Typ (mit der Komposition) und es gibt eine zusammenhängende Gruppe G, deren generischer Typ Ainterdefinierbar zu tp(d̃/A) ist. Nun ist d̃∈ dcl^{Ac̃}(c̃^{σ}) und tp(^{c̃^{σ}}/Ac̃) ist ein pregulärer Typ (tp(c/A) ist p-regulär, deshalb auch tp(c̃/A)), also auch tp(d̃/Ac̃) und tp(d̃/A) auch, G ist also p-regulär. □

Man kann über diese Gruppe noch einiges mehr sagen, etwa, in welchem Verhältnis der generische Typ zu tp(c/A) steht und wie die ”generische Operation” von G auf tp(a/A) – d̃ war schließlich der Keim einer tp(a/A)→tp(a/A) Funktion – zu einer transitiven A-Gruppenoperation (G, X) gemacht werden kann, wobei tp(a/A) dann der (einzige) generische Typ von X ist.... aber das brauche ich alles nicht und irgendwo muß ja mal Schluß sein. Ich brauche später nur den folgenden Satz, der sofort aus den beiden Lemmas folgt (und der für triviale Typen offensichtlich falsch ist):

3.12 Satz Es sei p ∈ St(A) ein lokal modularer nicht trivialer Typ, dann gibt es eine Menge E ∈ D_{p}(A) mit w_{p}(E/A) = 1 und eine zusammenhängende Gruppe G, die pregulär und E-typdefinierbar ist. Insbesondere gibt es p-reguläre Gruppen.

3.4 p-einfache Gruppen

3.4.1 p-einfache Gruppen

(G, X) sei eine transitive A-Gruppenoperation. Die Definition 2.13 angewendet auf die gute Eigenschaft ”ist p-einfach und hat p-Gewicht ≤ κ” ergibt: (G, X) ist genau dann p-einfach, wenn ein/alle generischen Typen p-einfach sind. Diese Typen haben dann alle dasselbe p-Gewicht (Interdefinierbarkeit), dieses sei das p-Gewicht von X (bzw. von (G, X)). Ist (G, X) p-einfach, so wissen wir aber bisher noch nichts über p-Einfachheit und p-Gewicht der nicht generischen Elemente. Es reicht aber schon die p-Einfachheit von G, dann ist ,,alles” p-einfach und von p-Gewicht ≤ w_{p}(G):

4.1 Lemma Es sei G p-einfach, dann gilt:

(1) stp(g/A) und stp(a/A) sind für alle g ∈ G und a ∈ X p-einfach.

(2) (G, X) ist p-einfach und für jedes a ∈ X gilt:

w_{p}(a/A) ≤ w_{p}(X) ≤ w_{p}(G)

Beweis (1) Jedes g ∈ G ist Produkt von zwei A-generischen Elementen, etwa g_{1} und g_{2}, dann g ∈ dcl^{A}(g_{1}, g_{2}). Mit stp(g^{i}/A) (i = 1, 2) ist dann auch stp(g/A) p-einfach. Sei a ∈ X, wähle ein b | ⌣_{A} a in X und g ∈ G mit g.b = a, dann a ∈ dcl^{Ab}(g) und deshalb sind mit stp(g/A) auch stp(g/Ab), stp(a/Ab) und stp(a/A) ( | ⌣) p-einfach.

(2) Aus (1) folgt, daß (G, X) p-einfach ist. Es sei g A-generisch in G und

g | ⌣_{A} a, dann ist g.a A-generisch in X und w_{p}(a/A) = w_{p}(a/Ag) =^{interdef}

w_{p}(g.a/Ag) ≤ w_{p}(g.a/A) = w_{p}(X). Es folgt (für X = G), daß auch w_{p}(g/A) ≤ w_{p}(G) fur jedes g ∈ G. Ist schließlich a A-generisch in X, so wähle wie in (1) b ∈ X und g ∈ G, dann w_{p}(X) = w_{p}(a/A) = w_{p}(a/Ab) ≤ w_{p}(g/Ab) ≤ w_{p}(g/A) ≤ w_{p}(G). □

4.2 Korollar (1) Typdefinierbare Untergruppen und Quotienten einer p-einfachen Gruppe G sind p-einfach, ihr Gewicht ist ≤ w_{p}(G).

(2) Eine A-Gruppe G ist genau dann p-einfach und von endlichem p-Gewicht, wenn G ⊂ D_{p}(A).

3.4. P -EINFACHE GRUPPEN 97

G sei für den Rest des Kapitels eine A-Gruppe in D_{p}(A). Ist H < G typdefinierbar, so ist (G, G/H) eine nur fast in C lebende transitive Gruppenoperation, sie ist genau dann p-einfach, wenn ein (alle) generischer ⋆-Typ (also alle seine Projektionen) p-einfach ist. Das p-Gewicht ist dann das p-Gewicht eines solchen generischen ⋆-Typs. Ist H = ⋂ H_{i} eine B-Gruppe und g ∈ G ein B-generisches Element, so ist g_{H} = (g_{H_{i}})_{I} B-generisch in (G, G/H) und stp(g^{H}/B) ist genau dann p-einfach, wenn alle stp(g^{H_{i}}/B) p-einfach sind. Außerdem ist stp(g/Bg_{H}) translatiert zu einem generischen Typ von H (2.19), also w_{p}(H) = w_{p}(g/Bg_{H}).

4.3 Lemma Es sei H = ⋂_{I} H_{i} eine B-Untergruppe von G:

(1) Zu jedem g ∈ G gibt es ein j ∈ I, so daß g_{H} ∼_{cl_{p}^{B}} g_{H_{j}}.

(2) Es gibt ein j ∈ I, so daß w_{p}(G/H) = w_{p}(G/H_{j}) und w_{p}(H) = w_{p}(H_{j}).

(3) w_{p}(G/H) = max{w_{p}(G/H_{i})|i ∈ I}

Beweis (1) Es sei g ∈ G, dann alle w_{p}(g^{H_{i}}/B) ≤ w_{p}(G) < ω, es gilt also ein j ∈ I, so daß w_{p}(g^{H_{j}}/B) maximal wird. Für i ∈ I ist dann (g_{H_{i}}, g_{H_{j}}) ∈ dcl^{B}(g_{H_{i}∩H_{j}})

und w_{p}(g^{H_{i}}g^{H_{j}}/B) ≤ w_{p}(g^{H_{i}∩H_{j}}/B) ≤^{max} w_{p}(g^{H_{j}}/B), also g_{H_{i}} ∈ cl_{p}^{B}(g_{H_{j}}) und

folglich g_{H} ⊂ cl_{p}^{B}(g_{H_{j}}). Da sowieso g_{H_{j}} ∈ cl_{p}^{B}(g_{H}), gilt g_{H} ∼_{cl_{p}^{B}} g_{H_{j}}.

(2) Es sei g ein B-generische Element von G, wähle ein j ∈ I mit g_{H} ∼_{cl_{p}^{B}} g_{H_{j}}, dann ist w_{p}(G/H) = w_{p}(g^{H}/B) = w_{p}(g^{H_{j}}/B) = w_{p}(G/H_{j}). Außerdem ist w_{p}(H) = w_{p}(g/Bg_{H}) = w_{p}(g/Bg_{H_{j}}) = w_{p}(H_{j}).

(3) Mit g und j wie in (2) gilt: w_{p}(G/H) = w_{p}(g^{H}/B) = max{w_{p}(g^{H_{i}}/B)|i ∈ I} = max{w_{p}(G/H_{i})|i ∈ I} □

So erhalten wir das Pendant zu Lemma 4.1:

4.4 Korollar Ist G p-einfach, so auch G/H und für alle g_{H} ∈ G/H ist w_{p}(g^{H}/B) ≤ w_{p}(G/H) ≤ w_{p}(G).

4.5 Lemma (Additivität) Es sei H eine typdefinierbare Untergruppe von G, dann

w_{p}(G) = w_{p}(G/H) + w_{p}(H)

Beweis Es sei H etwa eine B-Gruppe, g ∈ G B-generisch, dann g_{H} ∈ dcl^{B}(g) und

w_{p}(G) = w_{p}(g/B) = w_{p}(g, g^{H}/B) =^{additiv} w_{p}(g/Bg_{H}) + w_{p}(g^{H}/B) = w_{p}(H) +

w_{p}(G/H). □

3.4.2 p-semireguläre Gruppen

Für eine A-Gruppe G ⊂ D_{p}(A) sei H^{p} := H_{G}^{p} := {H|H < G typdefinierbar und w_{p}(H) = w_{p}(G)} und N^{p} := N_{G}^{p} := {N|N ⊲ G relativ A-typdefinierbar und w_{p}(N) = w_{p}(G)} ⊂ H^{p} (N^{p} ist wieder parameterabhängig). Der folgende Satz gibt eine interessante und wichtige Charakterisierung der p-Semiregularität von Gruppen:

4.6 Satz über p-semireguläre Gruppen Für eine p-einfache Gruppe G von endlichem p-Gewicht sind äquivalent:

(1) G ist p-semiregulär

(2) Für alle H ∈ H^{p} gilt: H hat endlichen Index

(3) Für alle N ∈ N^{p} gilt: N hat endlichen Index

Beweis (1) ⇒ (2): Es sei H eine B-Gruppe in H^{p} und g ∈ G sei B-generisch, dann ist g_{H} ∈ dcl(Bg) und (Additivität) w_{p}(g^{H}/B) = w_{p}(G/H) = 0 und d.h. g_{H} ∈ cl_{p}(B)∩dcl(Bg). Aber wegen (1) ist stp(g/B) p-semiregulär und deshalb (2.22) g_{H} ∈ acl(B). H hat also endlichen Index.

(2) ⇒ (3): klar

(3) ⇒ (1) indirekt: Es sei g ∈ G A-generisch aber nicht p-semiregulär, dann gilt g |̸ ⌣_{A} cl_{p}(A), stp(g/A) ist also nicht cl_{p}(A)-fremd. Nach 3.6 gibt es dann einen relativ A-definierbaren Normalteiler N ⊲G, so daß G/N ⊂ Int_{A}(cl_{p}(A)) und N nicht generisch ist, also insbesondere unendlichen Index hat. Aber nach 2.18 ist Int_{A}(cl_{p}(A)) = cl_{p}(A), also hat G/N p-Gewicht 0 und somit ist N ∈ N^{p}. □

Aus (4.1) folgt, daß generische Typen maximales p-Gewicht haben, die Umkehrung muß aber nicht gelten. Besser ist die Situation in p-semiregulären G-Räum-en:

4.7 Lemma Es sei (G, X) p-semiregulär und q ein stationärer Typ von X, dann sind äquivalent:

(1) q ist generisch in X

(2) w_{p}(q) = w_{p}(X)

Beweis (1) ⇒ (2) folgt aus der Definition von w_{p}(X).

(2) ⇒ (1): Es sei a ∈ X, so daß w_{p}(a/B) = w_{p}(X), dann ist stp(a/B) translatiert zu einem generischen Typ von X: g sei ein B-generisches Element von G mit g | ⌣_{B} a. stp(g.a/B)∥stp(g/B).a ist dann generisch in X, also p-semiregulär und w_{p}(a/B) = w_{p}(g.a/B) ≥

w_{p}(g.a/Bg) =^{interdef} w_{p}(a/Bg) = w_{p}(a/B), also w_{p}(g.a/B) = w_{p}(g.a/Bg) und

wegen p-Semiregularität (2.22) dann g.a | ⌣_{B} g. Also auch g.a | ⌣_{B} g^{−1} und deshalb stp(a/Bg) = g^{−1}.stp(g.a/B). □

4.8 Korollar Für eine reguläre A-Gruppe G ⊥̸ p gilt: G = (G ∩ cl_{p}(A)) .∪ {g|g ist A-generisch in G} G ist p-semiregulär von p-Gewicht 1, das Lemma besagt, daß die A-generischen Elemente gerade die von maximalem p-Gewicht (über A) sind, hier also genau die außerhalb cl_{p}(A). □

3.4.3 p-zusammenhängende Gruppen

Die typdefinierbaren Untergruppen von G mit gleichem Gewicht wie G haben schon bei der Charakterisierung der p-Semiregularität eine wichtige Rolle gespielt. Bei der Einführung der ”p-Zusammenhangskomponente” spielen sie die analoge Rolle zu den generischen Gruppen bei der Zusammenhangskomponente (ich könnte diese Gruppen also “p-generisch” nennen, dann würden die Parallelen noch deutlicher). Wegen Additivität gilt für eine B-typdefinierbare Untergruppe H < G:

w_{p}(H) = w_{p}(G) ⇔ G/H′ ⊂′ cl_{p}(B) ⇔ alle Nebenkl. von H sind cl_{p}(B)-invariant

4.9 Definition (1) G^{0,p} := ⋂ H_{G}^{p} heißt die p-Zusammenhangskomponente von G

(2) G nenne ich p-zusammenhängend, wenn G = G^{0,p}.

G ist also genau dann p-zusammenhängend, wenn G keine echte typdefinierbare Untergruppe von gleichem Gewicht hat. G^{0,p} ist typdefinierbar und w_{p}(G^{0,p}) = w_{p}(G), also G^{0,p} = min(H^{p}, ⊂), d.h. die p-Zusammenhangskomponente von G ist die eindeutig bestimmte kleinste typdefinierbare Untergruppe von G mit gleichem p-Gewicht wie G und offensichtlich ist sie p-zusammenhängend (”Transitivität”). Wie im Kapitel über die Zusammenhangskomponente gibt es auch hier für jedes H ∈ H^{p} schon ein N ∈ N^{p} mit G^{0,p} ⊂ N ⊂ H ⊂ G, insbesondere ist G^{0,p} = ⋂ N^{p}. G^{0,p} ist also ein A-Normalteiler von G. Jede generisch Untergruppe von G liegt in H^{p}, H ⊂ H^{p}, also ist G^{0,p} ⊂ G^{0} und Gleichheit gilt genau dann, wenn G p-semiregulär ist. Aus dem Satz über p-semireguläre Gruppen ergibt sich sofort das folgende schöne

4.10 Lemma Für eine p-einfache A-Gruppe G ⊂ D_{p}(A) sind äquivalent:

(1) G ist p-zusammenhängend

(2) G ist zusammenhängend und p-semiregulär

Beweis (1) ⇒ (2): G hat keine echte Untergruppe von gleichem Gewicht, ist also psemiregulär, insbesondere hat G keine echte generische Untergruppe, ist also zusammenhängend.

(2) ⇒ (1): Es sei H ∈ H^{p}, da G p-semiregulär ist, hat H endlichen Index. Aber G ist zusammenhängend und hat folglich keine echte typdefinierbare Untergruppe von endlichem Index, deshalb ist H = G und folglich G = G^{0,p}.

□

Kartesische Produkte und Quotienten

Aus der Charakterisierung oben und dem Wissen über zusammenhängende Gruppen und p-Semiregularität folgen dann die analogen Eigenschaften zu vorher:

4.11 Lemma Ist π ein C-Homomorphismus von G und H < G, so

(a) w_{p}(G/H) = 0 ⇒ w_{p}(π(G)/π(H)) = 0

(b) Ist H p-zusammenhängend, so auch π(H).

(c) π(H^{0,p}) = π(H)^{0,p}

4.12 Lemma (1) Quotienten von p-zusammenhängenden Gruppen (mit relativ definierbaren Normalteilern) sind p-zusammenhängend.

(2) G_{1} ×...×G_{n} ist genau dann p-zusammenhängend, wenn alle G_{i} p-zusammen-hängend sind.

Stabilisatoren

4.13 Lemma Ist q = stp(a/B) ein stationärer Typ von G und S = Stab(q), dann gilt

(1) Ist g Ba-generisch in G, so w_{p}(S) = w_{p}(q) − w_{p}(g^{S}/B, g.a)

(2) Ist w_{p}(S) = w_{p}(q) und q p-semiregulär, so ist S p-zusammenhängend und q (rechts)translatiert zu gen(S).

Beweis (1) Wegen des Stabilisatorlemmas 2.23 ist Bg_{S} = Cb(g.q), also ist w_{p}(g.a/Bg_{S}) = w_{p}(g.a/Bg) = w_{p}(g.q) = w_{p}(q) und da w_{p}(g.a/B) = w_{p}(G) und w_{p}(g^{S}/B) = w_{p}(G/S) folgt mit der Additivität w_{p}(q) − w_{p}(g^{S}/B, g.a) = w_{p}(q) − (w_{p}(q) + w_{p}(G/S) − w_{p}(G)) = w_{p}(S).

(2) Es sei w_{p}(S) = w_{p}(q) und q sei p-semiregulär,

Behauptung: q setzt S′ = S.a fort

Beweis: Es sei b^{⊧}gen(S)∥Ba, dann forkt b.q nicht über B, also b.a | ⌣_{B} b. Also w_{p}(q) = w_{p}(b.q) = w_{p}(b.a/B) ≥ w_{p}(b.a/Ba) = w_{p}(b/Ba) = w_{p}(b/B) = w_{p}(S). Nach Voraussetzung ist dann w_{p}(b.a/B) = w_{p}(b.a/Ba) und wegen p-Semiregularität ist b.a | ⌣_{B} a. Aber beide Elemente liegen in S′, also ist S′ typdefinierbar über acl^{B}(b.a) ∩ acl^{B}(a) ⊂ acl(B), damit ist q^{C} ⊂ S′.

Aus dem Stabilisatorlemma folgt dann, daß S zusammenhängend und q generisch in S′ ist, also q = gen(S · a) = gen(S) · a. □

Die Geometrie lokal modularer Typen

Ich wende mich nun den Geometrien lokal modularer Typen zu. Ein großer Teil der Konstruktion des Schiefkörpers und des Vektorraums kann schon in einem sehr allgemeinen Kontext durchgeführt werden, deshalb betrachte ich zuerst bestimmte Kategorien regulärer Gruppen. Die bleibenden Lücken werden dann im lokal modularen Kontext geschlossen. Mit Hilfe dieser Vektorräume kann ich dann am Ende die Geometrie lokal modularer Typen untersuchen.

4.1 Kategorien regulärer Gruppen

Wir suchen einen Ring. Viele Ringe sind Endomorphismenringe, aber ganz so glatt geht’s hier erstmal nicht. Deshalb muß ich von Homomorphismen zu “Quasihomomorphismen” übergehen und dann nach “Quasiendomorphismenringen” schauen, wobei ich im Falle der p-regulären Gruppen verschiedene Verknüpfungen betrachte. Am Ende gelangen wir nach einer geeigneten Faktorisierung dann doch noch zu einem Schiefkörper aus Endomorphismen. Weil es kaum mehr Arbeit macht und außerdem die Situation in ein klareres Licht stellt, konstruiere ich sofort die zugrundeliegenden Kategorien. Lokale Modularität spielt auch in diesem Kapitel noch keine Rolle.

4.1.1 Quasihomomorphismen

In diesem Abschnitt skizziere ich, wie man Quasihomomorphismen als verallgemeinerte Homomorphismen auffassen kann.

Die Kategorie S_{Q} und der Funktor G

Zu jeder Signatur S gibt es die Kategorie S der S-Strukturen, mit S-Strukturen als Objekten und S-Homomorphismen als Morphismen. Ich werde nun durch Einführung von “S-Quasihomomorphismen” den Morphismusbegriff verallgemeinern und so eine neue Kategorie erhalten, in welche die alte durch einen kanonischen Funktor eingebettet ist.

Sind A, B, C Mengen und U ⊂ A × B, V ⊂ B × C, so sei

V ∘ U := {(a, c) ∈ A × C | ∃b ∈ B : (a, b) ∈ U, (b, c) ∈ V }

So erhält man eine Kategorie M_{Q}, deren Objekte Mengen sind und deren Morphismen “Quasiabbildungen” sind: Mor_{M_{Q}}(A, B) = Qabb(A, B) := P ot(A × B), denn man rechnet schnell nach, daß ∘ assoziativ ist, das neutrale Element in Qabb(A, A) ist gerade die Diagonale Δ_{A} = {(a, a)|a ∈ A}. Außerdem liefert die Zuordnung, die identisch auf den Objekten (Mengen) operiert und jeder Abbildung ihren Graphen zuordnet, einen Funktor von der Kategorie M der Mengen in die Kategorie M_{Q} (Graph(τ ∘ σ) = Graph(τ) ∘ Graph(σ), Graph(id_{A}) = Δ_{A}). Auf diese Weise können Abbildungen mit ihren Graphen identifiziert werden, d.h. also Quasiabbildungen aufgefasst werden.

Wie die Morphismen in der Kategorie der S-Strukturen Abbildungen sind (also bestimmte Morphismen in M), so werden nun die Morphismen der angestrebten Kategorien Quasiabbildungen, also Morphismen in M_{Q} sein. Es seien A, B, C S-Strukturen und U < A × B, V < B × C S-Substrukturen:

V ∘ U ist eine S-abgeschlossene Teilmenge von A × C

Δ_{A} ist S-abgeschlossen in A × A

die induzierten S-Substrukturen werden mit ”V ∘ U” und ”Δ_{A}” bezeichnet. Wie oben erhält man die Kategorie S_{Q} mit S-Stukturen als Objekten und den S-Substrukturen von A × B als Morphismen von A nach B, ein S-Quasihomomor-phismus von A nach B sei also einfach eine S-Substruktur von A × B. Um zu sehen, daß die Graphzuordnung ein Funktor bleibt, beachte man, daß für Abbildungen σ : A → B (und A, B S-Strukturen) gilt:

σ ist ein S-Homomorphismus ⇒ der Graph von σ ist S-abgeschlossen

Die Umkehrung ist natürlich falsch, da der Begriff “S-Homomorphismus” eine Bedingung auch an die Relationen stellt, der Begriff “S-abgeschlossen” jedoch nicht, sie bleibt aber richtig, solange S keine Relationssymbole enthält. Die durch σ induzierte S-Substruktur von A × B wird mit ”G(σ)” bezeichnet, der Graph eines S-Homomorphismus ist also ein S-Quasihomomorphismus. So erhält man, wie oben, den Funktor G, mit dessen Hilfe S-Homomorphismen als S-Quasihomomorphismen aufgefasst werden können.

[figure: S; S_{Q}; M; M_{Q}; G; V; V; G; V ist der; Vergiß-Funktor]

In der Kategorie M_{Q} findet man neben der (partiellen) Verknüpfung ∘ noch eine weitere (globale) Operation:

U ⊂ A × B, so U^{−1} := {(b, a) ∈ B × A | (a, b) ∈ U}

Ist σ ∈ Abb(A, B) und invertierbar, so gilt offensichtlich G(σ^{−1}) = G(σ)^{−1}. Zwar hat nun jede Quasiabbildung U ein ”Inverses” U^{−1}, aber Achtung, i.a. gilt weder U ∘ U^{−1} = Δ noch U^{−1} ∘ U = Δ (d.h. U^{−1} ist i.a. kein inverser Morphismus zu U). Ist U jedoch invertierbar, so ist U^{−1} der inverse Morphismus und U ist der Graph einer Bijektion (”die Quasibijektionen sind die Bijektionen”), außerdem ist stets (V ∘ U)^{−1} = U^{−1} ∘ V^{−1}. Insbesondere trägt Qend(A) = P ot(A × A) eine kanonische {∘,^{−1} , 1}-Struktur und ist A eine S-Struktur, so ist Qend_{S}(A) = Qhom_{S}(A, A) ⊂ Qend(A) eine {∘,^{−1} , 1}-Substruktur.

Die Kategorie der abelschen Gruppen_{Q}

Die Kategorie der abelschen Gruppen ist eine Unterkategorie von S bezüglich der Signatur S = {+, −, 0}. Für Gruppen G, H sind die Quasihomomorphismen von G nach H die Untergruppen von G × H, eine Abbildung von G nach H ist genau dann ein Homomorphismus, wenn ihr Graph ein Quasihomomorphismus ist. Für U < G × H gilt (auch im nicht abelschen Fall) kern(U) ⊲ pr_{1}(U) < G, cok(U) ⊲ pr_{2}(U) < H und pr_{1}(U)/kern(U) und pr_{2}(U)/cok(U) sind kanonisch isomorph durch g/kern(U) ↦ h/cok(U) falls (g, h) ∈ U. Auf diese Weisen entsteht eine natürliche 1:1 Korrespondenz zwischen Qhom(G, H) und Isomorphismen von Quotienten von Untergruppen von G und H.

1.1 Lemma Es sei U ∈ Qhom(G, H), G_{0} ⊲ G, H_{0} ⊲ H und es gelte pr_{1}(U) = G, pr_{2}(U) = H und ∀(g, h) ∈ U : g ∈ G_{0} ⇔ h ∈ H_{0}, dann ist U/G_{0} × H_{0} (= {u+G_{0}×H_{0} | u ∈ U}) der Graph eines Isomorphismus σ_{U} : G/G_{0} → H/H_{0}.

Beweis (1) σ_{U} ist wohldefiniert und injektiv: (g, h), (g′, h′) ∈ U, so (g−g′, h−h′) ∈ U

und g/G_{0} = g′/G_{0} ⇔ g − g′ ∈ G_{0} ⇔ h − h′ ∈ H_{0} ⇔ h/H_{0} = h′/H_{0}.

(2) σ_{U} ist total und surjektiv, da pr_{1}(U) = G und pr_{2}(U) = H.

(3) Es seien g/G_{0}, g′/G_{0} ∈ G/G_{0}, OE (g, h), (g′, h′) ∈ U für geeignete h, h′, dann (g+g′, h+h′) ∈ U und σ_{U}(g/G_{0}+g′/G_{0}) = σ_{U}(g + g′/G_{0}) = σ_{U}(h + h′/H_{0}) = σ_{U}(h/H_{0}) + σ_{U}(h′/H_{0}) = σ_{U}(g/G_{0}) + σ_{U}(g′/G_{0}). □

Sind U, V ∈ Qhom(G, H), so wird durch

U + V := {(g, h_{1} + h_{2}) ∈ G × H | (g, h_{1}) ∈ U, (g, h_{2}) ∈ V }

eine Addition auf Qhom(G, H) erklärt. Wegen Kommutativität ist U + V ist wieder eine Gruppe (etwa Abgeschlossenheit: (g, h_{1} + h_{2}), (g′, h′_{1} + h′_{2}) ∈ U + V,

so (g + g′, (h_{1} + h_{2}) + (h′_{1} + h′_{2})) =^{kommut} (g + g′, (h_{1} + h′_{1}) + (h_{2} + h′_{2})) ∈ U + V,

da (g + g′, h_{1} + h′_{1}) ∈ U und (g + g′, h_{2} + h′_{2}) ∈ V), + ist also abgeschlossen auf Qhom(G, H) und macht Qhom(G, H) zu einem abelschen Monoid, wobei G × {0_{H}} das Nullelement ist. Inverse muß es nicht unbedingt geben, denn für −U = {(g, −h) | (g, h) ∈ U} ist leider i.a. nicht U − U = 0. Der Funktor G ist +-verträglich (d.h. wir dürfen weiterhin Homomorphismen mit ihren Graphen identifizieren). Qend(G) ist auch mit ∘ ein Monoid, aber ∘ und + sind i.a. nicht miteinander verträglich, d.h. Distributivität kann verletzt sein. Man betrachte etwa die folgende Situation: U ∈ Qend(G), 1 sei die Diagonale, dann (g, h) ∈ 1 ∘ U + 1 ∘ U ⇔ ∃h_{1}, h_{1} : h = h_{1} + h_{2}, (g, h_{i}) ∈ U. Andererseits ist (g, h) ∈ (1 + 1) ∘ U ⇔ ∃a : h = a + a, (g, a) ∈ U. Auf diese Weise lassen sich (für geeignetes G und U) (g, h) ∈ (1 ∘ U + 1 ∘ U)\((1 + 1) ∘ U) finden (etwa mit einem nicht divisiblen h). Was ich aber später noch brauchen werde, ist, daß zumindest die folgenden Inklusionen gelten (für alle Gruppen, für die die Verknüpfungen definiert sind):

V ∘ U_{1} + V ∘ U_{2} ⊂ V ∘ (U_{1} + U_{2}) und (U_{1} + U_{2}) ∘ W ⊂ U_{1} ∘ W + U_{2} ∘ W

All die hier genannten Defizite werden schließlich nach einer geeigneten Faktorisierung verschwinden.

4.1.2 Kategorien regulärer Gruppen

Die Kategorie der p-regulären Gruppen mit typdefinierbaren Gruppenhomomorphismen ist eine Unterkategorie der abelschen Gruppen und die Kategorie P_{Q} der p-regulären Gruppen mit typdefinierbaren Quasigruppenhomomorphismen ist eine Unterkategorie der abelschen Gruppen_{Q}, also

Qhom(G, H) = {U < G × H | U ist typdefinierbar }

wobei G und H p-reguläre Gruppen sind. Solche U sind also insbesondere abelsche p-einfache Gruppen von p-Gewicht ≤ 2 und G × H ist nach 4.7 die einzige Untergruppe von p-Gewicht 2 (G × H ist p-zusammenhängend von p-Gewicht 2).

Der Vorspann über Kategorien mit Quasihomomorphismen diente dem Zweck, daß man ein besseres Verständnis von dieser Kategorie bekommt. Trotzdem bin ich erst am Anfang, denn Qend(G) ist noch lange kein Ring. Jetzt werde ich eine neue Kategorie definieren, deren Objekte und Morphismen p-reguläre Gruppen sind. Da aber die Komposition (bzw. Addition) von p-regulären Gruppen nicht wieder p-regulär sein muß, muß ich ein neue Verknüpfungen einführen. Eine entscheidende Rolle spielt dabei das folgende

1.2 Lemma Es seien G_{1}, ..., G_{n} p-reguläre Gruppen und S < G × ... × G_{n} eine p-reguläre Untergruppe, dann gilt

(1) Alle pr_{i}(S) = {0} oder G_{i}

(2) Sind alle Gruppen über B und alle pr_{i}(S) = G_{i}, so gilt für alle (a_{1}, ..., a_{n}) ∈ S:

a_{1} ∼_{cl_{p}^{B}} a_{2} ∼_{cl_{p}^{B}} ... ∼_{cl_{p}^{B}} a_{n}

Beweis (1) Jede Projektion von S ist wieder p-zusammenhängend, aber G_{i} hat nur die beiden trivialen p-zusammenhängenden Untergruppen (dieses Argument verlangt nur, daß S p-zusammenhängend ist).

(2) Es sei (a_{1}, ..., a_{n}) ∈ S: ist w_{p}(a^{1}...a^{n}/B) = 0, so gilt die Behauptung. Ist andererseits w_{p}(a^{1}...a^{n}/B) = 1, dann ist stp(a^{1}...a^{n}/B) generisch (nach 4.7) und deshalb sind alle stp(a^{i}/B) generisch in pr_{i}(S) =^{V or} G_{i} und deshalb gilt die Behauptung. □

Nun werfe ich noch die Gruppen raus, deren erste Komponente (d.h. die Projektion auf die erste Komponente) trivial ist: R sei die Klasse der p-regulären Morphismen in P_{Q} mit nichttrivialer erster Komponente. S und S′ seien (komponierbar bzw. addierbar) in R, dann sei

S.S′ := (S ∘ S′)^{0,p} S ⊕ S′ := (S + S′)^{0,p}

Ich sage ,,S = 0” bzw. ,,S = 1”, falls die zweite Komponente von S trivial bzw. S eine Diagonale ist, R(G, H) bestehe aus den S < G × H.

1.3 Satz (Die Kategorie der p-regulären Gruppen) (1) Die p-regulären Gruppen bilden mit den Morphismen R und . eine Kategorie.

(2) . und ⊕ sind distributiv.

(3) Jedes R(G, H) wird mit ⊕ zu einer abelschen Gruppe.

(4) Für alle (komponierbaren) S, S′ gilt S.S′ = 0 ⇔ S = 0 oder S′ = 0 und für alle S ≠ 0 gilt S.S^{−1} = 1 und S^{−1}.S = 1 Es sei ⟨R⟩ die Klasse der Quasihomomorphismen in P_{Q}, die durch ∘ und + aus R erzeugt sind. Alle auftretenden Gruppen seien etwa B-typdefinierbar (das heißt natürlich nicht, daß alle S ∈ R B-Gruppen sind, erst werden die Gruppen gewählt, dann das B) und natürlich seien alle auftretenden Verknüpfungen definiert.

Behauptung: Für alle U ∈ ⟨R⟩ gilt: w_{p}(pr_{1}(U)) = 1 und ∀(a, b) ∈ U : b ∈ cl_{p}^{B}(a). Beweis (induktiv): die Behauptung gilt für alle S ∈ R (das folgt aus dem Lemma oben (1.2) für S ≠ 0, für S = 0 ist es klar). Es gelte nun für U, U′ ∈ ⟨R⟩ die Behauptung, w_{p}(pr_{1}(U)) = 1 bedeutet, daß die Projektion auf die erste Koordinate die ganze (“linke”) Gruppe ist, dann ist klar, daß sich diese Eigenschaft auf Verknüpfungen vererbt.

(a) U ∘ U′: (a, b) ∈ U ∘ U′, etwa (a, c) ∈ U und (c, b) ∈ U′, so nach Induktionsvoraussetzung b ∈ cl_{p}^{B}(c) und c ∈ cl_{p}^{B}(a), also b ∈ cl_{p}^{B}(a).

(b) U′ ∘ U analog

(c) U + U′: (a, b) ∈ U + U′, etwa (a, b_{1}) ∈ U, (a, b_{2}) ∈ U′ und b = b_{1} + b_{2}, so nach Voraussetzung b_{i} ∈ cl_{p}^{B}(a), also b = b_{1} + b_{2} ∈ cl_{p}^{B}(a).

Damit ist die Behauptung bewiesen und insbesondere hat jedes U ∈ ⟨R⟩ p-Gewicht 1 und ^{0,p} kann als Projektion von ⟨R⟩ auf R aufgefasst werden, wobei die Faser von S gerade die Obergruppen von S (in ⟨R⟩) sind. Nun folgt der Rest recht einfach:

(1) Nach Definition ist . eine zweistellige Verknüpfung in R und jede Diagonale ist in R und neutral. Ich muß also nur noch die Assoziativität zeigen: sind S_{1}, S_{2}, S_{3} aus R und komponierbar, so (S_{1}.S_{2}).S_{3} = ((S_{1} ∘ S_{2})^{0,p} ∘ S_{3})^{0,p}, aber (S_{1} ∘ S_{2})^{0,p} ∘ S_{3} ⊂ (S_{1} ∘ S_{2}) ∘ S_{3} und beide Gruppen liegen in ⟨R⟩, also (S_{1}.S_{2}).S_{3} = (S_{1} ∘ S_{2} ∘ S_{3})^{0,p}, genauso S_{1}.(S_{2}.S_{3}) = (S_{1} ∘ S_{2} ∘ S_{3})^{0,p}, also (S_{1}.S_{2}).S_{3} = S_{1}.(S_{2}.S_{3}).

(2) (S_{1} ⊕ S_{2}).S_{3} ⊂ ((S_{1} + S_{2}) ∘ S_{3}) und S_{1}.S_{3} ⊕ S_{1}.S_{3} ⊂ S_{1} ∘ S_{3} + S_{2} ∘ S_{3} ⊂^{s.o.}

((S_{1} +S_{2})∘S_{3}), also (S_{1} ⊕S_{2}).S_{3} = ((S_{1} +S_{2})∘S_{3})^{0,p} = S_{1}.S_{3} ⊕S_{1}.S_{3}. Wegen S_{1}∘(S_{2}+S_{3}) ⊂ S_{1}∘S_{2}+S_{1}∘S_{3} folgt analog S_{1}.(S_{2}⊕S_{3}) = (S_{1}∘S_{2}+S_{1}∘S_{3})^{0,p} = S_{1}.S_{2} ⊕ S_{1}.S_{3}.

(3) ⊕ ist nach Definition abgeschlossen auf R(G, H) und mit + ist auch ⊕ kommutativ. Die Assoziativität zeigt man wie in (1): (S_{1} ⊕ S_{2}) ⊕ S_{3} = (S_{1} + S_{2} + S_{3})^{0,p} = S_{1} ⊕ (S_{2} ⊕ S_{3}). 0 ist neutral und mit S ≠ 0 ist auch −S in R(G, H) und S ⊕ (−S)) = (S − S)^{0,p} = 0 (denn für (a, b_{2} − b_{1}) ∈ S − S ist b_{2} − b_{1} ∈ cok(S) ⊂ cl_{p}(∅)).

(4) G →^{S′} H →^{S} H′: ist S′ = 0 = G × {0}, so ist S.S′ = (S ∘ G × {0})^{0,p} =

(G×cok(S))^{0,p}. Aber cok(S) ⊂ cl_{p}^{B}(∅) (denn jedes b ∈ cok(S) liegt in cl_{p}^{B}(0)), also (G × cok(S))^{0,p} = G × {0} = 0. Andererseits ist (H × {0} ∘ S′)^{0,p} = (G × {0})^{0,p} = 0. Sind hingegen beide Gruppen ≠ 0 und (a, b) B-generisch in S.S′, etwa (a, c) ∈ S′ und (c, b) ∈ S, so ist a B-generisch pr_{1}(S′) = G und aus dem Lemma oben (1.2) folgt a ∼_{cl_{p}^{B}} c und c ∼_{cl_{p}^{B}} b, also w_{p}(b/B) = 1 und S.S′ ≠ 0. Nun sei S ≠ 0 und (a, b) sei B-generisch in S, dann ist auch stp(b/B) generisch und stp(a, a/B) bzw. stp(b, b/B) sind p-reguläre Typen in S^{−1} ∘ S bzw. S ∘ S^{−1} und folglich sind die ^{0,p}-Projektionen dieser Gruppen gerade jeweilige Diagonale, also S^{−1}.S = 1 und S.S^{−1} = 1. □

Ich nenne diese Kategorie auch R. Aus dem Beweis folgt, daß ^{0,p} ein Funktor von der Unterkategorie von P_{Q}, die nur die Morphismen ⟨R⟩ hat, auf R ist, der sogar die Addition erhält (^{0,p} operiert identisch auf den Objekten und ist auf den Morphismen die im Beweis gegebene Projektion ⟨R⟩ → → R). Wir haben hier also insgesammt 3 verschiedene Komopsitionen und Additionen:

[figure: G; abelsche Gruppen; abelsche Gruppen_{Q}; P_{Q}; 0, p; ⟨R⟩; R]

1.4 Korollar Für jede p-reguläre Gruppe G ist R(G, G) ein Schiefkörper.

R ist eine Invariante der Orthogonalitätsklasse von p, denn p geht nur durch die Theorie der p-Einfachheit in die Konstruktion ein. Die zu allen Orthogonalitätsklassen gehörenden Kategorien kann man“disjunkt vereinigen”: man findet also zu jeder stabilen Theorie (in der es reguläre Gruppen gibt) eine recht schöne Kategorie, deren Objekte gerade die regulären Gruppen sind.

4.1.3 Die Kategorie R_{A} und der Funktor σ_{A}

Der Ring R(G, G) ist nur von der regulären Gruppe G abhängig und nicht davon, über welchen Parametern G lebt. Ich werde nun parameterabhängige Unterringe einführen, die dann in den Endomorphismenring eines parameterabhängigen Quotienten von G eingebettet werden und diesen Quotienten dadurch zu einem Vektorraum machen. Ich mache diese Konstruktion wieder für die gesammte Kategorie, G und H seien p-reguläre A-Gruppen und G_{0} = G ∩ cl_{p}(A), H_{0} entsprechend. Man beachte, daß G_{0} parameterabhängig ist. Der inhaltliche Kern ist das folgende

1.5 Lemma Es sei G →^{S} H cl_{p}(A)-typdefinierbar und S ≠ 0, dann induziert S durch

(g, h) ∈ S, so g_{G_{0}} ↦ h_{H_{0}}

einen Gruppenisomorphismus σ_{S} : G/G_{0} → H/H_{0}

Beweis Nach 1.2 ist pr_{1}(S) = G und pr_{2}(S) = H und für (a, b) ∈ S : a ∈ cl_{p}(A) ⇔ b ∈ cl_{p}(A), also a ∈ G_{0} ⇔ b ∈ H_{0}. Aus 1.1 folgt dann die Behauptung. □

R_{A} bestehe aus den A-Objekten und den cl_{p}(A)-Morphismen von R, R_{A} ist dann eine Unterkategorie von R (auch mit Addition), denn die Verknüpfung von zwei cl_{p}(A)-Morphismen ist wieder ein cl_{p}(A)-Morphismus (S, S′ cl_{p}(A)-typdefinierbar, so auch S∘S′ bzw. S+S′, dann auch (S∘S′)^{0,p} bzw. (S+S′)^{0,p}). Insbesondere sind die R_{A}(G, H) Untergruppen von R(G, H) und die R_{A}(G, G) Unterschiefkörper von R(G, G). σ_{A} ordne jedem G die Gruppe G/G_{0} zu und jedem S den Homomorphismus σ_{S},

1.6 Lemma σ_{A} ist ein treuer, additionsverträglicher Funktor von R_{A} in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Beweis σ_{1} = id klar, G/G_{0} ist stets eine abelsche Gruppe und σ_{S} stets ein Gruppenhomomorphismus.

G →^{S′} G′ →^{S} H: σ_{S.S′}(g_{G_{0}}) = (h_{H_{0}}) ⇔ ∃(g′, h′) ∈ S.S′ : g′ ≡ g, h′ ≡ h

⇔ ∃(g′, a) ∈ S′, (a, h′) ∈ S : (g′, h′) ∈ S.S′, g′ ≡ g, h′ ≡ h ⇔ σ_{S′}(g_{G_{0}}) = a_{H′_{0}}, σ_{S}(a_{H′_{0}}) = h_{H_{0}} ⇔ (σ_{S} ∘ σ_{S′})(g_{G_{0}}) = (h_{H_{0}}), σ_{A} ist also verträglich mit der Komposition und deshalb ein Funktor.

G →^{S,S′} H: σ_{S⊕S′}(g_{G_{0}}) = h_{H_{0}} ⇔ ∃(g′, h′) ∈ S⊕S′ : g′ ≡ g, h′ ≡ h ⇔ ∃(g′, h′_{1}) ∈

S, (g′, h′_{2}) ∈ S′ : h′_{1} + h′_{2} = h′, (g′, h′) ∈ S ⊕ S′, g′ ≡ g, h′ ≡ h ⇔ σ_{S}(g_{G_{0}}) + σ_{S′}(g_{G_{0}}) = h′_{1H_{0}} + h′_{2H_{0}} und h′_{1} + h′_{2} = h ⇔ (σ_{S} + σ_{S′})(g_{G_{0}}) = h_{H_{0}}, σ_{A} ist also verträglich mit der Addition. Man sieht schnell, daß σ_{S} = 0 ⇔ S = 0 (ist S ≠ 0, so ist pr_{2}(S) die ganze Zielgruppe) und wegen der Additionsverträglichkeit ist σ_{A} injektiv auf jeder Morphismengruppe, also treu. □

Es folgt insbesondere, daß σ_{A} : R_{A}(G, H) → Hom(G/G_{0}, H/H_{0}) eine Einbettung von abelschen Gruppen und σ_{A} : R_{A}(G, G) → End(G/G_{0}) eine Einbettung von Ringen ist. Für “σ_{S}(g_{G_{0}})” schreibe ich auch “S.g_{G_{0}}”. Da R_{A}(G, G) ein Schiefkörper ist, haben wir außerdem das

1.7 Korollar Ist G eine p-reguläre A-Gruppe, so ist G/G_{0} auf natürliche Weise ein Vektorraum über R_{A}(G, G).

Außerdem induziert jedes S ∈ R_{A}(G, H)^{≠0} durch α ↦ S.α.S^{−1} einen Ringisomorphismus I_{S} : R_{A}(G, G) → R_{A}(H, H), so daß wir folgende kommutative Situation haben:

[figure: R_{A}(G, G) × G/G_{0}; R_{A}(H, H) × H/H_{0}; G/G_{0}; H/H_{0}; I_{S} × S; multipl; multipl; S]

Man braucht dafür natürlich, daß R_{A}(G, H) ≠ {0} und eine dafür notwendige Bedingung ist gen(G)∥A ⊥̸^{a} gen(H)∥A, denn jedes generische Tupel von S erfüllt diese Abhängigkeit (stp(g, h/A′) generisch in S, A ⊂ A′ ⊂ cl_{p}(A), so g |̸ ⌣_{A′} h, da w_{p}(S) = 1. Wären g und h unabhängig über A, so wäre stp(g, h/A) schon psemiregulär und würde nicht nach A′ forken und dann g | ⌣_{A′} h, Widerspruch). Im nächsten Kapitel zeige ich, daß diese Bedingung schon hinreichend ist, falls p lokal modular ist.

Geometrien

Ich will nun kurz schauen, was diese Ergebnisse für das Studiun der Geometrie regulärer Typen bedeuten. Ist G eine p-reguläre A-Gruppe mit generischem Typ q ∈ St(A), so trägt G/G_{0} die Struktur einer modularen Prägeometrie durch die R_{A}(G, G)-Vektorraumstruktur. Andererseits wird G/G_{0} durch

h_{G_{0}} ∈ cl(g_{1G_{0}}, ..., g_{nG_{0}}):⟺ h ∈ cl_{p}^{A}(g_{1}, ..., g_{n})

zu einer Prägeometrie, wobei (G/G_{0}, cl) und (q, |̸ ⌣_{A}) dieselben Geometrien induzieren. Es erstaunt nicht, daß lineare Abhängigkeit Forkingabhängigkeit impliziert:

1.8 Lemma (1) Es sei S ∈ R_{A}(G, H)^{≠0} und a ∈ G, b ∈ H: S.a_{G_{0}} = b_{H_{0}} ⇒ a ∼_{cl_{p}^{A}} b

(2) Für h, g_{1}, ..., g_{n} ∈ G gilt: h_{G_{0}} ∈ span{g_{1G_{0}}, ..., g_{nG_{0}}} ⇒ h ∈ cl_{p}^{B}(g_{1}, ..., g_{n})

Beweis (1) a ≡ a′ ∼_{cl_{p}^{A}} b′ ≡ b für ein geeignetes (a′, b′) ∈ S.

(2) Es seien h, g_{1}, ..., g_{n} ∈ G und h_{G_{0}} ∈ span{g_{1G_{0}}, ..., g_{nG_{0}}}, etwa h_{G_{0}} = ∑ S_{i}.h_{iG_{0}} (für geeignete S_{i} ∈ R_{A}(G, G), OE S_{i} ≠ 0). Wähle (a_{i}, b_{i}) ∈ S_{i}, so daß a_{iG_{0}} = g_{iG_{0}} und b_{iG_{0}} = S_{i}.h_{iG_{0}}, dann sind wegen (1) alle b_{i} ∼_{cl_{p}^{A}} g_{i} und außerdem h_{G_{0}} = ∑ b_{iG_{0}} = (∑ b_{i})_{G_{0}}, also h ∈ cl_{p}^{A}(b_{1}...b_{n}) = cl_{p}^{A}(g_{1}...g_{n}). □

Das Lemma besagt, daß die span-abgeschlossenen Mengen in G/G_{0} in den clabgeschlossenen Mengen von G/G_{0} enthalten sind, genauer

X ⊂ G/G_{0} ⇒ span(X) ⊂ cl(X)

Angenommen wir hätten Gleichheit, dann wäre q modular und die Geometrie von q wäre die eines projektiven Raumes über R_{A}(G, G). Dazu ist es sicher notwendig, daß q, also p, lokal modular ist. Daß auch hier lokale Modularität wieder hinreichend ist, zeige ich im nun folgenden Teil.

4.2 Lokal modulare Gruppen

Nun kehre ich endlich wieder zur lokalen Modularität zurück und zeige, daß sie die noch bestehenden Lücken schließt. Für eine p-einfache Gruppe G sei Q die Menge der p-semiregulären Typen von G (bzw. deren Stationaritätsklassen) und S die Menge der p-zusammenhängenden Untergruppen von G. Da sich p-Semiregularität auf Translate vererbt, ist (G, Q) ein Unterraum von (G, Ĝ). p sei in diesem Kapitel lokal modular.

2.1 Satz Es sei G eine A-Gruppe, G ⊂ D_{p}(A). Ist D_{p}(A) modular, dann gilt

(1) Es gibt eine kanonische 1:1 Korresopndenz zwischen S und den Bahnen von (G, Q)_{r}.

(2) Jedes S ∈ S ist eine cl_{p}(A)-Gruppe.

Beweis (1) Es sei q = stp(a/B) ∈ Q und S = Stab_{l}(q). Behauptung: w_{p}(S) = w_{p}(q) Beweis: Ist g ein Ba-generisches Element von G und C = Cb(g.q), dann ist (wegen 2.23) w_{p}(C/B, g.a) = w_{p}(g^{S}/B, a.g) und (wegen 4.13) w_{p}(S) = w_{p}(q)− w_{p}(C/B, a.g). Aber stp(g.a/Bg) = g.q ist eine p-semireguläre Fortsetzung von stp(g.a/B), deshalb gilt mit dem Modularitätslemma 3.1 C ⊂ cl_{p}^{A}(g.a) und es folgt die Behauptung. Wieder mit 4.13 folgt, daß S p-zusammenhängend ist und daß q rechtstranslatiert ist zu gen(S). Da zwei rechtstranslatierte Typen denselben Linksstabilisator haben, gilt also für q, q′ ∈ Q: Stab_{l}(q) = Stab_{l}(q′) ⇔ q und q′ liegen in derselben Bahn (von (G, Q)). Außerdem ist jede p-zusammenhängende Gruppe gerade der Stabilisator ihres generischen Typs (das gilt für jede zusammenhängende Gruppe), dieser ist dann nach Definition p-semiregulär. Wir haben also folgende schöne Situation:

Die zu S gehörende Bahn hat gen(S) als kanonischen Repräsentanten, dieser ist Charakterisiert durch “S ⊂ q” (als Typen)

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; Stab(q_{1}); Stab(q_{2}); Bahn(q_{1}); Bahn(q_{2}); Ĝ; Q]

(2) Es sei S ∈ S mit q = gen(S) = stp(a/B) ∈ Q, nach 2.24 ist C = Cb(q) ⊂ acl(B) eine kanonische Basis von S über A.

Behauptung: für jedes g ∈ G gilt: C ⊂ cl_{p}^{A}(a.g) Beweis: q.g = stp(a.g/Bg) ist eine p-semireguLäre Fortsetzung von stp(a.g/A), da p lokal modular ist gilt dann Cb(q.g) ⊂ cl_{p}^{A}(a.g). Aber S = Stab_{l}(q) = Stab_{l}(q.g), also ist S cl_{p}^{A}(a.g)-invariant und deshalb C ⊂ cl_{p}^{A}(a.g).

Wählt man nun für g ein Ba-generisches Element von G, so ist auch a.g Bagenerisch und insbesondere a.g | ⌣_{A} B und C ⊂ cl_{p}^{A}(a.g) ∩ acl(B) ⊂ cl_{p}(A) und folglich ist S cl_{p}(A)-invariant. □

Bevor ich diesen Satz weiter anwende mache ich eine kleine, etwas technische Bemerkung, ich werde sie einige male verwenden, wenn ich ein Element einer Nebenklasse habe, aber eines der (Unter)Gruppe selber brauche:

2.2 Bemerkung Es seien U < G × H p-einfache A-Gruppen, H p-regulär, pr_{1}(U) = G und cok(U) ⊂ cl_{p}(A). Liegt dann (g, h) in einer cl_{p}(A)-Nebenklasse von U, so gibt es ein (g, h′) ∈ U mit h′ ≡ h modH_{0}.

Beweis Es sei X eine A′-Nebenklasse von U (A ⊂ A′ ⊂ cl_{p}(A)) und (g, h) ∈ X. Da pr_{1}(U) = G ist auch pr_{1}(X) = G und es gibt ein d ∈ H mit (0, d) ∈ X. Wäre nun d A-generisch in H, so fände man wegen der A′-Invarianz von cok(X) ein d′ ∈ cok(X) mit d′ | ⌣_{A′} d, also d′ | ⌣_{A} d. Dann wäre aber einerseits d′−d Agenerisch in H, andererseits (0, d′)−(0, d) ∈ U und d′ −d ∈ cok(U) ⊂ cl_{p}(A), Widerspruch. Also ist d ∈ cl_{p}(A) und (g, h)−(0, d) ∈ U, also tut’s h′ = h−d.

□

2.3 Korollar Es seien G und H p-reguläre A-Gruppen und B ⊃ A:

(1) Ist stp(g, h/B) p-regulär in G × H, so S = Stab(stp(g, h/B)) ∈ R_{A}(G, H) und S.g_{G_{0}} = h_{H_{0}}.

(2) R_{A}(G, H) ≠ {0} ⟺ gen(G)∥A ⊥̸^{a} gen(H)∥A.

(3) R_{A}(G, G) = R(G, G)

Beweis (1) S = Stab(stp(g, h/A)) ist p-zusammenhängend und hat p-Gewicht 1, denn gen(S) ist translatiert zu stp(g, h/A), also S ∈ R(G, H). Aber G × H ist eine A-Gruppe, also ist S cl_{p}(A)-Gruppe und in R_{A}(G, H). G, H und (g, h) erfüllen die Voraussetzungen der Bemerkung, also gibt es ein h′ ≡ h mit (g, h′) ∈ S, also S.g_{G_{0}} = h′_{H_{0}} = h_{H_{0}}.

(2) Es seien g^{⊧}gen(G)∥A, h^{⊧}gen(H)∥A, g |̸ ⌣_{A} h. Es sei A′ ⊂ cl_{p}(A), so daß stp(g, h/A′) p-semiregulär ist, also p-regulär, jetzt wie in (1), dann ist insbesondere S ≠ 0, da h ∉ cl_{p}(A). Die andere Richtung ist bekannt.

(3) Jede p-reguläre Untergruppe von G × G ist eine cl_{p}(A)-Gruppe. □

Den Existenzsatz sowie das Korollar werde ich nun ständig unerwähnt gebrauchen. Man beachte auch, daß alle von p-regulären Gruppen G gewonnenen Schiefkörper R(G, G) isomorph sind, denn je zwei solche Gruppen G, H sind nicht orthogonal, also nicht fast-orthogonal über einem geeigneten a-Modell M. Wegen Teil (2) des Korollars gibt es ein S ∈ R_{M}(G, H)^{≠{0}} und S induziert einen Isomorphismus R_{M}(G, G) ≅ R_{M}(H, H). Mit Teil (3) des Korollars folgt die Behauptung. Bis auf (nicht kanonische) Isomorphie gibt es also in der zu p gehörenden Kategorie R nur einen Schiefkörper. Da für lokal modulare, nicht modulare Typen die Kategorie R nicht leer ist (3.12), kann man also bei jedem solchen Typ von “dem zu der Orthogonalitätsklasse gehörenden Schiefkörper” sprechen. Noch ein kurzer Blick auf die noch bleibende Parameterabhängigkeit: der Schiefkörper ist zwar parameterunabhängig, aber der Funktor σ_{A} natürlich nicht, insbesondere bekommt man für verschiedene Parameter verschiedene Vektorräume. Ist G eine p-reguläre A-Gruppe und B ⊃ A, so sei G_{A} = G∩cl_{p}(A) und G_{B} = G ∩ cl_{p}(B). Dann gilt G_{A} < G_{B} < G als Gruppen und deshalb G/G_{B} ≅ (G/G_{A})/(G_{B}/G_{A}) als Gruppen. Außerdem ist 0 = G^{A}/G_{A} < G^{B}/G_{A} < G/G_{A} als Vektorräume (über dem Schiefkörper von p), denn man sieht schnell, daß G^{B}/G_{A} abgeschlossen ist (da die Verknüpfungen “in cl_{p}(B) bleiben”). Insgesammt bekommt man, daß G/G_{B} ein Vektorraumquotient von G/G_{A} ist:

[figure: gen(G); G; K; gen(G)∥B; gen(G)∥A; G/G_{B}; G/G_{A}]

G/G_{B} ≅ (G/G_{A})/(G_{B}/G_{A}) als VR über K

Ich werde nun zeigen, daß im lokal modularen Fall auch das zweite Desideratum erfüllt ist: Forkingabhängigkeit und lineare Abhängigkeit stimmen auf den Geometrien überein.

2.4 Satz Es sei G eine p-reguläre A-Gruppe, dann sind äquivalent:

(1) G ist lokal modular

(2) G ist modular über A

(3) (G/G_{0}, span) ∼ (G/G_{0}, cl_{p}^{A})

Beweis (3) ⇒ (2): Die Prägeometrie (G/G_{0}, span) ist modular und (G/G_{0}, cl_{p}^{A}) ∼ (gen(G)∥A, |̸ ⌣_{A}), aus (3) folgt also die Modularität von (gen(G)∥A, |̸ ⌣_{A}).

(2) ⇒ (1) ist klar

(1) ⇒ (3): Es sei G lokal modular und h, g_{1}, ..., g_{n} ∈ G, dann ist zu zeigen:

h ∈ cl_{p}^{A}(g_{1}, ..., g_{n}) ⟺ h_{G_{0}} ∈ span(g_{1G_{0}}, ..., g_{nG_{0}})

”⇐” gilt nach 1.8 sowieso und für ” ⇒ ” reicht es, generische Elemente zu betrachten. Seien also h, g_{1}, ...g_{n}^{⊧}gen(G)∥A und h ∈ cl_{p}^{A}(g_{1}, ..., g_{n}), OE g_{1}, ..., g_{n} unabhängig über A. Behauptung: Es gibt b_{1}, ..., b_{n} ∈ G, so daß h ≡ ∑ b_{i} modG_{0} und b_{i} ∈ cl_{p}^{A}(g_{i}). Beweis: Es sei A′ := dcl^{A}(ḡ, h)∩cl_{p}(A), dann ist stp(ḡ, h/A′) ein p-semiregulärer Typ in der A′-Gruppe G^{n} × G ⊂ D_{p}(A) und von p-Gewicht n. Also gibt es eine p-zusammenhängende A′-Gruppe S < G^{n} × G, so daß stp(ḡ, h/A′) generisch in einer A′-Nebenklasse X von S ist. Im generischen Typ von S gelten dann dieselben Abhängigkeiten wie in stp(ḡ, h/A′), insbesondere ist pr_{1}(S) = G^{n} und cok(S) ≠ G, also cok(S) ⊂ G_{0}. Dann gibt es für jedes g_{i} ein b_{i} ∈ G, so daß (0, ..., g_{i}, ...0, b_{i}) ∈ S, dann ist für b = ∑ b_{i} (ḡ, b) ∈ S und folglich ist (0, ...0, b − h) ∈ X. Wegen der Bemerkung ist dann b − h ∈ G_{0}, d.h. h ≡ ∑ b_{i} modG_{0}. Außerdem liegt (0, ..., 0, b_{i}) in der A′g_{i}-Nebenklasse S − (0, ..., g_{i}, ..., 0, 0), also wieder mit der Bemerkung, angewendet auf die Parameter A′g_{i}, gilt b_{i} ∈ cl_{p}(A′g_{i}) = cl_{p}^{A}(g_{i}).

Es sei nun A_{i} = dcl^{A}(g_{i}, b_{i}) ∩ cl_{p}(A), dann ist stp(g^{i}, b^{i}/A_{i}) p-regulär, also der generische Typ einer Nebenklasse einer A_{i}-Gruppe S_{i} ∈ R_{A}(G, G). Dann ist b_{iG_{0}} = S_{i}.g_{iG_{0}} und folglich gilt

h_{G_{0}} = (∑ b_{i})_{G_{0}} = ∑ b_{iG_{0}} = ∑ S_{i}.g_{iG_{0}} ∈ span(g_{1G_{0}}, ..., g_{nG_{0}})
□

Lokal modulare Gruppen sind also modular und ihre Geometrie ist die des zu ihrem generischen Typ gehörenden projektiven Raumes.

Zum Schluß noch eine interessante Tatsache, die ich allerdings nicht mehr verwenden werde: Jedes S ∈ S ist abelsch. Um das einzusehen, wendet man den Satz auf die cl_{p}(A)-Gruppe S × S ⊂ D_{p}(A) an. OE ist S A-Gruppe. Für g^{⊧}q sei I_{g} der Graph des inneren Automorphismus h ↦ g^{−1}.h.g, dann ist I_{g} eine typdefinierbare Untergruppe von S × S. Behauptung: Für alle g, h^{⊧}q ist I_{g} = I_{h}. Beweis: I_{g} ist p-zusammenhängend, denn I_{g} ist durch die Projektion auf die erste Koordinate Ag-isomorph zu S. I_{g} ist also eine p-zusammenhängende Untergruppe der A-Gruppe S × S ⊂ D_{p}(A), ich habe aber gerade gezeigt, daß solche Gruppen cl_{p}(A)-typdefinierbar sind, also hängt I_{g} nur von stp(g/cl_{p}(A)) = q|cl_{p}(A) ab, d.h. nur von q (denn q^{⊧}q|cl_{p}(A)), daraus folgt die Behauptung. Aus I_{g} = I_{h} aber folgt, daß g und h kommutieren und da S von q^{C} erzeugt wird, ist S abelsch.

4.3 Die Geometrie lokal modularer Typen

3.1 Definition Einen regulären (stationären) Typ nenne ich affin, wenn er lokal modular und nicht modular ist. Ich nenne ihn projektiv, wenn er modular und nichttrivial ist.

Ein lokal modularer Typ ist entweder trivial, projektiv oder affin. Trivialität ist eine Eigenschaft der gesammten Orthogonalitätsklasse, d.h. es gibt für die Orthogonalitätsklassen lokal modularer Typen genau die beiden Möglichkeiten:

(1) alle Typen der Klasse sind trivial

(2) kein Typ der Klasse ist trivial

Betrachtet man Fall (2), so gibt es in jeder Parallelitätsklasse wieder zwei Möglichkeiten:

(2a) der Typ ist schon über seiner kanonischen Basis projektiv (2b) der Typ ist über seiner kanonischen Basis affin

In diesem Kapitel wende ich mich dem Fall (2b) zu und werde zeigen, daß die Geometrie eines affinen Typs die eines affinen Raumes ist und daß eine eine nichtforkende Fortsetzung eines affinen Typs affin bleibt, solange man (mopulo cl_{p}) keine Realisierung des Typs zu den Parametern tut. Um einige Zusammenhänge in ein klareres Licht zu stellen, werde ich den Hilfsbegriff der ,,Projektifizierung” einführen. Für das gesammte Kapitel sei p ∈ St(A) ein affiner Typ und P = p^{C}.

4.3.1 Einstimmung

Zur Einstimmung möchte ich die geometrischen Intuitionen etwas auffrischen und sie auf unsere Situation anwenden.

Affine Operationen

Ein affiner Raum über dem Vektorraum V ist eine reguläre Gruppenoperation der additiven Gruppe von V auf einer Menge. Man hat also einen (Schief)Körper, der auf einer abelschen Gruppe operiert (sie zum Vektorraum macht) und die Operation der Gruppe auf einer Menge. Ich will kurz schauen, was passiert, wenn keine Körper im Hintergrund ist, denn diese Situation tritt nachher ein. Eine Operation (G, X) nenne ich affin, wenn G eine abelsche Gruppe ist und die Operation regulär ist. Ich schreibe die Operation dann additiv und von rechts. Wegen der Regularität gibt es eine Abbildung − : X × X → G, die durch die Eigenschaft

g = b − a ⟺ a + g = b

definiert ist. Der einzige Unterschied zwischen einer affinen Operation und einem affinen Raum ist also, daß im letzten Fall die Gruppe ein Vektorraum sein muß, aber davon ,,weiß” die reguläre Operation nichts. Daher ist es nicht erstaunlich, daß viele Rechenregeln, die in affinen Räumen gelten und dort eine geometrische Interpretation haben, auch in dem allgemeineren Kontext hier gelten:

(a + h) − (a + g) = h − g, (b + g) − (a + g) = b − a

(b + h) − (a + g) = (b − a) + (h − g), (b′ − a′) − (b − a) = (b′ − b) − (a′ − a) Man kann sich diese Formeln in der affinen Ebene veranschaulichen, grundlegend dafür ist die ,,Assoziativität” (a + g) + h = a + (g + h):

[figure: a; a + g; (a + g) + h = a + (g + h); g; g + h; h]

Noch ein paar Worte zum Faktorisieren von Operationen: Ist (G, X) eine beliebige Gruppenoperation, N ⊲G und E eine Äquivalenzrelation auf X, so faktorisiert (G, X) genau dann nach (G/N, X/E), wenn für alle g, h ∈ G und a, b ∈ X gilt: g ≡_{N} h und aEb, so (g.a)E(h.b). Das ist genau dann der Fall, wenn (g_{N}, ã) ↦ g̃.a wohldefiniert ist, auf diese Weise wird X/E zu einem G/N-Raum. Insbesondere induziert N die Äquivalenzrelation E_{N}, ,,x und y liegen in derselben N-Bahn”. E_{N} ist dann die feinste Äquivalenzrelation durch die man (mit N) teilen kann. Transitivität vererbt sich auf Quotienten, Regularität nur, wenn E = E_{N} und das ist genau dann der Fall, wenn auch die zugehörige Subtraktion X × X → G faktorisiert.

[figure: G × X; X; G/N × X/E; X/E; multpil; pr; pr; multipl; X × X; G; X/E × X/E; G/N; minus; pr; pr; minus]

Ist dann zufälligerweise V = G/N ein Vektorraum über K, so ist A = X/E ein affiner Raum über V.

[figure: A; K × V × A; G × X; V × A; X]

Affine Geraden und Vektorgeraden

Es sei q ∈ St(A) ein projektiver Typ, der nichtorthogonal zu p ist (also pprojektiv). Dann gilt p ⊥^{a} q und sogar p ⊥^{a} q^{(ω)}. Ist also P = p^{C} und Q = q^{C}, so ist P = (p|Q′)^{C} für jede Teilklasse Q′ von cl_{p}^{A}(Q), anders gesagt ∀a ∈ P : a | ⌣_{A} cl_{p}^{A}(Q). Andererseits ist für jedes a ∈ P der Typ p|a modular und nichtorthogonal zu q, also p|a ⊥̸^{a} q|a, und zu jedem b^{⊧}p|a gibt es ein v ∈ Q, so daß b |̸ ⌣_{Aa} v. (a, b, v) ist dann minimal abhängig über A und jedes Tripel (a′, b′, v′) ∈ P ×P ×Q mit a′b′ |̸ ⌣_{A} v ist minimal abhängig (wären a′, b′ abhängig, so gäbe es kein abhängiges v). Andererseits lassen sich je zwei unabhängige Einträge zu einen (minimal) abhängigen Tripel ergänzen.

∀(a, b) ∈ P^{(2)} : cl_{p}^{A}(ab) ∩ Q ≠ ∅ und ∀a ∈ P : P ⊂ cl_{p}^{A}(Qa)
Q ⊂ cl_{p}^{A}(P), obwohl cl_{p}^{A}(Q) ∩ P = ∅

Übrigens bleibt jede nichtforkende Fortsetzung von p nach Parametern aus Q affin, denn wäre (P, |̸ ⌣_{AQ′}) modular, so wäre p|Q′ ⊥̸^{a} q|Q′ und P ∩ Q ≠ ∅. Ich werde diese Situation nun geometrisch interpretieren, wobei ich natürlich die Standardbeispiele als Leitbilder im Hinterkopf habe. Es sei A = ∅, v ∈ Q und (a, b) ∈ P^{(2)}: cl(ab) := cl_{p}(ab) ∩ P, cl(v) := cl_{p}(v) ∩ Q, dann nenne ich die cl(ab) “affine Geraden” und die cl(v) “Vektorgeraden” (obwohl letztere nur Gewicht 1 haben: die Vektorgeraden sind gerade die Punkte der projektiven Geometrie von Q). Nun werde ich jeder affinen Gerade eine Vektorgerade zuordnen und jede Vektorgerade durch Fixierung eines affinen Punktes zu einer affinen Geraden machen:

span(ab) := cl_{p}(ab) ∩ Q a + cl(v) := cl_{p}(a, v) ∩ P

Das sind tatsächlich affine Geraden und Vektorgeraden:

span(ab) = cl(v) ⇔ v ∈ span(ab) ⇔ b ∈ a + cl(v) ⇔ a + cl(v) = cl(ab)

[figure: x; .; .; 0; a; b; v; span; x; x; x; 0; a; a + cl(v); v; a + cl(.)]

Außerdem induziert jedes a ∈ P durch cl(ab) ↦ span(ab) eine Bijektion der affinen Geraden durch a und der Vektorgeraden (die Umkerhabbildung ist natürlich cl(v) ↦ a + cl(v)) und zwei sich schneidende affine Geraden sind genau dann identisch, wenn ihre zugehörigen Vektorgeraden identisch sind:

cl(ab) ∩ cl(cd) ≠ ∅, so cl(ab) = cl(cd) ⇔ span(ab) = span(cd)

Alle Beweise bestehen nur aus definitorischen Unformungen und elementaren Forkingrechnungen, wobei die oben erwähnten (Un)Abhängigkeiten ständig ausgenutzt werden. Zwei affine Geraden cl(ab), cl(cd) sind genau dann parallel, wenn sie entweder identisch sind, oder wenn w_{p}(abcd/A) = 3 und cl(ab) ∩ cl(cd) = ∅ (in D_{p}(A) schneiden sich die Geraden, denn D_{p}(A) ist modular: cl_{p}(ab) ∩ cl_{p}(cd) ≠ ∅). Das induziert eine Äquivalenzrelation auf P^{(2)}:

(a, b)∥(c, d) ⟺ w_{p}(abcd/A) = 2 oder w_{p}(abcd/A) = 3∧cl_{p}^{A}(ab)∩cl_{p}^{A}(cd)∩P ≠ ∅

Aus dem oben gesagten folgt dann, daß zwei Geraden parallel sind, wenn sie dieselbe Vektorgerade induzieren (denn das gemeinsame Gewicht der Geraden ist höchstens 3 und falls sie sich schneiden, so sind sie schon identisch):

span(ab) = span(cd) ⇒ (a, b)∥(c, d)

Aber Achtung, über die Umkehrung kann ich nichts sagen: ob zwei parallele Geraden dieselbe Vektorgerade induzieren, kann ich unter diesen schwachen Voraussetzungen nicht zeigen. Wir haben also in dieser Allgemeinheit leider noch keine 1:1 Korrespondenz zwischen Vektorgeraden und Parallelitätsklassen affiner Geraden. Im nächsten Abschnitt zeige ich, daß es genau diese fehlende Richtung ist, welche die Theorie zum laufen bringt. Übrigens gehört die Klasse P^{(2)}/∥ zu der Geometrie von (P, |̸ ⌣_{A}), das heißt, daß

für A′ ⊃ A mit (P |A′, |̸ ⌣_{A′}) = (P, |̸ ⌣_{A}) auch (P |A′)^{(2)}/∥ = P^{(2)}/∥; ist p′ ⊥̸^{a} p (p′

regulär), so induziert |̸ ⌣_{A} eine Bijektion (P′)^{(2)}/∥ ∼ P^{(2)}/∥.

4.3.2 Projektifizierbare affine Typen

Ich werde nun die oben gelassene Lücke durch den Begriff der ,,schwachen Projektifizierung” füllen und zeigen, wie weit uns das bringt. Um zu zeigen, daß affine Typen affine Geometrien haben, brauche ich zusätzlich noch eine affine Operation, also eine ,,starke Projektifizierung”. Die Unterscheidung der Begriffe ist nur dazu da, die Voraussetzungen klarer zu machen, die ich für die jeweiligen Ergebnisse brauche. Am Schluß wird die schwache Projektifizierung überflüssig, denn ich werde zeigen, daß jede starke Projektifizierung auch eine schwache ist und daß jeder affine Typ (modulo ⊥̸^{a}) eine starke Projektifizierung hat.

3.2 Definition (1) Ein Typ q heißt eine schwache Projektifizierung von p, wenn

(1) q ∈ St(A′) für ein A′ mit A ⊂ A′ ⊂ cl_{p}(A).

(2) q ist projektiv und q ⊥̸ p.

(3) Für jedes Q_{0} ⊂ q^{C} induziert |̸ ⌣_{A′Q_{0}} eine Bijektion zwischen den Parallelklassen in p|Q_{0} und der Geometrie von q|Q_{0}.

(2) Eine zusammenhängende Gruppe G heißt starke Projektifizierung von p, wenn

(1) G ist eine A′-Gruppe für ein A′ mit A ⊂ A′ ⊂ cl_{p}(A).

(2) G ist projektiv und G ⊥̸ p.

(3) Es gibt eine affine A′-Gruppenoperation von G auf p.

Ist p′ ∈ St(A) ein weiterer affiner Typ mit p′ ⊥̸^{a} p, so ist q auch eine schwache Projektifizierung von p′. Für starke Projektifizierungen ist das natürlich falsch, da G nicht auf p′ operiert. Das macht aber nichts, denn alle Aussagen, die wir mittels einer starken Projektifizierung über die Geometrie von p machen können, gelten dann auch für die isomorphe Geometrie von p′. Da lokal modulare Gruppen modular sind (2.4), braucht man an Stelle von (2.2) nur zu fordern, daß G pregulär ist (G ist dann lokal modular und nicht orthogonal zu p). Für Q_{0} ⊂ q^{C} ist G auch eine starke Projektifizierung von p|Q_{0}, da p|Q_{0}^{C} = p^{C}.

Wodurch ein affiner Typ projektiv wird

Es sei nun q ∈ St(A) eine schwache Projektifizierung von p und Q = q^{C}, ihr Hauptnutzen kommt in dem folgenden Lemma zum Ausdruck:

3.3 Lemma Es sei ā ⊂ P, B eine Menge, X = cl_{p}^{A}(ā) ∩ cl_{p}^{A}(B):

X ∩ P = ∅ ⇒ w_{p}(ā/A, X ∩ Q) = w_{p}(ā/AB)

Beweis Sei zuerst B ⊂ P endlich. Man kann annehmen, daß X ∩ Q = ∅ (sonst arbeite man über A′ = A ∪ (X ∩ Q), dann gelten für p′ = p|A′ und q′ = q|A′ dieselben Voraussetzungen, im Falle der schwachen Projektifizierung nach Definition. Außredem gilt für X′ := cl_{p}^{A′}(ā) ∩ cl_{p}^{A′}(B): X′ ∩ P′ = X ∩ P = ∅ und X′ ∩ Q = X ∩ Q ⊂ A′, also sogar X′ ∩ Q′ = ∅.)

Zu zeigen ist also, daß ā und B p-unabhängig sind. Nun sind nach Voraussetzung cl_{p}^{A}(ā) ∩ P und cl_{p}^{A}(B) ∩ P fast disjunkte Unterräume von (P, |̸ ⌣_{A}). Da q eine schwache Projektifizierung von p ist, kann es keine parallelen Geraden g_{1} ⊂ cl_{p}^{A}(ā) ∩ P und g_{2} ⊂ cl_{p}^{A}(B) ∩ P geben (denn sonst gäbe es ein v ∈ X∩Q). Die p-Unabhängigkeit der Räume folgt dann aus dem allgemeinen Lemma: Zwei fast disjunkte Unterräume X, Y einer lokal modularen Prägeometrie (U, cl) sind genau dann abhängig, wenn es parallele Geraden g_{1} ⊂ cl(X) und g_{2} ⊂ cl(Y) gibt.

Beweis: Die eine Richtung ist klar. Es seien nun X und Y abhängig, etwa dim(X) > 2, wähle ein unabhängiges a ∈ X, dann sind X und Y abhängig über a. Aber (U, cl_{a}) ist eine modulare Prägeometrie, deshalb gibt es ein b ∈ cl_{a}(X) ∩ cl_{a}(Y)\cl(a). Es sei dann g_{1} = cl(ac) und man kann X durch g_{1} ersetzen. Entsprechend findet man g_{2} ⊂ cl(Y).

Sei nun B beliebig (endlich), wegen dem Vorherigen reicht es zu zeigen, daß es ein b̄ ⊂ P gibt, so daß w_{p}(ā/AB) = w_{p}(ā/Ab̄) und cl_{p}^{A}(ā) ∩ cl_{p}^{A}(b̄) = cl_{p}^{A}(ā)∩cl_{p}^{A}(B). Das ist leicht: es sei C = Cb^{s}(ā/c̃l_{p}(AB)) und b̄^{⊧}stp(ā/AC)|ā,

Behauptung: b̄ tut’s.

Beweis: Es ist C = Cb^{s}(b̄/AC) ⊂ cl_{p}^{A}(b̄) (da p lokal modular und stp(b̄/AC) semiregulär), also ā | ⌣_{cl_{p}^{A}(b̄)} C und ā | ⌣_{cl_{p}^{A}(b̄)} B, deshalb stp(ā/c̃l_{p}(AB))∥stp(ā/cl_{p}^{A}(b̄))

und cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(B) = cl_{p}^{A}(C) = cl_{p}^{A}(a) ∩ cl_{p}^{A}(b̄), fertig. □

3.4 Korollar Für jede Parametermenge B ⊃ A mit cl_{p}^{A}(B) ∩ P = ∅ gilt:

P | ⌣_{cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(B)∩Q)} c̃l_{p}(AB) (p|B, |̸ ⌣_{B}) = (P, |̸ ⌣_{A,cl_{p}^{A}(B)∩Q})

Beweis Wegen des Lemmas gilt für jedes ā ⊂ P: ā | ⌣_{cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(ā)∩cl_{p}^{A}(B)∩Q)} c̃l_{p}(AB), aber

cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(ā)∩cl_{p}^{A}(B)∩Q) ⊂ cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(B)∩Q) ⊂ c̃l_{p}(AB), folglich ā | ⌣_{cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(B)∩Q)} c̃l_{p}(AB),

also P | ⌣_{cl_{p}^{A}(cl_{p}^{A}(B)∩Q)} c̃l_{p}(AB). Daraus folgt, daß (p|B, |̸ ⌣_{B}) = (p|cl_{p}^{A}(B) ∩

Q, |̸ ⌣_{cl_{p}^{A}(B)∩Q}), und da (p|cl_{p}^{A}(B) ∩ Q)^{C} = P folgt der zweite Teil. □

Da (P, |̸ ⌣_{AQ_{0}}) für jede Teilklasse Q_{0} von Q affin ist, folgt insbesondere der

3.5 Satz Ist p ∈ St(A) ein affiner, schwach projektifizierbarer Typ und B ⊃ A, dann gilt:

p|B ist modular ⟺ cl_{p}^{A}(B) ∩ p^{C} ≠ ∅

Der Satz besagt, daß ein affiner (schwach projektifizierbarer) Typ nur dadurch modular werden kann, daß man einen Punkt auszeichnet (das heißt, eine Realisierung zu den Parametern – modulo cl_{p} – hinzunimmt). Nun hat man einen klaren Überblick über alle möglichen Prägeometrien nichtforkender Fortsetzungen affiner (schwach projektifizierbarer) Typen, es gibt nämlich nur zwei Möglichkeiten: Lokalisierung nach Teilmengen von P oder nach Teilmengen von Q.

Fall 1: cl_{p}^{A}(B) ∩ p^{C} = ∅, dann bleibt p|B affin und seine Prägeometrie ist die Prägeometrie von p|B_{Q}, wobei B_{Q} = cl_{p}^{A}(B) ∩ Q, also eine Lokalisierung nach Vektorgeraden. Fall 2: etwa a ∈ cl_{p}^{A}(B) ∩ p^{C}, dann ist die Prägeometrie von p|B gerade die von (p|a)|cl_{p}^{A}(B). Aber p|a ist modular, also ist die Prägeometrie von (p|a)|cl_{p}^{A}(B) genau die von (p|a)|(cl_{p}^{Aa}(cl_{p}^{A}(B))∩ (p|a)^{C}) (siehe 3.9). Die Prägeometrie von p|B ist also eine echte Lokalisierung von p.

Die Geometrie affiner Typen

Ist G eine p-reguläre A-Gruppe mit q = gen(G)∥A, so ist q schon modular und wegen G ⊂ cl_{p}^{A}(q^{C}) gilt

∀a ∈ P : a | ⌣_{A} G und P ∩ cl_{p}^{A}(G) = ∅

3.6 Satz Es sei G eine starke Projektifizierung von p, so gilt

(1) (G, P) faktorisiert nach (G/G_{0}, P̃) und P̃ wird so zu einem affinen Raum über G/G_{0}.

(2) (P̃, span) = (P̃, |̸ ⌣_{A})

Beweis (1) G ist modular und G/G_{0} ein Vektorraum über R(G, G) und Abhängigkeit (über A) in gen(G) ist nach 2.4 das gleiche wie lineare Abhängigkeit in G/G_{0}. Außerdem sind a und b interdefinierbar über A, b − a.

Behauptung: Für alle a, b ∈ P gilt:

a |̸ ⌣_{A} b ⟺ b − a ∈ G_{0}

Beweis: Es ist a ∈ cl_{p}^{A}(b, b − a), also a ∈ cl_{p}^{A}(b), falls b − a ∈ cl_{p}(A) und (Semiregularität) deshalb a |̸ ⌣_{A} b. Ist andererseits b−a ∉ cl_{p}(A), so ist b−a Agenerisch in G und, da b−a ∈ G | ⌣_{A} a (und (G, P) transitiv), a+(b−a) | ⌣_{A} a, also a | ⌣_{A} b.

Behauptung: Die Zuordnung (ã, g_{G_{0}}) ↦ ã + g macht P̃ zu einem affinen Raum über G/G_{0}.

Beweis: ich zeige, daß für beliebige a, b, a′, b′ ∈ P, g, h ∈ G gilt:

g ≡ h modG_{0} und a |̸ ⌣_{A} b, so a + g |̸ ⌣_{A} b + h

a |̸ ⌣_{A} a′ und b |̸ ⌣_{A} b′, so b − a |̸ ⌣_{A} b′ − a′

Mit dem Wissen über Faktoren regulärer Operationen folgt dann die Behauptung.

g ≡ h modG_{0} und a |̸ ⌣_{A} b ⇔ g −h ∈ G_{0} und b−a ∈ G_{0} ⇔ (a+g)−(a+h) ∈ G_{0} und (b + h) − (a + h) ∈ G_{0} ⇔ a + g |̸ ⌣_{A} a + h und a + h |̸ ⌣_{A} b + h ⇒ a + g |̸ ⌣_{A} b + h.

a |̸ ⌣_{A} a′ und b |̸ ⌣_{A} b′, so a′ − a ∈ G_{0}, b′ − b ∈ G_{0} und (b′ − a′) − (b − a) = (b′ − b) − (a′ − a) ∈ G_{0}, also b − a |̸ ⌣_{A} b′ − a′.

(2) Es gilt für b_{0}, …, b_{n} ∈ P:

b̃_{0}, …, b̃_{n} sind lin. abh. ⇔ b̃_{1} − b̃_{0}, …, b̃_{n} − b̃_{0} sind lin. abh. in G/G_{0}
in (P̃, span)  ⇔ b̃_{1} − b_{0}, …, b̃_{n} − b_{0} sind lin. abh. in G/G_{0}
⇔ b̃_{1} − b_{0}, …, b̃_{n} − b_{0} sind p-abh. in G/G_{0}
⇔ b_{1} − b_{0}, ..., b_{n} − b_{0} sind p-abh. über A
b̃_{0}, ..., b̃_{n} sind abhängig ⇔ b_{0}, ..., b_{n} sind abhängig in P

in (P̃, |̸ ⌣_{A})

Es reicht, paarweise unabhängige b_{i} zu betrachten (denn b_{i} |̸ ⌣_{A} b_{j} ⇔ b̃_{i} = b̃_{j} und dann ist die Sache klar), dann sind die b_{i} − b_{0} in G_{1} und p-Abhängigkeit ist für sie dasselbe, wie Abhängigkeit. Es reicht also zu zeigen: sind b_{0}, ..., b_{n} paarweise unabhängig in P, dann

b_{0}, ..., b_{n} abhängig über A ⟺ b_{1} − b_{0}, ..., b_{n} − b_{0} abhängig über A

Beweis: b_{0}, ..., b_{n} abhängig über A ⇔ b_{1}, ..., b_{n} abhängig über Ab_{0} ⇔^{interdefbar}

b_{1}−b_{0}, ..., b_{n}−b_{0} abhängig über Ab_{0} ⇔^{b_{0} | ⌣ b_{1}−b_{0},...,b_{n}−b_{0}} b_{1}−b_{0}, ..., b_{n}−b_{0} abhängig

über A. □

3.7 Lemma Ist G eine starke Projektifizierung von p, so ist gen(G)∥A eine schwache Projektifizierung von p.

Beweis Da G auch eine starke Projektifizierung von p|Q_{0} ist für Q_{0} ⊂ Q, reicht es, die 1:1 Korrespondenz von Parallelklassen und Vektorgeraden nur über A zu zeigen, daß also für (a, b) und (c, d) in P^{(2)} gilt: w_{p}(abcd/A) = 3 und cl_{p}^{A}(ab)∩cl_{p}^{A}(cd)∩P = ∅, so b−a |̸ ⌣_{A} d−c. Angenommen w_{p}(abcd/A) = 3 und b − a | ⌣_{A} d − c. Ist g = b − a, h = d − c, so g | ⌣_{A} c − a | ⌣_{A} h, aber (g, h, c − a) ist abhängig über A.

Da g | ⌣_{A} h nach Voraussetzung, ist c − a |̸ ⌣_{A} g, h, es gibt also α, β ∈ R(G, G), so daß α.g_{G_{0}} = (c − a)_{G_{0}} + β.h_{G_{0}} (im Vektorraum G/G_{0}). Es seien g′, h′ ∈ G, so daß g′_{G_{0}} = α.g_{G_{0}} und h′_{G_{0}} = β.h_{G_{0}}.

[figure: a; c; h_{G_{0}}; g_{G_{0}}; b; d; (c − a)_{G_{0}}; a + g′; d + h′; β.h_{G_{0}}; α.g_{G_{0}}]

Behauptung: a + g′ ∈ cl_{p}^{A}(ab) ∩ cl_{p}^{A}(cd) ∩ P Beweis: (c + h′) − (a + g′) = (c − a) + h′ − g′ ∈ G_{0}, da ((c − a) + h′ − g′)_{G_{0}} = (c − a)_{G_{0}} + h′_{G_{0}} − g′_{G_{0}} = 0, also a + g′ |̸ ⌣_{A} c + h′. Wegen g′_{G_{0}} = α.(b − a)_{G_{0}} ist g′ ∈ cl_{p}^{A}(ab) und genauso h′ ∈ cl_{p}^{A}(cd), deshalb ist a + g′ ∈ cl_{p}^{A}(cd), damit folgt die Behauptung. □

Man beachte, daß ich für den Beweis nicht nur die Regularität der Operation gebraucht habe, sondern auch die Tatsache, daß G/G_{0} ein Vektorraum ist, in dem lineare Abhängigkeit und Abhängigkeit über A dasselbe sind.

4.3.3 Die Existenz der starken Projektifizierung

Es bleibt noch zu zeigen, daß jeder affine Typ (modulo ⊥̸^{a}) eine starke Projektifizierung hat.

3.8 Satz Es sei p ∈ St(A) ein affiner Typ, dann gibt es ein A′ ⊂ cl_{p}(A) und einen affinen Typ p′ ∈ St(A′), so daß p′ stark projektifizierbar ist und p′ ⊥̸^{a} p|A′.

Der Beweis macht einige Arbeit und ich werde ihn in zwei Schritten führen. Zuerst zeige ich, daß es “in der Nähe” von p einen projektiven Typ gibt, das ist die Hauptarbeit. Mit Hilfe dieses Typs konstruiere ich dann die gewünschte Gruppe als Bindungsgruppe.

3.9 Satz Es sei p ∈ St(A) ein affiner Typ, dann gibt es ein A′ ⊃ A und einen projektiven Typ q ∈ St(A′), so daß A′ ⊂ cl_{p}(A) und q ⊥̸ p.

Beweis Ich werde A′ nacheinander alle benötigten Parameter aus cl_{p}(A) zufügen, ohne dabei die Bezeichnung “A′” zu ändern. Außerdem wird A′ immer algebraisch abgeschlossen sein.

Schritt 1 : Konstruktion des Typen

Da p lokal modular ist, gibt es mit 3.12 ein E ⊃ A und eine modulare, zusammenhängende E-Gruppe G, so daß E, G ⊂ D_{p}(A) und w_{p}(E/A) = 1.

A′ = A ∪ (acl(AE) ∩ cl_{p}(A))

Also ist stp(E/A′) p-regulär und p^{⊧}p|A′, OE E ⊃ A′. Es sei E′ ≡_{A′} E und E′ | ⌣_{A′} E, G′ sei die entsprechende E′-Gruppe (also ein Konjugat von G). Da gen(G)∥ ⊥̸ p ⊥̸ gen(G′) und beide Gruppen modular sind, ist gen(G)∥EE′ ⊥̸^{a} gen(G′)∥EE′ und folglich gibt es (2.3) eine p-reguläre D′- Gruppe H′ < G × G′ mit pr_{1}(H′) = G, pr_{2}(H′) = G′ und EE′ ⊂ D′ ⊂ cl_{p}^{A}(EE′). Es sei (a, b) D′-generisch in H′, so gilt

stp(ab/D′) ist p-regulär, a ist D′-generisch in G, b ist D′-generisch in G′, insbesondere a | ⌣_{E} D′ und Ea | ⌣_{A′} E′, b | ⌣_{E′} D′ und E′b | ⌣_{A′} E, aber a |̸ ⌣_{EE′} b. w_{p}(Ea/A′) = w_{p}(a/E) + w_{p}(E/A′) = 2 = w_{p}(E′b/A′).

Behauptung: Es gibt ein d ∈ cl_{p}^{A}(Ea) ∩ cl_{p}^{A}(E′b) mit w_{p}(d/A′) = 1 Beweis: Da p lokal modular ist, gilt Cb^{s}(Ea/acl(EaE′b) ∩ cl_{p}^{A}(E′b)) ⊂ cl_{p}^{A}(Ea)∩ cl_{p}^{A}(E′b) und w_{p}(Cb/A′) = w_{p}(Ea/E′b) − w_{p}(Ea/acl(EaE′b) ∩ cl_{p}^{A}(E′b)), aber

w_{p}(Ea/acl(EaE′b) ∩ cl_{p}^{A}(E′b)) = w_{p}(Ea/E′b) = w_{p}(EE′ab/A′) − w_{p}(E′b/A′) = 3 − 2 = 1 also w_{p}(Cb/A′) = 1 und ein geeignetes Element aus dieses kanonischen Basis tut’s.

A′ = A′ ∪ (acl(A′d) ∩ cl_{p}(A′))

Dann ist stp(d/A′) p-regulär und die p-Regularität der anderen Typen sowie die relevanten Abhängigkeiten bleiben erhalten und es gilt (OE E ⊃ A′)

E | ⌣_{A′} E′bd, E′ | ⌣_{A′} Ead, insbes. ist {E, E′, d} unabhängig über A′ und d | ⌣_{A′} cl_{p}^{A}(EE′), also d | ⌣_{A′} D′. Außerdem d |̸ ⌣_{A′} Ea und d |̸ ⌣_{A′} E′b, also d |̸ ⌣_{E} a und d |̸ ⌣_{E} b.

Schritt 2 : stp(d/A′) erfüllt das Gewünschte

Da stp(d/A′) p-Gewicht 1 hat, ist stp(d/A′) ⊥̸ p und folglich nicht-trivial, außerdem ist A′ ⊂ cl_{p}(A). Ich muß also noch zeigen, daß stp(d/A′) modular ist. Es sei F = acl(Ead) ∩ cl_{p}^{A}(E), dann ist stp(ad/F) p-regulär, ad | ⌣_{F} D′ (da w_{p}(ad/D′) = 1), a |̸ ⌣_{F} d, F ad | ⌣_{A′} E′ (da Ead | ⌣_{A′} E′) und w_{p}(F/A′) = 1. Man beachte, daß F algebraisch abgeschlossen ist.

A′ = A′ ∪ (acl(A′F) ∩ cl_{p}(A′))

OE A′ ⊂ E (also auch A′ ⊃ E′), das alles ändert wieder nichts an den relevanten Daten und F | ⌣_{A′} E′. Es sei nun M ⊃ E′ ein |E′|^{+}-saturiertes Modell, so daß M | ⌣_{E′} F, dann F | ⌣_{A′} cl_{p}(M). Es sei G_{0} = G ∩ cl_{p}^{A}(F) und G_{1} = G\G_{0}, also G_{1} = (gen(G)∥F)^{C} = (gen(G)∥E)^{C} und (G_{1}, |̸ ⌣_{F}) = (G_{1}, |̸ ⌣_{E}) ist eine modulare Prägeometrie.

Q := stp(d/F)^{cl_{p}^{A}(M)}
X := {a′ ∈ G_{1} | a′ |̸ ⌣_{F} d′ für ein d′ ∈ Q}
Y := {a′ ∈ G_{1} | a′d′ ≡_{F} ad für ein d′ ∈ Q}

Man sieht schnell, daß Y ⊂ X, cl_{p}^{F} (X) = cl_{p}^{F} (Q) = cl_{p}^{F} (Y) und X = X + G_{0} (d.h. X ist die Vereinigung von G_{0}-Nebenklassen in G): a′ ∈ X, etwa a′ |̸ ⌣_{F} d′ ∈ Q, so a′ ∈ cl_{p}^{F} (d′), also X ⊂ cl_{p}^{F} (Q). d′ ∈ Q, etwa a′d′ ≡_{F} ad für ein a′ ∈ Y, so d′ ∈ cl_{p}^{F} (a′), also Q ⊂ cl_{p}^{F} (Y). Y ⊂ X, da a |̸ ⌣_{F} d. Ist a′ ∈ X (etwa a′ |̸ ⌣_{F} d′ ∈ Q) und g ∈ G_{0}, so a′ + g |̸ ⌣_{F} a′ |̸ ⌣_{F} d′, also a′ + g |̸ ⌣_{F} d′ und a′ + g ∈ X.

Schritt 2a): Y/G_{0} ∪ {0} ist ein Untervektorraum von G/G_{0}

Ich werde nun zeigen, daß Y/G_{0} ∪ {0} ein Untervektorraum von G/G_{0} ist. Dazu reicht es zu zeigen, daß Y/G_{0} ∪ {0} ein Kegel (in G/G_{0}) ist (d.h. abgeschlossen gegen Skalarmultiplikation) und daß Y abgeschlossen unter generischer Addition (in G) ist. Denn ist v ∈ span(Y/G_{0})^{≠0}, etwa v = ∑ α_{i}v_{i}, wobei v_{i} ∈ Y/G_{0} und α_{1}v_{1}, ..., α_{n}v_{n} linear unabhängig in G/G_{0}, dann sind die α_{i}v_{i} ∈ Y/G_{0}, etwa α_{i}v_{i} = a_{iG_{0}} mit a_{i} ∈ Y und a_{1}, ..., a_{n} sind unabhängig in Y. Dann ist aber a = ∑ a_{i} ∈ Y, also v = ∑ a_{iG_{0}} = a_{G_{0}} ∈ Y/G_{0}, folglich ist span(Y/G_{0}) ⊂ Y/G_{0} ∪{0} und Y/G_{0} ∪{0} ist ein Untervektorraum von G/G_{0}.

Vorerst noch eine technische Vorbetrachtung, die ich in beiden Beweisen brauche:

Behauptung: Es seien a_{1}, ..., a_{n} ∈ Y, etwa a_{i}d_{i} ≡_{F} ad für geeignete d_{i} ∈ Q, dann gibt es ein E′′ ⊂ M und ein D′′, so daß

E′′ ≡_{A′dd_{1}...d_{n}} E, EE′′ ⊂ D′′ ⊂ cl_{p}^{A}(EE′′) und D′ad ≡_{F} D′′a_{i}d_{i}

Beweis: Wähle erst eine kleine Parametermenge B, so daß A′ ⊂ B ⊂ M und Edd_{1}...d_{n} | ⌣_{B} M, realisiere dann stp(E/B) in M durch E′′. Dann Edd_{1}...d_{n} | ⌣_{B} E′′ und wegen E | ⌣_{A′} cl_{p}(M) gilt E | ⌣_{M} dd_{1}...d_{n}, E | ⌣_{B} dd_{1}...d_{n}, E | ⌣_{A′} B und E′′ | ⌣_{A′} B, also E | ⌣_{A′} dd_{1}...d_{n} und E′′ | ⌣_{A′} dd_{1}...d_{n} und folglich E′′ ≡_{A′dd_{1}...d_{n}} E (da dd_{1}...d_{n} nicht in M liegen muß, konnten wir stp(E/A′dd_{1}...d_{n}) nicht sofort in M realisieren). Da F | ⌣_{A′} cl_{p}^{A}(M) und E′′dd_{1}...d_{n} in cl_{p}^{A}(M) liegen, ist F | ⌣_{A′} E′′dd_{1}...d_{n} und {F, E′′, (dd_{1}...d_{n})} ist unabhängig über A′ (E′′ | ⌣_{A′} dd_{1}...d_{n}). Weil stp(E′′/A′) p-regulär ist und a_{i} ∈ cl_{p}^{A}(F d_{i}), gilt

E′′ | ⌣_{A′} F ada_{1}d_{1}...a_{n}d_{n}

Da F ad | ⌣_{A′} E′ und F ad | ⌣_{A′} E′′ (und E′ ≡_{A}^{′s} E′′) ist E′ ≡_{F ad}^{s} E′′. Wähle D′′ so, daß

E′D′ ≡_{F ad}^{s} E′′D′′ und EE′′ ⊂ D′′ ⊂ cl_{p}^{A}(EE′′)

Nun ist ad | ⌣_{F} E′′ und a_{i}d_{i} | ⌣_{F} E′′, folglich ad | ⌣_{F} D′′ und a_{i}d_{i} | ⌣_{F} D′′, denn stp(ad/F) ist p-regulär, ad | ⌣_{F} E′′ (da ad | ⌣_{F} E′) und D′′ ⊂ cl_{p}(F E′′) (um diese Unabhängigkeit zu gewährleisten, mußte ich von E zu F übergegangen werden). Da ad ≡_{F}^{s} a_{i}d_{i}, ist ad ≡_{F D′′}^{s} a_{i}d_{i}. Insgesammt haben wir also D′ad ≡_{F} D′′ad ≡_{F} D′′a_{i}d_{i} und die Behauptung ist bewiesen.

Nun komme ich endlich zu der versprochenen Behauptung:

(1) Ist a′ ∈ Y und α ∈ R_{G}^{≠0}, so ist α.a′_{G_{0}} ∈ Y/G_{0}

(2) Sind a_{1}, ..., a_{n} unabhängig über F in Y, so ist ∑ a_{i} ∈ Y

Beweis:

(1) Es sei d′ ∈ Q, so daß a′d′ ≡_{F} ad, wähle (mit der Vorbetrachtung) E′′ ⊂ M und D′′ ⊃ E′′, so daß D′ad ≡_{F} D′′a′d′. Wähle nun ein b′ derart, daß D′abd ≡_{F} D′′a′b′d′, dann ist b′ ∈ cl_{p}^{A}(E′′d′) ⊂ cl_{p}^{A}(M). Es sei H′′ die entsprechende D′′- Gruppe, also H′′ < G × G′′, wobei G′′ das zu E′′ gehörige Konjugat von G ist. Es sei a′′ ∈ G, so daß a′′_{G_{0}} = α.a′_{G_{0}}, b′′ ∈ G′′ sei derart, daß b′′_{G_{0}} = H′′.a′′_{G_{0}}, dann ist (a′′, b′′) D′′-generisch in H′′. Aber auch (a′, b′) ist D′′-generisch in H′′, also a′b′ ≡_{D′′} a′′b′′ und b′_{G_{0}} = H′′.a′_{G_{0}}, also b′′_{G_{0}} = H′′.α.a′_{G_{0}} = H′′.α.H^{′′−1}.b′_{G_{0}} und deshalb b′′ ∈ cl_{p}(E′′(b′) ⊂ cl_{p}(M). Wähle d′′ mit E′abd ≡_{F} E′′a′′b′′d′′, dann ist d′′ ∈ cl_{p}(E′′b′′) ⊂ cl_{p}(M), also d′′ ∈ Q, a′′ ∈ Y und α.a′_{G_{0}} = a′′_{G_{0}} ∈ Y/G_{0}.

(2) d_{i} gehöre zu a_{i}, OE n=2: wähle wieder E′′ ⊂ M, D′′ ⊃ E′′ und b_{i}, so daß D′abd ≡_{F} D′′a_{i}b_{i}d_{i}. Dann sind (a_{1}, b_{1}) und (a_{2}, b_{2}) unabhängige generische (über D′′) in der D′′-Gruppe H′′ < G × G′′ und b_{i} ∈ cl_{p}(M), insbesondere ist auch (a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2}) D′′-generisch in H′′, also E′′, a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2} ≡_{F} E′′, a_{i}, b_{i} ≡_{F} E, a, b und b_{1} + b_{2} ∈ cl_{p}(M). Wähle nun d′, so daß E′′, a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2}, d′ ≡_{F} E′abd, dann ist d′ ∈ cl_{p}(E′′, b_{1} + b_{2}) ⊂ cl_{p}(M), also d′ ∈ Q und folglich a_{1} + a_{2} ∈ Y.

Ich habe also gezeigt, daß Y/G_{0} ∪ {0} ein Untervektorraum von G/G_{0} ist. Nun bin ich fast fertig:

Schrit 2b): stp(d/A′) ist modular

Es sei a′ ∈ cl_{p}^{F} (X) ∩ G_{1}, dann a′ ∈ cl_{p}^{F} (Y) ∩ G_{1}, also a′_{G_{0}} ∈ span(Y/G_{0})^{≠0} ⊂ Y/G_{0}, also a′ ∈ Y + G_{0} ⊂ X + G_{0} = X. (X, |̸ ⌣_{F}) ist also ein abgeschlossener Unterraum der modularen Prägeometrie (G_{1}, |̸ ⌣_{F}) und somit modular. Dann ist aber auch (Q, |̸ ⌣_{F}) modular, denn |̸ ⌣_{F} induziert einen Isomorphismus der Geometrien. Da aber F | ⌣_{A′} cl_{p}^{A}(M), ist (Q, |̸ ⌣_{F}) = (stp(d/A′)^{cl_{p}^{A}(M)}, |̸ ⌣_{A′}). Da M hinreichend saturiert ist, ist dann auch stp(d/A′) modular. □

3.10 Lemma Es seien p, q ∈ St(A), p affin, q projektiv und q ⊥̸ p. Dann gibt es einen affinen Typ p′ ∈ S(acl(A)) und eine affine acl(A)-Gruppenoperation (G, p′), wobei p′ ⊥̸^{a} p und G eine zusammenhängende p-modulare acl(A)-Gruppe ist.

Beweis OE A = acl(A). Da p ⊥̸ q gibt es wegen 1.8 ein nicht algebraisches p′ ∈ dcl(p), welches q-intern ist. Mit p ist dann auch p′ regulär und offensichtlich p′ ⊥̸^{a} p, p′ ist also affin. OE p′ = p. G sei dann die Bindungsgruppe G(Q) von (p, q), wobei Q := cl_{p}^{A}(q^{C}) (Q ist A-invariant und algebraisch abgeschlossen). (G, P) sei die zugehörige A-Gruppenoperation. Da q projektiv, p aber nur affin ist, haben alle Elemente von P den gleichen Typ über Q (denn ihr Typ ist die nichtforkende Fortsetzung von p nach Q). Folglich sind alle Elemente von P über Q konjugiert (1.14) und (G, P) ist transitiv. Andererseits ist p|a ⊥̸^{a} q|a und deshalb ist b |̸ ⌣_{A} Qa für jedes b^{⊧}p, also P ⊂ cl_{p}^{Q}(a).

Behauptung: G ist p-regulär und (G, P) ist affin. Beweis: Es sei c̄ ⊂ P eine Fundamentallösung, dann sind gen(G) und stp(c̄/Q) interdefinierbar. Aber für a ∈ c̄ gilt (s.o.) a ∼_{cl_{p}^{Q}} c̄, also w_{p}(c̄/Q) = w_{p}(a/Q) = w_{p}(a/A) = 1. Da Q cl_{p}^{A}-abgeschlossen ist, ist stp(c̄/Q) p-semiregulär, also pregulär. Dann ist G abelsch und (G, P) ist treu und transitiv, also regulär (das ist reine Algebra: der Schnitt der (1-Punkt-) Stabilisatoren ist trivial (“treu”) und alle Stabilisatoren sind in G konjugiert (im Gruppensinn, folgt aus “transitiv”), also identisch (“abelsch”), folglich ist jeder Stabilisator trivial, d.h. die Operation ist fixpunktfrei). □

Es folgt, daß jeder affine Typ schwach projektifizierbar ist, also

3.11 Satz Ist p ∈ St(A) ein affiner Typ und B ⊃ A, dann gilt:

p|B ist modular ⟺ cl_{p}^{A}(B) ∩ p^{C} ≠ ∅

Das war’s