Zur Modelltheorie von Moduln

Dissertation zur Erlangung der

Doktorwürde

der

Mathematischen Fakultät

der

Albert–Ludwigs–Universität

Freiburg i. Br.

vorgelegt

von Gunter Geisler

Herbst 1994

Inhaltsverzeichnis

Danksagung 3

Einleitung 5

1 Präliminarien 7 1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Freie Realisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Dedekind-Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Artinsche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Artin-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Endlichdimensionale Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Das Ziegler-Spektrum. Teil I 38 2.1 Artin-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Endlichdimensionale hereditäre Algebren . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Kommutative reguläre Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Auslander-Reiten-Folgen 51 3.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Existenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Auslander-Reiten-Folgen in R-mod . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Artin-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Interpretierbarkeit (Präliminarien. Teil II) 74 4.1 pp-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2 Coxeter-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5 Moduln über zahmen Köcheralgebren 86

5.1 k[Ã_{n}], n ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.1 Kronecker-Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.1.2 n-Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 k[D̃_{n}], n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.3 k[Ẽ_{6}] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 k[Ẽ_{7}] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 k[Ẽ_{8}] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6 Entscheidbarkeit 127 6.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Vom Endlichen zum Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3 Entscheidbarkeit zahmer Köcheralgebren . . . . . . . . . . . . 135

7 Axiomatisierbarkeit 139 7.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.2 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3 Kategorische Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.4 Anwendungen auf spezielle Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.5 Exkurs: Eine Peretjatkin-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8 Das Ziegler-Spektrum. Teil II 161 8.1 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.2 Der Fall k[Ã_{n}] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.3 Unzerlegbare in A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.4 Die A_{b,b′} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.5 Die Baur-Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.6 Prüfer und gewöhnliche 𝔭-adische . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.7 Die sporadischen 𝔭-adischen. Teil I . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.8 Die sporadischen 𝔭-adischen. Teil II . . . . . . . . . . . . . . . 203

9 Blut, Schweiß und Tränen 220 9.1 Beweis von Lemma 8.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 9.2 Beweis von Lemma 8.8.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Literatur 262

Danksagung

Danke schön.

Nein, schön wär’s zwar, aber das wage ich nun doch nicht – deshalb hier eine erweiterte Version:

Martin Ziegler danke ich für Mathematik.

Ich danke dem Logik-Kollektiv der Uni Freiburg (unter anderem Bernhard Herwig, Heike Mildenberger, Martin Otto, Frank Wagner und Erika Wagner-Klimt) für zuteil gewordene Unterstützung, in erster Linie aber Martin Erkens für mehrfache Rettung aus Computer-Not und manch mitfühlendes, freundliches Wort. – Mike Prest bin ich für die Überlassung des Themas zu Dank verpflichtet.

Mir danke ich gar nicht – oder allenfalls vielleicht: für nicht nachlassendes Interesse an meiner Arbeit. Für alles andere aber:

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Einleitung

Ziel dieser Arbeit ist es, einen vollständigen und im wesentlichen modelltheoretischen Beweis für die Entscheidbarkeit der Modultheorie über zahmen Köcheralgebren zu geben; nahezu alle hier gewonnenen Ergebnisse haben in der einen oder anderen Form mit diesem Beweis zu tun, bereiten ihn vor, oder sind durch mit ihm zusammenhängende Untersuchungen gefunden worden. Dieser Entscheidbarkeitssatz verallgemeinert das entsprechende Resultat von Baur für Quadrupel. Der Beweis für den allgemeineren Fall der zahmen Köcher unterscheidet sich allerdings erheblich von Baurs Originalbeweis: Mike Prest hat gezeigt, daß die Modultheorie über wilden Köcheralgebren unentscheidbar ist und den hier gezeigten Satz bereits vermutet. Er hat vorgeschlagen, zunächst das Ziegler-Spektrum zahmer Köcheralgebren zu beschreiben und dann mit einem Satz von Ziegler auf die Entscheidbarkeit zu schließen. Erstaunlicherweise ist unser Beweis für die Entscheidbarkeit aber viel einfacher als von Prest angenommen und benutzt lediglich die genaue Kenntnis der endlichdimensionalen Unzerlegbaren und den hier eingeführten zentralen Begriff der pp-Äquivalenz. Tiefere algebraische Ergebnisse werden wir nicht verwenden; stattdessen argumentieren wir konsequent modelltheoretisch. Es sei hier angemerkt, daß damit nachgewiesen ist, daß für Köcheralgebren modelltheoretische und algebraische Komplexität übereinstimmen: Die Modultheorie über einer solchen Algebra ist genau dann entscheidbar, wenn sie zahm oder von endlichem Darstellungstyp ist; im wilden Fall ist sie unentscheidbar.

Als recht schwierig erweist sich dagegen die Beschreibung des Ziegler-Spektrums der uns interessierenden – das heißt: zahmen – Köcheralgebren; hier wird dennoch eine vollständige Lösung gegeben. Daraus ergeben sich dann ein weiterer Beweis für die Entscheidbarkeit (gemäß dem ursprünglichen Vorschlag von Prest) und einige Resultate über die endliche Axiomatisierbarkeit von Modultheorien. Nebenbei beweisen wir einige algebraische Sätze neu; insbesondere zeigen wir, wie man leicht die Existenz von Auslander-Reiten-Folgen über einer Artin-Algebra folgern kann und analysieren die entsprechende Situation über artinschen Ringen.

Die wichtigsten neuen Ergebnisse finden sich in den Kapiteln 3, 6, 8 und 9: Kapitel 3 handelt von Auslander-Reiten-Folgen und ihrem Zusammenhang mit dem Ziegler-Spektrum; einige Sätze aus diesem Kapitel hat Herzog unabhängig von mir gezeigt. Kapitel 6 enthält den eben beschriebenen Beweis der Entscheidbarkeit. Und die letzten beiden Kapitel sind dem Ziegler-Spektrum der zahmen Köcheralgebren gewidmet: Sie sind wohl das Herz dieser Arbeit.

Daß die Arbeit etwas länglich geraten ist, liegt neben der recht aufwendigen Untersuchung des Ziegler-Spektrums zahmer Köcheralgebren in den letzten beiden Kapiteln daran, daß ich mich bemüht habe, alle benutzten Resultate hier zusammenzustellen, um dem Leser zeitraubendes Nachforschen in der Literatur zu ersparen. Außerdem habe ich die gewünschten Informationen nicht immer in zitierfähiger Form gefunden; das betrifft insbesondere Kapitel 5.

Zu Beginn eines jeden Kapitels und Abschnittes werden genauere Inhaltsangaben gegeben. Mit Hilfe des Index sollten sich die Definitionen der wichtigsten Begriffe lokalisieren lassen.

Kapitel 1

Präliminarien

In diesem Kapitel sind einige später verwandte Tatsachen zusammengestellt, teils trivialer, teils weniger trivialer Natur; teils mit, teils ohne Beweis. Beweise bereits bekannter Resultate gebe ich dann, wenn die in der Literatur gegebenen mir verbesserbar schienen oder wenn ich keine gute Quelle finden konnte.

Abschnitt 1.1 dient im wesentlichen der Festlegung der Notation; in Abschnitt 1.2 dreht sich alles um den Begriff der freien Realisierung (Prest), der eine große Rolle spielt, wenn endlich präsentierte Moduln interessieren. In Abschnitt 1.3 gebe ich neben einigen bekannten Tatsachen die von Martin Ziegler stammende Beschreibung des Ziegler-Spektrums von Dedekind-Ringen wieder. 1.4 enthält neben Bekanntem aus der Algebra weitere Informationen zu freien Realisierungen, wenn der zugrundeliegende Ring artinsch ist; Abschnitt 1.5 ist im wesentlichen der Dualität bei Artin-Algebren gewidmet: Neben algebraischen Tatsachen, für die ich in Ermangelung einer guten Quelle Beweise gebe, finden sich dort auch Verallgemeinerungen mehrerer Resultate aus [PRZ 94]. In 1.6 habe ich erste Präliminarien über Köcheralgebren zusammengefaßt.

1.1 Allgemeines

Fast alle hier zitierten Resultate finden sich in [Zie 84] und [Pre 88], den beiden Standardwerken zur Modelltheorie von Moduln. Meist handelt es sich um Bekanntes; lediglich die Punkte iii., iv. und v. in Lemma 1.1.7 sind vielleicht neu (und trivial), und auch der Beweis von Lemma 1.1.10 stammt von mir.

Auch in Fragen der Notation richte ich mich im allgemeinen nach wenigstens einer der eben erwähnten Arbeiten. Im folgenden einige kleine Abweichungen und Festlegungen:

R sei ein beliebiger Ring mit Einselement; Moduln sind, wenn nichts anderes vereinbart wird, Linksmoduln über R. Homomorphismen, manchmal auch nur kurz: Abbildungen, sind im allgemeinen R-Homomorphismen. R-Mod (bzw. Mod-R) bezeichnet die Kategorie aller R-Linksmoduln (bzw. aller R-Rechtsmoduln), R-mod (bzw. mod-R) die aller endlich präsentierter R-Linksmoduln (bzw. aller endlich präsentierter R-Rechtsmoduln). Zwischen Elementen und Tupeln werde ich nicht immer konsequent unterscheiden. Formeln φ, ψ usw. sind im allgemeinen pp-Formeln, das heißt: In der üblichen Sprache (für R-Linksmoduln) _{R}L, die für einen festen Ring R ein Konstantensymbol 0, ein binäres Funktionssymbol +, ein unäres Funktionssymbol −, und für jedes r ∈ R ein unäres Funktionssymbol enthält, sind pp-Formeln die Formeln der Gestalt ∃ȳAy = Bx̄, mit Matrizen A und B über R und Variablentupeln x̄ und ȳ. (Eine entsprechende Sprache L_{R} hat man für R-Rechtsmoduln.) Die Menge der pp-Formeln (in n Variablen) ist ein modularer Verband; +-irreduzibel, ≤, etc. sind in diesem Sinne zu verstehen. Ein pp-Paar φ/ψ ist ein Paar von pp-Formeln (mit der gleichen Anzahl freier Variablen), so daß gilt ψ ≤ φ. Mit φ/ψ(M) bezeichne ich für ein solches pp-Paar einerseits die Gruppe φ(M)/ψ(M), andererseits auch deren Kardinalität. Unter einer Invariantenbedingung verstehe ich eine Aussage der Gestalt φ/ψ ∈ [m, n], wobei m ∈ N, n ∈ N ∪ {∞}. Die Theorie aller R-Moduln nenne ich _{R}T; das heißt zum Beispiel, daß _{R}T ⊢ ψ → φ, falls für alle R-Moduln M gilt ψ(M) ≤ φ(M). Es gilt der fundamentale

Satz 1.1.1 (Baur) Sei R ein Ring. Jede _{R}L-Formel ist modulo _{R}T äquivalent zu einer Konjunktion der Form σ ∧ ψ, wobei σ eine boolesche Kombination von Invariantenbedingungen und ψ eine boolesche Kombination von pp-Formeln ist.

Als unmittelbare Folgerung erhält man den folgenden Satz, der die Bedeutung von pp-Formeln deutlich macht:

Satz 1.1.2 (Baur) Für jeden Modul M über R ist jede _{R}L-Formel äquivalent zu einer booleschen Kombination von pp-Formeln.

Und es ergibt sich ebenfalls sofort

Satz 1.1.3 Jede _{R}L-Aussage ist modulo _{R}T äquivalent zu einer booleschen Kombination von Invariantenbedingungen.

Für ā ∈ M sei tp^{+}(ā) := {φ| M ⊧ φ(ā)}, entsprechend tp^{−}(ā) := {ψ | M ⊧ ¬ψ(ā)}. Der pp-Typ von ā ist dann pp-tp(ā) := tp^{+}(ā)∪{¬ψ | ψ ∈ tp^{−}(ā)}. Entsprechend schreibe ich für einen pp-Typ p: p = p^{+} ∪ p^{−}.

Fundamental ist der folgende wohlbekannte Satz (Punkt ii. gehört Rothmaler.); der Beweis ist einfach (oder siehe etwa [Zie 84], [JL 89], [Her 93] – letzteres für Punkt iii.).

Satz 1.1.4 Sei R ein beliebiger Ring, sei 0 ⟶ M′ ⟶^{i} M ⟶^{π} M′′ ⟶ 0 eine exakte Sequenz von R-Moduln, i ohne Einschränkung die Inklusion, π die Projektion. Dann sind äquivalent (und die Folge heißt rein-exakt, die Einbettung von M′ in M rein, und die Surjektion von M auf M′′ reiner Epimorphismus):

i. Für alle pp-Formeln φ(x̄) und ā ∈ M′ folgt aus M ⊧ φ(ā) schon M′ ⊧ φ(ā).

ii. Für alle pp-Formeln φ(x) in einer freien Variablen und a ∈ M′ folgt aus M ⊧ φ(a) schon M′ ⊧ φ(a).

iii. Für alle rein-injektiven unzerlegbaren Rechtsmoduln U ist U ⊗ M′ → U ⊗ M injektiv.

iv. Für jedes N ∈ R-mod ist Hom_{R}(N, M) → Hom_{R}(N, M′′) surjektiv.

v. Für jeden (bzw. jeden endlich präsentierten) Rechtsmodul X ist X ⊗ M′ → X ⊗ M injektiv.

vi. 0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0 ist direkter Limes von zerfallenden exakten Folgen.

vii. Für alle pp-Formeln φ ist φ(M/M′) = φ(M) + M′/M′.

viii. Die induzierte Folge von Rechtsmoduln 0 ⟶ M^{′′⋆} ⟶ M^{⋆} ⟶ M^{′⋆} ⟶ 0 zerfällt. Dabei bezeichne M^{⋆} hier (und in Satz 1.1.5) den Rechtsmodul Hom_{Z}(M, Q/Z).

Ein Modul M′ heißt rein-injektiv (bzw. ein Modul M′′ rein-projektiv), wenn jede Folge wie in Satz 1.1.4 zerfällt. Diese Begriffe haben zahlreiche äquivalente Formulierungen: Für den Begriff der Rein-Projektivität vergleiche man etwa Satz 1.2.6; eine Auswahl von äquivalenten Definitionen der Rein-Injektivität gibt der folgende Satz. (Nicht berücksichtigt sind funktorielle Versionen.) Dabei sei für eine unendliche Menge I und einen R-Linksmodul M der Modul M^{[I]} definiert als {(m_{i})_{i∈I} ∈ M^{I}| |{i ∈ I|m_{i} ≠ 0}|<|I|}. Für Beweise siehe wieder [Zie 84], [JL 89].

Satz 1.1.5 Sei M ein R-Modul. Dann sind äquivalent:

i. M ist rein-injektiv.

ii. Jeder konsistente pp-Typ mit Parametern aus M wird in M realisiert.

iii. Für jede Teilmenge A ⊆ M mit |A| ≤ |R| + ω wird jeder konsistente pp-Typ mit Parametern aus A in M realisiert.

iv. Ist N′ ≤ N rein und f : N′ → M ein Morphismus, dann läßt sich f auf ganz N ausdehnen.

v. Für jede Menge I gibt es eine Fortsetzung des durch Summation induzierten Morphismus M^{⊕I} → M von M^{⊕I} auf ganz M^{I}.

vi. Für jede unendliche Menge I zerfällt die natürliche Einbettung M → M^{I}/M^{[I]}.

vii. Für jede absteigend gerichtete Familie von durch partielle pp-Typen definierte Untergruppen M_{i}, i ∈ I, ist der natürliche Morphismus von M in den inversen Limes der M_{i} surjektiv.

viii. M → M^{⋆⋆} zerfällt; hier ist wieder M^{⋆} = Hom_{Z}(M, Q/Z).

Mit H(p) werde die rein-injektive Hülle des pp-Typs p bezeichnet. Der Typ p heißt unzerlegbar, wenn H(p) unzerlegbar ist. Nach dem Zieglerschen Unzerlegbarkeitskriterium ist dies genau dann der Fall, wenn für alle ψ_{1}, ψ_{2} ∉ p ein φ ∈ p existiert mit (φ ∧ ψ_{1}) + (φ ∧ ψ_{2}) ∉ p, und x = 0 ∉ p, oder, äquivalent dazu: falls für alle ψ_{1}, ψ_{2} ∉ p ein φ ∈ p existiert mit (φ ∧ ψ_{1}) + ψ_{2} ∉ p, und x = 0 ∉ p.

Die Menge der rein-injektiven Unzerlegbaren von R, _{R}I, trägt eine Topologie und heißt dann das Ziegler-Spektrum des Ringes R. Eine Basis sind die

(φ/ψ) := {U ∈ _{R}I | φ/ψ(U) > 1}.

Ist T eine unter ⊕ abgeschlossene Theorie von R-Moduln, dann sei I(T) die zugehörige abgeschlossene Teilmenge des Ziegler-Spektrums, die aus allen rein-injektiven Unzerlegbaren besteht, die als direkte Summanden in Modellen von T vorkommen. Man erhält so eine Entsprechung der abgeschlossenen Teilmengen von _{R}I und der unter ⊕ abgeschlossenen Theorien, bzw. Klassen von Moduln. Solche Modulklassen werden später auch als abgeschlossen bezeichnet. I(M) sei eine Schreibweise für I(T h(M^{⊕ω})). Gelegentlich schreibe ich für eine abgeschlossene Teilmenge A des Ziegler-Spektrums und einen beliebigen Modul M auch M ∈ A: Das soll heißen, daß M Modell der A entsprechenden Klasse von Moduln ist. Daß rein-injektive Unzerlegbare wichtig sind, zeigt

Satz 1.1.6 (Ziegler) Jeder Modul ist elementar äquivalent zu einer direkten Summe rein-injektiver Unzerlegbarer.

Eine wichtige Rolle spielt der Begriff der Neg-Isoliertheit: Abweichend von [Pre 88] heißt ein pp-Typ p neg-isoliert, falls es eine pp-Formel ψ gibt, so daß _{R}T ⊢ p ↔ p^{+} ∪ {¬ψ}. p heißt dann auch neg-isoliert durch ψ. Aus dem Zieglerschen Unzerlegbarkeitskriterium folgt, daß ein neg-isolierter Typ unzerlegbar ist. (Bei unzerlegbaren Typen stimmt diese Definition mit der Prestschen überein.) Für rein-injektive Unzerlegbare U gilt: Ist pp-tp(a) neg-isoliert für ein a ∈ U \ 0, dann für alle a ∈ U \ 0 ([Pre 88, Corollary 9.19, Proposition 9.24]). Ein solches U heißt dann neg-isoliert. Das nächste Lemma ist teilweise in [Pre 88, Proposition 8.3] enthalten. (Für weitere – und neue – Äquivalenzen siehe Lemma 3.2.3 und Lemma 3.2.4.)

Lemma 1.1.7 Sei p unzerlegbar. Dann sind äquivalent:

i. p ist neg-isoliert.

ii. Es gibt einen pp-Typ q mit p^{+} ⊂ q^{+} (kurz: p < q), so daß gilt: Aus p′ > p folgt p′ ≥ q.

iii. Es gibt ψ ∉ p, so daß aus ψ′ ∉ p folgt, daß es φ ∈ p gibt mit ψ′∧φ ≤ ψ.

iv. Es gibt ψ ∉ p, so daß aus ψ ≤ ψ′ ∉ p folgt, daß es φ ∈ p gibt mit ψ′ ∧ φ ≤ ψ.

v. Es gibt ψ ∉ p, so daß aus ψ ≤ ψ′ ∉ p folgt, daß es φ ∈ p gibt mit ψ′ ∧ φ ≤ ψ und ψ ≤ φ.

Ist q wie in ii., dann heißt p auch neg-isoliert durch q.

Beweis: Die Äquivalenz von i. und ii. ist einfach (und [Pre 88, Proposition 8.3]), die von i. und iii. ist die Definition. Die übrigen Äquivalenzen folgen leicht unter Verwendung des Zieglerschen Unzerlegbarkeitskriteriums.

Lemma 1.1.8 Sei p unzerlegbar und endlich erzeugt (siehe Seite 14 für die Definition), etwa _{R}T ⊢ p^{+} ↔ φ_{0}. Dann sind äquivalent:

i. p ist neg-isoliert.

ii. Es gibt einen endlich erzeugten (!) pp-Typ q > p, so daß gilt: Aus p′ > p folgt p′ ≥ q.

iii. Es gibt ψ ∉ p mit _{R}T ⊢ p ↔ φ_{0} ∧ ¬ψ.

iv. H(p) ist isoliert im Ziegler-Spektrum.

Beweis: Die Äquivalenz von i. und ii. ist [Pre 88, Proposition 8.8], die von i. und iii. ist klar, und die von i. und iv. ist etwa [Pre 88, Corollary 9.26].

Ist φ eine pp-Formel für R-Linksmoduln, so sei Dφ die duale pp-Formel für R-Rechtsmoduln. (Vergleiche [Pre 88, Her 93].) Wichtig ist (siehe etwa [Ste 75, Proposition I.8.8])

Lemma 1.1.9 Seien X ein R-Rechtsmodul, M ein R-Linksmodul, x̄ ∈ X und ā ∈ M Tupel der gleichen Länge. Dann sind äquivalent:

i. x̄ ⊗ ā = 0 in X ⊗_{R} M.

ii. Es gibt eine pp-Formel φ (für R-Linksmoduln), so daß M ⊧ φ(ā) und X ⊧ Dφ(x̄).

An Algebra setze ich fast nichts voraus oder zitiere dies ausführlich, zum Beispiel in Abschnitt 1.6. Das nächste Lemma ist mehr algebraischer Natur; mit E(M) werde die injektive Hülle des Moduls M bezeichnet:

Lemma 1.1.10 M sei ein endlich präsentierter Modul. Dann sind äquivalent:

i. M ist injektiv in R-mod.

ii. M ist absolut rein, das heißt rein in jeder Erweiterung.

iii. H(M) = E(M).

Beweis: Für i. nach ii. sei X ein beliebiger R-Modul, M ⊆ X. Es genügt zu zeigen, daß M rein in jedem endlich erzeugten Untermodul N, M ⊆ N ⊆ X, ist. Ein solcher hat die Form N ≃ R^{n}/I mit einem Ideal I ≤ R^{n}. Die Inklusion von M in N induziert Einbettungen von M in jedes R^{n}/J, wobei J ≤ I ein Ideal ist, das die Relationen von M enthält. Da M endlich präsentiert ist, induziert die Inklusion von M in N also Einbettungen in jedes R^{n}/J, wo J ein genügend großes endlich erzeugtes Unterideal von I ist. Aber M ist nach Voraussetzung direkter Summand, insbesondere rein in diesen R^{n}/J. Also ist M auch rein in N.

Umgekehrt sei M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ absolut rein und enthalten in dem endlich präsentierten N. Wir argumentieren mit dem weiter unten eingeführten Begriff der freien Realisierung. Wegen Satz 1.2.2 ist (N, ā) frei für eine pp-Formel φ. Nach Voraussetzung gilt auch M ⊧ φ(ā), es gibt also einen die Inklusion zerfällenden Homomorphismus (N, ā) → (M, ā). Das ist i. Für ii. nach iii. genügt es zu zeigen, daß H(M) injektiv ist; dazu wiederum reicht es zu sehen, daß es absolut rein ist. Das folgt aber leicht aus der Konstruktion rein-injektiver Hüllen (Maximalität der in ihnen realisierten pp-Typen).

Es gelte nun iii., gegeben sei M ⊆ N ⊆ E(N). Für ii. zeigen wir die Reinheit von M in E(N) (und damit erst recht in N). Aber M ⊆ H(M) = E(M) ⊆ E(N), und die letzte Inklusion zerfällt. Somit ist M rein in H(M) und dieses in E(N), also M rein in E(N).

Ein Modul M ist genau dann unzerlegbar, wenn sein Endomorphismenring End_{R}(M) kein nichttriviales Idempotentes e enthält. Nichttriviale Idempotente sind Nullteiler, also Nichteinheiten, und da mit einem Idempotenten e auch 1 − e Idempotentes ist, enthält der Endomorphismenring eines zerlegbaren Moduls insbesondere zwei Nichteinheiten, deren Summe 1 ergibt; die Menge der Nichteinheiten ist dann also kein Ideal, und der Modul hat jedenfalls keinen lokalen Endomorphismenring. Mit anderen Worten: Moduln mit lokalem Endomorphismenring sind unzerlegbar. (Für all dies siehe auch [Kas 77].) Die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig (siehe etwa Z), wohl aber falls M endliche Länge hat oder rein-injektiv ist.

1.2 Freie Realisierungen

In diesem Abschnitt sind einige später benutzte elementare Tatsachen versammelt, die um die Begriffe freie Realisierung, rein-projektiv kreisen. Der Begriff der freien Realisierung stammt von Prest, von ihm sind auch Lemma 1.2.1 und Satz 1.2.2 ([Pre 88]); die hier gegebenen Beweise sind von mir.

In [Her 92] kommen Teile von Lemma 1.2.3, Lemma 1.2.4 und Lemma 1.2.5 implizit vor, von den Äquivalenzen aber stets höchstens eine Richtung. Auch hier stammen die Beweise von mir. Satz 1.2.6 ist von Warfield ([War 69]), der Beweis von mir (und wohl der übliche); Lemma 1.2.7 ist vermutlich Folklore, sein Beweis von mir. Wir beginnen mit

Definition 1.1 M sei ein R-Modul, ā ∈ M und φ(x̄) eine pp-Formel. Das Paar (M, ā) heißt freie Realisierung von φ, falls M endlich präsentiert ist und _{R}T ⊢ tp^{+}(ā) ↔ φ(x̄). Der Typ tp^{+}(ā) (bzw. auch pp-tp(ā)) heißt dann endlich erzeugt (durch φ).

Manchmal sagen wir auch nur, (M, ā) sei frei für φ. Das nächste Lemma werden wir ohne Kommentar ständig verwenden (siehe [Pre 88]):

Lemma 1.2.1 M sei endlich präsentiert, a ∈ M, φ eine pp-Formel. Dann sind äquivalent:

i. (M, a) ist freie Realisierung von φ.

ii. a ∈ φ(M), und für jeden R-Modul N und jedes b ∈ φ(N) gibt es einen Morphismus f : M → N mit f(a) = b.

Die von nun an verwandte Schreibweise f : (M, a) → (N, b) bedeute, daß f ein Homomorphismus von M nach N ist mit f(a) = b. – Es ist klar, daß umgekehrt aus der Existenz eines f wie im Lemma folgt, daß b ∈ φ(N).

Beweis: Von i. nach ii. sieht man so: M sei erzeugt von c_{1}, …, c_{n}, deren Relationen aus der pp-Formel θ(x_{1}, …, x_{n}) folgen; a sei von der Form a = ψ(c_{1}, …, c_{n}). Dann gilt

RT ⊢ φ(x) → ∃x_{1} … x_{n}(θ(x_{1}, …, x_{n}) ∧ x = ψ(x_{1}, …, x_{n})).

Also gibt es zu b wie in ii. Elemente d_{1}, …, d_{n} aus N, die θ erfüllen und so daß b = ψ(d_{1}, …, d_{n}). Nach Wahl von θ existiert dann ein Morphismus, der c_{i} nach d_{i} und somit a nach b wirft. Die umgekehrte Richtung ist klar.

Satz 1.2.2 Zu jeder konsistenten pp-Formel φ gibt es eine freie Realisierung (M, a). Jedes Paar (M, a) mit endlich präsentiertem M ist freie Realisierung einer geeigneten pp-Formel.

Beweis: Der zweite Teil folgt ganz analog wie i. nach ii. im Beweis von Lemma 1.2.1. Der erste Teil folgt so: Die pp-Formel φ = φ(x̄) hat die Form ∃ȳ Bȳ = Ax̄ mit geeigneten Matrizen A und B über R (also B eine k × m-Matrix, A eine k×n-Matrix). Dabei sei die Länge des Tupels ȳ gerade m, und die von x̄ sei n. Sei ē = (e_{1}, …, e_{m}) die Standardbasis von R^{m}, entsprechend f̄ die von R^{n}. Dann hat das Paar (M, ā), mit M := R^{m} ⊕ R^{n}/ ⟨Bē − Af̄⟩ und ā den Restklassen von f̄ die universelle Eigenschaft von Lemma 1.2.1 ii. (Man beachte: Bē − Af̄ ist ein k-Tupel in R^{m} ⊕ R^{n}.)

Freie Realisierungen einer pp-Formel sind nicht eindeutig bestimmt. (Man kann ja direkte Summanden zu jeder freien Realisierung hinzufügen und erhält wieder eine.) In manchen Situationen kann man aber eine Art minimale freie Realisierung finden; siehe Lemma 1.4.2.

Übrigens folgt nun sofort, daß ein partieller Homomorphismus f : M → N mit endlich erzeugtem Definitionsbereich von einem endlich präsentierten Modul M in einen beliebigen Modul N stets zu einem Homomorphismus erweiterbar ist: Denn sei der Definitionsbereich von f etwa erzeugt durch ā ∈ M. Dann ist (M, ā) freie Realisierung einer pp-Formel φ, es gilt N ⊧ φ(f(ā)), und also existiert die gewünschte Erweiterung wegen der universellen Eigenschaft von Lemma 1.2.1.

Im nächsten Lemma halten wir einige (folkloristische?) Tatsachen (siehe teilweise [Her 92]) fest:

Lemma 1.2.3

i. M sei endlich präsentiert, M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩. Dann sind äquivalent:

(a) M ist projektiv.

(b) (M, ā) ist frei für eine pp-Formel der Form A|x̄, das heißt ∃ȳ Aȳ = x̄.

Für (a) nach (b) wird die Voraussetzung M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ nicht gebraucht.

ii. Für eine pp-Formel φ sind äquivalent:

(a) Es gibt eine freie Realisierung (M, ā) von φ, mit M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩.

(b) φ ist modulo _{R}T äquivalent zu einer pp-Formel der Gestalt Ax̄ = 0.

(c) Es gibt eine freie Realisierung (M, ā) von φ, so daß M = R^{n}/ ⟨Aē⟩, wobei ē die kanonischen Erzeugenden von R^{n} sind, für eine geeignete Matrix A und ā das Bild von ē unter der Projektion.

Jede freie Realisierung von φ hat dann die Gestalt wie in (c).

iii. Zu einer pp-Formel der Gestalt A|x̄ gibt es stets eine freie Realisierung (M, ā) mit einem freien R-Modul M.

iv. (M, ā) sei frei für Ax̄ = 0. Dann ist \left⟨{ \atop ā}\right⟩ direkter Summand in M.

Beweis: Es gelte i.(a), M sei also direkter Summand eines R^{n} = \left⟨{ \atop ē}\right⟩. Dann gibt es eine Matrix A mit Aē = ā. Man sieht leicht, daß (M, ā) dann die universelle Eigenschaft von Lemma 1.2.1 ii. für A | x̄ erfüllt. Umgekehrt sei nun M wie in i.(b); f sei eine Surjektion der Form (R^{n}, ē) → (M, ā), wobei R^{n} = \left⟨{ \atop ē}\right⟩. Es gibt ein b̄ ∈ M mit Ab̄ = ā; sei etwa b̄ = f(d̄) für geeignetes d̄∈ R^{n}. Da R^{n} ⊧ A | Ad̄, gibt es ein g : (M, ā) → (R^{n}, Ad̄). Dann ist fg = 1 auf ā und also auf ganz M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩: M ist direkter Summand von R^{n}. Das beweist i.(a) und beendet i.

Zu ii.: Sei nun (M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ , ā) freie Realisierung von φ; sei φ ≡ ∃ȳ Bȳ = Cx̄. Sei etwa b̄ ∈ M mit Bb̄ = Cā; es gibt eine Matrix D, so daß b̄ = Dā, also BDā = Cā und (BD −C)ā = 0. Setze A := BD −C. Dann zeigt wieder Lemma 1.2.1, daß (M, ā) frei ist für Ax̄ = 0. Das ist die Richtung von (a) nach (b). Die Umkehrung von (b) nach (a) folgt, ebenso wie (b) nach (c) und iii., sofort aus dem Beweis von Satz 1.2.2. Da freie Realisierungen (\left⟨{ \atop ā_{i}}\right⟩ , ā_{i}) isomorph sind, ist der Zusatz klar. Von ii.(c) nach (a) oder (b) ist klar. Das beendet ii. und iii.

Zu iv.: Aā = 0 gilt in \left⟨{ \atop ā}\right⟩, also gibt es ein die Inklusion zerfällendes

(M, ā) → (\left⟨{ \atop ā}\right⟩ , ā).

Lemma 1.2.4 M sei endlich präsentiert, ā ∈ M.

i. Ist (M, ā) frei für eine pp-Formel φ, dann ist φ(M) zyklischer End_{R}M-Untermodul von M (genauer: von M^{n}).

ii. Endlich erzeugte End_{R}M-Untermoduln von M sind pp-definierbar über R.

Beweis: φ(M) wird als End_{R}M-Untermodul von ā erzeugt: Denn für b̄ ∈ φ(M) gibt es f : (M, ā) → (M, b̄), also ist b̄ = f(ā), f ∈ End_{R}M. Umgekehrt gilt für b̄ = f(ā), f ∈ End_{R}M, wegen φ(ā) auch φ(b̄).

Es genügt, die zweite Behauptung nur für zyklische Untermoduln zu zeigen. Sei also N = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ als End_{R}M-Untermodul. (M, ā) ist frei für eine pp-Formel φ. Dann gilt φ(M) = N. Denn jedes Element aus N hat die Form f(ā) für ein f ∈ End_{R}M, erfüllt also φ. Und umgekehrt gibt es zu b̄ ∈ φ(M) wegen der Freiheit ein f : (M, ā) → (M, b̄).

Und als letztes Lemma zum Thema der freien Realisierungen hier noch

Lemma 1.2.5 Sei (M, ā) freie Realisierung der pp-Formel φ, M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩. Dann sind äquivalent:

i. End_{R}M ist lokal.

ii. M ist unzerlegbar, und φ ist +-irreduzibel.

Für eine Verfeinerung dieses Lemmas im Falle eines artinschen Ringes siehe Lemma 1.4.3. Man beachte, daß wegen Lemma 1.2.3 M die Form R^{n}/ ⟨Aē⟩ und φ die Gestalt Ax̄ = 0 hat.

Beweis: Sei zunächst End_{R}M lokal. Dann ist – wie am Ende von Abschnitt 1.1 bemerkt – M unzerlegbar. Sei nun im Verband der pp-Formeln φ = ψ_{1} + ψ_{2}, mit _{R}T ⊢ ψ_{i} → φ; also gilt φ(M) = ψ_{1}(M) + ψ_{2}(M). Wegen Lemma 1.2.4 ist φ(M) zyklischer End_{R}M-Modul, insbesondere ist φ(M) nicht Summe zweier echter End_{R}M-Untermoduln. Also ist etwa φ(M) = ψ_{1}(M). Da (M, ā) frei für φ ist, gilt also auch _{R}T ⊢ φ ↔ ψ_{1}.

Sei nun umgekehrt M unzerlegbar und φ +-irreduzibel, sei f ∈ End_{R}M. Es ist ā = f(ā) + (1 − f)(ā). Sei (M, f(ā)) frei für ψ_{1}, (M, (1 − f)(ā)) frei für ψ_{2}, wobei ohne Einschränkung gelte _{R}T ⊢ ψ_{i} → φ. Dann folgt aus der universellen Eigenschaft der freien Realisierung (siehe Lemma 1.2.1), daß RT ⊢ φ = ψ_{1} + ψ_{2}. Nach Voraussetzung gilt also etwa _{R}T ⊢ φ ↔ ψ_{1}, also tp^{+}(f(ā)) = tp^{+}(ā), pp-tp(f(ā)) = pp-tp(ā).

Es gibt also einen Homomorphismus g : (M, f(ā)) → (M, ā), der folglich gf = 1 auf ā, also auf ganz M erfüllt. f ist insbesondere injektiv und im(f) direkter Summand von M. Wegen der Unzerlegbarkeit von M folgt, daß im(f) = M und somit f auch surjektiv.

Endlich präsentierte Moduln (also freie Realisierungen) sind insbesondere rein-projektiv, wie der folgende Satz von Warfield zeigt ([War 69]):

Satz 1.2.6

i. N ist rein-projektiv genau dann wenn N direkter Summand in einer direkten Summe endlich präsentierter Moduln ist.

ii. Jeder Modul ist Bild eines rein-projektiven Moduls unter einem reinen Epimorphismus.

Beweis: Es ist klar, daß direkte Summen rein-projektiver Moduln, ebenso wie direkte Sumanden solcher, wieder rein-projektiv sind. Daher folgt der Satz sofort aus den nächsten beiden Behauptungen. Behauptung 1: Endlich präsentierte Moduln sind rein-projektiv. Beweis der Behauptung: Sei N endlich präsentiert, erzeugt von ā und (N, ā) frei für φ. Sei weiter g : E → N reiner Epimorphismus. Es gibt also ein b̄ ∈ φ(E) mit g(b̄) = ā. Da (N, ā) frei für φ ist, existiert andererseits ein h : (N, ā) → (E, b̄). Da N von ā erzeugt wird, zerfällt h den Epimorphismus g. Behauptung 2: Jeder Modul N ist Bild einer direkten Summe endlich präsentierter Moduln unter einem reinen Morphismus. Beweis der Behauptung: Sei M ein endlich präsentierter Modul; sei E_{M} := ⊕_{f}M, wobei f die von Null verschiedenen Morphismen von M nach N durchläuft. Und sei schließlich E := ⊕_{M}E_{M}, wobei M ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen endlich präsentierter Moduln durchläuft. Dann wird auf natürliche Weise ein Morphismus g : E → N induziert, der surjektiv ist, da insbesondere die endlich erzeugten freien Moduln R^{n} direkte Summanden von E sind. Wegen Satz 1.1.4 ist g reiner Epimorphismus.

Lemma 1.2.7 Ein rein-projektiver Modul N mit lokalem Endomorphismenring ist endlich präsentiert.

Beweis: Mit dem vorangehenden Satz 1.2.6 erhalten wir eine Darstellung N ⊕ X = ⨁_{i∈I} M_{i} mit einem Modul X und endlich präsentierten M_{i}. Sei a ∈ N \ 0, etwa (in etwas ungenauer Schreibweise) a ∈ ⨁_{i∈I_{0}} M_{i} =: M mit einer endlichen Menge I_{0} ⊆ I. Nun sei π : N → M die durch die Projektion N ⊕ X → M induzierte Abbildung, π′ : M → N entsprechend die durch die Projektion auf N induzierte Abbildung. Dann gilt 1_{N} = π′π + (1 − π′π); da End_{R}N lokal ist, folgt, daß einer der beiden Summanden ein Automorphismus ist. Weil aber (1 − π′π)(a) = a − a = 0 ist, muß π′π ein Automorphismus sein. Also ist N direkter Summand des endlich präsentierten Moduls M, somit selbst endlich präsentiert.

1.3 Dedekind-Ringe

Dedekind-Ringe, vor allem Hauptidealringe – nämlich k[X], k ein kommutativer Körper – sind grundlegend für die Beschreibung der Ziegler-Spektra von Köcheralgebren. Deshalb fasse ich hier kurz die relevante Information, vor allem aus [Zie 84], zusammen, um Notationen festzulegen. Die ersten Lemmata sind natürlich wohlbekannt; die Aussagen über das Spektrum stammen von Martin Ziegler ([Zie 84]). Ich habe hier lediglich die Rechnungen von Lemma 1.3.4 durchgeführt.

Lemma 1.3.1 Ein endlich erzeugter (kommutativer) Körper ist endlich.

Beweis: Sei L endlich erzeugter Körper, F der Primkörper von L. Es genügt zu zeigen, daß L algebraisch über F ist. Aber L wird durch ein Ideal in F [X_{1}, …, X_{n}] gegeben, welches nach dem Hilbertschen Nullstellensatz eine Nullstelle im algebraischen Abschluß F̃ von F hat: L läßt sich also über F in F̃ einbetten.

Die nötigen algebraischen Tatsachen über Dedekind-Ringe findet man überall, zum Beispiel auch in [Kap 74]. Wir zitieren für späteren Gebrauch eine Folgerung aus [Kap 74, Theorem 60]:

Lemma 1.3.2 Ein Dedekind-Ring mit nur endlich vielen maximalen Idealen ist ein Hauptidealbereich.

Sei R nun ein Dedekind-Ring. Den Fall, daß R ein Körper ist, werden wir, da er stets uninteressant ist, meist ausschließen. Zunächst noch ein Lemma:

Lemma 1.3.3 Sei R Dedekind-Ring und kein Körper, 𝔭 ein maximales Ideal.

i. R/𝔭^{n} ≃ R_{𝔭}/𝔭^{n}R_{𝔭}.

ii. 𝔭^{n−1}/𝔭^{n} ≃ R/𝔭.

Beweis: i. ist klar, und ii. folgt mit i. so:

R/𝔭 ≃ R_{𝔭}/𝔭R_{𝔭} ≃ 𝔭^{n−1}R_{𝔭}/𝔭^{n}R_{𝔭} ≃ 𝔭^{n−1}/𝔭^{n}.

Dabei ist der erste Isomorphismus i., der dritte wird durch den Isomorphismus von i. induziert, und der zweite ist klar (R_{𝔭} ist Hauptidealring.).

Man beachte noch, daß ein endlicher Dedekind-Ring (als endlicher Integritätsbereich) ein Körper ist. Von nun an setzen wir voraus, R sei (unendlicher) Dedekind-Ring und kein Körper. Martin Ziegler hat das Ziegler-Spektrum von R bestimmt; eine vollständige Liste der rein-injektiven Unzerlegbaren ohne Wiederholungen ist:

• Moduln der Form R/𝔭^{n}, 𝔭 maximales Ideal, n ≥ 1,

• R_{𝔭^{∞}} = K/R_{𝔭} = E(R/𝔭) (Prüfer-Moduln, oder kurz: Prüfer), 𝔭 maximales Ideal, K der Quotientenkörper von R,

• R̃_{𝔭} (𝔭-adische Moduln, oder kurz: 𝔭-adische),𝔭 maximales Ideal, und

• K, der Quotientenkörper von R.

Man kann Umgebungsbasen angeben:

• R/𝔭^{n} wird isoliert durch (OR/𝔭_{n}), mit

OR/𝔭_{n} := (𝔭^{n−1} |x ∧ 𝔭x = 0)/(𝔭^{n} |x ∧ 𝔭x = 0).

• Eine Umgebungsbasis von R_{𝔭^{∞}} wird gegeben durch die (OR_{𝔭^{∞}}^{m}), mit

OR_{𝔭^{∞}}^{m} := (𝔭x = 0 ∧ 𝔭^{m} | x)/ x = 0, m ≥ 1,

wobei in I(R) gilt:

(OR_{𝔭^{∞}}^{m}) = {R_{𝔭^{∞}}} ∪ {R/𝔭^{n} | n > m}.

• Eine Umgebungsbasis von R̃_{𝔭} wird gegeben durch die (OR̃_{𝔭}^{m}), mit

OR̃_{𝔭}^{m} := 𝔭^{m}|x / 𝔭^{m+1}|x, m ≥ 1,

wobei in I(R) gilt:

(OR̃_{𝔭}^{m}) = {R̃_{𝔭}} ∪ {R/𝔭^{n} | n > m}.

• Umgebungsbasis von K sind die (O_{K}^{r}), mit

O_{K}^{r} := (x = x) / rx = 0, r ∈ R,

wobei (O_{K}^{r}) in I(R) koendlich ist und bis auf endlich viele der Isolierten R/𝔭^{n} alle rein-injektiven Unzerlegbaren enthält.

Für Anwendungen in Kapitel 7 stellen wir hier noch die von 1 verschiedenen pp-Indizes der Form O(U) zusammen, O eines der eben angegebenen pp-Paare, U eines der rein-injektiven Unzerlegbaren:

Lemma 1.3.4 R sei Dedekind-Ring und kein Körper.

i. OR/𝔭_{n}(R/𝔭^{n}) =|R/𝔭|.

ii. OR_{𝔭^{∞}}^{m} (R/𝔭^{n}) =|R/𝔭|, falls n > m, OR_{𝔭^{∞}}^{m} (R_{𝔭^{∞}}) =|R/𝔭|.

iii. OR̃_{𝔭}^{m}(R/𝔭^{n}) =|R/𝔭|, falls n > m, OR̃_{𝔭}^{m}(R̃_{𝔭}) =|R/𝔭|.

iv. O_{K}^{r}(R/𝔭^{n}) =| R/𝔭 |^{n−k_{𝔭}}, falls in der Primidealzerlegung von (r) das Ideal 𝔭 genau k_{𝔭}-mal vorkommt. O_{K}^{r}(U) = ∞, falls U eines der nichtisolierten rein-injektiven Unzerlegbaren ist und r ∈ R \ 0.

Alle anderen pp-Indizes sind gleich 1.

Beweis: Hier bezeichne φ/ψ(U) einerseits die abelsche Gruppe φ(U)/ψ(U), andererseits auch deren Kardinalität. i. folgt sofort mit Lemma 1.3.3, denn OR/𝔭_{n}(R/𝔭^{n}) = 𝔭^{n−1}/𝔭^{n}.

Zu ii. beachte man, daß OR_{𝔭^{∞}}^{m} (R/𝔭^{n}) = 𝔭^{n−1}/𝔭^{n}, falls n > m (und = 0 sonst), und nun Lemma 1.3.3; weiter OR_{𝔭^{∞}}^{m} (R_{𝔭^{∞}}) = (𝔭x = 0/x = 0)(K/R_{𝔭}) = | R/𝔭 |, denn ein Isomorphismus zwischen R/𝔭 und (𝔭x = 0/x = 0)(K/R_{𝔭}) wird gegeben durch a + 𝔭 ↦ a/p + R_{𝔭}, wobei 𝔭R_{𝔭} = (p).

Zu iii.: Es ist OR̃_{𝔭}^{m}(R/𝔭^{n}) = (𝔭^{m}/𝔭^{n})/(𝔭^{m+1}/𝔭^{n}) ≃ 𝔭^{m}/𝔭^{m+1} ≃ R/𝔭, falls

n > m; außerdem gilt die Gleichheit OR̃_{𝔭}^{m}(R̃_{𝔭}) = OR̃_{𝔭}^{m}(R_{𝔭}), die aus der

elementaren Äquivalenz von R̃_{𝔭} und R_{𝔭} folgt. Zu iv.: K und die 𝔭-adischen Moduln sind torsionsfrei, und mit R sind auch K und R_{𝔭}, also auch K und R̃_{𝔭} unendlich; folglich gilt für r ≠ 0, daß O_{K}^{r}(V) = | V | = ∞, falls V eines der R̃_{𝔭} oder K ist. Es ist leicht zu sehen, daß auch die R_{𝔭^{∞}} unendlich sind (echt absteigende Kette von pp-Untergruppen 𝔭^{i}x = 0); da sie nur 𝔭-Torsion haben, ist auch für sie alles klar. Die pp-Indizes O_{K}^{r}(R/𝔭^{n}) ergeben sich leicht mit Lemma 1.3.3.

Die Topologie läßt sich also wie folgt beschreiben: Die Unzerlegbaren R/𝔭^{n} sind isoliert, haben daher Cantor-Bendixon-Rang 0, und sie sind abgeschlossen; die Prüfer- und 𝔭-adischen Moduln haben Rang 1, und das einzige Unzerlegbare von Rang 2 ist K. Der Abschluß eines der Prüfer- oder 𝔭-adischen Moduln V ist gerade {V, K}.

1.4 Artinsche Ringe

Dieser kurze Abschnitt enthält Wohlbekanntes aus der Algebra, außerdem Lemma 1.4.2 von Prest ([Pre 88]), das erlaubt, den Begriff der endlichen Hülle (Prest) eines endlich erzeugten pp-Typs zu definieren. Lemma 1.4.3 verbessert für artinsche Ringe Lemma 1.2.5 und scheint neu zu sein. Sei im folgenden R ein linksartinscher Ring. Für einen (Links-) Modul M über R sind äquivalent (siehe etwa [Kas 77, Folgerung 9.3.12]):

i. M ist endlich erzeugt.

ii. M ist artinsch.

iii. M ist noethersch.

Insbesondere ist also R^{n} noethersch, und damit ist eine weitere äquivalente Aussage

iv. M ist endlich präsentiert.

Es gilt, daß ein endlich präsentierter Modul genau dann projektiv in R-mod ist, wenn er projektiv in R-Mod ist; ist nämlich M projektiv in R-mod, so ist M direkter Summand in einem R^{n}, damit also auch projektiv in R-Mod. die entsprechende Aussage für Injektivität gilt aber auch bei artinschen Ringen im allgemeinen nicht. Stattdessen hat man nur Lemma 1.1.10.

Lemma 1.4.1 (Fittings Lemma) Sei R artinscher Ring, M endlich erzeugter Modul und f ∈ End_{R}M. Dann gibt es eine natürliche Zahl n, so daß M = im(f^{k}) ⊕ ker(f^{k}).

Das ist klar und steht überall. Im artinschen Fall hat man eine Art Eindeutigkeit von (minimalen) freien Realisierungen, die es erlaubt, einen Hüllenbegriff für endliche Teilmengen von endlich präsentierten Moduln bzw. für endlich erzeugte pp-Typen zu definieren, der sich für die Kategorie der endlich präsentierten Moduln als ähnlich nützlich erweist, wie der Begriff der rein-injektiven Hülle in der Kategorie aller Moduln:

Lemma 1.4.2 Seien (M, ā) und (N, b̄) minimale freie Realisierungen der pp-Formel φ, das heißt kein echter direkter Summand von M bzw. N ist ebenfalls freie Realisierung von φ. Dann gibt es einen Isomorphismus f : (M, ā) → (N, b̄).

Es genügt zu verlangen, daß kein echter direkter Summand, der ā enthält, frei für φ ist, das heißt, daß ā in keinem echten direkten Summanden liegt; analog für b̄.

Beweis: Denn es gibt f : (M, ā) → (N, b̄) und g : (N, b̄) → (M, ā); wegen Lemma 1.4.1 gibt es ein n mit M = im(gf)^{n} ⊕ ker(gf)^{n}. Da gf auf ā die Identität ist, folgt ā ∈ im(gf)^{n}; wegen der Minimalität ist also M = im(gf)^{n} und ker(gf)^{n} = 0, insbesondere also f injektiv und g surjektiv. Mit N schließt man analog.

Nun kann man für einen endlich erzeugten pp-Typ p die endliche Hülle (besser wäre eigentlich: endlich präsentierte Hülle) von p, N(p), definieren als die minimale freie Realisierung der pp-Formel φ mit_{R}T ⊢ p ↔ φ. Der Beweis des Lemmas zeigt auch, wie man die endliche Hülle einer endlichen (oder endlich erzeugten) Teilmenge eines endlich präsentierten Moduls definieren muß. – Hier noch eine Ergänzung zu Lemma 1.2.5:

Lemma 1.4.3 R sei artinsch, (M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ , ā) freie Realisierung von φ. Dann sind äquivalent:

i. M ist unzerlegbar.

ii. End_{R}M ist lokal.

iii. φ ist +-irreduzibel.

Beweis: Wegen Lemma 1.2.5 genügt es, iii. nach ii. zu zeigen, und wie im Beweis dieses Lemmas folgt für f ∈ End_{R}M, daß ohne Einschränkung pp-tp(ā) = pp-tp(f(ā)). Es gibt also ein g, so daß gf auf ā die Identität ist, f insbesondere injektiv. Wegen Lemma 1.4.1 ist ist für ein geeignetes n aber M = im(f^{n}) ⊕ ker(f^{n}). Weil f injektiv ist, ist ker(f^{n}) = 0 und also f auch surjektiv.

In der Darstellungstheorie von artinschen Ringen sind die folgenden Begriffe zentral:

Definition 1.2 Sei R ein beliebiger Ring.

i. R heißt links-rein-halbeinfach, falls jeder R-Linksmodul direkte Summe unzerlegbarer R-Linksmoduln ist.

ii. R heißt von endlichem Darstellungstyp (links), falls R links-rein-halb-einfach ist und es nur endlich viele endlich erzeugte unzerlegbare R-Linksmoduln gibt.

Für Informationen zu diesen Begriffen, insbesondere für das Folgende (und viele äquivalente Formulierungen), siehe etwa [Pre 88] und am besten [Pre 84].

Ein links-rein-halbeinfacher Ring ist links-artinsch, und unzerlegbare R-Linksmoduln sind endlich erzeugt. Ein Ring ist genau dann links-rein-halbeinfach, wenn jeder R-Modul (damit meine ich nun wieder: Linksmodul) rein-injektiv ist. Daher ist ein (dann links-artinscher) Ring von endlichem Darstellungstyp (links), genau dann wenn er links-rein-halbeinfach ist und es nur endlich viele unzerlegbare Moduln gibt. Ein links-artinscher Ring ist genau dann von endlichem Darstellungstyp (links), wenn er links- und rechtsrein-halbeinfach ist, also genau dann wenn er von endlichem Darstellungstyp (rechts) ist. Man sagt dann kurz, er sei von endlichem Darstellungstyp.

1.5 Artin-Algebren

Unser Hauptinteresse gilt endlichdimensionalen Algebren über Körpern; da viele der zum Beweis des Entscheidbarkeitsatzes benötigten Resultate aber für die größere Klasse der Artin-Algebren gelten, führen wir diese hier kurz ein.

Artin-Algebren sind schön, weil es für sie im Gegensatz zu beliebigen artinschen Ringen eine gute Dualitätstheorie gibt. Fundamental hierfür ist der wohlbekannte Satz 1.5.2; der hier von mir gegebene Beweis ist motiviert durch [Har 67]. 1.5.3 bis 1.5.6 verallgemeinern Ergebnisse aus [PRZ 94] und sind von mir, allerdings keine Heldentaten; Lemma 1.5.7 und Korollar 1.5.8 sind vermutlich bekannt, die Beweis hier aber meine.

Definition 1.3 Ein Ring R heißt Artin-Algebra, falls er endlich erzeugt über seinem Zentrum ist und dieses artinsch ist.

Das Zentrum einer Artin-Algebra R werde ich stets mit C bezeichnen; äquivalent wäre es zu definieren: R ist eine C-Algebra über einem kommutativen artinschen Ring C und als Modul über diesem endlich erzeugt.

Beispiele für Artin-Algebren sind endliche Ringe, kommutative artinsche Ringe, endlichdimensionale Algebren über Körpern.

Eine Artin-Algebra ist links- und rechtsartinsch, also auch links- und rechtsnoethersch. Für einen (Links-) Modul M über einer Artin-Algebra R sind äquivalent (Dies folgt aus der Überlegung auf Seite 22.):

i. M ist endlich erzeugt (als R- oder C-Modul).

ii. M ist artinsch (als R- oder C-Modul). iii. M ist noethersch (als R- oder C-Modul).

iv. M ist endlich präsentiert (als R-oder C-Modul).

Da C kommutativ ist, sind pp-Untergruppen (über R oder C) von M auch C-Untermoduln. Insbesondere erfüllen endlich erzeugte Moduln die dcc und acc für pp-definierbare Untergruppen. Folglich sind endlich erzeugte Moduln totaltranszendent und somit erst recht rein-injektiv.

Trivialerweise ist jeder endlich erzeugte Modul direkte Summe von (unzerlegbaren) Moduln mit lokalem Endomorphismenring. Es gilt also der Satz von Krull-Remak-Schmidt über die Eindeutigkeit einer solchen Zerlegung. (Wenn man will, folgt dies auch aus den entsprechenden Sätzen über reininjektive Moduln.)

Für einen endlich erzeugten Modul M sind äquivalent:

i. M ist injektiv (bzw. projektiv) in R-mod.

ii. M ist injektiv (bzw. projektiv) in R-Mod.

Denn ist M injektiv in R-mod, dann ist (siehe Lemma 1.1.10) H(M) = E(M); da aber M rein-injektiv ist, folgt M = H(M) = E(M), und M ist injektiv. Die Umkehrung ist klar. Die Aussage über Projektivität wurde schon im Abschnitt über artinsche Ringe gezeigt.

Die für uns wesentliche Eigenschaft, die Artin-Algebren von beliebigen artinschen Ringen unterscheidet und die wir ständig ausnutzen werden, ist die Existenz einer Dualität (für R-mod und mod-R), die die übliche Dualität bei Vektorräumen über Körpern verallgemeinert. Da mir keine vernünftige Referenz für die später benötigten Tatsachen bekannt ist, stelle ich sie hier kurz zusammen (Man vergleiche aber [Har 67].); dabei bezeichne rad(R) das Jacobson-Radikal des Ringes R:

Tatsache 1.5.1 Sei C kommutativ artinsch. Dann hat C nur endlich viele maximale Ideale und C/rad(C) ist halbeinfach, also endliches Produkt von Körpern.

(Siehe etwa [Kas 77].)

Satz 1.5.2 C sei kommutativ artinsch, E sei die injektive Hülle (in der Kategorie der C-Moduln) von C/rad(C). Dann ist E als C-Modul endlich erzeugt und injektiver Kogenerator in C-mod und in C-Mod.

Beweis: Endlich erzeugte Moduln haben Kompositionsreihen mit Kompositionsfaktoren der Form C/𝔪, 𝔪 ein maximales Ideal. Sei nun X ein C-Modul, sei x ∈ X \ 0. Um zu sehen, daß E Kogenerator ist, ist zu zeigen, daß es einen Morphismus X → E gibt, der x auf ein Element ungleich 0 wirft. Wegen der Injektivität von E genügt es, einen Morphismus f : Cx → E mit f(x) ≠ 0 (das heißt f ≠ 0) anzugeben. Cx hat eine Kompositionsreihe der anfangs angegebenen Form, etwa Cx = C_{0} ≥ C_{1} ≥ . . .. Dann hat also Cx einen Quotienten der Form C/𝔪 (nämlich Cx/C_{1}); die Projektion auf diesen Quotienten liefert also einen Morphismus ungleich Null Cx → C/𝔪. Die Faktorisierung Cx → C/rad(C) → C/𝔪 zeigt, daß x auf ein Element ungleich Null in C/rad(C) ≤ E abgebildet wird. – Es bleibt zu zeigen, daß E endlich erzeugt ist: Wir zeigen zunächst: Behauptung: Hom_{C}(C/𝔪, E) ≃ C/𝔪, 𝔪 ein maximales Ideal. Beweis der Behauptung: Nach [SV 72, Proposition 2.27] folgt, daß ann_{E}(𝔪) ⊆ C/rad(C). (Denn dort wird gezeigt, daß ann_{E}(𝔪) injektive Hülle (als C/𝔪-Vektorraum) von C/rad(C) ∩ ann_{E}(𝔪) ist; da Vektorräume stets injektiv sind, folgt C/rad(C) ∩ ann_{E}(𝔪) = ann_{E}(𝔪), also das Gewünschte.) Aber für jedes f ∈ Hom_{C}(C/𝔪, E) gilt im(f) ⊂ ann_{E}(𝔪). Also ist Hom_{C}(C/𝔪, E) = Hom_{C}(C/𝔪, C/rad(C)), und letzteres bleibt zu bestimmen. Aber offenbar ist Hom_{C}(C/𝔪, C/rad(C)) isomorph zu ann_{C/rad(C)}(𝔪), und die Behauptung folgt aus der Teilbehauptung: ann_{C/rad(C)}(𝔪) ≃ C/𝔪.

Beweis der Teilbehauptung: C/rad(C) ist isomorph zum Produkt der C/𝔫, wobei 𝔫 die maximalen Ideale von C durchläuft. Dann ist aber ann_{C/rad(C)}(𝔪) gleich C/𝔪, da 𝔪 in C/𝔫 nur 0 annuliert, falls 𝔫 ≠ 𝔪. Damit ist die Teilbehauptung, und somit auch die Behauptung, bewiesen.

Nun hat C eine Kompositionsreihe mit Quotienten der Form C/𝔪, 𝔪 maximales Ideal. Hom_{C}(C, E) hat dann eine Kompositionsreihe mit Quotienten der Gestalt Hom_{C}(C/𝔪, E); nach der eben gezeigten Behauptung sind die in dieser Kompositionsreihe auftretenden Faktoren aber isomorph den Faktoren derjenigen von C, folglich also Hom_{C}(C, E) endlich erzeugt. Aber dieser Modul ist isomorph zu E.

Sei nun R weiter eine Artin-Algebra mit Zentrum C, sei E wie eben definiert. Ist M ein C-Modul, so nennen wir den C-Modul Hom_{C}(M, E) das Duale von M und bezeichnen ihn mit M^{⋆}. Man beachte, daß dies vom Gebrauch von ⋆ in Satz 1.1.4 und Satz 1.1.5 abweicht.

Für R-Linksmoduln M wird Hom_{C}(M, E) durch die Festsetzung fr : m ↦ f(rm), r ∈ R, m ∈ M, f ∈ Hom_{C}(M, E) zu einem R-Rechtsmodul, den wir ebenfalls mit M^{⋆} bezeichnen: Aus dem Zusammenhang wird stets ersichtlich sein, ob der C-Modul oder der R-Modul gemeint ist.

Definiert man nun analog [PRZ 94] für C-Untermoduln W des R-Moduls M, daß W^{⊥} := {f ∈ M^{⋆} | f ↾ W = 0} und entsprechend für C-Untermoduln V von M^{⋆}, daß V^{⊥} := {a ∈ M | f(a) = 0 für alle f ∈ V }, dann gilt entsprechend [PRZ 94] (hierfür wird nur gebraucht, daß E injektiver Kogenerator ist) für W ≤ M, daß W^{⊥⊥} = W; für endlicherzeugtes V ≤ M^{⋆}, daß V^{⊥⊥} = V; und für C-Untermoduln W_{1} ≤ W_{2} von M, daß (W_{2}/W_{1})^{⋆} ≃ W_{1}^{⊥}/W_{2}^{⊥}. Da der letzte Isomorphismus die R-Strukturen (von links bzw. rechts), so vorhanden, respektiert, gilt insbesondere für R-Untermoduln U ≤ M, daß (M/U)^{⋆} ≃ U^{⊥}, als R-Rechtsmoduln.

Bevor wir die wesentlichen Eigenschaften dieser Dualität notieren, zunächst noch ein Lemma zu C-Moduln:

Lemma 1.5.3 Sei M ein endlich präsentierter C-Modul. Dann ist die kanonische Abbildung M → M^{⋆⋆} von M in das Biduale von M ein Isomorphismus und M^{⋆} ebenfalls endlich präsentiert.

Beweis: M hat eine Kompositionsreihe mit Faktoren der Form C/𝔪; wie im letzten Absatz des Beweises von Satz 1.5.2 sieht man, daß dann M^{⋆} endlich präsentiert ist. (Außerdem zeigt dieses Argument, daß M und M^{⋆} die gleiche Mächtigkeit haben; dies wird gleich gebraucht.) Das zeigt die zweite Behauptung.

Die erste Behauptung zeigt man durch Induktion über die Länge von M: Hat M die Länge 1, dann ist M ein Modul der Form C/𝔪, 𝔪 ein maximales Ideal. Die Behauptung im Beweis von Satz 1.5.2 zeigt, daß dann M und sein Biduales M^{⋆⋆} (im allgemeinen nicht-kanonisch) isomorph sind; da die natürliche Abbildung M → M^{⋆⋆} sicherlich nicht die Nullabbildung ist, und da M und sein Biduales Körper sind (und da ein C-Morphismus erst recht C/𝔪-Morphismus ist), muß sie ein Isomorphismus sein.

M habe nun Länge größer 1. Es gibt eine kurze exakte Sequenz

0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

mit Moduln M′, M′′ kleinerer Länge. Dadurch wird ein kommutatives Diagramm

[figure: 0; (M′)^{⋆⋆}; M^{⋆⋆}; (M′′)^{⋆⋆}; 0; 0; M′′; M; M′; 0; ≃; ≃]

induziert, in dem die beiden äußeren Morphismen nach Induktionsvoraussetzung Isomorphismen sind. Also ist auch M → M^{⋆⋆} Isomorphismus.

Ist M nun ein endlich präsentierter R-Modul, dann sieht man sofort, daß die angegebenen C-Morphismen die R-Modulstruktur respektieren. Wir erhalten also zusammenfassend:

Satz 1.5.4 Sei R Artin-Algebra, M ein R-Modul.

i. Seien W und W_{1} ≤ W_{2} C-Untermoduln von M, V ein endlich erzeugter C-Untermodul von D(M). Dann gilt W = W^{⊥⊥}, V = V^{⊥⊥} und (W_{2}/W_{1})^{⋆} ≃ W_{1}^{⊥}/W_{2}^{⊥}.

ii. Sei U ein R-Untermodul von M. Dann hat man einen Isomorphismus (von R-Rechtsmoduln) (M/U)^{⋆} ≃ U^{⊥}.

iii. Ist M endlich präsentierter R-Modul, dann ist auch M^{⋆} endlich präsentiert, und die kanonische Abbildung von M in sein Biduales M^{⋆⋆} ist ein Isomorphismus.

Korollar 1.5.5 R sei Artin-Algebra, M ein R-Modul, U ≤ M R-Untermo-dul. Dann ist U^{⊥} genau dann endlich erzeugt, wenn M/U endlich erzeugt ist, und in diesem Fall ist M/U ≃ (U^{⊥})^{⋆}.

Beweis: Denn nach Satz 1.5.4 ii. ist (M/U)^{⋆} ≃ U^{⊥}; falls also M/U endlich erzeugt ist, dann auch U^{⊥}. Umgekehrt ist wieder wegen Satz 1.5.4 ii. mit U^{⊥} auch (M/U)^{⋆} endlich erzeugt, somit (Satz 1.5.4 iii.) auch (M/U)^{⋆⋆}. Da M/U jedenfalls injektiv eingebettet ist in (M/U)^{⋆⋆}, ist auch M/U endlich erzeugt. Dann folgt aber M/U ≃ (M/U)^{⋆⋆} ≃ (U^{⊥})^{⋆}, wieder mit Satz 1.5.4.

Die Ergebnisse von [PRZ 94, Section 1.3] lassen sich auch auf Artin-Algebren übertragen: Ganz analog wie dort kann man, indem man Q/Z durch E ersetzt und M^{⋆} gemäß der hiesigen Definition interpretiert, das Duale einer Theorie T von R-Linksmoduln, DT, definieren und beweisen (Hier benutzt man, daß pp-Untergruppen von R-Moduln C-Moduln sind und endlich präsentierte C-Moduln N mit ihrem N^{⋆} gleichmächtig sind; siehe die Beobachtung im Beweis von Lemma 1.5.3.):

Satz 1.5.6 R sei eine Artin-Algebra, D die oben definierte Dualität für Artin-Algebren, T eine Theorie von R-Linksmoduln. Dann gilt:

i. DT ist wohldefiniert.

ii. T ist konsistent genau dann wenn DT konsistent ist.

iii. Ein R-Linksmodul M ist Modell von T genau dann wenn M^{⋆} Modell von DT ist.

Ein R-Untermodul N des R-Moduls M heiße koendlich erzeugt, falls M/N endlich erzeugt ist. Es ist klar, daß der Schnitt N_{1} ∩ N_{2} zweier koendlich erzeugter Untermoduln wieder koendlich erzeugt ist (da M/N_{1} ∩ N_{2} ↪ M/N_{1} × M/N_{2}; und da mit M/N_{1} × M/N_{2} also auch M/N_{1} ∩ N_{2} endlich erzeugt ist – hier wird nur verwandt, daß R noethersch ist). Außerdem gilt für g : M → M′ ≥ N, daß mit M′/N auch M/g^{−1}(N) endlich erzeugt ist, denn M/g^{−1}(N) ↪ M′/N (und R noethersch).

Lemma 1.5.7 Sei R Artin-Algebra, M ein R-Linksmodul und a ∈ M \ 0. Dann gibt es einen koendlich erzeugten R-Untermodul N ≤ M, der a nicht enthält.

Beweis: Da E injektiver Kogenerator in der Kategorie der C-Moduln ist, gibt es ein f ∈ M^{⋆} mit f(a) ≠ 0. Betrachte den C-Untermodul ker(f) von M; es gilt a ∉ ker(f) und M/ ker(f) ≃ im(f) ≤ E; da E endlich präsentierter C-Modul (wegen Satz 1.5.2) und somit noethersch ist, ist im(f) endlich erzeugter C-Untermodul. ker(f) ist also ein koendlich erzeugter C-Untermodul, der a nicht enthält.

Sei nun 1 = a_{1}, …, a_{s} ein C-Erzeugendensystem von R. Nach den Bemerkungen vor dem Lemma ist dann N := ⋂_{i=1}^{s} a_{i}^{−1}(ker(f)) koendlich erzeugt, enthält a nicht und ist R-Untermodul.

Korollar 1.5.8 R sei Artin-Algebra. Die koendlich erzeugten Untermoduln eines R-Moduls bilden eine absteigend gerichtete, kofinale Familie.

Beweis: Dies ist nur Lemma 1.5.7 (zusammen mit den Bemerkungen unmittelbar davor).

Sind C_{1} und C_{2} zwei kommutative Unterringe der Artin-Algebra R, so daß R endlich erzeugt über C_{i} ist, dann werden durch C_{1} und C_{2} wie eben durch C zunächst zwei Dualitäten induziert. Man kann aber zeigen (siehe [Har 67]), daß sie natürlich äquivalent sind. Deshalb werde ich bei Artin-Algebren stets von der Dualität reden, ohne tatsächlich zu verwenden, daß C das Zentrum von R ist. Jeder kommutative Unterring, über dem R endlich erzeugt ist, tut es auch.

1.6 Endlichdimensionale Algebren

Die Entscheidbarkeitsergebnisse in Kapitel 6 handeln von endlichdimensionalen Algebren; in diesem Abschnitt fasse ich einige grundlegende (und wohlbekannte) Aussagen zusammen (nicht immer in größtmöglicher Allgemeinheit), allerdings ohne Beweis. In der Literatur werden im allgemeinen Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern betrachtet, eine Einschränkung, die wir uns hier nicht auferlegen wollen. Die Notation ist Standard; für nicht erklärte Begriffe vergleiche man etwa [Pie 82], [Kue 88], [CLS ??], sowie die im Literaturverzeichnis angegebenen Sammelbände.

k sei stets ein kommutativer, aber nicht notwendig unendlicher Körper. Alle Algebren sind, wenn nichts anderes gesagt wird, endlichdimensionale k-Algebren, insbesondere also Artin-Algebren.

Eine Algebra A heißt reduziert (auch: basisch), falls A/J(A) endliches Produkt von Divisionsringen ist; sie heißt zusammenhängend, falls sie als Ring unzerlegbar ist. Sei im folgenden A ≃ P_{1} ⊕ … ⊕ P_{s} die Zerlegung von A (als A-Linksmodul) in Unzerlegbare; zur Erinnerung: Dann sind die P_{i} die endlichdimensionalen unzerlegbaren Projektiven. A ist genau dann basisch, wenn die P_{i} paarweise nichtisomorph sind. Da man Bijektionen zwischen den Isomorphieklassen endlichdimensionaler unzerlegbarer Projektiver, den Isomorphieklassen endlichdimensionaler unzerlegbarer Injektiver und den Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Moduln hat (etwa [CLS ??]), gibt es auch jeweils s solche. Zu einer Algebra A gibt es eine reduzierte (ebenfalls endlichdimensionale k-) Algebra B, die Morita-äquiva-lent zu A ist, die Basische Algebra zu A; sie ist im wesentlichen eindeutig bestimmt ([Pie 82, Seite 101 ff]). Ist A/J(A) ≃ ∏_{i=1}^{l} M_{n_{i}}(D_{i}), dann ist B/J(B) ≃ ∏_{i=1}^{l} D_{i}. Die D_{i} sind im allgemeinen (echte, nichtkommutative) algebraische Erweiterungen von k; ist k aber algebraisch abgeschlossen, so ist A/J(A) ≃ ∏_{i=1}^{l} M_{n_{i}}(k) und also B/J(B) ≃ k^{l}.

Interessiert man sich nur für die Modultheorie einer Algebra A, darf man oft annehmen, A sei basisch und zusammenhängend ([Pre 88], [Kue 88]); im einzelnen wird darauf hingewiesen werden. Der Einfachheit halber sei für den Rest dieses Kapitels A als reduziert und zusammenhängend vorausgesetzt. (Es ist stets klar, wie die allgemeineren Versionen der im folgenden genannten Sätze und Definitionen aussehen.)

Für die Definition eines Köchers Δ, einer Köcheralgebra k[Δ] (mit oder ohne Relationen) verweise ich auf die schon angegebenen Werke. Unter einer Köcheralgebra verstehe ich im folgenden im allgemeinen eine Köcheralgebra ohne Relationen! Ich setze Köcher als zusammenhängend voraus; das bedeutet genau, daß die zugehörige Köcheralgebra zusammenhängend ist. Δ sei stets ein zusammenhängender, meist sogar endlicher, Köcher. Bekanntlich sind Köcherdarstellungen “das gleiche” wie Moduln über der entsprechenden Köcheralgebra; wir werden im allgemeinen mit Darstellungen argumentieren. Ist Δ ein (endlicher) Köcher mit Eckenmenge E und Kantenmenge (gerichteter Kanten) K, dann seien Darstellungen als (M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} notiert, kurz auch als (M, f) oder M. Die Kategorie der Darstellungen von Δ (über k) bezeichne ich (streng genommen in Abweichung von früher Vereinbartem) mit k[Δ]-Mod. – In Kapitel 8 wird die folgende triviale Tatsache benutzt:

Tatsache 1.6.1

i. M = (M_{α}) und N = (N_{α}) seien Köcherdarstellungen, \overline{M} und \overline{N} die entsprechenden Moduln über der Köcheralgebra und f : M → N. Dann sind äquivalent:

(a) f ist Epimorphismus (bzw. Monomorphismus).

(b) f : \overline{M} → \overline{N} ist eine surjektive (bzw. injektive) Abbildung.

(c) Alle f_{α} : M_{α} → N_{α} sind surjektiv (bzw. injektiv).

ii. R sei ein beliebiger Ring, φ und ψ pp-Formeln, M und N R-Moduln, f : M → N. Ist ψ(M) ⊆ φ(M) und fψ(M) = ψ(N), so folgt ψ(N) ⊆ φ(N).

Beweis: ii. ist ganz trivial; die Äquivalenz der ersten beiden Punkte in i. ist wohlbekannt und die des zweiten und dritten folgt, weil \overline{M} = ⊕M_{α} und M_{α} = \{x ∈ \overline{M} | ex = x\} für ein geeignetes Idempotentes e.

Einige Köcher haben Namen:

.  .  . . . . .  . A_{n}

[figure: .; .; .; .; .; …; .; .; D_{n}]

.  .  ..  .  . E_{6}

.  .  ..  .  .  . E_{7}

.  .  ..  .  .  .  . E_{8}

[figure: .; .; .; .; …; .; .; …; .; .; Ã_{n}]

[figure: .; .; .; .; .; …; .; .; .; .; D̃_{n}]

.  .  ...  .  . Ẽ_{6}

.  .  .  ..  .  .  . Ẽ_{7}

.  .  ..  .  .  .  .  . Ẽ_{8}

Die Köcher A_{n}, n ≥ 1, D_{n}, n ≥ 4, E_{6}, E_{7} und E_{8} heißen Dynkin-Köcher; dabei gibt der Index die Anzahl derPunkte des Graphen an. Die Köcher Ã_{n}, n ≥ 1, D̃_{n}, n ≥ 4, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} heißen Euklidische Köcher; hier ist die Anzahl der Punkte gleich dem Index +1. Ein Köcher ist ja eigentlich ein gerichteter Graph; diese Beispiele sind so zu verstehen, daß eine beliebige Orientierung betrachtet wird, meistens so, daß der entstehende Köcher keine gerichteten Zyklen hat (relevant natürlich nur bei Ã_{n}).

Lemma 1.6.2 k[Δ] ist genau dann endlichdimensional, wenn Δ keine gerichteten Zyklen hat.

Beweis: Das ist klar, da die k-Dimension von k[Δ] gerade die Anzahl der Wege in Δ ist.

Satz 1.6.3 Sei A eine k-Algebra beliebiger Dimension. Dann sind äquivalent:

i. dim_{k} A < ω und A/J(A) ≃ k^{n} für ein n.

ii. Es gibt einen endlichen Köcher Δ mit Relationen r_{1}, …, r_{l}, so daß für das von den Wegen der Länge 1 erzeugte zweiseitige Ideal W gilt W^{2} ⊇ k[Δ](r_{1}, …, r_{l})k[Δ] ⊇ W^{m}, m geeignet, und

A ≃ k[Δ, (r_{1}, …, r_{l})].

(A ist also Köcheralgebra mit Relationen.)

Köcheralgebren (mit Relationen), das heißt Algebren wie in ii., sind also insbesondere reduziert.

Korollar 1.6.4 Sei A eine endlichdimensionale k-Algebra mit A/J(A) ≃ ∏_{i=1}^{l} M_{n_{i}}(k). Dann ist A Morita-äquivalent zu einer Köcheralgebra mit Relationen. Insbesondere ist jede endlichdimensionale k-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k Morita-äquivalent zu einer Köcheralgebra mit Relationen.

Eine Algebra A heißt hereditär, falls Untermoduln projektiver Moduln wieder projektiv sind.

Satz 1.6.5 Eine Köcheralgebra mit Relationen ist genau dann hereditär, wenn sie Algebra eines Köchers ohne Relationen und ohne orientierte Zyklen ist.

Da “hereditär” Morita-invariant ist, folgt:

Korollar 1.6.6 Sei A eine endlichdimensionale k-Algebra mit A/J(A) ≃ ∏_{i=1}^{l} M_{n_{i}}(k). Dann ist A hereditär, genau dann wenn A Morita-äquivalent zu einer Köcheralgebra ohne Relationen ist. Insbesondere gilt:

Eine hereditäre endlichdimensionale Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist Morita-äquivalent zu einer Köcheralgebra ohne Relationen und orientierte Zyklen, und jede solche ist hereditär, endlichdimensional und reduziert.

Sei A weiter endlichdimensionale k-Algebra, aber nun zusätzlich hereditär. τ und τ^{−1} bezeichnen die Konstruktionen Auslander-Translat bzw. Inverses des Auslander-Translats; diese sind, da A hereditär ist, Funktoren. (Für dies und das Folgende siehe zum Beispiel [Rin 79, Seite 329-336]; dies ist eine der wenigen Quellen, wo k nicht als algebraisch abgeschlossen vorausgesetzt wird.) Sei U endlichdimensionales Unzerlegbares. Dann ist τ(U) Null oder wieder endlichdimensional unzerlegbar. Es ist τ(U) = 0 genau dann, wenn U projektiv ist. Ist τ(U) ≠ 0, dann ist U ≃ τ^{−1}τ(U). Entsprechend ist τ^{−1}(U) = 0 genau dann, wenn U injektiv ist, und im anderen Fall ist U ≃ ττ^{−1}(U) und τ^{−1}(U) unzerlegbar endlichdimensional.

Ist U ein endlichdimensionales Unzerlegbares, dann heißt U präprojektiv (bzw. präinjektiv), falls es ein m gibt mit τ^{m}(U) = 0 (bzw. τ^{−m}(U) = 0). Dies ist äquivalent dazu, daß U = τ^{−l}(P) für ein l und einen unzerlegbaren (endlichdimensionalen) projektiven Modul P (bzw. U = τ^{l}(I) für ein l und einen unzerlegbaren (endlichdimensionalen) injektiven Modul I. Präprojektive (bzw. präinjektive) Moduln sind hier also stets unzerlegbar (und endlichdimensional); dies weicht vom üblichen Sprachgebrauch ab.

Es sei P_{0} die Menge der endlichdimensionalen projektiven Unzerlegbaren, sowie P_{i} = P_{i−1} ∪τ^{−1}P_{i−1} so daß also P := ∪_{i}P_{i} die Menge der präprojektiven Unzerlegbaren ist. Sei dual dazu I_{0} die Menge der präinjektiven (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren, und – ganz analog zu der eben gemachten Definition – I_{i} = I_{i−1} ∪ τI_{i−1}. Dann ist also I := ∪_{i}I_{i} die Menge der präinjektiven Unzerlegbaren. Es gilt für U, daß U ∈ I_{i} genau dann, wenn U^{⋆} ∈ P_{i}: Denn für endlich präsentiertes M gilt offenbar, daß M genau dann injektiv ist, wenn M^{⋆} projektiv ist. (Jeweils in R-mod; aber über Artin-Algebren ist M injektiv in R-mod genau dann wenn es injektiv in R-Mod ist, entsprechend für projektiv. Siehe Seite 25.) Also stimmt die Behauptung für i = 0; der Rest folgt mit einer trivialen Induktion aus der Beschreibung von τ als Komposition von ^{⋆} und Tr (Tr gefolgt von ^{⋆}), vergleiche etwa [Rin 79, Seite 329].

A ist genau dann von endlichem Darstellungstyp, wenn es ein endlichdimensionales Unzerlegbares gibt, das sowohl präprojektiv als auch präinjektiv ist (und dann sind alle endlichdimensionalen Unzerlegbaren präprojektiv und präinjektiv). Sonst sind die 2s Serien von endlichdimensionalen Unzerlegbaren τ^{−i}(P), τ^{i}(I), i ∈ N, P projektiv endlichdimensional und unzerlegbar, I injektiv endlichdimensional und unzerlegbar, paarweise disjunkt. In diesem Fall (unendlicher Darstellungstyp) gibt es auch weitere endlichdimensionale Unzerlegbare, die regulären Unzerlegbaren, deren Menge mit R bezeichnet werde. In dem uns vor allem interessierenden zahmen Fall (siehe unten) kann man die Moduln in P (bzw. I, R) auch anders charakterisieren (via Defekt, siehe unten). Wichtig ist die folgende Tatsache ([Rin 86, Lecture 2]):

Tatsache 1.6.7 A sei hereditär. Dann faktorisiert jeder Morphismus U → V, mit U ∈ P, V ∈ I über ein W ∈ R, das heißt hat die Form U → W → V.

Seien P_{1}, …, P_{s} die endlichdimensionalen unzerlegbaren projektiven Moduln. Für einen endlichdimensionalen Modul M sei \underline{dim}(M), der Dimensionstyp, definiert als (k_{1}, …, k_{s}), wobei k_{i} die Anzahl der Kompositionsfaktoren von M ist, die isomorph zu dem einfachen Faktormodul von P_{i} sind. Von dieser Beschreibung werden wir so keinen Gebrauch machen; wir verwenden aber:

i. Für endlichdimensionale unzerlegbare nicht-reguläre Moduln U, V folgt aus \underline{dim}(U) = \underline{dim}(V) bereits U ≃ V; solche Moduln, die durch Unzerlegbarkeit und Dimensionstyp bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind, heißen diskret.

ii. Für \underline{dim} hat man im Falle einer Köcheralgebra k[Δ] die folgende Kennzeichnung: Die einfachen Faktormoduln der P_{i} (oder hier besser P_{α}) sind gerade die Darstellungen M^{α} = (M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} (α ∈ E) mit M_{α} eindimensional und allen anderen M_{β} = 0. Folglich ist für eine endlichdimensionale unzerlegbare Darstellung (M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} die Größe k_{α} = dim(M_{α}).

Es gibt eine reguläre Transformation c auf R^{s}, die Coxeter-Transformation, so daß für U ∈ I ∪ R gilt \underline{dim}(τ(U)) = c(\underline{dim}(U)); entsprechend für U ∈ P ∪ R: \underline{dim}(τ^{−1}(U)) = c^{−1}(\underline{dim}(U)). Weiter gibt es eine unter c invariante quadratische Form q auf R^{s}, so daß gilt: A ist von endlichem Darstellungstyp genau dann wenn q positiv definit ist. Ist q positiv semidefinit und nicht definit, dann heißt A zahm (und wild, falls q indefinit ist). In diesem (zahmen) Fall ist das Radikal von q ein eindimensionaler Unterraum von R^{s}, der von einem Vektor h̄ = (h_{i}), mit natürlichen Zahlen h_{i}, erzeugt wird, so daß wenigstens eines der h_{i} = 1 ist. Ein unzerlegbarer (endlichdimensionaler) Modul U mit \underline{dim}(U) ein Vielfaches von h̄ heißt stetig. (Die Bezeichnungen sind hier uneinheitlich; gelegentlich heißen solche U auch homogen.) Außerdem gibt es in dieser Situation eine unter c invariante Linearform ungleich Null, den Defekt, δ : R^{s} → R – man setzt δ(U) := δ(\underline{dim}(U)) – mit δ(P_{i}) ∈ Z für alle 1 ≤ i ≤ s und δ(P_{i}) = 1 für wenigstens ein i, und so daß für endlichdimensionale Unzerlegbare U gilt: δ(U) < 0 genau dann, wenn U präprojektiv, δ(U) > 0 genau dann, wenn U präinjektiv, und δ(U) = 0, genau dann wenn U regulär. Wegen der Invarianz von δ unter c folgt sofort, daß τ und τ^{−1} Defekt erhalten. Insbesondere folgt also: Behauptung: Die Menge der endlichdimensionalen Unzerlegbaren ist disjunkte Vereinigung von P, R und I. Außerdem gilt, daß ein endlichdimensionales Unzerlegbares entweder stetig oder diskret ist. Stetige (endlichdimensionale) U sind regulär; die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig, weil es auch diskrete reguläre Unzerlegbare geben kann. Folglich sind Präprojektive und Präinjektive diskret. – Es ist stets | δ(U) |≤ 6. Weitere Informationen zu diesen Begriffen (an Hand von Beispielen) finden sich in Kapitel 5; siehe insbesondere die Zusammenfassung auf Seite 173 für eine ähnliche, grobe Beschreibung aller rein-injektiver Unzerlegbarer, also einschließlich der unendlichdimensionalen, im Falle von Köcheralgebren k[Δ], Δ ein Euklidischer Köcher ohne orientierte Zyklen (dort ausgeführt für die Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8}).

Unabhängig von der Orientierung von Δ und unabhängig vom zugrundeliegenden Körper k gilt:

Satz 1.6.8 Δ sei ein endlicher zusammenhängender Köcher ohne gerichtete Zyklen.

i. k[Δ] ist genau dann von endlichem Darstellungstyp, wenn Δ ein Dynkin-Köcher ist.

ii. k[Δ] ist genau dann zahm, wenn Δ ein Euklidischer Köcher ist.

Wegen Korollar 1.6.6 folgt daraus

Korollar 1.6.9 Sei k algebraisch abgeschlossen, A endlichdimensionale hereditäre k-Algebra.

i. A ist genau dann von endlichem Darstellungstyp, wenn A Moritaäquivalent zu einem k[Δ] ist, Δ ein Dynkin-Köcher.

ii. A ist genau dann zahm, wenn A Morita-äquivalent zu einem k[Δ] ist, Δ ein Euklidischer Köcher ohne gerichtete Zyklen.

Für eine Verallgemeinerung von Korollar 1.6.9 siehe etwa [Dla 92, 1.(iv) Theorem (ii), Seite 189].

Das Ziegler-Spektrum. Teil I

Dies ist das erste von zwei Kapiteln mit Informationen zum Ziegler-Spektrum verschiedener Typen von Ringen. Das Ziegler-Spektrum von Dedekind-Rin-gen ist bereits in Abschnitt 1.3 beschrieben. Hauptziel meiner Untersuchungen ist die Bestimmung des Ziegler-Spektrums für zahme Köcheralgebren k[Δ], Δ einer der Euklidischen Köcher; es wird erst in Kapitel 8 erreicht. Hier beginne ich in 2.1 mit der größeren Klasse der Artin-Algebren; der wichtigste Satz in diesem Abschnitt ist wohl Korollar 2.1.4: Die Menge der endlichdimensionalen Unzerlegbaren ist dicht im Ziegler-Spektrum einer Artin-Algebra. Um die unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren über einer zahmen Köcher-Algebra in den Griff zu bekommen, ist das noch nicht gut genug; zu unübersichtlich ist die Menge der endlichdimensionalen Unzerlegbaren selbst bei dieser so wohluntersuchten Klasse von Algebren. Zum Glück gilt Satz 2.2.1, das Hauptresultat von Abschnitt 2.2: Er erlaubt eine genaue Beschreibung der Menge aller rein-injektiven Unzerlegbaren über einer zahmen Köcheralgebra k[Δ] (siehe etwa Korollar 6.2.4). Daraus ergibt sich später schnell die Entscheidbarkeit der Modultheorie solcher Algebren; außerdem ist diese Beschreibung natürlich Voraussetzung für die Bestimmung der Topologie. Abschnitt 2.3 ist mehr eine Randbemerkung: Dort analysiere ich das Ziegler-Spektrum kommutativer (von Neumann-) regulärer Ringe (Korollar 2.3.3); dies wird in Kapitel 7 benutzt.

2.1 Artin-Algebren

Hier gebe ich zunächst einen neuen, einfachen Beweis des Satzes von Okoh ([Oko 80]), daß rein-injektive Unzerlegbare über einer Artin-Algebra direkter Summand eines direkten Produkts endlich präsentierter Moduln sind (Satz 2.1.3). Lemmata 2.1.1 und 2.1.2 sind dementsprechend wohl ebenfalls neu. Das für das Folgende so entscheidende Korollar 2.1.4 ist von Prest, ebenso wie Satz 2.1.5 und Satz 2.1.6. Neu – und viel einfacher – sind dagegen wieder ihre Beweise. Bemerkenswert scheint mir vor allem der Beweis des für die Beschreibung des Ziegler-Spektrums wichtigen Satzes 2.1.6: Er ist rein modelltheoretisch und kommt insbesondere, anders als der Prestsche Originalbeweis, ohne die Existenz von Auslander-Reiten-Folgen über Artin-Algebren aus. (Den Zusammenhang von Auslander-Reiten-Folgen und Satz 2.1.6 untersuche ich in Kapitel 3.) Dieser Abschnitt schließt mit einem neuen und – wie ich finde – recht originellen Beweis eines Ergebnisses von Ringel, Tachikawa und Auslander (Satz 2.1.9); neu scheint die Richtung von ii. nach i. in Satz 2.1.9 zu sein.

Lemma 2.1.1 Seien U ≤ M R-Moduln, φ(x̄) eine pp-Formel der Form ∃ȳBȳ = x̄. Dann ist φ(M/U) = φ(M) + U/U.

Beweis: ⊇ ist klar. Es gelte umgekehrt φ(ā + U). Dann gibt es b̄ + U mit B(b̄+ U) = ā + U, also Bb̄ = ā + ū für ein ū ∈ U. Damit ist ā + ū ∈ φ(M) und ā + U = (ā + ū) + U ∈ φ(M) + U.

Für beliebige pp-Formeln ist dieses Lemma natürlich nicht richtig; man vergleiche etwa R = M = Z, mit U = 2Z, φ(x) ≡ 2x = 0, a = 1 ∈ M.

Lemma 2.1.2 Sei φ(x̄) eine pp-Formel, M ein R-Modul, ā ∈ M. Für ein absteigend gerichtetes, kofinales System U von Untermoduln U ∈ U gelte M/U ⊧ φ(ā + U). Dann gilt M ⊧ φ(ā).

Beweis: φ(x̄) hat die Form ∃ȳ Bȳ = Ax̄, also ψ(Ax̄) für ψ(z̄) ≡ ∃ȳ Bȳ = z̄. Nach Voraussetzung gilt für U ∈ U, daß Aā + U ∈ ψ(M/U), nach dem vorigen Lemma also Aā + U ∈ ψ(M) + U, und somit, wegen der Kofinalität, Aā ∈ ψ(M), ā ∈ φ(M).

Es folgen nun einige Resultate über Artin-Algebren, die zwar bekannt sind, hier aber ohne Zuhilfenahme tiefer algebraischer Ergebnisse neu bewiesen werden. Der Schlüssel zu ihnen ist die Existenz einer Dualität mit idealen Eigenschaften zwischen R-mod und mod-R; diese Dualität erlaubt es uns unter anderem, wesentliche Teile von [PRZ 94] auf Artin-Algebren zu übertragen (siehe auch Satz 1.5.4, Korollar 1.5.5, Satz 1.5.6). Da für beliebige artinsche Ringe im allgemeinen keine ähnlich gute Dualität existiert, gelingt es leider nicht, die neuen, einfachen Beweise auf diese Klasse von Ringen zu verallgemeinern, obwohl einige der folgenden Sätze auch für sie gelten.

Satz 2.1.3 (Okoh) R sei Artin-Algebra.

i. Jeder R-Linksmodul M ist rein in einem direkten Produkt endlich präsentierter unzerlegbarer Moduln.

ii. Insbesondere ist ein Modul genau dann direkter Summand in einem direkten Produkt endlich präsentierter (unzerlegbarer) Moduln, wenn er rein-injektiv ist.

Beweis: Wegen Lemma 2.1.2 genügt es, eine absteigend gerichtete, kofinale Familie U von koendlich erzeugten Untermoduln U zu finden. Denn dann ist M ⟶ ∏_{U∈U} M/U eine reine Injektion. Die Existenz einer solchen Familie liefert aber Korollar 1.5.8. Und die M/U zerfallen in unzerlegbare (endlich präsentierte) Summanden, die wiederum Quotienten von M nach Untermoduln sind. Das zeigt i.

Ist nun M rein-injektiv, dann zeigt i. die eine Richtung von ii. Da andererseits endlich präsentierte Moduln rein-injektiv sind (siehe Seite 25), folgt auch die andere.

Korollar 2.1.4 (Prest) R sei Artin-Algebra. Die Menge der endlich präsentierten Unzerlegbaren ist dicht im Ziegler-Spektrum.

Dieses wichtige Ergebnis werden wir für hereditäre endlichdimensionale Algebren über Körpern noch verfeinern, siehe Satz 2.2.1 und Satz 6.2.5. Bevor wir uns den endlich präsentierten Unzerlegbaren über einer Artin-Algebra zuwenden, hier noch eine andere Version des Beweises von Satz 2.1.3, die wir später benutzen werden (siehe die Überlegung nach dem Beweis von Satz 8.2.1), da sie Kontrolle über die auftretenden Faktormoduln M/U ermöglicht:

Es sei V eine aufsteigend gerichtete, kofinale Familie von endlich erzeugten (Rechts-) Untermoduln V von M^{⋆}. Dann ist die Familie U := {V^{⊥} | V ∈ V} eine absteigend gerichtete, kofinale Familie von koendlich erzeugten R-Untermoduln von M, wie sie für den Beweis des Satzes von Okoh benötigt wird: Denn wegen Satz 1.5.4 i. ist V^{⊥⊥} ≃ V endlich erzeugt, also ist Korollar 1.5.5 auf V^{⊥} ≤ M anwendbar und liefert M/V^{⊥} ≃ (V^{⊥⊥})^{⋆} = V^{⋆}. Ebenfalls mit Satz 1.5.4 ergibt sich, daß V^{⋆} endlich erzeugt ist, und also sind die U ∈ U koendlich erzeugt. Da V aufsteigend gerichtet ist, ist U absteigend gerichtet. Die Kofinalität sieht man so: Sei a ∈ M \ 0; sei f ∈ M^{⋆} mit f(a) ≠ 0. Dann gibt es V ∈ V, das f enthält. Es ist dann a nicht in V^{⊥}, was zu zeigen war.

Satz 2.1.5 R sei Artin-Algebra. Endlich präsentierte Unzerlegbare sind abgeschlossen im Ziegler-Spektrum.

Beweis: Sei U ein endlich präsentiertes Unzerlegbares, sei V ein rein-injekti-ves Unzerlegbares im Abschluß von U, etwa V = H(p) = H(a), p = pp-tp(a). Da U endlich präsentiert ist (genauer: wegen der dcc/acc, siehe Seite 25), gibt es ein φ_{0} ∈ p, so daß φ_{0}(U) die kleinste pp-definierbare Untergruppe unter den φ(U), φ ∈ p, ist. Betrachte ∑_{ψ∉p} ψ∩φ_{0}(U). Wiederum weil U endlich präsentiert ist, ist dies eine pp-definierbare Untergruppe, etwa ψ_{0}(U), die in φ_{0}(U) enthalten ist; ohne Einschränkung sei ψ_{0} ≤ φ_{0}. Behauptung: φ_{0}/ψ_{0}(U) > 1. Beweis der Behauptung: Seien ψ_{1}, ψ_{2} ∉ p. Da p unzerlegbar ist, gibt es φ ∈ p mit ψ_{1} ∩ φ + ψ_{2} ∩ φ ∉ p. Also ist φ_{0}/(ψ_{1} ∩ φ + ψ_{2} ∩ φ)(V) > 1, folglich auch φ_{0}/(ψ_{1} ∩ φ + ψ_{2} ∩ φ)(U) > 1. Aber da wegen der Wahl von φ_{0} gilt φ_{0}(U) ≤ φ(U), haben wir auch φ_{0}/(ψ_{1} ∩ φ_{0} + ψ_{2} ∩ φ_{0})(U) > 1. Nun folgt die Behauptung induktiv, denn ψ_{0} ist endliche Summe solcher ψ_{1}, ψ_{2}.

Sei nun b ∈ φ_{0}(U) \ ψ_{0}(U). Dann ist der pp-Typ von b gerade p und folglich U ≃ V: Denn sei φ/ψ ∈ p. Es ist b ∈ φ_{0}(U) ≤ φ(U). Wäre b ∈ ψ(U), so auch b ∈ ψ ∩ φ_{0}(U), also insbesondere b ∈ ψ_{0}(U), Widerspruch. Also ist b ∈ φ(U) \ ψ(U), und φ/ψ ∈ pp-tp(b), somit p = pp-tp(b) und U ≃ V.

Satz 2.1.6 R sei Artin-Algebra. Endlich präsentierte Unzerlegbare sind isoliert im Ziegler-Spektrum.

Dieser Satz ist, ebenso wie Satz 2.1.5, erstmals von Prest (allerdings auf ganz anderem Wege) bewiesen worden; Prest benutzt zum Beispiel im Beweis von Satz 2.1.6 Sätze von Auslander über die Existenz von Auslander-Reiten-Folgen. Wir geben hier einen direkten Beweis und zeigen später, wie man umgekehrt aus der Isoliertheit der endlich präsentierten Unzerlegbaren auf die Existenz von Auslander-Reiten-Folgen schließen kann (siehe Satz 3.3.3).

Beweis: Der Beweis beginnt zunächst genau wie der vorige: Sei U ein endlich präsentiertes Unzerlegbares, sei a ∈ U \ 0. Da U endlich präsentiert ist, gibt es eine pp-Formel φ_{0} mit _{R}T ⊢ tp^{+}(a) ↔ φ_{0} (Satz 1.2.2). Ebenfalls weil U endlich präsentiert ist, gibt es ein ψ_{1}, so daß ψ_{1}(U) die größte pp-definierbare Untergruppe von φ_{0}(U) ist, die a nicht enthält (Man argumentiert wie im Beweis von Satz 2.1.5.). Sei a^{⋆} ∈ Dψ_{1}(U^{⋆}) \ Dφ_{0}(U^{⋆}) (Satz 1.5.6). U^{⋆} ist ebenfalls endlich präsentiert, folglich gibt es, wieder mit Satz 1.2.2, ψ_{0} mit T_{R} ⊢ tp^{+}(a^{⋆}) ↔ Dψ_{0}. Ohne Einschränkung sei Dψ_{0} ≤ Dψ_{1}. Behauptung: pp-tp(a) wird durch φ_{0} ∩ ψ_{0} neg-isoliert. Beweis der Behauptung: Zunächst ist a ∉ φ_{0}∩ψ_{0}(U): Denn sonst wäre, nach Wahl von φ_{0}, φ_{0} ≤ φ_{0} ∩ ψ_{0}, insbesondere also φ_{0} ≤ ψ_{0}, also Dψ_{0} ≤ Dφ_{0} (nach Definition von D); dies widerspricht aber a^{⋆} ∈ Dψ_{0}(U^{⋆}) \ Dφ_{0}(U^{⋆}). Sei nun χ ∉ tp^{+}(a); zu zeigen ist χ ∩ φ_{0} ≤ φ_{0} ∩ ψ_{0}. Ohne Einschränkung sei χ ≤ φ_{0}. Dann gilt χ(U) ≤ ψ_{1}(U), also Dψ_{1}(U^{⋆}) ≤ Dχ(U^{⋆}). Folglich ist a^{⋆} ∈ Dχ(U^{⋆}), nach Wahl von ψ_{0} also Dψ_{0} ≤ Dχ, somit χ ≤ ψ_{0}, also χ ≤ φ_{0} ∩ ψ_{0}. Damit ist die Behauptung bewiesen.

Da U endlich präsentiert ist, ergibt sich aus der Behauptung sofort die Isoliertheit von U (wegen Lemma 1.1.8).

Zusammen mit Korollar 2.1.4 folgt nun ohne weiteres

Korollar 2.1.7 R sei Artin-Algebra. Die isolierten Punkte des Ziegler-Spek-trums sind genau die endlich präsentierten Unzerlegbaren.

Insbesondere sind also unendlich-erzeugte rein-injektive Unzerlegbare nicht isoliert. Etwas genauer gilt sogar:

Bemerkung 2.1.8 (Prest) R sei eine Artin-Algebra. Unendlich-erzeugte rein-injektive Unzerlegbare sind nicht neg-isoliert.

Beweis: Denn sei etwa U ein solches Unzerlegbares, sei a∈U\0. U ist direkter Summand in einem direkten Produkt endlich präsentierter Unzerlegbarer U_{i}, i ∈ I (wegen Satz 2.1.3). Sei a_{i} ∈ U_{i} die i-te Komponente von a. Für alle i ist pp-tp(a_{i}) ≥ pp-tp(a), und es ist tp^{+}(a) = ⋂_{i} tp^{+}(a_{i}); wäre pp-tp(a) neg-isoliert, so gäbe es ein i_{0} mit tp^{+}(a_{i_{0}}) = tp^{+}(a), U_{i_{0}} ≃ U, Widerspruch.

Wir halten noch fest, daß sich aus dem bisher Gezeigten ein witziger Beweis des Satzes von Ringel/Tachikawa/Auslander ergibt; das ist im wesentlichen die Richtung von i. nach ii. im folgenden Satz, siehe [RT 74], [Aus 76] (und auch [Pre 88, Theorem 11.38]). Von ii. nach i. scheint noch nicht bemerkt worden zu sein.

Satz 2.1.9 R sei eine Artin-Algebra. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt nur endlich viele endlich erzeugte Unzerlegbare.

ii. Alle rein-injektiven Unzerlegbaren sind endlich erzeugt.

iii. Es gibt nur endlich viele rein-injektive Unzerlegbare.

iv. Das Ziegler-Spektrum hat die diskrete Topologie.

Beweis: Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus Korollar 2.1.5 und Korollar 2.1.7, wenn man die folgende topologische Trivialität zu Hilfe nimmt:

Sei X ein quasikompakter topologischer Raum, X_{0} ⊆ X eine dichte Menge offen-abgeschlossener Punkte. Dann ist X_{0} genau dann endlich, wenn X = X_{0}, genau dann wenn X endlich, und dies ist genau dann der Fall, wenn X diskret ist.

Weitere Äquivalenzen sind etwa:

v. R ist links-rein-halbeinfach.

vi. R ist von endlichem Darstellungstyp.

Denn wie schon in Abschnitt 1.4 bemerkt, folgt aus v. Punkt ii. In [Aus 76] und in [RT 74] wird von i. nach v. gezeigt. Nach Definition ist vi. äquivalent zu v. & i.

In der Tat gilt einiges von Satz 2.1.9 auch für links-artinsche Ringe: vi. ist nach Definition äquivalent zu v. & i. Aus iv. folgt wegen der Quasikompaktheit des Ziegler-Spektrums iii., aus iii. wegen [Pre 88, Corollary 11.24, Proposition 11.27] Punkt i. Wegen [Aus 76] oder [RT 74] ergibt sich aus i. Punkt v., und – wie schon in Abschnitt 1.4 erwähnt – daraus Punkt ii. Damit folgt aus i. auch ii., somit iii. Aus vi. folgt wegen [Pre 88, Theorem 11.38, Corollary 9.26] Punkt iv. Zusammenfassend erhalten wir also die Äquivalenz von i., iii., iv. und vi.; aus jeder von i., iii., iv. oder vi. ergibt sich v., und aus v. folgt ii.

Die Richtung von v. nach vi. (äquivalent: nach i.) ist ein bekanntes offenes Problem; zu der offenbar noch offenen Richtung von ii. nach v. kann ich nichts sagen.

2.2 Endlichdimensionale hereditäre Algebren

Hauptergebnis dieses Abschnitts ist Satz 2.2.1; von Prest stammt die Formulierung von 2.2.1 im Spezialfall von Köcheralgebren k[Δ], Δ ein Euklidischer Köcher. Mein Beweis folgt seinem unvollständigen Argument; einige der Lemmata tauchen bei ihm implizit auf ([Pre 85], [Pre 88]). Neu scheinen die hier eingeführten Ränge r und R zu sein. Satz 2.2.1 ist ganz zentral für alles Folgende: Mit seiner Hilfe kann man die Menge der rein-injektiven Unzerlegbaren über einer Köcheralgebra k[Δ], Δ ein Euklidischer Köcher, genau beschreiben, weil es gelingt, die (endlichdimensionalen) regulären Unzerlegbaren über solchen Algebren gut zu überblicken (siehe Abschnitt 6.2, insbesondere Korollar 6.2.4).

Satz 2.2.1 Sei R eine endlichdimensionale hereditäre Algebra über einem kommutativen Körper, sei R von unendlichem Darstellungstyp. Dann enthält der Abschluß der Menge der regulären (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren im Ziegler-Spektrum alle unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren.

Vor dem Beweis einige Lemmata; dabei bezeichne, wie schon in Abschnitt 1.6, τ das Auslander-Translat. Im folgenden, bis einschließlich des Beweises von Satz 2.2.1, sei R eine Algebra wie im Satz, U, V seien endlichdimensionale Unzerlegbare, M, N beliebige endlichdimensionale Moduln. Zusätzlich sei R ohne Einschränkung reduziert und zusammenhängend: Denn ist R = R_{1}⊕R_{2}, dann sind die R_{i} wieder hereditär, außerdem – als topologische Räume – I(R) = I(R_{1}) ∪^{.} I(R_{2}). Und die Basische Algebra zu R ist zu R Morita-äquivalent, so daß ihr Ziegler-Spektrum homöomorph zu dem von R ist (siehe weiter unten in Kapitel 4 Satz 4.1.8 bzw. das Argument im Beweis von Satz 4.1.7).

Definition 2.1 Sei R wie vereinbart, sei U ein endlichdimensionales Unzerlegbares. Dann sei

i. r(U) := min{i | U ∈ P_{i}}; hierbei sei min ∅ = ∞.

Sei nun U zusätzlich präprojektiv, sei

ii. dim^{⋆}(U) := dim τ^{r(U)}(U).

iii. R(U) := (r(U), dim^{⋆}(U)), wobei R(U) < R(V) bezüglich der lexikographischen Anordnung zu verstehen ist.

Für endlichdimensionales M sei

iv. R(M) := min{R(U)|U unzerlegbarer präprojektiver direkter Summand von M}.

Man beachte, daß r(U) genau dann eine natürliche Zahl ist, wenn U ein präprojektives endlichdimensionales Unzerlegbares ist; ebenso ist R(M) ≠ ∞ genau dann, wenn M ein präprojektives endlichdimensionales Unzerlegbares als direkten Summanden enthält.

Lemma 2.2.2 Ist V präprojektiv und f : U → V ein von 0 verschiedener Morphismus, dann ist auch U präprojektiv, und außerdem gilt r(U) ≤ r(V). Ist V sogar projektiv, dann ist f eine isomorphe Einbettung, U ebenfalls projektiv und dim(U) < dim(V) oder U ≃ V.

Beweis: Wir dürfen annehmen, es sei r(U) ≥ r(V) = n. Es gibt also ein P ∈ P mit τ^{n}(f) : τ^{n}(U) → τ^{n}(V) = P. Da r(U), r(V) ≥ n, ist f = τ^{−n}τ^{n}f, also insbesondere τ^{n}f ≠ 0. Da R hereditär ist, ist im(τ^{n}f) projektiv, folglich zerfällt τ^{n}U → im(τ^{n}f). Wegen der Unzerlegbarkeit von τ^{n}U muß dies also ein Isomorphismus sein. Demnach ist τ^{n}U projektiv, U präprojektiv, und r(U) = n.

Ist V projektiv, dann ist n = 0, und damit ist der Rest klar.

Lemma 2.2.3 Seien U, V präprojektiv und f : U → V ein Morphismus ungleich 0. Dann ist R(U) < R(V) oder f ein Isomorphismus, jedenfalls also R(U) ≤ R(V).

Beweis: Wegen Lemma 2.2.2 folgt sofort r(U) ≤ r(V). Falls r(U) = r(V) = n, so wende man den zweiten Teil von Lemma 2.2.2 an auf τ^{n}f : τ^{n}(U) → τ^{n}(V); da τ^{n}f ≠ 0, ergibt sich, daß dim^{⋆}(U) = dim(τ^{n}U) < dim(τ^{n}V) = dim^{⋆}(V) (und somit R(U) < R(V)) oder τ^{n}f ist ein Isomorphismus – und somit auch f.

Wir erhalten damit

Lemma 2.2.4 Sei f : M → V ein von Null verschiedener Morphismus, V präprojektiv. Dann ist R(M) ≤ R(V). Gilt Gleichheit, dann induziert f einen Isomorphismus zwischen einem geeigneten unzerlegbaren direkten Summanden von M und V.

Beweis: Denn es gibt ein unzerlegbares U, direkter Summand von M, so daß f eingeschränkt auf U ungleich 0 ist. Folglich ist R(M) ≤ R(U) ≤ R(V), mit Lemma 2.2.3. Die zweite Behauptung folgt sofort.

Lemma 2.2.5 Sei X ein unendlich erzeugtes Unzerlegbares (nicht notwendig rein-injektiv), sei M ≤ X ein endlich erzeugter Untermodul. Dann gibt es endlich erzeugte N, M ≤ N ≤ X, von beliebig großem Rang R(N) (eventuell gleich unendlich.)

Beweis: Es genügt natürlich, ein endlich erzeugtes N mit R(N) > R(M) zu finden. Ohne Einschränkung sei M ≠ 0. M zerfällt in eine endliche direkte Summe endlich erzeugter Unzerlegbarer, M = ⊕_{i=1}^{n}U_{i}. Da X nicht endlich erzeugt ist, sind die U_{i} nicht rein in X; es gibt also einen endlich erzeugten Untermodul N ≥ M, so daß die U_{i} bereits in N nicht rein sind. Sei N noch minimal so gewählt, das heißt so, daß kein echter direkter Summand von N die gleiche Eigenschaft hat. Wenn N keinen präprojektiven Summanden hat, sind wir fertig (da R(N) dann unendlich ist). Sei also V ein präprojektiver direkter Summand von N, mit R(V) = R(N). Wegen der Minimalität von N ist die Projektion von M nach V nicht der Nullmorphismus. (Man könnte sonst V in der direkten Zerlegung von N weglassen.) Mit Lemma 2.2.4 folgt nun R(M) ≤ R(V) = R(N). Bei Gleichheit induzierte f (mit Lemma 2.2.4) aber einen Isomorphismus zwischen einem direkten Summanden U_{i} und V; U_{i} wäre damit rein in N, Widerspruch. Also gilt sogar R(M) < R(V) = R(N).

Korollar 2.2.6 Es gibt keinen Morphismus ungleich Null von einem unendlichdimensionalen Unzerlegbaren in ein präprojektives Unzerlegbares. Insbesondere gilt: Unendlichdimensionale Unzerlegbare haben keine präprojektiven Quotienten.

Wiederum ist hier keine Voraussetzung über Rein-Injektivität des unendlichdimensionalen Unzerlegbaren nötig.

Beweis: Sei X ein unendlichdimensionales Unzerlegbares, sei f : X → V ein Morphismus ungleich 0. Wähle ein endlich präsentiertes M ≤ X, so daß die Einschränkung von f auf M ungleich 0 ist. Mit Lemma 2.2.5 findet man ein N, M ≤ N ≤ X, mit R(N) > R(V). Widerspruch zu Lemma 2.2.4.

Entsprechendes gilt natürlich auch für die duale Situation, das heißt für präinjektive Unzerlegbare: Wir definieren für endlich präsentiertes M, daß R′(M) := R(D(M)); gleichbedeutend ist es, r′(U) zu definieren als kleinstes i mit U ∈ I_{i} und R′ dann analog zu R. Durch Dualisieren erhält man nun leicht

Lemma 2.2.7 Ist U präinjektiv und f : U → V ein von 0 verschiedener Morphismus, dann ist auch V präinjektiv, und außerdem U ≃ V oder R′(U) > R′(V). Gibt es einen von Null verschiedenen Morphismus von U nach M, so folgt R′(M) ≤ R′(U).

Korollar 2.2.8 Sei X ein unendlichdimensionales Unzerlegbares. Dann gibt es keinen von Null verschiedenen Morphismus von einem präinjektiven Unzerlegbaren nach X. Insbesondere hat X keine präinjektiven Untermoduln.

Beweis: Wir zeigen zunächst Behauptung: Sei M ein endlich präsentierter Untermodul von X, sei weiter R′(M) ≠ ∞. Dann gibt es einen endlich präsentierten Untermodul N ≥ M von X mit R′(N) < R′(M). Beweis der Behauptung: Wähle N wie im Beweis von Lemma 2.2.5. (Die Minimalität von N wird hier aber gar nicht verwendet.) Sei nun U ein unzerlegbarer (präinjektiver) direkter Summand von M mit R′(M) = R′(U). Die Inklusion U → N zeigt (Lemma 2.2.7), daß entweder R′(N) < R′(U)

– dann sind wir fertig –, oder die Inklusion induziert einen Isomorphismus auf einen direkten Summanden von N; dann wäre aber U rein in N, Widerspruch.

Sei nun f ein von Null verschiedener Morphismus vom präinjektiven U nach X. Lemma 2.2.7 zeigt, daß R′(imf) endlich ist. Fortgesetzte Anwendung der Behauptung ergibt einen Widerspruch.

Nun können wir den Beweis von Satz 2.2.1 geben:

Beweis: Sei X ein unendlichdimensionales rein-injektives Unzerlegbares. Wegen des Satzes von Okoh, Satz 2.1.3, ist X direkter Summand in einem Produkt endlichdimensionaler Unzerlegbarer. Wegen Korollar 2.2.6 darf man annehmen, X sei direkter Summand in einem Produkt regulärer und präinjektiver Unzerlegbarer; insbesondere liegt X schon im Abschluß der regulären und präinjektiven Unzerlegbaren.

Sei nun (φ/ψ) eine basis-offene Umgebung von X. Wir müssen zeigen, daß sie ein reguläres Unzerlegbares enthält. Liegen in (φ/ψ) nur endlich viele präinjektive Unzerlegbare, V_{1}, …, V_{n}, dann sind wir fertig: Wegen Satz 2.1.5 ist A := {V_{1}, …, V_{n}} abgeschlossen; (φ/ψ)\A ist dann eine offene Umgebung O von X, die keine präinjektiven Unzerlegbaren enthält. Nach dem ersten Absatz dieses Beweises muß O folglich ein reguläres Unzerlegbares enthalten.

Wir dürfen also annehmen, (φ/ψ) enthalte unendlich viele Präinjektive. Behauptung 1: Es gibt eine nur von φ abhängige natürliche Zahl n, so daß für alle R-Moduln Y und a ∈ Y gilt: Aus Y ⊧ φ(a) folgt, es gibt ein M(∈ R-mod), a ∈ M ≤ Y, M ⊧ φ(a) und dim M ≤ n. (klar) Behauptung 2: Es gibt nur endlich viele präinjektive Unzerlegbare V mit dim(V) ≤ n. Beweis der Behauptung: Für präinjektive Unzerlegbare U und V gilt nach Abschnitt 1.6, daß aus \underline{dim}(U) = \underline{dim}(V) folgt U ≃ V. Aber unter der Bedingung dim(U) ≤ n gibt es nur endlich viele mögliche \underline{dim}(U). Das beweist Behauptung 2.

Insbesondere gibt es also eine Zahl s, so daß für präinjektive Unzerlegbare V mit dim(V) ≤ n gilt r′(V) ≤ s. Außerdem existieren nur endlich viele präinjektive Unzerlegbare V mit r′(V) ≤ s, denn alle I_{i} sind ja endlich. Da R aber von unendlichem Darstellungstyp ist, findet man ein präinjektives Unzerlegbares U ∈ (φ/ψ) mit r′(U) > s. Sei etwa U ⊧ φ(a), und sei (mit Behauptung 1) M ≤ U, a ∈ M, M ⊧ φ(a) mit dim(M) ≤ n.

Sei V ein beliebiger unzerlegbarer direkter Summand von M. Nach Konstruktion ist dim(V) ≤ n, V kann also nicht präinjektiv sein. (Denn sonst folgte nach Wahl von s, daß r′(V) ≤ s, wegen Lemma 2.2.7 auch r′(U) ≤ s, Widerspruch.) Folglich faktorisiert die Einbettung V → U über eine endliche direkte Summe von regulären Unzerlegbaren: Entweder ist nämlich V selbst schon regulär, oder es ist präprojektiv, und dann folgt dies aus Tatsache 1.6.7. Die Inklusion M → U läßt sich, indem wir die Einbettungen der direkten Summanden von M nach U zusammensetzen, also schreiben als M ⟶^{f} ⊕_{i∈I}U_{i} ⟶ U, mit regulären unzerlegbaren U_{i}. Sei a_{i} die U_{i}- Komponente von f(a). Da in M nun φ(a) gilt, folgt für alle i, daß U_{i} ⊧ φ(a_{i}); zudem existiert ein i_{0} mit U_{i_{0}} ⊧ ¬ψ(a_{i_{0}}), da sonst U ⊧ ψ(a) folgte. Dieses reguläre U_{i_{0}} liegt dann in (φ/ψ).

2.3 Kommutative reguläre Ringe

Dieser Abschnitt enthält weitgehend Bekanntes, das, teils ohne Beweis, etwa in [Pre 88] enthalten ist. Hauptresultat ist Korollar 2.3.3. Sein Beweis und der von Lemma 2.3.2 (von Bouscaren) sind von mir, wahrscheinlich aber die einzig möglichen. – Wir zitieren als erstes ohne Beweis die folgende einfache Tatsache 2.3.1 R sei ein kommutativer (von Neumann-) regulärer Ring.

i. Die endlich erzeugten Ideale von R sind genau die Ideale der Form Re, e ein Idempotent.

ii. Zwei Ideale sind gleich, wenn sie die gleichen Idempotenten enthalten.

iii. R-Moduln sind absolut rein, das heißt insbesondere: Alle rein-injektiven Moduln sind auch injektiv.

iv. Die basis-offenen Mengen der Standardbasis des Ziegler-Spektrums haben die Form (ex = 0/x = 0) mit e = e^{2}.

v. Die unzerlegbaren Moduln sind genau die Moduln der Form R/𝔪, 𝔪 ein maximales Ideal.

vi. Für ein maximales Ideal 𝔪 und ein Idempotent e ist e ∉ 𝔪 genau dann, wenn 1−e ∈ 𝔪. Außerdem gilt im Ziegler-Spektrum, daß R/𝔪 ∈ (ex = 0/x = 0) genau dann, wenn e ∈ 𝔪.

Dabei kann man i. oder iii. als Definition von (kommutativ von Neumann-) regulär nehmen. ii. folgt sofort aus i.; Punkt v. (ist ganz einfach und) zeigt, daß alle Unzerlegbaren rein-injektiv und endlich erzeugt sind. – Als Beispiel für die (einfache) Art von Argumenten, die hier vorkommen, sei kurz vi. gezeigt: Da e(1 − e) = 0 ∈ 𝔪 und maximale Ideale erst recht prim sind, folgt die erste Behauptung sofort. R/𝔪 ist ein einfacher Modul; da wegen der Kommutativität von R pp-Untergruppen auch R-Untermoduln sind, folgt (ex = 0/x = 0)(R/𝔪) ∈ {R/𝔪, 0}. Also liegt R/𝔪 genau dann in der offenen Menge (ex = 0/x = 0), wenn (ex = 0/x = 0)(R/𝔪) = R/𝔪, genau dann wenn Re ⊆ 𝔪, genau dann wenn e ∈ 𝔪.

Für den Rest dieses Abschnitts seien stets R kommutativ regulär, 𝔪, 𝔫 maximale Ideale, e, f Idempotente.

Lemma 2.3.2 R sei kommutativ (von Neumann-) regulär. Es sind äquivalent:

i. (ex = 0/x = 0) ist eine minimale nichtleere offene Menge im Ziegler-Spektrum.

ii. Re ist maximales Ideal.

In diesem Fall isoliert (ex = 0/x = 0) das Unzerlegbare R/Re.

Da dieses Lemma (von Bouscaren) in [Pre 88] ohne Beweis gegeben wird, hier ein

Beweis: Sei Re nicht maximal. Dann gibt es ein 𝔪, das Re echt enthält, also auch ein endlich erzeugtes Ideal I, enthalten in 𝔪, das echt größer als Re ist. Wegen Tatsache 2.3.1 hat I die Form Rf. (fx = 0/x = 0) ist offen und nicht leer (denn R/𝔪 ist darin enthalten), außerdem in (ex = 0/x = 0) enthalten: Denn ist R/𝔫 ein Unzerlegbares in (fx = 0/x = 0), so f ∈ 𝔫, wegen e ∈ Rf also auch e ∈ 𝔫 und damit wiederum R/𝔫 ∈ (ex = 0/x = 0).

Für die Richtung von i. nach ii. genügt es nun, zu zeigen, daß die Inklusion echt ist. Das Ideal ⟨e, 1 − f⟩ ist nicht R: Sonst gibt es eine Zerlegung 1 = se + t(1 − f), folglich e = 1e = se^{2} + t(1 − f)e = se^{2} = se und f = f1 = fse = fe ∈ Re, Widerspruch zur Wahl von Rf. Also existiert ein maximales Ideal 𝔫 ⊇ ⟨e, 1 − f⟩. Folglich (wegen 2.3.1) ist R/𝔫 ∈ (ex = 0/x = 0) \ (fx = 0/x = 0), was zu zeigen war.

Umgekehrt gelte nun ii., sei R/𝔫 in der offenen Menge (ex = 0/x = 0) enthalten. Also ist e ∈ 𝔫, wegen der Maximalität von Re folglich Re = 𝔫, R/Re = R/𝔫: (ex = 0/x = 0) enthält demnach nur einen Punkt, ist also minimal und isoliert R/Re.

Korollar 2.3.3

i. Die isolierten Punkte des Ziegler-Spektrums sind genau die Unzerlegbaren der Form R/𝔪, wobei 𝔪 ein endlich erzeugtes maximales Ideal, also von der Form Re ist.

ii. Die offenen Mengen (ex = 0/x = 0) der Standardbasis sind offenabgeschlossen. Punkte im Ziegler-Spektrum sind abgeschlossen.

Beweis: Ist 𝔪 endlich erzeugt, so also von der Form Re, und dann zeigt Lemma 2.3.2 die Isoliertheit von R/𝔪. Ist umgekehrt R/𝔪 isoliert, so auch durch eine geeignete basis-offene Menge (ex = 0/x = 0). Diese ist dann insbesondere minimal offen nicht leer, daher ist, wieder wegen Lemma 2.3.2, Re maximal und R/Re ∈ (ex = 0/x = 0), also R/𝔪 ≃ R/Re (sogar Re = 𝔪). Das beweist i.

Wegen 2.3.1 ist das Komplement von (ex = 0/x = 0) gerade ((1 − e)x = 0/x = 0); (ex = 0/x = 0) ist also auch abgeschlossen. Tatsache 2.3.1 ii. zeigt, daß R/𝔪 das einzige Unzerlegbare in ⋂_{e∈𝔪}(ex = 0/x = 0) ist; R/𝔪 ist abgeschlossen.

Auslander-Reiten-Folgen

In diesem Abschnitt wollen wir unter anderem zeigen, wie man auf modelltheoretischem Wege die Existenz von Auslander-Reiten-Folgen in der Kategorie der endlich präsentierten Moduln über einer Artin-Algebra R nachweisen kann; ausgelöst hat diese Überlegungen Prests Beweis von Lemma 2.1.6, der im Gegensatz zu unserem die Existenz von Auslander-Reiten-Folgen verwendet. Es zeigt sich, daß der Zusammenhang zwischen der Existenz von Auslander-Reiten-Folgen und dem Begriff der Isoliertheit, jedenfalls bei artinschen Ringen, ganz transparent ist (Satz 3.3.3). Für beliebige Ringe ist Lemma 3.2.3 das entsprechende Hauptresultat.

Abschnitt 3.1 enthält wohl weitgehend Bekanntes: Definitionen und grundlegende Tatsachen. In 3.2 finden sich Charakterisierungen der Moduln M, für die es eine Auslander-Reiten-Folge (in R-Mod) mit linkem bzw. rechtem Endglied M gibt (Satz 3.2.5 und Satz 3.2.6, bzw. Satz 3.2.1). Das zentrale neue Ergebnis dort ist aber wohl Lemma 3.2.3, das den Begriff der Neg-Isoliertheit in ein neues Licht rückt. Abschnitt 3.3 untersucht – meist unter der Voraussetzung, daß der zugrundeliegende Ring artinsch ist – die entsprechenden Fragen für R-mod (Satz 3.3.3 und Satz 3.3.5). Abschnitt 3.4 faßt die Ergebnisse für Artin-Algebren zusammen.

3.1 Definitionen

Die Resultate dieses Abschnitts sind wohl bekannt; die Beweise sind von mir, da ich in der Literatur – die sich meist nur mit R-mod befaßt – keine finden konnte. Die wichtigsten Ergebnisse sind 3.1.4 bis 3.1.7.

Definition 3.1 Eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln

0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0

heißt Auslander-Reiten-Folge (in R-Mod), falls:

i. sie nicht zerfällt;

ii. jedes h : M → X, das keine zerfallende Injektion ist, faktorisiert über f: h = h′f für ein geeignetes h′ : E → X;

iii. jedes h : X → N, das keine zerfallende Surjektion ist, faktorisiert über g: h = gh′ für ein geeignetes h′ : X → E.

Entsprechend heißt eine kurze exakte Sequenz von endlich präsentierten Moduln, 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0, Auslander-Reiten-Folge in R-mod, falls die Bedingungen i. bis iii. für endlich präsentierte Moduln X erfüllt sind.

Auslander-Reiten-Folge werden auch fast zerfallende Folgen genannt. Die Bedingungen ii. und iii. werde ich getrennt untersuchen, daher die folgende Definition, deren Terminologie ich von [Her 92] übernehme:

Definition 3.2 Ein Morphismus f : M → E von R-Moduln heißt Auslander-Prä-Hülle (von M), falls f keine zerfallende Injektion ist und die Bedingung ii. der obigen Definition erfüllt ist. f heißt Auslander-Hülle (von M), falls zusätzlich gilt: Ist l ∈ End_{R}(E) mit lf = f, so ist l ∈ Aut(E).

Ein Morphismus g : E → N heißt Auslander-Prä-Überdeckung (von N), falls er keine zerfallende Surjektion ist und die Bedingung iii. der obigen Definition erfüllt ist. g heißt Auslander-Überdeckung (von N), falls zusätzlich gilt: Ist l ∈ End_{R}(E) mit gl = g, so folgt l ∈ Aut(E).

Entsprechend definiert man den Begriff der Auslander-Hülle etc. in R-mod.

Auslander-Prä-Hüllen heißen auch left-almost-split, Auslander-Hüllen auch minimal-left-almost-split, und ganz analog Auslander-Prä-Überdeckungen auch right-almost-split, Auslander-Überdeckungen auch minimal-right-al-most-split.

Wir beginnen mit einfachen Folgerungen aus den Definitionen und beschränken uns dabei zunächst auf Auslander-Reiten-Folgen in der Kategorie aller Moduln; Auslander-Reiten-Folgen in R-mod werden wir in Abschnitt 3.3 untersuchen, falls der zugrundeliegende Ring artinsch ist. Es sei aber darauf hingewiesen, daß in der Darstellungstheorie der Begriff der Auslander-Reiten-Folge in R-mod die wichtigere Rolle spielt.

Lemma 3.1.1 Ist f : M → E Auslander-Prä-Hülle und M nicht injektiv, dann ist f injektiv. Ist g : E → N Auslander-Prä-Überdeckung und N nicht projektiv, dann ist g surjektiv.

Beweis: Die Einbettung M → E(M) von M in seine injektive Hülle zerfällt nicht, falls M nicht injektiv ist, sie faktorisiert also nach Voraussetzung über f; f muß also injektiv sein. Dual für die zweite Behauptung.

Da unser Ziel eine modelltheoretische Beschreibung von Auslander-Reiten-Folgen ist, also von nicht zerfallenden Folgen, werden wir im folgenden meist annehmen, M sei nicht injektiv, N nicht projektiv.

Lemma 3.1.2 Hat M eine Auslander-Prä-Hülle f : M → E, dann ist End_{R}(M) lokal. Hat N eine Auslander-Prä-Überdeckung g : E → N, so ist End_{R}(N) lokal.

Beweis: Wir zeigen nur die zweite Aussage. Behauptung: Ist N′ ein von N verschiedener Untermodul von N, dann zerfällt der induzierte Morphismus g^{−1}(N′) → N′. Beweis der Behauptung: Die Inklusion h : N′ → N ist keine zerfallende Surjektion, also gibt es ein h′ : N′ → E mit h = gh′. Insbesondere ist im(h′) ⊆ g^{−1}(N′), und also zerfällt h′ den induzierten Morphismus g^{−1}(N′) → N′. Das zeigt die Behauptung.

Demnach ist N unzerlegbar: Denn ist N = N_{1}⊕N_{2} eine direkte Zerlegung von N in echte Untermoduln, so erhält man mit der Behauptung h′_{i} : N_{i} → g^{−1}(N_{i}), die die Inklusionen g^{−1}(N_{i}) → N_{i} zerfällen; h′_{1} ⊕ h′_{2} zerfällt dann g, Widerspruch.

Damit folgt aber die Lokalität von End_{R}(N): Sei ν ∈ End_{R}(N) kein Automorphismus. Dann ist ν keine zerfallende Surjektion (sonst erhielte man eine Zerlegung N ≃ N ⊕ ker(ν) mit ker(ν) ≠ 0, im Widerspruch zur Unzerlegbarkeit von N), nach Voraussetzung existiert also ein h′ : N → E mit gh′ = ν. Ist auch 1−ν kein Automorphismus, so erhält man entsprechend ein h′′ mit gh′′ = 1 − ν. Dann aber ist g(h′ + h′′) = 1, g zerfällt also, Widerspruch.

Auslander-Prä-Hüllen und Auslander-Prä-Überdeckungen sind natürlich niemals eindeutig bestimmt: Addieren von direkten Summanden an E erhält die jeweilige Eigenschaft. Eindeutigkeit sichert aber der schärfere Begriff der Hülle bzw. Überdeckung, der zusätzlich eine Art Kleinheit ausdrückt:

Lemma 3.1.3 Seien f : M → E und f′ : M → E′ Auslander-Hüllen des Moduls M. Dann sind E und E′ isomorph; genauer: Es gibt einen Isomorphismus l : E → E′ mit lf = f′.

Seien g : E → N und g′ : E′ → N Auslander-Überdeckungen des Moduls N. Dann sind E und E′ isomorph vermöge eines Isomorphismus l : E → E′ mit g′l = g.

Beweis: Wir zeigen die erste Behauptung: Die definierende Eigenschaft von Auslander-Prä-Hüllen liefert Morphismen ν : E → E′ mit νf = f′ und ν′ : E′ → E mit ν′f′ = f, also νν′f′ = f′ und ν′νf = f. Wegen der Bedingung an End_{R}(E) folglich νν′ ∈ Aut(E) und ν′ν ∈ Aut(E).

Zusammenfassend können wir also sagen:

Korollar 3.1.4 Ist f : M → E Auslander-Hülle und M nicht injektiv, dann ist M ein unzerlegbarer Modul mit lokalem Endomorphismenring, f ist eine Einbettung, und E ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Dual für Auslander-Überdeckungen.

Im folgenden interessieren wir uns meist für die Situation wie im Korollar. Den Zusammenhang zwischen dem Begriff der Hülle bzw. der Überdeckung mit dem der Auslander-Reiten-Folge stellt der nächste folkloristische Satz her:

Satz 3.1.5 Sei f : M → E Auslander-Prä-Hülle mit injektivem f, sei N := coker(f) und g : E → N die Projektion. Dann sind äquivalent:

i. 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 ist Auslander-Reiten-Folge (in R-Mod).

ii. End_{R}(N) ist lokal.

iii. f : M → E ist Auslander-Hülle.

Dual für surjektive Auslander-Prä-Überdeckungen.

Beweis: Es gelte i. Da nach Definition g : E → N Auslander-Prä-Über-deckung von N ist, folgt ii. mit Lemma 3.1.2.

Es gelte nun ii. Zu zeigen ist, daß g : E → N Auslander-Prä-Über-deckung ist. Daß g nicht zerfällt ist klar, denn sonst zerfiele auch f. Es bleibt also die Bedingung iii. aus der Definition nachzuweisen:

Sei h : X → N gegeben, das keine zerfallende Surjektion ist. h induziert ein kommutatives Diagramm (Dabei ist Y der Pullback.):

[figure: 0; M; Y; X; 0; 0; N; E; M; 0; 1; k; h; f; g; f′; g′]

Behauptung: 0 ⟶ M ⟶^{f′} Y ⟶^{g′} X ⟶ 0 zerfällt.

Beweis der Behauptung: Sonst ist f′ : M → Y keine zerfallende Injektion, und wegen der definierenden Eigenschaft von Auslander-Prä-Hüllen faktorisiert f′ über f: Es existiert f′′ : E → Y mit f′′f = f′.

[figure: 0; M; Y; X; 0; 0; N; E; M; 0; 1; k; f′′; h; f; g; f′; g′]

Aber kf′′f = kf′ = f, das heißt (kf′′ − 1)f = 0, und also ker(g) = im(f) ⊆ ker(kf′′ − 1). Folglich gibt es ein l : N → E

[figure: 0; M; Y; X; 0; 0; N; E; M; 0; 1; k; f′′; h; f; g; l; f′; g′]

mit kf′′ − 1 = lg. Nun ist g′f′′f = g′f′ = 0, und daher existiert ein l′ : N → X mit g′f′′ = l′g.

[figure: 0; M; Y; X; 0; 0; N; E; M; 0; 1; k; f′′; h; l′; f; g; l; f′; g′]

Insgesamt ergibt sich nun

(gl + 1_{N})g = g(lg + 1_{E}) = gkf′′ = hg′f′′ = hl′g;

da g surjektiv ist, folgt

gl − hl′ = 1_{N}.

Wegen der Lokalität von End_{R}(N) muß gl oder hl′ Automorphismus von N sein; folglich ist g eine zerfallende Surjektion (Widerspruch – daß g nicht zerfällt wurde schon gezeigt) oder h zerfallende Surjektion – ebenfalls ein Widerspruch. Damit ist die Behauptung bewiesen.

Es gibt also ein g′′ : X → Y, das g′ zerfällt: g′g′′ = 1_{X}. Damit folgt nun

h = hg′g′′ = gkg′′,

und kg′′ ist die gesuchte Abbildung kg′′ : X → E. Das beweist i.

Von iii. nach i. schließt man ganz ähnlich: Zunächst folgt – mit den Notationen aus ii. nach i. – ganz genauso (kf′′ − 1)f = 0; da f : M → E Auslander-Hülle von M ist, folgt nun kf′′ = 1_{E}. Der Beweis der Behauptung überträgt sich (formal: Setze überall l = 0; Lokalität von End_{R}(N) wird nicht benutzt.): Es ergibt sich, daß hl′ = 1_{N}, also h zerfallende Surjektion ist, also wie eben ein Widerspruch, womit auch hier die Behauptung gezeigt ist. Nun argumentiert man weiter wie in ii. nach i.

Um den Beweis von Satz 3.1.5 zu vollenden, setzen wir nun ii. voraus und zeigen iii. Gegeben sei l ∈ End_{R}(E) mit lf = f. Die Abbildung l induziert das kommutative Diagramm (Dabei ist N′ der Pushout.):

[figure: 0; M; E; N′; 0; 0; N; E; M; 0; 1; l; l′; f; g; f; g′]

Wir zeigen, daß l′ ein Isomorphismus ist – und somit auch l – und nehmen dazu das Gegenteil an: Dann ist l′ auch keine zerfallende Surjektion, da sonst N ≃ N′ ⊕ ker(l′), im Widerspruch zu ii. Da N′ ≃ N(= coker(f)), ist auch End_{R}(N′) lokal. Wegen der schon gezeigten Richtung von ii. nach i. ist

0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g′} N′ ⟶ 0

Auslander-Reiten-Folge; da l′ soeben als nicht-zerfallend erkannt worden ist, gibt es ein l′′ : N → E mit l′ = g′l′′:

[figure: 0; M; E; N′; 0; 0; N; E; M; 0; 1; l; l′; l′′; f; g; f; g′]

Das Homotopielemma liefert nun ein k : E → M mit kf = 1_{M}:

[figure: 0; M; E; N′; 0; 0; N; E; M; 0; 1; l; l′; l′′; k; f; g; f; g′]

f zerfällt also, Widerspruch.

(Genauer: Aus g′(l − l′′g) = g′l − l′g = 0 erhält man k : E → M mit fk = l − l′′g. Somit

fkf = (l − l′′g)f = lf − l′′gf = lf = f.

Da f injektiv ist, folgt kf = 1_{M}.)

Korollar 3.1.6 Sei 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 eine kurze exakte Sequenz in R-Mod. Dann sind äquivalent:

i. Die Folge ist eine Auslander-Reiten-Folge.

ii. f : M → E ist Auslander-Hülle.

iii. g : E → N ist Auslander-Überdeckung.

In diesem Fall haben M und N lokale Endomorphismenringe, und die Folge ist bis auf Isomorphie (von kurzen exakten Sequenzen) durch jedes der Endglieder eindeutig bestimmt.

Da wir uns im Zusammenhang mit dem Ziegler-Spektrum vor allem für reininjektive Moduln interessieren, bzw. da bei Artin-Algebren unser Ziel ein modelltheoretischer Beweis für die Existenz von Auslander-Reiten-Folgen (mit endlich präsentierten Endgliedern) ist, halten wir die folgende Beobachtung (siehe [Her 92]) fest; sie lenkt unser Interesse also auf Auslander-Reiten-Fol-gen, die nicht rein-exakt sind:

Satz 3.1.7 Sei 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 eine Auslander-Reiten-Folge in R-Mod. Dann sind äquivalent:

i. Die Folge ist nicht rein-exakt.

ii. M ist rein-injektiv.

iii. N ist endlich präsentiert.

Beweis: Endlich präsentierte Moduln sind rein-projektiv (wegen Satz 1.2.6), also folgt aus ii. bzw. iii. die Aussage i., da die Folge sonst zerfallen würde.

Es gelte i. Wegen Satz 1.2.6 gibt es einen reinen Epimorphismus h : X → N mit rein-projektivem X. Wenn h nicht zerfällt, dann gibt es eine Faktorisierung, gh′ = h für ein geeignetes h′ : X → E. Dann folgt, daß g reiner Epimorphismus ist, im Widerspruch zu i. Folglich ist h zerfallende Surjektion, N demnach direkter Summand des rein-projektiven Moduls X und somit rein-projektiv. Zusammen mit End_{R}(N) lokal (Korollar 3.1.6) liefert nun Lemma 1.2.7 die Aussage iii.

ii. zeigt man genauso.

3.2 Existenzsatz

Dieser Abschnitt ist der wichtigste des Kapitels. Eine zentrale Rolle spielt mein Lemma 3.2.3: Einerseits gibt es eine neue Charakterisierung der Neg-Isoliertheit; zum anderen charakterisiert es, wenn man will, rein-injektive Moduln mit Auslander-Prä-Hüllen, und außerdem ist es ein wesentliches Element im Beweis von Satz 3.2.1. Zudem läßt sich mit seiner Hilfe recht leicht Crawley-Boeveys Charakterisierung rein-injektiver Moduln mit Auslander-Prä-Hüllen herleiten (siehe nach Lemma 3.2.4), ohne daß – wie in Crawley-Boeveys Beweis – tiefe algebraische Resultate verwendet werden müßten.

Satz 3.2.1, zusammen mit der anschließenden Erläuterung, charakterisiert die rechten Endglieder nicht-rein-exakter Auslander-Reiten-Folgen. (Daß die Bedingung der Nicht-Rein-Exaktheit für unseren Kontext recht natürlich ist, verdeutlicht Satz 3.1.7: Einerseits nämlich interessieren in Zusammenhang mit dem Ziegler-Spektrum rein-injektive Unzerlegbare, andererseits ist auch die Kategorie R-mod der endlich präsentierten Moduln ein vor allem bei den Darstellungstheoretikern sehr beliebtes Gebilde. Und bei Artin-Algebren sind endlich präsentierte Moduln gar rein-injektiv!) Neu sind Satz 3.2.5 und Satz 3.2.6, die die entsprechende Charakterisierung linker Endglieder solcher Folgen erreichen; und neu sind auch Lemma 3.2.3 und Lemma 3.2.4.

Hier zunächst ein sehr allgemeiner Existenzsatz für Auslander-Reiten-Fol-gen (auf einer Seite), der auf Auslander ([Aus 78, I. Theorem 3.19], [Aus 85, Theorem 4]) zurückgeht:

Satz 3.2.1 Sei N ein endlich präsentierter nicht projektiver Modul mit lokalem Endomorphismenring. Dann gibt es eine Auslander-Reiten-Folge in R-Mod, 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0, mit rechtem Endglied N.

Ich gebe eine verbesserte Version des Beweises von Herzog ([Her 92]), der die gleiche Grundidee verwendet wie mein Beweis, den ich unabhängig etwa zur gleichen Zeit gefunden habe. Man beachte, daß die Voraussetzungen an N notwendig für die Existenz einer nicht rein-exakten Auslander-Reiten-Fol-ge in R-Mod mit rechtem Endglied N sind (wegen Satz 3.1.7 und Korollar 3.1.6).

Zunächst zeigen wir ein etwas technisches Lemma (von dem wir aber nur die Richtung von i. nach ii. benötigen):

Lemma 3.2.2 Sei N = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ endlich präsentierter Modul; N hat also die Form R^{n}/ ⟨Aē⟩, ā das Bild von ē unter der Projektion π : R^{n} → N, mit einer geeigneten m × n-Matrix A über R (zum Beispiel wegen Lemma 1.2.3 ii.). Sei P der partielle Typ (aus pp-Formeln) P := {Cȳ = 0 | _{R}T ⊢ A|ȳ → Cȳ = 0} (also insbesondere l(ȳ) = m); es gilt _{R}T ⊢ A|ȳ → P (ȳ). Dann sind äquivalent:

i. N ist nicht projektiv.

ii. {¬A|ȳ} ∪ P (ȳ) ist konsistenter partieller Typ.

Beweis: Sei zunächst N nicht projektiv. Wäre der Typ in ii. nicht konsistent, dann gäbe es mit Kompaktheit endlich viele Matrizen C_{1}, …, C_{k} mit RT ⊢ A | ȳ ↔ C_{1}ȳ = 0 ∧ … ∧ C_{k}ȳ = 0. Bildet man durch “Übereinanderschreiben” die Matrix C (mit gleicher Spaltenzahl wie die C_{i}), dann folgte RT ⊢ A | ȳ ↔ Cȳ = 0. Lemma 1.2.1 lieferte sofort, daß (R^{n}, Aē) freie Realisierung von A | ȳ ist, folglich auch von Cȳ = 0. Wegen Lemma 1.2.3 wäre dann ⟨Aē⟩ = ker(π) direkter Summand von R^{n}, also auch im(π) = N: Der Modul N wäre also projektiv, Widerspruch.

Im Beweis von Satz 3.2.1 wird die Nicht-Projektivität von N nur in Form von Lemma 3.2.2 ii. verwandt; das heißt, gilt ii., dann gibt es eine Auslander-Reiten-Folge mit rechtem Endglied N. Da diese nach Definition nicht zerfällt, folgt, daß N nicht projektiv ist, also i.

Lemma 3.2.3 Sei M ein rein-injektiver unzerlegbarer Modul. Dann sind äquivalent:

i. M ist neg-isoliert.

ii. Es gibt eine Auslander-Prä-Hülle f : M → E von M.

Dabei ist f in ii. genau dann injektiv, wenn M nicht injektiv ist. E kann man so erhalten: Ist M = H(a) und pp-tp(a) neg-isoliert durch ψ, so sei (N_{0}, b) freie Realisierung von ψ und E := M ⊕ N_{0}/ ⟨a − b⟩.

Eine andere Charakterisierung der Existenz von Auslander-Prä-Hüllen hat Crawley-Boevey in [Cra 92, Theorem 2.3] gegeben. Im Anschluß an den Beweis zeigen wir, wie man sie schnell aus unserer erhält. Lemmata 3.2.3 und 3.2.4 zeigen, daß der Begriff der Neg-Isoliertheit doch recht natürlich ist.

Beweis: Es gebe eine Auslander-Prä-Hülle von M; es ist M = H(a) mit a ∈ M \0. Zu zeigen ist, daß p = pp-tp(a) neg-isoliert ist. Aber p wird durch q := pp-tp(f(a)) neg-isoliert: Denn zunächst ist f nicht zerfallend, wegen der Rein-Injektivität von M ist also p < q. Sei r ein pp-Typ mit r > p; r werde in dem rein-injektiven Modul X realisiert durch ein Element c. Es gibt einen Morphismus h : (M, a) → (X, c), der nicht zerfällt, nach der definierenden Eigenschaft von Auslander-Prä-Hüllen also eine Faktorisierung h = h′f mit einem Morphismus h′ : E → X. Es ist h′(f(a)) = h(a) = c und somit q ≤ r.

Umgekehrt sei M neg-isoliert, etwa M = H(a), p := pp-tp(a) neg-isoliert durch eine pp-Formel ψ. Sei (N_{0}, b) freie Realisierung von ψ. Wir definieren E := M ⊕ N_{0}/ ⟨a − b⟩ und f als natürliche Abbildung von M nach E. Dann ist dies eine Auslander-Prä-Hülle: Denn da ψ ∈ tp^{+}(b) ⊆ tp^{+}(f(a)), aber ψ ∉ tp^{+}(a), zerfällt f nicht. Und sei h : M → X ein Homomorphismus, der keine zerfallende Injektion ist. Wegen der Rein-Injektivität von M folgt, daß h nicht rein ist, also tp^{+}(a) ⊂ tp^{+}(h(a)), folglich ψ ∈ tp^{+}(h(a)). Es gibt also einen Morphismus g : (N_{0}, b) → (X, h(a)). Die Abbildung h ⊕ g : M ⊕ N_{0} → X bildet a − b auf 0 ab, induziert also einen Morphismus h′ : E → X mit h′f = h.

Ist f injektiv, so folgt aus dem Nichtzerfallen der Auslander-Prä-Hülle, daß M nicht injektiv ist. Die Umkehrung ist Lemma 3.1.1.

Die im nächsten Lemma betrachteten Funktoren sind Funktoren von mod-R in die Kategorie der abelschen Gruppen. Und noch eine Bezeichnung: Seien M ein R-Linksmodul, ā ∈ M, ψ eine pp-Formel für R-Linksmoduln (mit l(ā)-vielen freien Variablen) und X ein R-Rechtsmodul. Dann sei

S_{ψ,ā}(X) := {x̄ ⊗ ā | X ⊧ Dψ(x̄)}.

Lemma 3.2.4 Sei M ein rein-injektiver unzerlegbarer Modul. Dann sind äquivalent:

i. M ist neg-isoliert. ii. − ⊗_{R} M ist injektive Hülle eines einfachen Funktors.

iii. − ⊗_{R} M hat einen einfachen Unterfunktor.

Zusatz: Die einfachen Unterfunktoren von −⊗_{R}M sind dann genau die S_{ψ,ā}, ā ∈ M, ψ = ψā eine tp^{+}(ā) neg-isolierende Formel.

Crawley-Boevey [Cra 92, Theorem 2.3] hat unabhängig von mir gezeigt, daß für ein M wie im Lemma äquivalent sind:

ii. − ⊗ M ist injektive Hülle eines einfachen Funktors.

iv. Es gibt eine Auslander-Prä-Hülle f : M → E von M.

Das folgt nun leicht aus Lemma 3.2.4 und Lemma 3.2.3. Beweis: (von Lemma 3.2.4) Die Äquivalenz von ii. und iii. ist klar.

Ich zeige die Äquivalenz von i. und iii., sowie den Zusatz; Lemma 1.1.9 benutze ich, ohne explizit darauf zu verweisen. Behauptung 1: Sei ψ beliebig, ā ∈ M. Dann ist S_{ψ,ā} ein Unterfunktor von − ⊗ M. Beweis der Behauptung: Klar. Behauptung 2: S_{ψ,ā} ≠ 0 genau dann wenn ψ ∉ tp^{+}(ā). Beweis der Behauptung: Es sei S_{ψ,ā}(X) ≠ 0, etwa x̄ ∈ Dψ(X) und x̄⊗ā ≠ 0. Also gilt M ⊧ ¬ψ(ā). Umgekehrt sei (X, x̄) freie Realisierung von Dψ. Also ist x̄ ⊗ ā ∈ S_{ψ,ā}(X). Angenommen x̄ ⊗ ā = 0, so gibt es χ ∈ tp^{+}(ā) mit X ⊧ Dχ(x̄). Also _{R}T ⊢ Dψ → Dχ, somit _{R}T ⊢ χ → ψ und ψ ∈ tp^{+}(ā).

Es gelte nun i. Sei also M = H(ā) und tp^{+}(ā) neg-isoliert durch ψ = ψā. Dann ist wegen Behauptung 2 S := S_{ψ,ā} ≠ 0. Sei S′ Unterfunktor von S ungleich Null; zu zeigen ist S = S′. Aus S′ ≠ 0 folgt zunächst für geeignetes X und x̄ ∈ X, daß 0 ≠ x̄ ⊗ ā ∈ S′(X). (X, x̄) ist frei für ein Dν. Sei nun Y beliebig, zu zeigen ist S(Y) ⊆ S′(Y). Sei dazu ȳ ⊗ ā ∈ S(Y), also Y ⊧ Dψ(ȳ). Wegen x̄ ⊗ ā ∈ S(X) folgt X ⊧ Dψ(x̄) und somit _{R}T ⊢ Dν → Dψ, _{R}T ⊢ ψ → ν. Da x̄ ⊗ ā ≠ 0, ist ν ∉ tp^{+}(ā). Die Neg-Isoliertheit ergibt _{R}T ⊢ tp^{+}(ā) ∧ ¬ψ → ¬ν, also folgt für geeignetes φ ∈ tp^{+}(ā), daß RT ⊢ φ∧ν → ψ. Daher_{R}T ⊢ Dψ → Dφ+Dν, und daraus Y ⊧ (Dφ+Dν)(ȳ). Es gibt also z̄, z̄′ ∈ Y mit ȳ = z̄ + z̄′, Y ⊧ Dφ(z̄), Y ⊧ Dν(z̄′). Somit existiert ein Morphismus (X, x̄) → (Y, z̄′), also z̄′ ⊗ ā ∈ S′(Y). Aber ȳ⊗ ā = z̄ ⊗ ā + z̄′ ⊗ ā, und der erste Summand ist Null, da Dφ(z̄) und φ(ā) gelten. Das zeigt ȳ ⊗ ā ∈ S′(Y) und S(Y) ⊆ S′(Y) wie gewünscht.

Es gelte iii. Sei S einfacher Unterfunktor ungleich Null von − ⊗ M. Zu zeigen ist, daß S von der Form S = S_{ψ,ā} ist, für geeignete ψ, ā, so daß ψ den Typ tp^{+}(ā) neg-isoliert. Nach Voraussetzung gilt für gewisse x̄ ∈ X, ā ∈ M, daß 0 ≠ x̄ ⊗ ā ∈ S(X). Sei (X, x̄) frei für Dψ, also insbesondere ψ ∉ tp^{+}(ā).

Behauptung 3: S = S_{ψ,ā}. Beweis der Behauptung: Sei ȳ ⊗ ā ∈ S_{ψ,ā}(Y), also Y ⊧ Dψ(ȳ). Also gibt es einen Morphismus (X, x̄) → (Y, ȳ) und folglich ȳ ⊗ ā ∈ S(Y): S_{ψ,ā} ist Unterfunktor von S. Wegen Behauptung 2 und ψ ∉ tp^{+}(ā) ist S_{ψ,ā} ≠ 0. Nun liefert die Einfachheit von S die Behauptung.

Zu zeigen bleibt noch, daß ψ den Typ tp^{+}(ā) neg-isoliert. Sei dazu ν ∉ tp^{+}(ā). Wegen der Unzerlegbarkeit von M (Zieglersches Unzerlegbarkeitskriterium) gibt es φ ∈ tp^{+}(ā) mit ψ_{0} := φ ∧ ν + ψ ∉ tp^{+}(ā). Es gilt RT ⊢ ψ → ψ_{0}, also _{R}T ⊢ Dψ_{0} → Dψ und folglich S_{ψ_{0},ā} ≤ S_{ψ,ā}. Wieder wegen Behauptung 2 ist S_{ψ_{0},ā} ≠ 0, somit also S_{ψ_{0},ā} = S_{ψ,ā} = S. Damit folgt aber _{R}T ⊢ Dψ → Dψ_{0}, also _{R}T ⊢ ψ_{0} → ψ und _{R}T ⊢ φ ∧ ν → ψ; erst recht RT ⊢ tp^{+}(ā) ∧ ν → ψ, das heißt: _{R}T ⊢ tp^{+}(ā) ∧ ¬ψ → ¬ν, was zu zeigen war.

Beweis: (von Satz 3.2.1) N hat die Form wie in Lemma 3.2.2, also insbesondere N = R^{n}/ ⟨Aē⟩; sei auch der partielle Typ P wie dort. Lemma 3.2.2 liefert die Konsistenz von {¬A | ȳ} ∪ P (ȳ). Sei nun p irgendein durch A | ȳ neg-isolierter Typ, der P (ȳ) enthält. (So ein p gibt es: Man wähle einen maximalen P (ȳ) enthaltenden partiellen Typ aus pp-Formeln, der mit ¬A | ȳ konsistent ist, etwa p^{+}, und setze p := p^{+} ∪ {¬ψ | ψ ∉ p^{+}}.) Dann ist p unzerlegbar (siehe vor Lemma 1.1.7); sei M = H(c̄), c̄ eine Realisierung von p. M ist also unzerlegbar rein-injektiv und neg-isoliert. Behauptung: M ist nicht injektiv. Beweis der Behauptung: (nach [Her 92]) Wegen [Zie 84, Lemma 5.8] gibt es eine Menge B von Matrizen B, so daß für jeden injektiven Modul Q und jede Wahl von Elementen d̄∈ Q gilt: Q ⊧ A|d̄↔ ∀B ∈ B : Bd̄= 0; für letzteres schreibe ich abkürzend Bd̄= 0. Insbesondere gilt_{R}T ⊢ A|ȳ → Bȳ = 0 (denn sei X ein beliebiger R-Modul, d̄∈ X, E(X) seine injektive Hülle; dann folgt aus X ⊧ A | d̄ auch E(X) ⊧ A | d̄, also Bd̄ = 0 in E(X) und somit auch in X). Aber da Bȳ = 0 ein partieller Typ ist, der in P enthalten ist, und c̄ ∈ M gerade P aber nicht A | ȳ realisiert, folgt, daß M nicht injektiv sein kann. Das beweist die Behauptung.

Um den Beweis zu vollenden, genügt es nun, eine Auslander-Prä-Hülle f :

M → E mit Kokern N zu konstruieren. Denn nach Lemma 3.2.3 und der Behauptung ist dann f injektiv, nach Satz 3.1.5 ist 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 eine Auslander-Reiten-Folge. Aber die Konstruktion von Lemma 3.2.3 leistet das Gewünschte: Denn (N_{0}, b) kann von der Gestalt (R^{n}, Aē) gewählt werden (siehe etwa Lemma 1.2.3 oder den Beweis von Satz 1.2.2). Dann ist mit der Notation von Lemma 3.2.3 coker(f) = E/f(M) = (M⊕R^{n}/ ⟨c̄ − Aē⟩)/f(M) ≃ R^{n}/ ⟨Aē⟩ ≃ N.

Was die Existenz von nicht rein-exakten Auslander-Reiten-Folgen betrifft, so ist die Situation also bezüglich des rechten Endterms so gut wie möglich: Zu jedem N, das überhaupt als ein solcher Endterm in Frage kommt, nämlich N mit lokalem Endomorphismenring, endlich präsentiert, nicht projektiv, gibt es auch tatsächlich eine entsprechende Auslander-Reiten-Folge. Für das linke Endglied gilt die analoge Behauptung nicht: Nicht zu jedem rein-injektiven unzerlegbaren M, das nicht injektiv ist, gibt es eine Auslander-Reiten-Fol-ge mit linkem Endterm M. Wir können leider nur eine wenig befriedigende Charakterisierung der M geben, die als Endglied einer solchen Folge vorkommen:

Satz 3.2.5 Sei M ein rein-injektiver unzerlegbarer Modul, der nicht injektiv ist. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine Auslander-Reiten-Folge der Form

0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0

in R-Mod.

ii. Es gibt einen durch eine Formel der Gestalt A|ȳ neg-isolierten pp-Typ p, so daß M = H(p) und R^{n}/ ⟨Aē⟩ lokalen Endomorphismenring hat (wobei wieder ē die kanonischen Erzeugenden von R^{n} sind).

Man beachte, daß jedes neg-isolierte unzerlegbare M von der Form M = H(p) ist, mit einem durch eine Formel der Gestalt A | ȳ neg-isolierten Typ p; denn sei etwa M = H(ā), pp-tp(ā) neg-isoliert durch A | Bx̄. Dann sieht man leicht, daß pp-tp(Bā) neg-isoliert ist durch A|ȳ. Das bedeutet, daß die entscheidende Bedingung in ii. die Lokalität des Endomorphismenringes ist.

Beweis: Es gebe eine Auslander-Reiten-Folge wie im Satz, sei N das rechte Endglied. Der Beweis von Satz 3.2.1 zeigt, daß es eine Auslander-Reiten-Folge in R-Mod gibt, mit einem linken Endterm der behaupteten Gestalt. Aus der Eindeutigkeit (Korollar 3.1.6) folgt, daß M diese Gestalt hat.

Umgekehrt habe M die angegebene Form. Lemma 3.2.3 (bzw. der Beweis von Satz 3.2.1) zeigt, daß es eine Auslander-Prä-Hülle gibt, f : M → E, mit injektivem f, und so daß N := coker(f) ≃ R^{n}/ ⟨Aē⟩. Nach Voraussetzung hat N aber lokalen Endomorphismenring; wegen Satz 3.1.5 ist 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 eine Auslander-Reiten-Folge.

Im artinschen Fall kann man Satz 3.2.5 eine etwas erfreulichere Form geben:

Satz 3.2.6 Sei R artinsch und M ein rein-injektiver unzerlegbarer Modul, der nicht injektiv ist. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine Auslander-Reiten-Folge 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 in R-Mod.

ii. Es gibt einen durch eine Formel der Gestalt A|ȳ neg-isolierten pp-Typ p, so daß M = H(p) und Ax̄ = 0 +-irreduzibel ist.

Beweis: Dies folgt sofort aus Satz 3.2.5 und Lemma 1.4.3.

Noch eine Bemerkung zu Herzogs Originalbeweis ([Her 92]): Er benutzt (mit den obigen Bezeichnungen) Lokalität von End_{R}(R^{n}/ ⟨Aē⟩), um auf eine Art Eindeutigkeit des durch A | ȳ neg-isolierten Typen zu schließen. Eine genauere Analyse seines Vorgehens zeigt, “wieviel” von der Lokalität von End_{R}(R^{n}/ ⟨Aē⟩) für diese Eindeutigkeitsaussage notwendig ist; siehe Lemma 3.2.8: Sei für einen Linksmodul N = \left⟨{ \atop ā}\right⟩, der frei für Ax̄ = 0 ist, (Tr(N), b̄) freie Realisierung (als Rechtsmodul!) von ȳA = 0. Man kann zeigen, daß dies mit dem Transponierten im Sinne von Auslander übereinstimmt. Definiert man \underline{End}_{R}(N) als

End_{R}(N)/{g ∈ End_{R}(N) | g faktorisiert über einen freien Modul}

(äquivalent: faktorisiert über einen projektiven Modul), dann gilt:

Tatsache 3.2.7 \underline{End}_{R}(N) ≃ \underline{End}_{R}(Tr(N))

Hier werden also Endomorphismenringe von Links-und Rechtsmoduln verglichen. Man kann dann zeigen:

Lemma 3.2.8 Es sind (mit den obigen Notationen) äquivalent:

i. \underline{End}_{R}(N) ist lokaler Ring. ii. Sei p ein beliebiger durch A|ȳ neg-isolierter Typ, der P enthält. Dann

gilt p ⊇ {φ(ȳ) |_{R} T ⊢ A|ȳ → φ und {φ} ∪ P ∪ {¬A|ȳ} konsistent}.

iii. Sei p wie eben. Dann {φ ∈ p |_{R} T ⊢ A|ȳ → φ} = {φ(ȳ) |_{R} T ⊢ A|ȳ → φ und {φ} ∪ P ∪ {¬A|ȳ} konsistent}.

iv. Sind φ_{1}, φ_{2} pp-Formeln mit _{R}T ⊢ A | ȳ → φ_{i}, dann gilt: Ist φ_{1} ∧ φ_{2} mit P ∪ {¬A|ȳ} inkonsistent, so ist für ein i schon φ_{i} mit P ∪ {¬A|ȳ} inkonsistent.

Der Beweis benutzt Lemmata 1.2.4 und 1.2.5. Punkt iii. sagt etwa, daß der +-Anteil solcher Typen p “oberhalb” von A|ȳ eindeutig bestimmt ist.

3.3 Auslander-Reiten-Folgen in R-mod

Dieser Abschnitt untersucht, meist nur für artinsche Ringe, durch welche Bedingungen die rechten bzw. linken Endglieder von Auslander-Reiten-Folgen in R-mod, der Kategorie der endlich präsentierten Moduln, charakterisiert werden. Satz 3.3.1 ist von Herzog ([Her 92, nach Corollary 2.4]). Der Rest ist von mir; man vergleiche aber auch [Her 92, Corollary 2.6]. Hauptergebnis ist wohl Satz 3.3.3, der im Falle artinscher Ringe die linken Endglieder von Auslander-Reiten-Folgen in R-mod charakterisiert. Das entsprechende Ergebnis für die rechte Seite ist der weniger befriedigende Satz 3.3.5. (Die Situation ist also hier, im Gegensatz zu R-Mod, für die linke Seite viel besser.) Meist werden wir, wie gesagt, einen artinschen Ring zugrundelegen; zunächst aber sei R noch beliebig.

Satz 3.3.1 Sei N endlich präsentierter Modul mit lokalem Endomorphismenring, sei N nicht projektiv. Sei 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 die nach Satz 3.2.1 existierende Auslander-Reiten-Folge in R-Mod. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine Auslander-Reiten-Folge in R-mod, 0 ⟶ M_{0} ⟶^{f_{0}} E_{0} ⟶^{g_{0}} N ⟶ 0.

ii. M enthält einen reinen Untermodul M_{0} ∈ R-mod mit lokalem Endomorphismenring.

3.3. AUSLANDER-REITEN-FOLGEN IN R-mod 67

Der Beweis ist nicht schwer; man vergleiche [Her 92]. Beweisskizze: Es gelte i.; dann findet man leicht eine reine Einbettung von M_{0} in M. Umgekehrt gelte ii.; P und A seien wie in Lemma 3.2.2. Dann folgt i. mit der hier nicht bewiesenen Behauptung: M_{0} realisiert einen durch A | ȳ neg-isolierten Typ, der P enthält. Denn dann funktioniert die Konstruktion aus dem Beweis von Satz 3.2.1 bzw. der dort zitierten Lemmata genau so gut in R-mod statt in R-Mod, sofern man nur beachtet, daß M_{0} nicht injektiv in R-mod ist. Aber sonst wäre M = H(M_{0}) = E(M_{0}) (Lemma 1.1.10), also injektiv, im Widerspruch zu der Behauptung im Beweis von Satz 3.2.1.

Bevor wir gegen Ende dieses Abschnitts wieder auf allgemeine Ringe zurückkommen, wenden wir uns nun dem artinschen Fall zu: Hier hat man einen guten Hüllenbegriff in R-mod (siehe Lemma 1.4.2 und die Diskussion danach). Dies ist der Schlüssel zu den folgenden Sätzen. Wir erinnern noch daran, daß im artinschen Fall endlich präsentierte Moduln genau dann unzerlegbar sind, wenn sie lokalen Endomorphismenring haben.

Lemma 3.3.2 Sei R artinsch, 0 ⟶ M_{0} ⟶^{f_{0}} E_{0} ⟶^{g_{0}} N ⟶ 0 eine Auslander-Reiten-Folge in R-mod.

i. M_{0} und N haben lokale Endomorphismenringe.

ii. Jedes der Endglieder bestimmt die Folge bis auf Isomorphie eindeutig.

iii. Die Auslander-Reiten-Folge ist nicht rein-exakt.

iv. 0 ⟶ M_{0} ⟶^{f_{0}} E_{0} ⟶^{g_{0}} N ⟶ 0 ist genau dann auch Auslander-Reiten-Folge in R-Mod, wenn M_{0} rein-injektiv ist.

v. Es gilt das Analogon von Satz 3.1.5.

Beweis: i. und ii. folgen sofort aus den entsprechenden Beweisen für R-Mod, da die dort konstruierten Moduln alle endlich erzeugt (und also endlich präsentiert) sind, falls M_{0} und N dies sind. Da N rein-projektiv, die Folge aber nicht zerfallend ist, folgt iii. wie bei R-Mod. Ist die Folge auch Auslander-Reiten-Folge in R-Mod, dann folgt aus Satz 3.1.7, daß M_{0} rein-injektiv ist. Umgekehrt sei M_{0} rein-injektiv. Wegen Satz 3.1.5 genügt es zu zeigen, daß f_{0} : M_{0} → E_{0} eine Auslander-Prä-Hülle (in R-Mod) ist. Sei also h : M_{0} → X eine nicht zerfallende Abbildung. Nach Voraussetzung ist h also nicht rein, folglich gibt es ein endlich erzeugtes (also endlich präsentiertes) X_{0} ≤ X, so daß schon h : M_{0} → X_{0} nicht rein ist. Also gibt es ein h′ : E_{0} → X_{0} ≤ X mit h′f_{0} = h, wie gewünscht. Punkt v. wird analog zum Beweis von Satz 3.1.5 gezeigt.

Satz 3.3.3 Sei R artinsch. Sei M_{0} endlich präsentierter unzerlegbarer Modul, nicht injektiv in R-mod (das heißt: nicht absolut rein), sei p ein in M_{0}\0 realisierter pp-Typ. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine Auslander-Reiten-Folge in R-mod, 0 ⟶ M_{0} ⟶^{f_{0}} E_{0} ⟶^{g_{0}} N ⟶ 0.

ii. p ist neg-isoliert.

iii. p ist isoliert.

iv. H(M_{0}) = H(p) ist isoliert im Ziegler-Spektrum.

Es sei noch bemerkt, daß die Voraussetzungen an den Modul M_{0} notwendig für die Existenz einer Folge wie in i. sind (wegen Lemma 3.3.2). Beweis: p ist endlich erzeugt, also folgt die Äquivalenz von ii., iii. und iv. aus Lemma 1.1.8. Es gelte nun i. Man argumentiert wie im Beweis von Lemma 3.2.3: Ohne Einschränkung sei M_{0} = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ und p = pp-tp(ā). (Denn, siehe vor Lemma 1.1.7, p ist genau dann neg-isoliert, wenn jeder andere in M_{0} \ 0 realisierte Typ neg-isoliert ist.) Behauptung 1: p wird neg-isoliert durch q := pp-tp(f_{0}(ā)). Beweis der Behauptung: Wäre p = q, so gäbe es wegen der Bemerkung vor Lemma 1.2.3 (oder direkt mit: (E_{0}, f_{0}(ā)) ist frei für ein ψ, das also auch von ā ∈ M erfüllt wird etc.) ein h : (E_{0}, f_{0}(ā)) → (M_{0}, ā), das, da M_{0} von ā erzeugt wird, die Abbildung f_{0} zerfällt. Sei nun q_{0} ein pp-Typ mit p < q_{0}; wegen Lemma 1.1.8 genügt es, endlich erzeugte q_{0} zu betrachten. q_{0} wird also in einem endlich präsentierten Modul realisiert, etwa in c̄ ∈ X_{0}. Es gibt einen Morphismus h : (M_{0}, ā) → (X_{0}, c̄); dieser ist keine zerfallende Injektion, also gibt es nach der definierenden Eigenschaft von Auslander-Reiten-Folgen in R-mod ein h′ : (E_{0}, f_{0}(ā)) → (X_{0}, c̄): Damit ist q ≤ q_{0}, was zu zeigen war.

Umgekehrt sei nun p neg-isoliert, etwa durch ψ. Wiederum argumentiert man analog zu Lemma 3.2.3: Seien E, N und f wie im Beweis von Lemma 3.2.3 konstruiert. Behauptung 2: Sei E_{0} direkter Summand von E, der f(ā) enthält. Dann ist die induzierte Abbildung f_{0} : M_{0} → E_{0} eine Auslander-Prä-Hülle in R-mod.

Beweis der Behauptung: Denn zunächst ist E endlich präsentiert, somit auch jeder direkte Summand, und es genügt nun, nachzuweisen, daß f : M_{0} → E Auslander-Prä-Hülle in R-mod ist, denn dann gilt dies auch für f_{0} : M_{0} → E_{0}. Daß f nicht zerfällt, ist klar. Sei nun h : M_{0} → X_{0} kein zerfallender Monomorphismus. Es folgt wieder, daß ψ ∈ pp-tp(h(ā)), daß es also einen Morphismus g : (N, b̄) → (X_{0}, h(ā)) gibt, der dann die gewünschte Abbildung induziert.

Da M_{0} nicht injektiv in R-mod ist, ergibt sich wie im Beweis von Lemma 3.2.3, daß f eine Injektion ist.

Es bleibt also zu zeigen, daß f_{0} : M_{0} → E_{0} := N(f(ā)) nicht nur Auslander-Prä-Hülle in R-mod (wegen der Behauptung), sondern sogar Auslander-Hülle in R-mod ist. Aber das ist klar: Sei l ∈ End_{R}(E_{0}) mit lf_{0} = f_{0}. Es gibt mit Lemma 1.4.1 eine natürliche Zahl k, so daß E_{0} = ker(l^{k}) ⊕ im(l^{k}); da f_{0}(ā) ∈ im(l^{k}), folgt nach Wahl, daß E_{0} = im(l^{k}), ker(l^{k}) = 0: l ist ein Automorphismus. Nun liefert Lemma 3.3.2 v. das Ergebnis.

Man beachte, daß die einzige Änderung gegenüber dem rein-injektiven Fall folgendes Argument ist: Ist f : (M, ā) → (N, b̄) ein Morphismus von endlich präsentierten Moduln mit M = \left⟨{ \atop ā}\right⟩, dann ist f zerfallend, genau dann wenn pp-tp(ā) = pp-tp(b̄). Denn zerfällt f, dann haben ā und b̄ offenbar die gleichen pp-Typen. Und umgekehrt folgt aus der Gleichheit der pp-Typen, daß es einen Morphismus g : (N, b̄) → (M, ā) gibt, denn (N, b̄) ist ja frei für eine pp-Formel ψ, die nach Voraussetzung auch von ā in M erfüllt wird. g zerfällt dann f.

Satz 3.3.3 gibt also eine befriedigende Beschreibung der möglichen linken Endglieder einer Auslander-Reiten-Folge in R-mod, wenn der Ring artinsch ist. Für die rechte Seite haben wir zunächst

Satz 3.3.4 Sei R artinsch und N ein nicht-projektiver endlich präsentierter Modul mit lokalem Endomorphismenring. Sei 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 die nach Satz 3.2.1 existierende Auslander-Reiten-Folge in R-Mod. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine Auslander-Reiten-Folge in R-mod der Form 0 ⟶ M_{0} ⟶^{f_{0}}

E_{0} ⟶^{g_{0}} N ⟶ 0.

ii. M enthält einen reinen Untermodul M_{0} ∈ R-mod.

Denn das folgt sofort aus Satz 3.3.1, wenn man berücksichtigt, daß im artinschen Fall jeder endlich präsentierte Modul direkte Summe endlich präsentierter unzerlegbarer Moduln ist.

Eine Beschreibung, die nicht auf den in Satz 3.2.1 konstruierten Modul M in R-Mod zurückgreift, leider aber etwas technisch ist, liefert der nächste

Satz 3.3.5 Sei R artinsch. Sei N = \left⟨{ \atop ā}\right⟩ ein endlich präsentierter Modul mit lokalem Endomorphismenring. Sei (wie in Lemma 3.2.2) (N, ā) frei für die pp-Formel Ax̄ = 0, sei P der partielle Typ aus Lemma 3.2.2. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine Auslander-Reiten-Folge in R-mod mit rechtem Endglied N.

ii. Es gibt eine pp-Formel φ(ȳ), so daß _{R}T ⊢ φ → P und φ ∧ ¬A|ȳ einen Typ isoliert.

Beweis: Da R artinsch ist, ist P äquivalent zu einer pp-Formel (der Gestalt Cȳ = 0), wir schreiben daher ν statt P.

Wegen Lemma 3.2.2 ist der partielle Typ (die Formel) ν(ȳ) ∧ ¬A | ȳ konsistent, wenn i. oder ii. gilt. Wegen Satz 3.2.1 gibt es ein M in R-Mod, so daß 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 eine Auslander-Reiten-Folge in R-Mod ist.

Es gelte nun i. Wegen Satz 3.3.4 gibt es einen endlich präsentierten Modul M_{0}, der rein in M ist. Wegen der Behauptung im Beweis von Satz 3.3.1 (Lokalität von M_{0} wird dabei nicht benutzt.) gibt es einen ν enthaltenden durch A | ȳ neg-isolierten Typ p, der in M_{0} realisiert wird. Dieser Typ p ist also endlich erzeugt: Es gibt eine pp-Formel in p, etwa φ, mit _{R}T ⊢ φ ↔ p^{+}, insbesondere _{R}T ⊢ φ → ν: Wegen Lemma 1.1.8 (genauer: dessen Beweis) gilt ii.

Umgekehrt gelte nun ii. Man argumentiert wie in Satz 3.3.1 (das heißt also wie im Beweis von Satz 3.2.1), nur eben in R-mod. Oder mit einer Variante: Wie im Beweis von Satz 3.2.1 liefert ii. einen endlich präsentierten unzerlegbaren Modul M_{0}, der einen durch A|ȳ neg-isolierten Typ realisiert. Wie dort sieht man, daß M_{0} nicht injektiv in R-mod ist. Satz 3.3.3 zeigt, daß M_{0} linker Endterm einer Auslander-Reiten-Folge in R-mod ist; verfolgt man den Beweis dieses Satzes, so sieht man, daß das rechte Endglied dieser Folge gerade isomorph zu unserem N ist.

Nun einige Anwendungen der bisherigen Ergebnisse auf das Ziegler-Spek-trum; zunächst sei dabei R wieder ein beliebiger Ring.

Lemma 3.3.6 Sei M rein-injektiv unzerlegbar und neg-isoliert. Enthält M als reinen Untermodul einen endlich präsentierten Modul M_{0}, dann ist M isoliert im Ziegler-Spektrum.

Beweis: Denn jeder in M_{0} \ 0 realisierte Typ ist einerseits endlich erzeugt, andererseits aber als Typ in M auch neg-isoliert, und wegen Lemma 1.1.8 ist damit M isoliert.

Korollar 3.3.7 Sei N endlich präsentierter nicht projektiver Modul mit lokalem Endomorphismenring, und sei M das wegen Satz 3.2.1 existierende linke Endglied einer Auslander-Reiten-Folge 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 in R-Mod. Dann gilt:

i. Enthält M als reinen Untermodul einen endlich präsentierten Untermodul mit lokalem Endomorphismenring, dann ist M isoliert im Ziegler-Spektrum.

ii. Gibt es auch in R-mod eine Auslander-Reiten-Folge mit rechtem Endglied N, dann ist M isoliert im Ziegler-Spektrum.

Beweis: Dies folgt sofort mit Lemma 3.3.6, Lemma 3.2.3 und Satz 3.3.1.

Sei nun R wieder als artinsch vorausgesetzt. Dann hat man Satz 3.3.3, der einen Zusammenhang zwischen dem Ziegler-Spektrum und Auslander-Rei-ten-Folgen herstellt. Und es gilt

Korollar 3.3.8 Sei R artinsch, sei M_{0} endlich präsentierter Modul mit lokalem Endomorphismenring und nicht injektiv in R-mod. Gibt es eine Auslander-Reiten-Folge in R-Mod mit linkem Endglied H(M_{0}), so auch eine in R-mod mit linkem Endglied M_{0}.

Beweis: Dies ergibt sich unmittelbar aus Satz 3.3.3 und Lemma 3.2.3.

3.4 Artin-Algebren

Bei Artin-Algebren ist die Situation besonders einfach, da man eine gute Dualität hat, bzw. da endlich präsentierte Moduln rein-injektiv sind. (Oder, wenn man will, weil nicht rein-exakte Auslander-Reiten-Folgen in R-Mod und in R-mod das gleiche sind – siehe das nächste Korollar – und man daher mit Satz 3.2.1 und Satz 3.3.3 schöne Charakterisierungen sowohl der rechten als auch der linken Endglieder solcher Folgen hat.) – Vermutlich ist Korollar 3.4.1 bekannt, sicherlich jedenfalls Teil ii. und iii. Der Beweis hier aber ist wohl neu.

Korollar 3.4.1 Sei R Artin-Algebra.

i. Auslander-Reiten-Folgen in R-Mod, die nicht rein-exakt sind, liegen schon in R-mod, und jede Auslander-Reiten-Folge in R-mod ist auch eine in R-Mod.

ii. Sei N ein endlich präsentierter Modul. Genau dann gibt es eine Auslander-Reiten-Folge mit rechtem Endterm N, wenn N unzerlegbar und nicht projektiv ist.

iii. Sei M endlich präsentierter Modul. Genau dann gibt es eine Auslander-Reiten-Folge mit linkem Endterm M, wenn M unzerlegbar und nicht injektiv ist.

Wegen i. fallen bei Artin-Algebren die Begriffe Auslander-Reiten-Folge in R-mod und Auslander-Reiten-Folge in R-Mod im wesentlichen zusammen; außerdem werden auch die oben gegebenen Beweise (von Satz 3.3.3 und von Satz 3.2.1 bzw. Lemma 3.2.3) identisch, da für endliche Teilmengen von endlich präsentierten Moduln Hülle und endliche Hülle übereinstimmen.

Beweis: Sei 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 eine nicht rein-exakte Auslander-Reiten-Folge in R-Mod. Wegen Satz 3.1.7 ist M rein-injektiv und unzerlegbar. Wegen Lemma 3.2.3 ist M neg-isoliert, und wegen der Bemerkung nach Korollar 2.1.7 muß M dann endlich präsentiert sein. Da wegen Satz 3.1.7 das rechte Endglied N ohnehin endlich präsentiert ist, liegt die ganze Folge in R-mod. Umgekehrt zeigt Lemma 3.3.2 iv., daß Auslander-Reiten-Folgen in R-mod auch Auslander-Reiten-Folgen in R-Mod sind. Das ergibt i.

Wegen der Bemerkung auf Seite 25 stimmen die Begriffe injektiv und projektiv in R-Mod und R-mod für endlich präsentierte Moduln überein. Satz 2.1.6 liefert zusammen mit Satz 3.3.3 sofort, daß es zu nicht injektivem unzerlegbaren M in R-mod eine Auslander-Reiten-Folge mit linkem Endterm M gibt; die umgekehrte Richtung von iii. ist klar (siehe Lemma 3.3.2).

ii. folgt aus iii. sofort unter Verwendung der Dualität.

Ein alternativer Beweis der ersten Aussage von i. ergibt sich aus iii.: Ist 0 ⟶ M ⟶^{f} E ⟶^{g} N ⟶ 0 eine Auslander-Reiten-Folge mit endlich präsentiertem N, so gibt es eine Auslander-Reiten-Folge in R-mod mit rechtem Endterm N (wegen iii.); diese ist wegen der zweiten Aussage von i. Auslander-Reiten-Folge in R-Mod. Wegen der Eindeutigkeit muß also M in R-mod liegen.

3.4. ARTIN-ALGEBREN 73

Einen alternativen Beweis von iii. erhält man entweder mit Satz 3.2.1 (denn wegen i. muß die Folge in R-mod liegen) oder auch mit Satz 3.3.5.

Interpretierbarkeit (Präliminarien. Teil II)

Dies Kapitel enthält im wesentlichen abstract nonsense, wichtig für die Entscheidbarkeitsresultate in Kapitel 6 und die Beschreibung des Ziegler-Spektrums in Kapitel 8. Abschnitt 4.1 beinhaltet unter anderem die Definition der für das Folgende so wichtigen pp-Äquivalenz und das wichtigste Resultat dazu, Satz 4.1.7. In 4.2 fasse ich kurz das Notwendigste zu Coxeter-Funktoren zusammen; Satz 4.2.4 läßt ihre Bedeutung bereits erahnen und stellt den Zusammenhang mit Abschnitt 4.1 her.

Die Ergebnisse in Abschnitt 4.1 sind wohl neu. Ihre Beweise sind einfach; als wichtig für den Rest der Arbeit erweisen sich aber die, wie mir scheint, “richtigen” Definitionen der dort eingeführten Begriffe. Abschnitt 4.2 ist zu großen Teilen wahrscheinlich bekannt, zumindest für endlichdimensionale Moduln.

4.1 pp-Funktoren

Dieser Abschnitt enthält neben pp-Versionen der sich um den Begriff der Interpretierbarkeit drehenden Definitionen und Sätze aus [AZ 86] das Konzept des pp-Funktors und der pp-Äquivalenz – für die folgenden Untersuchungen zu Entscheidbarkeit bzw. Topologie des Ziegler-Spektrums zahmer Köcheralgebren in Kapitel 6 bzw. Kapitel 8 ganz grundlegend. Wichtigstes Ergebnis ist hier Satz 4.1.7; interessant ist wohl auch Satz 4.1.8. Alle Definitionen und Sätze dieses Teils stammen von mir.

Seien im folgenden A, B etc. abelsche Strukturen, A, B etc. Klassen abelscher Strukturen; dabei dürfen verschiedene Klassen durchaus abelsche Strukturen zu verschiedenen Sprachen enthalten: Für eine recht ausführliche Diskussion abelscher Strukturen, insbesondere den Zusammenhang mit Moduln (der es erlaubt, für Moduln eingeführte Begriffe auch hier zu verwenden), vergleiche man etwa den Artikel [KP 92]; wie in dieser Arbeit sei eine abelsche Struktur eine mehrsortige Struktur, so daß gilt:

i. Jede Sorte trägt die Struktur einer abelschen Gruppe;

ii. jede Funktion ist ein Gruppenhomomorphismus eines endlichen Produkts von Sorten in eine Sorte;

iii. jede Relation ist eine Untergruppe eines endlichen Produkts von Sorten.

Die abelschen Strukturen zu einer festen Sprache bilden zusammen mit den naheliegenden Morphismen (die alle Relationen und Funktionen der Sprache respektieren, insbesondere also die Gruppenstrukturen der Sorten) eine Kategorie. Die für Moduln entwickelte Theorie aus [Zie 84] und [Pre 88] überträgt sich auf abelsche Strukturen (auch dafür siehe etwa [KP 92]); insbesondere ist es sinnvoll, von pp-Typen, Hüllen etc. zu reden. Davon werde ich im folgenden kommentarlos Gebrauch machen.

Um die Notation nicht übermäßig kompliziert werden zu lassen, werde ich für eine pp-Formel φ aber einfach φ(A) schreiben, ohne die gesorteten Variablen (die Sorten) zu kennzeichnen; insbesondere verstehe ich unter einer pp-Untergruppe von A eine Untergruppe der Form φ(A) von einem geeigneten Produkt von Sorten von A, wobei φ eine pp-Formel mit entsprechend gesorteten Variablen ist. Es sollte stets klar sein, wie man dies auch ganz präzise notieren könnte – sonst siehe [KP 92] für Hilfestellung. Man beachte, daß auch Typen gesortet sind.

Die nun folgenden Definitionen sind “pp-definierbare Versionen” der entsprechenden aus [AZ 86].

Definition 4.1 B heißt pp-interpretierbar in A, wenn es eine pp-Interpre-tation f : A ⇝ B gibt; das heißt wenn es für jede Sorte M von B eine pp-definierbare Untergruppe U_{M} von A und eine Surjektion f_{M} : U_{M} → M gibt, so daß die Relation

=f_{M} := {(a, a′) ∈ U_{M}^{2} | f_{M}(a) = f_{M}(a′)}

pp-definierbar ist, und so daß weiter (statt f_{M} schreibe ich nun f) für jede (m-stellige) Relation R der Sprache von B

Rf := {(a_{1}, …, a_{m}) | B ⊧ R(f(a_{1}), …, f(a_{m}))}

pp-definierbar ist; analog für Funktionen. Dabei soll die Addition von M von der Addition in U_{M} induziert werden.

Mit anderen Worten: f_{M} : U_{M} → M ist ein Gruppenhomomorphismus mit pp-definierbarem Kern, so daß die “hochgezogenen Relationen” Rf ppdefinierbar sind; entsprechend für Funktionen.

Die Komposition zweier pp-Interpretationen definiert man analog wie in [AZ 86]; mit 1_{A} = 1 : A ⇝ A sei die identische (pp-)Interpretation bezeichnet.

Eine pp-Interpretation einer Struktur B in A wird also gegeben durch eine Kollektion von pp-Formeln.

Definition 4.2 Zwei pp-Interpretationen f, f′ : A ⇝ B heißen pp-homotop, in Zeichen f ∼ f′, falls für jede Sorte M von B die Relation

f_{M} = f′_{M} := {(a, a′) | f_{M}(a) = f′_{M}(a′)}

pp-definierbar (in A) ist.

A heißt pp-Retrakt von B, falls es pp-Interpretationen f : A ⇝ B und g : B ⇝ A gibt, so daß gf ∼ 1_{A} gilt. Ist zusätzlich noch fg ∼ 1_{B}, so heißen A und B pp-bi-interpretierbar.

Eine pp-Interpretation f : A ⇝ B induziert einen Morphismus End(A) → End(B), der mit End(f) bezeichnet werde. – pp-Interpretationen erhalten im allgemeinen weder Zerlegbarkeit noch Unzerlegbarkeit. Es gilt aber

Lemma 4.1.1 Seien f, f′ : A ⇝ B pp-Interpretationen.

i. Ist A rein-injektiv, so auch B.

ii. Aus f ∼ f′ folgt End(f) = End(f′).

iii. Ist A pp-Retrakt von B und B unzerlegbar, so ist auch A unzerlegbar.

iv. Sind A und B pp-bi-interpretierbar, so ist A rein-injektiv (bzw. unzerlegbar) genau dann wenn B rein-injektiv (bzw. unzerlegbar) ist.

Beweis: i. folgt, weil sich pp-Formeln der Sprache von B in pp-Formeln der Sprache von A “übersetzen” lassen, so daß man “in A über B reden” kann. ii. ist klar. Zu iii.: Nach Voraussetzung gibt es eine pp-Interpretation g : B ⇝ A, so daß gf ∼ 1_{A} gilt, wegen ii. also End(g)End(f) = 1. Ist A zerlegbar, so gibt es in End(A) ein nichttriviales Idempotentes e (siehe gegen Ende von Abschnitt 1.1); End(f)(e) ist Idempotentes in End(B) und – da es unter End(g) auf e abgebildet wird – nichttrivial. Also ist auch B zerlegbar. iv. folgt aus i. und iii.

Weil im folgenden weniger einzelne Strukturen als vielmehr Klassen abelscher Strukturen interessieren werden, hier nun

Definition 4.3 Seien A, B Klassen abelscher Strukturen. Eine Familie von pp-Interpretationen f^{A}, A ∈ A, heißt uniforme Familie von A nach B, falls jedes f^{A} eine Interpretation f^{A} : A ⇝ B eines Elementes B ∈ B in A ist, und die pp-Formeln, aus denen diese Interpretationen bestehen, für alle A ∈ A die gleichen sind.

Das nächste Lemma, dessen trivialen Beweis wir uns schenken, stellt den Zusammenhang zwischen Interpretationen und uniformen Familien her; für den Begriff der abgeschlossenen Klasse siehe nach Satz 1.1.5.

Lemma 4.1.2 Sei f : A ⇝ B eine pp-Interpretation. Dann gibt es abgeschlossene Klassen abelscher Strukturen A ∋ A und B ∋ B, so daß sich f zu einer uniformen Familie von A nach B fortsetzen läßt.

Der wichtigste Begriff für das Folgende ist der des pp-Funktors:

Lemma 4.1.3 Seien A und B Klassen abelscher Strukturen. Jede uniforme Familie von A nach B liefert auf natürliche Weise einen Funktor F : A → B.

Vor dem Beweis schnell noch

Definition 4.4 Ein Funktor wie in Lemma 4.1.3 heißt pp-Funktor.

Mit einem pp-Funktor F : A → B sei eine zugehörige (im Sinne des Lemmas eben) uniforme Familie immer mitgegeben. – Daß die Komposition geeigneter pp-Funktoren wieder ein pp-Funktor ist, ist klar. – Wegen Lemma 4.1.2 setzt sich jede pp-Interpretation f : A ⇝ B zu einem pp-Funktor F : A → B auf geeigneten abgeschlossenen Klassen A ∋ A und B ∋ B fort.

Beweis: (von Lemma 4.1.3) F (A) sei die durch die uniforme Familie in A interpretierte Struktur, f^{A} : A ⇝ F (A). Sei Φ : A → A′ ein Morphismus, M eine Sorte von F (A), M′ die entsprechende Sorte von F (A′), A, A′ ∈ A. Die uniforme Familie liefert dann Surjektionen f_{M}^{A} : U_{M} → M und f_{M′}^{A′} : U_{M′} → M′. Weil U_{M} und U_{M′} durch dieselbe pp-Formel definiert sind, induziert Φ eine Abbildung, ebenfalls mit Φ bezeichnet, Φ : U_{M} → U_{M′}. Weil = f_{M}^{A} und = f_{M′}^{A′} durch dieselbe pp-Formel gegeben werden, gibt es genau eine Abbildung F (Φ) : M → M′, so daß auf U_{M} die Abbildungen f_{M′}^{A′}Φ und F (Φ)f_{M}^{A} übereinstimmen. F (Φ) ist Morphismus, weil für alle Relationen R der Sprache von B die Relationen Rf^{A} und Rf^{A′} durch dieselbe pp-Formel bestimmt sind.

Lemma 4.1.4 Sei F : A → B pp-Funktor. Ist A entscheidbar und ist F surjektiv, dann ist auch B entscheidbar. (Es genügt natürlich, daß die Isomorphietypen von B im Bild von F vorkommen.)

Beweis: Das folgt sofort, weil sich Formeln der Sprache von B in entsprechende derjenigen von A übersetzen lassen.

Definition 4.5 Seien f : A ⇝ B und g : A ⇝ C pp-Interpretationen und Ψ : B → C ein Morphismus abelscher Strukturen (der gleichen Sprache). Ψ heißt pp-definierbar, falls – in der Notation von oben – für jede Sorte M von B, die entsprechende Sorte N von C und die zugehörige Abbildung Ψ : M → N gilt, daß die Relation {(a, a′) | a ∈ U_{M}, a′ ∈ U_{N}, Ψ(f_{M}(a)) = g_{N}(a′)} in A pp-definierbar ist.

Definition 4.6 Seien F : A → B und F′ : A → C pp-Funktoren (mit jeweils zugehörigen uniformen Familien). Eine natürliche Transformation μ : F → F′ heißt pp-Transformation, falls für jedes A ∈ A gilt, daß μ_{A} : F (A) → F′(A) pp-definierbar ist (im Sinne der vorigen Definition); dabei sollen die pp-Formeln, die die Relationen der vorigen Definition definieren, nicht von A abhängen.

Lemma 4.1.5 Seien f : A ⇝ B und g : A ⇝ C pp-Interpretationen und μ : B → C ein pp-definierbarer Morphismus, seien A, B und C abgeschlossene Klassen gemäß Lemma 4.1.2, so daß F : A → B bzw. G : A → C pp-Funktoren sind, die f bzw. g fortsetzen. Dann gibt es abgeschlossene Klassen A′ ⊆ A, B′ ⊆ B, C′ ⊆ C, so daß sich μ zu einer pp-Transformation F′ → G′ fortsetzt, wobei F′ : A′ → B′ bzw. G′ : A′ → C′ die Einschränkungen von F bzw. G sind. Zusatz: Gilt μ = σν auf B (für gewisse pp-definierbare Morphismen σ und ν), so gilt auf geeigneten abgeschlossenen Klassen die entsprechende Gleichung für die diese Morphismen fortsetzenden pp-Transformationen.

Beweis: Klar.

Definition 4.7 Ein pp-Isomorphismus ist ein natürlicher Isomorphismus, der eine pp-Transformation ist. Eine pp-Äquivalenz (zwischen Klassen A → B) ist ein pp-Funktor F : A → B, so daß es einen pp-Funktor G : B → A gibt, mit F G pp-isomorph zu 1_{B} (dem identischen Funktor auf B) und GF pp-isomorph zu 1_{A}. Ein solches Paar von Funktoren F und G heißt Paar von pp-Äquivalenzen.

Aus Lemma 4.1.5 ergibt sich

Lemma 4.1.6 Sind A und B vermöge f : A ⇝ B und g : B ⇝ A pp-bi-interpretierbar, so gibt es geeignete abgeschlossene Klassen abelscher Strukturen A ∋ A und B ∋ B, so daß sich f und g zu einem Paar von pp-Äqui-valenzen F : A → B und G : B → A fortsetzen.

Satz 4.1.7 Sei F : A → B pp-Äquivalenz, sei G : B → A so, daß GF und F G pp-isomorph zu 1 sind. Dann erhalten F und G (Un-)Zerlegbarkeit und Rein-Injektivität. A ist genau dann entscheidbar, wenn B entscheidbar ist. F und G induzieren Homöomorphismen der entsprechenden Ziegler-Spektra.

Beweis: Bis auf die letzte Behauptung folgt alles aus Lemma 4.1.1 (bzw. ganz analog dem Beweis von iii. dort) und Lemma 4.1.4. Aber daß ein Homöomorphismus induziert wird, folgt sofort aus der nächsten Überlegung, die zeigt, daß die Topologie des Ziegler-Spektrums nicht feiner wird, wenn man als basis-offene Mengen (φ/ψ) zuläßt, die auch in einer Sorte mehrere freie Variablen haben dürfen. Um Schreibarbeit zu sparen, hier nur das Argument für eine einsortige Struktur:

Sei U ∈ (φ(x, y)/ψ(x, y)), ohne Einschränkung sei ⊢ ψ → φ. Es gibt also (a, b) ∈ U mit U ⊧ φ(a, b) ∧ ¬ψ(a, b). Gilt U ⊧ ¬∃yψ(a, y), so sei φ′(x) ≡ ∃yφ(x, y), ψ′(x) ≡ ∃yψ(x, y). Dann gilt U ∈ (φ′/ψ′) und (φ′/ψ′) ⊆ (φ/ψ). Gilt aber U ⊧ ∃yψ(a, y), etwa U ⊧ ψ(a, c), so folgt zunächst U ⊧ ¬ψ(0, b − c). Wegen ⊢ ψ → φ ergibt sich auch U ⊧ φ(a, c), also U ⊧ φ(0, b−c). Somit bezeugt b − c, daß U ∈ (φ(0, y)/ψ(0, y)), und (φ(0, y)/ψ(0, y)) ⊆ (φ/ψ) ist klar.

Von dem folgenden Satz werden wir zwar keinen Gebrauch machen, er ist aber wohl mitteilenswert; außerdem hat er mit Satz 6.1.4 eine “effektive” Version.

Satz 4.1.8 Seien R und S Morita-äquivalente Ringe. Dann sind ihre Modulkategorien pp-äquivalent. Insbesondere haben R und S homöomorphe Ziegler-Spektra.

Beweis: Das folgt aus den Überlegungen [Pre 88, Seite 335-336], wenn man die Effektivitätsbetrachtungen außer acht läßt. Die Aussage über die Spektra folgt dann mit Satz 4.1.7.

Die meisten Funktoren, die im folgenden vorkommen werden (etwa in Kapitel 5), sind (zwischen geeigneten, meist endlich axiomatisierbaren Klassen von Moduln) pp-Äquivalenzen; was Entscheidbarkeit bzw. Topologie des Ziegler-Spektrums anlangt, sind sie damit wegen Satz 4.1.7 so schön wie nur irgend möglich. – Außerdem erhalten sie sogar Endlichdimensionalität, wie aus ihren Definitionen jeweils unmittelbar ersichtlich sein wird. Alternativ hätte man auch so vorgehen können: Formuliert man die Begriffe “pp-Äquivalenz” etc. etwas anders, nämlich nur für Köcherdarstellungen bei festem Körper k (also A eine Klasse von Köcherdarstellungen zu einem festen Köcher, analog B etc.), dann würde sogar allgemein gelten, daß pp-Äquivalenzen in diesem modifizierten Sinn Endlichdimensionalität erhalten. Und für die späteren Anwendungen (in Kapitel 6 und 8 zum Beispiel) hätte dies etwas weniger allgemeine Konzept selbstverständlich auch genügt.

Für den Rest dieser Arbeit vereinbaren wir noch folgende nützliche

Sprechweise: Sind A_{i}, 1 ≤ i ≤ n und B Klassen abelscher Strukturen wie eben und R eine Menge von rein-injektiven Unzerlegbaren aus B, so bedeute

Jedes (bzw.: Fast jedes) Unzerlegbare aus R ist eines aus einem der A_{i}, 1 ≤ i ≤ n.

daß R (bzw. R bis auf endlich viele Unzerlegbare) enthalten ist in der Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Teilmengen des Ziegler-Spektrums von B, so daß die jeweils zugehörige Klasse abelscher Strukturen endlich axiomatisierbar ist und pp-äquivalent zu einer endlich axiomatisierbaren Teilklasse A′_{i} eines der A_{i}. Dabei sollen die die pp-Äquivalenz vermittelnden pp-Formeln effektiv gegeben sein; und die zu A′_{i} gehörende Teilmenge des Ziegler-Spektrums möge koendlich in der zu A_{i} gehörenden sein. (“Koendlichkeit” wird nicht gebraucht; für die richtige Vorstellung dieses Begriffs ist sie aber ganz nützlich.) – Gelegentlich verwende ich diese Sprechweise auch für beliebige, nicht notwendig rein-injektive, Unzerlegbare.

Mit dieser Sprechweise gilt dann etwa (wegen einer leichten Verallgemeinerung von Lemma 4.1.4): Sind die A_{i}, 1 ≤ i ≤ n, B und R wie eben, so daß jedes Unzerlegbare aus R eines aus einem der A_{i} ist, sind weiter die A_{i}, 1 ≤ i ≤ n, entscheidbar, dann ist auch die R entsprechende Modultheorie entscheidbar.

4.2 Coxeter-Funktoren

Hier untersuche ich Coxeterfunktoren, wobei die Darlegung, anders als in der Literatur, nicht auf endlichdimensionale Moduln beschränkt ist. Die meisten Ergebnisse sind für endlichdimensionale Moduln bekannt; neu sind die hier gegebenen allgemeineren Versionen, und neu ist vor allem Satz 4.2.4 ii., der in Verbindung mit Satz 4.1.7 aus dem vorigen Abschnitt ein ganz wesentliches Hilfsmittel sein wird.

Einige Informationen zu Köcheralgebren finden sich bereits in Abschnitt 1.6; insbesondere sei die Notation wie dort. Sei α ∈ E eine Ecke des Köchers Δ; mit αΔ sei der Köcher bezeichnet (mit der gleichen Eckenmenge E; seine Kantenmenge sei αK benannt), der aus Δ durch Umorientieren aller (gerichteten) Kanten, die in α enden oder beginnen, entsteht. (Diese Operation heiße Spiegelung an der Ecke α.) α heißt Quelle (bzw. Ziel), falls jede Kante durch α in α beginnt (bzw. endet). Es ist klar, daß es genau dann eine (nicht eindeutige) Aufzählung der Ecken von Δ gibt, α_{1}, …, α_{n}, so daß α_{i} für alle i Ziel (bzw. für alle i Quelle) in α_{i−1} … α_{1}Δ ist, falls Δ keine orientierten Zyklen hat. Ebenso klar ist: Seien Δ und Δ′ zwei endliche Köcher, deren zugrundeliegende ungerichtete Graphen gleich und ohne Zyklen (also Baum) sind. Dann gibt es eine Komposition von Spiegelungen, die Δ in Δ′ überführt.

Eine Darstellung (M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K}, deren zugrundeliegender Köcher zusammenhängender Baum ist, nur ein Ziel α_{0} besitzt und deren f_{k} alle injektiv sind, ist selbstverständlich isomorph zu der Darstellung (M′_{β}, ι_{k})_{β∈E,k∈K}, wobei M′_{α_{0}} = M_{α_{0}}, M′_{α} das Bild von M_{α} in M′_{α_{0}} unter der eindeutig bestimmten Komposition von Abbildungen f_{k} sei, die von M_{α} nach M_{α_{0}} geht, und wobei die ι_{k} die Inklusionen sind. Eine solche Darstellung heiße Unterraumsystem. Mehr noch: Ist Δ ein Köcher wie eben, dann hat man eine pp-Äquivalenz zwischen den Darstellungen (M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} mit allen f_{k} injektiv und den entsprechenden Unterraumsystemen. – In den Kapiteln 5 und 8 werden fast ausschließlich Unterraumsysteme untersucht.

Definition 4.8

i. Sei α Ziel. C_{α}^{+} sei der Funktor von k[Δ]-Mod nach k[αΔ]-Mod, auf Objekten definiert durch

C_{α}^{+}(M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} := (N_{β}, g_{l})_{β∈E,l∈αK}.

Dabei seien N_{β} = M_{β} für β ≠ α; seien k_{i} = (β_{i}, α) die Kanten in α, dann

N_{α} := ker(⊕M_{β_{i}} → M_{α}),

g_{k} := f_{k} für k ∉ {k_{i}} und g_{k_{i}} die Projektion auf M_{β_{i}}. – Auf Morphismen sei C_{α}^{+} auf die naheliegende Weise definiert.

ii. Sei α Quelle. C_{α}^{−} sei der Funktor von k[Δ]-Mod nach k[αΔ]-Mod, definiert durch

C_{α}^{−}(M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} := (N_{β}, g_{l})_{β∈E,l∈αK}.

Dabei seien wieder N_{β} = M_{β} für β ≠ α; seien entsprechend k_{i} = (α, β_{i}) die Kanten in α, dann

N_{α} := ⊕M_{β_{i}}/im(M_{α} → ⊕M_{β_{i}}),

g_{k} := f_{k} für k ∉ {k_{i}} und g_{k_{i}} die durch Inklusion in ⊕M_{β_{j}} induzierte Abbildung. – Auf Morphismen sei C_{α}^{−} wieder ganz naheliegend.

C_{α}^{+} und C_{α}^{−} heißen Spiegelungsfunktoren.

Es ist klar, daß C_{α}^{+} und C_{α}^{−} in der Tat Funktoren sind: C_{α}^{+} linksexakt und C_{α}^{−} rechtsexakt.

Für das nächste Lemma sei noch an noch eine Bezeichnung erinnert: Für jede Ecke α ist M^{α} die einfache Darstellung von Δ, mit M_{α} = k und M_{β} = 0 für β ≠ α, mit allen f_{l} = 0.

Lemma 4.2.1 Δ sei endlicher Köcher.

i. Sei α Ziel, M eine Darstellung beliebiger Dimension. Dann gibt es einen Monomorphismus

C_{α}^{−}C_{α}^{+}(M) → M,

der genau dann nicht surjektiv ist, wenn M eine Kopie von M^{α} als direkten Summanden enthält. Ist M unzerlegbar, so ist entweder auch C_{α}^{+}(M) unzerlegbar (als Darstellung über αΔ) und dann C_{α}^{−}C_{α}^{+}(M) ≃ M, oder M = M^{α} (und C_{α}^{+}(M) = 0).

ii. Sei α Quelle, M wieder eine Darstellung beliebiger Dimension. Dann gibt es einen Epimorphismus

M → C_{α}^{+}C_{α}^{−}(M),

der genau dann nicht injektiv ist, wenn M eine Kopie von M^{α} als direkten Summanden enthält. Ist M unzerlegbar, so ist entweder auch C_{α}^{−}(M) unzerlegbar und dann C_{α}^{+}C_{α}^{−}(M) ≃ M, oder M = M^{α} (und dann C_{α}^{−}(M) = 0).

Beweis: Die in i. bzw. ii. angegebenen Morphismen sind die ganz naheliegenden; der Monomorphismus in i. etwa ist genau dann surjektiv, wenn M_{α} Summe der Bilder der M_{β_{i}} ist, wobei die β_{i} die Nachbarn des Ziels α seien. Ist dies nicht der Fall, so spaltet offenbar eine Kopie von M^{α} ab. Der Rest ist klar (oder folgt aus den Überlegungen in Abschnitt 4.1).

Lemma 4.2.1 und die Form der Morphismen im Lemma zeigen, daß die pp-Funktoren C_{α}^{−} : im(C_{α}^{+}) → im(C_{α}^{−}) und C_{α}^{+} : im(C_{α}^{−}) → im(C_{α}^{+}) ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen den Klassen im(C_{α}^{−}) und im(C_{α}^{+}) sind. Von diesem Ergebnis machen wir direkt keinen Gebrauch; wichtig sind aber die Anwendungen in Satz 4.2.4 und im nächsten Lemma. – Man beachte für das nächste Lemma die Sprechweise von Seite 80; die Behauptung des Lemmas ist sogar für beliebige Unzerlegbare wahr.

Lemma 4.2.2 Δ und Δ′ seien endliche Köcher mit gleichem Baum als zugrundeliegendem Graph. Dann ist fast jedes rein-injektive Unzerlegbare über Δ auch eines über Δ′.

Beweis: Wie auf Seite 81 ausgeführt, gibt es eine Komposition von Spiegelungen, die Δ in Δ′ überführt; die entsprechende Komposition von Spiegelungsfunktoren liefert die gewünschte pp-Äquivalenz.

Der Beweis zeigt für die in Kapitel 5 im Detail untersuchten Euklidischen Köcher – mit Ausnahme von Ã_{n} – sogar etwas mehr:

Lemma 4.2.3 Δ und Δ′ seien Köcher der Form D̃_{n}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}, mit gleichem zugrundeliegenden ungerichteten Graph. Fast jedes rein-injektive Unzerlegbare über Δ ist eines über Δ′. Jedes reguläre oder unendlichdimensionale Unzerlegbare über Δ ist eines über Δ′.

Diese beiden Lemmata sind der Grund, warum es in Kapitel 5 genügt, die Euklidischen Köcher D̃_{n}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} mit einer fest gewählten Orientierung zu betrachten.

Definition 4.9 Sei Δ endlicher Köcher ohne gerichtete Zyklen.

i. Sei α_{1}, …, α_{n} (siehe Seite 81) eine Aufzählung der Ecken von Δ, so daß α_{i} Ziel in α_{i−1} … α_{1}Δ ist, i ≤ n. Dann sei

C^{+} := C_{α_{n}}^{+} … C_{α_{1}}^{+}.

ii. Ist entsprechend α_{1}, …, α_{n} eine Aufzählung der Ecken, so daß für i ≤ n α_{i} Quelle in α_{i−1} … α_{1}Δ ist, so sei

C^{−} := C_{α_{n}}^{−} … C_{α_{1}}^{−}.

C^{+} und C^{−} heißen Coxeter-Funktoren .

Man beachte, daß C^{+} wohldefiniert ist: Sind nämlich α_{1} ≠ α_{2} Ziele in Δ, so sind sie nicht benachbart, daher ist α_{1} Ziel in α_{2}Δ und umgekehrt. Somit gilt α_{1}α_{2}Δ = α_{2}α_{1}Δ und C_{α_{1}}^{+}C_{α_{2}}^{+} = C_{α_{2}}^{+}C_{α_{1}}^{+} – wie sofort aus der Definition folgt. Analog für C^{−}.

Satz 4.2.4 Δ sei endlicher Köcher ohne gerichtete Zyklen.

i. C^{−} : im(C^{+}) → im(C^{−}) und C^{+} : im(C^{−}) → im(C^{+}) sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen den abgeschlossenen, endlich axiomatisierbaren Klassen im(C^{−}) und im(C^{+}). ii. Die von C^{−} und C^{+} induzierten Homöomorphismen der Ziegler-Spek-

tra haben koendliche, offen-abgeschlossene Bilder; das Komplement des Bildes besteht jeweils nur aus endlichdimensionalen Unzerlegbaren und hat die diskrete Topologie.

iii. C^{−} ist rechtsexakt, C^{+} linksexakt.

iv. C^{+} und τ – siehe Abschnitt 1.6 – (bzw. C^{−} und τ^{−1}) sind natürlich isomorph. C^{+} und C^{−} erhalten Defekt.

Beweis: Mit Lemma 4.2.1 (und Satz 4.1.7) folgen i. und ii.; man beachte die Überlegung unmittelbar vor dem Satz, sowie Sätze 2.1.5, 2.1.6. Punkt iii. ist klar aus der Definition. Zu Punkt iv.: Daß C^{+} und τ natürlich isomorph sind, steht in [Gab 80, Section 5.5]. Da τ Defekt erhält (siehe unmittelbar vor der Behauptung von Seite 36), gilt dies auch für C^{+}.

Moduln über zahmen Köcheralgebren

Dies Kapitel ist algebraischer Natur; es stellt die wesentlichsten Informationen zu endlichdimensionalen Unzerlegbaren über k[Δ] bereit, Δ einer der Euklidischen Köcher. Dabei bediene ich mich der Vorarbeiten von Donovan/Freislich, Dlab/Ringel und Nazarova ([DF 73], [DR 76] und [Naz 73]), die die endlichdimensionalen Unzerlegbaren über diesen Algebren bestimmt haben. Ich folge, auch in der Notation – selbst wenn diese gelegentlich als recht unglücklich gewählt bezeichnet werden muß – der Arbeit [DF 73], vereinfache und berichtige aber das dortige Vorgehen; zum Beispiel komme ich mit weniger Funktoren aus. Außerdem bemühe ich mich, ähnlich wie bereits in Abschnitt 4.2, möglichst viel für beliebige, nicht notwendig endlichdimensionale, Unzerlegbare zu zeigen (siehe etwa Lemmata 5.3.5, 5.3.3 und ihre Entsprechungen über den anderen Euklidischen Köchern), auch wenn der entscheidende Schritt vom Endlichdimensionalen zum Unendlichdimensionalen erst später mit Hilfe von Satz 2.2.1 vollzogen werden wird; siehe Abschnitt 6.2.

Da sich mit Ausnahme des ersten alle Abschnitte sehr ähnlich sind, verzichte ich auf gesonderte abschnittsweise Inhaltsangaben; hier eine Zusammenfassung des Inhalts: 5.1 enthält eine Beschreibung der (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren über Ã_{n} (Korollar 5.1.3, sowie Lemma 5.1.5 und Lemma 5.1.6); diese Ergebnisse sind nicht neu. Neu ist dagegen Lemma 5.1.8, eine Variante des wohl folkoristischen und für das weitere zwar nicht unbedingt erforderlichen, aber doch interessanten Lemmas 5.1.7. Es gibt für gewisse unendlichdimensionale Unzerlegbare U Axiomatisierungen eines zugehörigen unzerlegbaren Typs p (das heißt U = H(p)) modulo einer geeigneten abgeschlossenen Teilmenge des Ziegler-Spektrums an. Dieses Ergebnis spielt bei der Bestimmung des Ziegler-Spektrums in Kapitel 8 eine ganz wichtige Rolle (siehe Korollare 8.4.3 bis 8.4.5 und 8.5.4). – Es sei zu diesem Abschnitt noch bemerkt, daß die Coxeter-Funktoren für Ã_{n} in [DF 73] nicht korrekt angegeben sind.

Der Rest des Kapitels, das heißt die Abschnitte 5.2 bis 5.5, betrifft – abgesehen von ein paar Bemerkungen zu D̃_{n} zu Beginn von Abschnitt 5.2 – die Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8}, jeweils mit einer fest gewählten Orientierung, der sogenannten Standardorientierung. Diese vier Abschnitte enthalten stets zunächst konkrete Formeln für die Coxeter-Funktoren und den Defekt für die Standardorientierung (Tatsachen 5.2.2, 5.3.1, 5.4.1 und 5.5.1); daß es für das weitere genügt, nur jeweils eine Orientierung, etwa diese Standardorientierung, zu betrachten, liegt – wie sich erweisen wird – an Lemma 4.2.3. Die Formeln für die Coxeter-Funktoren (jeweils Teil i. dieser Tatsachen) rechnet man leicht aus (oder siehe [DF 73]); Teil ii. ist jeweils aus [DF 73]. (Definiert man Defekt allgemein – worauf ich in dieser Arbeit verzichte – dann sind auch die Formeln für den Defekt nicht schwer zu verifizieren; die ebenfalls jeweils in Teil ii. enthaltenen Schranken für den Defekt Unzerlegbarer folgen einfach aus den Listen der endlichdimensionalen Unzerlegbaren in [DF 73]. Siehe aber auch [Rin 84, 1.0 Two Theorems of Ovsienko].) Dann wird jeweils eine Standardnotation für Moduln über der gerade betrachteten Köcheralgebra festgelegt, nach [DF 73]. Es folgt jeweils ein für endlichdimensionale Unzerlegbare wahrscheinlich bekanntes Lemma (Lemmata 5.2.3, 5.3.2, 5.4.2, 5.5.2), das zeigt, daß in fast allen Unzerlegbaren gewisse Gleichungen gelten. (Rein-Injektivität der Unzerlegbaren wird in diesem Lemma nicht benutzt.) Unter anderem wird dieses Lemma es jeweils erlauben, nur Unterraumsysteme zu betrachten. Die jeweils beiden nächsten Lemmata (Lemma 5.2.4 und 5.2.7, 5.3.3 und 5.3.5 (bzw. 5.3.6), 5.4.3 und 5.4.5, sowie 5.5.3 und 5.5.6) erklären, wie sich gewisse Gleichungen unter bestimmten Funktoren (zum Beispiel den Coxeter-Funktoren) verhalten. Die Bedeutung dieser Lemmata wird erst in Kapitel 8 klar werden (siehe dort etwa Lemma 8.3.1 und die Überlegungen unmittelbar davor und danach). Diese Lemmata sind für endlichdimensionale Unzerlegbare über D̃_{4} und Ẽ_{6} ohne Beweis in [DF 73] zu finden, für solche über Ẽ_{7} und Ẽ_{8} nur teilweise; ähnliche – aber andere – Gleichungen sind auch in [DR 76], allerdings in anderem Zusammenhang. Die Funktoren D, S, T, S_{7}, T_{7} und S_{1} sind aus [DF 73], ihre “gestrichten” Versionen D′, S′, T′, S′_{7}, T′_{7} und S′_{1} (mit denen sie jeweils, für geeignete Klassen von Köcherdarstellungen, ein Paar von pp-Äquivalenzen bilden) habe ich ausgerechnet. Beweise sind nicht immer ausgeführt, da die trivialen Rechnungen einander sehr ähnlich sind. Vollständige Beweise gebe ich allerdings in den Fällen Ã_{n}, D̃_{4} und im kompliziertesten Fall, im Fall des Köchers Ẽ_{8}. Die meisten der (Lemmata und) Beweise dieses Kapitels haben zwei Teile: Den zweiten erhält man aus dem ersten, indem man “injektiv” durch “surjektiv”, “direkt” durch “Summe” etc. ersetzt. Meist könnte man mit einem Dualitätsargument wie im Beweis von Lemma 8.3.5 die eine Hälfte auf die andere zurückführen. Es sei noch an die Sprechweise von Seite 80 erinnert, derer wir uns im folgenden ständig bedienen werden. – Und hier noch eine Reihe von Vereinbarungen:

5.1. k[Ã_{n}], n ≥ 0 89

Vereinbarung: a. Vektorräume werden mit großen lateinischen Buchstaben, ihre k-Dimension mit dem entsprechenden kleinen Buchstaben bezeichnet. e∪f sei die Dimension dim(E+F) (bzw. e∩f entsprechend dim(E∩F)) für Unterräume E und F eines gemeinsamen Vektorraumes. b. Im folgenden werden mehrere pp-Funktoren definiert; dabei beschränke ich mich darauf, die Wirkung auf Objekten – Moduln bzw. Köcherdarstellungen – anzugeben: Die Wirkung auf Morphismen ist stets die naheliegende, wenn nichts anderes gesagt wird. c. Ist M = (M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} eine Darstellung eines Köchers Δ, dann schreibe ich für die Darstellung C^{+}M von Δ meist (M_{β}^{+}, f_{k}^{+})_{β∈E,k∈K}; entsprechend für C^{−}M. Gelegentlich lasse ich die “^{+}” bzw. “^{−}” aber auch weg, etwa in Lemma 5.3.3: Dann fasse ich die M_{β} als pp-Formeln auf; mit anderen Worten: M_{β}(C^{+}M) = M_{β}^{+}. d. Ein (∗) hinter dem Wort “Lemma”, “Satz” etc. bedeute, daß die folgende Behauptung für alle rein-injektiven Unzerlegbaren zutrifft (und sinnvoll ist!), bis auf endlich viele endlichdimensionale Unzerlegbare von Defekt ungleich Null, bzw. – gleichbedeutend – daß die Aussage für Moduln wahr (und sinnvoll) ist, die gewisse, endlich viele, endlichdimensionale Unzerlegbare von Defekt ungleich Null nicht als direkte Summanden enthalten. Mit anderen Worten: Es gibt eine koendliche offen-abgeschlossene Menge im Ziegler-Spektrum (wegen der Sätze 2.1.6, 2.1.5), deren Komplement nur Punkte von Defekt ungleich Null enthält, und deren zugehörige endlich axiomatisierbare Theorie stillschweigend vorausgesetzt wird. Die Ausnahme-Unzerlegbaren bzw. die Theorie werden zwar nicht näher spezifiziert – da sie für unsere Überlegungen keine Rolle spielen werden –, könnten jeweils aber leicht ermittelt werden: es wird meist nur benutzt, daß alle betrachteten Darstellungen die Bedingungen im jeweils mit ∗ (ohne Klammern!) gekennzeichneten Lemma (Lemmata 5.2.3, 5.3.2, 5.4.2 und 5.5.2) erfüllen.

Vereinbarung d. gestattet es uns zum Beispiel, wie sich zeigen wird, fast durchgängig anzunehmen, alle betrachteten Moduln seien Unterraumsysteme; auch bei der Formulierung der mit einem ∗ versehenen Lemmata wird dies übrigens schon getan. – Unter (∗) gilt zum Beispiel: Seien Δ und Δ′ endliche Köcher mit gleichem Baum als zugrundeliegendem Graph. Dann sind rein-injektive Unzerlegbare über Δ Darstellungen über Δ′ (wegen Lemma 4.2.2).

5.1 k[Ã_{n}], n ≥ 0

Der Fall n = 0 (das heißt k[X]) ist nicht ausgeschlossen; mehr noch: es sind zyklische Orientierungen zugelassen. Daher sind in diesem Abschnitt Algebren zunächst nicht unbedingt endlichdimensional.

Bei Darstellungen M = (M_{β}, f_{k})_{β∈E,k∈K} des Köchers Ã_{n} (mit beliebiger Orientierung) ist die Eckenmenge E im allgemeinen E = {1, …, n+1}; statt M_{i} schreibe ich meist W_{i}, später auch A_{i}. Die Kante von Ecke i zu Ecke j sei e_{i,j}.

Lemma 5.1.1 zeigt, wie sich später erweisen wird, daß es für das Weitere genügt, den Fall n = 2m − 1 zusammen mit einer festen Orientierung zu untersuchen; Ã_{2m−1}, m ≥ 1, sei, falls nichts anderes gesagt wird, stets mit dieser sogenannten alternierenden Orientierung und den folgenden Bezeichnungen versehen: Die Ecken seien (im Uhrzeigersinn) 1, 2, …, 2m, die Kanten seien: im Uhrzeigersinn e_{2,3}, e_{4,5}, …, e_{2m,1} und gegen den Uhrzeigersinn e_{2,1}, e_{4,3}, …, e_{2m,2m−1}, so daß also die ungeradzahligen Ecken Ziel, die geradzahligen Quelle sind. Insbesondere werden die Fälle m = 1, 2, 3 eine herausragende Rolle spielen (wobei sich zeigt, daß auf m = 2, 3 auch hätte verzichtet werden können). Darstellungen dieser Köcher schreibe ich meist als

[figure: W_{2}; W_{1}; f; g]

im Fall m = 1 (Diese Darstellungen, bzw. die ihnen entsprechenden Moduln, heißen Kronecker-Moduln.); bzw. als

[figure: W_{3}; W_{1}; W_{2}; W_{4}]

im Fall m = 2 und als

[figure: W_{4}; W_{1}; W_{3}; W_{5}; W_{6}; W_{2}]

für m = 3. Im Falle dieser alternierenden Orientierung gilt für den Defekt δ:

δ(M) = ∑_{i gerade} w_{i} − ∑_{i ungerade} w_{i}.

Mit der Sprechweise von Seite 80 hat man

Lemma 5.1.1 Sei n ≥ 0 beliebig, m > n. Ã_{n} sei beliebig orientiert, und k[Ã_{2m−1}] sei mit der alternierenden Orientierung versehen. Dann ist jedes rein-injektive Unzerlegbare über k[Ã_{n}] eines über k[Ã_{2m−1}].

Weder Unzerlegbarkeit noch Rein-Injektivität werden benutzt.

Beweis: Durch Einfügen neuer gerichteter Kanten (Isomorphismen), genauer: Ã_{2m−1} hat – da m > n – mindestens doppelt so viele Ecken wie Ã_{n}. Die Ecken von Ã_{n} seien mit 1, 2, …, n+1 numeriert, 1, 2, …, i−1 seien Quellen oder Ziele, sei etwa Ã_{n} wie

… ← i − 1 → i → i + 1 …

orientiert, i also die erste Ecke, die nicht Quelle oder Ziel ist. Dann betrachte Ã_{n+1} mit der Orientierung

… ← i − 1 → i ← i′ → i + 1 …

und den Funktor, der eine Darstellung von Ã_{n}

… ← W_{i−1} → W_{i} → W_{i+1} …

auf die Ã_{n+1}-Darstellung

… ← W_{i−1} → W_{i} ←^{=} W_{i} = W_{i′} → W_{i+1} …

wirft. Es ist klar, daß man so die gewünschten pp-Äquivalenzen erhält.

Lemma 5.1.2 In endlichdimensionalen Unzerlegbaren über k[Ã_{n}] sind höchstens zwei der e_{i,j} keine Isomorphismen.

Beweis: Wegen des eben gezeigten Lemmas genügt es die Behauptung für k[Ã_{2m−1}] zu zeigen; das ist in [DF 73] ausgeführt.

Definition 5.1 Darstellungen von Ã_{n−1} mit der zyklischen Orientierung heißen n-Zyklen.

Auch bei n-Zyklen M verwenden wir zunächst die obige Standardnotation, das heißt die Ecken sind 1, 2, …, n, die gerichteten Kanten (i, i+1) (modulo n), die Vektorräume sind mit W_{i} bezeichnet, 1 ≤ i ≤ n, und die Morphismen mit e_{i,i+1} für i < n und e_{n,1}, kurz mit e_{i,i+1} (modulo n). Entsprechend W′_{i} für M′ etc. Später, in Kapiteln 8 und 9, allerdings auch, um Schreibarbeit zu sparen: A_{i} statt W_{i}, mit Funktionen f_{i} : A_{i} → A_{i+1}. – Mit der Definition eben können wir – wieder mit der Sprechweise von Seite 80 – wegen Lemma 5.1.2 formulieren:

Korollar 5.1.3 Jedes endlichdimensionale Unzerlegbare über Ã_{n} ist ein Kronecker-Modul oder ein 2-Zyklus.

Tatsächlich gilt das Korollar – das vorangehende Lemma ebenso – auch für unendlichdimensionale rein-injektive Unzerlegbare; siehe Korollar 6.2.3. (Außerdem gilt, falls n ≥ 1, auch die Umkehrung des Korollars; siehe den Beweis von Lemma 5.1.1). – Insbesondere sind also endlichdimensionale Ã_{3}- Unzerlegbare Ã_{5}-Unzerlegbare und umgekehrt (und auch Ã_{1}-Unzerlegbare), so daß etwa in Definition 5.2 bzw. Definition 5.3 weiter unten auch Funktoren von k[Ã_{1}]-Mod nach k[D̃_{4}]-Mod bzw. von k[Ã_{1}]-Mod nach k[Ẽ_{6}]-Mod betrachtet werden könnten. Dies würde aber deutlich mehr Funktoren und daher auch mehr Fallunterscheidungen erfordern. – Korollar 5.1.3 legt jedenfalls eine genauere Analyse von Kronecker-Moduln und 2-Zyklen nahe (siehe Abschnitte 5.1.1 und 5.1.2); insbesondere wird diese dann eine leichte Verbesserung von Lemma 5.1.2 ergeben, die wir hier schon notieren wollen:

Korollar 5.1.4 In endlichdimensionalen k[Ã_{n}]-Unzerlegbaren sind höchstens zwei der e_{i,j} keine Isomorphismen. Liegen genau zwei Nichtisomorphismen vor, dann sind diese surjektiv oder injektiv.

Die naheliegenden pp-Äquivalenzen (siehe Beweis von Lemma 5.1.2), die Korollar 5.1.3 zeigen, erhalten auch Defekt, sofern dieser über beiden betrachteten Algebren definiert ist. (Davon überzeugt man sich im Falle von k[Ã_{2m−1}] mit der alternierenden Orientierung leicht mit Hilfe der vor Lemma 5.1.1 angegebenen Formel.)

5.1.1 Kronecker-Moduln

Wir betrachten jetzt Kronecker-Moduln. Schon Kronecker hat gezeigt (siehe etwa [Die 46]), daß endlichdimensionale Unzerlegbare wenigstens eine der folgenden vier Aussagen erfüllen:

f Isomorphismus; g Isomorphismus; f und g injektiv; f und g surjektiv.

(Endlichdimensionale) Unzerlegbare, für die einer der ersten beiden Fälle zutrifft, sind k[X]-Moduln (mit der Sprechweise von Seite 80): Im Fall “f Isomorphismus” betrachte man etwa die pp-Äquivalenz F, die einen k[X]- Modul M wirft auf

[figure: M; M; 1; X]

und die pp-Äquivalenz, die einen Kronecker-Modul,

[figure: W_{2}; W_{1},; f; g]

mit f Isomorphismus, abbildet auf W_{1} mit der Operation X := gf^{−1}. Dementsprechend heißen Unzerlegbare, für die f ein Isomorphismus ist, 𝔭adisch, bzw. Prüfer oder Q, je nachdem, ob sie unter dem eben angegebenen Funktor F Bild eines 𝔭-adischen, bzw. eines Prüfers oder Bild von k(X) sind; siehe Seite 19. Analog für die Unzerlegbaren mit g Isomorphismus: Sie sind Bild von k[X]-Unzerlegbaren unter einer analog definierten pp-Äquivalenz G. (Man überzeugt sich leicht, daß diese Definition bei Unzerlegbaren, für die sowohl f als auch g Isomorphismen sind, nicht zu Kollisionen führt; das heißt, daß ein solches Unzerlegbares Bild eines 𝔭-adischen U unter F genau dann ist, wenn es auch unter G Bild eines 𝔭-adischen, etwa U′, ist. Allerdings ist im allgemeinen U ≠ U′!). Und man sieht leicht, daß die stetigen unzerlegbaren Kronecker-Moduln gerade die der Form F (k[X]/𝔭^{n}) oder G(k[X]/𝔭^{n}) sind, 𝔭 ein maximales Ideal, das heißt genau die Bilder (unter F oder G) von endlichdimensionalen unzerlegbaren k[X]-Moduln; insbesondere sind reguläre unzerlegbare Kronecker-Moduln auch stetig. – Ganz analog geht man bei beliebig orientiertem Ã_{n} vor: Man hat für ein festes {i, j} ein offensichtliches Paar von pp-Äquivalenzen zwischen der Klasse der k[X]-Moduln und der Klasse der k[Ã_{n}]-Moduln, für die höchstens die Abbildung e_{i,j} (bzw. e_{j,i}) ein Nichtisomorphismus ist. Ein k[Ã_{n}]-Modul, für den höchstens e_{i,j} kein Isomorphismus ist, heißt dann wiederum 𝔭-adisch, bzw. Prüfer oder Q, je nachdem, ob er unter dem entsprechenden Funktor Bild eines 𝔭-adischen, bzw. Prüfers oder Bild von k(X) ist. Wie eben ist klar, daß dies wohldefiniert ist. Wegen Satz 4.1.7 ist ein solcher Modul als Bild eines rein-injektiven Unzerlegbaren unter einer pp-Äquivalenz jedenfalls rein-injektiv unzerlegbar. (Später wird sich zeigen, daß alle rein-injektiven Unzerlegbaren auf diese Weise erhalten werden können; siehe Abschnitt 6.2.). Und ist Ã_{n} nicht zyklisch orientiert, dann sind die stetigen endlichdimensionalen Unzerlegbaren, wie man leicht sieht, genau die, die unter einem der eben erwähnten Funktoren Bild eines endlichdimensionalen unzerlegbaren k[X]-Moduls sind. – Für die Bezeichnungen siehe auch Seite 172.

Die endlichdimensionalen Unzerlegbaren, in denen f und g echte Injektionen sind (die also genau die dritte Aussage von eben erfüllen), sind die Präprojektiven P_{n}, n ≥ 0, gegeben durch

W_{2}^{n} = ⟨x_{1}^{n}, …, x_{n}^{n}⟩ , W_{1}^{n} = ⟨y_{1}^{n}, …, y_{n+1}^{n}⟩

mit k-Basen x_{1}^{n}, …, x_{n}^{n} und y_{1}^{n}, …, y_{n+1}^{n}, und

f(x_{i}^{n}) = y_{i}^{n}, g(x_{i}^{n}) = y_{i+1}^{n}, i ≤ n.

Dabei sind P_{0} und P_{1} projektiv. Es ist δ(P_{n}) = −1. Dual für die Präinjektiven I_{n}, in denen f und g echte Surjektionen sind; entsprechend δ(I_{n}) = 1.

– Zusammenfassend gilt

Lemma 5.1.5 Die endlichdimensionalen Punkte des Ziegler-Spektrum von k[Ã_{1}] (mit alternierender Orientierung, also: Kronecker-Moduln) liegen in der Vereinigung von vier abgeschlossenen Mengen, A_{1}, …, A_{4}, jeweils definiert durch

A_{1}: f Isomorphismus
A_{2}: g Isomorphismus
A_{3}: f und g injektiv
A_{4}: f und g surjektiv.

Reguläre (endlichdimensionale) Unzerlegbare sind stetig und k[X]-Moduln. Für endlichdimensionale Unzerlegbare U ist δ(U) ∈ {0, −1, 1}.

5.1.2 n-Zyklen

Hier betrachten wir nun n-Zyklen. Diese spielen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung der Topologie zahmer Köcheralgebren in Kapitel 8.

Erinnert sei an die Standardnotation für n-Zyklen; für 2-Zyklen schreibe ich, vor allem in späteren Kapiteln, auch statt

[figure: W_{1}; W_{2}; e_{1,2}; e_{2,1}]

kurz nur

[figure: A_{1}; A_{2}.; f=f_{1}; g=f_{2}]

Da in den oben erwähnten Arbeiten [DF 73], [DR 76], [Naz 73] und [Rin 84] nur endlichdimensionale Algebren untersucht werden, findet man dort zwar keine Listen der endlichdimensionalen unzerlegbaren 2-Zyklen, aber Abhilfe schafft hier eine direkte Analyse im Stile der Arbeit [Die 46], die sogar etwas einfacher ist als im Falle von Kronecker-Moduln, die ich aber hier nicht vorführen werde. (Alternativ: Man beruft sich auf [GP 72] oder [GP 71]: Da man leicht 2-Zyklen in Quadrupel (siehe Abschnitt 5.2) kodieren kann, gewinnt man aus diesen Arbeiten Listen der endlichdimensionalen unzerlegbaren 2-Zyklen.) Es ergibt sich, daß in einem unzerlegbaren endlichdimensionalen 2-Zyklus mit f(= f_{1}) und g(= f_{2}) Nichtisomorphismen f surjektiv oder injektiv sind, ebenso g. Mit Hilfe von Lemma 5.1.1 und Lemma 5.1.2 erhält man, daß in einem unzerlegbaren endlichdimensionalen n-Zyklus höchstens zwei der Abbildungen Nichtisomorphismen sind, und daß bei Vorliegen von genau zwei Nichtisomorphismen diese injektiv oder surjektiv sind. (Zusammen mit Lemma 5.1.5 folgt nun Korollar 5.1.4.) – Man bekommt aber sogar mehr (mit der auf Seite 80 vereinbarten Sprechweise):

Lemma 5.1.6 Endlichdimensionale unzerlegbare n-Zyklen sind k[X]-Mo-duln.

Beweis: Zwei echte Injektionen oder zwei echte Surjektionen sind (aus Dimensionsgründen) nicht möglich. Also liegt entweder nur höchstens ein Nichtisomorphismus vor (und in diesem Fall hat man Funktoren analog den bei Kronecker-Moduln verwandten) oder eine echte Injektion und eine echte Surjektion. Sei etwa (der Einfachheit halber bei n = 2) f injektiv, g surjektiv. Dann betrachte den Funktor, der einen entsprechenden 2-Zyklus abbildet auf A_{2} mit der Operation X = fg und den Funktor, der einen k[X]-Modul M wirft auf

[figure: XM; M; 1; X]

Das ergibt ein Paar von pp-Äquivalenzen.

Man erhält also wiederum eine Überdeckung der endlichdimensionalen Punkte des Ziegler-Spektrums durch endlich viele überschaubare abgeschlossene Mengen, im Falle n = 2 etwa gegeben durch

f Isomorphismus; g Isomorphismus; f injektiv, g surjektiv; g injektiv, f surjektiv.

Für die Beschreibung der Topologie des Ziegler-Spektrums in Kapitel 8 benötigen wir noch die folgenden Überlegungen; erinnert sei an die Bezeichnungen in Unterabschnitt 5.1.1 über Kronecker-Moduln: Wir betrachten n-Zyklen M, so daß alle e_{i,i+1} : W_{i} → W_{i+1}, i ≤ n−1, und e_{n,1} : W_{n} → W_{1} injektiv sind. Rein-injektive Unzerlegbare, die diese Bedingungen erfüllen, sind zum Beispiel die 𝔭-adischen, 𝔭 ein maximales Ideal in k[X], gegeben durch – wie man leicht sieht – W_{i} = k̃[X]_{𝔭} für alle i, mit e_{i,i+1} die Identität für alle i bis auf genau ein i_{0}, und e_{i_{0},i_{0}+1} die Operation X. Es ist klar, daß es bei n-Zyklen im Gegensatz zum allgemeinen Fall Ã_{n} keine Bezeichnungsprobleme gibt: Ein Modul ist genau dann Bild des 𝔭-adischen U (über k[X]), 𝔭 ≠ (X), unter einer der n naheliegenden pp-Äquivalenzen, wenn dies für jede dieser pp-Äquivalenzen gilt. Mit anderen Worten, es gibt für 𝔭 ≠ (X) genau einen “𝔭-adischen n-Zyklus”, aber n verschiedene “(X)-adische n-Zyklen”: die Bilder von k̃[X]_{(X)}, des (X)-adischen k[X]-Unzerlegbaren, unter den n verschiedenen pp-Äquivalenzen. Für einen allgemeineren Kontext siehe wieder Seite 172 in Abschnitt 8.3.

Im Fall n = 1 (das heißt: k[X]-Moduln) ist nicht nur eine Umgebungsbasis der 𝔭-adischen bekannt (siehe Seite 20), sondern man kennt Axiomatisierungen eines entsprechenden unzerlegbaren pp-Typs (siehe für ähnliche Überlegungen [Zie 84, Lemma 5.1]):

Lemma 5.1.7 Sei 𝔭 = (p). Es gilt k̃[X]_{𝔭} = H(r) mit einem unzerlegbaren pp-Typ r = r(x), axiomatisiert durch

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0 (“torsionsfrei”),
q|x, für q (Primpotenz) mit (q, p) = 1,
p^{n+1} ∤ p^{n}x, n ≥ 1.

Natürlich gilt dieses Lemma allgemeiner für Hauptidealbereiche, sogar für Dedekind-Ringe. (Man benutzt dann [War 69, Corollary 5].) Beweis: Zunächst ist klar, daß für 1 ∈ k̃[X]_{𝔭} die Axiome gelten. Umgekehrt sei nun a aus dem rein-injektiven k[X]-Modul M ein Element, das alle Axiome erfüllt. Behauptung 1: Es gibt eine Kopie N ∋ a von k[X]_{𝔭}, N ⊆ M, so daß a gerade 1 ∈ k[X]_{𝔭} entspricht. Beweis der Behauptung: Seien x_{q} Variable, p ∤ q ∈ k[X], sei G das folgende Gleichungssystem

qx_{q} = a für alle q mit p ∤ q,
x_{q} = rx_{q′}, falls q′ = qr.

Dann ist G in M endlich erfüllbar: In einer endlichen Teilmenge von G kommen nur endlich viele Variable x_{q_{1}}, …, x_{q_{l}} vor; sei q := q_{1} · . . . · q_{l}. Es gibt also ein a_{q} ∈ M mit qa_{q} = a. Man setzt dann a_{q_{i}} = q/q_{i} · a_{q}. Also ist G erfüllbar.

Die zwischen den 1/q ∈ k[X]_{𝔭}, p ∤ q, bestehenden Gleichungen werden offenbar gerade durch G beschrieben. Daher gibt es eine Abbildung k[X]_{𝔭} ⟶ M, die 1 auf a wirft. Die Ideale von k[X]_{𝔭} (also möglichen Kerne dieser Abbildung) sind 0 und die 𝔭^{n}k[X]_{𝔭}; da p^{n}a ≠ 0, handelt es sich also um eine Einbettung. Sei N deren Bild. Das zeigt die Behauptung. – Sei nun N die eben konstruierte Kopie von k[X]_{𝔭}. Das Lemma folgt dann aus Behauptung 2: N ist rein in M. (Dann nämlich ist die reine Hülle Ñ von N, eine Kopie von k̃[X]_{𝔭}, auf die gewünschte Weise direkter Summand in M.)

Beweis der Behauptung: N ist genau dann rein in M, wenn für alle q gilt, daß qM ∩ N = qN. Aber für q mit p ∤ q ist N = qN und somit alles klar. Es bleibt also nur zu zeigen, daß p^{n}M ∩ N = p^{n}N. Sei also etwa b ∈ N und b in M durch p^{n} teilbar. Da a in M nicht durch p^{n} teilbar ist, ist a jedenfalls kein Vielfaches von b (in N), also muß – da N ein Bewertungsring ist – b Vielfaches von a in N sein, das heißt: Es gibt zu p teilerfremde r und s, so daß in N gilt b = p^{m}r/s · a. In M gilt folglich sb = p^{m}ra. Da in M aber p^{n} | b, folgt p^{n} | sb, somit p^{n} | p^{m}ra; weil p und r teilerfremd sind, ergibt sich p^{n} | p^{m}a. Nach Wahl von a ist also n ≤ m, und daher folgt aus b = p^{m}r/s · a (in N), daß b auch in N durch p^{n} teilbar ist.

Das nächste Lemma ist eine Variante von Lemma 5.1.7: Man hat eine offensichtliche pp-Äquivalenz zwischen k[X]-Mod, der Klasse aller k[X]-Moduln, und der Klasse derjenigen n-Zyklen, für die alle e_{i,j} bis auf eventuell e_{1,2} Isomorphismen sind. Sei U = H(r) der 𝔭-adische n-Zyklus aus dem folgenden Lemma 5.1.8. Da pp-Äquivalenzen offenbar erlauben, Axiomatisierungen von pp-Typen zu übertragen, beschreibt Lemma 5.1.7 – vermöge der eben erwähnten pp-Äquivalenz – also eine Axiomatisierung des zu dem 𝔭adischen U gehörenden Typs r modulo {e_{i,i+1} Isomorphismus | 1 < i ≤ n}. In 5.1.8 wird eine Axiomatisierung modulo einer ähnlichen abgeschlossenen Menge angegeben. – Für die Anwendungen von Lemma 5.1.8 in Kapitel 8 spielt die konkrete Axiomatisierung des Typs r keine Rolle: Wichtig ist allein, daß das einzige gegenüber Lemma 5.1.7 “neue” Axiom gerade x ∈ im(e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}) ist. Der Beweis von Lemma 5.1.8 zeigt auch, daß man eine Axiomatisierung des Typs r aus Lemma 5.1.8 erhält, indem man, formal, zu einer beliebigen Axiomatisierung wie im vorigen Lemma 5.1.7 das Axiom x ∈ im(e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}) hinzufügt!

Lemma 5.1.8 Sei 𝔭 ein maximales Ideal in k[X], U der 𝔭-adische n-Zyklus mit e_{1,2} = X und e_{i,i+1} = 1 für i > 1; sei für die folgenden Axiome X gleichzeitig Abkürzung für e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{1,2}, so daß also W_{1} ein k[X]-Modul wird. Dann ist U = H(r), wobei der unzerlegbare pp-Typ r = r(x) axiomatisiert wird, modulo {e_{i,i+1} injektiv | i ≤ n}, durch

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0 (“torsionsfrei”),
q|x, für q (Primpotenz) mit (q, p) = 1,
p^{n+1} ∤ p^{n}x, n ≥ 1,
x ∈ im(e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}).

Zusatz: Ist 𝔭 ≠ (X), dann ist das letzte Axiom überflüssig.

Beweis: Sei zunächst U wie in Lemma 5.1.8 und W_{1} = k̃[X]_{𝔭} der entsprechende Vektorraum (bzw. k[X]-Modul). Dann ist klar, daß auf 1 ∈ W_{1} die angegebenen Axiome zutreffen. Sei für die Umkehrung M ein rein-injektiver n-Zyklus, so daß in M alle e_{i,i+1} injektiv sind, sei a ∈ M ein Element, das die angegebenen Axiome erfüllt (insbesondere a ∈ W_{1}). W_{1} ist für X = e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{1,2} ein k[X]-Modul, mit den k[X]-Untermoduln im(e_{n,1}), …, B := im(e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}). Also wegen des letzten Axioms insbesondere a ∈ B. Die nächste Behauptung handelt von k[X]-Moduln: Behauptung: Es gibt eine Kopie N ∋ a von k[X]_{𝔭}, Ñ ⊆ B, so daß a gerade 1 ∈ k[X]_{𝔭} entspricht. Beweis der Behauptung: Wir modifizieren den Beweis des letzten Lemmas, unterscheiden aber zwei Fälle: Ist 𝔭 ≠ (X), dann findet man wie im Beweis des vorigen Lemmas eine Kopie N von k[X]_{𝔭} in W_{1}, so daß a ∈ N der 1 ∈ k[X]_{𝔭} entspricht und so daß N rein in W_{1} ist. Also ist Ñ, eine Kopie von k̃[X]_{𝔭}, wie dort auf die gewünschte Weise direkter Summand. Zusätzlich aber gilt

Ñ = X · Ñ ⊆ XW_{1} ⊆ B,

was diesen Fall beendet. (Das letzte Axiom wurde dabei gar nicht benutzt.) Es bleibt der Fall 𝔭 = (X): Hier muß N etwas vorsichtiger gewählt werden; zunächst gilt die Teilbehauptung: Für X ∤ q ist qW_{1} ∩ B = qB. Beweis der Teilbehauptung: Jedes Element in W_{1}/B wird von X annuliert; somit kann W_{1}/B keine q-Torsion haben. Und das ist die Teilbehauptung.

Wie im Beweis des vorigen Lemmas findet man nun eine Kopie N ∋ a von k[X]_{(X)}, so daß a gerade der 1 ∈ k[X]_{(X)} entspricht, und so daß – wegen der Teilbehauptung – zusätzlich N ⊆ B. Wieder wie im vorigen Lemma ist N rein in W_{1}. Nun ist also Ñ direkter Summand von W_{1}, und außerdem

Ñ = X · Ñ + N ⊆ XW_{1} + N ⊆ XW_{1} + B = B.

Das ist die Behauptung. Somit gibt es eine Zerlegung von W_{1} als k[X]-Modul in Ñ ⊕ N′, mit Ñ ⊆ B = im(e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}), Ñ eine Kopie von k̃[X]_{𝔭}. Insbesondere hat man Zerlegungen von k[X]-Moduln

im(e_{n,1}) = Ñ ⊕ (N′ ∩ im(e_{n,1})),
⋮
B = im(e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}) = Ñ ⊕ (N′ ∩ B)

5.2. k[D̃_{n}], n ≥ 4 99

und also Zerlegungen von Vektorräumen

W_{1} = Ñ ⊕ N′,
W_{n} = e_{n,1}^{−1}(im(e_{n,1})) = e_{n,1}^{−1}(Ñ) ⊕ e_{n,1}^{−1}(N′),
⋮
W_{2} = (e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3})^{−1}(Ñ) ⊕ (e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3})^{−1}(N′).

Diese Vektorraum-Zerlegungen sind mit den e_{i,i+1} verträglich. (Man beachte insbesondere, daß e_{1,2}(Ñ) ⊆ (e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3})^{−1}(Ñ), da (e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}) e_{1,2}(Ñ) = XÑ ⊆ Ñ.) Also ist M als n-Zyklus gleich M′ ⊕M′′, mit (die Vektorräume von M′ seien mit W′_{i} bezeichnet) W′_{1} = Ñ, W′_{2} = (e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3})^{−1}(Ñ), …, W′_{n} = e_{n,1}^{−1}(Ñ), analog M′′. M′ ist der gewünschte 𝔭-adische unzerlegbare n-Zyklus U, da die e′_{i,i+1} nach Wahl surjektiv, also bijektiv, sind: Nach Identifizieren erhält man das Geforderte.

Der Zusatz ist mitbewiesen worden; oder nochmals: Ist 𝔭 ≠ (X), dann ist eines der Teilbarkeitsaxiome

q|x, für q (Primpotenz und) mit (q, p) = 1

gerade “X|x”, mit anderen Worten: x ∈ im(e_{n,1}e_{n−1,n} … e_{2,3}e_{1,2}).

Sei U das Unzerlegbare aus Lemma 5.1.8, 𝔭 ≠ (X); sei für ein i_{0} (beliebig) U′ das 𝔭-adische Unzerlegbare (gleiches 𝔭!) mit e_{i_{0},i_{0}+1} = X und den übrigen e_{i,i+1} = 1, i ≠ i_{0}. Weil, wie vor Lemma 5.1.7 berichtet, U und U′ isomorph sind, hat U also auch die Form U = H(r′), wobei der unzerlegbare pp-Typ r′ = r′(x′) axiomatisiert wird, modulo {e_{i,i+1} injektiv | i ≤ n}, durch

qx′ ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0 (“torsionsfrei”),
q|x′, für q (Primpotenz) mit (q, p) = 1,
p^{n+1} ∤ p^{n}x′, n ≥ 1,
x′ ∈ im(e_{i_{0}−1,i_{0}} … e_{i_{0}+1,i_{0}+2}).

Dabei ist hier X auch Abkürzung für e_{i_{0}−1,i_{0}} … e_{i_{0}+1,i_{0}+2} e_{i_{0},i_{0}+1}.

5.2 k[D̃_{n}], n ≥ 4

Es sei an die Sprechweise von Seite 80 erinnert, sowie an die Vereinbarung zu Anfang dieses Kapitels, insbesondere an die Bedeutung von (∗). – Hier ist, wie Lemma 5.2.1 zeigt, vor allem der Fall n = 4 interessant, und zwar mit der Orientierung, so daß D̃_{4} ein Ziel und vier Quellen hat; diese soll im folgenden immer zugrundeliegen, wenn von D̃_{4} die Rede ist und nichts anderes gesagt wird. Darstellungen von D̃_{4} mit dieser Orientierung, der Standardorientierung, heißen Quadrupel und werden hier stets in der folgenden Standardnotation

[figure: V_{2}; V_{3}; V_{1}; V_{4}; V_{0}]

oder kurz, um Schreibarbeit zu sparen, auch als V = (V_{0}; V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}) notiert. Entsprechend sei der Dimensionstyp eines endlichdimensionalen Quadrupels wie eben geschrieben als (v_{0}; v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) (siehe Vereinbarung a. vom Anfang des Kapitels). – Für ausführliche Information zu Quadrupeln siehe die klassische Arbeit [GP 72] oder deren Kurzversion (ohne Beweise) [GP 71]; mit der Sprechweise von Seite 80 gilt

Lemma 5.2.1 Der Köcher D̃_{n} sei beliebig orientiert. Fast jedes endlichdimensionale Unzerlegbare über k[D̃_{n}] ist ein Quadrupel.

Beweis: Die Behauptung folgt in den Fällen n = 2m + 4 für m ≥ 1 (mit einer speziellen Orientierung von D̃_{2m+4}) aus Ergebnissen in [DF 73]. Mit einem “Einbettungsargument” ähnlich dem in Lemma 5.1.1 und mit Lemma 4.2.3 läßt sich der allgemeine Fall leicht darauf zurückführen.

Es gilt sogar, daß jedes endlichdimensionale Unzerlegbare über k[D̃_{n}] ein Quadrupel ist, denn trivialerweise hat man eine pp-Äquivalenz zwischen den, zum Beispiel, Quadrupeln mit V_{0} = V_{2} = V_{3} = V_{4} = 0 und den Moduln über k[D̃_{4}] mit beliebiger Orientierung und ebenfalls V_{0} = V_{2} = V_{3} = V_{4} = 0. Das ist aber ganz und gar irrelevant. – Im Rest dieses Abschnittes werden Quadrupel betrachtet. Für die folgende Tatsache beachte man insbesondere Vereinbarung c. vom Anfang des Kapitels.

Tatsache 5.2.2

i. Sei V = (V_{0}; V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}) ein Quadrupel. Es gilt:

V_{0}^{+} = ker(V_{1} ⊕ … ⊕ V_{4} → V_{0});
V_{1}^{+} = ker(V_{2} ⊕ V_{3} ⊕ V_{4} → V_{0}),
⋮
V_{4}^{+} = ker(V_{1} ⊕ V_{2} ⊕ V_{3} → V_{0}), sowie

V_{0}^{−} = (V_{0}/ im(V_{1} → V_{0}) ⊕ … ⊕ V_{0}/ im(V_{4} → V_{0}))/diag;
V_{1}^{−} = V_{0}/ im(V_{1} → V_{0}),
⋮
V_{4}^{−} = V_{0}/ im(V_{4} → V_{0}).

Die Abbildungen sind die natürlichen; diag sei das Bild der Diagonalabbildung von V_{0} nach V_{0}/ im(V_{1} → V_{0}) ⊕ … ⊕ V_{0}/ im(V_{4} → V_{0}).

ii. Für endlichdimensionale Unzerlegbare V ist δ(V) = ∑ v_{i} − 2v_{0}. Außerdem gilt |δ(V)| ≤ 2.

Die Formulierung der zweiten und dritten Behauptung des nächsten Lemmas impliziert bereits, daß von Unterraumsystemen die Rede ist; siehe dazu Vereinbarung d. zu Beginn des Kapitels. Außerdem wird Rein-Injektivität im Beweis nicht benutzt. (Die entsprechende Bemerkung gilt auch für die Analoga von Lemma 5.2.3: Lemmata 5.3.2, 5.4.2, 5.5.2.)

Lemma 5.2.3 ∗ Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren V gilt:

V_{i} → V_{0} ist injektiv für alle i,
V_{i} ∩ V_{j} ∩ V_{k} = 0, falls |{i, j, k}| = 3,
V_{i} + V_{j} + V_{k} = V_{0}, falls |{i, j, k}| = 3.

Beweis: Es ist klar, daß nur vier (endlichdimensionale, injektive) Unzerlegbare nicht für alle i “V_{i} → V_{0} injektiv” erfüllen; oder: Man sieht sofort ein, daß für Unzerlegbare der Form C^{+}(V) die erste Behauptung gilt: Wegen Satz 4.2.4 ist das genug. Zur zweiten Behauptung: Für V ∈ im(C^{++}) gilt die Behauptung: V_{1}^{+} ∩ V_{2}^{+} ∩ V_{3}^{+} = ker(V_{4} → V_{0}) = 0, falls V ∈ im(C^{+}) (wie eben bemerkt). Und ganz ähnlich auch die dritte Aussage: Gegeben sei (x_{1}, …, x_{4}) ∈ V_{0}^{−} (genauer: sei dies ein Repräsentant). Dann ist (x_{1}, …, x_{4}) ≡ (x_{1} − x_{4}, x_{2} − x_{4}, x_{3} − x_{4}, 0) ∈ V_{1}^{−} + V_{2}^{−} + V_{3}^{−}. Nun wieder Satz 4.2.4.

Wegen diesem Lemma werden wir im folgenden im allgemeinen nur noch Unterraumsysteme betrachten. – Wie in der Einleitung zu diesem Kapitel bereits erwähnt, könnte man die eine Hälfte des Beweises (das heißt den Nachweis der dritten Aussage) mit einem Dualitätsargument, ähnlich dem im Beweis von Lemma 8.3.5 verwandten, durchführen (das heißt hier: auf die zweite Aussage zurückführen). Die gleiche Bemerkung gilt für die meisten der nun folgenden Lemmata.

Lemma 5.2.4 (∗) Sei {i, j, k, l} = {1, 2, 3, 4}. Für ein Quadrupel V ist die Summe von V_{i} und V_{j} direkt (bzw. gleich V_{0}) genau dann, wenn in C^{+}V die Summe von V_{k}^{+} und V_{l}^{+} direkt (bzw. gleich V_{0}^{+}) ist.

Die entsprechende Behauptung für C^{−}(V) gilt wegen Satz 4.2.4 ebenfalls; ebenso bei den Lemmata 5.3.3, 5.4.3 und 5.5.3. Beweis: Es ist V_{3}^{+} ∩ V_{4}^{+} = ker(V_{1} ⊕ V_{2} → V_{0}) und damit die Äquivalenz der Direktheit (für Unterraumsysteme) klar. Sei nun V_{0} = V_{1} + V_{2}; wegen Lemma 5.2.3 genügt es, V_{2}^{+} ⊆ V_{3}^{+}+V_{4}^{+} zu zeigen. Sei also (v_{1}, 0, v_{3}, v_{4}) ∈ V_{2}^{+} gegeben. Nach Voraussetzung ist v_{3} = w_{1} + w_{2} für geeignete w_{i} ∈ V_{i}; also (v_{1}, 0, v_{3}, v_{4}) = (v_{1}, 0, w_{1} + w_{2}, v_{4}) = (v_{1} + w_{1}, w_{2}, 0, v_{4}) + (−w_{1}, −w_{2}, w_{1} + w_{2}, 0) ∈ V_{3}^{+} + V_{4}^{+} wie gewünscht. Sei schließlich V_{0}^{+} = V_{3}^{+} + V_{4}^{+}; es genügt – wieder wegen Lemma 5.2.3 – zu zeigen, daß V_{3} ⊆ V_{1} + V_{2}. Sei also v_{3} ∈ V_{3}; nochmals wegen Lemma 5.2.3 ist v_{3} = v_{1} + v_{2} + v_{4} für geeignete v_{i} ∈ V_{i}. Somit ist (−v_{1}, −v_{2}, v_{3}, −v_{4}) ∈ V_{0}^{+} und also von der Gestalt (w_{1}, w_{2}, 0, w_{4})+ (u_{1}, u_{2}, u_{3}, 0). Damit gilt v_{3} = u_{3} = −u_{1} − u_{2} ∈ V_{1} + V_{2} wie gewünscht.

Lemma 5.2.5 (∗) Sei V ein unzerlegbares endlichdimensionales Quadrupel. Ist {i, j, k, l} = {1, 2, 3, 4}, so gilt:

V_{i} ∩ V_{j} = 0, V_{k} ∩ V_{l} = 0 impliziert δ(V) ≤ 0,
δ(V) < 0 impliziert V_{i} ∩ V_{j} = 0,
V_{i} ∩ V_{j} = 0, V_{k} ∩ V_{l} = 0, δ(V) ≥ 0(= 0) impliziert V_{0} = V_{i} ⊕ V_{j}.

In Lemma 8.3.3 wird dies erneut bewiesen – zusammen mit den Analoga für Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8}. Zum besseren Verständnis aber hier der einfache Beweis: Da δ(V) = ∑ v_{i} − 2v_{0} = (v_{i} + v_{j} − v_{0}) + (v_{k} + v_{l} − v_{0}), ist die erste Behauptung klar, dann auch die dritte. Zur zweiten: Das stimmt für Präprojektive kleiner Dimension (Inspektion); Lemma 5.2.4 liefert das Gewünschte.

Das für die zweite Behauptung gegebene Argument lautet genauer so (Auf diese präzisere Formulierung wird im folgenden verzichtet werden.): Wie der Beweis von Lemma 5.2.3 zeigt, gilt Lemma 5.2.3 für alle (rein-injektiven) Unzerlegbaren in im(C^{+})^{2} ∩ im(C^{−})^{2}. Also gilt die C^{−}-Version von Lemma 5.2.4 jedenfalls für Quadrupel V ∈ im(C^{+})^{3} ∩im(C^{−})^{2}. Es genügt somit, die zweite Behauptung von Lemma 5.2.5 für Präprojektive der Form (C^{−})^{2}(U), U ein projektives Unzerlegbares, nachzuprüfen und dann Lemma 5.2.4 anzuwenden.

Definition 5.2 (∗)

i. Sei D = D_{1,2} der Funktor von k[Ã_{3}]-Mod nach k[D̃_{4}]-Mod (mit den Standardorientierungen), der eine Darstellung

[figure: W_{3}; W_{1}; W_{2}; W_{4}]

auf das Quadrupel

[figure: W_{3}; W_{2}; W_{1}; W_{4}; W_{1} ⊕ W_{3}]

wirft, wobei W_{1} → W_{1} ⊕ W_{3} bzw. W_{3} → W_{1} ⊕ W_{3} die Inklusionen in die erste bzw. zweite Komponente und W_{2} → W_{1} ⊕ W_{3} bzw. W_{4} → W_{1} ⊕ W_{3} die Abbildungen e_{2,1} ⊕ e_{2,3} bzw. e_{4,1} ⊕ e_{4,3} sind.

ii. Sei D′ der Funktor, der ein Quadrupel V = (V_{0}; V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}), das V_{0} = V_{1} ⊕ V_{2} erfüllt, auf die k[Ã_{3}]-Darstellung

[figure: V_{2}; V_{1}; V_{3}; V_{4}]

abbildet; dabei seien die Morphismen hier die Einschränkungen der Projektionen.

Aus D erhält man durch Permutation der Unterräume des Quadrupels 24 derartige Funktoren, benötigt werden aber nur zwei oder drei: D_{3,4} sei der Funktor, der eine Darstellung von k[Ã_{3}] wie eben wirft auf (W_{1} ⊕ W_{3}; W_{2}, W_{4}, W_{1}, W_{3}); D_{1,3} bilde sie ab auf (W_{1} ⊕ W_{3}; W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4}).

Lemma 5.2.6 (∗)

i. D und D′ sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen k[Ã_{3}]-Mod und Quadrupeln mit V_{0} = V_{1} ⊕ V_{2}.

ii. D und D′ erhalten Injektionen, Surjektionen und Defekt.

Beweis: Klar.

Entsprechendes gilt natürlich für die Varianten D_{1,3} und D_{3,4} von D. – Nur aus Bequemlichkeit habe ich Definition 5.2 mit (∗) formuliert; Lemma 5.2.6 gilt für die entsprechenden D und D′ auch ohne den Stern.

Lemma 5.2.7 (∗) Sei das Bild von

[figure: W_{3}; W_{1}; W_{2}; W_{4}]

unter D das Quadrupel V = (V_{0}; V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}). Dann ist in der folgenden Liste der Morphismus links genau dann injektiv (bzw. surjektiv), wenn die Summe der Unterräume rechts direkt (bzw. gleich V_{0}) ist:

\begin{matrix}e_{2,1} & V_{2}, V_{3} \\ e_{4,3} & V_{1}, V_{4} \\ e_{2,3} & V_{1}, V_{3} \\ e_{4,1} & V_{2}, V_{4} \end{matrix}

Beweis: Klar.

Die übliche Sprechweise gestattet, das Bisherige so zu formulieren:

5.3. k[Ẽ_{6}] 105

Lemma 5.2.8

i. Unzerlegbare von Defekt -1, 0 oder 1 sind Kronecker-Moduln oder 2-Zyklen.

ii. Reguläre Unzerlegbare sind k[X]-Moduln.

iii. Die stetigen (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren sind die Unzerlegbaren mit Dimensionstyp der Form (2l; l, l, l, l), l ≥ 1. Sie sind genau die Bilder der stetigen k[Ã_{3}]-Moduln unter D_{1,2} oder D_{3,4}.

Beweis: Die Analyse in [DF 73] zeigt, daß alle Unzerlegbaren von Defekt 0, -1 oder 1 im Bild eines der Funktoren D_{1,2}, D_{3,4} oder D_{1,3} sind, also nach Lemma 5.2.6 – in der “ungesternten Form” – und seinen Analoga Darstellungen von k[Ã_{3}]; mit Lemma 5.1.3 folgt i. (Dabei sieht man, daß der Funktor D_{1,3} nur wegen der regulären diskreten Unzerlegbaren benötigt wird.) Zusammen mit Lemmata 5.1.5 und 5.1.6 ergibt sich ii., weil diese Funktoren Defekt erhalten. Die erste Behauptung von iii. ist nicht sehr schwer (siehe etwa [DR 76]); zur zweiten: Wegen des Beweises von i. sind stetige Unzerlegbare jedenfalls im Bild von D_{1,2} oder D_{3,4}. Die Definition der Funktoren D_{i,j} bzw. D′_{i,j} zeigt, wie sich der Dimensionstyp von D_{i,j}(U) aus dem von U berechnet (analog für D′_{i,j}), U ein endlichdimensionales Unzerlegbares. Zusammen mit dem Wissen, wie die endlichdimensionalen stetigen Ã_{3}-Unzerlegbaren aussehen (Seite 93) ergibt sich die zweite Behauptung von iii.

5.3 k[Ẽ_{6}]

Dieser Abschnitt enthält keine oder nur rudimentäre Beweise (siehe Einleitung zu diesem Kapitel). Die Vereinbarungen vom Beginn des Kapitels (und die Sprechweise von Seite 80) sind weiter in Kraft; insbesondere sei an (∗) erinnert (Vereinbarung d.). – Wir zeichnen unter den möglichen Orientierungen von Ẽ_{6} die aus, bei der die Ecke mit Valenz 3 das einzige Ziel, die Ecken mit Valenz 1 die Quellen werden und nennen sie Standardorientierung. Darstellungen von Ẽ_{6} mit dieser Orientierung werden stets als

[figure: Q; E_{1}; F_{1}; E_{3}; F_{3}; E_{2}; F_{2}]

bezeichnet (Standardnotation), oder kurz auch als (Q; E_{1}, F_{1}; E_{2}, F_{2}; E_{3}, F_{3}). (Daß die Morphismen nicht näher benannt werden, liegt daran, daß sie bei fast allen Unzerlegbaren injektiv sind, Lemma 5.3.2.) Entsprechend sei der Dimensionstyp einer endlichdimensionalen solchen Darstellung (q; e_{1}, f_{1}; e_{2}, f_{2}; e_{3}, f_{3}). Ẽ_{6} sei für den Rest des Kapitels mit dieser Standardorientierung versehen. Es gilt, wieder mit der zu Beginn des Kapitels getroffenen Vereinbarung,

Tatsache 5.3.1

i. Es sei {i, j, k} = {1, 2, 3}.

Q^{+} = ker(E_{1} ⊕ E_{2} ⊕ E_{3} → Q);

E_{i}^{+} = ker(F_{i} ⊕ E_{j} ⊕ E_{k} → Q), F_{i}^{+} = ker(E_{j} ⊕ E_{k} → Q), und

Q^{−} = (Q/ im(F_{1} → Q) ⊕ Q/ im(F_{2} → Q) ⊕ Q/ im(F_{3} → Q))/diag;

E_{i}^{−} = Q/ im(F_{i} → Q), F_{i}^{−} = E_{i}/ im(F_{i} → E_{i}),

jeweils mit den naheliegenden Morphismen. diag bezeichne dabei hier das Bild der Diagonalabbildung

Q → Q/im(F_{1} → Q) ⊕ Q/im(F_{2} → Q) ⊕ Q/im(F_{3} → Q).

ii. Für endlichdimensionale Unzerlegbare U gilt

δ(U) = e_{1} + e_{2} + e_{3} + f_{1} + f_{2} + f_{3} − 3q

und |δ(U)| ≤ 3.

Lemma 5.3.2 ∗ Es sei |{i, j, k}| = 3. Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren U gilt:

F_{i} → E_{i} und E_{i} → Q sind injektiv für alle i ,
F_{i} ∩ F_{j} = F_{i} ∩ E_{j} ∩ E_{k} = 0,
Q = E_{i} + E_{j} = F_{i} + F_{j} + E_{k}.

Beweis: Ganz ähnlich dem von Lemma 5.2.3.

Von nun an betrachten wir wieder fast ausschließlich Unterraumsysteme.

Lemma 5.3.3 (∗) Für einen Modul M = (Q; E_{1}, F_{1}, E_{2}, F_{2}, E_{3}, F_{3}) gilt: In der folgenden Liste ist die Summe der Unterräume links genau dann direkt (bzw. gleich Q), wenn die Summe der Unterräume rechts in C^{+}M direkt (bzw. gleich Q) ist.

\begin{matrix}E_{1} ∩ E_{3}, E_{1} ∩ E_{2}, E_{2} ∩ E_{3} & F_{1}, F_{2}, F_{3} \\ F_{1}, F_{2}, F_{3} & E_{1} ∩ E_{3}, E_{1} ∩ E_{2}, E_{2} ∩ E_{3} \\ E_{i}, F_{j} & E_{j}, F_{k} für \{i, j, k\} = \{1, 2, 3\} \end{matrix}

Beweis: Um Schreibarbeit zu sparen weggelassen.

Entsprechend dem Vorgehen bei D̃_{4} hier nun einiges zu Funktoren, mit Hilfe derer Unzerlegbare von kleinem Defekt analysiert werden können; dabei seien Darstellungen über den jeweiligen Köchern wie üblich bezeichnet. Den Stern trägt die Definition, damit etwa Punkt iii. sinnvoll ist: man braucht, daß die E_{i} Unterräume von Q sind.

Definition 5.3 (∗)

i. Sei S : k[Ã_{5}]-Mod → k[Ẽ_{6}]-Mod der Funktor, der einen Modul

[figure: W_{4}; W_{1}; W_{3}; W_{5}; W_{6}; W_{2}]

auf den k[Ẽ_{6}]-Modul

[figure: W_{2}; W_{1} ⊕ W_{3}; W_{1} ⊕ W_{3} ⊕ W_{5}; W_{3} ⊕ W_{5}; W_{4}; W_{1} ⊕ W_{5}; W_{6}]

abbildet.

ii. Sei T = T_{1,2,3} : k[D̃_{4}]-Mod → k[Ẽ_{6}]-Mod der Funktor, der ein Qua-

drupel

(V_{0}; V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4})

abbildet auf

[figure: V_{1}; V_{0}; V_{0} ⊕ V_{4}; V_{2} ⊕ V_{4}; V_{4}; V_{3} ⊕ V_{4}; V_{4}; ∇]

Dabei sind alle Abbildungen die naheliegenden, bis auf die Abbildung ∇ : V_{3} ⊕ V_{4} → V_{0} ⊕ V_{4}, die definiert sei als Summe von V_{3} → V_{0} und

\begin{aligned}Δ : & V_{4} → V_{0} ⊕ V_{4} \\ & v ↦ (v, v) \end{aligned}

iii. S′ werfe eine Ẽ_{6}-Darstellung (in Standardnotation), die

Q = E_{1} ∩ E_{3} ⊕ E_{1} ∩ E_{2} ⊕ E_{2} ∩ E_{3}

erfüllt, auf den k[Ã_{5}]-Modul mit

\begin{matrix}W_{1} = E_{1} ∩ E_{3}, W_{3} = E_{1} ∩ E_{2}, W_{5} = E_{2} ∩ E_{3} \\ W_{2} = F_{1}, W_{4} = F_{2}, W_{6} = F_{3}; \end{matrix}

die Abbildungen sind die Einschränkungen der Projektionen auf die W_{2i}. iv. T′ sei der Funktor, der einen Modul über k[Ẽ_{6}] (in Standardnotation)

auf das Quadrupel (Unterraumsystem)

[figure: E_{1} ∩ E_{2}; E_{1} ∩ E_{3}; F_{1}; E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}); E_{1}]

wirft.

Analog zu T = T_{1,2,3} definiert man Funktoren T_{i,j,k} so: T_{i,j,k}(V), V ein Quadrupel, sei gleich T (V), gefolgt von einer Permutation der “Arme” von T (V) derart, daß nun E_{i} = V_{0}, E_{j} = V_{2} ⊕ V_{4} und E_{k} = V_{3} ⊕ V_{4}. Es gibt also sechs derartige Funktoren; das nächste Lemma zeigt unter anderem, daß – interessiert man sich nur für deren Bilder – drei davon jedenfalls genügen.

Lemma 5.3.4 (∗)

i. S und S′ sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen k[Ã_{5}]-Mod und den k[Ẽ_{6}]-Moduln, die Q = E_{1} ∩ E_{3} ⊕ E_{1} ∩ E_{2} ⊕ E_{2} ∩ E_{3} erfüllen.

ii. T und T′ sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen Quadrupeln und k[Ẽ_{6}]-Moduln mit Q = E_{1} ⊕ F_{2} = E_{1} ⊕ F_{3}.

iii. S, S′, T, T′ erhalten Injektionen und Defekt, S und T auch Surjektionen.

Beweis: Einfach.

Entsprechend sind die T_{i,j,k} pp-Äquivalenzen zwischen Quadrupeln und Moduln, die der Bedingung Q = E_{i} ⊕ F_{k} = E_{i} ⊕ F_{j} genügen.

Lemma 5.3.5 (∗) Sei M Modul über k[Ã_{5}] (in Standardnotation), sei S(M) = (Q; E_{1}, F_{1}, E_{2}, F_{2}, E_{3}, F_{3}). Dann ist in der folgenden Liste die Summe der Unterräume rechts (in S(M)) direkt (bzw. gleich Q) genau dann, wenn der Morphismus links (in M) injektiv (bzw. surjektiv) ist.

\begin{matrix}e_{2,1} & E_{2}, F_{1} \\ e_{6,5} & E_{1}, F_{3} \\ e_{4,3} & E_{3}, F_{2} \\ e_{4,5} & E_{1}, F_{2} \\ e_{6,1} & E_{2}, F_{3} \\ e_{2,3} & E_{3}, F_{1} \end{matrix}

Beweis: Klar.

Lemma 5.3.6 (∗) Die Summe der Unterräume links (im Quadrupel V) ist genau dann direkt (bzw. gleich V_{0}), wenn die Summe derjenigen rechts (in T (V)) direkt (bzw. gleich Q) ist:

\begin{matrix}– & E_{1}, F_{2} \\ V_{2}, V_{4} & E_{2}, F_{3} \\ V_{1}, V_{3} & E_{3}, F_{1} \\ – & E_{1}, F_{3} \\ V_{3}, V_{4} & E_{3}, F_{2} \\ V_{1}, V_{2} & E_{2}, F_{1} \\ V_{2}, V_{3} & E_{1} ∩ E_{3}, E_{1} ∩ E_{2}, E_{2} ∩ E_{3} \\ V_{1}, V_{4} & F_{1}, F_{2}, F_{3} \end{matrix}

Beweis: Teilweise recht mühsame Rechnungen.

Lemma 5.3.7

i. Fast alle endlichdimensionalen Unzerlegbaren von Defekt gleich -1, 0 oder 1 liegen im Bild von S oder C^{+}S (bzw. im Bild von S oder C^{−}S), mit Ausnahme der A(3k + i, 0) (in der Notation von [DF 73]).

ii. Fast alle endlichdimensionalen Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 2 liegen im Bild eines der Funktoren (C^{+})^{l}T_{i,j,k}, l = 0, 1, 2, {i, j, k} = {1, 2, 3} (bzw. im Bild eines der Funktoren (C^{−})^{l}T_{i,j,k}, l = 0, 1, 2, {i, j, k} = {1, 2, 3}).

Beweis: Für die diskreten Unzerlegbaren sind i. und ii. eine leichte und langweilige Verifikation anhand der Tabellen in [DF 73]. Für die stetigen folgt im Falle des Funktors S alles ebenfalls aus der Analyse dort; damit ist i. klar. Es bleibt zu zeigen, daß jedes endlichdimensionale stetige Unzerlegbare im Bild eines der (C^{+})^{l}T_{i,j,k}, l = 0, 1, 2 liegt (für C^{−} dann analog); das folgende Argument leistet dies sogar für alle regulären Unzerlegbaren: Lemma 5.3.5 zeigt nämlich, daß jedes reguläre Unzerlegbare Q = E_{i} ⊕ F_{j} erfüllt für alle Paare (i, j), bis auf höchstens zwei; denn reguläre Unzerlegbare haben Defekt Null (siehe zur Erinnerung Abschnitt 1.6), die betrachteten Funktoren S und C^{+}S erhalten Defekt, und in Unzerlegbaren (von Defekt Null) über Ã_{5} sind bis auf höchstens zwei alle Abbildungen Isomorphismen (wegen Lemma 5.1.2). Mit Lemma 5.3.4 ii. (bzw. der Bemerkung danach) und Lemma 5.3.3 sieht man nun, daß jedes reguläre Unzerlegbare im Bild eines der in ii. angegebenen Funktoren enthalten ist.

Mit der Sprechweise von Seite 80 ergibt sich

Lemma 5.3.8

i. Fast alle (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 2 sind Quadrupel. Fast alle Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 1 sind Kronecker-Moduln oder 2-Zyklen.

ii. Reguläre Unzerlegbare sind k[X]-Moduln.

iii. Die stetigen (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren sind die Unzerlegbaren mit Dimensionstyp der Form (3l; 2l, l; 2l, l; 2l, l), l ≥ 1. Sie sind genau die Bilder der stetigen k[Ã_{5}]-Unzerlegbaren unter einem der Funktoren S oder C^{+}S, bzw. auch genau die Bilder der stetigen k[D̃_{4}]-Unzerlegbaren unter einem von T oder C^{+}T (zum Beispiel).

Beweis: i. folgt aus Lemma 5.3.7 ii. und Lemma 5.2.8; ebenso ii., da die Analyse in [DF 73] zeigt, daß alle regulären Unzerlegbaren Quadrupel sind. Und iii. geht wie iii. von Lemma 5.2.8.

5.4 k[Ẽ_{7}]

Auch dieser Abschnitt enthält weitgehend keine Beweise; und auch hier sei wieder auf die zu Beginn des Kapitels getroffenen Vereinbarungen, insbesondere (∗), verwiesen. Wir fixieren für den Rest des Kapitels wieder eine Orientierung (Standardorientierung), etwa diejenige mit der Eigenschaft, daß (fast alle unzerlegbaren) Darstellungen dann als Unterraumsysteme aufgefaßt werden können (Lemma 5.4.2). Darstellungen werden also im folgenden stets als

[figure: R; E_{2}; F_{2}; G_{2}; E_{1}; F_{1}; G_{1}; W]

notiert, oder auch kurz als (R; W; E_{1}, F_{1}, G_{1}; E_{2}, F_{2}, G_{2}); dies ist die Notation (Standardnotation) aus [DF 73], die hoffentlich nicht zu Verwechslungen mit der ähnlichen bei Ẽ_{6} führt. Der Dimensionstyp einer endlichdimensionalen solchen Darstellung sei dann geschrieben als (r; w; e_{1}, f_{1}, g_{1}; e_{2}, f_{2}, g_{2}).

Tatsache 5.4.1

i. Es sei {i, j} = {1, 2}.

R^{+} = ker(W ⊕ E_{1} ⊕ E_{2} → R);

E_{i}^{+} = ker(W ⊕ F_{i} ⊕ E_{j} → R), F_{i}^{+} = ker(W ⊕ G_{i} ⊕ E_{j} → R), G_{i}^{+} = ker(W ⊕ E_{j} → R), W^{+} = ker(E_{1} ⊕ E_{2} → R), sowie

R^{−} = (R/im(W → R) ⊕ R/im(G_{1} → R) ⊕ R/im(G_{2} → R)) / diag;

E_{i}^{−} = R/im(G_{i} → R), F_{i}^{−} = E_{i}/im(G_{i} → E_{i}), G_{i}^{−} = F_{i}/im(G_{i} → F_{i}), W^{−} = R/im(W → R),

jeweils mit den naheliegenden Abbildungen, wobei diag hier das Bild der Diagonalabbildung

R → R/im(W → R) ⊕ R/im(G_{1} → R) ⊕ R/im(G_{2} → R)

sei.

ii. Für endlichdimensionale Unzerlegbare U ist

δ(U) = g_{1} + f_{1} + e_{1} + g_{2} + f_{2} + e_{2} + 2w − 4r

und |δ(U)| ≤ 4.

Lemma 5.4.2 ∗ Es sei |{i, j}| = 2. Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren U gilt:

G_{i} → F_{i}, F_{i} → E_{i} und E_{i} → R sind injektiv;
W ∩ F_{j} ∩ E_{i} = W ∩ G_{i} = G_{i} ∩ F_{j} = 0,
R = W + E_{i} = E_{1} + E_{2} = E_{i} + F_{j} = W + F_{i} + G_{j}.

Beweis: Wie der von Lemma 5.2.3 oder Lemma 5.5.2.

Lemma 5.4.3 (∗) Für einen Modul M (in Standardnotation) gilt, daß in der folgenden Liste die Summe der Unterräume links genau dann direkt (bzw. gleich R) ist, wenn die Summe der Unterräume rechts in C^{+}M direkt (bzw. gleich R) ist.

\begin{matrix}F_{1}, W & E_{1}, G_{2} \\ E_{1}, G_{2} & F_{2}, W \\ F_{2}, W & E_{2}, G_{1} \\ E_{2}, G_{1} & F_{1}, W \\ E_{1} ∩ E_{2}, W & G_{1}, G_{2}, W \\ G_{1}, G_{2}, W & F_{1}, F_{2} \\ F_{1}, F_{2} & E_{1} ∩ E_{2}, W \\ W, E_{1} ∩ F_{2}, G_{1} & W, E_{2} ∩ F_{1}, G_{2} \\ W, E_{2} ∩ F_{1}, G_{2} & W, E_{1} ∩ F_{2}, G_{1} \end{matrix}

Beweis: Für ähnliche Rechnungen siehe Lemma 5.5.3.

Und wieder gilt es nun, mit Hilfe geeigneter Funktoren die Unzerlegbaren von kleinem Defekt schon als solche über einem “kleineren” Köcher zu erkennen:

Definition 5.4 (∗)

i. S_{7} sei der Funktor, der

[figure: Q; E_{1}; F_{1}; E_{3}; F_{3}; E_{2}; F_{2}]

abbildet auf

[figure: E_{2}/F_{2}; E_{2}/F_{2} ⊕ F_{1}; E_{2}/F_{2} ⊕ E_{1}; E_{2}/F_{2} ⊕ Q; E_{2}; Q; E_{3}; F_{3}; Δ]

Δ : E_{2} → E_{2}/F_{2} ⊕ Q sei hierbei die Abbildung, die durch die Diagonaleinbettung von E_{2} in E_{2} ⊕ Q induziert wird. ii. S′_{7} sei der Funktor, der eine Darstellung

[figure: R; E_{2}; F_{2}; G_{2}; E_{1}; F_{1}; G_{1}; W]

wirft auf

[figure: E_{2} ∩ F_{1}; E_{2} ∩ E_{1}; E_{2}; E_{2} ∩ (G_{1} + W); E_{2} ∩ W; F_{2}; G_{2}]

Vertauscht man in der Definition von S_{7} linken und rechten Arm des Bildes, so erhält man den Funktor T_{7} (in [DF 73] als S_{8} bezeichnet); aus Symmetriegründen beschränken wir uns hier auf die Untersuchung von S_{7}. – Der Stern steht in der Definition zum Beispiel deshalb, weil stillschweigend davon ausgegangen wird, daß es sich jeweils um Unterraumsysteme handelt – eine Einschränkung, die wie üblich nicht wesentlich ist.

Lemma 5.4.4 (∗)

i. S_{7} und S′_{7} sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen Moduln über Ẽ_{6} und Darstellungen von Ẽ_{7}, die der Bedingung R = E_{2}⊕G_{1} genügen.

ii. S_{7} (und S′_{7} auf dem entsprechenden abgeschlossenen Unterraum von i.) erhält Defekt; S′_{7} erhält Injektionen, S_{7} Surjektionen.

Entsprechendes gilt natürlich für T_{7}; insbesondere sind die Moduln der Form T_{7}(M) diejenigen, die ((∗)!) R = E_{1} ⊕ G_{2} erfüllen.

Beweis: Einfach und daher weggelassen; es sei aber bemerkt, daß Moduln der Form S_{7}(M) die Gleichung R = W + E_{2} erfüllen, so daß das Lemma also nur unter (∗) korrekt ist (siehe Lemma 5.4.2).

Lemma 5.4.5 (∗) Sei M Modul über k[Ẽ_{6}], S_{7}(M) das Bild, jeweils mit den Standardbezeichnungen. Dann ist in der folgenden Liste die Summe der Unterräume rechts (in S_{7}(M)) genau dann direkt (bzw. gleich R), wenn diejenige der Unterräume links (in M) direkt (bzw. gleich Q) ist:

\begin{matrix}E_{1}, F_{3} & E_{1}, G_{2} \\ E_{3}, F_{2} & F_{2}, W \\ – & E_{2}, G_{1} \\ E_{2}, F_{1} & F_{1}, W \\ E_{1}, F_{2} & E_{1} ∩ E_{2}, W \\ E_{2}, F_{3} & G_{1}, G_{2}, W \\ E_{3}, F_{1} & F_{1}, F_{2} \\ E_{1} ∩ E_{3}, E_{1} ∩ E_{2}, E_{2} ∩ E_{3} & W, E_{1} ∩ F_{2}, G_{1} \\ F_{1}, F_{2}, F_{3} & W, E_{2} ∩ F_{1}, G_{2} \end{matrix}

Beweis: Nicht schwer.

Lemma 5.4.6 Fast alle (endlichdimensionalen) diskreten Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 3 liegen im Bild eines der Funktoren (C^{−})^{l}S_{7}, l ∈ {0, 1, 2, 3}.

Beweis: Eine leichte Verifikation mittels der Listen von Dimensionstypen in [DF 73].

Entsprechendes gilt, ersetzt man C^{−} durch C^{+}. – Mit der üblichen Sprechweise (Seite 80):

Lemma 5.4.7

i. Fast alle Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 3 sind Moduln über k[Ẽ_{6}]. Fast alle Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 2 sind Quadrupel. Fast alle Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 1 sind Kronecker-Moduln oder 2-Zyklen.

ii. Alle regulären endlichdimensionalen Unzerlegbaren sind k[X]-Moduln.

iii. Die stetigen (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren sind die Unzerlegbaren mit Dimensionstyp der Form (4l; 2l; 3l, 2l, l; 3l, 2l, l), l ≥ 1.Sie sind genau die Bilder stetiger Unzerlegbarer über Ẽ_{6} unter S_{7} oder T_{7}.

Beweis: Wie üblich: Wie aus der Analyse in [DF 73] hervorgeht, sind stetige (endlichdimensionale) Unzerlegbare im Bild von S_{7} oder T_{7}. Lemma 5.4.3, Lemma 5.4.4 und die Bemerkung nach Lemma 5.4.4 zeigen, daß T_{7} und (C^{−})^{2}S_{7} das gleiche Bild (unter (∗)) haben; insbesondere gilt für jedes reguläre Unzerlegbare, daß es genau dann im Bild von T_{7} liegt, wenn es im Bild von (C^{−})^{2}S_{7} ist. Das bedeutet, daß stetige (endlichdimensionale) Unzerlegbare im Bild von S_{7} oder (C^{−})^{2}S_{7} sind. Also sind wegen Lemma 5.4.6 fast alle (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 3 im Bild eines der Funktoren (C^{−})^{l}S_{7}, l ∈ {0, 1, 2, 3}. (Die Ausnahmen sind Präprojektive und Präinjektive kleiner Dimension.) Da die betrachteten Funktoren Defekt erhalten, folgt die Behauptung von i. und ii. nun aus Lemma 5.3.8. Und iii. geht wieder so: Die erste Behauptung entnimmt man [DR 76]. Der erste Satz dieses Beweises zeigt dann die zweite Behauptung, denn die Definitionen von S_{7} und S′_{7} (bzw. T_{7} und T′_{7}) zeigen, wie sich der Dimensionstyp des Bildes eines endlichdimensionalen Unzerlegbaren unter einem dieser Funktoren aus dem Dimensionstyp des Unzerlegbaren selbst berechnet.

5.5 k[Ẽ_{8}]

In diesem Abschnitt führe ich Beweise meist aus, da sie doch deutlich komplizierter als im Fall der Quadrupel sind. Erinnert sei an die Bedeutung von (∗) und an die übrigen Vereinbarungen vom Beginn des Kapitels. – Wie immer betrachten wir nur eine feste Orientierung, für uns die Standardorientierung; dies soll auch hier diejenige sein, die es gestattet, fast alle Unzerlegbaren als Unterraumsysteme zu verstehen (Lemma 5.5.2). Darstellungen von Ẽ_{8} mit dieser Orientierung werden wie folgt (Standardnotation) bezeichnet:

[figure: P; Z_{5}; Z_{6}; Z_{7}; Z_{8}; Z_{9}; Y_{3}; Y_{4}; X]

(oder auch kurz als (P; X; Y_{3}, Y_{4}; Z_{5}, …, Z_{9})); entsprechend für den Dimensionstyp dann (p; x; y_{3}, y_{4}; z_{5}, …, z_{9}). – Von nun an liege stets diese Standardorientierung zugrunde. – Die nächste Tatsache entnimmt man (siehe die Einleitung zu diesem Kapitel) [DF 73]; daß die Coxeter-Funktoren sind wie angegeben, ist aber aus der Definition sofort klar.

Tatsache 5.5.1 i.

P^{+} = ker(X ⊕ Y_{3} ⊕ Z_{5} → P);

X^{+} = ker(Y_{3} ⊕ Z_{5} → P), Y_{3}^{+} = ker(X ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{5} → P), Y_{4}^{+} = ker(X ⊕ Z_{5} → P), Z_{5}^{+} = ker(X ⊕ Y_{3} ⊕ Z_{6} → P),

⋮ Z_{9}^{+} = ker(X ⊕ Y_{3} → P), und

P^{−} = (P/im(X → P) ⊕ P/im(Y_{4} → P) ⊕ P/im(Z_{9} → P)) / diag;

X^{−} = P/im(X → P), Y_{3}^{−} = P/im(Y_{4} → P), Y_{4}^{−} = Y_{3}/im(Y_{4} → Y_{3}), Z_{5}^{−} = P/im(Z_{9} → P), Z_{6}^{−} = Z_{5}/im(Z_{9} → Z_{5}),

⋮ Z_{9}^{−} = Z_{8}/im(Z_{9} → Z_{8}),

jeweils mit den kanonischen Abbildungen; diag sei hier das Bild der Diagonalabbildung

P → P/im(X → P) ⊕ P/im(Y_{4} → P) ⊕ P/im(Z_{9} → P).

ii. Für endlichdimensionale Unzerlegbare U ist

δ(U) = 2y_{4} + 2y_{3} + 3x + z_{5} + … + z_{9} − 6p.

Außerdem gilt |δ(U)| ≤ 6.

Lemma 5.5.2 ∗ Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren gilt:

Alle Morphismen sind injektiv. Y_{4} ∩ Z_{7} = X ∩ Y_{4} = Y_{3} ∩ Z_{9} = X ∩ Z_{8} = X ∩ Y_{3} ∩ Z_{6} = 0, P = X + Y_{3} = Y_{3} + Z_{7} = Y_{4} + Z_{5} = X + Z_{6} = X + Y_{4} + Z_{8}, P = (Y_{3} ∩ Z_{5}) + X + Z_{9} = (X ∩ Y_{3}) + Y_{4} + Z_{6} = (Y_{4} ∩ Z_{5}) + X + Z_{7}, P = (X ∩ Z_{6}) + Y_{3} + Z_{8} Beweis: Tatsache 5.5.1 zeigt sofort, daß für Moduln im Bild von C^{+} die Abbildungen X → P, Y_{4} → Y_{3}, Z_{9} → Z_{8} injektiv sind, daß im Bild von (C^{+})^{2} zusätzlich Y_{3} → P und Z_{8} → Z_{7} injektiv sind etc. Das liefert zusammen mit Satz 4.2.4 die erste Zeile des Lemmas. Für den Rest des Beweises werde nun angenommen, daß alle betrachteten Darstellungen schon Unterraumsysteme sind; insbesondere bedeute “im Bild von C^{+}” genauer “von der Form C^{+}M für ein Unterraumsystem M” (also nach dem eben Gezeigten etwa “im Bild von (C^{+})^{6}”)

Dann ist klar, daß im Bild von C^{+} gilt X ∩ Y_{4} = 0. Deshalb ist im Bild von (C^{+})^{2} zusätzlich Y_{3} ∩ Z_{9} = 0, denn Elemente aus Y_{3}^{+} ∩ Z_{9}^{+} sind von der Form (x, −x, 0) mit x ∈ X ∩ Y_{3} ∩ Y_{4} = X ∩ Y_{4} = 0. Ebenso zeigt man leicht: Y_{3} ∩Z_{9} = 0 impliziert X^{+} ∩Z_{8}^{+} = 0; X ∩Z_{8} = 0 impliziert Y_{4}^{+} ∩Z_{7}^{+} = 0 und schließlich: aus Y_{4} ∩ Z_{7} = 0 folgt X ∩ Y_{3} ∩ Z_{6} = 0. Das zeigt die Behauptung über die Schnitte. (Siehe für ähnliche Rechnungen auch Lemma 5.5.3 und seinen Beweis.)

Statt mit C^{+} argumentiert man im Rest des Beweises nun mit C^{−}; Restklassen und ihre Repräsentanten werden dabei wieder nicht konsequent unterschieden.

1. Im Bild von C^{−} gilt P = X + Y_{3} = X + Z_{5} = Y_{3} + Z_{5}: Denn gegeben (a, b, c) ∈ P^{−}, so ist etwa (a, b, c) = (a − c, 0, 0) + (0, b − c, 0) + (c, c, c) ≡ (a − c, 0, 0) + (0, b − c, 0).

2. P = X + Y_{3} impliziert P^{−} = Y_{4}^{−} + Z_{5}^{−}: Wegen 1. gilt P^{−} = Y_{3}^{−} + Z_{5}^{−}, zu zeigen ist also nur Y_{3}^{−} ⊆ Y_{4}^{−} + Z_{5}^{−}; sei aber (0, a, 0) ∈ Y_{3}^{−}, sei a = x + y mit x ∈ X, y ∈ Y_{3}, so (0, a, 0) = (x, x, x) + (0, y, 0) + (0, 0, −x), wobei (0, y, 0) ∈ Y_{4}^{−} und (0, 0, −x) ∈ Z_{5}^{−}.

3. P = Y_{4}+Z_{5} impliziert P^{−} = X^{−}+Z_{6}^{−}: Wegen 1. genügt es, Z_{5}^{−} ⊆ X^{−}+Z_{6}^{−} zu zeigen. Sei (0, 0, a) ∈ Z_{5}^{−}, nach Voraussetzung a = y + z mit y ∈ Y_{4} und z ∈ Z_{5}. Dann (0, 0, a) = (−y, 0, 0) + (0, 0, z) + (y, y, y).

4. P = X + Z_{6} impliziert P^{−} = Y_{3}^{−} + Z_{7}^{−}: Wegen 1. genügt es zu zeigen, daß Z_{5}^{−} ⊆ Y_{3}^{−} + Z_{7}^{−}; sei (0, 0, a) ∈ Z_{5}^{−}. Nach Voraussetzung a = x + z mit x ∈ X und z ∈ Z_{6}. Also (0, 0, a) = (0, −x, 0) + (0, 0, z) + (x, x, x).

5. Aus P = Y_{3} + Z_{7} folgt P^{−} = X^{−} + Y_{4}^{−} + Z_{8}^{−}: Denn es genügt nach Voraussetzung zu zeigen, daß Z_{5}^{−} ⊆ X^{−} + Y_{4}^{−} + Z_{8}^{−}. Sei (0, 0, a) ∈ Z_{5}^{−}, nach Voraussetzung a = y + z mit y ∈ Y_{3} und z ∈ Z_{7}; folglich (0, 0, a) = (−y, 0, 0) + (0, −y, 0) + (0, 0, z) + (y, y, y).

6. P = X + Y_{4} + Z_{8} impliziert P^{−} = (Y_{3}^{−} ∩ Z_{5}^{−}) + X^{−} + Z_{9}^{−}: Denn wegen 1. ist nur Z_{5}^{−} ⊆ (Y_{3}^{−} ∩ Z_{5}^{−}) + X^{−} + Z_{9}^{−} nachzuweisen. Sei also (0, 0, a) ∈ Z_{5}^{−}; nach Voraussetzung a = x + y + z mit x ∈ X, y ∈ Y_{4} und z ∈ Z_{8}; somit (0, 0, a) = (0, −(x + y), 0) + (−(x + y), 0, 0) + (0, 0, z) + (x + y, x + y, x + y), wobei (0, −(x + y), 0) in Y_{3}^{−} (klar), aber auch in Z_{5}^{−} liegt: (0, −(x + y), 0) = (0, −x, 0) = (0, 0, x) + (−x, −x, −x).

7. Aus P = (Y_{3} ∩ Z_{5}) + X + Z_{9}, P^{−} = X^{−} + Z_{6}^{−} folgt P^{−} = (X^{−} ∩ Y_{3}^{−}) + Y_{4}^{−} + Z_{6}^{−}: Denn es ist nur X^{−} ⊆ (X^{−} ∩ Y_{3}^{−}) + Y_{4}^{−} + Z_{6}^{−} zu zeigen. Sei (a, 0, 0) ∈ X^{−}; also a = x + y + z mit x ∈ X, y ∈ Y_{3} ∩ Z_{5} und z ∈ Z_{9}. Somit (a, 0, 0) = (x + z, 0, 0) + (0, −y, 0) + (0, 0, −y) + (y, y, y), wobei (x + z, 0, 0) in X^{−} aber wegen (x + z, 0, 0) = (z, 0, 0) = (z, z, z) + (0, −z, 0) auch in Y_{3}^{−} liegt.

8. P = (X ∩Y_{3})+Y_{4} +Z_{6} impliziert P^{−} = (Y_{4}^{−} ∩Z_{5}^{−})+X^{−} +Z_{7}^{−}: Es genügt wieder, ein Element (0, 0, a) aus Z_{5}^{−} zu betrachten; sei a = x + y + z mit x ∈ X ∩ Y_{3}, y ∈ Y_{4} und z ∈ Z_{6}. Also (0, 0, a) = (0, −(x + y), 0) + (−(x + y), 0, 0) + (0, 0, z) + (x + y, x + y, x + y), wobei hier wegen (0, −(x + y), 0) = (0, −x, 0) = (0, 0, x) + (−x, −x, −x) gilt, daß (0, −(x + y), 0) ∈ Y_{4}^{−} ∩ Z_{5}^{−}.

9. P = (Y_{4} ∩Z_{5})+X +Z_{7} impliziert P^{−} = (X^{−} ∩Z_{6}^{−})+Y_{3}^{−} +Z_{8}^{−}: Betrachte wieder (0, 0, a) ∈ Z_{5}^{−}; es gilt a = x + y + z für geeignete x ∈ X, y ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} und z ∈ Z_{7}, also (0, 0, a) = (−(x + y), 0, 0) + (0, −(x + y), 0) + (0, 0, z) + (x + y, x + y, x + y), wobei (−(x + y), 0, 0) nicht nur in X^{−}, sondern wegen (−(x + y), 0, 0) = (−y, 0, 0) = (0, 0, y) + (−y, −y, −y) auch in Z_{6}^{−} liegt. Insgesamt ergibt sich nun mit Satz 4.2.4 die Behauptung.

Lemma 5.5.3 (∗) Für einen Modul M (in Standardnotation) gilt: In der folgenden Liste ist die Summe der Unterräume links direkt (bzw. gleich P) genau dann, wenn die Summe der Unterräume rechts in C^{+}M direkt (bzw. gleich P) ist.

\begin{matrix}Y_{3}, Z_{8} & X, Z_{7} \\ X, Z_{7} & Y_{4}, Z_{6} \\ Y_{4}, Z_{6} & X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{5} \\ X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{5} & X, Y_{4}, Z_{9} \\ X, Y_{4}, Z_{9} & Y_{3}, Z_{8} \\ X ∩ Y_{3}, Y_{4}, Z_{7} & Y_{3} ∩ Z_{6}, X, Z_{9} \\ Y_{3} ∩ Z_{6}, X, Z_{9} & X ∩ Z_{5}, Y_{4}, Z_{8} \\ X ∩ Z_{5}, Y_{4}, Z_{8} & X ∩ Y_{3}, Y_{4}, Z_{7} \\ Y_{4} ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{7}, X, Z_{9} & X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{6}, Y_{4}, Z_{8} \\ X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{6}, Y_{4}, Z_{8} & Y_{4} ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{7}, X, Z_{9} \end{matrix}

Beweis: Nicht für jede der zehn Behauptungen gebe ich einen vollständigen Beweis.

1. X^{+} ∩ Z_{7}^{+} sind die (0, y, −y) mit y ∈ Y_{3} ∩ Z_{8}: Das zeigt die erste Entsprechung im Falle der Direktheit.

Sei nun P = Y_{3}+Z_{8}, sei (x, y, z) ∈ P^{+}. Nach Voraussetzung ist x = y′+z′ für geeignete y′ ∈ Y_{3} und z′ ∈ Z_{8}, somit (x, y, z) = (y′ + z′, y, z) = (0, y + y′, z + z′) + (x, −y′, −z′) ∈ X^{+} + Z_{7}^{+}.

Sei P^{+} = X^{+} + Z_{7}^{+}; da ((∗)!) P = Y_{3} + Z_{5}, genügt es für P = Y_{3} + Z_{8} zu zeigen, daß Z_{5} ⊆ Y_{3} +Z_{8}. Sei also z ∈ Z_{5}; da P = X +Y_{3}, gibt es x ∈ X und y ∈ Y_{3} mit z = x + y. Also ist (−x, −y, z) ∈ P^{+} und nach Voraussetzung von der Form (−x, −y, z) = (0, y′, −y′) + (x′′, y′′, z′′) mit z′′ ∈ Z_{8}. Also ist z = −y′ + z′′ ∈ Y_{3} + Z_{8}.

2. wird ganz analog bewiesen.

3. Die Entsprechung der Direktheit ist ganz klar. – Sei P = Y_{4} + Z_{6} und (x, y, z) ∈ P^{+}. Also ist für geeignete y_{i} ∈ Y_{4} und z_{i} ∈ Z_{6} y = y_{1} + z_{1} und z = y_{2}+z_{2}; insbesondere gilt y_{2} ∈ Y_{4}∩Z_{5} und z_{1} ∈ Y_{3}∩Z_{6}. Damit (x, y, z) = (0, −y_{2}, y_{2})+(0, z_{1}, −z_{1})+(x, y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2}) ∈ X^{+}∩Y_{3}^{+}+X^{+}∩Z_{5}^{+}+Y_{3}^{+}∩Z_{5}^{+}.

Sei P^{+} = X^{+} ∩ Y_{3}^{+} + X^{+} ∩ Z_{5}^{+} + Y_{3}^{+} ∩ Z_{5}^{+}. Da P = Y_{4} + Z_{5}, ist nur Z_{5} ⊆ Y_{4} + Z_{6} zu zeigen. Aber wieder gibt es zu z ∈ Z_{5} Elemente x ∈ X und y ∈ Y_{3} mit z = x + y, und nach Voraussetzung (−x, −y, z) = (0, −y_{2}, y_{2}) + (0, z_{1}, −z_{1}) + (−x, y_{1}, z_{2}) mit Elementen y_{i} ∈ Y_{4} und z_{i} ∈ Z_{6}. Also folgt z = y_{2} − z_{1} + z_{2} ∈ Y_{4} + Z_{6}.

4. wird ähnlich bewiesen.

5. Man benutzt für den Schluß von P = X + Y_{4} + Z_{8} nach P^{+} = Y_{3}^{+} + Z_{8}^{+}, daß wegen (∗) gilt P^{+} = X^{+} + Y_{4}^{+} + Z_{8}^{+}, so daß es genügt, zu zeigen X^{+} ⊆ Y_{3}^{+} + Z_{8}^{+}.

6. Sei zunächst (X ∩ Y_{3}) + Y_{4} + Z_{7} direkt; die Elemente von Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+} sind genau die der Form (x, y, z) mit x ∈ X, y ∈ Y_{4}, z ∈ Z_{7} und x + y + z = 0, diejenigen von X^{+} + Z_{9}^{+} sind die der Form (y′, y − y′, −y) mit y′ ∈ X ∩ Y_{3} und y ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}. Wegen (∗) dürfen wir annehmen, es sei X^{+} ∩ Z_{9}^{+} = 0; Elemente im Schnitt von X^{+} + Z_{9}^{+} und Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+} haben, wie eben gesehen, die Form (y′, y −y′, −y) mit y ∈ Y_{3} ∩Z_{5}, y′ ∈ X ∩Y_{3}, y −y′ ∈ Y_{4} und y ∈ Z_{7}. Damit ist y′ ∈ (X ∩ Y_{3}) ∩ (Y_{4} + Z_{7}) = 0, also auch y = 0 und die gewünschte Direktheit gezeigt.

Sei nun umgekehrt (Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+}) + X^{+} + Z_{9}^{+} direkt. Wegen (∗) nehmen wir an, es sei Y_{4} + Z_{7} direkt. Sei nun y′ ∈ (X ∩ Y_{3}) ∩ (Y_{4} + Z_{7}) = (X ∩ Y_{3}) ∩ (Y_{4} + Z_{7} ∩ Y_{3}); es gibt also y ∈ Y_{3} ∩ Z_{7} mit y′ = (y′ − y) + y und y′ − y ∈ Y_{4}.

Also ist Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+} ∋ (−y′, y′ − y, y) = (0, −y, y) + (−y′, y′, 0) ∈ X^{+} + Z_{9}^{+} und somit y′ = 0.

Sei P = (X ∩ Y_{3}) + Y_{4} + Z_{7}; wegen P^{+} = X^{+} + Z_{6}^{+} genügt es, zu zeigen Z_{6}^{+} ⊆ (Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+}) + X^{+} + Z_{9}^{+}. Sei also (x, y, z) ∈ Z_{6}^{+}, insbesondere z ∈ Z_{7}. Nach Voraussetzung gibt es y_{1} ∈ X ∩ Y_{3}, y_{2} ∈ Y_{4} und y_{3} ∈ Z_{7}, so daß y = y_{1} + y_{2} + y_{3}. Insbesondere y_{3} ∈ Y_{3} ∩ Z_{7} und y_{3} + z ∈ Z_{7}. Also (x, y, z) = (x + y_{1}, y_{2}, y_{3} + z) + (0, y_{3}, −y_{3}) + (−y_{1}, y_{1}, 0) ∈ (Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+}) + X^{+} + Z_{9}^{+}.

Sei schließlich umgekehrt P^{+} = (Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+}) + X^{+} + Z_{9}^{+}. Da wegen (∗) gilt P = X + Y_{4} + Z_{7}, genügt es zu zeigen, daß X ⊆ (X ∩ Y_{3}) + Y_{4} + Z_{7}. Sei also x ∈ X; es gibt y ∈ Y_{3} und z ∈ Z_{5} mit x = y + z. Das Element (x, −y, −z) hat die Form (x′, y′, z′) + (0, y′′, −y′′) + (x′′, −x′′, 0) mit, unter anderem, (x′, y′, z′) ∈ Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+}, also y′ ∈ Y_{4}, z′ ∈ Z_{7}. Nun ist x = x′′ + x′ = x′′ − y′ − z′ ∈ (X ∩ Y_{3}) + Y_{4} + Z_{7}.

7. und 8. werden ganz ähnlich nachgerechnet.

9. Y_{4}^{+} + Z_{8}^{+} und (X^{+} ∩ Y_{3}^{+}) + (X^{+} ∩ Z_{6}^{+}) sind wegen (∗) ohnehin direkt. Die Elemente aus Y_{4}^{+} + Z_{8}^{+} sind genau die der Form (x, y, z) + (x′, 0, −x′) mit z ∈ Z_{9} und x′ ∈ X ∩ Z_{5}; die Elemente aus (X^{+} ∩ Y_{3}^{+}) + (X^{+} ∩ Z_{6}^{+}) sind die der Gestalt (0, y′, −y′) + (0, z′, −z′) mit y′ ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} und z′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{7}. Die Elemente aus dem Schnitt dieser beiden Vektorräume haben also die Form (x+x′, y, z−x′) = (0, y′+z′, −y′−z′) mit z ∈ Z_{9}, x′ ∈ X∩Z_{5}, y′ ∈ Y_{4}∩Z_{5} und z′ ∈ Y_{3}∩Z_{7}. Insbesondere folgt X +Z_{9} ∋ z−x′ = −y′−z′ ∈ Y_{4}∩Z_{5}+Y_{3}∩Z_{7}. Damit ist die eine Richtung der Direktheit erledigt; die andere geht durch Rückwärtsrechnen.

Sei nun P = (Y_{4} ∩ Z_{5}) + (Y_{3} ∩ Z_{7}) + X + Z_{9}; da P^{+} = X^{+} + Y_{4}^{+} + Z_{8}^{+}, genügt es zu zeigen, daß X^{+} ⊆ (X^{+} ∩ Y_{3}^{+}) + (X^{+} ∩ Z_{6}^{+}) + Y_{4}^{+} + Z_{8}^{+}. Sei also (0, y, −y) ∈ X^{+}. Nach Voraussetzung gibt es x ∈ X, z ∈ Z_{9}, y_{1} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} und y_{2} ∈ Y_{3}∩Z_{7}, so daß y = y_{1}+y_{2}+x+z. Da y ∈ Y_{3}∩Z_{5}, folgt insbesondere x ∈ X ∩ Z_{5}. Damit gilt (0, y, −y) = (0, y_{1}, −y_{1}) + (0, y_{2}, −y_{2}) + (x, 0, −x) + (−x, x + z, −z) wie gewünscht.

Umgekehrt sei nun P^{+} = (X^{+} ∩ Y_{3}^{+}) + (X^{+} ∩ Z_{6}^{+}) + Y_{4}^{+} + Z_{8}^{+}. Da P = X + Y_{3}, genügt es, zu zeigen, daß Y_{3} ⊆ (Y_{4} ∩ Z_{5}) + (Y_{3} ∩ Z_{7}) + X + Z_{9}. Wieder gibt es zu y ∈ Y_{3} Elemente x ∈ X und z ∈ Z_{5} mit y = x + z; nach Voraussetzung gibt es eine Summenzerlegung (−x, y, −z) = (0, y_{2}, −y_{2}) + (0, y_{3}, −y_{3})+(x_{2}, 0, −x_{2})+(x_{1}, y_{1}, z_{1}) mit z_{1} ∈ Z_{9}, y_{2} ∈ Y_{4} ∩Z_{5}, y_{3} ∈ Y_{3} ∩Z_{7} usw. Insbesondere folgt y = y_{2} + y_{3} + y_{1} = y_{2} + y_{3} − x_{1} − z_{1} wie gewünscht.

10. ist ganz analog.

Weiter geht’s wie üblich:

Definition 5.5 (∗)

i. S_{1} sei der Funktor, der eine Ẽ_{7}-Darstellung

[figure: R; E_{2}; F_{2}; G_{2}; E_{1}; F_{1}; G_{1}; W]

auf

[figure: E_{1}/G_{1} ⊕ R; E_{1}/G_{1} ⊕ E_{2}; E_{1}/G_{1} ⊕ F_{2}; E_{1}/G_{1} ⊕ G_{2}; E_{1}/G_{1}; F_{1}/G_{1}; R; W; Δ; E_{1}]

abbildet; dabei ist Δ die durch die Diagonaleinbettung induzierte Abbildung.

ii. S′_{1} werfe eine Ẽ_{8}-Darstellung

[figure: P; Z_{5}; Z_{6}; Z_{7}; Z_{8}; Z_{9}; Y_{3}; Y_{4}; X]

auf

[figure: Y_{3} ∩ X; Y_{3} ∩ (X + Z_{9}); Y_{3} ∩ (X + Z_{8}); Y_{3}; Y_{4}; Y_{3} ∩ Z_{5}; Y_{3} ∩ Z_{6}; Y_{3} ∩ Z_{7}]

Lemma 5.5.4 (∗)

i. S_{1} und S′_{1} sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen Moduln über Ẽ_{7} und Darstellungen von Ẽ_{8}, die der Bedingung P = Y_{3}⊕Z_{8} genügen.

ii. S_{1} (und S′_{1} auf dem entsprechenden abgeschlossenen Unterraum von i.) erhält Defekt; S′_{1} erhält Injektionen, S_{1} Surjektionen.

In [DF 73] werden vier weitere Funktoren, S_{i}, i = 2, 3, 4, 5, von Ẽ_{7}-Darstel-lungen zu Ẽ_{8}-Darstellungen definiert; zu diesen habe ich ebenfalls Funktoren S′_{i} gefunden, so daß die entsprechenden Versionen von Lemma 5.5.4 (mit geeigneten Bedingungen in ii.) gelten. Für unsere Zwecke (und für die Zwecke in [DF 73] auch!) genügen aber die Funktoren (C^{−})^{l}(S_{1}), für l = 0, 1, 2, 3, 4 (siehe unten). Diese sind übrigens wesentlich verschieden von den S_{i}, i = 2, 3, 4, 5, wie Lemma 5.5.6 (und die entsprechenden Versionen für die S_{i}, i = 2, 3, 4, 5) und Lemma 5.5.3 zeigen; andererseits gilt jedoch, daß (unter (∗)) S_{i} und (C^{−})^{6−i}S_{1} das gleiche Bild haben, für i = 1, 2, 3, 4, 5.

Beweis: ii. ist trivial. Und i. ist einfach; wegen (∗) darf man annehmen, es sei P = Y_{3} + X stets erfüllt.

Das nächste triviale Lemma wird im Beweis von Lemma 5.5.6 und später, in Kapitel 8, verwandt.

Lemma 5.5.5 (∗) Für rein-injektive Unzerlegbare U sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i. P = X ∩ Y_{3} + X ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{5};

ii. P = Y_{3} + X ∩ Z_{5};

iii. Y_{3} = X ∩ Y_{3} + Y_{3} ∩ Z_{5};

iv. X = X ∩ Y_{3} + X ∩ Z_{5};

v. Z_{5} = X ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{5}.

(analog für die Direktheit der Summen). Die entsprechende Behauptung gilt auch (für Ẽ_{6}), ersetzt man X, Y_{3}, Z_{5} durch E_{1}, E_{2}, E_{3}.

Beweis: Aus Symmetriegründen genügt es, die Äquivalenz von i., ii. und iii. einzusehen. Die Aussage des Lemmas über die Direktheit ist ohnehin trivial, ebenso die Richtung von i. nach ii. und iii.; außerdem folgt aus ii. zusammen mit iii. sofort i. Es genügt also, die Äquivalenz von ii. und iii. zu verifizieren.

Es gelte iii. Da wegen (∗) P = X + Y_{3}, genügt es zu zeigen, daß X ⊆ Y_{3} + (X ∩ Z_{5}). Sei also x ∈ X; da P = Y_{3} + Z_{5}, gibt es y ∈ Y_{3} und z ∈ Z_{5} mit x = y + z. Nach Voraussetzung ist y = y_{1} + y_{2} für geeignete y_{1} ∈ X ∩ Y_{3} und y_{2} ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}; somit ist x = y_{1} + (y_{2} + z), mit Z_{5} ∋ y_{2} + z = x − y_{1} ∈ X, und also x ∈ Y_{3} + (X ∩ Z_{5}), wie gewünscht. Es gelte nun ii. Sei y ∈ Y_{3}, also y = x + z mit geeigneten x ∈ X und z ∈ Z_{5}. Nach Voraussetzung ist x = y′ + x′ mit y′ ∈ Y_{3} und x′ ∈ X ∩ Z_{5}. Insbesondere y′ ∈ X ∩ Y_{3}. Somit y = y′ + (x′ + z), y′ ∈ X ∩ Y_{3} und x′ + z ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}.

Lemma 5.5.6 (∗) Sei M Modul über k[Ẽ_{7}], S_{1}(M) das Bild, jeweils mit der Standardnotation. Dann ist in der folgenden Liste die Summe der Unterräume rechts (in S_{1}(M)) direkt (bzw. gleich P) genau dann, wenn diejenige der Unterräume links (in M) direkt (bzw. gleich R) ist:

\begin{matrix}– & Y_{3}, Z_{8} \\ E_{1}, G_{2} & X, Z_{7} \\ F_{2}, W & Y_{4}, Z_{6} \\ E_{2}, G_{1} & X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{5} \\ F_{1}, W & X, Y_{4}, Z_{9} \\ E_{1} ∩ E_{2}, W & X ∩ Z_{5}, Y_{4}, Z_{8} \\ G_{1}, G_{2}, W & X ∩ Y_{3}, Y_{4}, Z_{7} \\ F_{1}, F_{2} & Y_{3} ∩ Z_{6}, X, Z_{9} \\ W, E_{1} ∩ F_{2}, G_{1} & X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{6}, Y_{4}, Z_{8} \\ W, E_{2} ∩ F_{1}, G_{2} & Y_{4} ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{7}, X, Z_{9} \end{matrix}

Beweis: Um Quotienten zu vermeiden, argumentiere ich hier statt mit Darstellungen M von Ẽ_{7} und ihren Bildern unter S_{1} mit Darstellungen über Ẽ_{8} und ihren Bildern unter S′_{1}; wegen Lemma 5.5.4 ist das gleichbedeutend. Die Zeilen (Behauptungen) seien wieder durchnumeriert.

1. Hier ist nichts zu zeigen.

2. E_{1} entspricht Y_{3} ∩ (X + Z_{8}), G_{2} entspricht Y_{3} ∩ Z_{7} und R schließlich Y_{3}, so daß zu zeigen ist, daß (für eine Ẽ_{8}-Darstellung im Bild von S_{1}) X + Z_{7} direkt in P (bzw. gleich P) ist, genau dann wenn Y_{3} ∩ (X + Z_{8}) + Y_{3} ∩ Z_{7} direkt in Y_{3} (bzw. gleich Y_{3}) ist.

Ist X∩Z_{7} = 0, so folgt Y_{3}∩Z_{7}∩(X+Z_{8}) = Y_{3}∩(X∩Z_{7}+Z_{8}) = Y_{3}∩Z_{8} = 0 nach Voraussetzung. Umgekehrt sei Y_{3} ∩ Z_{7} ∩ (X + Z_{8}) = 0; sei x ∈ X ∩ Z_{7}. Nach Voraussetzung ist x = y + z für geeignete y ∈ Y_{3} und z ∈ Z_{8}, also y ∈ Y_{3} ∩ Z_{7} ∩ (X + Z_{8}) = 0 und z = x ∈ X ∩ Z_{8} = 0 (wegen (∗)).

Sei P = X +Z_{7} und y ∈ Y_{3}. Somit y = x+z für x ∈ X und z ∈ Z_{7}. Nach Voraussetzung gibt es y′ ∈ Y_{3} und z′ ∈ Z_{8}, so daß z = y′ + z′. Insbesondere y′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{7}. Also y = x + y′ + z′ = (x + z′) + y′, wobei x + z′ ∈ X + Z_{8} und automatisch ∈ Y_{3}, wie gewünscht.

Sei nun Y_{3} = Y_{3} ∩ (X + Z_{8}) + Y_{3} ∩ Z_{7}. Wegen (∗) ist P = Y_{3} + Z_{7} = Y_{3} ∩ (X + Z_{8}) + Y_{3} ∩ Z_{7} + Z_{7} ⊆ (X + Z_{8}) + Z_{7} = X + Z_{7}, wie verlangt.

3. Hier ist zu zeigen, daß (im Bild von S_{1}) Y_{4} + Z_{6} genau dann direkt (bzw. gleich P) ist, wenn Y_{3} ∩Z_{6} +Y_{4} direkt (bzw. gleich Y_{3}) ist. Das ist aber klar.

4. Zu zeigen ist, daß X ∩ Y_{3} + X ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{5} genau dann direkt (bzw. gleich P) ist, wenn X ∩ Y_{3} + Y_{3} ∩ Z_{5} direkt (bzw. gleich Y_{3}) ist. Das liefert gerade Lemma 5.5.5.

5. Zu zeigen ist hier, daß X + Y_{4} + Z_{9} genau dann direkt (bzw. gleich P) ist, wenn Y_{3} ∩ (X + Z_{9}) + Y_{4} direkt (bzw. gleich Y_{3}) ist. Das ist alles klar, bis auf evtl.: Sei Y_{3} = Y_{3} ∩ (X + Z_{9}) + Y_{4}. Dann ist wegen P = X + Y_{3} aber P = X + Y_{3} ∩ (X + Z_{9}) + Y_{4} ⊆ X + Y_{4} + Z_{9}.

6. Nachzuweisen ist, daß (X ∩ Z_{5}) + Y_{4} + Z_{8} direkt (bzw. gleich P) genau dann ist, wenn Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) + Y_{4} direkt (bzw. gleich Y_{3}) ist. Die Direktheit ist einfach.

Sei nun Y_{3}∩Z_{5}∩(X +Z_{8})+Y_{4} = Y_{3}; da wegen (∗) P = (X ∩Z_{5})+Y_{3}+Z_{8} gilt (ja sogar P = (X ∩ Z_{6}) + Y_{3} + Z_{8}), genügt es zu zeigen, daß Y_{3} ⊆ (X ∩ Z_{5}) + Y_{4} + Z_{8}. Zu y ∈ Y_{3} gibt es x ∈ X, z ∈ Z_{8} und y′ ∈ Y_{4}, so daß y = x + z + y′ und x + z ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}. Folglich gilt x ∈ X ∩ Z_{5} und y ∈ (X ∩ Z_{5}) + Y_{4} + Z_{8}.

Sei umgekehrt P = (X ∩Z_{5})+Y_{4} +Z_{8}, sei y ∈ Y_{3}. Also y = x+y′ +z mit x ∈ X ∩ Z_{5}, y′ ∈ Y_{4} und z ∈ Z_{8}. Damit Y_{3} ∋ y − y′ = x + z ∈ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) und y = y′ + (x + z) wie gewünscht.

7. Ganz ähnlich den vorhergehenden Rechnungen; man benutzt, daß P = Y_{3} + Z_{7} angenommen werden kann.

8. ist noch einfacher; man verwendet zum Beispiel, daß P = X + Y_{3}.

9. Hier ist zu prüfen, daß (X ∩ Y_{3}) + (X ∩ Z_{6}) + Y_{4} + Z_{8} genau dann direkt (bzw. gleich P) ist, wenn (X ∩ Y_{3}) + (X + Z_{8}) ∩ Y_{3} ∩ Z_{6} + Y_{4} direkt (bzw. gleich Y_{3}) ist. Für die Direktheit ist das nicht schwer.

Sei Y_{3} = (X ∩ Y_{3}) + (X + Z_{8}) ∩ Y_{3} ∩ Z_{6} + Y_{4}; da wieder wegen Lemma 5.5.2 gilt, daß P = (X ∩ Z_{6}) + Y_{3} + Z_{8}, genügt der Nachweis von Y_{3} ⊆ (X ∩ Y_{3}) + (X ∩ Z_{6}) + Y_{4} + Z_{8}. Das ist aber klar.

Umgekehrt gelte P = (X∩Y_{3})+(X∩Z_{6})+Y_{4}+Z_{8}; sei y ∈ Y_{3} entsprechend zerlegt als y = x_{1} + x_{2} + y′ + z. Da y, y′, x_{1} ∈ Y_{3} folgt x_{2} + z ∈ Y_{3}; da x_{2}+z ∈ (X+Z_{8})∩Z_{6}, liegen nicht nur y′, x_{1} in (X∩Y_{3})+(X+Z_{8})∩Y_{3}∩Z_{6}+Y_{4} sondern auch x_{2} + z, somit auch y.

10. Diese Rechnung ist ähnlich, benutzt zum Beispiel, daß wegen Lemma 5.5.2 gilt P = (Y_{3} ∩ Z_{5}) + X + Z_{9} und P = Y_{4} + Z_{5}.

Lemma 5.5.7 Fast alle (endlichdimensionalen) diskreten Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 4 liegen im Bild eines der Funktoren (C^{−})^{l}S_{1}, l ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Entsprechendes gilt, ersetzt man C^{−} durch C^{+}.

Beweis: Die Tabellen von Dimensionstypen in [DF 73] zeigen, daß fast alle diskreten Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 4 im Bild eines der Funktoren S_{i}, i = 1, …, 5, liegen; wie oben bemerkt, folgt daraus die Behauptung.

Mit der üblichen Sprechweise:

Lemma 5.5.8

i. Fast alle Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 4 sind Moduln über k[Ẽ_{7}], fast alle mit |δ(U)| ≤ 3 schon Moduln über k[Ẽ_{6}]. Fast alle Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 2 sind Quadrupel. Fast alle Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ≤ 1 sind Kronecker-Moduln oder 2-Zyklen.

ii. Alle regulären endlichdimensionalen Unzerlegbaren sind k[X]-Moduln.

iii. Die stetigen (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren sind genau die Unzerlegbaren mit Dimensionstyp der Form (6l; 3l; 4l, 2l; 5l, 4l, 3l, 2l, l), l ≥ 1. Sie sind genau die Bilder der stetigen Ẽ_{7}-Unzerlegbaren unter einem der Funktoren S_{1} oder C^{+}S_{1} (zum Beispiel).

Beweis: Der Beweis ist analog dem von Lemma 5.4.7: Zu untersuchen sind nur noch stetige endlichdimensionale Unzerlegbare; diese sind aber (siehe [DF 73]) im Bild eines der Funktoren S_{i}, i = 1, …, 5, und somit – mit dem gleichen Argument wie eben im Beweis von Lemma 5.5.7 – im Bild eines der (C^{−})^{l}S_{1}, l ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. Nun folgen i. und ii. aus Lemma 5.4.7. Und iii. ergibt sich wie immer so: Die erste Behauptung hat man mit [DR 76]; der Rest ist genaueres Hinsehen.

Entscheidbarkeit

In diesem Kapitel zeigen wir, daß die Theorie aller Linksmoduln über einer zahmen Köcheralgebra entscheidbar ist, falls der Körper gewisse Voraussetzungen erfüllt. (Zur Erinnerung: Eine Köcheralgebra ist eine Köcheralgebra ohne Relationen.)

Abschnitt 6.1 enthält einige Grundlagen zur Entscheidbarkeit von Modultheorien. Der zweite Teil, Abschnitt 6.2, beinhaltet wichtige Folgerungen aus der in Kapitel 5 durchgeführten Analyse der endlichdimensionalen Unzerlegbaren über einer zahmen Köcheralgebra; diese Folgerungen werden nicht nur für den Beweis der Entscheidbarkeit sondern auch in Kapitel 8 für die Beschreibung der Topologie des Ziegler-Spektrums benötigt. In Abschnitt 6.3 gebe ich den angekündigten Beweis der Entscheidbarkeit der Modultheorie über einer Algebra der Form k[Δ], Δ einer der Euklidischen Köcher, k geeigneter Körper; außerdem leite ich noch einige verwandte Resultate her. Genauere Inhaltsangaben finden sich zu Anfang jedes Abschnitts.

6.1 Vorbereitung

Dieser Abschnitt enthält weitgehend bekannte Resultate zur Frage der Entscheidbarkeit von _{R}T, der Theorie aller Linksmoduln über einem Ring R. (Teilweise gelten diese auch für allgemeinere Modultheorien; wir benötigen für die Anwendungen in Abschnitt 6.3 aber nur diese spezielleren Versionen.) Die ersten drei Lemmata sind wohl im wesentlichen von Ziegler (siehe [Zie 84]): Neu, aber einfach, ist allenfalls Lemma 6.1.1, das eine zur Entscheidbarkeit der Modultheorie äquivalente Bedingung angibt. Lemma 6.1.4 ist von Prest; neu ist hier lediglich die Sicht des Beweises. Und Lemma 6.1.5 sowie Korollar 6.1.6 sind im wesentlichen schon von Eklof und Fisher ([EF 72, 5.4 Theorem und anschließende Beispiele]); man vergleiche die Bemerkung nach Lemma 6.1.5. Damit die Frage nach der Entscheidbarkeit von _{R}T sinnvoll ist, muß der Ring R eine Mindestvoraussetzung erfüllen: Wir nehmen stets an, R sei ein rekursiver Ring, das heißt R sei so durchnumeriert (das heißt habe eine Aufzählung ohne Wiederholungen), daß Addition und Multiplikation rekursive Funktionen sind; insbesondere ist R also abzählbar. In [Pre 88] werden weitere Annahmen an den Ring R diskutiert, die aus der Entscheidbarkeit von _{R}T folgen (etwa die Prestsche Bedingung (D)); ihre Bedeutung gewinnen sie allerdings erst bei Unentscheidbarkeitsresultaten: Erfüllt ein Ring, zum Beispiel, Bedingung (D) und ist _{R}T unentscheidbar, dann kann man dies mit einer gewissen Berechtigung auf die Kompliziertheit der Modulkategorie R-Mod zurückführen. Ist dagegen bereits (D) nicht wahr, dann ist schon der Ring zu unübersichtlich (gegeben). Da unser Interesse allein Entscheidbarkeitsresultaten gilt, verzichten wir auf eine weitere Erörterung. Ausgangspunkt ist das folgende Lemma (siehe die Bemerkung nach [Zie 84, Theorem 9.4]):

Lemma 6.1.1 R sei rekursiv. Dann sind äquivalent:

i. _{R}T ist entscheidbar.

ii. Es gibt eine Aufzählung φ_{i}/ψ_{i}, so daß die (φ_{i}/ψ_{i}) eine Basis von _{R}I bilden und die Relation “Es gibt eine endliche direkte Summe M reininjektiver Unzerlegbarer mit

φ_{1}/ψ_{1}(M) ∈ [n_{1}, m_{1}] ∧ … ∧ φ_{l}/ψ_{l}(M) ∈ [n_{l}, m_{l}]”,

n_{i} ∈ N, m_{i} ∈ N ∪ {∞}, rekursiv aufzählbar ist.

Beweis: Da R rekursiv ist, ist _{R}T rekursiv axiomatisierbar; also ist _{R}T genau dann entscheidbar, wenn die mit _{R}T konsistenten Sätze aufzählbar sind. Wegen des Satzes von Baur (Satz 1.1.3) ist dies genau dann der Fall, wenn die erfüllbaren booleschen Kombinationen von Invariantenbedingungen, das heißt von Formeln der Gestalt φ/ψ ∈ [n, m] mit n ∈ N und m ∈ N ∪ {∞}, aufzählbar sind; dabei genügt es, solche boolesche Kombinationen aufzuzählen, so daß die (φ/ψ) aus einer fest gewählten Basis von _{R}I sind (wegen [Zie 84, Corollary 6.13]). Wegen Satz 1.1.6 ist eine solche erfüllbare boolesche Kombination aber in einer direkten Summe rein-injektiver Unzerlegbarer – und dann in einer endlichen solchen – erfüllbar.

Lemma 6.1.2 R sei rekursiv. _{R}T ist entscheidbar, falls es eine Aufzählung φ_{i}/ψ_{i} gibt, so daß die (φ_{i}/ψ_{i}) eine Basis von _{R}I bilden und die Relation “Es gibt ein rein-injektives Unzerlegbares U mit

φ_{1}/ψ_{1}(U) ∈ [n_{1}, m_{1}] ∧ … ∧ φ_{l}/ψ_{l}(U) ∈ [n_{l}, m_{l}]”,

n_{i} ∈ N, m_{i} ∈ N ∪ {∞}, rekursiv aufzählbar ist.

Beweis: Aus einer solchen Aufzählung erhält man sofort eine wie in ii. des vorigen Lemmas.

Lemma 6.1.3 R sei rekursiv. Es gebe eine Aufzählung {U_{i}}_{i∈N} von_{R}I und eine Aufzählung {φ_{i}/ψ_{i}}_{i∈N}, so daß die (φ_{i}/ψ_{i}) eine Basis von _{R}I bilden, derart daß die Relation “φ_{i}/ψ_{i}(U_{j}) = l”, i, j, l ∈ N, rekursiv ist. Dann ist RT entscheidbar. Das Lemma gilt genauso, wenn man = l durch ≥ l ersetzt.

Beweis: Klar mit Lemma 6.1.2.

Das nächste Lemma ist eine “effektive” Version von Satz 4.1.8; siehe auch [Pre 88, Theorem 17.2]:

Lemma 6.1.4 R und S seien rekursive Ringe und “effektiv” (siehe [Pre 88, Seite 335]) Morita-äquivalent. Dann folgt aus der Entscheidbarkeit der Theorie der R-Moduln die der S-Moduln.

Beweis: Satz 4.1.8 zeigt, daß die Modulkategorien von R und S pp-äquiva-lent sind; weil “alles effektiv gegeben ist”, überträgt sich Entscheidbarkeit. (Für Einzelheiten der Rechnungen siehe [Pre 88, Seite 335-336].)

Als letztes in diesem ersten Abschnitt nun noch einige Ergebnisse, im wesentlichen wohlbekannt, zur Entscheidbarkeit von Dedekind-Ringen: Um auf Entscheidbarkeit der Modultheorie _{R}T eines Dedekind-Ringes R hoffen zu können, muß man natürlich voraussetzen, daß er rekursiv ist; es scheint, daß alle Resultate zusätzlich mindestens benötigen, daß es eine Aufzählung der maximalen Ideale von R (in Form von Erzeugenden) gibt. Das ist aber in manchen Fällen schon ausreichend für Entscheidbarkeit. Genauer gilt Lemma 6.1.5 Sei R ein rekursiver Dedekind-Ring mit einer Aufzählung {𝔭_{i}}_{i∈N} (durch Erzeugende) der maximalen Ideale. Dann sind äquivalent:

i. _{R}T ist entscheidbar.

ii. Die Relation | R/𝔭_{i} |= l, i, l ∈ N, ist rekursiv (bzw. rekursiv aufzählbar).

iii. Die Relation | R/𝔭_{i} |≤ l, i, l ∈ N, ist rekursiv (bzw. rekursiv aufzählbar).

Dies ist gegenüber [Zie 84, Corollary 9.7], [Pre 88, Theorem 17.13] und [EF 72, 5.4 Theorem] eine infinitesimal verbesserte Version: Denn dort wird Entscheidbarkeit von R nur unter der Vorauusetzung behauptet, daß |R/𝔭_{i} | in Abhängigkeit von i ausgerechnet werden kann, daß also ii. des Lemmas für l ∈ N ∪ {∞} gilt. Und neu ist offenbar auch die Formulierung des Lemmas als Äquivalenz. Beweis: Ist R ein Körper, dann ist das Lemma trivial: _{R}T ist entscheidbar; zum Beispiel weil _{R}T abzählbare ω_{1}-kategorische, also vollständige Theorie ist. R sei also ohne Einschränkung kein Körper. Ist | R/𝔭_{i} |= l, i, l ∈ N rekursiv aufzählbar, dann auch | R/𝔭_{i} |≤ l, i, l ∈ N; und ist | R/𝔭_{i} |≤ l, i, l ∈ N rekursiv, dann auch | R/𝔭_{i} |= l, i, l ∈ N. Es genügt also, die Äquivalenz von i. und der beiden Versionen von iii. zu zeigen. – Unter den Voraussetzungen an R gilt zunächst Behauptung: Die Relation “b ∈ (a_{1}, …, a_{n})” ist rekursiv. Beweis der Behauptung: Diese Relation ist rekursiv aufzählbar, da der Ring R rekursiv ist. Es genügt also einzusehen, daß “b ∉ (a_{1}, …, a_{n})” rekursiv aufzählbar ist. Aber b ∉ (a_{1}, …, a_{n}) gilt genau dann, wenn (a_{1}, …, a_{n}) ⊊ (b, a_{1}, …, a_{n}), also genau dann, wenn es ein i gibt, so daß (a_{1}, …, a_{n}) ⊆ 𝔭_{i} · (b, a_{1}, …, a_{n}), und dies ist offenbar rekursiv aufzählbar, weil die 𝔭_{i} durch Erzeugende gegeben sind und die Produkte der Erzeugenden zweier Ideale das Produkt der Ideale erzeugen. Das zeigt die Behauptung. Folglich ist die Relation | R/𝔭_{i} |≥ l, i, l ∈ N, rekursiv aufzählbar, und die beiden Versionen von iii. sind äquivalent. Es gelte i. Weil jeder Modul elementar äquivalent zu einer direkten Summe rein-injektiver Unzerlegbarer ist (Satz 1.1.6), folgt aus der Beschreibung der rein-injektiven Unzerlegbaren über Dedekind-Ringen (Abschnitt 1.3), daß | R/𝔭_{i} |≤ l genau dann gilt, wenn es einen Modul M mit 1 <| M/𝔭_{i}M |≤ l gibt. Das aber ist durch einen Satz in _{R}L ausdrückbar. Somit gilt iii.

Umgekehrt gelte nun iii. Dann liefert Lemma 1.3.4, daß die Voraussetzungen von Lemma 6.1.3 erfüllt sind: _{R}T ist entscheidbar.

Ein Körper k habe einen Zerfällungsalgorithmus, wenn es einen Algorithmus gibt, der zu einem gegebenen Polynom aus k[X] seine irreduziblen Faktoren bestimmt.

Korollar 6.1.6 Sei k ein rekursiver Körper mit einem Zerfällungsalgorithmus. Dann ist die Theorie _{k[X]}T der k[X]-Moduln entscheidbar.

Beweis: Das folgt aus Lemma 6.1.5: Man kann nämlich die | k[X]/(p) |, p irreduzibel, ausrechnen. Denn ist k endlich, dann ist | k[X]/(p) |=| k |^{deg(p)}, und ist k unendlich, dann sind alle diese Werte ebenfalls unendlich. Und mit k ist natürlich auch k[X] rekursiv (auf naheliegende Weise).

Man beachte, daß ein endlicher Körper automatisch alle Voraussetzungen des Korollars erfüllt, das heißt rekursiv mit Zerfällungsalgorithmus ist. Weitere Beispiele von Körpern mit Zerfällungsalgorithmus sind etwa Q und abzählbare algebraisch abgeschlossene Körper (siehe [Pre 88, Seite 344]).

6.2 Vom Endlichen zum Unendlichen

Hier stehen einige für alles Weitere wichtige Folgerungen aus der in Kapitel 5 durchgeführten Analyse der endlichdimensionalen Unzerlegbaren über einer zahmen Köcheralgebra. Mit ihnen wird der Schritt vom Endlichdimensionalen zum Unendlichdimensionalen getan. Inwieweit diese Ergebnisse neu sind, ist mir nicht klar; sie sind jedenfalls explizit noch nicht so formuliert worden, und zumindest Korollar 6.2.4 sowie Korollar 6.2.5 scheinen neu zu sein. – Erinnert sei wiederum an die Sprechweise von Seite 80.

Satz 6.2.1 Δ sei einer der Euklidischen Köcher ohne gerichtete Zyklen. Reguläre Unzerlegbare sind k[X]-Moduln.

Beweis: Explizite Formeln für den Defekt habe ich in Kapitel 5 nur für jeweils eine ausgewählte Orientierung angegeben; es zeigt sich aber, daß alle dort betrachteten pp-Äquivalenzen auch den Defekt endlichdimensionaler Moduln erhalten (jeweils eine vollkommen triviale Rechnung), sofern Defekt überhaupt über beiden Algebren definiert ist. Daher genügt es, die Behauptung für die Köcher Ã_{2n+1} (mit alternierender Orientierung), D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} mit den Standardorientierungen zu beweisen. Für Ã_{2n+1} (sogar für Ã_{n} mit beliebiger Orientierung ohne gerichtete Zyklen) folgt sie dann aus Lemma 5.1.5 und Korollar 5.1.3; für die übrigen Köcher aus den Lemmata 5.2.8, 5.3.8, 5.4.7 und 5.5.8.

Aus diesem und dem zentralen Satz 2.2.1 ziehen wir nun einige Folgerungen; dabei wird nicht immer die volle Stärke von Satz 2.2.1 verwandt: gelegentlich genügte auch Korollar 2.1.4.

Korollar 6.2.2 Die Menge der endlichdimensionalen Unzerlegbaren über k[Ã_{n}], Ã_{n} mit beliebiger Orientierung, ist dicht im Ziegler-Spektrum. Endlichdimensionale Unzerlegbare über k[Ã_{n}] sind isoliert und abgeschlossen; es gibt keine anderen isolierten rein-injektiven Unzerlegbaren.

Korollar 6.2.3 Lemma 5.1.2, Korollar 5.1.3, Lemmata 5.1.5, 5.1.6 und 5.2.1 gelten auch dann, wenn man (wo es sinnvoll ist) “endlichdimensional” durch “rein-injektiv” ersetzt. Lemma 4.2.3 gilt, wenn man “regulär” durch “regulär oder unendlichdimensional rein-injektiv” ersetzt.

Und hier die wohl wichtigste Folgerung (in der üblichen Sprechweise):

Korollar 6.2.4 Δ sei ein Euklidischer Köcher (mit beliebiger Orientierung). Unendlichdimensionale rein-injektive Unzerlegbare sind k[X|-Moduln.

Beweis: (der letzten drei Korollare) Korollar 6.2.2 und Korollar 6.2.3 folgen, falls nicht Ã_{n} mit zyklischer Orientierung betrachtet wird, aus den Ergebnissen über Artin-Algebren, insbesondere Korollar 2.1.4. Korollar 6.2.4 folgt aus Satz 2.2.1 und Satz 6.2.1, wiederum allerdings zunächst nur, falls nicht Ã_{n} mit zyklischer Orientierung vorliegt.

Es bleibt also, Ã_{n} mit zyklischer Orientierung zu betrachten: Das “Einbettungsargument” von Lemma 5.1.1 zeigt, daß endlichdimensionale Unzerlegbare abgeschlossen sind. Das gleiche Argument liefert auch, daß unendlichdimensionale rein-injektive Unzerlegbare k[X]-Moduln sind. Nachdem die rein-injektiven Unzerlegbaren nun identifiziert sind, folgt leicht der Rest von Korollar 6.2.2 und Korollar 6.2.3.

Insbesondere erhält man eine – angesichts des aber viel nützlicheren Korollars 6.2.4 nicht sehr wertvolle – Verschärfung von Satz 2.2.1:

Korollar 6.2.5 Δ sei einer der Euklidischen Köcher, ohne gerichtete Zyklen. Dann enthält der Abschluß der stetigen regulären Unzerlegbaren alle rein-injektiven unendlichdimensionalen Unzerlegbaren.

Beweis: Korollar 6.2.4 liefert die unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren; Inspektion der einzelnen Fälle zeigt sofort die Behauptung; dabei genügt es natürlich, die in Kapitel 5 betrachteten Orientierungen zu untersuchen.

Als weitere unmittelbare Folgerung der bisherigen Analyse ergibt sich das – ebenfalls nur kuriose und unnütze –

Korollar 6.2.6 Δ sei ein Euklidischer Köcher, beliebig orientiert. Dann sind fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren Unzerlegbare über Ẽ_{8}.

Beweis: Das folgt sofort aus den in Kapitel 5 angegebenen Funktoren; weder Unzerlegbarkeit noch Rein-Injektivität werden übrigens benutzt, um Darstellungen von Δ in Darstellungen von Ẽ_{8} zu kodieren.

Das letzte Korollar bringt zwar nichts Neues, gießt es aber in eine für später nützliche Form:

Korollar 6.2.7

i. Δ sei ein beliebig orientierter Euklidischer Köcher. Dann ist das Ziegler-Spektrum von k[Δ] von der Form A_{1} ∪ … ∪ A_{l} ∪ 0. O ist dabei eine Menge endlichdimensionaler (offen-abgeschlossener) Punkte von Defekt ungleich Null. Die A_{i} sind abgeschlossene Mengen der Gestalt ∩_{j}(φ_{j}/ψ_{j})^{c}, so daß die zu A_{i} gehörige Modulklasse pp-äquivalent ist zur Klasse der k[X]-Moduln.

ii. Δ sei einer der Euklidischen Köcher D̃_{n}, n ≥ 4, oder Ẽ_{n}, 6 ≤ n ≤ 8, mit beliebiger Orientierung; Δ′ sei D̃_{4} (im Falle D̃_{n}) oder Ẽ_{n} (im Falle Ẽ_{n}), aber mit der Standardorientierung. Dann gibt es offen-abgeschlossene koendliche Teilmengen A bzw. A′ des Ziegler-Spektrums von k[Δ] bzw. von k[Δ′], in deren Komplement jeweils nur endlichdimensionale Punkte von Defekt ungleich Null liegen und deren zugehörige Modulklassen pp-äquivalent und endlich axiomatisierbar sind.

iii. Δ sei der standardorientierte Euklidische Köcher D̃_{4} (bzw. Ẽ_{6}, bzw. Ẽ_{7}, bzw. Ẽ_{8}). Dann ist das Ziegler-Spektrum von k[Δ] von der Form A_{1} ∪ … ∪ A_{l} ∪ O mit abgeschlossenen Mengen A_{i}; es gibt koendliche offenabgeschlossenen Teilmengen A′_{1}, …, A′_{l} des Ziegler-Spektrums der Kronecker-Moduln (bzw. von D̃_{4}, bzw. von Ẽ_{6}, bzw. von Ẽ_{7}, jeweils mit der Standardorientierung), in deren Komplement jeweils nur endlichdimensionale Punkte von Defekt ungleich Null liegen, so daß die Modulklassen von A_{i} und A′_{i} endlich axiomatisierbar und pp-äquivalent sind. O ist, bis auf endlich viele endlichdimensionale Unzerlegbare, eine Menge von (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren U mit |δ(U)| ∈ {−2, 2} (bzw. |δ(U)| ∈ {−3, 3}, bzw. |δ(U)| ∈ {−4, 4}, bzw. |δ(U)| ∈ {−6, −5, 5, 6}).

Zusatz: Die pp-Äquivalenzen sind Kompositionen geeigneter Funktoren aus Kapitel 5 (einschließlich der im Beweis von Lemma 5.1.1 und Lemma 5.2.1 verwandten) und von Spiegelungsfunktoren. Im Fall iii. sind die pp-Äquiva-lenzen (in einer Richtung) von der Form (C^{−})^{l}D_{i,j} (bzw. (C^{−})^{l}T_{i,j,k}, bzw. (C^{−})^{l}S_{7}, bzw. (C^{−})^{l}S_{1}).

Beweis: Das folgt alles aus den Resultaten dieses Abschnitts, zusammen mit Lemma 4.2.3, nach Auflösen der ständig benutzten Sprechweise von Seite 80 – jedenfalls, wenn man etwas schummelt: Denn die Sprechweise liefert für i. zunächst nur, daß die Modulklasse zu A_{i} pp-äquivalent ist zu einer Teilklasse der Klasse der k[X]-Moduln, deren zugehörige Teilmenge des Ziegler-Spektrums koendlich in I(k[X]) ist. Aber eine Analyse der Funktoren zeigt die etwas stärkere Aussage i. Der Zusatz ergibt sich aus den jeweiligen Beweisen.

Und für späteren Gebrauch (siehe in Abschnitt 8.2 vor Satz 8.2.1) halten wir hier noch das folgende Lemma fest, das sich mit Hilfe von Satz 2.2.1 sofort aus Lemma 5.1.5 ergibt:

Lemma 6.2.8 Die rein-injektiven Unzerlegbaren aus A_{3} (siehe Lemma 5.1.5) sind:

i. rein-injektive Unzerlegbare aus A_{1} ∩ A_{2} ∩ A_{3};

ii. die beiden “(X)-adischen”, k̃[X]_{(X),f=1} ∈ A_{1} ∩ A_{3}:

[figure: k̃[X]_{(X)}; k̃[X]_{(X)}; f=1; g=X]

und k̃[X]_{(X),g=1} ∈ A_{2} ∩ A_{3}:

[figure: k̃[X]_{(X)}; k̃[X]_{(X)}; f=X; g=1]

iii. die Präprojektiven P_{n}.

6.3 Entscheidbarkeit zahmer Köcheralgebren

Dieser Abschnitt enthält den verblüffend einfachen Beweis für die Entscheidbarkeit der Theorie aller Linksmoduln über einer zahmen Köcheralgebra, das heißt einer Algebra der Form k[Δ], Δ einer der Euklidischen Köcher und k ein kommutativer Körper, der gewissen Bedingungen genügt. Dieses Resultat, das den bekannten Beweis von Baur ([Bau 80]) für die Entscheidbarkeit der Quadrupel von Vektorräumen verallgemeinert (und drastisch vereinfacht!), hatte Prest vermutet; Prest hat auch eine mögliche Beweisskizze angedeutet, allerdings nicht ausgeführt: Er hatte vorgeschlagen, das Ziegler-Spektrum der jeweiligen Algebra zu beschreiben und dann Lemma 6.1.3 von Ziegler anzuwenden, das die Entscheidbarkeit liefert ([Pre 92], [Pre 88], [Pre 85]). Dieses Programm ist tatsächlich durchführbar: Kapitel 8 beinhaltet gerade die gewünschte Beschreibung des Ziegler-Spektrums, und somit ergibt sich dann ein weiterer Beweis für die Entscheidbarkeit; siehe die Bemerkung nach dem Beweis von Satz 6.3.1. Allerdings geht es auch viel einfacher: Entscheidbarkeit folgt bereits jetzt ohne weiteres aus den Ergebnissen von Abschnitt 6.2 (und damit im wesentlichen aus Kapitel 5 und Satz 2.2.1). Der zentrale Satz über die Entscheidbarkeit ist Satz 6.3.1; dann werden weitere Folgerungen gezogen. – Korollar 6.3.2 scheint noch nicht bemerkt worden zu sein. – Siehe auch [Pre 88, Section 17.3], insbesondere [Pre 88, Theorem 17.16].

Satz 6.3.1 k sei rekursiv. Δ sei ein Euklidischer Köcher mit beliebiger Orientierung. Aus der Entscheidbarkeit der Theorie der k[X]-Moduln folgt die Entscheidbarkeit der Theorie der k[Δ]-Moduln.

Beweis: Wegen Lemma 6.1.1 genügt es zum Beweis der Entscheidbarkeit, die in endlichen direkten Summen rein-injektiver Unzerlegbarer erfüllbaren pp-Formeln aufzuzählen, das heißt, in der Notation von Korollar 6.2.7 i., die in Summen der Form

U_{1} ⊕ … ⊕ U_{m} ⊕ M_{1} ⊕ … ⊕ M_{l}

erfüllbaren, wobei die M_{i} ∈ A_{i} liegen (und endliche direkte Summen reininjektiver Unzerlegbarer sind; aber das wird gar nicht gebraucht), und die U_{j} von Defekt ≠ 0 endlichdimensional und unzerlegbar sind. Dazu genügt es,

1. die pp-Formeln aufzuzählen, die in einem geeigneten endlichdimensionalen Unzerlegbaren von Defekt ≠ 0 erfüllbar sind, und

2. diejenigen pp-Formeln aufzuzählen, die in einem geeigneten Modul M_{i} ∈ A_{i} erfüllbar sind. Die Unzerlegbaren von Defekt ≠ 0 sind aber wohlbekannt und können leicht aufgelistet werden: Zum Beispiel wegen [Rin 84, Lemma 3, Seite 63]; oder weil man sofort die projektiven und injektiven Unzerlegbaren angeben kann, um dann mit Hilfe der Coxeter-Funktoren alle endlichdimensionalen Unzerlegbaren von Defekt ungleich Null zu erzeugen. (Dies gilt wegen Lemma 5.1.1 auch im Falle einer Orientierung mit orientiertem Zyklus.) Und für ein festes endlichdimensionales Unzerlegbares U (von Defekt ≠ 0) und eine feste pp-Formel φ ist die Frage nach der Erfüllbarkeit von φ in U entscheidbar: Es geht nur um das Lösen eines Gleichungssystems! Also hat man die in 1. gewünschte Aufzählung. Die in 2. verlangte erhält man aus der Voraussetzung: Es gibt eine – explizit berechenbare – pp-Formel φ_{i}, so daß φ genau dann in einem M_{i} ∈ A_{i} erfüllbar ist, wenn φ_{i} in einem geeigneten k[X]-Modul erfüllbar ist.

In Kapitel 8 werden – jedenfalls im Prinzip – Umgebungsbasen für die reininjektiven Unzerlegbaren über einer zahmen Köcheralgebra k[Δ] bestimmt. Deshalb ergibt sich mit Lemma 6.1.3 ein weiterer Beweis für die Entscheidbarkeit. Der eben gegebene Beweis für die Entscheidbarkeit der zahmen Köcheralgebren (bei geeignetem Körper) verwendet also in der Tat kaum etwas: Kapitel 5 (und das heißt im wesentlichen die Arbeit [DF 73]) liefert Satz 6.2.1; Satz 2.2.1 ergibt damit Korollar 6.2.4 und Korollar 6.2.7– das sind schon alle Ingredienzien für den Beweis! – Es sei noch bemerkt, daß die Voraussetzung der Zahmheit nur bei Satz 6.2.1 eingeht: Die präprojektiven und präinjektiven Unzerlegbaren kann man stets gut überblicken; daß man aber auch die regulären Unzerlegbaren versteht, ist der Zahmheit zu verdanken. Die Kompliziertheit der Modulkategorie von wilden Köcheralgebren rührt also von den regulären Unzerlegbaren her. – Als Folgerung aus dem Beweis erhält man noch:

Korollar 6.3.2 Δ sei ein Euklidischer Köcher, k rekursiv. Aus der uniformen Entscheidbarkeit der k[X]-Moduln folgt die uniforme Entscheidbarkeit der k[Δ]-Moduln.

Da – in der bekannten Sprechweise – jedes rein-injektive Unzerlegbare über k[X] auch eines über k[Δ] ist (für gegebenes Δ), wie die Überlegungen in Kapitel 5 zeigen, gilt natürlich auch die Umkehrung von Satz 6.3.1 und Korollar 6.3.2. – Das gleiche Argument (siehe auch Korollar 6.2.6) liefert auch, daß die Behauptung von Satz 6.3.1 (bzw. Korollar 6.3.2) äquivalent zur Entscheidbarkeit (bzw. uniformen Entscheidbarkeit) der Theorie der Moduln über k[Ẽ_{8}] ist. – In den meisten Fällen, in denen man die Entscheidbarkeit der Theorie der k[X]-Moduln zur Verfügung hat, wird man die rein-injektiven unzerlegbaren k[X]-Moduln aufzählen können (zum Beispiel im Falle eines rekursiven Körpers k mit Zerfällungsalgorithmus): Dann erhält man auch eine Aufzählung der rein-injektiven k[Δ]-Unzerlegbaren (wieder in der Notation von Korollar 6.2.7 i.): Die Unzerlegbaren von Defekt ungleich Null kann man wie im Beweis von Satz 6.3.1 aufzählen. Die anderen rein-injektiven Unzerlegbaren liegen in der Vereinigung der A_{i}; da die pp-Äquivalenzen, etwa F_{i} mit Bild A_{i}, ganz explizit gegeben sind, erhält man ohne weiteres aus den k[X]-Unzerlegbaren alle Unzerlegbaren, die in einem der A_{i} liegen. In den so erzeugten Listen der rein-injektiven Unzerlegbaren gibt es Wiederholungen (durch die nichtleeren Durchschnitte der A_{i}), die sich allerdings eliminieren lassen: Denn dazu genügt es, von einem rein-injektiven Unzerlegbaren der Form F_{i}(U), U ein k[X]-Modul, zu entscheiden, ob es auch die Form F_{j}(V) für ein geeignetes V hat, und gegebenenfalls dies V auszurechnen. Dies ist aber kein Problem.

Korollar 6.3.3 k sei rekursiver Körper mit Zerfällungsalgorithmus, Δ sei ein beliebig orientierter Dynkin- oder Euklidischer Köcher. Dann ist die Theorie _{k[Δ]}T der k[Δ]-Moduln entscheidbar.

Beweis: Ist Δ Euklidischer Köcher, so folgt die Behauptung aus Satz 6.3.1 und Korollar 6.1.6. Im Falle eines Dynkin-Köchers Δ ist k[Δ] von endlichem Darstellungstyp (Satz 1.6.8), das Ziegler-Spektrum daher eine endliche Menge endlichdimensionaler Unzerlegbarer, die die diskrete Topologie trägt (Satz 2.1.9). Nun liefert Lemma 6.1.3 (zum Beispiel) die Behauptung.

Korollar 6.3.4 k sei rekursiver algebraisch abgeschlossener Körper, A sei eine hereditäre endlichdimensionale k-Algebra, die zahm oder von endlichem Darstellungstyp ist. Dann ist die Theorie der A-Moduln entscheidbar.

Beweis: k hat, wie im Anschluß an den Beweis von Korollar 6.1.6 bemerkt, einen Zerfällungsalgorithmus; wegen des Korollars eben ist also die Theorie k[Δ]T der k[Δ]-Moduln entscheidbar, wenn Δ ein Dynkin- oder Euklidischer Köcher ist. Wegen Korollar 1.6.9 ist A aber Morita-äquivalent zu einer Algebra eben dieser Gestalt k[Δ]; da der diese “Morita-Äquivalenz vermittelnde” endlichdimensionale projektive Modul effektiv gefunden werden kann (siehe [Gab 80, Section 4.3] – auch für eine Erklärung dessen, was “Morita-Äqui-valenz vermittelnd” bedeuten soll), folgt nun die Behauptung aus Lemma 6.1.4.

Es gilt auch die Umkehrung von Korollar 6.3.3 und 6.3.4; siehe [Pre 88, Section 17.2]. – Auf die Formulierung eines weiteren Korollars ([Pre 88, Theorem 17.17]), verzichte ich hier: Es folgt, da Lemma 6.1.4 etwas allgemeiner gilt, nämlich auch für “kipp-äquivalente” Moduln (mit gleichem Beweis).

Axiomatisierbarkeit

Dieses Kapitel ist Axiomatisierbarkeitsfragen gewidmet. Die wichtigsten Ergebnisse betreffen das Problem, für welche Ringe R es eine vollständige Theorie von unendlichen R-(Links-)Moduln gibt, die modulo der Theorie aller R-(Links-)Moduln endlich axiomatisierbar ist (siehe Abschnitt 7.1 für Einzelheiten). Alle Resultate dieses Kapitels, mit Ausnahme von Lemma 7.1.1, sind neu (teilweise aber recht trivial); und Satz 7.5.1 ist nur eine deutlich bessere Version eines Ergebnisses von Peretjatkin.

In Abschnitt 7.1 wird die Problemstellung präzisiert und in einen größeren Zusammenhang eingebettet, so daß ersichtlich wird, warum es sich um Fragen handelt, die zu studieren sich lohnt. Abschnitt 7.2 enthält allgemeine Lemmata vorbereitender Natur; in Abschnitt 7.3 finden sie erste Anwendung. Wichtigste Ergebnisse dort sind Satz 7.3.1 und Satz 7.3.3. Und Abschnitt 7.4 löst die eingangs erwähnte Frage für einige Klassen von Ringen: für kommutative (von Neumann-) reguläre Ringe, für Dedekind-Ringe, und für zahme Köcheralgebren. Im letzten Abschnitt, 7.5, findet sich ein einfaches Beispiel einer vollständigen, ω_{1}-kategorischen Theorie mit unendlichen Modellen: Dort geht es also nicht um Moduln.

7.1 Problemstellung

Dieser einleitende Abschnitt enthält neben einigen Definitionen eine Schilderung des Zusammenhangs, in den das Problem der endlichen Axiomatisierbarkeit von Modultheorien eingebettet ist. Schöne Worte also. R-Moduln sind stets R-Linksmoduln. Theorien sind nicht unbedingt vollständig.

Definition 7.1 Zwei Theorien T und T′ (in Sprachen L bzw. L′) heißen interdefinierbar, falls sie – bis auf eine Bijektion der Sprachen L und L′ – eine gemeinsame definitorische Erweiterung besitzen.

Ein bekanntes Beispiel für interdefinierbare Theorien sind etwa die Theorie der partiellen Ordnungen mit Supremum und Infimum und die Theorie der Verbände. – Man sieht leicht ein, daß gilt:

Lemma 7.1.1 Zwei vollständige Theorien T und T′ sind genau dann interdefinierbar, wenn es Modelle A ⊧ T und A′ ⊧ T′ mit gleichem Universum gibt, so daß in A und A′ die gleichen Relationen definierbar sind. (Man findet dann zu jedem A ein solches A′, und umgekehrt.)

Ebenso klar ist: Eine vollständige Theorie in einer unendlichen Sprache ist genau dann durch endlich viele Axiome axiomatisierbar, wenn die Sprache nur endlich viele Relationssymbole enthält und sie ein einelementiges Modell besitzt – das dann automatisch das einzige ist. Daher führen wir einen verallgemeinerten Begriff ein:

Definition 7.2 Die Theorie T heißt endlich axiomatisierbar, falls sie interdefinierbar ist mit einer Theorie T′, die durch endlich viele Axiome axiomatisierbar ist.

Mit T ist natürlich jede mit T interdefinierbare Theorie endlich axiomatisierbar. – Für den Moment wollen wir sagen, ein T′ wie in der Definition sei endlich axiomatisierbar im engeren Sinn. Man überzeugt sich sofort, daß eine Theorie in einer endlichen Sprache genau dann endlich axiomatisierbar ist, wenn sie endlich axiomatisierbar im engeren Sinn ist; die Definition ist also vernünftig. Und ebenso leicht sieht man, daß eine endlich axiomatisierbare Theorie T definitorische Erweiterung einer endlich axiomatisierbaren (im engeren Sinn) Teiltheorie T′ in einer endlichen Sprache ist. Von diesen Bemerkungen werden wir kommentarlos Gebrauch machen. Strukturen heißen interdefinierbar bzw. endlich axiomatisierbar, wenn dies für ihre (vollständigen) Theorien gilt. (Das stimmt wegen Lemma 7.1.1 mit dem bekannten Begriff der Interdefinierbarkeit überein, wie er sich etwa in [AZ 86] findet.) Neben der in der Modelltheorie üblichen Sprache für Moduln (mit einem einstelligen Funktionssymbol für jedes Ringelement), in Abschnitt 1.1 als _{R}L bezeichnet, benötigen wir eine weitere, für Axiomatisierbarkeitsbetrachtungen oft geeignetere: Der Ring R habe eine Präsentierung P mit Erzeugenden r_{i} und Relationen w_{j}; die P -Sprache zur Präsentierung P von R hat für jedes r_{i} ein einstelliges Funktionssymbol, ebenfalls r_{i} genannt, außerdem 0, − und + wie üblich. Diese Sprache sei mit _{R}L^{P} bezeichnet. Mit _{R}T war in Abschnitt 1.1 die Theorie aller R-Linksmoduln benannt worden; wie Axiome für _{R}T ausehen ist klar. _{R}T^{P} sei die Theorie in der Sprache _{R}L^{P}, die sagt, daß die r_{i} als Endomorphismen operieren, zusammen mit Axiomen ∀x w_{j}x = 0. Dann ist klar, daß _{R}T und _{R}T^{P} interdefinierbar sind.

Definition 7.3 Eine Theorie T von Moduln in der Sprache _{R}L heißt modulo _{R}T endlich axiomatisierbar, falls es eine endliche Teilmenge T_{0} von T gibt, so daß _{R}T ∪ T_{0} ⊢ T.

Betrachtet man statt _{R}L für eine Präsentierung P von R die zugehörige Sprache _{R}L^{P}, so kann man entsprechend einen Begriff “modulo _{R}T^{P} endlich axiomatisierbar” definieren. Es ist aber klar, daß ein R-Modul M genau dann eine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie in der Sprache _{R}L hat, wenn er in der Sprache _{R}L^{P} eine modulo _{R}T^{P} endlich axiomatisierbare Theorie besitzt. Daher genügt es, den Begriff der Definition zu studieren; insbesondere impliziere die Verwendung von “modulo _{R}T endlich axiomatisierbar” stets, daß _{R}L betrachtet wird. – Man beachte, daß “modulo _{R}T endlich axiomatisierbar” nicht unter Interdefinierbarkeit invariant ist; genauer, daß ja gar nicht klar ist, was das bedeuten sollte.

Lemma 7.1.2

i. Ist M ein endlich axiomatisierbarer R-Modul, dann gibt es einen endlich erzeugten (also abzählbaren) Unterring R′ von R und eine Präsentation P′ von R′ mit endlich vielen Erzeugenden, so daß M als R′L-Struktur, M als _{R}L-Struktur und M als _{R′}L^{P′}-Struktur jeweils interdefinierbar sind. Insbesondere ist M als_{R′}L-Struktur endlich axiomatisierbar (und die Theorie von M als _{R′}L^{P′}-Struktur endlich axiomatisierbar im engeren Sinn).

ii. M sei ein endlich axiomatisierbarer Modul über einem endlich erzeugten Ring R. Dann hat M eine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie.

iii. R sei endlich präsentiert, M ein R-Modul. Dann ist M genau dann endlich axiomatisierbar, wenn M eine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie besitzt.

Beweis: Zu i.: Es gibt eine endliche Teilmenge E von R, so daß M als RL-Struktur und M als Struktur in der Teilsprache von _{R}L, die “Skalare” nur für die Elemente von E besitzt, interdefinierbar sind. Sei nun R′ das Ringerzeugnis von E und P′ eine beliebige Präsentation von R′ mit Erzeugenden E. Dann folgt die Behauptung, weil “endlich axiomatisierbar” ja invariant unter Interdefinierbarkeit ist. Der Beweis von Punkt ii. ist eine Hälfte des Beweises von iii. Und für iii. sei P eine endliche Präsentation. Die Überlegung vor dem Lemma zeigt, daß M genau dann in _{R}L modulo _{R}T endlich axiomatisierbar ist, wenn es in _{R}L^{P} modulo _{R}T^{P} endlich axiomatisierbar ist; Teil i. dieses Lemmas (bzw. sein Beweis) ergibt die Äquivalenz von “endlich axiomatisierbar als _{R}L-Struktur” und “endlich axiomatisierbar als _{R}L^{P} -Struktur”. Daher genügt es zu zeigen, daß M in _{R}L^{P} genau dann endlich axiomatisierbar (im üblichen Sinn) ist, wenn M in _{R}L^{P} endlich axiomatisierbar ist modulo _{R}T^{P}. Das ist aber klar, da _{R}T^{P} endlich axiomatisierbar ist.

Und die letzte Definition:

Definition 7.4 Eine Peretjatkin-Theorie ist eine vollständige endlich axiomatisierbare ω_{1}-kategorische Theorie mit unendlichen Modellen.

Eine Peretjatkin-Struktur sei dann wieder eine Struktur, deren Theorie eine Peretjatkin-Theorie ist; ein Peretjatkin-Modul ist also ein Modul, dessen Theorie eine Peretjatkin-Theorie ist. – Man überzeugt sich leicht, daß eine mit einer Peretjatkin-Struktur interdefinierbare Struktur wieder Peretjatkin-Struktur ist.

Lemma 7.1.3 Gibt es einen Peretjatkin-Modul über dem Ring R, dann gibt es auch einen (mit diesem interdefinierbaren) Peretjatkin-Modul über einem geeigneten endlich erzeugten abzählbaren Ring (einem Unterring von R) .

Beweis: Das folgt aus Lemma 7.1.2 i. und weil ein mit einem Peretjatkin-Modul interdefinierbarer Modul wieder Peretjatkin-Modul ist.

Von Morley ([Mor 65]) stammt die Frage, ob es eine endlich axiomatisierbare vollständige ω_{1}-kategorische Theorie mit unendlichen Modellen gibt, also eine Peretjatkin-Theorie. Von Zilber und Peretjatkin kommt jeweils eine Hälfte der Antwort: Zilber hat gezeigt, daß es eine ω-kategorische, also total-kategorische Peretjatkin-Theorie nicht geben kann; siehe [Zil 80], [Zil 80a], [Zil 81]: [Zil 80a] ist eine ausführliche Version der russischen Originalarbeit [Zil 80], und [Zil 81] korrigiert einen in beiden Arbeiten enthaltenen Fehler. Das erste Beispiel einer Peretjatkin-Theorie – notwendig nicht ω-kategorisch – hat Peretjatkin geliefert ([Per 80]). Dieses sehr komplizierte Beispiel ist in der Folge immer weiter vereinfacht worden (unter anderem [Per 91], [Gei 90]), vor allem mit dem Ziel, den Morley-Rang zu drücken; siehe die im wesentlichen mit der in [Gei 90] identische Version in Abschnitt 7.5, Satz 7.5.1. Diese hat Morley-Rang 2, so daß sich als naheliegende Frage ergibt: Frage 1: Gibt es eine streng minimale Peretjatkin-Theorie? (Dazu gibt es eine Reihe von Arbeiten; sie untersuchen die Frage, ob es einen streng minimalen Peretjatkin-Graph gibt, das heißt also einen Graph, dessen Theorie eine streng minimale Peretjatkin-Theorie ist, siehe zum Beispiel [Iva 89], [Iva 89a].) Alle bekannten Peretjatkin-Theorien sind im Sinne der Stabilitätstheorie trivial, das heißt die zugrundeliegende streng minimale Menge hat triviale Geometrie. Somit ergibt sich Frage 2: Gibt es eine nicht-triviale Peretjatkin-Theorie? Hrushovski hat gezeigt, daß eine Peretjatkin-Theorie notwendig lokal-mo-dular ist (siehe [Hru 92]); insbesondere ist eine nicht-triviale Peretjatkin-Theorie also lokal-modular nicht-trivial, und somit ist in ihr ein Modul interpretierbar (wegen [Hru 86]). Wiederum recht naheliegend ist also Frage 3: Gibt es einen Peretjatkin-Modul? Übrigens ist selbst die Kombination von Frage 1 und Frage 3, Frage 4, noch offen: Frage 4: Gibt es einen streng minimalen Peretjatkin-Modul? In eine etwas andere Richtung geht Frage 5: Gibt es eine Peretjatkin-Theorie, die Horn-Theorie ist? Nach [��� 82, 7.3 �������] gibt es eine solche Theorie genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:

i. Es gibt eine unendliche endlich präsentierte Gruppe G und endlich viele nichttriviale (das heißt ≠ 1) Konjugationsklassen in G, so daß jede nichttriviale zyklische Untergruppe von G eine dieser Klassen schneidet.

ii. Es gibt einen endlich präsentierten unendlichen Divisionsring D.

Man überzeugt sich leicht davon, daß der Gruppengraph einer Gruppe G wie in i. ein endlich axiomatisierbarer streng minimaler (unendlicher) Graph ist, also insbesondere ein Peretjatkin-Graph. (Seine Theorie ist eine streng minimale Peretjatkin-Theorie; siehe Frage 1.) Ebenso leicht sieht man ein, daß ein Divisionsring wie in ii. Frage 4 (und damit Fragen 1 bis 5) positiv beantwortet: Sei P eine endliche Präsentation von D. Dann ist die Theorie der D-Links-Vektorräume, also _{D}T^{P}, endlich axiomatisiert, vollständig und streng minimal (mit unendlichen Modellen). – Ob es Gruppen G wie in i. bzw. Ringe D wie in ii. gibt, sind bekannte offene Probleme der Algebra. Zum Problem der Existenz eines Ringes wie in ii. weiß ich gar nichts; Ivanov ([��� 89, ������� 41.2]) hat eine endlich erzeugte unendliche Gruppe mit endlich vielen Konjugationsklassen konstruiert. – Noch eine Bemerkung zum Status des eben zitierten Satzes von Paljutin: Meines Wissens gibt es keinen publizierten Beweis; die Literaturangaben in [��� 82, Seite 369] betreffen nur einen Spezialfall.

All diese Probleme sind wohl sehr schwierig; erstaunlicherweise scheint aber selbst die auf den ersten Blick ganz unschuldig wirkende Abschwächung von Frage 3 noch der Antwort zu harren:

Frage 6: Gibt es einen endlich axiomatisierbaren unendlichen Modul?

(ω_{1}-Kategorizität wird also nicht verlangt.) Frage 6 führt jedenfalls schnell zu unübersichtlichen algebraischen Problemen: Denn zwar ergibt sich mit Lemma 7.1.2 i., daß aus der Existenz eines Moduls wie in Frage 6 folgt, daß es auch einen endlich axiomatisierbaren unendlichen Modul über einem endlich erzeugten (abzählbaren) Ring gibt. Ob es so ein Beispiel dann aber auch über einem endlich präsentierten Ring geben muß, ist dagegen nicht klar. (Ist der ursprüngliche Ring kommutativ, dann folgt mit Lemma 7.1.2 i. natürlich, daß es auch ein Beispiel über einem endlich präsentierten Ring gibt, da im Kommutativen ja “endlich präsentiert” und “endlich erzeugt” zusammenfallen.) Umgekehrt aber gilt wegen Lemma 7.1.2 iii., daß es über einem endlich präsentierten Ring einen endlich axiomatisierbaren (unendlichen) Modul genau dann gibt, wenn es einen (unendlichen) Modul gibt, dessen Theorie modulo _{R}T endlich axiomatisierbar ist. Darin liegt also die Bedeutung der Fragestellung, der wir uns in diesem Kapitel hauptsächlich widmen:

Problemstellung: Charakterisierung der (endlich präsentierten) Ringe R, so daß es einen unendlichen R-Modul mit modulo _{R}T endlich axiomatisierbarer Theorie gibt.

Mehr als eine Lösung nur für gewisse Klassen von Ringen wird man nicht erwarten dürfen; in Satz 7.2.4 und Abschnitt 7.4 finden sich solche.

Man beachte noch, daß es einfach ist, Beispiele für unendliche ω_{1}-katego-rische Moduln mit modulo_{R}T endlich axiomatisierbarer Theorie anzugeben: Vektorräume über unendlichen Divisionsringen etwa (siehe den Kommentar nach Frage 5). Allerdings ist in allen mir bekannten Beispielen der zugrundeliegende Ring nicht endlich präsentiert: Im eben erwähnten Vektorraum-Beispiel ist die Existenz eines endlich präsentierten unendlichen Divisionsringes ja ein offenes Problem (siehe nach Frage 5); einen endlich präsentierten unendlichen (kommutativen!) Körper kann es wegen Lemma 1.3.1 nicht geben. Man erhält jedenfalls mit dieser naiven Methode keinen unendlichen endlich axiomatisierbaren Modul, erst recht keinen Peretjatkin-Modul.

7.2 Allgemeines

Wir stellen hier einige leichte Überlegungen zusammen, derer wir uns in den folgenden Abschnitten bedienen wollen. Zunächst folgen einige Betrachtungen zum Vorgehen, dann allgemeine Lemmata, die den Zusammenhang zwischen dem Ziegler-Spektrum und der Problemstellung von Abschnitt 7.1 herstellen.

R sei zunächst ein beliebiger Ring; Theorien T nehme ich im allgemeinen als konsistent an, ohne dies aber jedesmal explizit zu betonen.

Wie eben angedeutet, werden wir versuchen, das Ziegler-Spektrum zu benutzen. Ohne geeignete Voraussetzungen kann man aber noch keine Sätze erwarten, die zum Beispiel die Ringe R, für die es einen unendlichen R-Modul mit modulo _{R}T endlich axiomatisierbarer Theorie gibt, anhand des Ziegler-Spektrums charakterisieren. Das liegt daran, daß es “endliche pp-Indizes” φ/ψ geben kann: Denn sei zum Beispiel U ein unzerlegbarer reininjektiver unendlicher Modul mit einem endlichen Index φ/ψ(U), dessen Theorie Th(U) modulo _{R}T endlich axiomatisierbar ist (für Beispiele siehe etwa nach Korollar 7.3.4); dann ist I(U) = I(U^{⊕ω}), topologisch sind also U und U^{⊕ω} in gewissem Sinn nicht unterscheidbar, aber im allgemeinen wird Th(U^{⊕ω}) nicht modulo _{R}T endlich axiomatisierbar sein.

Man beachte, daß für Axiomatisierbarkeitsfragen gar nicht eine vollständige Kenntnis von I(R), des Ziegler-Spektrums, von Nöten ist: Es kommt eigentlich nur auf die Quotiententopologie des Raumes I(R)/ ≡ (man identifiziert elementar äquivalente rein-injektive Unzerlegbare ) an.

Konkrete Ergebnisse darf man für Ringe erwarten, für die das Ziegler-Spektrum, wenigstens bis auf ≡, bekannt ist; ich beschränke mich in den nächsten Abschnitten jedoch auf einige Beispiele, für die sogar die Topologie von I(R) selbst ausgerechnet werden kann.

Wie Ergebnisse von Burris und McKenzie (siehe [BM 81]) zeigen, kann man leider selbst bei endlichen Ringen im allgemeinen keine Beschreibung des Ziegler-Spektrums erwarten; das ist ja etwa bei endlichen Ringen von wildem Darstellungstyp ohnehin hoffnungslos, wo man nicht einmal Listen der rein-injektiven Unzerlegbaren erwarten kann. Daher scheint die Problemstellung von Abschnitt 7.1 durch Betrachtung des Ziegler-Spektrums nicht einmal im Falle endlicher Ringe befriedigend lösbar.

In diesem vorbereitenden Abschnitt werden wir bisweilen annehmen, daß alle pp-Indizes in R-Moduln 1 oder ∞ sind; dies ist etwa bei den uns besonders interessierenden Algebren über unendlichen Körpern der Fall.

Lemma 7.2.1 T sei eine Theorie von R-Moduln.

i. T wird modulo _{R}T axiomatisiert durch Axiome der Form φ/ψ ≥ n, φ/ψ ≤ n und φ/ψ = n, wobei die (φ/ψ) aus einer fest gewählten Basis des Ziegler-Spektrums sind.

ii. Ist T zusätzlich vollständig (und modulo _{R}T endlich axiomatisierbar), so wird T schon durch (endlich viele) Axiome der Form φ/ψ ≥ n und φ/ψ = n axiomatisiert, wobei die (φ/ψ) wieder aus einer fest gewählten Basis des Ziegler-Spektrums sind.

iii. Eine vollständige und modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie T erfüllt stets I(T) = \overline{\{U_{1}, …, U_{k}\}} mit endlich vielen geeigneten reininjektiven Unzerlegbaren U_{1}, …, U_{k}; mehr noch: Eine solche Theorie hat ein Modell der Form

U_{1}^{n_{1}} ⊕ … U_{k}^{n_{k}}

mit rein-injektiven U_{i} und natürlichen Zahlen n_{i}. Insbesondere gilt für solche Theorien T, die zusätzlich ein unendliches Modell haben, daß I(T) Abschluß endlich vieler rein-injektiver Unzerlegbarer ist, von denen wenigstens eines unendlich ist.

Beweis: i. ist einfach (mit [Zie 84, Corollary 6.13]); ii. folgt dann, denn Axiome der Form φ/ψ ≤ n kann man für geeignetes m durch φ/ψ = m ersetzen. Zu iii.: T hat ein Modell, das wegen Satz 1.1.6 elementar äquivalent ist zu einer direkten Summe rein-injektiver Unzerlegbarer. Die endlich vielen Axiome (der Form wie in i.) lassen sich aber schon durch endlich viele dieser Unzerlegbaren erfüllen; wegen der Vollständigkeit von T ist das die Behauptung.

Auch die nächsten Lemmata sind ganz einfach; das folgende faßt einige Beobachtungen zusammen, die helfen werden, aus der Existenz einer modulo RT endlich axiomatisierbaren Theorie auf die Existenz einer solchen von der Form Th(U), U ein rein-injektives Unzerlegbares, zu schließen:

Lemma 7.2.2 R sei ein beliebiger Ring.

i. Sei T eine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von R-Moduln mit einem unendlichen Modell, sei außerdem noch I(T) = {U_{1}, …, U_{k}} endlich und U_{1} unendlich und abgeschlossen. Dann ist auch Th(U_{1}) modulo _{R}T endlich axiomatisierbar (und vollständig mit einem unendlichen Modell).

ii. Sind alle Elemente des Ziegler-Spektrums endlich, dann gibt es keine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von R-Mo-duln mit einem unendlichen Modell.

iii. Sei T eine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von R-Moduln mit einem Modell der Form M ⊕ E, wobei E ein endlicher Modul ist. Dann ist auch Th(M) eine (vollständige) modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie.

iv. Sei U ein rein-injektives Unzerlegbares, das offen-abgeschlossen im Ziegler-Spektrum ist. Dann ist Th(U) modulo _{R}T endlich axiomatisierbar.

Man beachte, daß in i. verlangt wird, I(T) sei endlich – nicht nur Abschluß einer endlichen Menge (siehe Lemma 7.2.1 iii.). Wegen Lemma 7.2.1 gibt es in dieser Situation ein unendliches U_{1}.

Beweis: Zu i.: T hat ein Modell der Form U_{1} ⊕ X, das durch endlich viele Axiome der Form wie in 7.2.1 vollständig beschrieben wird. Wir modifizieren diese Axiomatisierung, um eine von Th(U_{1}) zu erhalten: Axiome φ/ψ = n werden ersetzt durch φ/ψ = m, wobei φ/ψ(U_{1}) = m (da φ/ψ(U_{1}) | n, ist m endlich). Axiome der Form φ/ψ ≥ n werden ersetzt durch φ/ψ = m, falls φ/ψ(U_{1}) = m < ∞, und bleiben unverändert sonst. Das Komplement von U_{1} in I(T) ist relativ-offen und endlich, also endliche Vereinigung von Schnitten standardbasis-offener Mengen mit I(T), etwa von der Form ((φ_{1}/ψ_{1}) ∪ … ∪ (φ_{l}/ψ_{l})) ∩ I(T). φ_{i}/ψ_{i} = 1, 1 ≤ i ≤ l, werden als Axiome hinzugefügt. Falls es ein pp-Paar φ_{0}/ψ_{0} gibt, mit φ_{0}/ψ_{0}(U_{1}) = m, falls also U_{1} einen endlichen pp-Index hat, wird noch ein Axiom φ_{0}/ψ_{0} = m hinzugefügt. i. folgt nun aus der Behauptung: Th(U_{1}) wird durch diese endlich vielen Axiome modulo der Theorie aller R-Moduln axiomatisiert. Beweis der Behauptung: U_{1} erfüllt offenbar diese Axiome. Sei nun M ein beliebiges Modell dieser Axiome. Dann ist M ⊕X Modell von T. Folglich ist M ⊕ X (und damit auch M) elementar äquivalent zu einer direkten Summe rein-injektiver Unzerlegbarer aus I(T). Nach Wahl der Axiome müssen diese alle gleich U_{1} sein, das heißt M ist elementar äquivalent zu einer direkten Summe von Kopien von U_{1}. Entweder ist aber U_{1} ≡ U_{1}^{⊕κ} für beliebiges (endliches oder unendliches) κ und damit M Modell von Th(U_{1}), was zu zeigen war; oder es gibt einen endlichen pp-Index φ/ψ(U_{1}), und dann stellt das in diesem Fall hinzugenommene Axiom φ_{0}/ψ_{0} = m sicher, daß M ≡ U_{1} und somit Modell von Th(U_{1}) ist. Das beweist i. ii. folgt sofort aus Lemma 7.2.1 iii. iii. wird ganz ähnlich wie i. bewiesen: Man ändert wieder die endlich vielen Axiome der Form wie in 7.2.1 einer M ⊕ E modulo der Theorie aller R-Moduln beschreibenden Axiomatisierung geeignet ab: Alle pp-Indizes φ/ψ(E) sind endlich; man ersetze nun ein Axiom φ/ψ = n durch φ/ψ = n/(φ/ψ(E)(= φ/ψ(M)), entsprechend für ≥. Dann gilt für jedes Modell M′ dieser neuen Axiome, daß M′ ⊕ E Modell der alten ist. Somit folgt M ⊕ E ≡ M′ ⊕ E; da alle φ/ψ(E) endlich sind, ergibt sich M ≡ M′. iv.: Das Komplement von {U} im Ziegler-Spektrum ist offen, also Vereinigung basis-offener Mengen; es ist aber auch abgeschlossen, somit endliche Vereinigung solcher und damit von der Gestalt

{U}c = ⋃_{i≤n}(φ_{i}/ψ_{i}).

U werde isoliert durch (φ/ψ). Betrachte die Axiome

φ/ψ > 1; φ_{i}/ψ_{i} = 1, i ≤ n.

Jeder Modul ist elementar äquivalent zu einer direkten Summe rein-injektiver Unzerlegbarer (Satz 1.1.6); jedes Modell dieser Axiome ist also notwendig zu einem Modul U^{⊕κ}, κ geeignet, elementar äquivalent. Ist nun U ≡ U^{2}, dann hat man die gewünschte Axiomatisierung von Th(U) gefunden; sonst gibt es einen endlichen pp-Index φ_{0}/ψ_{0}(U) = m, und dann sind die obigen Axiome, zusammen mit dem zusätzlichen φ_{0}/ψ_{0} = m, wie gewünscht.

Für später halten wir noch fest:

Lemma 7.2.3 Sei R ein beliebiger Ring. Jede endliche Teilmenge A endlicher rein-injektiver Unzerlegbarer des Ziegler-Spektrums ist abgeschlossen und hat als induzierte Topologie die diskrete.

Beweis: Sei U Häufungspunkt von A, also auch Häufungspunkt eines V ∈ A. Dann kommt aber wegen [Zie 84] U in Modellen von Th(V) beliebig oft vor. Da das einzige Modell von Th(V) aber V ist, muß U ≃ V sein.

Nun wenden wir uns der Frage einer topologischen Charakterisierung modulo _{R}T endlich axiomatisierbarer Theorien zu; wegen der eingangs dieses Abschnitts gemachten Bemerkungen nehmen wir an, alle Indizes seien gleich 1 oder ∞.

Satz 7.2.4 Sei R ein Ring, so daß alle pp-Indizes in R-Moduln gleich 1 oder ∞ sind. Sei B eine Basis der Topologie des Ziegler-Spektrums.

i. Seien I, I′ endliche Teilmengen von B, und sei zu jeder offenen Menge O aus I ∪ I′ ein festes pp-Paar φ/ψ mit O = (φ/ψ) ausgewählt. T sei die (endliche) Menge von Axiomen

φ/ψ > 1, falls (φ/ψ) ∈ I,
φ′/ψ′ = 1, falls (φ/ψ) ∈ I′.

Sei O := ⋃_{I′}(φ′/ψ′). Dann sind äquivalent:

(a) T ist konsistent und vollständig (und modulo _{R}T endlich axiomatisierbar).

(b) Alle (φ/ψ) ∩ Oc sind nicht-leer, φ/ψ ∈ I; und für jede Wahl von rein-injektiven Unzerlegbaren U_{φ/ψ} ∈ (φ/ψ) ∩ Oc ≠ ∅, φ/ψ ∈ I, gilt: Oc = ⋃_{I} \overline{\{U_{φ/ψ}\}}.

ii. Es sind äquivalent:

(a) Es gibt keine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare vollständige Theorie.

(b) Seien I, I′ endliche Teilmengen von B, so daß für alle φ/ψ ∈ I gilt: (φ/ψ)\⋃_{I′}(φ′/ψ′) ≠ ∅. Dann gibt es eine basis-offene Menge (φ_{0}/ψ_{0}) ∈ B so daß gilt:

• (φ_{0}/ψ_{0}) \ ⋃_{I′}(φ′/ψ′) ≠ ∅.

• Für alle φ/ψ ∈ I: (φ/ψ) \ [⋃_{I′}(φ′/ψ′) ∪ (φ_{0}/ψ_{0})] ≠ ∅.

Beweis: Nicht schwer, daher weggelassen.

7.3 Kategorische Theorien

Wir ziehen nun einige Folgerungen aus den bisherigen Überlegungen und [Zie 84, Theorem 10.6]:

Satz 7.3.1 Sei R ein abzählbarer Ring. Dann gibt es keine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Modultheorie mit unendlichen Modellen, die ω-kategorisch ist.

Beweis: Wie [Zie 84, Theorem 10.6 (1)] zeigt, ist für eine ω-kategorische vollständige Theorie T, die ein unendliches Modell hat, I(T) eine endliche Menge endlicher rein-injektiver Unzerlegbarer. Wegen Lemma 7.2.1 iii. kann T dann nicht modulo _{R}T endlich axiomatisierbar sein.

Man sieht leicht, daß eine Theorie wie im Satz ω-stabil ist ([Zie 84, Theorem 2.1 (2)]); wegen [CHL 85, Corollary 7.4] – dies verbessert das auf Seite 143 erwähnte Resultat von Zilber – ist sie damit als ω-stabile ω-kategorische vollständige Theorie jedenfalls nicht endlich axiomatisierbar.

Korollar 7.3.2 Es gibt keinen ω-kategorischen Peretjatkin-Modul.

(Das folgt natürlich auch sofort aus dem in Abschnitt 7.1 erwähnten Resultat von Zilber. – Und die Bemerkung nach dem Satz eben zeigt, daß es nicht einmal einen ω-stabilen ω-kategorischen endlich axiomatisierbaren Modul geben kann.) Beweis: Ein solcher wäre wegen Lemma 7.1.3 interdefinierbar mit einem Peretjatkin-Modul über einem abzählbaren endlich erzeugten Ring. Und dieser hätte wegen Lemma 7.1.2 ii. eine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie. – Alternativ kann man so argumentieren:

Satz 7.3.3 R sei abzählbar. Wenn es eine vollständige ω_{1}-kategorische modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von R-Moduln mit einem unendlichen Modell gibt, dann auch eine solche der Form Th(U) für ein reininjektives unendliches Unzerlegbares U.

Korollar 7.3.4 Sei R endlich präsentiert oder kommutativ. Gibt es über R einen Peretjatkin-Modul, dann gibt es auch einen Peretjatkin-Modul U für ein geeignetes rein-injektives Unzerlegbares U; ist R endlich präsentiert, dann ist U sogar wieder R-Modul.

Beweis: (des Korollars) Sei M der Peretjatkin-Modul, R zunächst endlich präsentiert. Wegen Lemma 7.1.2 iii. ist M modulo _{R}T endlich axiomatisierbar; nach dem Satz gibt es über dem Ring R ein unendliches rein-injektives Unzerlegbares U über dem Ring R mit ω_{1}-kategorischer modulo _{R}T endlich axiomatisierbarer Theorie. Wieder wegen Lemma 7.1.2 iii. ist U endlich axiomatisierbar: U ist also Peretjatkin-Modul. Ist R kommutativ, dann gibt es wegen Lemma 7.1.3 (bzw. dessen Beweis) einen Peretjatkin-Modul über einem geeigneten endlich erzeugten, also endlich präsentierten, Unterring R′ von R. Nun weiter wie eben.

Beweis: (des Satzes) T sei eine Theorie wie im Satz, wegen Satz 7.3.1 also nicht ω-kategorisch. Wegen Lemma 7.2.1 ist I(T) Abschluß einer endlichen Menge von rein-injektiven Unzerlegbaren; wie [Zie 84, Theorem 10.6 (3)] zeigt, ist I(T) damit selbst endlich. Wegen [Zie 84, Corollary 3.11] sind reininjektive Unzerlegbare höchstens abzählbar.

In [Zie 84, Theorem 10.6] werden zwei Fälle unterschieden; wir halten uns an die dortige Notation.

1. Fall: Die Modelle von T haben die Form E ⊕ U^{⊕κ} mit κ ≥ 1, einem festen rein-injektiven (abzählbar) unendlichen Unzerlegbaren U und endlichem E. Wegen Lemma 7.2.2 iii. ist somit Th(U^{⊕κ}) modulo _{R}T endlich axiomatisierbar; und [Zie 84, Seite 208, (+)] zeigt, daß U ≡ U^{2}. Somit ist Th(U) = Th(U^{⊕κ}) schon als modulo _{R}T endlich axiomatisierbar (und vollständig mit unendlichen Modellen) erkannt. Die Beschreibung der Modelle von T in [Zie 84, Theorem 10.6] zeigt, daß Th(U) auch ω_{1}-kategorisch ist. Das beendet Fall 1.

2. Fall: Die Modelle von T haben die Form E ⊕ W^{⊕κ} – wobei E ein fester unendlicher R-Modul und direkte Summe von rein-injektiven Unzerlegbaren mit endlicher Vielfachheit ist ([Zie 84, Theorem 10.6 (3)]); da I(T) endlich ist, muß E Summe endlich vieler Unzerlegbarer sein – wobei weiter κ ≥ 0 und W einziger Häufungspunkt der Menge I(T) ist. W ist also sogar Häufungspunkt eines einzigen der in der Zerlegung von E auftretenden Unzerlegbaren, etwa von U; wegen Lemma 7.2.3 muß U unendlich sein. (Wüßte man, daß W auch unendlich ist, so könnte man mit Lemma 7.2.2 i. schließen, daß Th(W) modulo _{R}T endlich axiomatisierbar ist und unendliche Modelle hat.) Modelle von T haben also die Form E′ ⊕ U ⊕ W^{⊕κ}, wobei κ ≥ 0 und E′ eine feste direkte Summe endlich vieler rein-injektiver Unzerlegbarer ist.

Behauptung: Th(U) ist modulo _{R}T endlich axiomatisierbar.

Beweis der Behauptung: Ähnlich wie im Beweis von Lemma 7.2.2 werden die endlich vielen Axiome (modulo der Theorie aller Moduln) von T so modifiziert, daß sich eine Axiomatisierung von Th(U) ergibt: Axiome φ/ψ = n ersetze man durch φ/ψ = φ/ψ(U); Axiome φ/ψ ≥ n ersetze man durch φ/ψ = m, falls φ/ψ(U) = m < ∞ und lasse man unverändert sonst. Dann ist U Modell der neuen Axiome, und für jedes Modell X der neuen Axiome gilt, daß die X ⊕ E′ ⊕ W^{⊕κ}, κ ≥ 0, Modelle der alten Axiome sind, also von T. Die Beschreibung der Modelle von T in [Zie 84, Theorem 10.6] zeigt, daß X also die Gestalt U ⊕ W^{⊕κ} mit κ ≥ 0 haben muß; diese sind, da W Häufungspunkt von U ist, Modelle von Th(U). Außerdem folgt die ω_{1}- Kategorizität von Th(U).

Beide Fälle aus dem Beweis von Satz 7.3.3 kommen tatsächlich vor:

Fall 1: Sei etwa k ein abzählbar unendlicher Körper, R := k[X], 𝔭 ein maximales Ideal von R, und U := R/𝔭. Dann ist U unendliches rein-injektives Unzerlegbares, isoliert und abgeschlossen, und die Theorie Th(U) ist ω_{1}- kategorisch und modulo_{R}T endlich axiomatisierbar. (Siehe die Beschreibung des Spektrums von Dedekind-Ringen in Abschnitt 1.3 und Lemma 7.2.2 iv.). Die Modelle von Th(U) sind die (R/𝔭)^{⊕κ}, κ ≥ 1.

Für Fall 2 betrachte man den abzählbaren Ring R := Z_{(p)}, p eine Primzahl, und U := Q/Z_{(p)}, also die entsprechende Prüfergruppe. [Zie 84, Lemma 5.1] zeigt, daß U ein rein-injektives Unzerlegbares ist und die Modelle der Theorie von U gerade die Moduln der Form U ⊕ Q^{⊕κ} sind, mit κ ≥ 0. Die Theorie Th(U) ist also ω_{1}-kategorisch; eine modulo der Theorie aller R-Moduln endliche Axiomatisierung erhält man durch die Axiome (px = 0)/(x = 0) = p und (x = x)/(p | x) = 1.

Diese Theorien sind zwar modulo _{R}T endlich axiomatisierbar, aber nicht endlich axiomatisiert; das liegt daran, daß in beiden Beispielen die Ringe nicht endlich erzeugt sind.

7.4 Anwendungen auf spezielle Ringe

In diesem Abschnitt untersuchen wir unter dem Gesichtspunkt der endlichen Axiomatisierbarkeit einige Klassen von Ringen, deren Ziegler-Spektrum genau genug bestimmt werden kann, um die Ergebnisse des ersten Abschnittes anwenden zu können.

Satz 7.4.1 R sei ein kommutativer (von Neumann-) regulärer Ring. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare vollständige Theorie von unendlichen R-Moduln.

ii. Es gibt ein endlich erzeugtes maximales Ideal 𝔪, so daß R/𝔪 unendlich ist. In diesem Fall ist Th(R/𝔪) ein Beispiel für eine Theorie wie in i. Die Modelle dieser Theorie sind genau die (R/𝔪)^{⊕κ}, κ ≥ 1.

Beweis: Sei zunächst T eine Theorie wie in i. Wegen der Abgeschlossenheit von Unzerlegbaren (Korollar 2.3.3) und Lemma 7.2.1 ist I(T) eine endliche Menge von Unzerlegbaren, von denen wenigstens eines – etwa U – unendlich ist. Wiederum wegen der Abgeschlossenheit von Unzerlegbaren (Korollar 2.3.3), und wegen Lemma 7.2.2, folgt, daß dann auch Th(U) eine Theorie wie in i. ist. Sei U = R/𝔪, 𝔪 ein maximales Ideal. Wegen Tatsache 2.3.1 vi. (bzw. deren Beweis: Die möglichen φ/ψ(U) sind nur 1 und ∞.) wird Th(U) modulo RT axiomatisiert durch (endlich viele) Axiome der Gestalt (ex = 0)/(x = 0) > 1 bzw. (ex = 0)/(x = 0) = 1 mit Idempotenten e. Wieder wegen 2.3.1 vi. wird Th(U) axiomatisiert durch endlich viele Axiome der Form (ex = 0)/(x = 0) > 1, etwa durch die Axiome (e_{1}x = 0)/(x = 0) > 1, …, (e_{n}x = 0)/(x = 0) > 1 mit Idempotenten e_{i}. Äquivalent dazu ist aber ein einziges Axiom dieser Form, nämlich (e_{0}x = 0)/(x = 0) > 1, mit e_{0} := e_{1} ∨ … ∨ e_{n} (boolesche Summe). Sei nun R/𝔫 irgendein Unzerlegbares, das dieses Axiom erfüllt; dann folgt nach Voraussetzung also R/𝔫 ≡ R/𝔪, also sogar 𝔫 = 𝔪 (denn betrachte die Axiome (fx = 0)/(x = 0) > 1 mit Idempotenten f und Tatsache 2.3.1 ii.). Folglich isoliert die basis-offene Menge (ex = 0/x = 0) das Unzerlegbare R/𝔪, und wegen Lemma 2.3.2 (bzw. Korollar 2.3.3) ist 𝔪 endlich erzeugt.

Die Umkehrung von ii. nach i. ist klar: Wegen Korollar 2.3.3 ist R/𝔪 offen-abgeschlossen und unendlich; Lemma 7.2.2 ergibt i. Klar ist auch die Beschreibung der Modelle.

Wie in Abschnitt 7.1 gesehen, ist ein Modul M über einem endlich präsentierten Ring R genau dann endlich axiomatisierbar, wenn er modulo _{R}T endlich axiomatisierbar ist. Insbesondere trifft dies also für endlich erzeugte kommutative Ringe zu. Sei R nun ein kommutativer von Neumann-regulärer Ring; ist R zusätzlich endlich erzeugt, dann ist R endliches Produkt von (endlichen!) Körpern (und umgekehrt): Denn ein solcher Ring ist noethersch, also wird jedes Ideal von einem Idempotent erzeugt (Tatsache 2.3.1 i. bzw. die Definition von regulär) und ist damit direkter Summand: der Ring ist halbeinfach und damit auch artinsch. Nun liefert Wedderburn, daß es sich um ein endliches Produkt von Körpern handelt; weil R endlich erzeugt ist, sind diese Körper endlich. – Sei R solch ein endliches Produkt von endlichen Körpern. Dann überzeugt man sich leicht davon, daß es keine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare vollständige Theorie von unendlichen R-Moduln geben kann (Verallgemeinerung des Arguments für einen endlichen Körper). Dies folgt natürlich auch aus dem eben gezeigten Satz 7.4.1: Sonst gäbe es einen endlich erzeugten unendlichen Körper der Form R/𝔪, im Widerspruch zu Lemma 1.3.1. – Insbesondere gibt es über einem solchen R also keinen endlich axiomatisierbaren unendlichen Modul. Ohne die Voraussetzung der Kommutativität ist die Situation möglicherweise ganz anders: Gibt es nämlich einen endlich präsentierten unendlichen (notwendig nicht kommutativen) Divisionsring D (automatisch regulär), dann ist das einzige Unzerlegbare der Ring D selbst. Dies D ist dann sogar ein Peretjatkin-Modul (Siehe auch die Überlegungen nach Frage 5 in Abschnitt 7.1.)

Satz 7.4.2 R sei ein unendlicher Dedekind-Ring. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine modulo _{R}T endlich axiomatisierbare vollständige Theorie von unendlichen R-Moduln.

ii. Einer der folgenden beiden (sich nicht ausschließenden) Fälle tritt ein:

(a) Es gibt ein maximales Ideal 𝔭, so daß R/𝔭 unendlich ist.

(b) Es gibt nur endlich viele maximale Ideale.

Ist R ein endlicher Dedekind-Ring, dann ist R schon ein Körper. Aber für einen Körper k (beliebiger Kardinalität) ist die Frage nach der Existenz einer Theorie wie im Satz unter Punkt i. ohnehin klar: Es gibt dann nur ein Unzerlegbares, nämlich k selbst. Eine Theorie wie im Satz unter i. gibt es daher in dieser Situation wegen Lemma 7.2.2 ii. genau dann, wenn k unendlich ist; beide Bedingungen aus ii. sind dann erfüllt. Das heißt: Für einen (unendlichen) Körper stimmt der Satz.

Beweis: Wegen der Bemerkungen eben sei also R ohne Einschränkung kein Körper.

Sei zunächst R/𝔭 unendlich für ein geeignetes maximales Ideal 𝔭. Dann ist R/𝔭 ein offen-abgeschlossenes rein-injektives Unzerlegbares (siehe Seite 21), und Lemma 7.2.2 iv. ergibt, daß Th(R/𝔭) modulo _{R}T endlich axiomatisierbar (und vollständig mit unendlichen Modellen) ist.

Es gebe in R nur endlich viele maximale Ideale. (Dann ist R Hauptidealring, siehe Lemma 1.3.2. Das wird aber eigentlich gar nicht gebraucht.) Sei 𝔭 = (p) eines dieser endlich vielen maximalen Ideale; dann ist Th(R_{𝔭^{∞}}) wie gewünscht: Denn im Beweis von Lemma 1.3.4 wurde gezeigt, daß R_{𝔭^{∞}} unendlich ist; daß Th(R_{𝔭^{∞}}) auch modulo _{R}T endlich axiomatisierbar ist, zeigen die folgenden Axiome:

• “Der Modul ist divisibel.” (Nach Voraussetzung muß man nur Teilbarkeit durch endlich viele Primideale, bzw. Primelemente, ausdrücken.)

• (px = 0/x = 0) \{ \begin{matrix}> 1 & falls | R/𝔭 |= ∞ \\ =| R/𝔭 | & sonst. \end{matrix}

• (qx = 0/x = 0) = 1, 𝔮 = (q) ≠ 𝔭.

Denn das erste Axiom stellt sicher, daß in Modellen dieser Theorie nur Prüfer-Moduln und K vorkomen können; wegen der letzten Axiome (keine 𝔮-Torsion, 𝔮 ≠ 𝔭) kommen höchstens R_{𝔭^{∞}} und K vor, und das zweite Axiom sorgt dafür, daß auch mindestens eine Kopie von R_{𝔭^{∞}} auftaucht – bzw. genau eine, falls R_{𝔭^{∞}} ≢ R2_{𝔭^{∞}}.

Sei nun R ein (unendlicher) Dedekind-Ring mit unendlich vielen maximalen Idealen, so daß alle R/𝔭, 𝔭 maximales Ideal, endlich sind. Um den Beweis des Satzes zu vollenden, genügt es zu zeigen, daß es keine Theorie wie in i. gibt. Sei also T eine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von R-Moduln; zu zeigen ist, daß T ein endliches Modell hat. Wegen 7.2.1 iii. ist I(T) Abschluß einer endlichen Menge rein-injektiver Unzerlegbarer, etwa I(T) = \overline{\{U_{1}, …, U_{k}\}}, und T hat ein Modell der Gestalt M := U_{1}^{n_{1}} ⊕ … ⊕ U_{k}^{n_{k}} mit natürlichen Zahlen n_{i}. (Aus der Beschreibung des Ziegler-Spektrums in Abschnitt 1.3 folgt sogar, daß I(T) als Abschluß einer endlichen Menge selbst endlich sein muß.) Wir werden die Annahme, eines der U_{i} sei unendlich, zum Widerspruch führen: Sei also eines der U_{i} unendlich. Aus Lemma 1.3.3 folgt, daß mit den R/𝔭 überhaupt alle (offenabgeschlossenen) rein-injektiven Unzerlegbaren R/𝔭^{n} endlich sind. Damit enthält I(T) ein R_{𝔭^{∞}} oder ein R̃_{𝔭} oder K; aus der Beschreibung der Topologie (siehe Seite 21 nach Lemma 1.3.4) folgt, daß I(T) auf jeden Fall K als Häufungspunkt enthalten muß. Wegen Lemma 7.2.1 wird T modulo der R-Modul-Axiome durch Axiome der Form φ/ψ = n und φ/ψ ≥ n axiomatisiert, wobei die φ/ψ pp-Paare der Form wie vor Lemma 1.3.4 sind. Da K Häufungspunkt von I(T) ist, können Axiome der Form O_{K}^{r} = n nicht vorkommen. Sei nun 𝔮 ein maximales Ideal, so daß unter den U_{i} kein R/𝔮^{m}, R_{𝔮^{∞}} oder R̃_{𝔮} vorkommt, und so daß unter den endlich vielen Axiomen, die T modulo der Theorie aller R-Moduln axiomatisieren, keines ist, das die Form

φ/ψ = n oder φ/ψ ≥ n hat, mit φ/ψ ∈ {OR/𝔮_{m}, OR_{𝔮^{∞}}^{m} , OR̃_{𝔮}^{m} | m ≥ 1}.

Behauptung: Dann ist auch M ⊕ R_{𝔮^{∞}} Modell von T. Beweis der Behauptung: Denn nach Wahl von 𝔮 und Lemma 1.3.4 gilt für die endlich vielen pp-Paare φ/ψ, die in den Axiomen vorkommen, daß φ/ψ(R_{𝔮^{∞}}) = 1. Also gilt für diese φ/ψ, daß φ/ψ(M) = φ/ψ(M ⊕ R_{𝔮^{∞}}), was die Behauptung beweist. Aber M ⊕ R_{𝔮^{∞}} ≢ M, denn – wiederum nach Wahl von 𝔮 – OR_{𝔮^{∞}}^{1} (M) =

1 ≠| R/𝔮 |= OR_{𝔮^{∞}}^{1} (M ⊕ R_{𝔮^{∞}}).

Es gibt sowohl Beispiele für Dedekind-Ringe, die (a) bzw. (b) erfüllen, als auch für solche, die weder (a) noch (b) erfüllen:

Ist k ein unendlicher Körper, dann ist k[X] ein Dedekind-Ring mit unendlichen isolierten Unzerlegbaren der Form R/𝔭^{n} wie in Fall (a); es gibt unendlich viele maximale Ideale: Es gilt (a), aber nicht (b).

Z_{p} (p eine Primzahl) ist ein Dedekind-Ring mit nur einem maximalen Ideal wie in Fall (b); die endlich erzeugten (offenen) Unzerlegbaren sind endlich: Also (b), nicht (a).

Sei k wieder unendlicher Körper, 𝔭 ein maximales Ideal. Dann ist k[X]_{𝔭} ein Dedekind-Ring mit unendlichen rein-injektiven offenen Unzerlegbaren (nämlich den k[X]/𝔭^{n}) und nur einem maximalen Ideal (nämlich 𝔭): Es treffen also Fall (a) und (b) zu.

Und Z (oder k[X] mit einem endlichen Körper k) ist ein Dedekind-Ring, der weder (a) noch (b) erfüllt.

Korollar 7.4.3 Sei R ein endlich erzeugter unendlicher Dedekind-Ring (zum Beispiel Z). Dann gibt es keine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von unendlichen R-Moduln. Insbesondere gibt es keinen Peretjatkin-Modul über R.

Beweis: Denn für maximale Ideale 𝔭 ist R/𝔭 ein endlich erzeugter Körper, also endlich (Lemma 1.3.1); wegen Lemma 1.3.3 sind alle Unzerlegbaren der Form R/𝔭^{n} endlich.

Gäbe es nur endlich viele maximale Ideale, dann wäre K, der Quotientenkörper von R, endlich erzeugt (als Ring) über R (durch die Inversen von Erzeugenden der maximalen Ideale), also endlich erzeugt, also endlich; folglich wäre auch R endlich, Widerspruch. Also liefert Satz 7.4.2 die Behauptung.

Die Spektra von zahmen Köcheralgebren und Dedekind-Ringen sind sich so ähnlich (siehe für bereits bewiesene partielle Information etwa Korollar 6.2.7, für eine komplette Beschreibung des Spektrums zahmer Köcheralgebren Kapitel 8), daß auch der Satz 7.4.2 entsprechende Satz 7.4.4, mit ganz ähnlichem Beweis, gilt:

Satz 7.4.4 Sei R = k[Δ] Köcheralgebra über einem Euklidischen oder einem Dynkin-Köcher Δ, k ein kommutativer Körper. Dann sind äquivalent:

i. Es gibt eine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von unendlichen R-Moduln.

ii. k ist unendlich.

Beweis: Ist k unendlich, dann sind die (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren (als k-Vektorräume) unendlich; sei U ein solches endlichdimensionales Unzerlegbares. Wegen Korollar 2.1.5 und Korollar 2.1.6 (bzw. Korollar 6.2.2, falls der Köcher orientierte Zyklen hat) ist U offen-abgeschlossen, und nun liefert Lemma 7.2.2 iv. die Existenz einer Theorie wie in i. Sei k endlich. Ist Δ ein Dynkin-Köcher, dann ist R von endlichem Darstellungstyp; wegen Satz 2.1.9 sind dann alle Elemente des Ziegler-Spektrums endlich erzeugt, also endlich. Damit ergibt Lemma 7.2.2 ii., daß es keine Theorie wie in i. des Satzes geben kann. Sei k endlich und Δ ein Euklidischer Köcher. Zu zeigen ist, daß es keine Theorie wie in Punkt i. des Satzes gibt. Im wesentlichen das gleiche Argument wie im Beweis von Satz 7.4.2 funktioniert; wenn man möchte, kann man dazu die genaue Beschreibung des Ziegler-Spektrums aus Kapitel 8 benutzen. Ein etwas knapperes Argument geht so:

Wie Korollar 6.2.7 i. zeigt, gibt es endlich viele abgeschlossene Mengen, etwa A_{1}, …, A_{l}, die mit der induzierten Topologie jeweils homöomorph zu I(k[X]) sind, und daneben noch offen-abgeschlossene Unzerlegbare (endliche Unzerlegbare in unserem Fall). Sei T eine vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorie von R-Moduln; angenommen, T habe ein unendliches Modell. Wie im Beweis von Satz 7.4.2 folgt, daß die – auch hier endliche – Menge I(T) das rein-injektive Unzerlegbare von Rang 2, nämlich Q (siehe Seite 172 und in Abschnitt 5.1.1; analog für beliebig orientierte D̃_{n}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}), enthält, daß also in der betrachteten Axiomatisierung von T Axiome φ/ψ = n, wobei (φ/ψ) eine Umgebung von Q ist, nicht vorkommen. Wieder ist klar, daß T ein Modell M hat, das direkte Summe endlich vieler rein-injektiver Unzerlegbarer ist (Lemma 7.2.1 iii.). Man findet also leicht ein rein-injektives Unzerlegbares U, etwa einen “gewöhnlichen Prüfer” (siehe die gleich folgende Erläuterung), so daß M und M ⊕ U nicht elementar äquivalent sind, so daß aber M ⊕ U dennoch den endlich vielen Axiomen von T genügt. – Was ein gewöhnlicher Prüfer ist, ist in Kapitel 8 für die standardorientierten Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} erklärt; eine Erweiterung auf beliebige Euklidische Köcher sollte dem Leser keine Probleme bereiten.

Ähnlich wie bei Dedekind-Ringen hat man also genügend vollständige modulo _{R}T endlich axiomatisierbare Theorien von unendlichen R-Moduln; da der Körper aber unendlich sein muß, erhält man so natürlich keinen Peretjatkin-Modul.

7.5 Exkurs: Eine Peretjatkin-Theorie

In diesem Abschnitt – der als einziger dieser Arbeit keine Moduln behandelt – gebe ich ein Beispiel einer Peretjatkin-Theorie an; es ist im wesentlichen die Version aus [Gei 90], die mit dem von Peretjatkin konstruierten – aber weitaus komplizierteren – Beispiel ([Per 91]) interdefinierbar ist.

P sei die zweisortige Struktur mit erster Sorte D = Z und zweiter Sorte F = Z × Z × {−1, +1}, den Projektionen π_{1}, π_{2} : F ⟶ D auf erste bzw. zweite Koordinate von F, sowie den weiteren Funktionen

s : D ⟶ D, x ↦ x + 1;
h : D ⟶ F, x ↦ (x, x, 1);
g : F ⟶ F, (x, y, ϵ) ↦ (x, y + 1, ϵ) und
i : F ⟶ F, (x, y, ϵ) ↦ \{ \begin{matrix}(y, x, ϵ) & falls x < y \\ (y, x, −ϵ) & falls x ≥ y. \end{matrix}

Die π_{i} vergessen wir sofort und betrachten stattdessen die Fasern F_{(x,y)} = {(x, y, −1), (x, y, 1)}, x, y ∈ Z (F also etwa als dreistelliges Prädikat): Man erhält so offenbar eine interdefinierbare Struktur.

Satz 7.5.1 T = Th(P) ist Peretjatkin-Theorie (mit Primmodell P).

Beweis: Sei L die zweisortige Sprache, die aus Symbolen (von ihren Realisierungen notationell nicht unterschieden) für F (als dreistelliges Prädikat), s, g, h und i besteht. Die folgenden Axiome T_{0} gelten offenbar in P:

i. Es gebe zwei Sorten D und F, wobei F = ⋃_{x,y∈D} F_{(x,y)} die Vereinigung zweielementiger “Fasern” F_{(x,y)} sei. Für u ∈ F_{(x,y)} sei mit −u das andere Element aus dieser Faser bezeichnet; die Abbildung F → F bzw. F_{(x,y)} → F_{(x,y)}, u ↦ −u soll im folgenden als Multiplikation mit −1 geschrieben werden.

ii. s : D → D ist fixpunktfreie Bijektion; h : D → ⋃_{x∈D} F_{(x,x)} mit h(x) ∈ F_{(x,x)}; g : F → F ist Bijektion, mit g(F_{(x,y)}) ⊆ F_{(x,s(y))} und i : F → F ist Bijektion mit i(F_{(x,y)}) ⊆ F_{(y,x)}.

iii. i ↾ F_{(x,x)} = −1; i^{2} ↾ F_{(x,y)} = −1, falls x ≠ y.

iv. gigi = igig.

v. Für x ∈ D ist −gigih(x) = h(s(x)).

f sei im folgenden eine Abkürzung für −igi, so daß aus den Axiomen T_{0} folgt:

vi. f : F → F ist bijektiv, mit f(F_{(x,y)}) ⊆ F_{(s(x),y)}; und

vii. gf = fg, sowie gfh(x) = h(s(x)).

Außerdem ergibt sich aus iii. und iv. induktiv leicht viii. Sei m ≥ 1 und y ∉ {s(x), …, s^{m−1}(x)}. Dann gilt für a ∈ F_{(x,y)}, daß

f^{m}(a) = −ig^{m}i(a).

Wir werden zeigen, daß je zwei Modelle von T_{0} der Kardinalität ω_{1} isomorph sind: T_{0} ist dann eine vollständige, ω_{1}-kategorische Theorie (und gleich T). Daß P das Primmodell von T_{0} ist, ergibt sich im Verlauf des Beweises automatisch. – Der Witz der Konstruktion ist die folgende Behauptung: In Modellen von T_{0} ist s zyklenfrei. Beweis der Behauptung: Sonst gibt es einen Zyklus minimaler Länge, also x ∈ D und m ≥ 1 (da s fixpunktfrei) mit s^{m}(x) = x. Wegen vii. folgt

g^{m}f^{m}h(x) = (gf)^{m}h(x) = h(s^{m}(x)) = h(x).

Da wegen ii. und vi. sowohl f^{m} als auch g^{m} die Faser F_{(x,x)} auf sich selbst abbilden, bedeutet dies, daß

g^{m} ↾ F_{(x,x)} = f^{m} ↾ F_{(x,x)}.

Aber andererseits folgt aus iii. und viii.

f^{m}h(x) = −ig^{m}ih(x) = −g^{m}h(x),

Widerspruch (da h(x) ∈ F_{(x,x)}). Das beweist die Behauptung. Sei nun (D, F) ein – zunächst beliebiges – Modell der Axiome T_{0}. Da s keine Zyklen hat, ist D = ⋃_{i∈I} D_{i}, wobei die D_{i} (mit s ↾ D_{i}) Kopien von Z mit der üblichen Nachfolgerfunktion sind. < sei eine Anordnung von I; für jedes i ∈ I sei ein d_{i} ∈ D_{i} und für jedes Paar i < j ein a_{(i,j)} ∈ F_{(d_{i},d_{j})} gewählt. Dann ist jedes Element a ∈ F eindeutig ausdrückbar als

a = ±g^{m}f^{n}h(d_{i}) (1), oder
a = ±g^{m}f^{n}(a_{(i,j)}) (2), oder als
a = ±g^{m}f^{n}i(a_{(i,j)}) (3).

Seien nun (D, F) und (D′, F′) zwei Modelle der Kardinalität ω_{1}. Da Z mit der Nachfolgerfunktion ω_{1}-kategorisch ist, ist ohne Einschränkung (D, s) = (D′, s′). Seien die d_{i} und a_{(i,j)} wie eben; eine beliebige Auswahl von a′_{(i,j)} ∈ F′_{(d_{i},d_{j})} bestimmt zusammen mit (1), (2) und (3) eine Bijektion (D, F) → (D′, F′), wobei a_{(i,j)} ↦ a′_{(i,j)}. Diese ist ein Isomorphismus, denn man prüft leicht nach, daß es explizite Formeln gibt (die nur von T_{0} abhängen), die zeigen, wie f, g und i auf den Ausdrücken (1), (2), (3) operieren.

Man sieht leicht ein, daß T im Sinne der Stabilitätstheorie trivial ist und Morley-Rang 2 hat.

Das Ziegler-Spektrum. Teil II

Dieses lange Kapitel enthält die Beschreibung des Ziegler-Spektrums von Köcheralgebren der Form k[Δ], wobei Δ ein Euklidischer Köcher (mit beliebiger Orientierung) und k, wie immer, ein kommutativer Körper ist. Hier eine kurze Beschreibung der Topologie: Man überzeugt sich leicht, daß es genügt, die Topologie des Abschlusses der Menge der präprojektiven Unzerlegbaren zu bestimmen, und zwar sogar nur im Falle von Kronecker-Moduln oder im Falle eines der standardorientierten Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8} (siehe die Behauptung am Ende von Abschnitt 8.5 und den Anfang von Abschnitt 8.2). Es zeigt sich, daß man bei Kronecker-Moduln sozusagen “maximales Häufungsverhalten” hat: Der Abschluß jeder unendlichen Menge präprojektiver Unzerlegbarer enthält alle 𝔭-adischen Unzerlegbaren (Satz 8.2.1). Bei den anderen vier Köchern, ja schon bei Ã_{n} mit größerem n, ist das falsch (Beispiel zu Beginn von Abschnitt 8.7); das läßt sich auf mindestens zwei Arten verstehen:

1. Es gibt nämlich endlich viele sogenannte “sporadische” 𝔭-adische Unzerlegbare (die anderen mögen “gewöhnlich” heißen) Ũ_{Φ} und zu jedem solchen eine feste offene Umgebung O(Ũ_{Φ}), so daß für den Abschluß \overline{U} einer unendlichen Menge U präprojektiver Unzerlegbarer gilt (etwa im Falle von D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}, siehe Satz 8.8.13):

i. \overline{U} enthält alle gewöhnlichen 𝔭-adischen Unzerlegbaren.

ii. Ũ_{Φ} liegt in \overline{U} genau dann, wenn der Durchschnitt U ∩O(Ũ_{Φ}) unendlich

ist.

(Dies gilt in der Tat auch für einen beliebig orientierten der Euklidischen Köcher mit Ausnahme von Ã_{1}, das heißt mit Ausnahme der Kronecker-Moduln und der 2-Zyklen: Bei Kronecker-Moduln hat man nicht genug Präprojektive, um dieses Phänomen beobachten zu können, bei 2-Zyklen gibt es gar keine Präprojektiven.)

2. Und eine alternative Sicht der Situation bei D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8} (mit der Standardorientierung zum Beispiel), wie sie Satz 8.8.12 ausdrückt; sie beruht auf Korollar 6.2.7 iii.: Die unendlichdimensionalen Unzerlegbaren, insbesondere die 𝔭-adischen Unzerlegbaren, kann man stets (auf geeignete Weise) als Moduln über einem “kleineren” Köcher auffassen, also etwa die unendlichdimensionalen Ẽ_{6}-Unzerlegbaren als Quadrupel. Für manche der Präprojektiven gilt das auch, für manche nicht: Letztere sollen “neu” heißen. Dann folgt die Beschreibung der Topologie “induktiv” aus der Topologie über dem “kleineren” Köcher (mit “Induktionsanfang” bei Kronecker-Moduln und 2-Zyklen) und aus der Tatsache, daß im Abschluß einer unendlichen Menge “neuer” Präprojektiver alle 𝔭-adischen liegen (Satz 8.8.12).

Nun eine genauere Aufschlüsselung des Inhalts der einzelnen Abschnitte: Abschnitt 8.1 besteht aus einigen vorbereitenden Lemmata, sowie einer ersten Reduktion des Problems (auf die Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8}, jeweils mit der Standardorientierung, und auf Ã_{n}) . Im zweiten Teil, Abschnitt 8.2, findet man die Topologie des Ziegler-Spektrums für Köcher der Form k[Ã_{n}] (mit beliebiger Orientierung); wie auch etwa in Kapitel 5 wird diesen Köchern eine gesonderte Betrachtung zuteil. (Das wäre nicht unbedingt notwendig, ist aber aus zwei Gründen zweckmäßig: Unzerlegbare über k[Ã_{n}] lassen sich nicht im allgemeinen als Unterraumsysteme auffassen; und die Kenntnis der Topologie des Ziegler-Spektrums von k[Ã_{n}] – es genügt: Kronecker-Moduln – ist wesentlich für den Beweis des allgemeinen Falles.) Der Rest des Kapitels ist dann den verbleibenden Köchern D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} gewidmet. Abschnitt 8.3 beinhaltet eine weitere Reduktion des Problems: Es genügt, jeweils die Topologie einer gewissen abgeschlossenen Menge A des Ziegler-Spektrums zu bestimmen. (Diese Menge A entspricht genau der Menge A_{3} aus Lemma 5.1.5, deren Topologie in Abschnitt 8.2 bestimmt wird.) Im nächsten Teil, Abschnitt 8.4, werden gewisse kleine, abgeschlossene Teilmengen A_{b,b′} von A definiert; das zentrale Lemma – und eines der wichtigsten Ergebnisse dieses Kapitels – ist Lemma 8.4.2: Es beschreibt die A_{b,b′} so genau, daß sich anschließend Axiomatisierungen (modulo A_{b,b′}) für die den rein-injektiven Unzerlegbaren aus A_{b,b′} entsprechenden unzerlegbaren Typen angeben lassen (Lemma 8.4.4). Nun bilden diese A_{b,b′} zwar keine Überdeckung von A, ihre Topologie zu beschreiben genügt also nicht. Deshalb werden in Abschnitt 8.5 die Baur-Funktoren eingeführt, ein wesentliches Hilfsmittel: Das wichtigste Lemma dort, Lemma 8.5.2, erlaubt es nämlich, aus den in Abschnitt 8.4 gewonnenen Axiomatisierungen modulo A_{b,b′} solche modulo A zu gewinnen. (Man bekommt also deutlich mehr Information als nur die Topologie von A!) Insbesondere erhält man so Umgebungsbasen (in A) für die rein-injektiven Unzerlegbaren aus A. In den letzten drei Abschnitten werden diese zunächst als Mengen von pp-Paaren gegebenen Umgebungsbasen dann tatsächlich “in A ausgerechnet”: In 8.6 behandle ich gewöhnliche 𝔭-adische und Prüfer, in den letzten beiden dann – und dies ist ein recht aufwendiges Unterfangen – die sporadischen 𝔭-adischen. Satz 8.8.12 und Satz 8.8.13 sind – zusammen mit Lemma 8.4.2 – die Hauptresultate dieses Kapitels.

Nicht immer gehe ich auf dem schnellsten Wege vor; dies vor allem, um die Vielfalt der möglichen Methoden aufzuzeigen, teilweise auch aus “didaktischen” Gründen. Deshalb erkläre ich nach Satz 8.8.12 auf Seite ??, wie dieser Hauptsatz auf direktem Weg gezeigt werden kann.

Nahezu alle Ergebnisse dieses Kapitels sind neu, glaube ich jedenfalls.

Erinnert sei gleich hier zu Beginn an die Bedeutung von (∗) – auch in diesem Kapitel tragen die meisten Aussagen diese Markierung (Unter anderem werden dann, wenn die Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} mit ihrer Standardorientierung untersucht werden, nur Unterraumsysteme betrachtet werden.) – und an die übrigen zu Beginn von Kapitel 5 getroffenen Vereinbarungen, sowie an die Sprechweise von Seite 80. – Und weil in diesem und dem folgenden Kapitel die Funktoren aus Kapitel 5 ständig verwendet werden, hier eine kurze Zusammenstellung; dabei stehe Δ für k[Δ]-Mod:

D, D_{i,j} : Ã_{3} ⟶ D̃_{4}
S : Ã_{5} ⟶ Ẽ_{6}
T, T_{i,j,k} : D̃_{4} ⟶ Ẽ_{6}
S_{7}, T_{7} : Ẽ_{6} ⟶ Ẽ_{7}
S_{1} : Ẽ_{7} ⟶ Ẽ_{8}

(Siehe Definitionen 5.2, 5.3, 5.4 und 5.5.)

8.1 Vorbereitungen

Dieser kurze Abschnitt enthält zunächst ein Lemma, das Prest in [Pre 88] ohne Beweis anführt. Lemma 8.1.2 ist offenbar von Okoh ([Oko 80a]); allerdings ist der Beweis dort recht mysteriös. Lemma 8.1.3 schließlich wird im Beweis von Lemma 8.5.2 benutzt. Außerdem enthält dieser Teil noch eine Präzisierung des Problems “Beschreibung der Topologie” und eine erste Vereinfachung dieses Projekts.

Lemma 8.1.1 Δ sei ein Euklidischer Köcher. Dann ist der Cantor-Bendi-xon-Rang des Ziegler-Spektrums von k[Δ] gleich 2.

Beweis: Der Cantor-Bendixon-Rang des Ziegler-Spektrums I(k[X]) von k[X] ist 2 (siehe Seite 20); das Ziegler-Spektrum I(k[Δ]) von k[Δ] ist wegen Satz 4.1.7 und Korollar 6.2.7 i. Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen Mengen A_{i} homöomorph zu I(k[X]) und einer Menge, die nur aus isolierten Punkten besteht. Da die in der Relativtopologie eines der A_{i} isolierten Punkte gerade die endlichdimensionalen Punkte aus A_{i} sind, sind diese auch in I(k[Δ])s isoliert. Damit ist alles klar.

Lemma 8.1.2 Δ sei ein Euklidischer Köcher, beliebig orientiert. Jeder reininjektive Modul über k[Δ] ist reine Hülle einer direkten Summe von reininjektiven Unzerlegbaren.

Beweis: Es genügt zu zeigen, daß jeder (rein-injektive) Modul elementare Krull-Dimension hat; siehe dafür [Zie 84, Section 7]. Andernfalls aber gibt es einen Modul M mit einer dichten Kette von pp-Untergruppen. Es gibt dann einen abzählbaren Teilring von k[Δ], ohne Einschränkung von der Form k_{0}[Δ] für einen abzählbaren Unterkörper k_{0} von k, so daß M schon als k_{0}[Δ]- Modul eine dichte Kette von pp-Untergruppen hat. Zusammen mit Lemma 8.1.1 widerspricht dies aber [Zie 84, Corollary 8.8.(1)].

Der Witz hier ist, daß der abzählbare Teilring wieder Köcheralgebra zu Δ ist.

– Der gleiche Beweis zeigt, daß die größte elementare Krull-Dimension eines Moduls über k[Δ] gleich der größten solchen eines Moduls über k_{0}[Δ] ist, k_{0} ein geeigneter abzählbarer Unterkörper von k. Wegen [Zie 84, Corollary 8.8 (1)] und Lemma 8.1.1 ist also das Maximum der elementaren Krull-Dimensionen von Moduln über k[Δ] gleich 2.

8.2. DER FALL k[Ã_{n}] 165

Lemma 8.1.3 R sei ein beliebiger Ring. Sei B = B(x) ein partieller pp-Typ, A eine abgeschlossene Menge im Ziegler-Spektrum, so daß für alle U ∈ A gilt B(U) ∈ \{0, U\}. Dann folgt für alle Moduln M der Form M = \overline{⊕U_{i}}, wobei U_{i} ∈ A, daß B(M) ⊆ M direkter Summand von M ist.

Beweis: M läßt sich schreiben als \overline{N ⊕ N′} ≃ \overline{N} ⊕ \overline{N′} mit N = ⊕U_{i}, N′ = ⊕U′_{j}, B(U_{i}) = 0 und B(U′_{j}) = U′_{j} für alle i, j. Da B(M) = B(\overline{N}) ⊕ B(\overline{N′}), genügt es zu zeigen, daß B(\overline{N}) = 0 und B(\overline{N′}) = \overline{N′}; das heißt, es genügt zu zeigen, daß für rein-injektive Unzerlegbare V_{k} ∈ A die beiden folgenden Aussagen i. und ii. äquivalent sind:

i. B(\overline{⊕V_{k}}) = 0 (bzw. B(\overline{⊕V_{k}}) = \overline{⊕V_{k}});

ii. Für alle k gilt: B(V_{k}) = 0 (bzw. für alle k ist B(V_{k}) = V_{k}).

Da V_{k} direkter Summand in \overline{⊕V_{l}} ist, ist die Richtung von i. nach ii. klar. Umgekehrt: ⊕V_{l} ist rein im rein-injektiven ∏ V_{l}, somit ist \overline{⊕V_{l}} direkter Summand von ∏ V_{l}.

Nun noch eine Präzisierung des Ziels dieser Untersuchungen: In diesem Kapitel wollen wir ja eine Beschreibung des Ziegler-Spektrums I(k[Δ]) von k[Δ], Δ ein Euklidischer Köcher, als topologischer Raum gewinnen; das soll bedeuten, daß wir an einer Liste der Punkte dieses Raumes (ohne Wiederholungen) interessiert sind und an Umgebungsbasen der Punkte. Dies Ziel soll als erreicht gelten, wenn es gelingt, eine Überdeckung von I(k[Δ]) durch endlich viele abgeschlossene Mengen anzugeben, die im eben erläuterten Sinne als topologische Räume bekannt sind, und so daß man explizit angeben kann, in welchen dieser abgeschlossenen Mengen ein gegebener Punkt liegt: Es ist nämlich klar, daß man aus Umgebungsbasen eines Punktes für die (endlich vielen) abgeschlossenen Mengen, in denen er liegt, leicht eine Umgebungsbasis für I(k[Δ]) erhält. (Ebenso gut ist eine Überdeckung von I(k[Δ]) bis auf endlich viele offen-abgeschlossene Punkte: Diese sind dann, wenn man will, selbst abgeschlossene Mengen mit bekannter Topologie. Deshalb ist es kein Schaden, wenn viele der folgenden Lemmata einen (∗) tragen.) Behauptung: Zur Beschreibung von I(k[Δ]) als topologischer Raum (im eben präzisierten Sinne), Δ einer der Köcher D̃_{n}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} mit beliebiger Orientierung, genügt es, I(k[Δ]) zu bestimmen, wobei Δ einer von D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} mit der Standardorientierung ist. Beweis der Behauptung: Das folgt aus Korollar 6.2.7 ii. und Satz 4.1.7.

Zunächst aber gilt es, den Fall des Köchers Ã_{n} zu behandeln.

8.2 Der Fall k[Ã_{n}]

In diesem Abschnitt soll das Spektrum von k[Ã_{n}] ausgerechnet werden. Reininjektive Unzerlegbare über Ã_{n} sind Kronecker-Moduln oder 2-Zyklen (Korollar 5.1.3 in Verbindung mit Korollar 6.2.3). Deshalb genügt es (nach den Ausführungen im letzten Abschnitt), das Ziegler-Spektrum für Kronecker-Moduln und das für 2-Zyklen zu berechnen. Rein-injektive unzerlegbare 2-Zyklen wiederum sind k[X]-Moduln (Lemma 5.1.6 und Korollar 6.2.3); also ist das Ziegler-Spektrum von 2-Zyklen schon bekannt. Und wegen Lemma 5.1.5 und Korollar 6.2.3 reduziert sich das Problem für Kronecker-Moduln auf die vier abgeschlossenen Teilmengen A_{1} bis A_{4} aus Lemma 5.1.5. Wie die Überlegung vor Lemma 5.1.5 zeigt, sind aber die zu A_{1} bzw. A_{2} gehörigen Modulklassen pp-äquivalent zur Klasse der k[X]-Moduln und damit die Topologie von A_{1} bzw. A_{2} bekannt (Satz 4.1.7): Es genügt also, A_{3} und A_{4} zu untersuchen. Zum Beispiel mit einer Dualitätsüberlegung wie im weiter unten folgenden Lemma 8.3.5 sieht man, daß hierfür bereits die Bestimmung (der Topologie) von A_{3} ausreicht. (Oder – für Bedenkenträger angesichts des Verweises auf das noch zu zeigende Lemma 8.3.5: Im letzten Absatz dieses Abschnitts wird – wenn man will – die Topologie von A_{4} direkt bestimmt; dort wird das Analogon von Satz 8.2.1 i. für Präinjektive und Prüfer gezeigt.)

Zur Bestimmung von A_{3}: Lemma 6.2.8 ergibt, daß bis auf die Präprojektiven P_{n} (siehe vor Lemma 5.1.5 in Abschnitt 5.1.1) alle endlichdimensionalen Unzerlegbaren aus A_{3} bereits in A_{1} oder A_{2} (sogar in A_{1} ∩ A_{2}!) liegen; daher genügt es zu zeigen:

Satz 8.2.1 Für Kronecker-Moduln gilt:

i. Der Abschluß \overline{U} jeder unendlichen Teilmenge U der Präprojektiven enthält alle 𝔭-adischen.

ii. Der Abschluß der Menge der Präprojektiven besteht aus den Präprojektiven, den 𝔭-adischen und Q.

Beweis: Potentielle Häufungspunkte sind wegen Satz 2.1.6 nur die unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren, also Prüfer, 𝔭-adische und Q. Da sich der Beweis von Korollar 8.6.4 bzw. von Lemma 8.6.3 – diese beziehen sich auf die standardorientierten Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} und werden weiter unten gezeigt – leicht auf den Fall von Kronecker-Moduln überträgt, folgt, daß im Abschluß der Menge der Präprojektiven kein Prüfer liegt. (Man betrachtet etwa, in der Notation von Abschnitt 5.1.1, die (partielle) Operation X := gf^{−1} auf einem Präprojektiven. Hat X auf einem der P_{i} Torsion, dann folgt wie in Lemma 8.6.3 – oder eigentlich Lemma 8.6.1 i. –, daß es zunächst ein Element 0 ≠ a ∈ P_{i} gibt, auf das X unendlich oft anwendbar ist, und dann einen a enthaltenden Untermodul von Defekt Null – der also = 0 sein muß, Widerspruch.) k(X) ist im Abschluß jedes 𝔭-adischen rein-injektiven Unzerlegbaren über k[X]; wegen Satz 4.1.7 ist somit Q im Abschluß jedes 𝔭-adischen Kronecker-Moduls. Daher genügt es, i. zu zeigen. Ich gebe drei Argumente:

1. Vollkommen analog zu Definition 8.4 weiter unten kann man Baur-Funkto-ren definieren, etwa einen Funktor B, so daß für einen rein-injektiven Modul M ∈ A_{3} (Zur Erinnerung: Das heißt, daß in M die Abbildungen f und g injektiv sind.) der Untermodul B(M) größter Untermodul ist, in dem f ein Isomorphismus ist; B(M) ist dann direkter Summand von M (analog zu Lemma 8.5.2 weiter unten). Dann argumentiert man weiter wie dort. Man beachte dabei, daß die hier betrachtete Menge A_{3} das genaue Analogon der weiter unten, in den Fällen D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} (mit der Standardorientierung), definierten Menge A ist.

2. Mit ι_{i} : P_{i} → P_{i+1} sei die durch

x_{j}^{i} ↦ x_{j}^{i+1}, y_{k}^{i} ↦ y_{k}^{i+1},

j ≤ n und k ≤ n + 1, gegebene Einbettung bezeichnet (siehe Definition der P_{i} vor Lemma 5.1.5). Dann ist im direkten Limes M des gerichteten Systems der ι_{i} die Abbildung f ein Isomorphismus, mit anderen Worten, M ∈ A_{1}. pp-Äquivalenzen erhalten offenbar elementare Äquivalenz; die vor Lemma 5.1.5 angegebene naheliegende pp-Äquivalenz zwischen Kronecker-Moduln, für die f bijektiv ist, und k[X]-Moduln bildet M auf den k[X]-Modul k[X] ab. Dieser ist elementar äquivalent zu (siehe [Zie 84, Theorem 5.6])

∏_{𝔭 maximal} k̃[X]_{𝔭}.

Somit ist M elementar äquivalent zu dem Kronecker-Modul, der unter der pp-Äquivalenz ∏_{𝔭 maximal} k̃[X]_{𝔭} entspricht, also zu dem direkten Produkt aller 𝔭-adischen Kronecker-Moduln, mit Ausnahme von k̃[X]_{(X),g=1} (definiert in Lemma 6.2.8). Ist nun (φ/ψ) eine offene Umgebung eines dieser 𝔭-adischen Kronecker-Moduln (also eines 𝔭-adischen aus A_{1}), so gibt es ein a ∈ φ/ψ(M), und folglich gibt es ein entsprechendes Element in allen P_{i} mit i groß genug: Alle bis auf endlich viele P_{i} liegen in (φ/ψ). Das beweist, daß im Abschluß jeder unendlichen Menge von Präprojektiven alle 𝔭-adischen aus A_{1} liegen; aus Symmetriegründen gilt Entsprechendes auch für A_{2}. Das war zu zeigen.

3. Sei U ein gegebener 𝔭-adischer Kronecker-Modul, sei U eine unendliche Menge von Präprojektiven und U′ die Menge der direkten Summen endlich vieler Kopien von Präprojektiven aus U. Es genügt zu zeigen, daß U Vereinigung von Moduln aus U′ ist – dann schließt man wie eben. Zu zeigen ist also, daß jeder endlichdimensionale Untermodul W von U enthalten ist in einem Modul aus U′. U ist in A_{1} ∪ A_{2} (Abschnitte 5.1.1 und 6.2), ohne Einschränkung aus A_{1}. Sei U^{k[X]} der U vermöge der durch X := gf^{−1} gegebenen pp-Äquivalenz entsprechende k[X]-Modul, also U^{k[X]} = k̃[X]_{𝔭} für ein geeignetes 𝔭. Sei W′ der kleinste (Kronecker-) Untermodul mit W ≤ W′ ≤ U, so daß f in W′ Isomorphismus ist; man beachte, daß – weil ja U ∈ A_{1} – die Abbildung f in U Isomorphismus ist. Sei dann W^{′k[X]} (≤ U^{k[X]} ohne Einschränkung, da die Funktoren hier Injektionen erhalten) der W′ entsprechende k[X]-Untermodul von U^{k[X]}. Dieser ist endlich erzeugt, also direkte Summe endlich vieler zyklischer k[X]-Untermoduln von U^{k[X]}, die als solche k-Basen der Form a, Xa, X^{2}a, … haben. Das heißt, W^{′k[X]} hat die Gestalt

W^{′k[X]} = ⊕_{j=1}^{l} ⊕_{i=0}^{∞} kX^{i}a_{j}

für geeignetes l und geeignete a_{j} ∈ U^{k[X]}. Somit ist W′ von der Gestalt

[figure: ⊕_{j=1}^{l} ⊕_{i=0}^{∞} kf^{−1}X^{i}a_{j}; ⊕_{j=1}^{l} ⊕_{i=0}^{∞} kX^{i}a_{j}; f; g]

(in der Tat eine direkte Summe). Also ist für m groß genug W Untermodul von

[figure: ⊕_{j=1}^{l} ⊕_{i=0}^{m} kf^{−1}X^{i}a_{j}; ⊕_{j=1}^{l} ⊕_{i=0}^{m+1} kX^{i}a_{j}; f; g]

und bei geeigneter Wahl von m ist dies wie gewünscht.

8.3. UNZERLEGBARE IN A 169

Die Dualitätsüberlegung, die erlaubt, sich auf die Untersuchung von A_{3} zu beschränken (siehe den Verweis auf Lemma 8.3.5 vor Satz 8.2.1), kann man auch anders verpacken: Man sieht mit einer Variante des Satzes von Okoh (bzw. seines Beweises), daß ein gegebener Prüfer (ein Kronecker-Modul!) im Abschluß jeder unendlichen Menge von Präinjektiven I_{n} liegt; natürlich zeigt dies eigentlich nur, daß Dualität eine wesentliche Zutat zum Satz von Okoh ist. Sei nämlich U_{1} eine solche Menge von Präinjektiven, sei U′_{1} zu U_{1} wie eben U′ zu U gebildet, bestehe also aus direkten Summen endlich vieler Kopien Präinjektiver aus U_{1}. Wie die Beweisvariante von Satz 2.1.3 nach Korollar 2.1.4 zeigt, genügt es zu zeigen, daß die Familie U′_{2} = {N^{⋆} | N ∈ U′_{1}} der k-Dualen von Moduln aus U′_{1} (die zu U_{2} = {U^{⋆} | U ∈ U_{1}}, der Menge der k-Dualen von Unzerlegbaren aus U_{1}, gebildet wird, wie U′ zu U; U_{2} ist eine Menge von Präprojektiven) kofinal im Dualen des gegebenen Prüfers ist. Aber dieser Prüfer ist ohne Einschränkung in A_{1} (wie eben in der dritten Version des Beweises), entspricht somit unter einer geeigneten pp-Äquivalenz einem k[X]_{𝔭^{∞}}. Man verifiziert leicht, daß sein Duales (als Kronecker-Modul) dann gerade dem Dualen (als k[X]-Modul) von k[X]_{𝔭^{∞}} entspricht, also k̃[X]_{𝔭}. Dieses Duale (als Kronecker-Modul) ist also ein 𝔭adischer Kronecker-Modul U. Und daß U′_{2} kofinal in U ist, ist in der eben wiedergegebenen dritten Version des Beweises von Satz 8.2.1 gerade nachgewiesen worden.

8.3 Unzerlegbare in A

Wegen der Behauptung am Ende von Abschnitt 8.1 werden im weiteren nur die Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} mit den in Kapitel 5 eingeführten Standardorientierungen betrachtet; alles von nun an Gesagte beziehe sich auf diese vier Köcher. Außerdem sollen ohne Einschränkung stets Unterraumsysteme vorliegen: Mit C bzw. “Universum” sei in den vier Fällen dann jeweils der “größte Vektorraum”, das heißt der Vektorraum V_{0} (bzw. Q, R, P) bezeichnet. (Nicht nur deshalb tragen die meisten der folgenden Lemmata und Sätze einen (∗): Wie üblich werden nämlich die Gleichungen aus Lemmata 5.2.3, 5.3.2, 5.4.2 und 5.5.2 meist kommentarlos benutzt werden.)

Große Teile des Rests dieses Kapitels könnte man – mit Mühe – auch für Ã_{n} formulieren; dadurch würde die Darstellung aber komplizierter, weniger einheitlich, da nicht fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren als Unterraumsysteme aufgefaßt werden könnten. Deshalb war Ã_{n} bereits im vorigen Abschnitt untersucht worden.

Eine kurze Inhaltsangabe: Dieser Abschnitt dient im wesentlichen zwei Zielen. i. Zunächst werden eine Reihe von Bezeichnungen eingeführt, Bezeichnungen, die im folgenden ständig benutzt werden. Dazu erhalten gewisse bereits in Kapitel 5 untersuchte Gleichungen Namen (Seite 172); außerdem wird endlich die Bedeutung dieser Gleichungen klar. Die Gleichungen bzw. ihre Bezeichnungen dienen dann ihrerseits dazu, den rein-injektiven Unzerlegbaren, soweit erforderlich, Namen zu verleihen (Seite 172). Eine grobe Beschreibung des Ziegler-Spektrums I(k[Δ]), Δ einer der vier standardorientierten Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}, die sich dieser neuen Namen schon bedient, wird auf Seite 173 gegeben.

ii. Und außerdem findet sich an Schluß dieses Abschnitts eine wesentliche Reduktion des in Teil 8.1 formulierten Problems der Bestimmung der Topologie des Ziegler-Spek-trums der D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} mit ihren Standardorientierungen. Zu diesem Behufe wird ein abgeschlossener Teilraum A von I(k[Δ]) eingeführt, Δ wie eben (und von nun an fast immer) einer von D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8} mit der Standardorientierung. Dieses A entspricht genau dem in Abschnitt 8.2 untersuchten A_{3} bei Kronecker-Moduln. Lemma 8.3.4 beschreibt A als Menge von rein-injektiven Unzerlegbaren; und Lemma 8.3.5 zeigt (siehe Beweis der Behauptung vom Ende dieses Abschnitts), daß es genügt, die Topologie von A zu beschreiben.

Es sei nochmals daran erinnert, daß nur Unterraumsysteme betrachtet werden; man beachte den Stern (∗) (siehe Vereinbarung zu Beginn von Kapitel 5). Nach Lemma 8.1.3 wurde schon begründet, warum bei der Untersuchung der Topologie die Verwendung von (∗) nicht schadet.

Mit b_{i} bezeichne ich in den vier Fällen D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8} – ohne durch die Bezeichnung den Köcher kenntlich zu machen – die folgenden Mengen von Mengen von (pp-definierbaren) Untervektorräumen; man beachte, daß sich die Definitionen von b_{3} im Falle Ẽ_{6} und von b_{1} im Falle Ẽ_{8} von den, etwa wegen Lemma 5.3.3 bzw. Lemma 5.5.3, zu erwartenden unterscheiden. (Im Anschluß an Lemma 8.3.2 wird erklärt warum.) Wegen Lemma 5.5.5 gelten aber alle im folgenden unter Bezug auf Kapitel 5 gemachten Aussagen.

D̃_{4} b_{1} = {{V_{1}, V_{2}}, {V_{3}, V_{4}}}
b_{2} = {{V_{1}, V_{3}}, {V_{2}, V_{4}}}
b_{3} = {{V_{1}, V_{4}}, {V_{2}, V_{3}}}
Ẽ_{6} b_{1} = {{E_{1}, F_{3}}, {E_{3}, F_{2}}, {E_{2}, F_{1}}}
b_{2} = {{E_{1}, F_{2}}, {E_{2}, F_{3}}, {E_{3}, F_{1}}}
b_{3} = {{E_{1}, E_{2} ∩ E_{3}}, {F_{1}, F_{2}, F_{3}}}
Ẽ_{7} b_{1} = {{E_{1}, G_{2}}, {F_{2}, W }, {E_{2}, G_{1}}, {F_{1}, W }}
b_{2} = {{E_{1} ∩ E_{2}, W }, {G_{1}, G_{2}, W }, {F_{1}, F_{2}}}
b_{3} = {{W, E_{1} ∩ F_{2}, G_{1}}, {W, E_{2} ∩ F_{1}, G_{2}}}
Ẽ_{8} b_{1} = {{Y_{3}, Z_{8}}, {X, Z_{7}}, {Y_{4}, Z_{6}}, {X, Y_{3} ∩ Z_{5}}, {X, Y_{4}, Z_{9}}}
b_{2} = {{X ∩ Z_{5}, Y_{4}, Z_{8}}, {X ∩ Y_{3}, Y_{4}, Z_{7}}, {Y_{3} ∩ Z_{6}, X, Z_{9}}}
b_{3} = {{X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{6}, Y_{4}, Z_{8}}, {Y_{4} ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{7}, X, Z_{9}}}

Für Φ ∈ b_{i} seien die folgenden pp-Aussagen definiert:

γ_{Φ}^{∩} ≡ “(∑_{φ∈Φ} φ) ist direkt in C”,
γ_{Φ}^{Σ} ≡ ∑_{φ∈Φ} φ = C; weiter

γ_{b_{i}}^{∩} ≡ ⋀_{Φ∈b_{i}} γ_{Φ}^{∩},
γ_{b_{i}}^{Σ} ≡ ⋀_{Φ∈b_{i}} γ_{Φ}^{Σ}, sowie

γ^{∩} ≡ γ_{b_{1}}^{∩} ∧ γ_{b_{2}}^{∩} ∧ γ_{b_{3}}^{∩} und
γ^{Σ} ≡ γ_{b_{1}}^{Σ} ∧ γ_{b_{2}}^{Σ} ∧ γ_{b_{3}}^{Σ}.

Zum Beispiel ist im Falle D̃_{4} etwa γ_{{V_{1},V_{2}}}^{∩} ≡ V_{1} ∩V_{2} = 0 und γ_{b_{1}}^{Σ} ≡ V_{1} +V_{2} = V_{3} + V_{4} = V_{0}.

Die Analyse in Kapitel 5 (bzw. die dortigen Beweise) und Abschnitt 6.2 haben gezeigt, daß jedes stetige endlichdimensionale und jedes rein-injektive unendlichdimensionale Unzerlegbare U von der Form F (U′) ist, F eine geeignete pp-Äquivalenz (und Komposition von pp-Äquivalenzen aus Kapitel 5), U′ ein unzerlegbarer rein-injektiver k[X]-Modul (siehe auch Korollar 6.2.7). Ist U′ 𝔭-adisch (bzw. Prüfer), so heiße U 𝔭-adisch (bzw. Prüfer); mit Q sei das Bild des rein-injektiven Unzerlegbaren k(X) bezeichnet: wie man leicht sieht, ist dies jeweils wohldefiniert. Man beachte auch die entsprechenden Definitionen für k[Ã_{n}] in Abschnitt 5.1. – Die stetigen (das heißt: regulären; siehe Lemma 5.1.5) k[Ã_{n}]-Unzerlegbaren sind genau bekannt (siehe vor Lemma 5.1.5), wegen Abschnitt 6.2 also auch die unendlichdimensionalen reininjektiven Unzerlegbaren. Außerdem zeigt Kapitel 5, daß die dort benutzten Funktoren (siehe die Zusammenstellung unmittelbar vor Abschnitt 8.1) die Aussagen γ_{Φ}^{∩} bzw. γ_{Φ}^{Σ} ineinander übersetzen und daß stetige Unzerlegbare Bilder bzw. Urbilder stetiger Unzerlegbarer sind (genauer: mit Lemmata 5.2.8 iii. für D̃_{4}, 5.3.8 iii., 5.3.5 und 5.3.6 für den Fall Ẽ_{6}, 5.4.7 iii. und 5.4.5 im Falle Ẽ_{7}, sowie 5.5.8 iii. und 5.5.6 im Fall Ẽ_{8}). Man erhält deshalb sofort

Lemma 8.3.1

i. U sei ein stetiges (endlichdimensionales) Unzerlegbares. Dann gilt für alle bis auf höchstens ein Φ ∈ b_{1} ∪ b_{2} ∪ b_{3}, daß U ⊧ γ_{Φ}^{∩} ∧ γ_{Φ}^{Σ}. Gilt U ⊧ ¬(γ_{Φ}^{∩} ∧γ_{Φ}^{Σ}), so folgt U ⊧ ¬γ_{Φ}^{∩} ∧¬γ_{Φ}^{Σ}, und U ist das einzige stetige Unzerlegbare der Dimension dim(U) mit dieser Eigenschaft.

ii. U sei ein rein-injektives unendlichdimensionales Unzerlegbares. Dann gilt für alle Φ ∈ b_{1} ∪ b_{2} ∪ b_{3} bis auf höchstens eines, daß U ⊧ γ_{Φ}^{∩} ∧ γ_{Φ}^{Σ}. Ist U ⊧ ¬γ_{Φ}^{∩}, so folgt U ⊧ γ_{Φ}^{Σ}, also auch U ⊧ γ^{Σ}, und U ist Prüfer; U ist dann der einzige Prüfer mit dieser Eigenschaft. Und dual dazu: Gilt U ⊧ ¬γ_{Φ}^{Σ}, so ist U ⊧ γ_{Φ}^{∩}, also U ⊧ γ^{∩}; U ist 𝔭-adisch und das einzige 𝔭-adische Unzerlegbare mit dieser Eigenschaft.

Die gleiche Argumentation liefert auch: Zu jedem Φ ∈ b_{1} ∪ b_{2} ∪ b_{3} und zu jedem Dimensionstyp, zu dem es überhaupt stetige Unzerlegbare gibt (siehe jeweils Teil iii. der Lemmata 5.2.8, 5.3.8, 5.4.7, 5.5.8), gibt es genau ein U mit diesem Dimensionstyp, weiter genau ein 𝔭-adisches U′ und genau einen Prüfer U′′ mit U, U′, U′′ ⊧ ¬(γ_{Φ}^{∩} ∧ γ_{Φ}^{Σ}).

Definition 8.1 Stetige bzw. unendlichdimensionale rein-injektive Unzerlegbare, die nicht γ^{∩}∧γ^{Σ} erfüllen, heißen sporadisch, die übrigen gewöhnlich.

Das sporadische 𝔭-adische Unzerlegbare, das nicht γ_{Φ}^{Σ} erfüllt, heiße Ũ_{Φ}; der Prüfer, der nicht γ_{Φ}^{∩} erfüllt, sei mit U_{Φ}^{∞} bezeichnet.

Da ∑_{i=1,2,3} | b_{i} |= 6 (bzw. = 8, 9, 10), folgt: Es gibt bei D̃_{4} (bzw. bei Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8}) für jedes n genau sechs (bzw. acht, neun, zehn) sporadische stetige Unzerlegbare mit dim(C) = 2n (bzw. mit dim(C) = 3n, 4n, 6n); es gibt genau sechs (bzw. acht, neun, zehn) sporadische 𝔭-adische und sechs (bzw. acht, neun, zehn) sporadische Prüfer. (Siehe wieder jeweils Teil iii. der Lemmata 5.2.8, 5.3.8, 5.4.7, 5.5.8 für eine Beschreibung der Dimensionstypen stetiger Unzerlegbarer.)

Mit der Behauptung von Seite 36 ergibt sich für die vier betrachteten Köcher insbesondere folgende

Zusammenfassung: (für D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} mit Standardorientierung) i. Die Menge der endlichdimensionalen (rein-injektiven) Unzerlegbaren ist disjunkte Vereinigung von P, R und I. Endlichdimensionale Unzerlegbare sind entweder stetig oder diskret. Stetige (endlichdimensionale) Unzerlegbare sind regulär; folglich sind Präprojektive und Präinjektive diskret. Ein stetiges Unzerlegbares ist entweder gewöhnlich oder sporadisch. Zu jedem Dimensionstyp, zu dem es überhaupt stetige Unzerlegbare gibt, gibt es genau sechs (bzw. acht, neun, zehn) sporadische stetige und unendlich viele gewöhnliche stetige Unzerlegbare mit diesem Dimensionstyp. ii. Die Menge der unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren besteht aus den Prüfern, den 𝔭-adischen, und Q. Prüfer und 𝔭-adische sind jeweils entweder gewöhnlich oder sporadisch. Es gibt genau sechs (bzw. acht, neun, zehn) sporadische Prüfer und ebenso viele sporadische 𝔭-adische, aber unendlich viele gewöhnliche Prüfer und unendlich viele gewöhnliche 𝔭adische.

(Es ist klar, daß dies bei geeigneter Ausdehnung der benutzten Begriffe auch für die anderen Euklidischen Köcher – ohne zyklische Orientierung – gilt.)

Noch einige Bemerkungen: i. Es zeigt sich, daß die sporadischen stetigen (bzw. Prüfer, 𝔭-adischen) gerade von der Gestalt (F wie eben eine geeignete pp-Äquivalenz)

F (k[X]/𝔭^{n}) (bzw. F (k[X]_{𝔭^{∞}}, F (k̃[X]_{𝔭})

sind, für 𝔭 ∈ {(X), (X + 1), (X − 1)}. (Das liegt natürlich an der Wahl der pp-Äquivalenzen; insbesondere wird sich aus dem Beweis von Lemma 8.4.2 ergeben, daß, bei anderer Auswahl von pp-Äquivalenzen F, die sporadischen 𝔭-adischen auch als F (k̃[X]_{(X)}) geschrieben werden können.)

ii. Wegen Lemmata 5.2.4, 5.3.3, 5.4.3 und 5.5.3 und der Eindeutigkeit der sporadischen Unzerlegbaren (Lemma 8.3.1) läßt sich auf jedem der b_{i} eine Operation von C^{+} (entsprechend auch von C^{−}) definieren, so daß

C^{+}(Ũ_{Φ}) = Ũ_{C^{+}(Φ)} und
C^{+}(U_{Φ}^{∞}) = U_{C^{+}(Φ)}^{∞} gilt,

also zum Beispiel C^{+}({V_{1}, V_{2}}) = {V_{3}, V_{4}}. iii. Die sporadischen Unzerlegbaren sind genau die stetigen bzw. unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren mit endlicher nichttrivialer C^{+}- Bahn, das heißt die, deren C^{+}-Bahn endliche Länge ungleich 1 hat (leichte Rechnung). – Wegen der Eindeutigkeit (Lemma 8.3.1) läßt sich an den Lemmata 5.3.6, 5.4.5, 5.5.6 sofort ablesen, welche sporadischen Unzerlegbaren sich unter den Funktoren T, S_{7} und S_{1} entsprechen; das wurde eben schon im Beweis von Lemma 8.3.1, das heißt der Überlegung vor diesem Lemma, benutzt. (Definiert man den Begriff des sporadischen Unzerlegbaren auch für Ã_{2m−1} mit der alternierenden Orientierung, dann leisten Lemmata 5.2.7, 5.3.5 das Entsprechende; allerdings ist dann das Urbild eines sporadischen Unzerlegbaren unter D bzw. S nicht immer sporadisch – das liegt daran, daß es für Ã_{2m−1} nur zwei b_{i} gibt.) iv. Die Paare von pp-Äquivalenzen (aus Kapitel 5) T, T′ bzw. S_{7}, S′_{7} bzw. S_{1}, S′_{1} erhalten Bahnen von (zum Beispiel) unendlichdimensionalen reininjektiven Unzerlegbaren: Insbesondere ist etwa das Bild einer Bahn sporadischer 𝔭-adischer Unzerlegbarer unter T bzw. S_{7} bzw. S_{1} enthalten in einer Bahn sporadischer 𝔭-adischer Unzerlegbarer: Die Bezeichnungen der b_{i} von Seite 171 sind gerade so gewählt, daß T ({Ũ_{Φ}|Φ ∈ b_{i}}) ⊆ {Ũ_{Φ}|Φ ∈ b_{i}}; siehe Lemma 5.3.6. (Achtung: Hier stehen links und rechts natürlich b_{i} von verschiedenen Köchern.) Analog für S_{7} bzw. S_{1} und deren Kompositionen mit Coxeter-Funktoren (Lemmata 5.4.5 und 5.5.6). Bei den T_{i,j,k} stimmt die Wahl der b_{i} natürlich nicht mehr; auch sie erhalten aber Bahnen.

Es ist wegen des folgenden Lemmas 8.3.2, daß ich b_{1} bei Ẽ_{8} und b_{3} bei Ẽ_{6} auf Seite 171 anders definiert habe als Kapitel 5 hätte erwarten lassen. Erinnert sei hier auch an die Vereinbarung zu Beginn von Kapitel 5: Allein die Formulierung des nächsten Lemmas impliziert ja bereits wieder, daß Unterraumsysteme betrachtet werden.

Lemma 8.3.2 (∗) Für alle i und für fast alle endlichdimensionalen Unzerlegbaren U gilt

δ(U) = ∑_{Φ∈b_{i}}[( ∑_{φ∈Φ} dim φ(U)) − dim(C)].

Beweis: Beweis durch Nachrechnen für die vier Fälle:

1. D̃_{4}: Die rechte Seite ergibt zum Beispiel für i = 1 gerade v_{1} + v_{2} − v_{0} + v_{3} + v_{4} − v_{0}, also das Gewünschte. – Die Rechnungen für Ẽ_{6} und Ẽ_{7} schenke ich mir.

2. Ẽ_{8}: Für i = 1 ergibt die rechte Seite zum Beispiel (y_{3} + z_{8} − p) + (x + z_{7} − p) + (y_{4} + z_{6} − p) + (x + y_{3} ∩ z_{5} − p) + (x + y_{4} + z_{9} − p); der vierte Summand läßt sich schreiben als x + (y_{3} + z_{5} − y_{3} ∪ z_{5}) − p = x + y_{3} + z_{5} − 2p (wegen Lemma 5.5.2), insgesamt hat man also für die rechte Seite das Verlangte. Für i = 2, 3 rechnet man genauso.

Lemma 8.3.3 (∗) Sei b ∈ {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, U ein endlichdimensionales Unzerlegbares.

i. Aus U ⊧ γ_{b}^{∩} folgt δ(U) ≤ 0.

ii. Es gelte U ⊧ γ_{b}^{∩}. Dann sind äquivalent:

(a) δ(U) ≥ 0;

(b) δ(U) = 0;

(c) U ⊧ γ_{b}^{Σ}.

iii. Ist δ(U) < 0, so folgt U ⊧ γ^{∩}.

iv. Es gelte U ⊧ γ^{∩}. Dann sind äquivalent:

(a) δ(U) ≥ 0;

(b) δ(U) = 0;

(c) U ⊧ γ^{Σ}.

Beweis: (Unzerlegbarkeit von U wird in diesem Lemma gar nicht verwandt.) iii. folgt durch Inspektion präprojektiver Unzerlegbarer kleiner Dimension und dann durch “Induktion nach C^{−}” unter Verwendung der Lemmata, die zeigen, wie C^{+} bzw. C^{−} auf einem gegebenen b_{i} operieren (im eben definierten Sinn), das heißt unter Verwendung von Lemmata 5.2.4, 5.3.3, 5.4.3, 5.5.3: Es genügt sogar, die Projektiven zu betrachten, denn die Aussage der eben zitierten (“gesternten”!) Lemmata über Direktheit gilt für alle Präprojektiven, die auch allesamt Unterraumsysteme sind. – Punkt iv. folgt aus ii. Die Punkte i. und ii. sieht man so ein: U ⊧ γ_{b}^{∩} bedeutet, daß ∑_{φ∈Φ} φ(U) direkt ist in C für alle Φ ∈ b; nun folgt alles aus Lemma 8.3.2.

(Für D̃_{4} ist Lemma 8.3.3 im wesentlichen Lemma 5.2.5.)

Definition 8.2 (∗) A sei der durch γ^{∩} definierte abgeschlossene Teilraum des Ziegler-Spektrums.

Der (∗) bedeutet natürlich, daß die Bedingungen aus den mit ∗ versehenen Lemmata jeweils stillschweigend ebenfalls gelten sollen; insbesondere sollen Unterraumsysteme vorliegen.

Lemma 8.3.4 A enthält fast alle Präprojektiven, alle gewöhnlichen stetigen Unzerlegbaren und gewöhnlichen Prüfer, alle 𝔭-adischen und Q; nicht jedoch die sporadischen stetigen, die sporadischen Prüfer und fast keine diskreten Unzerlegbaren von Defekt ≥ 0 (das heißt fast keine Präinjektiven und fast keine diskreten regulären).

Beweis: Für die unendlichdimensionalen und die stetigen Unzerlegbaren ist das klar.Es bleiben die diskreten Unzerlegbaren zu betrachten: Daß A die Präprojektiven enthält, ist iii. von Lemma 8.3.3; daß Präinjektive nicht in A sind, ist Lemma 8.3.3 i. Und daß A reguläre diskrete Unzerlegbare nicht enthält, folgt einfach aus den Dimensionstypen in [DF 73].

D bezeichne nun wieder die Dualität aus Abschnitt 1.5, die wegen Lemma 8.1.1 und [Her 93, nach Problem 4.11] einen Homöomorphismus zwischen den Ziegler-Spektra der Linksmoduln über k[Δ] und der Linksmoduln über k[Δ′] liefert, wobei Δ′ aus Δ durch Umorientieren aller Kanten entsteht. (Δ′ heiße für den Augenblick die duale Orientierung.) Das Argument von Seite 81 liefert eine Folge von Ecken, α_{1}, …, α_{l}, so daß α_{i} Ziel in α_{i−1} · . . . · α_{1}Δ′ ist und α_{l} · . . . · α_{1}Δ′ = Δ. Sei l minimal so und D̃ definiert als C_{α_{l}}^{+} · . . . · C_{α_{1}}^{+}D. Dann ist D̃ wohldefiniert (siehe Kapitel 4 vor Satz 4.2.4 für eine ähnliche Überlegung) und ein Homöomorphismus zwischen zwei koendlichen Teilmengen (in deren Komplement nur offen-abgeschlossene Punkte liegen) des Ziegler-Spektrums der k[Δ]-Linksmoduln (wie Beweis von Satz 4.2.4).

Sei AD̃ der ((∗)!) durch γ^{Σ} definierte abgeschlossene Teilraum des Spektrums.

Lemma 8.3.5 (∗) Es gilt D̃(A) = AD̃.

Beweis: Durch Nachprüfen in den vier Fällen; ich beschränke mich auf D̃_{4} und Ẽ_{8}.

1. D̃_{4}: Bei Quadrupeln sei die Abbildung V_{i} → V_{0} (für diesen Beweis) mit e_{i} bezeichnet; um Konfusion zu vermeiden notiere ich Darstellungen von D̃_{4} mit der dualen Orientierung als

[figure: V′_{2}; V′_{3}; V′_{1}; V′_{4}; V′_{0}]

und die Abbildungen als e′_{i} : V′_{0} → V′_{i}. Dann zeigt [PRZ 94], daß D(im(e_{1}) ∩ im(e_{2}) = 0) die Formel V′_{0} = ker(e′_{1})+ker(e′_{2}) ist. Anwenden von C_{α_{4}}^{+} ·. . .·C_{α_{1}}^{+} (wobei α_{i} die i-te Ecke mit Valenz 1 bezeichne; wie vor dem Beweis bemerkt, kommt es auf die Reihenfolge nicht an) macht aus der Darstellung des dual orientierten Köchers das Quadrupel

[figure: ker(e′_{2}); ker(e′_{3}); ker(e′_{1}); ker(e′_{4}); V′_{0}]

so daß also in D̃(V) = C_{α_{4}}^{+} ·. . .·C_{α_{1}}^{+}D(V) die Gleichung V_{0} = im(e_{1})+im(e_{2}) genau dann gilt, wenn in V gilt im(e_{1}) ∩ im(e_{2}) = 0.

2. Ẽ_{8}: Bezeichnungen analog 1., das heißt “gestricht” in einer Darstellung des Köchers Ẽ_{8} mit der zur Standardorientierung dualen Orientierung; außerdem seien die Abbildungen in einer Ẽ_{8}-Darstellung f_{4} : Y_{4} → Y_{3}, f_{3} : Y_{3} → P, g : X → P, h_{5} : Z_{5} → P, h_{i} : Z_{i} → Z_{i−1} für i = 6, 7, 8, 9. Darstellungen von Ẽ_{8} mit der dualen Orientierung haben dann die Form

[figure: P′; Z′_{5}; Z′_{6}; Z′_{7}; Z′_{8}; Z′_{9}; Y′_{3}; Y′_{4}; X′]

und – l ist hier gleich 8 – C_{α_{8}}^{+} · . . . · C_{α_{1}}^{+} darauf angewandt liefert für ein Ẽ_{8}-Unzerlegbares U als C_{α_{8}}^{+} · . . . · C_{α_{1}}^{+}D(U) also

[figure: P′′; Z′′_{5}; Z′′_{6}; Z′′_{7}; Z′′_{8}; Z′′_{9}; Y′′_{3}; Y′′_{4}; X′′]

wobei X′′ = ker(g′), Y′′_{3} = ker(f′_{4}f′_{3}), Y′′_{4} = ker(f′_{3}), Z′′_{5} = ker(h′_{9} · . . . · h′_{5}), … und schließlich Z′′_{9} = ker(h′_{5}). Die Regeln in [PRZ 94] ergeben zum Beispiel, daß D(Y_{3} ∩ Z_{8} = 0) die Formel P′ = ker(f′_{3}) + ker(h′_{8} · . . . · h′_{5}) ist, so daß in U die Gleichung Y_{3} ∩ Z_{8} = 0 genau dann gilt, wenn D̃(U) die Gleichung Y_{4} + Z_{6} = P erfüllt.

Analoge Rechnungen ergeben die folgende Tabelle; die Summe der Unterräume links in U ist direkt genau dann, wenn die derjenigen rechts in D̃(U) gleich P ist (und umgekehrt):

\begin{matrix}Y_{3}, Z_{8} & Y_{4}, Z_{6} \\ Y_{4}, Z_{6} & Y_{3}, Z_{8} \\ X, Z_{7} & X, Z_{7} \\ X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{5} & X, Y_{4}, Z_{9} \\ X, Y_{4}, Z_{9} & X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{5} \\ X ∩ Y_{3}, Y_{4}, Z_{7} & X ∩ Y_{3}, Y_{4}, Z_{7} \\ Y_{3} ∩ Z_{6}, X, Z_{9} & X ∩ Z_{5}, Y_{4}, Z_{8} \\ X ∩ Z_{5}, Y_{4}, Z_{8} & Y_{3} ∩ Z_{6}, X, Z_{9} \\ Y_{4} ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{7}, X, Z_{9} & Y_{4} ∩ Z_{5}, Y_{3} ∩ Z_{7}, X, Z_{9} \\ X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{6}, Y_{4}, Z_{8} & X ∩ Y_{3}, X ∩ Z_{6}, Y_{4}, Z_{8} \end{matrix}

8.4. DIE A_{b,b′} 179

Dabei bedarf es einiger Nebenrechnungen; zum Beispiel ergibt sich mit [PRZ 94], daß in U die Summe Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7} + X + Z_{9} genau dann direkt ist, wenn in D(U) gilt P′ = (ker(f′_{3}) + ker(h′_{7}h′_{6}h′_{5})) ∩ ker(g′) ∩ ker(h′_{9} ⋯ h′_{5}) + ker(h′_{5}) + ker(f′_{4}f′_{3}), also genau dann, wenn in D̃(U) gilt P = (Y_{4} + Z_{7}) ∩ X ∩ Z_{5} + Z_{9} + Y_{3} = (Y_{4} ∩ Z_{5} + Z_{7}) ∩ X + Z_{9} + Y_{3}. Aber dies gilt genau dann, wenn P = (Y_{4} ∩ Z_{5}) + (Y_{3} ∩ Z_{7}) + X + Z_{9}, wie in der Tabelle behauptet, denn: Sei etwa P = (Y_{4} ∩ Z_{5}) + (Y_{3} ∩ Z_{7}) + X + Z_{9}. Wegen P = Y_{3} + Z_{7} genügt es für P = (Y_{4} ∩ Z_{5} + Z_{7}) ∩ X + Z_{9} + Y_{3} zu zeigen, daß Z_{7} ⊆ (Y_{4} ∩ Z_{5} + Z_{7}) ∩ X + Z_{9} + Y_{3}. Aber z ∈ Z_{7} hat nach Voraussetzung die Form z = y_{1} + y_{2} + x + z′ mit y_{1} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5}, y_{2} ∈ Y_{3} ∩ Z_{7}, x ∈ X und z′ ∈ Z_{9}. Also ist x = −y_{1} + (z − y_{2} − z′) ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} + Z_{7} und somit z = x + z′ + (y_{1} + y_{2}) ∈ (Y_{4} ∩ Z_{5} + Z_{7}) ∩ X + Z_{9} + Y_{3} wie verlangt. Umgekehrt genauso. – Ähnlich für die anderen Gleichungen.

Behauptung: Zur Beschreibung von I(k[Δ]) als topologischer Raum, Δ einer der Köcher D̃_{n}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} mit beliebiger Orientierung, genügt es, die Topologie von A in den vier Fällen D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8}, jeweils mit der Standardorientierung, zu bestimmen. Beweis der Behauptung: Wegen der Behauptung am Ende von Abschnitt 8.1 genügt es, die Ziegler-Spektra der erwähnten vier Köcher (jeweils mit der Standardorientierung) auszurechnen. Wie vor jener Behauptung gesehen, braucht man dazu nur eine Überdeckung des jeweiligen Ziegler-Spektrums aus endlich vielen abgeschlossenen Mengen mit bekannter Topologie. Wegen Korollar 6.2.7 i. sind fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren, die regulär oder unendlichdimensional sind (also fast alle, mit Ausnahme der endlichdimensionalen von Defekt ungleich Null) in einer von endlich vielen abgeschlossenen Mengen A_{1}, …, A_{l} mit bekannter Topologie. Fast alle Präprojektiven aber liegen in A (Lemma 8.3.4); mit genau dem gleichen Argument wie im Beweis von Lemma 8.3.3 iii. sieht man, daß fast alle Präinjektiven in AD̃ liegen, also in D̃(A) (Lemma 8.3.5). Das heißt: Fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren liegen in A ∪ D̃(A) ∪ A_{1} ∪ … ∪ A_{l}. Da D̃ ein Homöomorphismus ist (siehe nach Lemma 8.3.4), kennt man mit der Topologie von A diejenige von D̃(A). Das zeigt die Behauptung.

Es sei hier nochmals erwähnt, daß im weiteren nicht nur die Topologie von A bestimmt werden wird, sondern sogar Axiomatisierungen (modulo A) für zu rein-injektiven Unzerlegbaren aus A gehörende unzerlegbare Typen.

8.4 Die A_{b,b′}

Seien b, b′ ∈ {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, die b_{i} wie auf Seite 171 und der zugrundeliegende Köcher einer der vier standardorientierten D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}. Erinnert sei an die Definition von (∗) (siehe zu Beginn von Kapitel 5).

Dieser Abschnitt enthält zunächst die Definition der abgeschlossenen Mengen A_{b,b′}, anschließend ihre Beschreibung als Mengen von rein-injektiven Unzerlegbaren. Es zeigt sich, daß diese A_{b,b′} recht klein sind: zu klein einerseits, um A zu überdecken – daher genügt es nicht, die Topologie der A_{b,b′} zu bestimmen. Aber andererseits zeigt das wichtigste Lemma dieses Abschnitts, Lemma 8.4.2, daß sie klein genug sind, so daß nicht nur ihre Topologie berechnet werden kann, sondern daß man sogar Axiomatisierungen (modulo A_{b,b′}) für den rein-injektiven Unzerlegbaren aus A_{b,b′} entsprechende unzerlegbare Typen angeben kann: Korollare 8.4.3, 8.4.4, 8.4.5. (Im nächsten Abschnitt wird dann vorgeführt, wie sich daraus Axiomatisierungen sogar modulo A ergeben (Korollar 8.5.4).) Da jedes unendlichdimensionale Unzerlegbare aus A in einem geeigneten A_{b,b′} enthalten ist (siehe Anmerkung nach Lemma 8.4.1), erhält man so für alle potentiellen Häufungspunkte von A – denn die endlichdimensionalen Unzerlegbaren sind ja isoliert – Axiomatisierungen (modulo A) von zugehörigen unzerlegbaren Typen. – Den Beweis des zentralen Lemmas 8.4.2 habe ich wegen seiner großen Länge in Abschnitt 9.1 verbannt.

Definition 8.3 (∗) A_{b,b′} sei die abgeschlossene Teilmenge von A definiert durch γ^{∩} ∧ γ_{b}^{Σ} ∧ γ_{b′}^{Σ}.

Lemma 8.4.1 A_{b,b′} enthält genau die gewöhnlichen stetigen Unzerlegbaren, die gewöhnlichen Prüfer und gewöhnlichen 𝔭-adischen, Q, und die Ũ_{Φ} mit Φ ∈ b′′, b′′ ∉ {b, b′}.

Damit ist insbesondere jedes unendlichdimensionale Unzerlegbare aus A (siehe Lemma 8.3.4) in einem geeigneten A_{b,b′} enthalten (Lemma 8.3.1). Nicht in der Vereinigung der A_{b,b′} sind jedoch die Präprojektiven. Beweis: Lemma 8.3.3 und Lemma 8.3.4.

Es ist weniger das folgende Lemma als vielmehr sein noch weitere Informationen enthaltender Beweis (siehe in Abschnitt 9.1 Seite 230 bis Seite 237), der für uns wichtig ist: Wie bereits in Kapitel 5 erwähnt (nämlich vor Korollar 5.1.3 und zu Anfang von Abschnitt 5.1.2) werden von nun an, für den Rest dieser Arbeit, m-Zyklen meist mit Vektorräumen A_{i} (statt W_{i}), 1 ≤ i ≤ m, und Abbildungen f_{i} : A_{i} → A_{i+1}, 1 ≤ i ≤ m − 1, sowie f_{m} : A_{m} → A_{1} geschrieben. X_{i} : A_{i} → A_{i} sei bei einem solchen m-Zyklus die Abbildung X_{i} := f_{i−1} · . . . · f_{i}, durch die A_{i} zu einem k[X_{i}]-Modul wird. Man überzeugt sich sofort, daß für ϵ ∈ k und m-Zyklen, für die alle f_{i} injektiv sind, die Abbildung X_{i} + ϵ genau dann bijektiv (das heißt: surjektiv) ist für ein i, wenn sie bijektiv ist für alle i. Sei noch für m ∈ {3, 5} definiert ϵ := 1; bei 2und 4-Zyklen (das heißt für m ∈ {2, 4}) sei ϵ := −1. – Mit dieser Notation hat man nun

Lemma 8.4.2 Sei {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, sei |b′′| = m. Dann ist die A_{b,b′} entsprechende Klasse von Moduln pp-äquivalent zu einer abgeschlossenen Klasse von m-Zyklen. Dabei entsprechen die sporadischen 𝔭-adischen aus A_{b,b′} gerade den (X)-adischen m-Zyklen. Zusatz: Die Klasse von m-Zyklen besteht genau aus denjenigen Zyklen, für die alle f_{i} injektiv und ein (alle) X_{i} + ϵ bijektiv sind.

Beweis: Siehe Abschnitt 9.1.

(Die Definition der b_{i} auf Seite 171 zeigt, daß in der Tat 2 ≤ m =| b′′ |≤ 5, so daß also ϵ wenigstens in jedem der Fälle definiert ist.) Eine kurze Zusammenfassung des Beweises mit den für das Folgende wesentlichsten Informationen ist hier am Platze; es ist weniger die spezielle Gestalt der pp-Äquivalenzen, deren Existenz im Lemma behauptet wird, die wichtig ist, als vielmehr die Form gewisser (uniform) pp-definierbarer partieller (injektiver) Funktionen auf Unzerlegbaren aus A, die sich aus diesen pp-Äquivalenzen ergibt: Sei zunächst eines der (zwölf verschiedenen: drei für jeden der vier Köcher) A_{b,b′} fixiert. Die Klasse von m-Zyklen, von der in Lemma 8.4.2 die Rede ist, besteht aus m-Zyklen, für die insbesondere alle der m Funktionen f_{i} injektiv sind. Diesen f_{i} entsprechen vermöge der pp-Äquivalenz von Lemma 8.4.2 in Unzerlegbaren aus A_{b,b′} injektive (uniform) pp-definierbare Funktionen, wieder mit f_{i}, 1 ≤ i ≤ m =| b′′ |, bezeichnet. In Unzerlegbaren aus der wesentlich größeren Menge A liefern die pp-Definitionen dieser Funktionen immerhin noch partielle injektive Funktionen. Insgesamt erhält man so in jedem der vier Fälle (das heißt Köcher) ∑_{i=1,2,3} | b_{i} |-viele solche (partielle) Funktionen (auf Unzerlegbaren aus A), also 6 (bzw. 8, 9, 10) für D̃_{4} (bzw. Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8}). Die Definitionen dieser insgesamt 33 partiellen Funktionen (für Moduln aus A) sind für die weiteren Überlegungen wichtig! Sie finden sich – mit einigen kleinen Auslassungen – auf den Seiten 231 bis 237, durchnumeriert von (1) bis (33). Wir vereinbaren bzw. wiederholen noch folgende Bezeichnungen:

f := f_{m−1} · . . . · f_{1} : A_{1} → A_{m},
g := f_{m} : A_{m} → A_{1}, und
X_{i} := f_{i−1} · . . . · f_{i} : A_{i} → A_{i},
Y := X_{1} = gf : A_{1} → A_{1}, sowie
ϵ := +1, falls m ∈ {3, 5} und ϵ := −1 für m ∈ {2, 4}.

Für Unzerlegbare aus A sind f_{i}, f, g, X_{i} und Y also partielle (uniform) pp-definierbare, injektive Funktionen, das heißt partielle Bijektionen. Und zu jedem Paar {b, b′} sind dadurch (auf Unzerlegbaren aus A) m =| b′′ |- viele partielle (uniform) pp-definierbare Operationen X_{i} : A_{i} → A_{i} definiert, das heißt also sechs (bzw. acht, neun , zehn) für D̃_{4} (bzw. Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8}), 33 insgesamt. Wenn im folgenden eine beliebige dieser 33 partiellen Operationen gemeint ist, schreibe ich dafür kurz X; bei konkreten Rechnungen werden meist die partiellen Operationen Y = X_{1} und X_{m} benutzt. Die Ergebnisse hängen aber von der Auswahl gerade dieser Operationen aus 33 zur Verfügung stehenden nicht ab. – Übrigens gelten die Äquivalenzen im Beweis von Lemma 8.4.2, die angeben, wann die f_{i} surjektiv sind (siehe jeweils nach den numerierten Definitionen der f_{i}), nicht nur für Unzerlegbare aus dem je betrachteten A_{b,b′}, sondern sogar für solche aus A; dann sind die f_{i} natürlich nur partiell definierte Funktionen. Für später notieren wir, mit den eben vereinbarten Bezeichnungen, noch zwei unmittelbare Folgerungen aus Lemma 5.1.8 und Lemma 8.4.2:

Korollar 8.4.3 Sei {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, sei U ∈ A_{b,b′} ein gewöhnliches 𝔭-adisches Unzerlegbares über einem der vier betrachteten Köcher. Dann hat U für ein geeignetes p ∈ k[X] (mit (p, X) = 1) die Form U = H(r), mit einem unzerlegbaren Typ r = r(x), der modulo A_{b,b′} eine Axiomatisierung der folgenden Gestalt hat:

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0,
p′|x, für p′ (Primpotenz) mit (p′, p) = 1,
p^{n+1} ∤ p^{n}x, n ∈ ω.

Dabei ist X = X_{i} eine beliebige der m =| b′′ |-vielen eben definierten (partiellen) Operationen, 1 ≤ i ≤ m; p hängt von der Wahl von i nicht ab.

Da ein gewöhnliches 𝔭-adisches Unzerlegbares U ja in allen A_{b,b′} liegt, kann man Axiome für U mit jeder der sechs (bei D̃_{4}) bzw. acht, neun, zehn (bei Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8}) Operationen X_{i} formulieren. – Ein entsprechendes Korollar hat man natürlich zum Beispiel auch für Q. Beweis: pp-Äquivalenzen erlauben offenbar, Axiomatisierungen zu übertragen. Nun beachte man noch die Bemerkung nach dem Beweis von Lemma 5.1.8: Da U ein gewöhnliches 𝔭-adisches Unzerlegbares ist, lassen sich Axiome für den entsprechenden Typ r in dem gewählten X_{i} formulieren, wobei p von der Wahl von i nicht abhängt.

Bei sporadischen Unzerlegbaren – die wegen Lemma 8.4.2 ja vermöge der pp-Äquivalenz gerade einem (X)-adischen m-Zyklus entsprechen – hat man die Bemerkung nach dem Beweis von Lemma 5.1.8 nicht zur Verfügung; daher kommt man bei einer Axiomatisierung hier nicht mit einem beliebig gewählten X_{i} (aus m =| b′′ |-vielen) aus:

Korollar 8.4.4 Sei {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, sei U ∈ A_{b,b′} ein sporadisches 𝔭-adisches Unzerlegbares über einem der vier betrachteten Köcher. Dann hat U die Form U = H(r) mit einem unzerlegbaren Typ r = r(x), der modulo A_{b,b′} eine Axiomatisierung der folgenden Gestalt hat, wobei X = X_{i} eine geeignete der m =| b′′ |-vielen (partiellen) Operationen von eben ist:

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0,
p|x, für p (Primpotenz) mit (p, X) = 1,
X^{n+1} ∤ X^{n}x, n ∈ ω,
x ∈ im(f_{i−1} · . . . · f_{i+1}).

Man beachte, daß dieses Korollar nur endlich viele (33 insgesamt) Unzerlegbare betrifft. – Welches die “geeignete” Operation X_{i} (im Sinne des Korollars) zu einem gegebenen sporadischen 𝔭-adischen Unzerlegbaren ist, läßt sich mit Hilfe der im Beweis von Lemma 8.4.2 zu findenden Entsprechungen – wann die f_{i} surjektiv sind – leicht ermitteln (im Stil der nun folgenden Überlegung). – Sei wie immer {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}. Dann gibt es genau ein (sporadisches) 𝔭-adisches Unzerlegbares aus A_{b,b′}, so daß g = f_{m} : A_{m} → A_{1}, m =| b′′ |, keine Bijektion (das heißt: nicht surjektiv) ist: Denn die Entsprechungen im Beweis von Lemma 8.4.2 zeigen, daß die Surjektivität von g jeweils äquivalent ist zu einem der γ_{Φ}^{Σ}, Φ ∈ b′′ geeignet. Das Unzerlegbare Ũ_{Φ} ist also das eindeutig bestimmte 𝔭-adische, in dem g keine Bijektion ist. Es sei mit Ũ_{b′′} bezeichnet. (Es gibt für jeden der vier Köcher also genau drei solche, nämlich Ũ_{b_{i}}, i = 1, 2, 3.) Zum Beispiel ist im Fall D̃_{4} wegen der Äquivalenz auf Seite 231 Ũ_{b_{3}} = Ũ_{V_{1},V_{4}}. Wegen Korollar 8.4.4 kann man nun umformulieren:

Korollar 8.4.5 Sei {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}. Dann hat Ũ_{b′′} die Form Ũ_{b′′} = H(r) mit einem unzerlegbaren Typ r = r(x), der modulo A_{b,b′} eine Axiomatisierung der folgenden Gestalt hat, wobei hier X = X_{m} = fg : A_{m} → A_{m} ist:

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0,
p|x, für p (Primpotenz) mit (p, X) = 1,
X^{n+1} ∤ X^{n}x, n ∈ ω,
x ∈ im(f).

Dabei kommt es, wie sich bei der Bestimmung der Topologie zeigen wird, in diesen Korollaren auf die (gemäß Lemma 5.1.8) zugrundeliegende Axiomatisierung des zu einem 𝔭-adischen Unzerlegbaren über k[X] gehörenden Typs gar nicht an; wesentlich ist allein, daß es sich in Korollar 8.4.3 um Axiome eines 𝔭-adischen handelt und daß in Korollar 8.4.4 und Korollar 8.4.5 nur genau ein zusätzliches Axiom auftritt, nämlich “x ∈ im(f_{i−1} · . . . · f_{i+1})” (bzw. “x ∈ im(f)”). – Übrigens zeigen die eben benutzten Entsprechungen (aus dem Beweis von Lemma 8.4.2), zusammen mit den Lemmata, die sagen, wie sich die γ_{Φ}^{∩} bzw. γ_{Φ}^{Σ} unter C^{+} entsprechen (Lemmata 5.2.4, 5.3.3, 5.4.3 und 5.5.3), auch sofort, daß man die entsprechende Axiomatisierung für einen zu (C^{+})^{i}(Ũ_{b′′}) gehörenden Typ erhält, indem man in Korollar 8.4.5 die Operation X = X_{m} durch X = X_{m+i} und f = f_{m−1} ·. . .·f_{1} durch f_{m+i−1} ·. . .·f_{i+1} ersetzt (alle Indizes natürlich modulo m). – Die im wesentlichen gleiche Tatsache kann man auch so verstehen: Wie Lemma 8.4.1 zeigt, sind C^{+} und C^{−} (totale!) Bijektionen auf A_{b,b′}; denn auf Null abgebildet werden von C^{+} nur einige Präprojektive, von C^{−} nur einige Präinjektive, und diese sind ja nicht in A_{b,b′}. Wegen Satz 4.2.4 sind C^{+} und C^{−} also totale Homöomorphismen auf A_{b,b′}. Bei m-Zyklen sind zwar keine Coxeter-Funktoren definiert, es gibt ja keine Quellen oder Ziele; aber faßt man die m-Zyklen als abgeschlossene Modulklasse in der Klasse der Ã_{2m−1}-Moduln auf (mit alternierender Orientierung), gegeben durch, zum Beispiel, “e_{2,1}, e_{4,3}, …, e_{2m,2m−1} bijektiv” (siehe auch den Beweis von Lemma 5.1.1 für eine ähnliche Überlegung), dann bildet der Coxeter-Funktor C^{+} zu Ã_{2m−1} die Klasse der m-Zyklen und die Teilklasse der m-Zyklen aus Lemma 8.4.2 jeweils auf sich ab (leichte Rechnung) und induziert so eine, ebenfalls mit C^{+} bezeichnete, Operation auf den m-Zyklen bzw. der Teilklasse der m-Zyklen aus Lemma 8.4.2. Es gilt dann, wie wieder eine leichte Rechnung zeigt, für die im Moment F_{1} genannte pp-Äquivalenz (gemäß Lemma 8.4.2) zwischen der Klasse von m-Zyklen aus Lemma 8.4.2 und der Modulklasse zu A_{b,b′}:

C^{+}F_{1} = F_{1}C^{+}.

In Wirklichkeit ist die Operation von C^{+} natürlich sowohl auf der Klasse von m-Zyklen aus Lemma 8.4.2, als auch auf A_{b,b′} (bzw. der zugehörigen Modulklasse) fast trivial: Die rein-injektiven Unzerlegbaren, die von C^{+} bewegt werden, sind genau die sporadischen 𝔭-adischen in A_{b,b′} und die (X)-adischen m-Zyklen; und zwar wirft C^{+} den (X)-adischen m-Zyklus mit “f_{i} kein Isomorphismus” (das heißt “f_{i} = X”) auf denjenigen mit “f_{i+1} kein Isomorphismus”. Alle anderen rein-injektiven Unzerlegbaren aus den betrachteten Klassen werden auf sich selbst abgebildet.

Mit der Definition von ϵ von seite 181 gilt das folgende Lemma, dessen Bedeutung erst in den nächsten beiden Abschnitten (und zwar im Zusammenhang mit Korollar 8.5.4 und Lemma 8.6.3) klar werden wird:

Lemma 8.4.6 (∗) Seien {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, X eine der m =| b′′ |-vielen durch die pp-Äquivalenz von Lemma 8.4.2 induzierten partiellen Operationen (für rein-injektive Moduln aus A), M ∈ A rein-injektiv und X beliebig oft auf a ∈ M anwendbar.

i. Ist a durch X + ϵ beliebig oft teilbar, so liegt a in einem Untermodul von M, in dem γ_{b}^{Σ} ∧ γ_{b′}^{Σ} gilt.

ii. δ(M) < 0 impliziert a = 0.

Beweis: Es genügt, wie man sich leicht überlegt, für jede der zwölf Mengen A_{b,b′} nur jeweils eine der m = |b′′|-vielen Operationen zu untersuchen, zum Beispiel Y = X_{1} : A_{1} → A_{1}. Die Rechnungen sind trivial und einander sehr ähnlich, daher hier nur eine Auswahl (Notation wie im Beweis von Lemma 8.4.2, siehe Abschnitt 9.1):

1. D̃_{4}. Aus Symmetriegründen genügt es, etwa b′′ = {{V_{1}, V_{4}}, {V_{2}, V_{3}}}, Y = X_{1} = gf zu betrachten; es ist ϵ = −1. Die Voraussetzung, daß Y auf a beliebig oft anwendbar ist, ergibt (siehe (1) und (2) auf Seite 231) Elemente a_{i} und b_{i}, 0 ≤ i, mit

a = a_{0}, a_{i} ∈ V_{2}, b_{i} ∈ V_{1}, a_{i} + b_{i} ∈ V_{3} und b_{i} + a_{i+1} ∈ V_{4}

für i ≥ 0. Die Teilbarkeitsvoraussetzung aus i. liefert Elemente a_{i} und b_{i}, i < 0, mit

a_{i} ∈ V_{2}, b_{i} ∈ V_{1}, a_{i} + b_{i} ∈ V_{3} und b_{i} + a_{i+1} + a_{i} ∈ V_{4}

für i < 0.

M′ = (V′_{0}; V′_{1}, V′_{2}, V′_{3}, V′_{4}) und M′′ = (V′′_{0}; V′′_{1}, V′′_{2}, V′′_{3}, V′′_{4}) ≤ M′ seien die Untermoduln von M mit den folgenden V′_{i} bzw. V′′_{i}:

V′_{0} = ⟨a_{i}, b_{i} | i ∈ Z⟩;
V′_{1} = ⟨b_{i} | i ∈ Z⟩ ,
V′_{2} = ⟨a_{i} | i ∈ Z⟩ ,
V′_{3} = ⟨a_{i} + b_{i} | i ∈ Z⟩ ,
V′_{4} = ⟨b_{i} + a_{i+1} | i ≥ 0⟩ + ⟨b_{i} + a_{i+1} + a_{i} | i < 0⟩ . Und
V′′_{0} = ⟨a_{i}, b_{i} | i ≥ 0⟩;
V′′_{1} = ⟨b_{i} | i ≥ 0⟩ ,
V′′_{2} = ⟨a_{i} | i ≥ 0⟩ ,
V′′_{3} = ⟨a_{i} + b_{i} | i ≥ 0⟩ und
V′′_{4} = ⟨b_{i} + a_{i+1} | i ≥ 0⟩ .

Dann ist sofort klar, daß V′′_{0} = V′′_{1} + V′′_{3} = V′′_{2} + V′′_{4} (= V′′_{1} + V′′_{2} = V′′_{2} + V′′_{3}); wegen Lemma 8.3.3 folgt im Falle der Endlichdimensionalität von M (bzw. M′′) also δ(M′′) = 0, da mit dem endlichdimensionalen M auch jeder Untermodul von M in A liegt. Falls δ(M) < 0, so folgt also wegen Lemma 2.2.2 (Untermoduln präprojektiver Moduln sind wieder präprojektiv.) M′′ = 0, also a = 0: Das ist ii.

In M′ gelten die entsprechenden Gleichungen wie eben, zusätzlich aber auch V′_{0} = V′_{3} + V′_{4}, also folgt M′ ⊧ γ_{b}^{Σ} ∧ γ_{b′}^{Σ}.

2. und 3. Ẽ_{6} und Ẽ_{7} schenke ich mir.

4. Ẽ_{8} i. Hier sei b′′ = b_{3}, also | b′′ |= 2 und ϵ = −1. Man betrachtet etwa Y := gf. Ähnlich wie bei D̃_{4} erhält man – wegen (24) und (25) auf Seite 236 – Elemente

a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}, e_{i}, f_{i}, g_{i}, h_{i}, l_{i}, m_{i},

für i ≥ 0, und unter den Voraussetzungen von i. des Lemmas sogar für i ∈ Z, so daß a = a_{0} und

a_{i} ∈ Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}),
b_{i} ∈ Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}),
a_{i} + b_{i} ∈ Z_{6},
b_{i} + a_{i+1} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7} falls i ≥ 0 und
b_{i} + a_{i+1} + a_{i} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7} falls i < 0; sowie
a_{i} = e_{i} + f_{i}, e_{i} ∈ X, f_{i} ∈ Y_{4},
a_{i} + b_{i} = c_{i} + d_{i}, c_{i} ∈ X, d_{i} ∈ Z_{8},
b_{i} + a_{i+1}(+a_{i}) = g_{i} + h_{i}, g_{i} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5}, h_{i} ∈ Y_{3} ∩ Z_{7} und
b_{i} = l_{i} + m_{i}, l_{i} ∈ X, m_{i} ∈ Z_{9}.

Dann sei M′ der Untermodul mit den Unterräumen

P′ = ⟨a_{i}, b_{i}, c_{i}, e_{i}, g_{i}, l_{i} | i ∈ Z⟩;
Y′_{3} = ⟨a_{i}, b_{i}, e_{i}, h_{i} | i⟩ ∋ f_{i}, g_{i},
Y′_{4} = ⟨g_{i}, f_{i} | i⟩ ,
X′ = ⟨l_{i}, c_{i}, e_{i} | i⟩ ,
Z′_{5} = ⟨a_{i}, b_{i}, m_{i}, d_{i}, h_{i} | i⟩ ∋ c_{i}, g_{i}, l_{i},
Z′_{6} = ⟨m_{i}, d_{i}, h_{i}, a_{i} + b_{i} | i⟩ ∋ c_{i},
Z′_{7} = ⟨m_{i}, d_{i}, h_{i} | i⟩ ,
Z′_{8} = ⟨m_{i}, d_{i} | i⟩ und
Z′_{9} = ⟨m_{i} | i⟩ .

Und sei M′′ entsprechend wie eben gebildet, das heißt der Modul mit den Unterräumen, die man erhält, indem man diejenigen von M′ mit ⟨a_{i}, b_{i}, c_{i}, e_{i}, g_{i}, l_{i} | i ≥ 0⟩ schneidet. Dann verifiziert man leicht, daß M′′ ⊧ γ_{b_{2}}^{Σ} und M′ ⊧ γ_{b_{2}}^{Σ} ∧ γ_{b_{1}}^{Σ} und schließt weiter wie eben.

ii. (das heißt b′′ = b_{2}) ist ganz ähnlich.

iii. Sei nun b′′ = b_{1}, also |b′′| = 5 und ϵ = −1. Betrachte wieder Y = X_{1} = gf, also hier Y = f_{5}f_{4}f_{3}f_{2}f_{1}. Die Voraussetzungen ergeben (siehe (29) bis (33) auf Seite 237)

a_{i} ∈ Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}),
b_{i} ∈ (Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7}) ∩ (X + Z_{9}),
c_{i} ∈ Y_{3} ∩ Z_{7},
d_{i} ∈ Z_{7} ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5})),
e_{i} ∈ Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5})

für i ∈ Z, mit

a_{i} + b_{i} ∈ X,
b_{i} + c_{i} ∈ Y_{4},
c_{i} + d_{i} ∈ Z_{8},
d_{i} + e_{i} ∈ X ∩ Z_{6},
e_{i} + a_{i+1} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} (falls i ≥ 0),
e_{i} + a_{i+1} − a_{i} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} (falls i < 0)

und schließlich a_{i} = f_{i} + g_{i} mit f_{i} ∈ X und g_{i} ∈ Z_{9}. Dann sei M′ der Untermodul mit den Unterräumen

P′ = ⟨a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}, e_{i}, f_{i} | i ∈ Z⟩;
Y′_{3} = ⟨a_{i}, b_{i}, c_{i}, e_{i} | i⟩ ,
Y′_{4} = ⟨b_{i} + c_{i} | i⟩ + ⟨e_{i} + a_{i+1} | i ≥ 0⟩ + ⟨e_{i} + a_{i+1} − a_{i} | i < 0⟩ ,
X′ = ⟨a_{i} + b_{i}, d_{i} + e_{i}, f_{i} | i⟩ ,
Z′_{5} = ⟨a_{i}, c_{i}, d_{i}, e_{i}, g_{i} | i⟩ ∋ f_{i},
Z′_{6} = ⟨c_{i}, d_{i}, e_{i}, g_{i} | i⟩ ,
Z′_{7} = ⟨c_{i}, d_{i}, g_{i} | i⟩ ,
Z′_{8} = ⟨c_{i} + d_{i}, g_{i} | i⟩ und
Z′_{9} = ⟨g_{i} | i⟩ .

Und sei wieder M′′ analog definiert, nur mit i ≥ 0 anstelle von i ∈ Z, insbesondere also Y′′_{4} = ⟨b_{i} + c_{i}, e_{i} + a_{i+1} | i ≥ 0⟩.

Dann gilt M′′ ⊧ γ_{b_{2}}^{Σ} und M′ ⊧ γ_{b_{2}}^{Σ} ∧ γ_{b_{3}}^{Σ}; weiter wie eben.

8.5 Die Baur-Funktoren

Seien wieder b, b′ ∈ {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, der zugrundeliegende Köcher wiederum einer der vier standardorientierten D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}.

In diesem Abschnitt werden zunächst die Baur-Funktoren definiert; das entscheidende Lemma dazu ist Lemma 8.5.2: Mit seiner Hilfe ergeben sich aus den im letzten Abschnitt gewonnenen Axiomatisierungen modulo A_{b,b′} sogar Axiomatisierungen modulo A. Damit erhält man dann sofort Umgebungsbasen für die rein-injektiven Unzerlegbaren in A, zunächst als Mengen von pp-Paaren. – Was (∗) bedeutet, steht am Anfang von Kapitel 5.

Definition 8.4 B_{b}(M) sei der größte Untermodul N von M mit N ⊧ γ_{b}^{Σ}. B_{b} heißt Baur-Funktor.

B_{b}(M) existiert (klar oder siehe im Beweis des nächsten Lemmas); B_{b} ist ein Funktor von k[Δ]-Mod nach k[Δ]-Mod. Baur hat in [Bau 80] die B_{b} im Falle von Quadrupeln betrachtet.

Lemma 8.5.1 (∗) M sei ein rein-injektiver Modul aus A (das heißt mit M ⊧ γ^{∩}). Dann ist B_{b}(M) pp-typ-definierbar, also rein-injektiv, und der größte Untermodul N von M mit N ⊧ γ_{b}^{Σ} ∧ γ_{b}^{∩}.

Beweis: B_{b}(M) ist pp-typ-definierbar: Denn sei b = {Φ_{1}, …, Φ_{m}}; sei M_{0} := M und

M_{lm+i} := ∑_{φ∈Φ_{i}} φ(M_{lm+i−1}),

für 1 ≤ i ≤ m und l ≥ 0. Dann ist B_{b}(M) Durchschnitt der M_{j}, j ≥ 0. – Der Rest ist klar.

Lemma 8.5.2 (∗) M sei rein-injektiv aus A. Dann ist B_{b}(M) direkter Summand von M.

Beweis: Wegen der Lemmata 8.1.2 und 8.1.3 genügt es zu zeigen, daß B_{b}(U) ∈ {0, U} für rein-injektive Unzerlegbare U ∈ A. Sei also U ∈ A; man beachte Lemma 8.3.4.

i. Ist δ(U) < 0, so ist mit U auch B_{b}(U) endlichdimensional, wegen Lemma 8.3.3 ii. und Lemma 8.5.1 also δ(B_{b}(U)) = 0; da (Lemma 2.2.2) Untermoduln Präprojektiver aber wieder präprojektiv sind, folgt B_{b}(U) = 0.

ii. Ist U gewöhnliches stetiges Unzerlegbares, gewöhnliches 𝔭-adisches oder gewöhnlicher Prüfer, so gilt γ^{Σ} in U, also erst recht γ_{b}^{Σ}, und so folgt trivialerweise B_{b}(U) = U.

iii. Ist U = Ũ_{Φ}, mit Φ ∉ b, so gilt wieder trivialerweise B_{b}(U) = U.

iv. Es bleibt nun zu zeigen, daß B_{b}(U) = 0, falls U = Ũ_{Φ}, Φ ∈ b. Wegen Lemma 8.5.1 ist B_{b}(U) rein-injektiv. Angenommen B_{b}(U) ≠ 0; dann hat B_{b}(U) also (Lemma 8.1.2) einen rein-injektiven unzerlegbaren direkten Summanden U′. U′ liegt als Untermodul von U wieder in A, und als direkter Summand von B_{b}(U) erfüllt U′ die Gleichung γ_{b}^{Σ}. Nun folgt die Behauptung aus dem nächsten Lemma.

Lemma 8.5.3 (∗) Sei U = Ũ_{Φ}, Φ ∈ b, sei U′ rein-injektiv unzerlegbar und U′ ≤ U (also U′ ∈ A) mit U′ ⊧ γ_{b}^{Σ}. Dann ist U′ = 0.

Da U und U′ nach dem schon Gezeigten ganz konkret gegeben sind, ebenso wie γ_{b}^{Σ}, liegt es nahe zu sagen: Nachrechnen! Ich will dennoch einen vollständigen Beweis geben. Dabei sind die Fälle D̃_{4} und Ẽ_{6} mühsamer als Ẽ_{7} und Ẽ_{8}, da hier wirklich gerechnet werden muß; Ẽ_{7} bzw. Ẽ_{8} dagegen führt man “induktiv” leicht auf Ẽ_{6} bzw. Ẽ_{7} zurück. (Hätte man Baur-Funktoren auch für Ã_{n} definiert, dann würde sich die Mühsal des “Induktionsanfangs” von D̃_{4} und Ẽ_{6} auf Ã_{n} verlagern.)

Beweis: U erfüllt alle γ_{Ψ}^{Σ} bis auf Ψ = Φ; U′ erfüllt alle γ_{Ψ}^{Σ} bis auf eventuell ein Ψ ∉ b. Jedenfalls gibt es ein b′ ≠ b, so daß U, U′ ⊧ γ_{b′}^{Σ}.

i. D̃_{4}: Aus Symmetriegründen genügt es, die folgende Situation zu untersuchen: b = {{V_{1}, V_{4}}, {V_{2}, V_{3}}}, U = Ũ_{{V_{2},V_{3}}}, und U′ erfüllt alle γ_{Ψ}^{Σ} bis auf eventuell Ψ = {V_{1}, V_{3}}. Insbesondere sind U und U′ im Bild des Funktors D = D_{1,2}, und U hat wegen Lemma 5.2.7 und der Diskussion in Abschnitt 8.3 die Form

[figure: W_{3}; D_{1,2}(; ); W_{1}; W_{2}; X; W_{4}]

mit W = W_{i} = k̃[X]_{(X)}, e_{2,1} = X und e_{2,3} = e_{4,3} = e_{4,1} = 1; da D′_{1,2} Injektionen erhält, hat (wieder mit Lemma 5.2.7) U′ ohne Einschränkung die Gestalt

[figure: W′′; D_{1,2}(; ); W′′; W′; X; ≃; =; =; W′′]

mit Untervektorräumen W′ ≤ W′′ ≤ W = k̃[X]_{(X)}. Weil X : W′ → W′′ Isomorphismus ist, folgt aber, daß Elemente aus W′′ von X-Höhe ∞ sind (das heißt beliebig oft durch X teilbar); also ist W′′ = 0, also W′ = 0 und U′ = 0.

ii. Ẽ_{6}: Wegen Lemma 5.3.4 und Lemma 5.3.3 gilt, daß U, U′ ∈ im S oder U, U′ ∈ im C^{−}S. Ohne Einschränkung seien U, U′ ∈ im S. (Das ist eine zulässige Annahme: Im folgenden wird benutzt, daß der “Umkehrfunktor” S′ zu S Injektionen erhält; aber das tut auch der entsprechende “Umkehrfunktor” zu C^{−}S, nämlich S′C^{+}.)

Ist b = b_{1} oder b = b_{2}, so argumentiert man ganz analog wie eben. Sei also Φ ∈ b = b_{3}, das heißt also nach der eben gemachten Annahme Φ = {F_{1}, F_{2}, F_{3}} und entsprechend U = Ũ_{{F_{1},F_{2},F_{3}}}. U′ erfüllt alle γ_{Ψ}^{Σ} bis auf eventuell ein Ψ ∉ b_{3}, etwa bis auf eventuell Ψ = {E_{2}, F_{1}}. Da S′ Injektionen erhält, kann man annehmen, daß U = S(M) und U′ = S(M′) mit reininjektiven Unzerlegbaren (über Ã_{5}) M′ ≤ M. Dabei sind wegen Lemma 5.3.5 in M′ alle e_{i,j} Isomorphismen bis auf eventuell e_{2,1}.

Behauptung: M hat die Gestalt

[figure: W; W; W; W; W; W]

mit W = k̃[X]_{(X+1)}. Beweis der Behauptung: Wieder wegen Lemma 5.3.5 ist klar, daß M die angegebene Form hat, mit einem geeigneten k[X]-Modul W. Dieses W muß natürlich ein 𝔭-adisches Unzerlegbares k̃[X]_{𝔭} sein; es gilt, 𝔭 zu identifizieren. Eine leichte Rechnung im Stile von Lemma 5.3.5 zeigt aber, daß S(M) = U |̸= γ_{{F_{1},F_{2},F_{3}}}^{Σ} gerade bedeutet, daß nicht alle Elemente von W die (X +1)- Höhe ∞ haben: Es ist also 𝔭 = (X +1). Außerdem sind ohne Einschränkung alle e_{i,j} = 1, bis auf e_{2,1} = X – denn die Unzerlegbaren mit W_{i} = W = k̃[X]_{(X+1)} für alle i und e_{i,j} = X für ein anderes Paar (i, j) sind isomorph zu M. Das beweist die Behauptung.

M′ ist damit von der Form

[figure: W′; W′; W′; W′; W′; W′]

mit einem Untervektorraum W′ ≤ W, der XW′ ≤ W′ erfüllt, also k[X]- Untermodul ist. Außerdem ergibt die Gültigkeit von γ_{{F_{1},F_{2},F_{3}}}^{Σ} in S(M′) = U′, daß Elemente von W′ die (X + 1)-Höhe ∞ haben, somit W′ = 0 und U′ = 0.

iii. Ẽ_{7}: Wie eben sind ohne Einschränkung U und U′ im Bild des Funktors S_{7} (sonst betrachte C^{−}S_{7} oder T_{7}). Weil S′_{7} Injektionen erhält, sind U = S_{7}(M) und U′ = S_{7}(M′) mit rein-injektiven Unzerlegbaren M ≥ M′ über Ẽ_{6}; Lemma 5.4.5 zeigt, daß aus U = Ũ_{Φ} mit Φ ∈ b folgt, daß dann M = Ũ_{Φ′} mit Φ′ ∈ b (Vorsicht: b’s über verschiedenen Köchern!). Ebenso übersetzt sich die Bedingung γ_{Ψ}^{Σ}, die von U′ eventuell nicht erfüllt wird, in eine entsprechende für M′. Nach der Analyse von eben folgt M′ = 0 und also U′ = 0.

iv. Ẽ_{8}: Vollkommen analog zu iii. Die Bezeichnungen für die b_{i} sind gerade so gewählt, daß diesmal Lemma 5.5.6 – statt wie eben Lemma 5.4.5 – alles liefert.

Nun kann man leicht Axiomatisierungen wie in Korollar 8.4.3, Korollar 8.4.4 oder Korollar 8.4.5 angeben, nun aber sogar modulo A, nicht nur modulo A_{b,b′}: Sei etwa U ein 𝔭-adisches Unzerlegbares über einem der vier betrachteten Köcher. Dann liegt U in einem geeigneten A_{b,b′} (wie nach Lemma 8.4.1 bemerkt); mit Korollar 8.4.3 bzw. Korollar 8.4.4 erhält man so eine Axiomatisierung Ξ_{1} (modulo A_{b,b′}!) eines unzerlegbaren Typs r, so daß U = H(r). Lemma 8.5.1 liefert die Existenz eines partiellen Typs, der B_{b}B_{b′}(M) in M (uniform) typ-definiert, etwa Ξ_{2}. Die Vereinigung Ξ von Ξ_{1} und Ξ_{2} ist dann eine Axiomatisierung von r modulo A: Denn sei a eine Realisierung von Ξ in einem rein-injektiven Modul M aus A. Wegen Ξ_{2} liegt a schon in B_{b}B_{b′}(M), das ein rein-injektiver Modul aus A_{b,b′} (Lemma 8.5.1) ist. Wegen Ξ_{1} enthält B_{b}B_{b′}(M) auf die gewünschte Weise eine Kopie von U als direkten Summanden; da wegen Lemma 8.5.2 B_{b}B_{b′}(M) wiederum direkter Summand in M ist, hat man also in der Tat die gesuchte Kopie von U als direkten Summanden in M. – Aus dieser Axiomatisierung des irreduziblen Typs r von U (in A) erhält man nun sofort eine Umgebungsbasis (als Menge von pp-Paaren) von U in A. Auf Ξ_{2} kann man aber sogar verzichten, denn es gilt das sehr erfreuliche

Korollar 8.5.4 Die Axiomatisierungen für sporadische 𝔭-adische Unzerlegbare in Korollar 8.4.3 (bzw. Korollar 8.4.4, bzw. Korollar 8.4.5) sind Axiomatisierungen modulo A, nicht nur modulo A_{b,b′}.

Beweis: Daß die angegebenen Axiome sogar eine Axiomatisierung modulo A und nicht nur für ein geeignetes A_{b,b′} wie dort ergeben, liegt an Lemma 8.4.6 i.: Denn sei a eine Realisierung dieser Axiome in einem rein-injektiven M aus A; sei X wie in Korollar 8.4.3 (bzw. Korollar 8.4.4, bzw. Korollar 8.4.5). Zu zeigen ist nur, daß a in B_{b}B_{b′}(M) liegt: Dann nämlich schließt man weiter wie in der Überlegung eben, vor dem Korollar. Aber wegen der Axiome ist X insbesondere beliebig oft auf a anwendbar und a beliebig oft durch X + ϵ teilbar; letzteres, weil ϵ gerade so definiert wurde, daß die zu A_{b,b′} gehörende Modulklasse pp-äquivalent ist zu m-Zyklen, die unter anderem “X + ϵ bijektiv” erfüllen (siehe den Zusatz in Lemma 8.4.2). Mit Lemma 8.4.6 i. folgt, daß a in einem geeigneten Untermodul von M liegt, der γ_{b}^{Σ} ∧ γ_{b′}^{Σ} erfüllt. Wegen Lemma 8.5.1 ist a ∈ B_{b}B_{b′}(M).

8.6. PRÜFER UND GEWÖHNLICHE 𝔭-ADISCHE 193

Interessiert man sich lediglich für Umgebungsbasen der gewöhnlichen 𝔭adischen Unzerlegbaren, dann kann man viel einfacher vorgehen: Die gewöhnlichen 𝔭-adischen liegen in allen A_{b,b′} und damit in der durch γ^{∩} ∧ γ^{Σ} definierten abgeschlossenen Menge; sie sei für den Moment mit A_{b,b′,b′′} bezeichnet; das sporadische Ũ_{Φ} mit Φ ∈ b′′ ist dagegen zum Beispiel nur in A_{b,b′}, wobei wieder {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}. Die A_{b,b′,b′′} entsprechende Modulklasse ist aber pp-äquivalent zu einer geeigneten Klasse von k[X]-Moduln: Jede der jeweils drei pp-Äquivalenzen aus dem Beweis von Lemma 8.4.2 induziert zum Beispiel eine solche pp-Äquivalenz, aber Lemma 8.4.2 (ebenso wie Lemma 5.1.8) ist dafür in Wirklichkeit gar nicht nötig, denn die Funktoren aus Kapitel 5 zeigen dies direkt. Man erhält dann sofort Axiomatisierungen modulo A_{b,b′,b′′}, mit dem Argument von eben also auch modulo A und somit Umgebungsbasen der gewöhlichen 𝔭-adischen in A.

In den verbleibenden Abschnitten werden die Umgebungsbasen nun als Teilmengen von A genauer bestimmt: Behauptung: Zur Beschreibung von I(k[Δ]) als topologischer Raum, Δ einer der Köcher D̃_{n}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} mit beliebiger Orientierung genügt es, in den vier Fällen der standardorientierten D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} die Topologie des Abschlusses der Menge der präprojektiven Unzerlegbaren zu bestimmen. Beweis der Behauptung: Wegen der Behauptung am Ende von Abschnitt 8.3 genügt die Beschreibung der Topologie von A. Und wegen Korollar 6.2.7 i. und Lemma 8.3.4 ist A \ {U ∈ A | U präprojektiv} bereits von endlich vielen abgeschlossenen Mengen überdeckt, deren zugehörige Modulklassen pp-äquivalent zu k[X]-Moduln sind, deren Topologie also bekannt ist. Das zeigt die Behauptung.

Das heißt, daß im Rest dieses Kapitels lediglich noch das Häufungsverhalten der präprojektiven Unzerlegbaren bezüglich der unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren aus A ermittelt werden muß. (Die endlichdimensionalen Unzerlegbaren sind isoliert, also nur dann im Abschluß der Menge aller Präprojektiven, wenn sie selbst schon präprojektiv sind.)

8.6 Prüfer und gewöhnliche 𝔭-adische

In diesem Abschnitt wird das Häufungsverhalten der Präprojektiven bezüglich der gewöhnlichen Prüfer und der gewöhnlichen 𝔭-adischen ermittelt (Lemma 8.6.4 und Lemma 8.6.5). Dies ist der relativ einfache Teil des Projekts, aus den im letzten Abschnitt gewonnenen Axiomatisierungen genauere Informationen zum tatsächlichen Häufungsverhalten zu gewinnen. Dazu zunächst zwei Lemmata; hier ist X noch eine beliebige partielle Operation.

Lemma 8.6.1 Sei V ein k-Vektorraum; X sei eine auf V pp-definierbare partielle (k-lineare) Operation. Sei

V_{l} := {v ∈ V | X ist l-mal auf v anwendbar},

sei 0 ≠ f ∈ k[X] von Grad n und a ∈ V.

i. f · a ∈ V_{l} impliziert a ∈ V_{l+n} ⊆ V_{l}.

ii. f · a = 0 impliziert a ∈ ⋂_{l} V_{l}.

Beweis: ii. folgt sogleich aus i. Zu i.: V_{l} ist Untervektorraum von V; sei f = X^{n} + α_{n−1}X^{n−1} + … + α_{0}. Durch Induktion nach i ≤ l zeigt man, daß a ∈ V_{i+n}: Da f · a wohldefiniert ist, hat man a ∈ V_{n}. Sei a ∈ V_{i+n} schon für i < l gezeigt; somit α_{0} · a, …, (α_{n−1}X^{n−1}) · a ∈ V_{i+1}, folglich (α_{n−1}X^{n−1} + … + α_{0}) · a ∈ V_{i+1}. Wegen l ≥ i + 1 ist auch f · a ∈ V_{i+1}, also X^{n} · a = (f − (α_{n−1}X^{n−1} + … + α_{0})) · a ∈ V_{i+1}, und das impliziert a ∈ V_{i+1+n}.

Lemma 8.6.2 Sei M eine Familie endlichdimensionaler k-Vektorräume, X eine (uniform) pp-definierbare partielle Operation auf den M ∈ M. X sei auf allen M ∈ M torsionsfrei; und für jedes l gebe es M ∈ M mit M_{l} ≠ 0. (M_{l} ist im vorigen Lemma definiert.) Dann gibt es zu jeder offenen Umgebung O = (φ/ψ) eines 𝔭-adischen k[X]-Unzerlegbaren Moduln M ∈ M, so daß M ⊧ ∃x(φ(x) ∧ ¬ψ(x)).

Beweis: Sei F der (pp)-Funktor, der einem M ∈ M den (endlichdimensionalen) Kronecker-Modul

[figure: dom(X); M; 1; X]

zuordnet. Die Torsionsfreiheit bedeutet unter anderem, daß X : dom(X) → M injektiv ist; F (M) ist also direkte Summe von präprojektiven Unzerlegbaren und von Unzerlegbaren aus A_{1} ∪ A_{2} (definiert in Lemma 5.1.5). Letztere “sind” aber endlichdimensionale k[X]-Moduln (genauer: sind ppbi-interpretierbar mit k[X]-Moduln; man beachte die Sprechweise von Seite 80), haben also Torsion, können also nach Voraussetzung in der Zerlegung von F (M) nicht auftreten: F (M) ist direkte Summe präprojektiver Unzerlegbarer P_{i} (definiert vor Lemma 5.1.5).

Sei l ≥ 0. Dann gibt es nach Voraussetzung M ∈ M mit M_{l} ≠ 0; wie man leicht sieht, folgt dann, daß in der Zerlegung von F (M) in unzerlegbare Präprojektive ein P_{i} mit i ≥ l (siehe vor Lemma 5.1.5) vorkommt. Das heißt: In den Zerlegungen der F (M), M ∈ M, in Unzerlegbare treten Präprojektive beliebig großer Dimension auf. Da im Abschluß jeder unendlichen Menge von präprojektiven Kronecker-Moduln jedes 𝔭-adische liegt (Satz 8.2.1), folgt nun die Behauptung.

X sei von nun wieder eine der 33 partiellen Operationen X_{i} wie auf Seite 181; auch die sonstigen Notationen seien wie bisher.

Lemma 8.6.3 Ist M präprojektiv, dann ist X auf M torsionsfrei.

Beweis: Sei a ∈ M, 0 ≠ f ∈ k[X] und f · a = 0. Wegen Lemma 8.6.1 ii. ist dann X beliebig oft auf a anwendbar; nach Lemma 8.4.6 ii. folgt a = 0. Das ist die Torsionsfreiheit für die Präprojektiven aus A. (Für die endlich vielen Präprojektiven nicht in A gilt Lemma 8.6.3 trivialerweise, wie eine direkte Verifikation zeigt; insbesondere ist X auf Präprojektiven nämlich stets eine partielle Operation.)

Daß dies Lemma also in der Tat ohne Stern (∗) gilt, ist natürlich ganz belanglos. Aus dem Bisherigen erhält man nun leicht, jedenfalls im Prinzip, Umgebungsbasen (als Teilmengen von A) der (gewöhnlichen) Prüfer aus A (Zur Erinnerung: Die Prüfer in A sind genau die gewöhnlichen Prüfer, siehe Lemma 8.3.4.), sowie genauere Informationen zum Häufungsverhalten der Präprojektiven bezüglich der gewöhnlichen 𝔭-adischen:

Sei U zunächst gewöhnlicher Prüfer. U ist dann sogar in allen A_{b,b′} – ein geeignetes genügte –, und via der pp-Äquivalenz von Lemma 8.4.2 entspricht U einem geeigneten Prüfer-m-Zyklus; siehe Abschnitt 5.1.1 und vor Lemma 5.1.7. Die Torsionsaussage, die für diesen m-Zyklus gilt, übersetzt sich vermöge der pp-Äquivalenz in eine entsprechende Torsionsaussage für eine geeignete der betrachteten 33 partiellen Operationen. (Da U gewöhnlicher Prüfer ist, handelt es sich jedenfalls nicht um X-Torsion, aber das ist hier ohne Belang. – Und wie nach Lemma 5.1.8 sieht man, daß sich diese Torsionsaussage zum Beispiel in X_{m} formulieren läßt: das ist ebenfalls aber nicht wichtig.) Wegen Lemma 8.6.3 definiert diese Torsionsaussage also eine offene Umgebung von U ohne Präprojektive. Ist U sporadisch, etwa U = U_{Φ}^{∞}, dann liefert die Gleichung γ_{Φ}^{∩} eine solche Umgebung (wegen Lemma 8.3.3 iii.); es folgt also

Korollar 8.6.4 Jeder Prüfer hat eine offene Umgebung ohne Präprojektive.

Es ist klar, daß man nun leicht Umgebungsbasen (in A) für die Prüfer in A, also die gewöhnlichen Prüfer, angeben kann: Denn, wie schon im Beweis der Behauptung am Ende von Abschnitt 8.5 benutzt, A \ {U ∈ A | U präprojektiv} ist in einer endlichen Vereinigung abgeschlossener Mengen mit bekannter Topologie enthalten. Und zum Häufungsverhalten bezüglich der gewöhnlichen 𝔭-adischen Unzerlegbaren hat man

Lemma 8.6.5 Der Abschluß \overline{U} jeder unendlichen Menge U von Präprojektiven enthält alle gewöhnlichen 𝔭-adischen und Q.

Dieses Lemma und sein gleich folgender Beweis werden im nächsten Abschnitt verallgemeinert: Satz 8.7.2 Beweis: X sei wieder eine der auf Seite pagerefzusabb definierten partiellen Operationen X_{i} (auf Unzerlegbaren aus A). Man verifiziert mittels [DF 73] leicht, daß U für jedes l Präprojektive U mit U_{l} ≠ 0 enthält. Damit folgt die Behauptung über die gewöhnlichen 𝔭-adischen nun so: Die Axiome (modulo A) für einen zu einem gewöhnlichen 𝔭-adischen Unzerlegbaren gehörenden unzerlegbaren Typ sind gerade die eines zu k̃[X]_{𝔭} gehörenden unzerlegbaren Typs, 𝔭 ≠ (X) geeignet (Lemma 5.1.7, Korollar 8.4.3 und Korollar 8.5.4). Da wegen Lemma 8.6.3 die Operation X torsionsfrei auf Präprojektiven ist, liefert nun Lemma 8.6.2 die Behauptung. – Die Aussage über Q ist klar, da Q im Abschluß jedes unendlichdimensionalen Punktes ist.

Wie schon mehrfach bemerkt, kommt es also wegen Lemma 8.6.2 auf die spezielle Axiomatisierung der 𝔭-adischen Unzerlegbaren über k[X] (Lemma 5.1.7) gar nicht an.

8.7 Die sporadischen 𝔭-adischen. Teil I

8.7. DIE SPORADISCHEN 𝔭-ADISCHEN. TEIL I 197

Wegen der Behauptung (sowie der sich anschließenden Bemerkung) am Ende von Abschnitt 8.5 genügt es ja, das Häufungsverhalten der Präprojektiven bezüglich der unendlichdimensionalen rein-injektiven Unzerlegbaren aus A zu untersuchen. Im vorigen Abschnitt wurde dies für die gewöhnlichen 𝔭adischen, die gewöhnlichen Prüfer und Q erledigt. Wegen Lemma 8.3.4 bleibt somit nur noch das Häufungsverhalten der Präprojektiven bezüglich sporadischer 𝔭-adischer zu studieren: Die Schwierigkeit besteht dabei schlicht darin, daß die Axiomatisierung (modulo A) eines zu einem sporadischen 𝔭-adischen Unzerlegbaren gehörenden Typs nicht nur aus Axiomen von k̃[X]_{(X)} (für geeignetes X = X_{i}) besteht, sondern noch ein zusätzliches Axiom aufweist, nämlich x ∈ im(f_{i−1} · . . . · f_{i+1}) (Korollar 8.4.4 und 8.5.4). Und in der Tat enthält für eine unendliche Menge U präprojektiver Unzerlegbarer der Abschluß \overline{U} im allgemeinen nicht alle sporadischen 𝔭-adischen, wie das gleich folgende Beispiel zeigen wird, das ich Herrn Ringel ([Rin 93]) verdanke. Man vergleiche dies mit Lemma 8.6.5. – Nun zum weiteren Inhalt: Dieser Abschnitt enthält mit Satz 8.7.2, seinem Hauptergebnis, eine Verschärfung von Satz 8.6.5, löst das Problem der Topologie im Fall D̃_{4} vollständig (Satz 8.7.3) und in den übrigen Fällen teilweise. Am Schluß wird dann noch gezeigt, wie man die Ergebnisse dieses Abschnitts sämtlich aus Satz 8.8.12 erhalten kann. Wenn man will, ist dieser Abschnitt somit überflüssig; denn nach Satz 8.8.12 wird erklärt, warum dessen Beweis die Ergebnisse dieses Abschnitts nicht wirklich verwendet.

Δ sei wieder einer der vier standardorientierten Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}; auch die übrigen Bezeichnungen seien wie bisher; siehe unter anderem Seite 181. – Erinnert sei auch an die Bedeutung von (∗); siehe gleich zu Beginn von Kapitel 5.

Beispiel: ([Rin 93]) U sei die Menge der präprojektiven Unzerlegbaren über Ã_{3} mit Dimensionstyp (in suggestiver Notation)

[figure: l + 1; l.; l; l]

Bei diesen Unzerlegbaren sind stets e_{2,1} und e_{4,1} bijektiv; nach Identifikation via e_{2,1}, e_{4,1}, das heißt vermöge einer geeigneten pp-Äquivalenz, “sind” dies gerade die präprojektiven unzerlegbaren Kronecker-Moduln, siehe die Sprechweise von Seite 80.Insbesondere liegt das (“sporadische”) 𝔭-adische

[figure: W_{3}; W_{1}; W_{2}; W_{4}; X]

mit W_{i} = k̃[X]_{(X)} nicht in \overline{U}, anders als etwa

[figure: W_{3}; W_{1}; W_{2}; W_{4}; X]

(wie die Analyse bei Kronecker-Moduln zeigt, Satz 8.2.1).

Eigentlich werden hier ja nur D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} untersucht. Aber das eben beschriebene Phänomen ist natürlich nicht auf Ã_{3} beschränkt: Mittels des Funktors D_{1,2} = D in die Sprache von Quadrupeln übersetzt, hat man nämlich eine unendliche Menge U von Präprojektiven mit Dimensionstyp

[figure: l + 1; l; l; l; 2l + 1]

die sämtlich V_{0} = V_{2} ⊕ V_{3} erfüllen (Lemma 5.2.7), so daß zwar Ũ_{\{V_{1},V_{4}\}} ∈ \overline{U}, aber Ũ_{\{V_{2},V_{3}\}} ∉ \overline{U}; man beachte, daß bei Quadrupeln b_{3} = \{\{V_{1}, V_{4}\}, \{V_{2}, V_{3}\}\}. Das ist kein Zufall, denn es gilt:

Satz 8.7.1 Sei U eine unendliche Menge präprojektiver Unzerlegbarer. Für jedes b′′ ∈ \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\} ist \overline{U} ∩ \{Ũ_{Φ} | Φ ∈ b′′\} ≠ ∅.

Man kann dies als Verallgemeinerung von Lemma 8.6.5 auffassen: Die Menge o = {Ũ_{Φ} | Φ ∈ b′′} ist eine Bahn unter der Operation von C^{−} (bzw. C^{+}); für gewöhnliche 𝔭-adische U ist {U} selbst eine solche Bahn unter C^{−}. Auch der Beweis von Satz 8.7.1 verallgemeinert denjenigen von 8.6.5: Tatsächlich wird im Beweis von Satz 8.7.1 nämlich eigentlich gar nicht wirklich verwandt, daß es sich um eine Bahn von sporadischen handelt. Man erhält deshalb mit dem gleichen Beweis – oder Satz 8.7.1 und Lemma 8.6.5 zusammenfassend:

Satz 8.7.2 Sei U eine unendliche Menge präprojektiver Unzerlegbarer und o eine Bahn (bzgl. C^{−}) von 𝔭-adischen. Dann ist \overline{U} ∩ o ≠ ∅.

Beweis: (von Satz 8.7.1) Es sei etwa die Länge der Bahn o = {Ũ_{Φ} | Φ ∈ b′′}, also |b′′| =| o |, gleich zwei (sonst vollkommen analog) und o = {U = H(r) = Ũ_{b′′}, U′ = H(r′) = C^{+}(Ũ_{b′′})}; für die Definition von Ũ_{b′′} siehe vor Korollar 8.4.5. Dann hat r = r(x) modulo A die Axiomatisierung

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0,
p|x, für p (Primpotenz) mit (p, X) = 1,
X^{n+1} ∤ X^{n}x, n ∈ ω,
x ∈ im(f),

wobei hier, in der üblichen Notation (Seite 181), X = X_{2} = fg : A_{2} → A_{2}; und r′ = r′(y) hat modulo A Axiome

qy ≠ 0, q ∈ k[Y], q ≠ 0,
p|y, für p (Primpotenz) mit (p, Y) = 1,
Y^{n+1} ∤ Y^{n}y, n ∈ ω,
x ∈ im(g),

mit Y = gf = X_{1} : A_{1} → A_{1} (Korollar 8.4.5 und die Bemerkung danach, sowie Korollar 8.5.4). Da diese Axiome nur in Präprojektiven ausgewertet werden sollen und diese torsionsfrei sind (Lemma 8.6.3), kann man die Axiome X^{n+1} ∤ X^{n}x, n ∈ ω, ersetzen durch X ∤ x; entsprechend für Y. Seien also endlich viele Axiome für r gegeben, ohne Einschränkung eine disjunkte Vereinigung der Form

Θ ∪^{.} {x ∈ im(f)} ∪^{.} {X ∤ x}.

Θ′ werde aus Θ durch Ersetzen von X durch Y und von x durch y gebildet; Θ′ sind dann endlich viele Axiome für r′. Sei noch n das Maximum der Grade von Polynomen, die in Θ vorkommen. Man argumentiert nun zunächst wie im Beweis von Lemma 8.6.5 – benutzt also im wesentlichen nur Lemma 8.6.2 – und erhält so a ∈ U ∈ U, das Θ ∪^{.} {X ∤ x} erfüllt und so daß außerdem X mindestens n + 1-mal auf a anwendbar ist (das heißt a ∈ U_{n+1}). Man überlegt sich leicht, daß nun a′ := g(a) ∈ U ∈ U (wohldefiniert!) gerade Θ′ erfüllt. Und es gilt, daß a die endlich vielen Axiome

Θ ∪^{.} {x ∈ im(f)} ∪^{.} {X ∤ x}

genau dann nicht erfüllt, wenn a ∉ im(f), genau dann wenn a′ ∉ im(Y), genau dann wenn Y ∤ a′, genau dann wenn also a′ die Axiome

Θ′ ∪^{.} {y ∈ im(g)} ∪^{.} {Y ∤ y}

erfüllt. Das genügt.

Satz 8.7.2 liefert nun die Topologie im Falle von D̃_{4}: Es bleibt ja, wie eingangs dieses Kapitels bemerkt, nur noch das Häufungsverhalten der Präprojektiven bezüglich sporadischer 𝔭-adischer zu untersuchen. Korollar 6.2.7 iii. und Satz 8.2.1 – oder die Behauptung am Ende dieses Abschnitts – zeigen, daß sogar lediglich noch das Häufungsverhalten der präprojektiven Unzerlegbaren mit Defekt δ = −2 zu bestimmen ist. Aus [GP 72] (oder [GP 71], der Kurzversion von [GP 72] ohne Beweise) liest man ab, daß dies genau die

{(C^{−})^{l}V = (V_{0}^{−l}; V_{1}^{−l}, …, V_{4}^{−l}) | l = 0, 1, 2 …}

sind, wobei V das Quadrupel

[figure: 0; 0; 0; 0; k]

ist. (k bezeichnet hier den Körper, keine Zahl!) Insbesondere ist – wie Tatsache 5.2.2 zeigt – jedes (C^{−})^{l}V invariant unter Permutationen der Unterräume V_{i}^{−l}. Andererseits ist klar, daß die Ũ_{Φ} durch geeignete Permutationen der Unterräume ineinander übergehen (denn dadurch werden Unzerlegbarkeit, Rein-Injektivität etc. erhalten, und somit folgt alles aus der Eindeutigkeit der Ũ_{Φ} im Sinne von Lemma 8.3.1). Man erhält also mit Satz 8.7.2

Satz 8.7.3 Für jede unendliche Teilmenge U von unzerlegbaren Quadrupeln mit Defekt δ = −2 gilt, daß \overline{U} alle 𝔭-adischen Unzerlegbaren enthält.

Alternativ kann man auch so argumentieren: In [GP 72] sind die (C^{−})^{l}V = (V_{0}^{−l}; V_{1}^{−l}, …, V_{4}^{−l}) ganz explizit angegeben:

V_{0}^{−l} = ⟨x_{1}, …, x_{l+1}, y_{1}, …, y_{l}⟩;
V_{1}^{−l} = ⟨x_{1}, …, x_{l}⟩ ,
V_{2}^{−l} = ⟨y_{1}, …, y_{l}⟩ ,
V_{3}^{−l} = ⟨x_{2} + y_{1}, …, x_{l+1} + y_{l}⟩ ,
V_{4}^{−l} = ⟨x_{1} + y_{2}, …, x_{l−1} + y_{l}, x_{l} + x_{l+1}⟩ ,

mit einer Basis {x_{1}, …, x_{l+1}, y_{1}, …, y_{l}} von V_{0}^{−l}. Man erhält aus Korollar 8.4.5, daß etwa das sporadische 𝔭-adische Unzerlegbare Ũ_{{V_{1},V_{4}}} = Ũ_{b_{3}} die Form H(r) hat, mit Axiomen (modulo A) für r = r(x)

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0 (“torsionsfrei”),
q|x, für q (Primpotenz) mit (q, X) = 1,
X^{n+1} ∤ X^{n}x, n ≥ 1,
x ∈ im(f),

wobei X = X_{2} = fg, und wobei die Funktionen f : A_{1} = V_{2} → A_{2} = V_{1} und g : V_{1} → V_{2} gegeben werden durch die Gleichungen (1) und (2) aus dem Beweis von Lemma 8.4.2 (siehe Seite 231), das heißt also durch

f(v_{2}) = v_{1}, falls v_{1} + v_{2} ∈ V_{3} und
g(v_{1}) = v_{2}, falls v_{1} + v_{2} ∈ V_{4},

v_{1} ∈ A_{2} = V_{1} und v_{2} ∈ A_{1} = V_{2}. Ausgewertet auf (C^{−})^{l}V zeigt sich also, daß

\begin{matrix}f(y_{i}) = x_{i+1} und \\ g(x_{i}) = y_{i+1}. \end{matrix}

Insbesondere ergibt sich somit für die partielle Operation X = X_{2} = fg, daß

X(x_{i}) = x_{i+2}.

Wie eben im Beweis von Satz 8.7.1 sieht man, daß es zu vorgegebenen endlich vielen der obigen Axiome ohne das letzte (also ohne “x ∈ im(f)”) für genügend großes l ein Element a ∈ (C^{−})^{l}V gibt, das diese Axiome erfüllt. a ∈ V_{1}^{−l} ist Linearkombination der x_{i}, also a = ∑_{i≤N} α_{i}x_{i}, für ein N ≤ l; ohne Einschränkung sei l groß verglichen mit N. (Man betrachte das formal gleich gebildete a = ∑_{i≤N} α_{i}x_{i} in (C^{−})^{l′}, l′ ≥ l groß genug – wobei hier die x_{i} natürlich eine Basis von V_{1}^{−l′} sind.) Dann genügt entweder a bereits auch dem letzten Axiom, das heißt a ∈ im(f); oder, andernfalls, a′ := ∑ α_{i}x_{i+1} ist definiert (nach Wahl von l), erfüllt die Axiome über Torsionsfreiheit (automatisch, wegen Lemma 8.6.3), die positiven Teilbarkeitsaxiome (nach Wahl von l), außerdem aber sowohl X ∤ a′ (da sonst a ∈ im(f)) – und damit wegen der Torsionsfreiheit der Präprojektiven (Lemma 8.6.3) auch X^{n+1} ∤ X^{n}a′ für alle n ≥ 1 – als auch a′ ∈ im(f), nach Konstruktion. Das genügt. Ein weiteres Argument findet sich ganz am Ende dieses Abschnitts, nach Satz 8.8.12.

Lemma 8.7.4

i. Der Abschluß jeder unendlichen Teilmenge U von Unzerlegbaren über Ẽ_{6} mit Defekt δ =−3 enthält alle Ũ_{Φ}, Φ ∈ b_{1} ∪ b_{2}.

ii. Der Abschluß jeder unendlichen Teilmenge U von Unzerlegbaren über Ẽ_{7} mit Defekt δ =−4 enthält alle Ũ_{Φ}, Φ ∈ b_{3}.

Beweis: Folgt mit entsprechendem Symmetrieargument wie vor Satz 8.7.3.

Das ist leider nur partielle Information, aber das Symmetrieargument liefert in diesen Fällen nicht mehr; da mir eine Beschreibung der Unzerlegbaren von Defekt δ = −3 über Ẽ_{6} (bzw. der Unzerlegbaren von Defekt δ = −4 über Ẽ_{7}) nicht bekannt ist, die ähnlich explizit wäre wie die eben benutzte für Quadrupel von Defekt δ = −2, läßt sich das alternative Argument nach Satz 8.7.3 leider auch nicht übertragen. Die Satz 8.7.3 entsprechende Verallgemeinerung auf die Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8}, Satz 8.8.12, bleibt aber richtig; sie erfordert allerdings deutlich mehr Mühe. Dazu zunächst eine

Definition 8.5 Ein (präprojektives) Unzerlegbares U über D̃_{4} (bzw. Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8}) heißt neu, falls δ(U) = −2 (bzw. δ(U) = −3, δ(U) = −4, δ(U) ∈ {−5, −6}).

Bis auf endlich viele Ausnahmen sind dies über D̃_{4} (bzw. Ẽ_{6}, bzw. Ẽ_{7}, bzw. Ẽ_{8}) genau die Präprojektiven, die nicht als Kronecker-Moduln oder 2-Zyklen (bzw. Quadrupel, bzw. Moduln über Ẽ_{6}, bzw. Moduln über Ẽ_{7}) aufgefaßt werden können. (Man vergleiche Lemmata 5.2.8, 5.3.8, 5.4.7 und 5.5.8.) Behauptung: Zur Beschreibung von I(k[Δ]) als topologischer Raum, Δ einer der Köcher D̃_{n}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} mit beliebiger Orientierung genügt es, in den vier Fällen der standardorientierten D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} die Topologie des Abschlusses der Menge der neuen präprojektiven Unzerlegbaren zu bestimmen. Beweis der Behauptung: Wegen der Behauptung am Schluß von Abschnitt 8.5 ist allein das Häufungsverhalten der präprojektiven Unzerlegbaren bezüglich der unendlichdimensionalen Punkte aus A zu bestimmen. Wegen Korollar 6.2.7 iii. folgt die Behauptung nun durch “Induktion nach der Eckenzahl des Köchers”; der “Induktionsanfang” bei D̃_{4} benutzt Satz 8.2.1. Das beendet den Beweis der Behauptung.

8.8. DIE SPORADISCHEN 𝔭-ADISCHEN. TEIL II 203

Aus dem im nächsten Abschnitt zu beweisenden Satz 8.8.12 lassen sich alle Resultate dieses Abschnitts recht leicht herleiten: Lemma 8.7.4 und Satz 8.7.3 sind nur Spezialfälle von Satz 8.8.12; und Satz 8.7.2 ergibt sich mit dem eben im Beweis der Behauptung benutzten “Induktionsargument” (in der Notation von Korollar 6.2.7 iii.) so: Gegeben sei eine Bahn o (unter der Operation von C^{−} bzw. – gleichbedeutend – von C^{+}) von 𝔭-adischen Unzerlegbaren; weiter sei U eine unendliche Menge präprojektiver Unzerlegbarer. Dann enthält U entweder unendliche viele neue Unzerlegbare – und dann folgt die Behauptung von Satz 8.7.2 unmittelbar aus Satz 8.8.12. Oder in U liegen unendlich viele präprojektive Unzerlegbare aus einem geeigneten der A_{i} von Korollar 6.2.7 iii.; sei dann U′ die unendliche Menge präprojektiver Unzerlegbarer aus A′_{i} (also über dem “kleineren Köcher”, im Sinn von Korollar 6.2.7 iii.), die U ∩ A_{i} unter der pp-Äquivalenz von Korollar 6.2.7 iii. entspricht. Zu zeigen ist nun lediglich noch, daß o ∩ A_{i} ≠ ∅. Dann nämlich sei etwa U ∈ o∩A_{i}, sei U′ ∈ A′_{i} das U entsprechende 𝔭-adische Unzerlegbare über dem kleineren Köcher. Nach Induktionsannahme hat die Bahn o′ von U′, also die (endliche) Menge von 𝔭-adischen Unzerlegbaren (über dem kleineren Köcher) o′ = {(C^{−})^{l}U′|l ≥ 0}, nichtleeren Schnitt mit dem Abschluß \overline{U′} von U′ (Induktionsanfang mit Satz 8.2.1). Unter der pp-Äquivalenz entspricht aber o′ einer Teilmenge von o (Zusatz zu Korollar 6.2.7 und iv. von Seite 174). Weil die pp-Äquivalenz einen Homöomorphismus zwischen A_{i} und A′_{i} induziert, folgt, daß o nichtleeren Schnitt mit \overline{U ∩ A_{i}} ⊆ \overline{U} hat, wie gewünscht. Und daß o∩A_{i} ≠ ∅, sieht man so: Sei o zunächst eine einelementige Bahn, also o = {U} mit einem gewöhnlichen 𝔭-adischen Unzerlegbaren U. Dann erfüllt U die Gleichung γ^{∩} ∧ γ^{Σ}; wegen des Zusatzes zu Korollar 6.2.7 und der Beschreibung der A_{i} (als Bilder von Funktoren) in Kapitel 5 (siehe Lemmata 5.2.6, 5.3.4, 5.4.4 und 5.5.4) folgt, daß U in allen A_{j}, insbesondere also in A_{i} liegt. Und im sporadischen Fall argumentiert man ganz ähnlich: Der Zusatz zu Korollar 6.2.7 zeigt, daß A_{i} durch eine Gleichung der Form γ_{Φ}^{Σ} ∧ γ_{Φ}^{∩} bzw. durch eine der Form γ_{Φ}^{Σ} ∧ γ_{Φ}^{∩} ∧ γ_{Φ′}^{Σ} ∧ γ_{Φ′}^{∩} definiert wird ((∗)!), mit Φ ∈ b, Φ′ ∈ b′ für geeignete b ≠ b′ mit |b| = |b′| = 3 (letzteres nur im Falle von A_{i} = imT_{i,j,k}). Somit folgt für ein sporadisches Unzerlegbares U ∈ o, daß U oder C^{−}U oder (C^{−})^{2}U in A_{i} liegt. Das beendet den Nachweis von Satz 8.7.2 aus Satz 8.8.12.

8.8 Die sporadischen 𝔭-adischen. Teil II

Dieser Abschnitt ist dem Beweis von Satz 8.8.12 gewidmet, der endlich die vollständige Beschreibung der Topologie liefert; von einem etwas anderen Standpunkt aus beleuchtet Satz 8.8.13 dieses Problem. Diese beiden Sätze sind die Hauptergebnisse dieses Abschnittes, ja wohl des ganzen Kapitels. Nach Satz 8.8.12 (auf Seite ??) wird erklärt, wie man diesen Satz ohne Umwege am schnellsten beweist. Den überlangen rechnerischen Beweis von Lemma 8.8.11 habe ich in Kapitel 9 ausgelagert, um die Darstellung nicht zu unübersichtlich werden zu lassen. – Sicherheitshalber sind einige Lemmata wieder mit dem bekannten (∗) markiert (siehe die Vereinbarung am Anfang von Kapitel 5); bei geeigneter Interpretation bleiben die meisten dieser Lemmata aber auch ohne (∗) richtig. Die Bezeichnungen nach Lemma 8.4.2 (in der Zusammenfassung seines Beweises) sind weiter in Kraft; siehe Seite 181. Den Beweis von Satz 8.8.12 bereiten wir durch eine Serie von Lemmata vor; hier eine Skizze des Beweisganges: Beweisskizze: i. Zuerst zeigen wir, daß es genügt, die Gültigkeit gewisser Gleichungen, der � _{b′′}^{n} (siehe Definition 8.6), für die neuen (genauer: fast alle neuen) Präprojektiven nachzuweisen (Lemma 8.8.5). Dieser Nachweis beansprucht dann den Rest der Arbeit. ii. Als zweiten Schritt beweisen wir, daß auch die – wesentlich einfachere – Verifikation der � _{b′′}^{n} für die Unzerlegbaren von Defekt −1 ausreicht (Lemma 8.8.10): Dazu führen wir zuerst vor, daß fast jedes neue Unzerlegbare Bild einer direkten Summe von Unzerlegbaren mit Defekt −1 ist (Lemma 8.8.6). Dann beginnt der rechenintensive Teil des Beweises: Wir zeigen, daß sich die Gleichungen � _{b′′}^{n} unter Epimorphismen vererben (Lemma 8.8.9); das ist trotz Tatsache 1.6.1 nicht klar, denn (in der Notation von 1.6.1) es gilt im allgemeinen nicht, daß bei einem Unterraumsystem etwa auch M_{α} ∩ M_{β} → N_{α} ∩ N_{β} surjektiv ist. iii. Und der dritte Teil des Beweises von Satz 8.8.12 ist dann gerade der Nachweis der � _{b′′}^{n} für Unzerlegbare von Defekt −1 (Lemma 8.8.11).

Zunächst ein Lemma, das man einfach aus den Tabellen der Dimensionstypen der endlichdimensionalen Unzerlegbaren von Defekt ungleich Null in [DF 73] gewinnt; für iii. beachte man, daß, wie im Beweis von Lemma 5.4.7 bemerkt, T_{7} und (C^{+})^{2}S_{7} das gleiche Bild haben, und für i., daß D_{3,4} und C^{+}D_{1,2} das gleiche Bild haben (jeweils mit (∗)):

Lemma 8.8.1 (∗) Fast alle Unzerlegbaren von Defekt −1 sind im Bild der Funktoren

i. D_{1,2} oder C^{+}D_{1,2} im Fall D̃_{4};

ii. S oder C^{+}S im Falle von Ẽ_{6};

iii. S_{7}, T_{7}, C^{+}S_{7} oder C^{+}T_{7} im Fall Ẽ_{7};

iv. S_{1} oder C^{+}S_{1} im Fall Ẽ_{8}.

Lemma 8.8.2 (∗) Neue Unzerlegbare erfüllen keine Bedingung der Form γ_{Φ}^{Σ} (wohl aber γ^{∩}).

Beweis: Das zeigen die Dimensionstypen aus [DF 73] (für die γ_{Φ}^{Σ}) und Lemma 8.3.4. Oder: Unmittelbar klar für die kleiner Dimension; nun Induktion nach C^{−} mit Hilfe der Lemmata 5.2.4, 5.3.3, 5.4.3 und 5.5.3.

Es wird sich gleich zeigen (Lemma 8.8.4 bzw. 8.8.5), daß es für das Folgende genügt, für jeden der vier betrachteten Köcher aus jeder der jeweils drei Bahnen (bezüglich der Operation von C^{−}) von 𝔭-adischen Unzerlegbaren nur ein Unzerlegbares zu untersuchen, zum Beispiel gerade Ũ_{b′′} aus der Bahn {U_{Φ} | Φ ∈ b′′}. (Das erleichtert vor allem die Bezeichnungsarbeit, wird aber bei den ersten allgemeinen Überlegungen gar nicht benutzt.)

Sei also Ũ_{b′′} = H(r) das zu b′′ gehörende sporadische 𝔭-adische Unzerlegbare. Zur Erinnerung: Korollar 8.4.5 (mit Korollar 8.5.4) zeigt, wie eine mögliche Axiomatisierung von r = r(x) (modulo A) aussieht:

qx ≠ 0, q ∈ k[X], q ≠ 0,
p|x, für p (Primpotenz) mit (p, X) = 1,
X^{n+1} ∤ X^{n}x, n ∈ ω,
x ∈ im(f).

Dabei ist X = X_{m} = fg : A_{m} → A_{m}, m =| b′′ |. – Ũ_{b′′} sei – mit diesen Bezeichnungen – für die nächste Zeit fixiert.

Definition 8.6 (∗) Mit

� _{b′′}^{n}

sei die Gleichung

A_{1} = dom X^{n}f + im g

bezeichnet, wobei X = X_{m} = fg, A_{1}, A_{m}, f = f_{m−1} · . . . · f_{1} : A_{1} → A_{m}, g : A_{m} → A_{1} und m =| b′′ | wie auf Seite 181 sind (und das heißt: wie im Beweis von Lemma 8.4.2 auf den Seiten 230 bis 237), induziert also durch die pp-Äquivalenz der Modulklasse zu A_{b,b′} – wobei {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}} – mit gewissen m-Zyklen.

Man hat also zwölf, jeweils mit den natürlichen Zahlen induzierte, Serien von Gleichungen definiert (ohne allerdings den Köcher in der Bezeichnung � _{b′′}^{n} deutlich zu machen). Zum Beispiel ist also im Falle des Köchers Ẽ_{6} die Gleichung � _{b_{3}}^{n} gerade E_{1} ∩ E_{2} = dom X^{n}f + im g, wobei f : E_{1} ∩ E_{2} → F_{1} und g : F_{1} → E_{1} ∩ E_{2} durch (7) und (8) auf Seite 232 gegeben werden und X = fg. Das nächste Lemma könnte man, wie der Beweis zeigt, auf ein geeignetes Lemma über Darstellungen von Ã_{2} zurückführen.

Lemma 8.8.3 (∗) Die Bezeichnungen seien wie eben. U sei eine unendliche Menge von Präprojektiven; für jedes n sei für fast alle U ∈ U die Bedingung � _{b′′}^{n} erfüllt, das heißt es gelte für jedes n für fast alle U ∈ U, daß

A_{1} = dom X^{n}f + im g.

Dann ist Ũ_{b′′} ∈ \overline{U} oder aber für fast alle U ∈ U ist g surjektiv.

Siehe dazu das Beispiel auf Seite 197; ist g surjektiv in einem U, dann folgt für a ∈ U aus a ∈ im(f) natürlich a ∈ im(fg), das heißt X | a, so daß es kein Element in U gibt, das “X ∤ x” und “x ∈ im(f)” simultan erfüllt. Das Lemma zeigt nun, daß – modulo der Voraussetzung A_{1} = domX^{n}f + img – die Surjektivität von g der einzig mögliche Grund für Ũ_{b′′} ∉ \overline{U} ist. Beweis: In gewisser Weise verallgemeinert das folgende Argument das aus dem Beweis von Lemma 8.6.2: Dort reduziert man ein Unzerlegbares U auf die in ihm definierte partielle Operation X, genauer auf einen gewissen k[Ã_{1}]-Modul; hier ist wegen des Axioma “x ∈ im(f)” nur eine Reduktion auf einen k[Ã_{2}]-Modul möglich. – F sei also der Funktor, der U ∈ U wirft auf

[figure: im(f); dom(X); A_{m}; X]

(mit den Inklusionen von im(f) bzw. dom(X) nach A_{m} und der Injektion X). F (U) ist direkte Summe von (endlichdimensionalen) Unzerlegbaren Z der Form

[figure: W_{3}; W_{2}; W_{1}; β; α; γ]

mit injektiven α, β und γ. (Was nun folgt, ließe sich mit einigen neuen Bezeichnungen leicht als Aussage über Darstellungen von Ã_{2} – mit der Orientierung wie eben – formulieren.) Zum Beispiel wegen Lemma 5.1.2 oder Korollar 5.1.3 muß wenigstens eine der Abbildungen α, β oder γ ein Isomorphismus sein. α kann aber kein Isomorphismus sein, da sonst aus Dimensionsgründen alle drei bijektiv wären, Z also ein (endlichdimensionaler) k[X]-Modul, genauer: pp-bi-interpretierbar mit einem solchen – im Widerspruch zur Torsionsfreiheit von X (Lemma 8.6.3). Also ist in jedem dieser Unzerlegbaren Z genau einer der Morphismen β oder γ ein Isomorphismus; identifiziert man vermöge dieses Isomorphismus, so erhält man: F (U) ist direkte Summe von zwei Typen “präprojektiver Kronecker-Moduln”, genauer: von Unzerlegbaren, die mittels einer geeigneten (von zwei möglichen) pp-Äquivalenzen als Kronecker-Moduln aufgefaßt werden können.

Gibt es zu jedem n ein a ∈ U ∈ U, mit a ∈ im(f)∩dom(X^{n})\im(X), dann ist unter den unzerlegbaren “Kronecker-Moduln” Z, in die F (U) zerfällt, wenigstens einer, etwa Z_{0}, so daß die Z_{0}-Komponente a_{0} von a ungleich Null ist und γ ein Isomorphismus in Z_{0} ist (da sonst doch a ∈ im(X) wäre). a_{0} liegt wieder in dom(X^{n}), das heißt Z_{0} ist “von großer Dimension”. Nach dem bekannten Häufungsverhalten von präprojektiven Kronecker-Moduln (siehe Satz 8.2.1) ist dann Ũ_{b′′} ∈ \overline{U}.

Andernfalls gilt für ein n und alle U ∈ U

im(f) ∩ dom(X^{n}) ⊆ im(X), also
dom(f) ∩ dom(X^{n}f) ⊆ im(g), und daher
dom(X^{n}f) ⊆ im(g),

somit nach Voraussetzung in fast allen U ∈ U: im(g) = A_{1}, das heißt g surjektiv.

Wir halten Ũ_{b′′} und die Bezeichnungen von eben weiter fest.

Lemma 8.8.4 (∗)

i. U sei eine unendliche Menge neuer Präprojektiver. Für jedes n gelte für fast alle U ∈ U die Bedingung � _{b′′}^{n}. Dann ist Ũ_{b′′} ∈ \overline{U}.

ii. Gilt für jedes n für fast alle neuen Präprojektiven die Gleichung � _{b′′}^{n}, dann liegen im Abschluß \overline{U} jeder unendlichen Menge U neuer Präprojektiver alle (sporadischen) 𝔭-adischen Unzerlegbaren der Form (C^{−})^{i}Ũ_{b′′} für i ≥ 0. Mit anderen Worten: \{Ũ_{Φ} | Φ ∈ b′′\} ⊆ \overline{U}.

Beweis: i. Zu zeigen ist wegen Lemma 8.8.3 nur, daß g in neuen Präprojektiven nicht surjektiv ist. Das folgt aber aus Lemma 8.8.2 und den im Beweis von Lemma 8.4.2 gegebenen Entsprechungen, denn g ist jeweils genau dann surjektiv, wenn eine geeignete Bedingung γ_{Φ}^{Σ} erfüllt ist; wie bereits bemerkt (siehe auch nach dem Beweis von Lemma 8.4.2 in Abschnitt 9.1) gelten diese Äquivalenzen für Unzerlegbare aus A, nicht nur für solche aus A_{b,b′}. ii. ist klar mit i., da C^{−} neue Präprojektive in neue überführt.

Wegen Satz 8.7.3 ist es eigentlich unnötig, die � _{b′′}^{n} für D̃_{4} zu untersuchen; ebenso die � _{b_{i}}^{n}, i = 1, 2, für Ẽ_{6} und � _{b_{3}}^{n} für Ẽ_{7} – dies wegen Lemma 8.7.4. Allerdings soll in diesem Abschnitt ein von Abschnitt 8.7 unabhängiger Beweis von Satz 8.8.12 gegeben werden, so daß ich Hinweise geben werde, wie auch diese � _{b′′}^{n} behandelt werden können.

Lemma 8.8.5 (∗)

i. Gilt jedes � _{b_{3}}^{n}, n ≥ 0, für fast alle neuen Präprojektiven über Ẽ_{6}, dann enthält der Abschluß jeder unendlichen Menge neuer Präprojektiver alle (sporadischen) 𝔭-adischen Unzerlegbaren.

ii. Gilt jedes � _{b_{i}}^{n}, n ≥ 0, i = 1, 2, für fast alle neuen Präprojektiven über Ẽ_{7}, dann enthält der Abschluß jeder unendlichen Menge neuer Präprojektiver alle (sporadischen) 𝔭-adischen Unzerlegbaren.

iii. Gilt jedes � _{b_{i}}^{n}, n ≥ 0, i = 1, 2, 3, für fast alle neuen Präprojektiven über Ẽ_{8}, dann enthält der Abschluß jeder unendlichen Menge neuer Präprojektiver alle (sporadischen) 𝔭-adischen Unzerlegbaren.

Beweis: Lemma 8.8.4 und Lemma 8.7.4.

Damit ist der erste Schritt (Teil i. der Beweisskizze) in Richtung Satz 8.8.12 getan: Es genügt, gewisse Gleichungen für die neuen Präprojektiven zu bestätigen; das erweist sich als recht mühsam (aber machbar: Lemma 8.8.11): Zwar sind die (neuen) Präprojektiven in gewisser Weise wohlbekannt (siehe [Rin 84, Seite 63, Lemma 3]), andererseits (mir) nicht gut genug, um die Gültigkeit der � _{b_{i}}^{n} sofort einsehen zu können. Zum Glück genügt es aber, Unzerlegbare von Defekt −1 zu betrachten (Lemma 8.8.10); dazu zunächst ein Lemma, das nicht nur für die vier standardorientierten Köcher gilt, die normalerweise in diesem Abschnitt betrachtet werden:

Lemma 8.8.6 Δ sei einer der Euklidischen Köcher. Es gibt natürliche Zahlen N_{0} und N_{1}, so daß gilt: Fast jedes präprojektive Unzerlegbare U ist surjektives Bild einer direkten Summe von höchstens N_{0} vielen Unzerlegbaren U′ von Defekt −1 und Rang r(U′) ≥ r(U) − N_{1} (siehe Definition 2.1 auf Seite 44).

Einige Bemerkungen: Die Aussage über N_{0} wird im folgenden gar nicht benutzt. – Es ist klar, daß in der Situation des Lemmas r(U′) ≤ r(U), falls U′ in der direkten Summe nicht weggelassen werden kann (Lemma 2.2.2). Beweis: (von Lemma 8.8.6) Im folgenden bezeichne k wie üblich den Grundkörper. Behauptung 1: Es genügt, die standardorientierten D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} zu betrachten. Beweis der Behauptung: Man überzeugt sich leicht, daß das Lemma für D̃_{n} aus dem Lemma für D̃_{4} folgt (Lemma 5.2.1 und sein – allerdings nur angedeuteter – Beweis). Der Defekt präprojektiver Unzerlegbarer über Ã_{n} ist ohnehin stets −1. Daher genügt es, das Lemma für D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} mit beliebiger Orientierung zu zeigen. Aber, wie gewohnt, wegen Lemma 4.2.3 (oder Lemma 4.2.2) genügt es, die mit der Standardorientierung versehenen Köcher zu untersuchen. (Defekt wird von den benutzten pp-Äquivalenzen ja erhalten: Lemmata 5.2.6, 5.3.4, 5.4.4 und 5.5.4) Das beweist Behauptung 1. Ohne Einschränkung seien wie stets alles Unterraumsysteme. Um Schreibarbeit und Platz zu sparen, seien, wie in Kapitel 5 vereinbart, Quadrupel notiert als (V_{0}; V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}) und Ẽ_{n}-Moduln (mit der Standardnotation aus Kapitel 5) im Fall n = 6 als (Q; E_{1}, F_{1}; E_{2}, F_{2}; E_{3}, F_{3}), bzw. als (R; W; E_{1}, F_{1}, G_{1}; E_{2}, F_{2}, G_{2}) im Falle n = 7 bzw. als (P; X; Y_{3}, Y_{4}; Z_{5}, …, Z_{9}) für n = 8. Behauptung 2: Es genügt, das Lemma für neue Unzerlegbare zu zeigen. Beweis der Behauptung: Das sieht man induktiv (nach der Anzahl der Ecken des Köchers) ein: Der Induktionsanfang bei D̃_{4} ist klar, da präprojektive Unzerlegbare neu oder von Defekt −1 sind. Zu Ẽ_{6}: Wegen Korollar 6.2.7 iii. sind – in der bekannten Sprechweise – fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren Quadrupel oder neu. Die Funktoren (C^{−})^{l}T_{i,j,k}, die dies zeigen (siehe den Beweis von Lemma 5.3.8), erhalten Surjektionen, und sie erhalten Defekt (Lemma 5.3.4, Satz 4.2.4); damit folgt die Behauptung des Lemmas dann aus der Behauptung für neue Unzerlegbare und derjenigen für Quadrupel. Bei Ẽ_{7} argumentiert man ganz analog mit den (C^{−})^{l}S_{7}, bei Ẽ_{8} mit den (C^{−})^{l}S_{1}. Das beweist Behauptung 2.

D̃_{4}: Die neuen Präprojektiven sind genau die (C^{−})^{l}(k; 0000), l ≥ 0 (siehe auch vor und nach Satz 8.7.3). Es ist – in hoffentlich suggestiver Notation; insbesondere ist die gleich benutzte Schreibweise so zu verstehen, daß x, y, z linear unabhängig sind – C^{−}(k; 0000) = (⟨x, y, z⟩; ⟨x⟩ , ⟨z⟩ , ⟨x + y⟩ , ⟨y + z⟩), und dies ist Bild der direkten Summe der folgenden vier Präprojektiven von Defekt −1:

(⟨x⟩; ⟨x⟩ , 000),
(⟨z⟩; 0, ⟨z⟩ , 00),
(⟨x + y⟩; 00, ⟨x + y⟩ , 0) und
(⟨y + z⟩; 000, ⟨y + z⟩).

C^{−} ist rechtsexakt und erhält Defekt (wieder Satz 4.2.4); Anwenden von (C^{−})^{i}, i ≥ 0, auf diese Surjektion liefert dann die gewünschte Surjektion für die übrigen neuen Präprojektiven. Die Aussage über N_{0} und N_{1} ergibt sich automatisch.

Ẽ_{6}: Die neuen Präprojektiven sind die (C^{−})^{l}(k; 00; 00; 00), wobei C^{−}(k; 00; 00;

00) = (⟨x, y⟩; ⟨x⟩ , 0; ⟨y⟩ , 0; ⟨x + y⟩ , 0), und dies ist Bild der direkten Summe der präprojektiven Unzerlegbaren

(⟨x⟩; ⟨x⟩ , 0; 00; 00),
(⟨y⟩; 00; ⟨y⟩ , 0; 00) und
(⟨x + y⟩; 00; 00; ⟨x + y⟩ , 0)

von Defekt −2. Nach dem schon Bewiesenen für D̃_{4}, und weil die Funktoren (C^{−})^{l}T_{i,j,k} Surjektionen und Defekt erhalten (Lemma 5.3.4 und Satz 4.2.4), bekommt man die gesuchte Surjektion für ein geeignetes (C^{−})^{n}(k; 00; 00; 00). Anwenden von (C^{−})^{i}, i ≥ 0, auf diese Surjektion liefert die gesuchte Surjektion für die übrigen neuen Präprojektiven.

Ẽ_{7}: Ganz analog Ẽ_{6}; die neuen Präprojektiven sind die (C^{−})^{l}(k; 0; 000; 000), mit C^{−}(k; 0; 000; 000) = (⟨x, y⟩; ⟨x + y⟩; ⟨x⟩ 00; ⟨y⟩ 00), und dies ist Bild der direkten Summe der präprojektiven Unzerlegbaren

(⟨x⟩; 0; ⟨x⟩ 00; 000),
(⟨y⟩; 0; 000; ⟨y⟩ 00) und
(⟨x + y⟩; ⟨x + y⟩; 000; 000),

deren Defekt jeweils −3, −3 bzw. −2 beträgt. Man schließt nun weiter wie bei Ẽ_{6} (und benutzt, daß die Behauptung für Ẽ_{6} schon gezeigt ist).

Ẽ_{8}: Hier gibt es zwei Bahnen (unter C^{−}) neuer Präprojektiver; die eine mit den Unzerlegbaren von Defekt −5, die andere mit denjenigen von Defekt −6. Erstere besteht aus den (C^{−})^{l}(k; 0; 00; k, 0000), mit C^{−}(k; 0; 00; k, 0000) = (⟨x, y⟩; ⟨x + y⟩; ⟨x⟩ , 0; ⟨y⟩ , ⟨y⟩ , 000), das Bild der direkten Summe der Unzerlegbaren

(⟨x + y⟩; ⟨x + y⟩; 00; 00000),
(⟨x⟩; 0; ⟨x⟩ 0; 00000) und
(⟨y⟩; 0; 00; ⟨y⟩ , ⟨y⟩ , 000)

von Defekt −3, −4 bzw. −4 ist. Nun weiter wie üblich.

Die neuen Präprojektiven von Defekt −6 sind die (C^{−})^{l}(k; 0; 00; 00000), mit C^{−}(k; 0; 00; 00000) = (⟨x, y⟩; ⟨x + y⟩; ⟨x⟩ , 0; ⟨y⟩ , 0000). Dies ist Bild der direkten Summe der Unzerlegbaren

(⟨x + y⟩; ⟨x + y⟩; 00; 00000),
(⟨x⟩; 0; ⟨x⟩ 0; 00000) und
(⟨y⟩; 0; 00; ⟨y⟩ , 0000)

von Defekt −3, −4, bzw. −5. Nach dem schon Bewiesenen folgt die Behauptung wieder für ein (C^{−})^{n}(k; 0; 00; 00000) – da (C^{−})^{l}S_{1} Surjektionen und Defekt erhält (Lemma 5.5.4 und Satz 4.2.4); wegen der Rechtsexaktheit von C^{−} folgt sie dann für (C^{−})^{m}(k; 0; 00; 00000), m ≥ n.

(Dieses Lemma wird zum Beweis von Lemma 8.8.9 – und damit des Satzes 8.8.12 – nur für neue Unzerlegbare über den standardorientierten Köchern D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7}, Ẽ_{8} benötigt; insofern genügte es, es nur für neue Unzerlegbare zu formulieren: So könnte man sich Behauptung 1 und 2 des Beweises schenken.)

Waren die bisherigen Lemmata, die zum Beweis von Satz 8.8.12 hinführen werden, noch halbwegs konzeptioneller Natur, so beginnt nun der eher unerfreuliche, weil rechenaufwendige, Teil. Die nächsten beiden Lemmata werden zum Beweis von Lemma 8.8.9 gebraucht; Lemma 8.8.7 könnte auch in Kapitel 5 stehen.

Lemma 8.8.7 (∗) Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren gilt über dem jeweiligen Köcher:

Ẽ_{6} : Q = E_{1} ∩ E_{2} + F_{1} + F_{2} + F_{3};
Ẽ_{7} : R = F_{2} ∩ E_{1} + G_{1} + G_{2} + W,
R = E_{2} ∩ F_{1} + F_{2} + W;
Ẽ_{8} : P = Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}) + X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7},
P = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{8}) + X ∩ Y_{3} + Y_{4} + Z_{7},
P = Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}) + Y_{4} + Z_{6}.

Beweis: Erste Variante: Wie in Lemmata 5.3.2, 5.4.2 und 5.5.2 durch lange und mühsame Rechnungen.

Zweite Variante: Dies Lemma wird später nur auf Unzerlegbare von Defekt −1 angewandt werden, und für diese läßt sich ein etwas einfacherer Beweis führen; zum Beispiel für R = F_{2} ∩ E_{1} + G_{1} + G_{2} + W im Falle Ẽ_{7}:

Behauptung 1: Um R = F_{2}∩E_{1}+G_{1}+G_{2}+W für fast alle Unzerlegbaren über Ẽ_{7} von Defekt −1 zu zeigen, genügt der Nachweis von

\begin{matrix}R = F_{2} ∩ E_{1} + G_{1} + G_{2} + W & (1) und \\ E_{1} ∩ (W + G_{2}) ⊆ F_{1} ∩ (W + G_{2}) + E_{1} ∩ W + E_{1} ∩ E_{2} & (2) \end{matrix}

für fast alle Unzerlegbaren von Defekt −1, die im Bild von S_{7} oder T_{7} liegen.

Beweis der Behauptung: Wegen Lemma 8.8.1 genügt es zu zeigen, daß für fast alle Präprojektiven U aus der Gleichung (2) die Bedingung (1) für C^{+}U folgt. Es gelte also (2) für U. Mit Tatsache 5.4.1 erhält man F_{2}^{+} ∩ E_{1}^{+} = ker(W ⊕ F_{1} ⊕ G_{2} → R), G_{1}^{+} = ker(W ⊕ E_{2} → R) etc. Wegen Lemma 5.4.2 genügt es zum Nachweis von (1) für C^{+}U zu zeigen, daß

F_{2}^{+} ⊆ F_{2}^{+} ∩ E_{1}^{+} + G_{1}^{+} + G_{2}^{+} + W^{+}.

Sei also nun (x, y, z) ∈ F_{2}^{+} gegeben, das heißt x ∈ W, y ∈ E_{1}, z ∈ G_{2} und x + y + z = 0. Somit y ∈ E_{1} ∩ (W + G_{2}), und folglich gibt es wegen (2) y′ ∈ F_{1} ∩ (W + G_{2}), w′ ∈ W ∩ E_{1} und e ∈ E_{1} ∩ E_{2}, so daß y = y′ + w′ + e; außerdem gibt es x′ ∈ W und z′ ∈ G_{2} mit y′ = x′ + z′. Dann ist mit W ∋ w := x + x′ + w′ = −z − z′ − e ∈ E_{2}

(x, y, z) = (−x′, y′, −z′) + (w, 0, −w) + (−w′, w′, 0) + (0, e, −e)

wie gewünscht. Behauptung 2: Um R = F_{2}∩E_{1}+G_{1}+G_{2}+W für fast alle Unzerlegbaren von Defekt −1 zu zeigen, genügt es, für fast alle Ẽ_{6}-Unzerlegbaren von Defekt −1 nachzuweisen:

\begin{matrix}Q = E_{1} ∩ E_{3} + E_{2} + F_{3} & (3) \\ Q = F_{1} + F_{3} + E_{2} & (4) \\ Q = F_{1} + F_{2} + F_{3} + E_{1} ∩ E_{2} & (5) \\ Q = E_{2} ∩ E_{3} + E_{1} + F_{2} & (6) \end{matrix}

Beweis der Behauptung: (3) und (4) sind die “Übersetzungen” (vermöge S_{7} bzw. T_{7}) von (1) aus Behauptung 1, (5) und (6) die von (2):

Um nämlich (1) für Unzerlegbare von Defekt −1 im Bild von S_{7} nachzuweisen, ist zu zeigen, daß für Unzerlegbare von Defekt −1 über Ẽ_{6} gilt: E_{2}/F_{2} ⊕ Q = 0 ⊕ E_{1} ∩ E_{3} + E_{2}/F_{2} ⊕ 0 + 0 ⊕ F_{3} + Δ(E_{2}) (siehe Definition 5.4). Dafür genügt 0 ⊕ Q ⊆ 0 ⊕ (E_{1} ∩ E_{3} + F_{3}) + Δ(E_{2}) + E_{2}/F_{2} ⊕ 0; dafür genügt wiederum Q ⊆ E_{1} ∩ E_{3} + F_{3} + E_{2}. So erhält man (3). Mit T_{7} ergibt sich ganz ähnlich (4).

Um (2) für Unzerlegbare von Defekt −1 im Bild von S_{7} zu verifizieren, ist für Unzerlegbare von Defekt −1 über Ẽ_{6} zu zeigen, daß

E_{2}/F_{2}⊕E_{1}∩(Δ(E_{2})+0⊕F_{3})⊆E_{2}/F_{2}⊕F_{1}∩(Δ(E_{2})+0⊕F_{3})+Δ(E_{1}∩E_{2})+0⊕E_{1}.

Weil 0⊕E_{1} rechts enthalten ist, folgt dies, wenn man nur zeigt, daß E_{2}/F_{2}⊕0 ebenfalls in der rechten Seite liegt. Das heißt: Gegeben e ∈ E_{2}, so ist e ∈ E_{2} ∩ (F_{1} + F_{2} + F_{3}) + E_{1} ∩ E_{2} + F_{2} zu zeigen (denn dann seien etwa e = e_{1} + e_{1,2} + f und e_{1} = f_{1} + f_{2} + f_{3} entsprechende Zerlegungen, mit f_{i} ∈ F_{i}, e_{1} ∈ E_{2}, e_{1,2} ∈ E_{1} ∩ E_{2} und f ∈ F_{2}; es ergibt sich (\overline{e}, 0) = (\overline{e_{1} + e_{1,2}}, 0) = (\overline{e_{1} − f_{2}}, 0) + (\overline{e_{1,2}}, 0); also

(\overline{e}, 0) = (\overline{e_{1} − f_{2}}, f_{1}) + (\overline{e_{1,2}}, e_{1,2}) + (0, −f_{1} − e_{1,2}),

wobei (0, −f_{1} − e_{1,2}) ∈ 0 ⊕ E_{1}, (\overline{e_{1,2}}, e_{1,2}) ∈ Δ(E_{1} ∩ E_{2}) und (\overline{e_{1} − f_{2}}, f_{1}) = (\overline{e_{1} − f_{2}}, e_{1} −f_{2})+(0, −f_{3}) ∈ E_{2}/F_{2} ⊕F_{1} ∩(Δ(E_{2})+0⊕F_{3}) wie gewünscht); oder gleichbedeutend: E_{2} ⊆ F_{1} +F_{2} +F_{3} +E_{1} ∩E_{2}. Das ist (5) – denn wegen Lemma 5.3.2 gilt ja Q = E_{2} + F_{1} + F_{3}. Und übersetzt man entsprechend vermöge T_{7}, so ergibt sich (6). Das beendet den Beweis von Behauptung 2.

Aber (4) aus Behauptung 2 ist wahr nach Lemma 5.3.2; und (6) gilt aus Symmetriegründen genau dann für fast alle Unzerlegbaren (von Defekt −1), wenn (3) für fast alle gilt. Das heißt: Um (1) für fast alle Ẽ_{7}-Unzerlegbaren von Defekt −1 zu verifizieren, ist für fast alle Unzerlegbaren von Defekt −1 über Ẽ_{6} zu zeigen, daß

\begin{matrix}Q = E_{1} ∩ E_{3} + E_{2} + F_{3} & (7) und \\ Q = F_{1} + F_{2} + F_{3} + E_{1} ∩ E_{2} & (8) \end{matrix}

gilt. Aber (Lemma 8.8.1) solche Unzerlegbare sind im Bild von S oder C^{+}S. Wegen Lemma 5.3.4 und Lemma 5.3.3 erfüllen diejenigen im Bild von S Bedingung (7) und die im Bild von C^{+}S Gleichung (8), so daß es genügt,

(7) für Präprojektive aus dem Bild von C^{+}S und (8) für solche aus dem Bild von S zu zeigen. Und das geht so: Zunächst zu (8) und Unzerlegbaren aus dem Bild von S; erinnert sei an die Standardnotation bei Ã_{5}. Man erhält, daß die Elemente der rechten Seite von (8) genau die der Gestalt

(e_{2,1}(w_{2}), e_{2,3}(w_{2}), 0)+(0, e_{4,3}(w_{4}), e_{4,5}(w_{4}))+(e_{6,1}(w_{6}), 0, e_{6,5}(w_{6}))+(0, w_{3}, 0) mit w_{i} ∈ W_{i} sind, also die

(e_{2,1}(w_{2}) + e_{6,1}(w_{6}), e_{2,3}(w_{2}) + e_{4,3}(w_{4}) + w_{3}, e_{4,5}(w_{4}) + e_{6,5}(w_{6})).

Es genügt nun zu zeigen, daß jedes (w_{1}, 0, 0) mit w_{1} ∈ W_{1} diese Form hat (denn aus Symmetriegründen hat dann auch jedes (0, 0, w_{5}) diese Gestalt, so daß damit ganz Q = W_{1} ⊕ W_{3} ⊕ W_{5} in der rechten Seite enthalten ist). Aber bei einem Präprojektiven über Ã_{5} ist entweder e_{6,1} oder e_{2,1} ein Isomorphismus – und dann die Behauptung richtig – oder diese beiden Abbildungen sind echte Injektionen und die restlichen Morphismen alles Isomorphismen. Dann ist die Behauptung ebenfalls klar: Es handelt sich ja – nach Identifizieren vermöge der Isomorphismen – um einen Kronecker-Modul, der wohlbekannt ist. Nun zu (7) und Unzerlegbaren aus dem Bild von C^{+}S: Behauptung 3: Sei U präprojektiv über Ẽ_{6}. Dann folgt aus Q = F_{1} + F_{2} + F_{3} + E_{1} ∩ E_{2} für U, daß in C^{+}U Bedingung (7) erfüllt ist. Beweis der Behauptung: Es ist E_{1}^{+} ∩ E_{3}^{+} = ker(F_{1} ⊕ E_{2} ⊕ F_{3} → Q), E_{2}^{+} = ker(E_{1} ⊕ F_{2} ⊕ E_{3} → Q) und F_{3}^{+} = ker(E_{1} ⊕ E_{2} → Q). Um (7) für C^{+}U zu verifizieren, genügt der Nachweis von F_{1}^{+} ⊆ E_{1}^{+} ∩ E_{3}^{+} + E_{2}^{+} + F_{3}^{+}. Sei also (0, e, −e) ∈ F_{1}^{+}, das heißt e ∈ E_{2} ∩E_{3}. Nach Voraussetzung gibt es Elemente f_{1}, f_{2}, f_{3} und e′ (f_{i} ∈ F_{i} und e′ ∈ E_{1} ∩ E_{2}), so daß e = f_{1} + f_{2} + f_{3} + e′. Somit ist f_{1} + f_{3} ∈ E_{2} ∩ (F_{1} + F_{3}), und

(0, e, −e) = (−f_{1}, f_{1} + f_{3}, −f_{3}) + (f_{1} + e′, f_{2}, −e + f_{3}) + (−e′, e′, 0),

wie gewünscht. Das ist Behauptung 3. Aber Q = F_{1} + F_{2} + F_{3} + E_{1} ∩ E_{2} ist eben für Präprojektive aus dem Bild von S verifziert worden; deshalb gilt also (7) für Präprojektive aus dem Bild von C^{+}S.

Für das nächste Lemma sei die Notation wie bisher.

Lemma 8.8.8 (∗) Notation wie in Definition 8.6. Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren über dem jeweiligen Köcher sind äquivalent:

i. Ẽ_{6} : � _{b_{3}}^{n} und Q = dom(X^{n}f) + F_{1} + F_{2} + F_{3}.

ii.

Ẽ_{7} : � _{b_{2}}^{n} und R = dom(X^{n}f) + G_{1} + G_{2} + W;
� _{b_{1}}^{n} und R = dom(X^{n}f) + F_{2} + W.

iii. Ẽ_{8} : � _{b_{3}}^{n} und P = dom(X^{n}f) + X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7};

� _{b_{2}}^{n} und P = dom(X^{n}f) + X ∩ Y_{3} + Y_{4} + Z_{7};
� _{b_{1}}^{n} und P = dom(X^{n}f) + Y_{4} + Z_{6}.

Beweis: Das folgt jeweils sofort mit Lemma 8.8.7, zum Beispiel Punkt i.: Es gelte Q = dom(X^{n}f) + F_{1} + F_{2} + F_{3}. Da dom(X^{n}f) ⊆ A_{1} = E_{1} ∩ E_{2}, folgt A_{1} = dom(X^{n}f) + (F_{1} + F_{2} + F_{3}) ∩ A_{1} = dom(X^{n}f) + im(g). Umgekehrt folgt aus � _{b_{3}}^{n} mit der Aussage Q = E_{1} ∩ E_{2} + F_{1} + F_{2} + F_{3} aus Lemma 8.8.7 Q = dom(X^{n}f) + im(g) + F_{1} + F_{2} + F_{3}, also Q = dom(X^{n}f) + F_{1} + F_{2} + F_{3}, wie gewünscht.

Lemma 8.8.9 (∗) Die � _{b_{i}}^{n} vererben sich unter Epimorphismen.

Beweis: Für die sechs in Lemma 8.8.8 betrachteten Serien � _{b_{i}}^{n} klar mit Lemma 8.8.8 und Tatsache 1.6.1. Für die übrigen � _{b_{i}}^{n} in den Fällen Ẽ_{6} und Ẽ_{7} mit entsprechenden Überlegungen. Im Falle D̃_{4} folgt das Lemma unmittelbar aus Tatsache 1.6.1.

Lemma 8.8.10 (∗) Gilt jedes � _{b_{i}}^{n}, n ≥ 0 und i = 3 bei Ẽ_{6}, bzw. i = 1, 2 bei Ẽ_{7} und i = 1, 2, 3 im Falle Ẽ_{8}, für fast alle Präprojektiven von Defekt −1, dann enthält der Abschluß jeder unendlichen Menge neuer Präprojektiver alle (sporadischen) 𝔭-adischen Unzerlegbaren.

Beweis: Wegen Lemma 8.8.9 und Lemma 8.8.6 überträgt sich die Gültigkeit der � _{b_{i}}^{n} von Unzerlegbaren mit Defekt −1 auf neue Unzerlegbare. Nun liefert Lemma 8.8.5 die Behauptung.

Damit ist auch der zweite Teil der Vorbereitungen für Satz 8.8.12 beendet (Punkt ii. der Beweisskizze). Es bleibt also der Nachweis der Bedingungen � _{b_{i}}^{n} für Unzerlegbare von Defekt −1. Dieser ist leider recht rechenaufwendig, denn zwar sind die Unzerlegbaren von Defekt −1 wegen Lemma 8.8.1 wohlbekannt; sie sind nämlich die Bilder der unzerlegbaren Kronecker-Moduln P_{i} (von Defekt −1) – definiert vor Lemma 5.1.5 – unter explizit gegebenen Funktoren. Aber diese Funktoren sind nur noch bei Ẽ_{6} einigermaßen überschaubar: Es gibt neun Funktoren H_{1}, …, H_{9} (siehe auch Seite 260) von Kronecker-Moduln zu Moduln über Ã_{5}, so daß jedes Unzerlegbare von Defekt −1 über Ã_{5} im Bild wenigstens eines dieser Funktoren ist (da von den je drei “Pfeilen” im bzw. gegen den Uhrzeigersinn bei Ã_{5}-Unzerlegbaren je genau einer ein Nichtisomorphismus ist). Dementsprechend benötigt man wegen Lemma 8.8.1 also 18 Funktoren für Ẽ_{6}, 72 für Ẽ_{7} und gar 144 für Ẽ_{8}; dabei sind im Falle Ẽ_{8} Funktoren wie (C^{+}S_{1})(C^{+}T_{7})(C^{+}S)H_{3} zu berücksichtigen, die durch das Auftreten der C^{+} als in höchstem Grade unerfreulich bezeichnet werden dürfen. Es scheint einfacher, die Bedingungen etwa für Ẽ_{8} in entsprechende für Ẽ_{7}, diese in solche für Ẽ_{6} etc. zu übersetzen (im Stile von Lemma 8.8.7, genauer: der Behauptungen im Beweis dieses Lemmas); diesen Weg habe ich eingeschlagen. – Hier also nun

Lemma 8.8.11 (∗) Für jedes n werden die � _{b_{i}}^{n}, i = 3 (bei Ẽ_{6}) bzw. i = 1, 2 (bei Ẽ_{7}) bzw. i = 1, 2, 3 (bei Ẽ_{8}) von fast allen Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt.

Nach Satz 8.8.12 wird erklärt, warum dies für jeden der vier Köcher für alle i = 1, 2, 3 gilt: Somit ergibt sich dann ein von Abschnitt 8.7 unabhängiger Beweis von Satz 8.8.12. Beweis: Siehe Abschnitt 9.2.

Aus Lemma 8.8.10, Lemma 8.8.11 (und Satz 8.7.3 im Falle des Köchers D̃_{4}) folgt nun

Satz 8.8.12 Sei Δ einer der standardorientierten Köcher D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}. Dann enthält der Abschluß jeder unendlichen Menge neuer Präprojektiver alle 𝔭-adischen Unzerlegbaren.

Damit ist wegen der Behauptung am Ende von Abschnitt 8.7 die Beschreibung der Topologie beendet.

Einige Bemerkungen:

1. Satz 8.8.12 gilt wegen Lemma 4.2.3 natürlich auch für beliebig orientierte D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8}, so die Begriffe “neu” etc. geeignet definiert werden.

2. Dehnt man die in diesem Abschnitt definierten Begriffe wie “neu” etc. in geeigneter Weise auf Moduln über einem der Ã_{n} (mit einer Orientierung ohne gerichtete Zyklen, so daß der Begriff “präprojektiv” definiert ist) oder D̃_{n} aus, dann bleibt Satz 8.8.12 ebenfalls richtig: Über Ã_{n}, n ≥ 2, und über D̃_{n}, n ≥ 5, gibt es dann gar keine neuen Präprojektiven, so daß der Satz trivialerweise gilt. Und über Ã_{1}, das heißt – wegen der Bedingung an die Orientierung – im Falle von Kronecker-Moduln, sind alle Präprojektiven neu; Satz 8.8.12 liefert damit das “maximale Häufungsverhalten” von Satz 8.2.1: Der Abschluß jeder unendlichen Menge Präprojektiver enthält alle 𝔭-adischen Unzerlegbaren.

3. Und der Beweis von Satz 8.8.12 benutzt die Ergebnisse von Abschnitt 8.7 nicht wirklich; Lemma 8.7.4 und Satz 8.7.3 werden nicht benötigt.

a. Zunächst zu Lemma 8.7.4: Die � _{b_{1}}^{n}, � _{b_{2}}^{n} (im Falle des Köchers Ẽ_{6}) und � _{b_{3}}^{n} (im Fall des Köchers Ẽ_{7}) werden nämlich im Beweis von Lemma 8.8.11 – in Abschnitt 9.2 – automatisch mitbewiesen. Denn � _{b_{i}} (i = 1, 2 bei Ẽ_{6}) – siehe auf Seite 238 im Beweis von Lemma 8.8.11 für die Definition der � _{b_{i}} – ist gerade die Bedingung iii. aus Behauptung 7 im Beweis von Lemma 8.8.11 (siehe Gleichungen (9), (10) und (11) auf Seite 233 im Beweis von Lemma 8.4.2), und � _{b_{3}}, im Falle des Köchers Ẽ_{7}, ist Bedingung i. aus Behauptung 2 im Beweis von Lemma 8.8.11 (siehe auf Seite 234 Gleichungen (15) und (16)). Deshalb gelten alle Behauptungen im Beweis von Lemma 8.8.11 stets für alle i = 1, 2, 3, unabhängig vom betrachteten Köcher Ẽ_{6}, Ẽ_{7} oder Ẽ_{8}. b. Und auch Satz 8.7.3 wird nicht gebraucht, denn für den Köcher D̃_{4} läßt sich natürlich ein Argument im Stile von Lemma 8.8.11 geben; für die im folgenden benutzte Notation siehe die Vorbemerkung zu Beginn von Abschnitt 9.2. Man betrachte etwa � _{b_{3}} für D̃_{4}: Der Fall b_{3} wird im Beweis von Lemma 8.4.2 ausführlich analysiert; Gleichungen (1) und (2) auf Seite 231 zeigen, daß � _{b_{3}} gerade die Bedingung

i. A_{1} = V_{2} ⟶^{V_{3}} V_{1} ⟶^{V_{4}} A_{1}

ist.

Mit Überlegungen analog den im Beweis von Lemma 8.8.11 ständig angestellten sieht man, daß i. für fast alle Unzerlegbaren von Defekt −1 (über D̃_{4}) erfüllt ist, wenn die folgenden beiden Bedingungen für fast alle Unzerlegbaren von Defekt −1, die im Bild des Funktors D = D_{1,2} liegen, zutreffen:

i. A_{1} = V_{2} ⟶^{V_{3}} V_{1} ⟶^{V_{4}} A_{1};

ii. A_{1} = V_{4} ⟶^{V_{1}} V_{3} ⟶^{V_{2}} A_{1}.

Diese beiden Bedingungen gelten nun aber für fast alle Unzerlegbaren im Bild von D, die Defekt −1 haben, wenn iii. und iv. für fast alle Ã_{3}-Unzerleg-baren (in Standardnotation) von Defekt −1 zutreffen, wobei

iii. A_{1} = W_{3} ⟶^{W_{2}} W_{1} ⟶^{W_{4}} A_{1} und

iv. A_{1} = W_{4} ⟶^{W_{1}} W_{2} ⟶^{W_{3}} A_{1}.

(Siehe Vorbemerkung c. zu Beginn von Abschnitt 9.2; hier sind die W_{i} als Unterräume von W_{1} ⊕W_{3} zu verstehen, etwa W_{2} als {(e_{2,1}(w_{2}), e_{2,3}(w_{2}), 0) | w_{2} ∈ W_{2}}.) Aber iii. bzw. iv. sind für solche Unzerlegbare äquivalent zu den folgenden Bedingungen v. bzw. vi.:

v. W_{3} ⟶^{Y} W_{3} mit Y = e_{4,3}e_{4,1}^{−1}e_{2,1}e_{2,3}^{−1};

vi. W_{4} ⟶^{Y} W_{4} mit Y = e_{4,1}^{−1}e_{2,1}e_{2,3}^{−1}e_{4,3}.

Und diese prüft man leicht wie im Beweis von Lemma 8.8.11 nach; siehe Behauptung 12 und 13 dort. – Damit ist nun verifiziert, daß der Beweis von Satz 8.8.12 ohne die Ergebnisse von Abschnitt 8.7 auskommt – und somit ist 3. beendet.

Hier – rückblickend – eine kurze Zusammenfassung des Beweises von Satz 8.8.12, die manchen Umweg vermeidet: Berechnet werden soll die Topologie von A. Abschnitt 8.2 zeigt, daß man im Falle von Kronecker-Moduln maximales Häufungsverhalten hat. In den übrigen Fällen D̃_{4}, Ẽ_{6}, Ẽ_{7} und Ẽ_{8} geht der Beweis so: Lemma 8.4.2 liefert eine pp-Äquivalenz zwischen der Modulklasse zu A_{b,b′} und gewissen m-Zyklen; so bekommt man Axiomatisierungen von 𝔭-adischen Unzerlegbaren modulo A_{b,b′}. Weil “der Baur-Funktor abspaltet”, sind dies Axiomatisierungen modulo A. Und zwar Axiomatisierungen, die man aus einer Axiomatisierung eines 𝔭-adischen k[X]-Moduls durch eventuelles Hinzufügen eines einzigen Axioms erhält; X ist dabei eine partielle Operation, die auf Präprojektiven torsionsfrei ist. Also sind Prüfer jedenfalls nicht im Abschluß einer unendlichen Menge (neuer) präprojektiver Unzerlegbarer. Lemma 8.6.5 und Abschnitt 8.7 kann man getrost weglassen. Lemma 8.8.3 bzw. Lemma 8.8.4 zeigt, daß man nur gewisse Gleichungen verifizieren muß. (Dies Argument funktioniert auch bei gewöhnlichen 𝔭-adischen.) Und in Abschnitt 8.8 werden diese Gleichungen bestätigt.

Eine Beschreibung der Topologie von einem etwas anderen Standpunkt aus gibt der folgende Satz 8.8.13: Für das sporadische 𝔭-adische Unzerlegbare Ũ_{Φ} sei mit O(Ũ_{Φ}) die offene Umgebung (x = x/ ∑_{φ∈Φ} φ) bezeichnet, so daß also ein präprojektives Unzerlegbares genau dann in O(Ũ_{Φ}) liegt, wenn es γ_{Φ}^{Σ} nicht erfüllt. (Die Schreibweise (x = x/ ∑_{φ∈Φ} φ) macht natürlich nur für Unterraumsysteme Sinn, aber das stört hier nicht, zum einen, weil es auf endlich viele (isolierte) Unzerlegbare sowieso nicht ankommt, zum anderen, weil Präprojektive und 𝔭-adische, denen hier das Augenmerk gilt, ja Unterraumsysteme sind.) Zusammenfassend ergibt sich so

Satz 8.8.13 U sei eine unendliche Menge präprojektiver Unzerlegbarer. Dann gilt:

i. \overline{U} enthält alle gewöhnlichen 𝔭-adischen Unzerlegbaren und Q.

ii. Genau dann gilt Ũ_{Φ} ∈ \overline{U}, wenn unendlich viele der Präprojektiven aus U in O(Ũ_{Φ}) liegen.

Beweis: Teil i. ist nur Lemma 8.6.5. Um nicht in Notationschaos zu geraten, gebe ich für Teil ii. das Argument nur im Falle eines der Ũ_{b′′} = Ũ_{Φ}. Mit Lemma 8.8.11 folgt dann aus Lemma 8.8.3 (und den Bezeichnungen wie dort), daß Ũ_{b′′} ∈ \overline{U} gilt, falls in unendlich vielen der Präprojektiven aus U die Abbildung g nicht surjektiv ist. Die Entsprechungen aus dem Beweis von Lemma 8.4.2 aber – sie gelten für beliebige Unzerlegbare aus A – zeigen, daß g in einem Präprojektiven genau dann nicht surjektiv ist, wenn dieses γ_{Φ}^{Σ} nicht erfüllt – dies ist ja gerade die Definition von Ũ_{b′′} (siehe unmittelbar vor Korollar 8.4.5 auf Seite 183). Also ist Ũ_{b′′} ∈ \overline{U} genau dann, wenn unendlich viele der Präprojektiven aus U die Aussage γ_{Φ}^{Σ} nicht erfüllen, das heißt in O(Ũ_{Φ}) liegen.

Blut, Schweiß und Tränen

Dieses Kapitel enthält die Beweise zweier zentraler Lemmata, Rechnungen eigentlich, die zwar elementar aber recht lang sind, so daß sie den Fluß des Haupttextes sehr behindert hätten. Auf diese beiden Lemmata bin ich ein bißchen stolz! Auch in diesem Kapitel tragen die meisten Aussagen einen Stern (für dessen Bedeutung siehe Beginn von Kapitel 5), allein schon deshalb, weil nur Unterraumsysteme betrachtet werden. Bei geeigneter Interpretation der Begriffe könnte aber bei Lemma 8.4.2, das im ersten Abschnitt bewiesen wird, leicht auf (∗) verzichtet werden.

9.1 Beweis von Lemma 8.4.2

Hier wird Lemma 8.4.2 bewiesen; außerdem enthält dieser Abschnitt noch die Definition einiger Funktoren, sowie wichtige Eigenschaften, die dann in den Beweis des Lemmas einfließen. Die Funktoren H, H′, J, J′, ebenso wie alle Lemmata dieses Teils sind neu; alle anderen Funktoren sind wie in Kapitel 5.

Lemma 9.1.1 (= Lemma 8.4.2) Sei {b, b′, b′′} = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}, sei |b′′| = m. Dann ist die A_{b,b′} entsprechende Klasse von Moduln pp-äquivalent zu einer abgeschlossenen Klasse von m-Zyklen. Dabei entsprechen die sporadischen 𝔭-adischen aus A_{b,b′} gerade den (X)-adischen m-Zyklen. Zusatz: Die Klasse von m-Zyklen besteht genau aus denjenigen Zyklen, für die alle f_{i} injektiv und ein (alle) X_{i} + ϵ bijektiv sind.

Man beachte bei den folgenden Überlegungen die Bedeutung von (∗) (siehe die Vereinbarung zu Beginn von Kapitel 5).

Der Beweis hat zwölf Teile (entsprechend den vier Köchern und jeweils drei möglichen Mengen {b, b′}). Die pp-Äquivalenzen werden in zehn der zwölf Fälle durch geeignete Kompositionen von Funktoren aus Kapitel 5 gegeben; für die Fälle b′′ = b_{1} = {{E_{1}, G_{2}}, {F_{2}, W }, {E_{2}, G_{1}}, {F_{1}, W }} bei Ẽ_{7} und b′′ = b_{1} = {{Y_{3}, Z_{8}}, {X, Z_{7}}, {Y_{4}, Z_{6}}, {X, Y_{3} ∩ Z_{5}}, {X, Y_{4}, Z_{9}}} bei Ẽ_{8} benötigen wir neue – nicht in [DF 73] enthaltene – Funktoren, die nun, vor dem eigentlichen Beweis, definiert werden sollen:

Definition 9.1 (∗)

i. H sei der Funktor, der einen 4-Zyklus der Form

[figure: A_{4}; A_{1}; A_{2}; A_{3}; f_{1}; f_{3}; f_{2}; f_{4}]

abbildet auf die Ẽ_{7}-Darstellung (ein Unterraumsystem)

[figure: A_{1}⊕ … ⊕A_{4}; A_{1}⊕A_{2}⊕A_{3}; A_{1}⊕A_{2}; f_{1}; f_{2} ⊕ f_{4}; A_{1}⊕A_{3}⊕A_{4}; A_{3}⊕A_{4}; f_{3}]

Dabei sei f_{i} eine Abkürzung für graph(f_{i}).

ii. H′ sei der Funktor, der eine Ẽ_{7}-Darstellung (ein Unterraumsystem)

[figure: R; E_{2}; F_{2}; G_{2}; E_{1}; F_{1}; G_{1}; W]

die γ_{b_{3}}^{∩} ∧ γ_{b_{3}}^{Σ} erfüllt (das heißt R = W ⊕(E_{i}∩F_{j})⊕G_{i} für {i, j} = {1, 2}), abbildet auf

[figure: F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1}); E_{2} ∩ F_{1}; F_{1} ∩ (W ∩ E_{1} + F_{2}); E_{1} ∩ F_{2}; π_{3}−1; π′_{3}−1; −π_{2}; −π′_{2}]

Dabei seien π_{1}, π_{2}, π_{3} (bzw. π′_{1}, π′_{2}, π′_{3}) die Projektionen auf die erste, zweite und dritte Koordinate in R = W ⊕ E_{1} ∩ F_{2} ⊕ G_{1} (bzw. in

R = W ⊕ E_{2}∩F_{1} ⊕ G_{2}).

H′ ist wohldefiniert: Für x ∈ R gilt, daß (π_{3} − 1)x ∈ W + E_{1} ∩ F_{2}. Ist x ∈ E_{2} ∩ F_{1}, so folgt aus π_{3}x ∈ G_{1} und x ∈ F_{1}, daß (π_{3} − 1)x ∈ F_{1}; aber F_{1} ∩ (W + E_{1} ∩ F_{2}) = F_{1} ∩ (W ∩ E_{1} + F_{2}). – Äquivalent wäre gewesen, die Abbildungen f_{1} = π_{3} − 1, f_{2} = −π_{2}, f_{3} = π′_{3} − 1 und f_{4} = −π′_{2} zu definieren als

f_{1}(a_{1}) = a_{2}, falls a_{1} + a_{2} ∈ G_{1},
f_{2}(a_{2}) = a_{3}, falls a_{2} + a_{3} ∈ W,
f_{3}(a_{3}) = a_{4}, falls a_{3} + a_{4} ∈ G_{2} und
f_{4}(a_{4}) = a_{1}, falls a_{4} + a_{1} ∈ W.

Wie bereits erwähnt, werden nur Unterraumsysteme betrachtet, was durch die Formulierung des nächsten Lemmas schon impliziert wird; unter anderem daher der (∗).

Lemma 9.1.2 (∗)

i. H und H′ sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen 4-Zyklen und Ẽ_{7}-Darstellungen, die γ_{b_{3}}^{∩} ∧ γ_{b_{3}}^{Σ} ∧ γ_{{F_{1},F_{2}}}^{∩} ∧ γ_{{F_{1},F_{2}}}^{Σ} ∧ γ_{{E_{1}∩E_{2},W }}^{∩} ∧ γ_{{E_{1}∩E_{2},W }}^{Σ} erfüllen (das heißt R = W ⊕ (E_{i} ∩ F_{j}) ⊕ G_{i} = F_{1} ⊕ F_{2} = (E_{1} ∩ E_{2}) ⊕ W für {i, j} = {1, 2}).

ii. Sei M ein 4-Zyklus in der Notation wie eben. A_{2} wird durch X := f_{1}f_{4}f_{3}f_{2} zu einem k[X]-Modul. Dann ist in der folgenden Liste die Abbildung links in M injektiv (bzw. surjektiv) genau dann, wenn die Summe der Unterräume rechts in H(M) direkt ist (bzw. gleich R):

\begin{matrix}f_{1} & E_{2}, G_{1} \\ f_{2} & F_{1}, W \\ f_{3} & E_{1}, G_{2} \\ f_{4} & F_{2}, W \\ X − 1 & G_{1}, G_{2}, W \end{matrix}

Statt A_{2} könnte man auch ein anderes A_{i} betrachten. – Die Bedingungen in der rechten Spalte sind natürlich auch als gewisse γ_{Φ}^{∩} bzw. γ_{Φ}^{Σ} formulierbar.

– Vor dem Beweis noch ein kleines

Lemma 9.1.3 (∗) Für Ẽ_{7}-Darstellungen folgt aus R = F_{1} ⊕ F_{2} = (E_{1} ∩ E_{2}) ⊕ W, daß

R = E_{2}∩F_{1} ⊕ F_{1}∩(W ∩ E_{1} + F_{2}) ⊕ E_{1}∩F_{2} ⊕ F_{2}∩(W ∩ E_{2} + F_{1}).

Beweis: (von Lemma 9.1.3) Aus Symmetriegründen und wegen R = F_{1}⊕F_{2} genügt es zu zeigen, daß F_{1} direkte Summe der ersten beiden Summanden der rechten Seite der behaupteten Gleichung ist, das heißt daß F_{1} = E_{2} ∩ F_{1} ⊕ F_{1} ∩ (W ∩ E_{1} + F_{2}). Direktheit: E_{2} ∩F_{1} ∩(W ∩E_{1} +F_{2}) = F_{1} ∩(W ∩E_{1} ∩E_{2} +F_{2}) = F_{1} ∩F_{2} = 0. Summe: Sei x ∈ F_{1}; es gibt also e ∈ E_{1} ∩ E_{2} und w ∈ W mit x = e + w, insbesondere w ∈ W ∩ E_{1}. Aber w läßt sich schreiben als w = x_{1} + x_{2} mit x_{i} ∈ F_{i}. Also x_{1} = w−x_{2} ∈ F_{1}∩(W ∩E_{1}+F_{2}) und F_{1} ∋ x−x_{1} = e+x_{2} ∈ E_{2}, somit x = x_{1} + (e + x_{2}) wie gewünscht.

Beweis: (von Lemma 9.1.2) Daß für Moduln im Bild von H die Bedingungen R = W ⊕ (E_{i}∩F_{j}) ⊕ G_{i} = F_{1} ⊕ F_{2} = E_{1}∩E_{2} ⊕ W für {i, j} = {1, 2} aus i. erfüllt sind, ist ebenso klar, wie die ersten vier Äquivalenzen aus ii. Die letzte Äquivalenz in ii. sieht man so: G_{1} +G_{2} +W ist für Moduln aus dem Bild von H genau dann direkt, wenn W ∩(G_{1}+G_{2}) = 0. Und jedes x ∈ W ∩(G_{1}+G_{2}) hat die Form

x = (a_{1}, f_{1}(a_{1}), a_{3}, f_{3}(a_{3})) = (f_{4}(a_{4}), a_{2}, f_{2}(a_{2}), a_{4})

mit a_{i} ∈ A_{i}, das heißt a_{2} = f_{1}(a_{1}) = … = f_{1}f_{4}f_{3}f_{2}(a_{2}), also (X − 1)a_{2} = 0. Die Umkehrung und die Überlegung für die Summe sind genauso. Das ist ii.

Daß H′H pp-isomorph zu 1 ist, ist ganz leicht. Sei nun M eine Ẽ_{7}- Darstellung wie in Definition 9.1 (mit Universum R), sei das Universum von HH′(M) für den Augenblick mit R^{H′H} bezeichnet; entsprechend für die E_{i}, F_{i}, G_{i}. Dann zeigt Lemma 9.1.3 gerade, daß R ≃ R^{H′H}, und es genügt zu zeigen, daß dieser Isomorphismus durch Einschränken Isomorphismen E_{i} ≃ E_{i}^{H′H}, F_{i} ≃ F_{i}^{H′H} und G_{i} ≃ G_{i}^{H′H} induziert. Aber E_{1}^{H′H} = E_{2} ∩ F_{1} + F_{1} ∩ (W ∩ E_{1} + F_{2}) + E_{1} ∩ F_{2} ⊆ E_{1}; die Umkehrung ist klar mit Lemma 9.1.3 und E_{1} ∩ (F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1})) = 0. Die Gleichung F_{1}^{H′H} = F_{1} wurde im Beweis von Lemma 9.1.3 gezeigt. Und G_{1}^{H′H} = graph(π_{3} − 1) ⊆ G_{1}; umgekehrt ist jedes x ∈ G_{1} wegen F_{1} = F_{1}^{H′H} von der Form x = a_{1} + a_{2} mit a_{1} ∈ E_{2} ∩ F_{1} und a_{2} ∈ F_{1} ∩ (W ∩ E_{1} + F_{2}), somit (π_{3} − 1)a_{1} = x − a_{1} = a_{2}, also x ∈ graph(π_{3} − 1). Daß man so ein Paar von pp-Äquivalenzen erhält, ist klar.

Es gilt, für 5-Zyklen und geeignete Ẽ_{8}-Darstellungen nun eine entsprechende Rechnung durchzuführen; leider sind die Funktoren und die Beweise in diesem Fall nicht so übersichtlich und einfach:

Definition 9.2 (∗)

i. J sei der Funktor, der einen 5-Zyklus

[figure: A_{5}; A_{1}; A_{2}; A_{4}; A_{3}; f_{1}; f_{4}; f_{5}; f_{2}; f_{3}]

auf die Ẽ_{8}-Darstellung (ein Unterraumsystem)

[figure: P; Z_{5}; Z_{6}; Z_{7}; Z_{8}; Z_{9}; Y_{3}; Y_{4}; X]

abbildet, mit

P = A_{1} ⊕ A_{2} ⊕ A_{3} ⊕ A_{4} ⊕ A_{5} ⊕ B_{f_{1}}, wobei B_{f_{1}} := A_{1}⊕A_{2}/graph(f_{1}), Y_{3} = A_{1} ⊕ A_{2} ⊕ A_{3} ⊕ A_{5}, Y_{4} = graph(f_{2}) ⊕ graph(f_{5}), X = graph(f_{4}) ⊕ Δ, wobei P ⊇ Δ := \{(a_{1}, a_{2}, 0, 0, 0, \overline{(a_{1}, a_{2})}) | a_{i} ∈ A_{i}\}, Z_{5} = A_{1} ⊕ A_{3} ⊕ A_{4} ⊕ A_{5} ⊕ B_{f_{1}}, Z_{6} = A_{3} ⊕ A_{4} ⊕ A_{5} ⊕ B_{f_{1}}, Z_{7} = A_{3} ⊕ A_{4} ⊕ B_{f_{1}}, Z_{8} = graph(f_{3}) ⊕ B_{f_{1}}, Z_{9} = B_{f_{1}}.

ii. Sei J′ der Funktor, der eine Ẽ_{8}-Darstellung (ein Unterraumsystem), die den Bedingungen γ_{b_{2}}^{∩} ∧ γ_{b_{2}}^{Σ} ∧ γ_{{Y_{4}∩Z_{5},Y_{3}∩Z_{7},X,Z_{9}}}^{∩} ∧ γ_{{Y_{4}∩Z_{5},Y_{3}∩Z_{7},X,Z_{9}}}^{Σ} genügt, abbildet auf den 5-Zyklus

[figure: A_{5}; A_{1}; A_{2}; A_{4}; A_{3}; f_{1}; f_{4}; f_{5}; f_{2}; f_{3}]

mit

A_{1} = Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}),
A_{2} = (Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7}) ∩ (X + Z_{9}),
A_{3} = Y_{3} ∩ Z_{7},
A_{4} = Z_{7} ∩ [X ∩ Z_{6} + Y_{3}(∩Z_{6}) ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5})],
A_{5} = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5})

(also A_{4} = Z_{7} ∩ (X ∩ Z_{6} + A_{5})) und Morphismen f_{i}, die wie folgt definiert seien: π_{1}, π_{2}, π_{3} (bzw. π′_{1}, π′_{2}, π′_{3}, bzw. π′′_{1}, π′′_{2}, π′′_{3}, bzw. ν_{1}, ν_{2}, ν_{3}, ν_{4}) seien die Projektionen auf die erste, zweite, dritte bzw. vierte Koordinate in P = X ∩Z_{5} ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{8} (bzw. P = X ∩Y_{3} ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{7}, bzw. P = Y_{3}∩Z_{6} ⊕ X ⊕ Z_{9}, bzw. P = Y_{4}∩Z_{5} ⊕ Y_{3}∩Z_{7} ⊕ X ⊕ Z_{9}). Dann sei

f_{1} = π′_{1} − 1,
f_{2} = −π′_{3},
f_{3} = π_{3} + π′′_{3}π_{2} − 1,
f_{4} = −π′′_{1},
f_{5} = ν_{1} − 1.

Der Funktor J′ ist wohldefiniert:

1. Sei a_{1} ∈ A_{1}; es ist Y_{3} ∋ π′_{1}(a_{1})−a_{1} = f_{1}(a_{1}) = −π′_{2}(a_{1})−π′_{3}(a_{1}) ∈ Y_{4}+Z_{7}, also f_{1}(a_{1}) ∈ Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7}. Da a_{1} ∈ X + Z_{9} und π′_{1}(a_{1}) ∈ X ∩ Y_{3} ⊆ X + Z_{9}, ist f_{1}(a_{1}) ∈ A_{2} wie gewünscht.

2. −π′_{3}(a_{2}) ∈ Z_{7} und mit a_{2} ∈ Y_{3} sogar −π′_{3}(a_{2}) ∈ Y_{3} ∩ Z_{7}.

3. Sei a_{3} ∈ A_{3}; es ist Z_{7} ⊇ Z_{8} + Z_{9} + Z_{7} ∋ π_{3}(a_{3}) + π′′_{3}π_{2}(a_{3}) − a_{3} = f_{3}(a_{3}) = −π_{1}(a_{3}) − π_{2}(a_{3}) + π′′_{3}π_{2}(a_{3}) = −π_{1}(a_{3}) − π′′_{1}π_{2}(a_{3}) − π′′_{2}π_{2}(a_{3}) = (−π_{1}(a_{3}) − π′′_{2}π_{2}(a_{3})) − π′′_{1}π_{2}(a_{3}). Dabei ist (−π_{1}(a_{3}) − π′′_{2}π_{2}(a_{3})) ∈ X, und wegen a_{3}, π′′_{1}π_{2}(a_{3}) ∈ Z_{6} folgt sogar (−π_{1}(a_{3}) − π′′_{2}π_{2}(a_{3})) ∈ X ∩ Z_{6}. Da π_{2}(a_{3}) ∈ Y_{4} ∩ Z_{5}, ist π′′_{1}π_{2}(a_{3}) ∈ Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5}).

4. Sei a_{4} ∈ A_{4}. Es gilt a_{4}, (π′′_{2}(a_{4}) + π′′_{3}(a_{4})) ∈ X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5}, also X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5} ∋ (π′′_{2}(a_{4}) + π′′_{3}(a_{4})) − a_{4} = −π′′_{1}(a_{4}) ∈ Y_{3} ∩ Z_{6}.

5. Sei a_{5} ∈ A_{5}; also a_{5} ∈ X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5} und somit ν_{2}(a_{5}) = 0. Damit folgt X+Z_{9} ∋ −ν_{3}(a_{5})−ν_{4}(a_{5}) = −ν_{2}(a_{5})−ν_{3}(a_{5})−ν_{4}(a_{5}) = ν_{1}(a_{5})−a_{5} ∈ Y_{3}∩Z_{5}, da beide ν_{1}(a_{5}), a_{5} ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}. Äquivalent zu den eben gegebenen Definitionen der f_{i} sind

f_{1}(a_{1}) = a_{2}, falls a_{1} + a_{2} ∈ X,
f_{2}(a_{2}) = a_{3}, falls a_{2} + a_{3} ∈ Y_{4},
f_{3}(a_{3}) = a_{4}, falls a_{3} + a_{4} ∈ Z_{8},
f_{4}(a_{4}) = a_{5}, falls a_{4} + a_{5} ∈ X ∩ Z_{6} und
f_{5}(a_{5}) = a_{1}, falls a_{5} + a_{1} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5}.

So erklärt sich auch die Vorzeichenwahl in der obigen Definition der f_{i}.

Lemma 9.1.4 (∗)

i. J und J′ sind ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen 5-Zyklen und Ẽ_{8}-Darstellungen, die γ_{b_{2}}^{∩}∧γ_{b_{2}}^{Σ}∧γ_{{Y_{4}∩Z_{5},Y_{3}∩Z_{7},X,Z_{9}}}^{∩}∧γ_{{Y_{4}∩Z_{5},Y_{3}∩Z_{7},X,Z_{9}}}^{Σ} erfüllen, das heißt für die gilt:

\begin{matrix}P = X ∩Z_{5} ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{8} & (1) \\ P = X ∩Y_{3} ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{7} & (2) \\ P = Y_{3}∩Z_{6} ⊕ X ⊕ Z_{9} & (3) \\ P = Y_{4}∩Z_{5} ⊕ Y_{3}∩Z_{7} ⊕ X ⊕ Z_{9} & (4). \end{matrix}

ii. Sei M ein 5-Zyklus in der Notation wie eben; A_{5} wird durch X := f_{4}f_{3}f_{2}f_{1}f_{5} zu einem k[X]-Modul. Dann sind in der folgenden Liste die Abbildungen links in M injektiv (bzw. surjektiv) genau dann, wenn die Summe der Unterräume rechts in J(M) direkt ist (bzw. gleich P):

\begin{matrix}f_{1} & X ∩Y_{3}, X ∩Z_{5}, Y_{3}∩Z_{5} \\ f_{2} & X, Y_{4}, Z_{9} \\ f_{3} & Y_{3}, Z_{8} \\ f_{4} & X, Z_{7} \\ f_{5} & Y_{4}, Z_{6} \\ X + 1 & X ∩Y_{3}, X ∩Z_{6}, Y_{4}, Z_{8} \end{matrix}

Es gelten die entsprechenden Bemerkungen wie nach Lemma 9.1.2. Im folgenden Beweis wird reichlich von (∗) Gebrauch gemacht: Unter anderem werden die Gleichungen aus Lemma 5.5.2 kommentarlos verwandt. Beweis: Daß Ẽ_{8}-Darstellungen der Form J(M) die Gleichungen (1) bis (4) aus Teil i. des Lemmas erfüllen, ist eine einfache Rechnung; ebenso einfach ist der Nachweis, daß J′J pp-isomorph zu 1 ist und daß die Entsprechungen aus Teil ii. gelten. Hier beschränke ich mich auf den leider mühsamen Beweis, daß JJ′ pp-isomorph zu 1 ist. Der Beweis ist in mehrere Zwischenbehauptungen gegliedert. Sei M eine Ẽ_{8}-Darstellung, die den Bedingungen (1) bis (4) aus dem Lemma genügt; mit A_{1}, …, A_{5} und f_{1}, …, f_{5} seien die Vektorräume und Morphismen im 5-Zyklus J′(M) gemeint. Ich übernehme auch die Bezeichnungen für die Projektionen aus Definition 9.2.

Behauptung 1: A_{1} + … + A_{5} ist direkt. Beweis der Behauptung: A_{1} ∩ A_{2} = (Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7}) ∩ (X + Z_{9}) ∩ Z_{5} = (Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7}) ∩ (X + Z_{9}) = 0 wegen (4). (A_{1} + A_{2}) ∩ A_{3} ⊆ (X + Z_{9}) ∩ (Y_{3} ∩ Z_{7}) = 0 wegen (4). A_{4} ∩ A_{5} ⊆ (Y_{3} ∩ Z_{7}) ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5}) = 0 wegen (4). Und (A_{1}+A_{2}+A_{3})∩(A_{4}+A_{5}) = 0 sieht man so ein: Sei a_{1}+a_{2}+a_{3} = a_{4}+a_{5} mit a_{i} ∈ A_{i} gegeben; also Z_{7} ∋ a_{4}−a_{3} = a_{1}+a_{2}−a_{5} ∈ Y_{3}∩(X+Z_{9}+Y_{4}∩Z_{5}), wegen (4) somit a_{4}−a_{3} = a_{1}+a_{2}−a_{5} = 0. Folglich a_{3} = a_{4} ∈ (Y_{3}∩Z_{7})∩(X+ Z_{9}+Y_{4}∩Z_{5}) = 0, also a_{3} = a_{4} = 0 und a_{1}+a_{2} = a_{5} ∈ (X+Z_{9})∩(Y_{3}∩Z_{6}) = 0 wegen (3). Damit ist a_{5} = 0 und a_{4} + a_{5} = 0. Behauptung 2: −ν_{4} induziert einen surjektiven Morphismus σ : A_{1}+A_{2} → Z_{9} mit ker(σ) = graph(f_{1}). Beweis der Behauptung: Ich argumentiere mit ν_{4}; es ist a_{1} + a_{2} ∈ graph(f_{1}) genau dann, wenn a_{1} + a_{2} = π′_{1}(a_{1}) ∈ X ∩ Y_{3} ⊆ X, also gilt graph(f_{1}) ⊆ ker(ν_{4}). Umgekehrt gilt für a_{1} + a_{2} ∈ A_{1} + A_{2} ⊆ Y_{3} ∩ (X + Z_{9}) aus ker(ν_{4}), daß a_{1} + a_{2} ∈ X ∩ Y_{3}. Und a_{1} − (a_{1} + a_{2}) = −a_{2} ∈ Y_{4} + Z_{7}, somit ist dann a_{1} + a_{2} = π′_{1}(a_{1}) und a_{1} + a_{2} ∈ graph(f_{1}). – Zur Surjektivität: Wegen (2) ist Y_{3} ⊆ X ∩ Y_{3} + Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7}, also X, Y_{3} ⊆ X + Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7} und P = X +Y_{3} = Y_{3} ∩Z_{7} +X +Y_{4}; jedes z ∈ Z_{9} hat also die Form z = y +x+y′ mit y + y′ ∈ A_{2} und ν_{4}(y + y′) = ν_{4}(z − x) = z. Behauptung 3: Y_{3} ∩ (X + Z_{9}) = A_{1} + A_{2}. Beweis der Behauptung: Die Inklusion ⊇ ist klar. Die Umkehrung zeige ich in mehreren Schritten, leider etwas umständlich, wie mir scheint: i. Y_{4} ∩ Z_{5} ⊆ A_{1} + A_{5}: Wegen (3) ist y ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} von der Form y = y′ + x + z mit y′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{6}, x ∈ X und z ∈ Z_{9}, also x + z ∈ Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}) = A_{1} und y′ ∈ A_{5}. ii. Y_{4} ⊆ A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{5}: Sei y = y_{1} + y_{2} + x + z eine Zerlegung gemäß (4), insbesondere also x + z ∈ (X + Z_{9}) ∩ (Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7}) = A_{2}, y_{2} ∈ A_{3} und y_{1} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5}. Nun i. iii. Y_{3} ∩ Z_{6} ⊆ A_{3} + A_{5} wegen (4). iv. X ∩ Y_{3} ⊆ A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{5}: Sei für x ∈ X ∩ Y_{3} eine Zerlegung gemäß (1) gegeben durch x = x′ + y + z. Dann Y_{3} ∋ x − y = z + x′ ∈ Z_{5}, also z+x′ ∈ Y_{3}∩Z_{5}. Gleichung (3) ergibt nun z+x′ ∈ Y_{3}∩Z_{6}+(X+Z_{9})∩Y_{3}∩Z_{5} = Y_{3} ∩ Z_{6} + A_{1} ⊆ A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{5} wegen iii. Nun liefert ii. das Gewünschte, da y ∈ Y_{4}. v. Y_{3} ∩(X +Z_{9}) ⊆ A_{1} +A_{2} +A_{3} +A_{5}: Denn wegen (2) hat y ∈ Y_{3} ∩(X +Z_{9}) die Gestalt y = x + y′ + z, mit x ∈ X ∩ Y_{3}, y′ ∈ Y_{4} und z ∈ Z_{7}. Also z ∈ Y_{3} ∩ Z_{7} und Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7} ∋ y′ + z = y − x ∈ X + Z_{9}, somit y′ + z ∈ A_{2}. Und y = (y′ + z) + x ⊆ A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{5} mit iv. Nun ist aber A_{3} + A_{5} ⊆ Y_{3} ∩ Z_{6}, also wegen (3) Y_{3} ∩ (X + Z_{9}) ∩ (A_{3} + A_{5}) ⊆ Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9}) = 0 und folglich Y_{3} ∩ (X + Z_{9}) ⊆ A_{1} + A_{2}: Damit ist Behauptung 3 bewiesen. Behauptung 4: Y_{3} = A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{5}. Beweis der Behauptung: Aus (3) folgt Y_{3} = (Y_{3} ∩ Z_{6}) + Y_{3} ∩ (X + Z_{9}); wegen Behauptung 3 und Punkt iii. in deren Beweis also ⊆. Die Umkehrung ist klar. Behauptung 5: Y_{3} + (X ∩ Z_{6}) = A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4} + A_{5}. Beweis der Behauptung: Da A_{4} ⊆ Y_{3}+(X∩Z_{6}), genügt es wegen Behauptung 4 zu zeigen, daß Teilbehauptung: X ∩ Z_{6} ⊆ A_{4} + A_{5}.

Beweis der Teilbehauptung: x ∈ X ∩ Z_{6} hat mit (2) die Form x = x′ + y + z mit x′ ∈ X ∩ Y_{3}, y ∈ Y_{4} und z ∈ Z_{7}. Somit ist x′ + y = x − z ∈ Z_{6}, also ∈ Y_{3} ∩ Z_{6}. Wegen (4) läßt sich x′ + y schreiben als x′ + y = a_{5} + y′, a_{5} ∈ A_{5} und y′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{7}. Also x = (x′ + y) + z = a_{5} + (y′ + z) mit y′ + z ∈ Z_{7} ∩ (X ∩ Z_{6} + A_{5}) = A_{4}, wie gewünscht.

Behauptung 6: P = (X ∩ Z_{6}) ⊕ Y_{3} ⊕ Z_{9}.

Beweis der Behauptung: Dies folgt ganz leicht aus (3) und P = (X ∩ Z_{6}) + Y_{3} + Z_{8} (Lemma 5.5.2).

Sei nun analog zum Beweis von Lemma 9.1.2 das Universum von JJ′(M) mit P^{J′J} bezeichnet, entsprechend für X, Y_{i} und Z_{i}. Dann folgt

P = (X ∩ Z_{6}) ⊕ Y_{3} ⊕ Z_{9}  wegen Behauptung 6
= (A_{1} + A_{2} + A_{3} + A_{4} + A_{5}) ⊕ Z_{9} wegen Behauptung 5
= A_{1} ⊕ A_{2} ⊕ A_{3} ⊕ A_{4} ⊕ A_{5} ⊕ Z_{9} wegen Behauptung 1
≃ A_{1} ⊕ A_{2} ⊕ A_{3} ⊕ A_{4} ⊕ A_{5} ⊕ B_{f_{1}} wegen Behauptung 2
= P^{J′J}.

Es bleibt nur noch zu zeigen, daß dieser Isomorphismus durch Einschränken Isomorphismen zwischen X und X^{J′J}, zwischen den Y_{i} und Y_{i}^{J′J} und zwischen den Z_{i} und Z_{i}^{J′J} induziert. (Daß sich dann ein Paar von pp-Äquiva-lenzen ergibt, ist klar.)

Behauptung 7: Y_{i} = Y_{i}^{J′J} für i = 3, 4.

Beweis der Behauptung: Für i = 3 ist dies gerade Behauptung 4; für i = 4 ist Y_{4} = graph(f_{2})+graph(f_{5}) zu zeigen. Ich benutze dafür und im folgenden die – unbewiesenen, aber sehr leicht zu verifizierenden – Beschreibungen der f_{i} vor Lemma 9.1.4. Also ist die Inklusion ⊇ schon klar. Sei nun y ∈ Y_{4}. Der Beweis von ii. im Beweis von Behauptung 3 zeigt, daß y = y_{1} + y_{2} + x + z mit x + z ∈ A_{2}, y_{2} ∈ A_{3} und (x + z) + y_{2} = y − y_{1} ∈ Y_{4}, also daß x + z + y_{2} ∈ graph(f_{2}) und y_{1} ∈ Y_{4} ∩ Z_{5}. Der Beweis von i. dort wiederum zeigt, daß y_{1} ∈ A_{1} + A_{5}, also y_{1} ∈ graph(f_{5}).

Behauptung 8: Z_{i} ≃ Z_{i}^{J′J} (durch den oben angegebenen Isomorphismus), i = 5, 6, 7, 8, 9.

Beweis der Behauptung: Der oben angegebene Isomorphismus zwischen P und P^{J′J} induziert gerade σ^{−1} : Z_{9} → B_{f_{1}} (siehe Behauptung 2). Da Z_{9} ⊆ Z_{i} und P = (X ∩ Z_{6} + Y_{3}) ⊕ Z_{9}, genügt es zu zeigen, daß

Z_{8} ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3}) = graph(f_{3}),
Z_{7} ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3}) = A_{3} + A_{4},
Z_{6} ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3}) = A_{3} + A_{4} + A_{5} und
Z_{5} ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3}) = A_{1} + A_{3} + A_{4} + A_{5}.

Dabei ist die Inklusion ⊇ stets klar.

Sei nun x + y ∈ Z_{8} ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3}), mit x ∈ X ∩ Z_{6} und y ∈ Y_{3}. Sei y = y_{1} + y_{2} + x′ + z eine Zerlegung gemäß (4), also y_{2} ∈ Y_{3} ∩ Z_{7} = A_{3}; weiter ist Y_{3} ∩Z_{6} ∋ y −y_{2} = y_{1} +x′ +z ∈ Y_{4} ∩Z_{5} +X +Z_{9}, somit x+(y −y_{2}) ∈ A_{4}. Da x + (y − y_{2}) + y_{2} = x + y ∈ Z_{8}, ist x + y ∈ graph(f_{3}). – Für Z_{7} rechnet man ganz analog. Bei Z_{6} schließt man so: Z_{6} ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3}) = X ∩ Z_{6} + Y_{3} ∩ Z_{6} ⊆ A_{3} + A_{4} + A_{5} wegen iii. im Beweis von Behauptung 3 und der Teilbehauptung im Beweis von Behauptung 5. – Z_{5} ist ganz ähnlich: Z_{5} ∩(X ∩Z_{6} +Y_{3}) = X ∩Z_{6} +Y_{3} ∩Z_{5}, und Y_{3} ∩Z_{5} = Y_{4} ∩Z_{5} +A_{3} +A_{1} wegen (4); zusammen mit der Teilbehauptung aus dem Beweis von Behauptung 5 und mit i. aus dem Beweis von Behauptung 3 erhält man das Gewünschte.

Behauptung 9: Obiger Isomorphismus induziert einen Isomorphismus X ≃ X^{J′J}:

Beweis der Behauptung: Diese Rechnerei schenke ich mir.

Beweis: (von Lemma 8.4.2) In diesem Beweis sei F_{1} stets der Funktor von einer geeigneten Klasse von m-Zyklen in die Modulklasse, die A_{b,b′} entspricht, F_{2} der Funktor von der zu A_{b,b′} gehörigen Modulklasse zu m-Zyklen. m-Zyklen schreibe ich, wie vor Korollar 5.1.3 und zu Anfang von Abschnitt 5.1.2 vereinbart (und wie schon bisher in diesem Kapitel) meist mit Vektorräumen A_{i}, 1 ≤ i ≤ m, und Funktionen f_{i} : A_{i} → A_{i+1}, 1 ≤ i ≤ m − 1 und f_{m} : A_{m} → A_{1}; im Falle m = 2 sei dann noch f = f_{1} und g = f_{2}. – Der Beweis ist wieder eine Einzelfallanalyse:

1. D̃_{4}:

Aus Symmetriegründen sei ohne Einschränkung b = {{V_{1}, V_{2}}, {V_{3}, V_{4}}} und b′ = {{V_{1}, V_{3}}, {V_{2}, V_{4}}}, also b′′ = b_{3} = {{V_{1}, V_{4}}, {V_{2}, V_{3}}}. Moduln aus der Klasse zu A_{b,b′} sind wegen γ_{{V_{1},V_{2}}}^{∩} ∧ γ_{{V_{1},V_{2}}}^{Σ} – das heißt weil für sie V_{1} ⊕ V_{2} = V_{0} gilt – im Bild des Funktors D = D_{1,2}. Wegen γ_{b′}^{∩} ∧ γ_{b′}^{Σ} und Lemma 5.2.7 haben sie dann die Gestalt

[figure: W_{3}; D_{1,2}(; ).; W_{1}; W_{2}; ≃; ≃; W_{4}]

Und die Bedingung γ_{{V_{3},V_{4}}}^{∩}∧γ_{{V_{3},V_{4}}}^{Σ} bedeutet, daß, etwa, e_{2,1}e_{2,3}^{−1}e_{4,3}e_{4,1}^{−1}−1 : W_{1} → W_{1} Isomorphismus ist. Die – nach Identifikation von e_{2,3} und e_{4,1} zu 1 – durch D_{1,2} vermittelte pp-Äquivalenz zwischen der zu A_{b,b′} gehörenden Klasse von Moduln und 2-Zyklen

[figure: A_{1}; A_{2},; f; g]

die f und g injektiv und fg −1 : A_{2} → A_{2} Isomorphismus (bzw., äquivalent, gf − 1 : A_{1} → A_{1} Isomorphismus) erfüllen, wird also gegeben durch den Funktor F_{1}, der einen solchen 2-Zyklus auf das Quadrupel (Unterraumsystem)

[figure: A_{1}; graphf; A_{2}; graphg; A_{2} ⊕ A_{1}]

abbildet, und den Funktor F_{2}, der ein geeignetes Quadrupel (V_{0}; V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}) auf

[figure: V_{2}; V_{1}; f=f_{1}; g=f_{2}]

wirft, mit

f(v_{2}) = v_{1}, falls v_{1} + v_{2} ∈ V_{3} und (1)
g(v_{1}) = v_{2}, falls v_{1} + v_{2} ∈ V_{4},  (2)

v_{1} ∈ A_{2} := V_{1} und v_{2} ∈ A_{1} := V_{2}. Außerdem erhält man die folgende Entsprechung:

f surjektiv V_{2} ⊕ V_{3} = V_{0}
g surjektiv V_{1} ⊕ V_{4} = V_{0}

Für spätere Anwendungen wird nur noch die spezielle Gestalt des Funktors F_{2} benötigt werden – das heißt wie Funktionen in einem gegebenen Modul kodiert werden; ich verzichte daher im Rest des Beweises von Lemma 8.4.2 darauf, F_{1} auszurechnen.

2. Ẽ_{6}:

i. b = b_{1}, b′ = b_{2}, also b′′ = b_{3} = {{E_{1}, E_{2} ∩ E_{3}}, {F_{1}, F_{2}, F_{3}}}. Hier liefern Lemma 5.3.4 ii. und Lemma 5.3.6 zusammen mit der Diskussion im Falle D̃_{4} soeben, daß die Komposition von T und D_{1,2} die gewünschte pp-Äquivalenz ergibt: T′ und D′_{1,2} zeigen sofort, daß die A_{b,b′} entsprechende Klasse von Moduln pp-äquivalent ist zu 2-Zyklen

[figure: A_{1}; A_{2},; f=f_{1}; g=f_{2}]

mit f und g injektiv, sowie fg − 1 (bzw. gf − 1) bijektiv, und daß als F_{2} der Funktor dienen kann, der eine Ẽ_{6}-Darstellung (in Standardnotation) aus der Modulklasse von A_{b,b′} auf den 2-Zyklus

[figure: E_{1} ∩ E_{2}; F_{1}; f=f_{1}; g=f_{2}]

abbildet, mit

f(x) = y, falls x + y ∈ E_{1} ∩ E_{3}, das heißt x + y ∈ E_{3} und  (7)
g(y) = x, falls x + y ∈ E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}), das heißt x + y ∈ F_{2} + F_{3}, (8)

für x ∈ A_{1} := E_{1} ∩ E_{2} und y ∈ A_{2} := F_{1}.

Außerdem hat man (mit Lemma 5.3.6 und der Überlegung für D̃_{4} eben; oder ganz direkt und mit Lemma 5.5.5) die folgende Entsprechung:

f surjektiv Q = E_{1} ⊕ E_{2} ∩ E_{3}
g surjektiv Q = F_{1} ⊕ F_{2} ⊕ F_{3}

ii. b = b_{1}, b′ = b_{3}, also b′′ = b_{2} = {{E_{1}, F_{2}}, {E_{2}, F_{3}}, {E_{3}, F_{1}}}. Ganz analog dem Vorgehen bei D̃_{4}; Lemma 5.3.5 zeigt, daß die Funktoren S und S′ ein Paar von pp-Äquivalenzen zwischen 3-Zyklen

[figure: A_{1}; A_{2}; A_{3}; f_{1}; f_{2}; f_{3}]

wobei alle f_{i} injektiv und f_{3}f_{2}f_{1} + 1 bijektiv sind, und der A_{b,b′} entsprechenden Modulklasse ergeben. Als F_{2} erhält man – durch S′ induziert – den Funktor, der eine Ẽ_{6}-Darstellung (in Standardnotation) auf den 3-Zyklus

[figure: E_{1} ∩ E_{3}; E_{1} ∩ E_{2}; E_{2} ∩ E_{3}; f_{1}; f_{2}; f_{3}]

wirft, wobei

f_{1}(x) = y, falls x + y ∈ F_{1}, (9)
f_{2}(y) = z, falls y + z ∈ F_{2}, (10)
f_{3}(z) = x, falls z + x ∈ F_{3}, (11)

mit x ∈ A_{1} := E_{1} ∩ E_{3}, y ∈ A_{2} := E_{1} ∩ E_{2} und z ∈ A_{3} := E_{2} ∩ E_{3}. (Denn seien π_{1}, π_{2} und π_{3} die Projektionen auf erste, zweite und dritte Koordinate in Q = E_{1}∩E_{3} ⊕E_{1}∩E_{2} ⊕E_{2}∩E_{3}; dann ist f_{1}(x) = y, falls es ein z ∈ F_{1} gibt, so daß π_{1}(z) = x und π_{2}(z) = y, also genau dann wenn x + y = z ∈ F_{1}.) Weiter erhält man die Entsprechungen

f_{1} surjektiv Q = E_{3} ⊕ F_{1}
f_{2} surjektiv Q = E_{1} ⊕ F_{2}
f_{3} surjektiv Q = E_{2} ⊕ F_{3}

iii. Vollkommen analog ii.

3. Ẽ_{7}: i. b = b_{1} und b′ = b_{2}. Lemmata 5.4.4 und 5.4.5 zeigen, daß S′_{7} eine pp-Äquivalenz zwischen der Modulklasse von A_{b,b′} (über Ẽ_{7}) und der von A_{b,b′} (über Ẽ_{6}) ist (bzw. induziert); mit Definition 5.4 und den Resultaten im Falle Ẽ_{6} eben ist die zu A_{b,b′} gehörige Klasse von Ẽ_{7}-Darstellungen also pp-äquivalent zu 2-Zyklen

[figure: A_{1}; A_{2}; f=f_{1}; g=f_{2}]

mit f und g injektiv, sowie fg − 1 bijektiv. Als F_{2} erhält man den Funktor, der einen Ẽ_{7}-Modul, der die Bedingungen von A_{b,b′} erfüllt, abbildet auf

[figure: E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W); E_{2} ∩ F_{1},; f=f_{1}; g=f_{2}]

wobei

f(x) = y, falls x + y ∈ F_{2},  (15)
g(y) = x, falls y + x ∈ E_{2} ∩ W + G_{2}, äquivalent y + x ∈ W + G_{2}, (16)

x ∈ A_{1} := E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W) und y ∈ A_{2} := E_{2} ∩ F_{1}.

Außerdem gelten die Äquivalenzen

f surjektiv R = W ⊕ E_{1} ∩ F_{2} ⊕ G_{1}
g surjektiv R = W ⊕ E_{2} ∩ F_{1} ⊕ G_{2}

ii. b = b_{1} und b′ = b_{3}. Man schließt analog i.; A_{b_{1},b_{3}} über Ẽ_{7} und über Ẽ_{6} (genauer: die entsprechenden Klassen von Moduln) sind mittels S′_{7} ppäquivalent, und somit hat man eine pp-Äquivalenz von 3-Zyklen, deren f_{i} (in der Notation wie eben) alle injektiv sind und die f_{3}f_{2}f_{1} +1 bijektiv erfüllen, und der Klasse zu A_{b_{1},b_{3}}. F_{2} wirft einen Ẽ_{7}-Modul, der die Gleichungen zu A_{b_{1},b_{3}} erfüllt, auf

[figure: F_{2} ∩ E_{1}; E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W); F_{2} ∩ (G_{1} + W); f_{1}; f_{2}; f_{3}]

mit

f_{1}(x) = y, falls x + y ∈ E_{2} ∩ F_{1}, äquivalent x + y ∈ F_{1}, (17)
f_{2}(y) = z, falls y + z ∈ E_{2} ∩ W, äquivalent y + z ∈ W, (18)
f_{3}(z) = x, falls z + x ∈ G_{2},  (19)

mit x ∈ A_{1} := F_{2} ∩ E_{1}, y ∈ A_{2} := E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W) und z ∈ A_{3} := F_{2} ∩ (G_{1} + W). Außerdem entsprechen sich

f_{1} surjektiv R = F_{1} ⊕ F_{2}
f_{2} surjektiv R = E_{1} ∩ E_{2} ⊕ W
f_{3} surjektiv R = G_{1} ⊕ G_{2} ⊕ W

iii. b = b_{2} und b′ = b_{3}. Lemma 9.1.2 zeigt die pp-Äquivalenz der zu A_{b_{2},b_{3}} gehörigen Klasse von Moduln mit 4-Zyklen

[figure: A_{4}; A_{1}; A_{2}; A_{3}; f_{1}; f_{3}; f_{2}; f_{4}]

so daß alle f_{i} Injektionen und f_{4}f_{3}f_{2}f_{1} − 1 Isomorphismus ist. F_{2} ist gerade der Funktor H′ aus Definition 9.1; insbesondere also – wie im Anschluß an Definition 9.1 bemerkt –

f_{1}(x) = y, falls x + y ∈ G_{1}, (20)
f_{2}(y) = z, falls y + z ∈ W, (21)
f_{3}(z) = w, falls z + w ∈ G_{2}, (22)
f_{4}(w) = x, falls w + x ∈ W, (23)

x ∈ A_{1} := E_{2} ∩ F_{1}, y ∈ A_{2} := F_{1} ∩ (W ∩ E_{1} + F_{2}), z ∈ A_{3} := E_{1} ∩ F_{2} und w ∈ A_{4} := F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1}). Und Lemma 9.1.2 ii. liefert an Entsprechungen:

f_{1} surjektiv R = E_{2} ⊕ G_{1}
f_{2} surjektiv R = F_{1} ⊕ W
f_{3} surjektiv R = E_{1} ⊕ G_{2}
f_{4} surjektiv R = F_{2} ⊕ W

4. Ẽ_{8}: i. und ii. b = b_{1}, b′ = b_{2} oder b′ = b_{3}: Man schließt analog wie in 3. i. und 3. ii. dieses Beweises. Lemmata 5.5.4 und 5.5.6 zeigen, daß S_{1} eine pp-Äquivalenz zwischen den Klassen von Moduln zu A_{b,b′} (für Ẽ_{8}) und A_{b,b′} (für Ẽ_{7}) ergibt. Somit liefern 3. i. und ii. (sowie Definition 5.5): i. b = b_{1} und b′ = b_{2}: Die A_{b_{1},b_{2}} entsprechende Klasse von Darstellungen ist pp-äquivalent zu 2-Zyklen mit f und g injektiv, fg − 1 bijektiv. Dabei bildet F_{2} eine Ẽ_{8}-Darstellung, die den definierenden Gleichungen von A_{b_{1},b_{2}} genügt, auf den 2-Zyklus

[figure: Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}); Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}); f=f_{1}; g=f_{2}]

ab, mit

f(x) = y, falls x + y ∈ Y_{3} ∩ Z_{6}, äquivalent x + y ∈ Z_{6}, (24)
g(y) = x, falls y + x ∈ Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7},  (25)

x ∈ A_{1} := Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}) und y ∈ A_{2} := Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}). Außerdem gelten die Äquivalenzen

f surjektiv P = X ∩ Y_{3} ⊕ X ∩ Z_{6} ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{8}
g surjektiv P = Y_{4} ∩ Z_{5} ⊕ Y_{3} ∩ Z_{7} ⊕ X ⊕ Z_{9}

ii. b = b_{1} und b′ = b_{3}: Man erhält eine pp-Äquivalenz mit 3-Zyklen wie in Teil 3. ii. F_{2} wirft eine Ẽ_{8}-Darstellung aus der Modulklasse zu A_{b_{1},b_{3}} auf

[figure: Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{8}); Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}); Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}); f_{1}; f_{2}; f_{3}]

mit

f_{1}(x) = y, falls x + y ∈ Y_{3} ∩ (X + Z_{9}), äquivalent x + y ∈ X + Z_{9}, (26)
f_{2}(y) = z, falls y + z ∈ Y_{4},  (27)
f_{3}(z) = x, falls z + x ∈ Y_{3} ∩ Z_{7}, äquivalent z + x ∈ Z_{7},  (28)

x ∈ A_{1} := Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{8}), y ∈ A_{2} := Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}) und z ∈ A_{3} := Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}). Es entsprechen sich

f_{1} surjektiv P = Y_{3} ∩ Z_{6} ⊕ X ⊕ Z_{9}
f_{2} surjektiv P = X ∩ Z_{5} ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{8}
f_{3} surjektiv P = X ∩ Y_{3} ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{7}

iii. b = b_{2} und b′ = b_{3}; wegen Lemma 9.1.4 hat man eine pp-Äquivalenz zwischen den Moduln zu A_{b_{2},b_{3}} und den 5-Zyklen

[figure: A_{5}; A_{1}; A_{2}; A_{4}; A_{3}; f_{1}; f_{4}; f_{5}; f_{2}; f_{3}]

mit Injektionen f_{i}, so daß f_{5}f_{4}f_{3}f_{2}f_{1} + 1 bijektiv ist. Als F_{2} ergibt sich der Funktor J′ aus Definition 9.2; insbesondere

f_{1}(x) = y, falls x + y ∈ X,  (29)
f_{2}(y) = z, falls y + z ∈ Y_{4},  (30)
f_{3}(z) = v, falls z + v ∈ Z_{8},  (31)
f_{4}(v) = w, falls w + v ∈ X ∩ Z_{6}, (32)
f_{5}(w) = x, falls w + x ∈ Y_{4} ∩ Z_{5}, (33)

x ∈ A_{1} := Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}), y ∈ A_{2} := (Y_{4} + Y_{3} ∩ Z_{7}) ∩ (X + Z_{9}), z ∈ A_{3} := Y_{3} ∩ Z_{7}, v ∈ A_{4} := Z_{7} ∩ [X ∩ Z_{6} + Y_{3}(∩Z_{6}) ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5})] und w ∈ A_{5} := Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5}). Die üblichen Entsprechungen sind

f_{1} surjektiv P = X ∩ Y_{3} ⊕ X ∩ Z_{5} ⊕ Y_{3} ∩ Z_{5}
f_{2} surjektiv P = X ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{9}
f_{3} surjektiv P = Y_{3} ⊕ Z_{8}
f_{4} surjektiv P = X ⊕ Z_{7}
f_{5} surjektiv P = Y_{4} ⊕ Z_{6}

Übrigens gelten, wie in der Zusammenfassung dieses Beweises vor Korollar 8.4.3 bereits erwähnt, die Entsprechungen zu “f_{i} surjektiv” aus dem Beweis für Unzerlegbare aus A, nicht nur für solche aus dem jeweils betrachteten A_{b,b′}.

9.2 Beweis von Lemma 8.8.11

Dieser Abschnitt besteht nur aus dem sehr mühseligen, rechnerischen Beweis von Lemma 8.8.11. Einige wenige Teile sind vollkommen stumpfsinnige Verifikationen, andere aber erfordern ad hoc Tricks und kosten nicht wenig Mühe.

Lemma 9.2.1 (= Lemma 8.8.11) (∗) Für jedes n werden die � _{b_{i}}^{n}, i = 3 (bei Ẽ_{6}) bzw. i = 1, 2 (bei Ẽ_{7}) bzw. i = 1, 2, 3 (bei Ẽ_{8}) von fast allen Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt.

(Die Bemerkungen nach Satz 8.8.12 zeigen, daß das Lemma in jedem der drei Fälle, ja sogar für D̃_{4}, für alle i = 1, 2, 3 zutrifft.)

Beweis: Ich führe nicht alle Rechnungen vor, beschränke mich manchmal auf Hinweise; anfangs gebe ich allerdings ganz ausführliche Begründungen. Man beachte die gleich folgende Vereinbarung zur Notation. Vorbemerkung: a. Aus Symmetriegründen ist es günstig, sogar etwas stärkere Gleichungen als die � _{b_{i}}^{n} (siehe Definition 8.6 auf Seite 205) nachzuweisen:

� _{b_{i}}^{n}

sei die Gleichung

A_{1} = dom(Y^{n}) + im(Y^{n}),

wobei, wie nach Lemma 8.4.2 auf Seite 181 vereinbart, Y := gf = X_{1} : A_{1} → A_{1}. (Es ist klar, daß � _{b_{i}}^{n+1} die Gleichung � _{b_{i}}^{n} impliziert.) Erinnert sei daran, daß die g, f, etc. wie in Definition 8.6 sind, das heißt aus dem Beweis von Lemma 8.4.2 kommen, von den dort gegebenen pp-Äquivalenzen vermittelt werden.

b. Da durch das “Übersetzen” (siehe im weiteren Verlauf des Beweises oder auch den früheren Beweis von Lemma 8.8.7) der Bedingungen � _{b_{i}}^{n} laufend neue auftreten, eine

Vereinbarung zur Notation: “Bedingung (oder auch: Gleichung)

(1) A_{1} ⟶^{f_{1}} A_{2} ⟶^{f_{2}} A_{3} … ⟶^{f_{i−1}} A_{i} ⟶^{f_{i}} A_{1}

gilt für fast alle Unzerlegbaren aus der Menge U” soll bedeuten, daß für jedes n fast alle Unzerlegbaren aus U die Gleichung

A_{1} = dom(Y^{n}) + im(Y^{n})

– fürderhin auch als (1)^{n} bezeichnet – mit Y = f_{i} · . . . · f_{1} erfüllen. Entsprechend für � _{b_{i}}: Dies stehe als Abkürzung statt “für jedes n � _{b_{i}}^{n}”. Gelegentlich schreibe ich auch

(1) A_{1} ⟶^{f_{1}} A_{2} ⟶^{f_{2}} A_{3} … ⟶^{f_{i−1}} A_{i} ⟶^{f_{i}} A_{1},

meine aber in Wirklichkeit (1)^{n}: Aus dem Zusammenhang wird jeweils ersichtlich sein, ob (1) für ein festes n – das heißt (1)^{n} – oder (1) betrachtet wird.

Außerdem sei in diesem Beweis die erste Menge der gerade betrachteten Bedingung stets mit A_{1}, die zweite mit A_{2} etc. bezeichnet; ausgewertet auf einem Unzerlegbaren der Form C^{+}U seien sie A_{1}^{+}, A_{2}^{+} etc. Entsprechend für die Abbildungen f_{i} : A_{i} → A_{i+1}. (Siehe auch Vereinbarung c. zu Beginn von Kapitel 5.)

c. Sind A und B Unterräume eines gemeinsamen Vektorraums und gilt für a ∈ A, b ∈ B und eine partielle Funktion f : A → B, daß f(a) = b genau dann, wenn a + b ∈ C, dann schreibe ich einfach “f = C” oder auch A →^{C} B dafür. Von allen im folgenden vorkommenden solchen C läßt sich jeweils leicht einsehen, daß sie in der Tat partielle (und injektive) Abbildungen, also partielle Isomorphismen, definieren.

Ist A →^{C} B eine partielle (injektive) Abbildung und π : A + B → … ei-

ne Injektion, dann ist auch π(A) ⟶^{π(C∩(A+B))} π(B) eine partielle (injektive) Abbildung. (Klar.) – Und mit der Vereinbarung zur Notation unter Punkt b. gilt: Sind die A_{i} Unterräume eines gemeinsamen Vektorraums, und ist π : A_{1} + … + A_{i} → … injektiv, dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i. A_{1} ⟶^{C_{1}} A_{2} ⟶^{C_{2}} A_{3} ⟶^{C_{3}} … ⟶^{C_{i−1}} A_{i} ⟶^{C_{i}} A_{1};

ii. π(A_{1}) ⟶^{C′_{1}} π(A_{2}) ⟶^{C′_{2}} π(A_{3}) ⟶^{C′_{3}} … ⟶^{C′_{i−1}} π(A_{i}) ⟶^{C′_{i}} π(A_{1}), mit C′_{1} =

π(C_{1} ∩ (A_{1} + A_{2})), C′_{2} = π(C_{2} ∩ (A_{2} + A_{3})), …, C′_{i−1} = π(C_{i−1} ∩ (A_{i−1} + A_{i})) und C′_{i} = π(C_{i} ∩ (A_{i} + A_{1}));

iii. A_{1} ⟶^{C_{i}} A_{i} ⟶^{C_{i−1}} A_{i−1} ⟶^{C_{i−2}} … ⟶^{C_{2}} A_{2} ⟶^{C_{1}} A_{1}.

Entsprechend für die i.^{n}, ii.^{n} und iii.^{n} (definiert in Vorbemerkung b.). (Klar.) Dies werde ich kommentarlos verwenden.

Behauptung 1: Die Bedingungen � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3, gelten für fast alle Ẽ_{8}- Unzerlegbaren von Defekt −1, falls die folgenden sechs Bedingungen für fast alle Ẽ_{8}-Unzerlegbaren von Defekt −1, die im Bild von S_{1} liegen, erfüllt sind (alles in Standardnotation):

i. A_{1} = Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{f_{1}} Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}) ⟶^{f_{2}} A_{1},

mit f_{1} = Z_{6} und f_{2} = Y_{4} ∩ Z_{5} + Y_{3} ∩ Z_{7};

ii. A_{1} = (Y_{3} ∩ Z_{6} + Z_{9}) ∩ (X + Y_{4} ∩ Z_{5}) ⟶^{Z_{7}} Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{X+Z_{8}} A_{1};

iii. A_{1} = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{8}) ⟶^{X+Z_{9}} Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{8}) ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{Y_{4}}

Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{Z_{7}} A_{1};

iv. A_{1} = (Y_{3} ∩ Z_{7} + Z_{9}) ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{Y_{3}} (Y_{3} ∩ Z_{6} + Z_{9}) ∩ (X + Y_{4} ∩ Z_{5}) ⟶^{X}

Z_{7} ∩ (X + Y_{4} ∩ Z_{5}) ⟶^{Z_{8}} A_{1};

v. A_{1} = Y_{3}∩Z_{5}∩(X+Z_{9}) ⟶^{X+Y_{4}} Y_{3}∩Z_{7} ⟶^{X+Z_{8}} Y_{3}∩Z_{6}∩(X+Z_{9}+Y_{4}∩Z_{5}) ⟶^{Y_{4}}

A_{1};

vi. A_{1} = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{X+Y_{4}∩Z_{5}} Z_{8} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{Y_{3}+Z_{9}} Z_{7} ∩ (X + Y_{4}) ∩

(X ∩ Z_{6} + Y_{3}) ⟶^{X} A_{1}.

(Dabei ist i. gerade � _{b_{3}}, iii. ist � _{b_{2}} und v. ist im wesentlichen äquivalent zu � _{b_{1}} (genauer: v.^{n} ist zu � _{b_{1}}^{n} äquivalent.); siehe gleich im Beweis. Punkte ii., iv. bzw. vi. sind “Übersetzungen” von Punkt i., iii. bzw. v.; siehe Teilbehauptungen 3 bis 5.) Beweis der Behauptung: Zunächst zu Punkt v.: (Für Bezeichnungen siehe wie immer Definition 8.6, den Beweis von Lemma 8.4.2 und Seite 181.) Teilbehauptung 1: Bis auf das Vorzeichen ist die Abbildung A_{1} = Y_{3} ∩

Z_{5} ∩ (X + Z_{9}) ⟶^{X+Y_{4}} Y_{3} ∩ Z_{7} gerade A_{1} = Y_{3} ∩ Z_{5} ∩ (X + Z_{9}) ⟶^{f_{2}f_{1}} Y_{3} ∩ Z_{7} aus

der Bedingung � _{b_{1}}. Beweis der Teilbehauptung: Sei z ∈ A_{1}, z′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{7} mit z + z′ ∈ X + Y_{4}. Also gilt für geeignete x ∈ X und y ∈ Y_{4}, daß z + z′ = x + y, somit

Y_{3} ∩ Z_{7} + Y_{4} ∋ z′ − y = x − z ∈ X + Z_{9}.

Folglich ist z′ −y ∈ (Y_{3} ∩Z_{7} +Y_{4})∩(X +Z_{9}), f_{1}(z) = z′ −y und f_{2}(z′ −y) = −z′, wie gewünscht. Umgekehrt sei z ∈ A_{1} und z′ ∈ Y_{3}∩Z_{7}, mit f_{2}f_{1}(z) = z′. Dann ist also z + f_{1}(z) ∈ X und f_{1}(z) + z′ ∈ Y_{4}, folglich z − z′ ∈ X + Y_{4} wie verlangt. Das zeigt Teilbehauptung 1.

Teilbehauptung 2: Bis auf das Vorzeichen ist die Abbildung Y_{3} ∩ Z_{7} ⟶^{X+Z_{8}}

Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5}) gerade Y_{3} ∩ Z_{7} ⟶^{f_{4}f_{3}} Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5})

aus der Bedingung � _{b_{1}}. Beweis der Teilbehauptung: Sei y ∈ Y_{3} ∩Z_{7}, y′ ∈ Y_{3} ∩Z_{6} ∩(X +Z_{9} +Y_{4} ∩Z_{5}) und y + y′ ∈ X + Z_{8}, also von der Form y + y′ = x + z mit x ∈ X ∩ Z_{6} und z ∈ Z_{8}. Dann ist y′ − x ∈ X ∩ Z_{6} + Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5}), und da y′ − x = z − y ∈ Z_{7}, folgt y′ − x ∈ Z_{7} ∩ [X ∩ Z_{6} + Y_{3} ∩ (X + Z_{9} + Y_{4} ∩ Z_{5})]. Außerdem ist y + (y′ − x) = z ∈ Z_{8} und y′ − x + (−y′) = −x ∈ X, also f_{3}(y) = y′ − x und f_{4}(y′ − x) = −y′, wie gewünscht. Die andere Richtung ist wieder klar. Das beendet Teilbehauptung 2. Damit ist klar, daß aus v. Bedingung � _{b_{1}} folgt, genauer sogar: aus v.^{n} folgt � _{b_{1}}^{n}.

Wegen Lemma 8.8.1 genügt es zum Beweis von Behauptung 1 nun zu zeigen, daß für fast alle präprojektiven Unzerlegbaren U (von Defekt −1) und für festes n aus der Gültigkeit von ii.^{n}, iv.^{n} bzw. vi.^{n} diejenige von � _{b_{i}}^{n}, i = 3, 2 bzw. i = 1 für C^{+}U folgt. Das ist jeweils eine Rechnung nach Art derjenigen im Beweis von Lemma 8.8.7: Da Y_{3}^{+} = ker(X ⊕Y_{4}⊕Z_{5} → P) und ( (∗)!) X ∩ Y_{4} = 0, ist die Projektion π : Y_{3}^{+} → Z_{5} auf die dritte Koordinate von Y_{3}^{+} injektiv. Weil die pp-definierbaren Mengen A_{i}^{+} der Bedingungen i., iii. und v. alle in Y_{3}^{+} liegen, sind diese Bedingungen zu “ihren π-Bildern” (siehe Vorbemerkung c.) äquivalent; darauf beruht der Beweis der nächsten drei Teilbehauptungen: Berechnet wird nämlich etwa in Teilbehauptung 3 das “π-Bild” der “geplusten” Version von � _{b_{3}}^{n}. Nach den Bemerkungen eben ist dies eine Bedingung an U, die äquivalent zum Bestehen von � _{b_{3}}^{n} in C^{+}U ist. Teilbehauptung 3: Für fast alle Unzerlegbaren U folgt aus ii.^{n}, daß � _{b_{3}}^{n} für C^{+}U gilt. Beweis der Teilbehauptung: Es ist A_{1}^{+} = Y_{3}^{+} ∩Z_{5}^{+} ∩(X^{+} +Z_{8}^{+})∩(X^{+} +Y_{4}^{+}) und entsprechend A_{2}^{+} = Y_{3}^{+} ∩ Z_{5}^{+} ∩ (X^{+} + Z_{9}^{+}) (wie zu Anfang unter Punkt b. vereinbart); es gilt, zunächst π(A_{1}^{+}) und π(A_{2}^{+}) zu berechnen: a. Es ist Y_{3}^{+} ∩ Z_{5}^{+} = ker(X ⊕ Y_{4} ⊕ Z_{6} → P): Klar. b. π(Y_{3}^{+} ∩ Z_{5}^{+} ∩ (X^{+} + Z_{8}^{+})) = (Z_{6} ∩ Y_{3} + Z_{9}) ∩ (X + Y_{4}): Denn ist (x, y, z) ∈ Y_{3}^{+}∩Z_{5}^{+}∩(X^{+}+Z_{8}^{+}), so wegen a. zunächst z ∈ Z_{6}, y ∈ Y_{4}, außerdem aber (x, y, z) = (0, y′, −y′) + (x, y′′, z′′) mit y′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}, z′′ ∈ Z_{9}, also sogar y′ = z′′ − z ∈ Y_{3} ∩ Z_{6} und somit z ∈ (Y_{3} ∩ Z_{6} + Z_{9}) – wegen z = −y′ + z′′ – und z ∈ X + Y_{4} – wegen z = −x − y. Umgekehrt sei nun z ∈ (Z_{6} ∩ Y_{3} + Z_{9}) ∩ (X + Y_{4}). Also gibt es y′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{6}, z′ ∈ Z_{9}, x ∈ X und y ∈ Y_{4} mit Z_{6} ∋ z = −y′ + z′ = −x − y. Damit ist dann (x, y, z) ∈ Y_{3}^{+} ∩ Z_{5}^{+}, sowie (x, y, z) = (0, y′, −y′) + (x, y − y′, z′) ∈ X^{+} + Z_{8}^{+} (Man beachte, daß x + (y − y′) + z′ = x + y + z = 0 und daß y′ ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}.). c. π(Y_{3}^{+} ∩ Z_{5}^{+} ∩ (X^{+} + Y_{4}^{+})) = Z_{6} ∩ (Y_{4} ∩ Z_{5} + X): Eine Rechnung genau wie in b. Da π injektiv ist auf Y_{3}^{+}, folgt also, daß π(A_{1}^{+}) Schnitt der in b. bzw. c. berechneten Mengen ist, also

π(A_{1}^{+}) = (Y_{3} ∩ Z_{6} + Z_{9}) ∩ (Y_{4} ∩ Z_{5} + X).

d. π(A_{2}^{+}) = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}): Denn sei (x, y, z) ∈ A_{2}^{+} = Y_{3}^{+} ∩ Z_{5}^{+} ∩ (X^{+} + Z_{9}^{+}), also y ∈ Y_{4}, z ∈ Z_{6} und (x, y, z) = (0, −z, z)+(x, −x, 0), also x ∈ X ∩Y_{3} und z ∈ Y_{3} ∩Z_{5}, also in der Tat z ∈ Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}) wie behauptet. Die Umkehrung geht genauso. Als nächstes sind die Projektionen der Abbildungen zu ermitteln, also π(f_{1}^{+}) = π(Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+}) und π(f_{2}^{+}) = π(Y_{4}^{+} ∩ Z_{5}^{+} + Y_{3}^{+} ∩ Z_{7}^{+}): e. π(Y_{3}^{+} ∩ Z_{6}^{+}) = Z_{7} ∩ (X + Y_{4}): Sofort klar. f. π(Y_{4}^{+} ∩ Z_{5}^{+} + Y_{3}^{+} ∩ Z_{7}^{+}) = (X ∩ Z_{6}) + (X + Y_{4})∩Z_{8}: Das ist eine leichte Rechnung. Somit erhält man zunächst als Bedingung, die für U erfüllt sein muß, damit in C^{+}(U) dann � _{b_{3}}^{n} gilt ,

π(A_{1}^{+}) = (Y_{3}∩Z_{6}+Z_{9})∩(X +Y_{4}∩Z_{5}) ⟶^{Z_{7}∩(X+Y_{4})} Y_{3}∩Z_{6}∩(X +Y_{4}) ⟶^{π(f{+ \atop 2})} π(A_{1}^{+})

(für dieses feste n), mit π(f_{2}^{+}) = (X ∩ Z_{6}) + (X + Y_{4}) ∩ Z_{8}. Da aber π(A_{1}^{+}), π(A_{2}^{+}) ⊆ X + Y_{4}, kann man für die erste Abbildung einfach Z_{7} schreiben und für die zweite X ∩Z_{6}+Z_{8}; weil aber auch π(A_{1}^{+}), π(A_{2}^{+}) ⊆ Z_{6}, vereinfacht sich letzteres zu X + Z_{8}: Das ist dann tatsächlich ii. bzw. ii.^{n}, und die Teilbehauptung ist bewiesen. Teilbehauptung 4: Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren U: Gilt Bedingung iv.^{n} in U, so gilt � _{b_{2}}^{n} in C^{+}U. Beweis der Teilbehauptung: Man geht vor wie im Beweis von Teilbehauptung 3 eben; die A_{i}, f_{i} seien wie in iii., das heißt wie in der Bedingung � _{b_{2}}. Die Projektion π(A_{2}^{+}) von A_{2}^{+} ist im Beweis von Teilbehauptung 3 ausgerechnet worden (nach Punkt c., als π(A_{1}^{+}) in der dortigen Notation); π(A_{1}^{+}) und π(A_{3}^{+}) erhält man wie in Punkt b. und c. dort (indem man Z_{5}^{+} durch Z_{6}^{+} und Z_{6} durch Z_{7} ersetzt). Auch die Projektionen der Abbildungen sind ganz leicht zu ermitteln, etwa die der ersten: π(f_{1}^{+}) = π(Y_{3}^{+} ∩ (X^{+} + Z_{9}^{+})) = Y_{3} ∩ (X + Y_{4}); da die Projektionen der A_{i}^{+} alle in X + Y_{4} liegen, kann man dies zu Y_{3} vereinfachen, etc. Das beweist diese Teilbehauptung. Teilbehauptung 5: Für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren U: Gilt Bedingung vi.^{n} in U, so gilt Bedingung v.^{n} – und somit � _{b_{1}}^{n} (siehe unmittelbar nach Teilbehauptung 2) – in C^{+}U. Beweis der Teilbehauptung: A_{i} und f_{i} sind nun wie in v. a. Es ist π(A_{1}^{+}) = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}): Denn siehe π(A_{2}^{+}) im Beweis von Teilbehauptung 3. b. π(A_{2}^{+}) = Z_{8} ∩ (X + Y_{4}): Trivial. c. π(A_{3}^{+}) = Z_{7} ∩ (X + Y_{4}) ∩ (X ∩ Z_{6} + Y_{3}): Denn sei zunächst (x, y, z) ∈ A_{3}^{+}, also y ∈ Y_{4}, z ∈ Z_{7} und

(x, y, z) = (0, y_{1}, −y_{1}) + (x_{1}, −x_{1}, 0) + (x_{2}, 0, −x_{2}),

mit x_{1} ∈ X ∩ Y_{3}, y_{1} ∈ Y_{3} ∩ Z_{5}, x_{2} ∈ X ∩ Z_{6}, insbesondere auch y_{1} ∈ Y_{3} ∩ Z_{6} und z ∈ Z_{7} ∩ (X + Y_{4}). Da aber auch z = −y_{1} − x_{2}, folgt z ∈ X ∩ Z_{6} + Y_{3}. Umgekehrt ganz entsprechend: Sei z ∈ Z_{7}, mit z = −x−y für y ∈ Y_{4}, x ∈ X und z = −x_{2} − y_{1} für x_{2} ∈ X ∩ Z_{6} und y_{1} ∈ Y_{3} ∩ Z_{6}. Dann folgt

(x, y, z) = (0, y_{1}, −y_{1}) + (x − x_{2}, y − y_{1}, 0) + (x_{2}, 0, −x_{2})

wie gewünscht. d. Entsprechend für die Abbildungen: π(f_{3}^{+}) = π(Y_{4}^{+}) = Z_{5} ∩ X ist klar; π(f_{1}^{+}) = π(Y_{3}^{+} ∩ (X^{+} + Y_{4}^{+})) = X + Y_{4} ∩ Z_{5} ist einfach (siehe Punkt c. im Beweis von Teilbehauptung 3). Und π(f_{2}^{+}) = (Y_{3} +Z_{9})∩(X +Y_{4}) ergibt sich wie in Punkt b. dort. Nun die üblichen Vereinfachungen der Abbildungen, und man erhält vi.^{n}. Das beweist Teilbehauptung 5 und somit Behauptung 1. Behauptung 2: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3, gelten für fast alle Ẽ_{8}-Unzerlegbaren von Defekt −1, falls die folgenden sechs Bedingungen für fast alle Ẽ_{7}-Unzer-legbaren von Defekt −1 (in Standardnotation) erfüllt sind:

i. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{F_{2}} E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{2}+W} A_{1};

ii. A_{1} = F_{2} ∩ (E_{2} ∩ F_{1} + W) ⟶^{G_{2}} F_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{E_{1}} A_{1};

iii. A_{1} = F_{2} ∩ E_{1} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{W +G_{2}} A_{1};

iv. A_{1} = G_{2} ⟶^{G_{1}+W} F_{2} ∩ (E_{2} ∩ F_{1} + W) ⟶^{E_{1}} A_{1};

v. A_{1} = E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{1}+W} G_{2} ⟶^{E_{1}∩F_{2}+W} A_{1};

vi. A_{1} = F_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{G_{1}+W ∩E_{2}} E_{1} ∩ W ⟶^{F_{1}+G_{2}} A_{1}.

Beweis der Behauptung: Wir zeigen eigentlich für fast alle rein-injektiven Unzerlegbaren U über Ẽ_{7}: Gilt Bedingung j.^{n} für U, so gilt Bedingung j.^{n} aus Behauptung 1 für S_{1}(U). (Dabei wird gar nicht gebraucht, daß der Defekt von U −1 beträgt.) Wegen Behauptung 1 ist dann Behauptung 2 gezeigt. – Achtung: Die n lasse ich im folgenden aber gleich wieder weg. a. Wie der Beweis von Lemma 8.4.2 zeigt, ist Bedingung i. aus Behauptung 1 gerade definiert worden als Übersetzung (via S_{1}) von i. aus Behauptung 2, das heißt als “S_{1}-Bild” von i. aus Behauptung 2; siehe Seite 234 und Seite 236. Und iii. von Behauptung 1 ist entsprechend definiert worden als Übersetzung (via S_{1}) der Bedingung (für Ẽ_{7}-Darstellungen; siehe Seite 234 und Seite 236)

A_{1} = F_{2} ∩ E_{1} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{W} F_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{G_{2}} A_{1},

das heißt von � _{b_{2}} für Ẽ_{7}. Diese aber ist äquivalent zu Bedingung iii. aus Behauptung 2: nach Ausrechnen von f_{3}f_{2} (wie in Teilbehauptungen 1 und 2 des Beweises von Behauptung 1) erhält man nämlich die Gleichung iii. von Behauptung 2. Das heißt: Für j=i bzw. j=iii ist man fertig.

Für den Rest des Beweises von Behauptung 2 sei π die Projektion auf die zweite Koordinate in E_{1}/G_{1} ⊕ R, π : E_{1}/G_{1} ⊕ R → R. A_{i} und f_{i} beziehe sich jeweils auf die Ausdrücke in Behauptung 1; mit A_{i}^{8} und f_{i}^{8} – und analog für andere Mengen – seien die entsprechenden Übersetzungen (via S_{1}) bezeichnet, das heißt für Unzerlegbare U über Ẽ_{7} soll gelten, daß A_{i}^{8}(U) = A_{i}(S_{1}(U)) etc. Zum Vorgehen: Im wesentlichen, das heißt bis auf den etwas aufwendigeren Punkt vi., ersetzt man in den Bedingungen von Behauptung 1 nun die Mengen A_{i} durch A_{i}^{8}, die Abbildungen f_{i} durch f_{i}^{8} und erhält so eine Bedingung für Ẽ_{7}-Unzerlegbare, die allerdings unübersichtlich und für die weitere Behandlung wenig geeignet ist. Daher berechnet man dann davon das “π-Bild” und erhält so eine deutlich einfacher zu handhabende Bedingung: Diese tut es dann – was natürlich jeweils einer Begründung bedarf. b. Man rechnet ii. aus Behauptung 1 via S_{1} um in eine Bedingung über Ẽ_{7}: Y_{3}^{8} ∩ Z_{6}^{8} + Z_{9}^{8} = 0 ⊕ F_{2} + F_{1}/G_{1} ⊕ 0 = F_{1}/G_{1} ⊕ F_{2}. Und X^{8} + Y_{4}^{8} ∩ Z_{5}^{8} = Δ(E_{1}) + 0 ⊕ (E_{2} ∩ W), so daß also A_{1}^{8} = (Y_{3}^{8} ∩ Z_{6}^{8} + Z_{9}^{8}) ∩ (X^{8} + Y_{4}^{8} ∩ Z_{5}^{8}) = \{(\overline{e}, e + e′) | e ∈ F_{1}, e + e′ ∈ F_{2}, e′ ∈ E_{2} ∩ W \}. Ganz analog erhält man A_{2}^{8} = 0 ⊕ F_{2} ∩ (G_{1} + W).

Nun ist A_{1}, A_{2} ⊆ (X + Y_{4}) ∩ (Y_{3} + Z_{9}), daher A_{1}^{8}, A_{2}^{8} ⊆ (Δ(E_{1}) + 0 ⊕ W) ∩ (F_{1}/G_{1} ⊕ R) = Δ(F_{1}) + 0 ⊕ W = \{(\overline{f}, f + w) | f ∈ F_{1}, w ∈ W \}, so daß π auf A_{1}^{8} + A_{2}^{8} injektiv ist (da F_{1} ∩ W = 0, siehe Lemma 5.4.2). Deshalb genügt es nun, ganz analog wie im Beweis von Behauptung 1, die π(A_{i}^{8}) und π(f_{i}^{8}) zu berechnen (siehe Vorbemerkung c.):

Es ist π(A_{1}^{8}) = F_{2} ∩ (F_{1} + E_{2} ∩ W) = F_{2} ∩ (E_{2} ∩ F_{1} + W), π(A_{2}^{8}) = F_{2} ∩ (G_{1} + W), und ganz analog erhält man π(f_{1}^{8}) = G_{2} ∩ (F_{1} + W) und π(f_{2}^{8}) = E_{1}∩(F_{1}+W). Da π(A_{i}^{8}) ⊆ F_{1}+W, vereinfachen sich die Ausdrücke für π(f_{1}^{8}) bzw. π(f_{2}^{8}) zu G_{2} bzw. E_{1}, wie behauptet: Dies ist ii.

c. Zu Punkt iv.: Durch Ausrechnen von f_{3}f_{2} (wie in Teilbehauptung 1 oder 2 im Beweis von Behauptung 1) erhält man aus iv. von Behauptung 1 zunächst die folgende Bedingung

A_{1} = (Y_{3} ∩ Z_{7} + Z_{9}) ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{Y_{3}} (Y_{3} ∩ Z_{6} + Z_{9}) ∩ (X + Y_{4} ∩ Z_{5}) ⟶^{X+Z_{8}} A_{1};

A_{1} und A_{2} seien nun die Mengen dieser Bedingung. π ist auf A_{1}^{8}+A_{2}^{8} aus dem gleichen Grund wie eben in b. injektiv, und man erhält π(A_{1}^{8}) = G_{2} ∩ (F_{1} + W), π(A_{2}^{8}) = F_{2} ∩(E_{2} ∩F_{1} +W), sowie für die Abbildungen π(f_{1}^{8}) = G_{1} +W und π(f_{2}^{8}) = E_{1} ∩ (F_{1} + W). Da π(A_{i}^{8}) ⊆ F_{1} + W, kann man π(f_{2}^{8}) ersetzen durch E_{1}; ersetzt man nun noch π(A_{1}^{8}) durch die größere Menge G_{2}, so erhält man iv. von Behauptung 2: Gilt iv.^{n} für U, so sicherlich auch iv.^{n} aus Behauptung 1 für S_{1}(U).

d. Zu v.: Da A_{1}, A_{2}, A_{3} ⊆ Y_{3}, ist π auf A_{1}^{8} + A_{2}^{8} + A_{3}^{8} injektiv, und man kann ganz analog wie eben argumentieren.

e. Es bleibt nun nur noch Punkt vi. von Behauptung 1 zu übersetzen; man kann nicht direkt mit π schließen, da π nicht injektiv ist auf A_{1}^{8} + A_{2}^{8} + A_{3}^{8}, daher bietet sich folgendes Vorgehen an: Die Komposition f_{3}f_{2} in vi. von Behauptung 1 wird – bis auf das Vorzeichen – durch Y_{3} ∩Z_{7} + Z_{9} + X ∩Z_{6} gegeben, wie eine leichte Rechnung zeigt (ähnlich den Beweisen der Teilbehauptungen 1 und 2 im Beweis von Behauptung 1). Bedingung vi. ist also äquivalent zu

A_{1} = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{X+Y_{4}∩Z_{5}} Z_{8} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{Y_{3}∩Z_{7}+Z_{9}+X∩Z_{6}} A_{1}.

Weil X ∩ Z_{8} = 0 bzw. X ∩ Y_{4} = 0 (Lemma 5.5.2), hat man einen (totalen) Isomorphismus

Z_{8} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{X} Y_{4} ∩ (X + Z_{8}) ⟶^{X} Z_{8} ∩ (X + Y_{4})

gegeben durch z = x + y ↦ y bzw. durch y = x + z ↦ z.

Teilbehauptung 1: Die Komposition Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{X+Y_{4}∩Z_{5}} Z_{8} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{X} Y_{4} ∩ (X + Z_{8}) wird – bis auf das Vorzeichen – gegeben durch X + Y_{4} ∩ Z_{5}. Beweis der Teilbehauptung: Sei x ∈ Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}), y ∈ Y_{4} ∩ (X + Z_{8}) mit x + y ∈ X + Y_{4} ∩ Z_{5}, also für geeignetes x′ ∈ X und z ∈ Z_{8} ∩ (X + Y_{4}): y = x′ + z. Somit x + z = (x + y) − x′ ∈ X + Y_{4} ∩ Z_{5}, so daß also unter der Abbildung X + Y_{4} ∩ Z_{5} das Element x auf z geworfen wird, z wiederum unter X (wegen z − y = −x′ ∈ X) auf −y. Die andere Richtung ist klar. Ganz entsprechend beweist man Teilbehauptung 2: Die Komposition Y_{4} ∩ (X + Z_{8}) ⟶^{X} Z_{8} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{Y_{3}∩Z_{7}+Z_{9}+X∩Z_{6}} Y_{3} ∩Z_{6} ∩(X +Y_{4}) wird – bis auf das Vorzeichen – gegeben durch Y_{3} ∩ Z_{7} + Z_{9} + X ∩ Z_{6} + X ∩ (Y_{4} + Z_{8}). Daher ist es äquivalent, statt Bedingung vi. zu betrachten

A_{1} = Y_{3} ∩ Z_{6} ∩ (X + Y_{4}) ⟶^{X+Y_{4}∩Z_{5}} Y_{4} ∩ (X + Z_{8}) ⟶^{f_{2}} A_{1},

mit f_{2} = Y_{3}∩Z_{7}+Z_{9}+X∩Z_{6}+X∩(Y_{4}+Z_{8}). Da durch diese Umformulierung nun A_{1}, A_{2} ⊆ Y_{3}, ist π auf A_{1}^{8} + A_{2}^{8} injektiv, und es bleiben nur die π(A_{i}^{8}) und π(f_{i}^{8}) zu berechnen:

Es ergibt sich π(A_{1}^{8}) = F_{2} ∩ (G_{1} + W), π(A_{2}^{8}) = E_{1} ∩ W, π(f_{1}^{8}) = W ∩ E_{2} + G_{1} und schließlich zunächst π(f_{2}^{8}) = F_{1} ∩ (E_{1} ∩ F_{2} + W) + G_{2}, wobei letzteres aber zu F_{1} + G_{2} vereinfacht werden kann, denn sind x ∈ π(A_{1}^{8}) = F_{2} ∩ (G_{1} + W), y ∈ π(A_{2}^{8}) = E_{1} ∩ W und x + y ∈ F_{1} + G_{2}, so folgt für geeignete f ∈ F_{1}, g ∈ G_{2}, daß x+y = f +g, also F_{2} ∋ x−g = f −y ∈ E_{1}, das heißt x − g ∈ E_{1} ∩ F_{2} und somit f = (x − g) + y ∈ E_{1} ∩ F_{2} + E_{1} ∩ W. Das beendet den Beweis von Behauptung 2. Behauptung 3: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls die folgenden sieben Bedingungen für fast alle Ẽ_{7}-Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt sind: Die Bedingungen i. bis vi. aus Behauptung 2, sowie

vii. A_{1} = E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{1}+W} E_{1} ∩ F_{2} ⟶^{G_{2}+W} A_{1}.

Beweis der Behauptung: Wie in a. des Beweises von Behauptung 2. gesehen, ist iii. gerade � _{b_{2}} für Ẽ_{7}; und vii. ist einfach � _{b_{1}}, wobei die Kompositionen f_{2}f_{1} und f_{4}f_{3} wie üblich ausgerechnet worden sind. (Für die f_{i} siehe (20) bis (23) auf Seite 235.) Behauptung 4: Für fast alle Präprojektiven U (von Defekt −1) gilt: Um Bedingung j.^{n} aus Behauptung 3 für C^{+}(U) nachzuweisen, genügt es, Bedingung (j+vii).^{n} der folgenden Liste für U zu verifizieren:

viii. A_{1} = F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1}) ⟶^{G_{2}} F_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{E_{1}} A_{1};

ix. A_{1} = (W + G_{2}) ∩ (G_{1} + E_{1} ∩ F_{2}) ⟶^{W} E_{1} ∩ E_{2} ∩ (W + G_{2}) ⟶^{F_{1}} A_{1};

x. A_{1} = G_{2} ⟶^{G_{1}+W} F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1}) ⟶^{E_{1}} A_{1};

xi. A_{1} = E_{1} ∩ W ⟶^{E_{2}} (W + G_{2}) ∩ (G_{1} + E_{1} ∩ F_{2}) ⟶^{F_{1}} A_{1};

xii. A_{1} = G_{1} ⟶^{E_{2}} E_{1} ∩ W ⟶^{F_{1}∩(W +G_{2})+E_{1}∩F_{2}} A_{1};

xiii. A_{1} = G_{2} ⟶^{E_{1}∩F_{2}+W} E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{1}+W} A_{1};

xiv. A_{1} = F_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{F_{1}∩E_{2}+W} G_{2} ⟶^{E_{1}} A_{1}.

Beweis der Behauptung: Der Beweis verläuft natürlich ganz analog zu dem von Behauptung 1. Es ist R^{+} = ker(W ⊕E_{1} ⊕E_{2} → R) (Tatsache 5.4.1); mit π_{i} sei in diesem Beweis die Projektion π_{i} : R^{+} → E_{i} auf die zweite bzw. dritte Koordinate von R^{+} bezeichnet. Benutzt wird im folgenden, daß π_{1} auf E_{2}^{+} und π_{2} auf E_{1}^{+} injektiv sind (klar); außerdem ist π_{2} auf W^{+}+G_{1}^{+} injektiv: Ist nämlich (0, e_{1}, −e_{1})+(e_{2}, 0, −e_{2}) = (e_{2}, e_{1}, −e_{1} −e_{2}) ∈ (W^{+} +G_{1}^{+})∩ker(π_{2}), so folgt e_{1} = −e_{2} ∈ W ∩ E_{1} ∩ E_{2} = 0 (wegen Lemma 8.3.3 oder Lemma 8.3.4, denn die Gleichung W ∩ E_{1} ∩ E_{2} = 0 ist gerade γ_{{W,E_{1}∩E_{2}}}^{∩}, folgt also aus γ_{b_{2}}^{∩} für Ẽ_{7}, gilt demnach für Unzerlegbare aus A).

viii. Die A_{i} und f_{i} seien wie in Punkt i. von Behauptung 3. Es gilt A_{1}^{+}, A_{2}^{+} ⊆ E_{1}^{+}, so daß also π_{2} injektiv auf A_{1}^{+} +A_{2}^{+} ist. Leichte Rechnungen zeigen, daß π_{2}(A_{1}^{+}) = F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1}), π_{2}(A_{2}^{+}) = F_{2} ∩ (W + G_{1}), π_{2}(f_{1}^{+}) = π_{2}(F_{2}^{+} ∩ E_{1}^{+}) = G_{2} ∩ (F_{1} + W) und schließlich π_{2}(f_{2}^{+}) = π_{2}((G_{2}^{+} + W^{+}) ∩ E_{1}^{+}) = E_{1} ∩ E_{2} ∩ (F_{1} + W). Da π_{2}(A_{i}^{+}) ⊆ (F_{1} + W) ∩ E_{2}, vereinfachen sich π_{2}(f_{1}^{+}) bzw. π_{2}(f_{2}^{+}) zu G_{2} bzw. zu E_{1}: Das ist viii. ix. Betrachte ii. von Behauptung 3; A_{i}, f_{i} wie dort. Es ist A_{i}^{+} ⊆ E_{2}^{+}; man argumentiert mit π_{1} ganz ähnlich wie eben. x. A_{i} wie in iii. Da A_{i}^{+} ⊆ E_{1}^{+}, ist π_{2} injektiv auf A_{1}^{+} + A_{2}^{+}. Ausrechnen der π_{2}(A_{i}^{+}) bzw. π_{2}(f_{i}^{+}) ergibt als Bedingung zunächst

π_{2}(A_{1}^{+}) = G_{2} ∩ (F_{1} + W) ⟶^{E_{2}∩(W +G_{1})} F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1}) ⟶^{E_{1}∩E_{2}∩(W +F_{1})} π_{2}(A_{1}^{+}).

Dies ist äquivalent zu

π_{2}(A_{1}^{+}) = G_{2} ∩ (F_{1} + W) ⟶^{W +G_{1}} F_{2} ∩ (W ∩ E_{2} + F_{1}) ⟶^{E_{1}} π_{2}(A_{1}^{+}),

was wiederum aus x. folgt. Bei xi. und xii. verwendet man ganz entsprechend π_{1}; bei xiii. (A_{i} wie in vi.) ist A_{i}^{+} ⊆ W^{+} + G_{1}^{+}, so daß π_{2} geeignet ist. xiv. Man erhält aus vii. von Behauptung 3 mit π_{2} zunächst

π_{2}(A_{1}^{+}) = F_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{E_{2}∩(F_{1}∩E_{2}+W)} G_{2} ∩ (W + F_{1}) ⟶^{E_{1}∩E_{2}∩(F_{1}+W)} π_{2}(A_{1}^{+});

dies vereinfacht sich zu

π_{2}(A_{1}^{+}) = F_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{F_{1}∩E_{2}+W} G_{2} ∩ (W + F_{1}) ⟶^{E_{1}∩(W +F_{1})} π_{2}(A_{1}^{+}),

und das wiederum folgt aus xiv.: Denn – f_{i}, A_{i} nun bezogen auf xiv. – im(f_{1}) ⊆ W + F_{1} ist automatisch; zwar vergrößert sich beim Übergang zu xiv. im(f_{2}) etwas, aber schon im(Y) = im(f_{2}f_{1}) ist unverändert. Das beweist Behauptung 4.

Da viii. von Behauptung 4 und ii. von Behauptung 3, bzw. x. von Behauptung 4 und iv. von Behauptung 3 übereinstimmen, erhält man – zusammen mit Lemma 8.8.1 – aus den Behauptungen 3 und 4 zunächst zwei mal sieben minus zwei, also zwölf Bedingungen, aus deren Gültigkeit für fast alle Ẽ_{7}- Unzerlegbaren von Defekt −1, die im Bild von S_{7} oder T_{7} liegen, die � _{b_{i}}, i = 1, 2 (bzw. i = 1, 2, 3), für fast alle Ẽ_{7}- (bzw. Ẽ_{8}-) Unzerlegbaren von Defekt −1 folgen. Berücksichtigt man nun, daß T_{7} aus S_{7} durch “Vertauschen der Arme” entsteht, so erhält man (indem man zu diesen eben erhaltenen zwölf Gleichungen noch die zwölf hinzufügt, die durch Vertauschen der Indizes 1 und 2 aus ihnen entstehen) Behauptung 5: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls die folgenden 24 Bedingungen für fast alle Ẽ_{7}-Unzerlegbaren von Defekt −1, die im Bild von S_{7} liegen, erfüllt sind:

i. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{F_{2}} E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{2}+W} A_{1};

9.2. BEWEIS VON LEMMA 8.8.11 249

ii. A_{1} = F_{2} ∩ (E_{2} ∩ F_{1} + W) ⟶^{G_{2}} F_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{E_{1}} A_{1};

iii. A_{1} = F_{2} ∩ E_{1} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{W +G_{2}} A_{1};

iv. A_{1} = G_{2} ⟶^{G_{1}+W} F_{2} ∩ (E_{2} ∩ F_{1} + W) ⟶^{E_{1}} A_{1};

v. A_{1} = E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{1}+W} G_{2} ⟶^{E_{1}∩F_{2}+W} A_{1};

vi. A_{1} = F_{2} ∩ (G_{1} + W) ⟶^{G_{1}+W ∩E_{2}} E_{1} ∩ W ⟶^{F_{1}+G_{2}} A_{1};

vii. A_{1} = E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{1}+W} E_{1} ∩ F_{2} ⟶^{G_{2}+W} A_{1};

viii. A_{1} = (W + G_{2}) ∩ (G_{1} + E_{1} ∩ F_{2}) ⟶^{W} E_{1} ∩ E_{2} ∩ (W + G_{2}) ⟶^{F_{1}} A_{1};

ix. A_{1} = E_{1} ∩ W ⟶^{E_{2}} (W + G_{2}) ∩ (G_{1} + E_{1} ∩ F_{2}) ⟶^{F_{1}} A_{1};

x. A_{1} = G_{1} ⟶^{E_{2}} E_{1} ∩ W ⟶^{F_{1}∩(W +G_{2})+E_{1}∩F_{2}} A_{1};

xi. A_{1} = G_{2} ⟶^{E_{1}∩F_{2}+W} E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{1}+W} A_{1};

xii. A_{1} = F_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{F_{1}∩E_{2}+W} G_{2} ⟶^{E_{1}} A_{1};

xiii. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{2} + W) ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ F_{2} ⟶^{G_{1}+W} A_{1};

xiv. A_{1} = F_{1} ∩ (E_{1} ∩ F_{2} + W) ⟶^{G_{1}} F_{1} ∩ (W + G_{2}) ⟶^{E_{2}} A_{1};

xv. A_{1} = F_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}} E_{1} ∩ E_{2} ∩ (G_{2} + W) ⟶^{W +G_{1}} A_{1};

xvi. A_{1} = G_{1} ⟶^{G_{2}+W} F_{1} ∩ (E_{1} ∩ F_{2} + W) ⟶^{E_{2}} A_{1};

xvii. A_{1} = E_{1} ∩ F_{2} ⟶^{G_{2}+W} G_{1} ⟶^{E_{2}∩F_{1}+W} A_{1};

xviii. A_{1} = F_{1} ∩ (G_{2} + W) ⟶^{G_{2}+W ∩E_{1}} E_{2} ∩ W ⟶^{F_{2}+G_{1}} A_{1};

xix. A_{1} = E_{1} ∩ F_{2} ⟶^{G_{2}+W} E_{2} ∩ F_{1} ⟶^{G_{1}+W} A_{1};

xx. A_{1} = (W + G_{1}) ∩ (G_{2} + E_{2} ∩ F_{1}) ⟶^{W} E_{1} ∩ E_{2} ∩ (W + G_{1}) ⟶^{F_{2}} A_{1};

xxi. A_{1} = E_{2} ∩ W ⟶^{E_{1}} (W + G_{1}) ∩ (G_{2} + E_{2} ∩ F_{1}) ⟶^{F_{2}} A_{1};

xxii. A_{1} = G_{2} ⟶^{E_{1}} E_{2} ∩ W ⟶^{F_{2}∩(W +G_{1})+E_{2}∩F_{1}} A_{1};

xxiii. A_{1} = G_{1} ⟶^{E_{2}∩F_{1}+W} E_{1} ∩ F_{2} ⟶^{G_{2}+W} A_{1};

xxiv. A_{1} = F_{1} ∩ (W + G_{2}) ⟶^{F_{2}∩E_{1}+W} G_{1} ⟶^{E_{2}} A_{1}.

Behauptung 6: Für fast alle Ẽ_{6}-Präprojektiven U folgt aus der Bedingung j.^{n}, j. aus der folgenden Liste, die Gültigkeit von j.^{n}, j. aus Behauptung 5, für S_{7}(U).

i. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{E_{3}} F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

ii. A_{1} = (F_{1} + F_{2}) ∩ E_{3} ⟶^{F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

iii. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

iv. A_{1} = F_{3} ⟶^{E_{2}} (F_{1} + F_{2}) ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

v. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{2}} F_{3} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} A_{1};

vi. A_{1} = E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{1}+F_{3}} A_{1};

vii. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{2}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

viii. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{E_{2}} E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}) ⟶^{F_{1}} A_{1};

ix. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}} A_{1};

x. A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{2}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

xi. A_{1} = F_{3} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} F_{1} ⟶^{E_{2}} A_{1};

xii. A_{1} = E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}+F_{2}} F_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

xiii. A_{1} = E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}) ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{E_{2}} A_{1};

xiv. A_{1} = F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} E_{2}/F_{2} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} A_{1};

xv. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{3}} E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}) ⟶^{E_{2}} A_{1};

xvi. A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} F_{1} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} A_{1};

xvii. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{2}} A_{1};

xviii. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{1}∩E_{2}+F_{3}} F_{2} ⟶^{E_{3}} A_{1};

xix. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} F_{1} ⟶^{E_{2}} A_{1};

xx. A_{1} = E_{2} ∩ (F_{1} + F_{3}) ⟶^{F_{2}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{E_{3}} A_{1};

xxi. A_{1} = F_{2} ⟶^{E_{1}} E_{2} ∩ (F_{1} + F_{3}) ⟶^{E_{3}} A_{1};

xxii. A_{1} = F_{3} ⟶^{E_{1}} F_{2} ⟶^{F_{1}+E_{2}∩E_{3}} A_{1};

xxiii. A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{2}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

xxiv. A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1}.

Dabei ist in Erweiterung der üblichen Vereinbarung etwa die Abbildungsvorschrift E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{2}} E_{1} ∩ E_{3} von Punkt x. zu verstehen als \overline{e} ↦ e′, falls e + e′ ∈ F_{1} + F_{2}, mit e ∈ E_{2} und e′ ∈ E_{1} ∩ E_{3}. Beweis der Behauptung: Der Beweis geht wie der von Behauptung 2: Entsprechend sei π die Projektion auf die zweite Koordinate von E_{2}/F_{2} ⊕ Q (siehe Definition 5.4 für den Funktor S_{7}), π : E_{2}/F_{2} ⊕ Q → Q. A_{i} und f_{i} beziehe sich jeweils auf die gerade betrachtete Bedingung aus Behauptung 5; und A_{i}^{7}, f_{i}^{7} etc. seien die Übersetzungen vermöge S_{7}, das heißt für Unzerlegbare U über Ẽ_{6} gelte, daß A_{i}^{7}(U) = A_{i}(S_{7}(U)). – Man beachte noch, daß sowohl in der Standardnotation von Unterraumsystemen über Ẽ_{6}, als auch in der von solchen über Ẽ_{7} Unterräume E_{i} und F_{i} vorkommen; Konfusion ist also nicht ganz ausgeschlossen, jedenfalls aber nicht beabsichtigt.

π ist injektiv auf A_{1}^{7} +A_{2}^{7}, falls A_{1}, A_{2} ⊆ E_{2} (Dies ist der Fall bei i. bis v., vii., xi. bis xiii., xv. und xix. bis xxii.), bzw. A_{1}, A_{2} ⊆ F_{2} + E_{1} ∩ W (Punkt vi.) oder falls A_{1}, A_{2} ⊆ W + G_{2} (in den Fällen viii., ix. und xviii.). In allen diesen Fällen sind die Rechnungen ganz einfach und einander sehr ähnlich, daher hier nur als Beispiel viii. Es ist A_{1}^{7} = (Δ(E_{2})+0⊕F_{3})∩(E_{2}/F_{2} ⊕0+0⊕E_{1} ∩E_{3}) = (Δ(E_{2})+0⊕ F_{3})∩E_{2}/F_{2}⊕E_{1}∩E_{3} = \{(\overline{e}, e′) | e′ ∈ E_{1}∩E_{3}∩(E_{2}+F_{3}), e ∈ E_{2}, e′−e ∈ F_{3}\}, A_{2}^{7} = 0⊕E_{1}∩(F_{2}+F_{3}), f_{1}^{7} = Δ(E_{2}) und f_{2}^{7} = E_{2}/F_{2}⊕F_{1}∩(Δ(E_{2})+0⊕F_{3}). Nach Anwenden von π erhält man also zunächst als Gleichung

π(A_{1}^{7}) = E_{1} ∩ E_{3} ∩ (E_{2} + F_{3}) ⟶^{E_{2}} E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}) ⟶^{F_{1}∩(E_{2}+F_{3})} π(A_{1}^{7});

Da aber beide π(A_{i}^{7}) ⊆ E_{2} + F_{3}, vereinfacht sich π(f_{2}^{7}) sofort zu F_{1}, und es ist klar, daß aus Bedingung viii. von Behauptung 6 diese hier folgt. Die verbleibenden Punkte erfordern eine genauere Untersuchung: x. Man erhält A_{1}^{7} = E_{2}/F_{2} ⊕ 0, A_{2}^{7} = Δ(E_{1} ∩ E_{2}), f_{1}^{7} = 0 ⊕ Q und f_{2}^{7} = E_{2}/F_{2} ⊕ F_{1} ∩ (Δ(E_{2}) + 0 ⊕ F_{3}) + 0 ⊕ (E_{1} ∩ E_{3}) = \{(\overline{e}, f_{1}) | e ∈ E_{2}, f_{1} ∈ F_{1}, e − f_{1} ∈ F_{3}} + 0 ⊕ (E_{1} ∩ E_{3}). Identifiziert man A_{2}^{7} mit E_{1} ∩ E_{2} und A_{1}^{7} mit E_{2}/F_{2}, so ergibt sich, daß f_{1}^{7}(\overline{e}) = e′ ∈ E_{1} ∩ E_{2}, falls e′ der – dann eindeutig bestimmte – Repräsentant von \overline{e} in E_{1} ∩ E_{2} ist. Und eine kleine Rechnung zeigt, daß für e ∈ E_{1} ∩ E_{2} gilt: f_{2}^{7}(e) = \overline{e′}, falls es e_{3} ∈ E_{1} ∩ E_{3} und f_{1} ∈ F_{1} gibt, so daß e = f_{1} + e_{3} und e′ + e_{3} ∈ F_{2} + F_{3}, das heißt – bis auf das Vorzeichen – falls e bezüglich der partiellen direkten Zerlegung E_{1}∩E_{3}+F_{1} (“partielle direkte Zerlegung”: Das soll einfach heißen, daß die Summe E_{1} ∩ E_{3} + F_{1} direkt ist.) und e′ bezüglich der partiellen direkten Zerlegung E_{1} ∩ E_{3} + F_{2} + F_{3} die gleiche E_{1} ∩ E_{3}-Koordinate haben. (Insbesondere wird die Existenz solcher Zerlegungen für e und e′ verlangt; die Direktheit ist jeweils klar.) Also ist zu der Bedingung

A_{1}^{7} ⟶^{f^{7}_{1}} A_{2}^{7} ⟶^{f^{7}_{2}} A_{1}^{7}

offenbar die Bedingung

E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{2}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} E_{2}/F_{2}.

äquivalent. Die übliche Überlegung zeigt, daß hierfür aber die Bedingung x. genügt. xvii. Identifiziert man hier A_{1}^{7} = 0⊕E_{1} ∩E_{3} mit E_{1} ∩E_{3} und A_{2}^{7} = E_{2}/F_{2} ⊕0 mit E_{2}/F_{2}, so induziert f_{1}^{7} = Δ(E_{2}) + 0 ⊕ F_{3} die Abbildung, die e ∈ E_{1} ∩ E_{3} auf \overline{e′} wirft, falls e′ die E_{2}-Koordinate von e bezüglich der partiellen direkten Zerlegung E_{2} + F_{3} ist; (f_{2}^{7})^{−1} induziert die Abbildung, die e ∈ E_{1} ∩ E_{3} auf \overline{e′} wirft, falls e′ die E_{2}-Koordinate von e bezüglich der partiellen direkten Zerlegung E_{2} + F_{1} ist. Also bietet sich als geeignete Bedingung tatsächlich xvii. von Behauptung 6 an. xxiii. Aus Symmetriegründen klar mit xvii. xiv. ist ganz ähnlich. Für die noch abzuhakenden Punkte xxiv. und xvi. hier noch eine Teilbehauptung: Seien Y und Y′ zwei partielle lineare Operationen auf dem k-Vektorraum A. Es gelte dom(Y′) ⊆ dom(Y) und Y′ = Y + a auf dom(Y′) für ein a ∈ k. Ferner sei A = dom((Y′)^{2n}) + im((Y′)^{2n}). Dann folgt A = dom(Y^{n}) + im(Y^{n}). Beweis der Teilbehauptung: Zunächst zeigt man durch Induktion nach i, daß dom(Y′)^{i} ⊆ dom(Y^{i}) und daß auf dom(Y′)^{i} gilt Y^{′i} = Y^{i} +iaY^{i−1} +…+a^{i}: Für i = 1 ist das klar; sei nun x ∈ dom(Y′)^{i+1}, also einerseits Y^{′i}(x) ∈ dom(Y′) ⊆ dom(Y) und andererseits nach Induktionsvoraussetzung: x ∈ dom(Y′)^{i} ⊆ dom(Y)^{i} und Y^{′i}x = Y^{i}x + (iaY^{i−1}x + …). Nun sind also Y^{′i}x und der Inhalt der Klammer in dom(Y), also auch Y^{i}x ∈ dom(Y), das heißt x ∈ dom(Y)^{i+1}. Und (Y′)^{i+1}x = Y′(Y^{′i}x) = (Y + a)(Y^{′i}x) nach dem Fall i = 1; mit der Induktionsvoraussetzung folgt nun die gewünschte Gleichung.

– Zum Beweis der Teilbehauptung genügt es daher zu zeigen, daß

im(Y′)^{2n} ⊆ im(Y^{n}) + dom(Y^{n}).

Das ist jetzt aber eine leichte Rechnung: Für x ∈ dom(Y′)^{2n} ist Y^{′2n}x = Y^{2n}x + 2naY^{2n−1}x + …, und da, wie eben gezeigt, x ∈ dom(Y′)^{2n} ⊆ dom(Y^{2n}) gilt, ist hier jeder Summand in dom(Y^{n}) oder in im(Y^{n}). Das beweist die Teilbehauptung. xxiv. Man rechnet hier aus, daß A_{1}^{7} = E_{2}/F_{2}⊕F_{1}∩(Δ(E_{2})+0⊕F_{3}) = \{(\overline{e}, f) | e ∈ E_{2}, f ∈ F_{1}, f −e ∈ F_{2} +F_{3}}, A_{2}^{7} = E_{2}/F_{2} ⊕0, f_{1}^{7} = 0⊕(E_{1} ∩E_{3})+Δ(E_{2}) und f_{2}^{7} = 0 ⊕ Q.

π′ : E_{2}/F_{2} ⊕ Q → E_{2}/F_{2} ist injektiv auf A_{1}^{7}; identifiziert man A_{1}^{7} mit dem Bild von A_{1}^{7} unter π′ und analysiert man, was Y := f_{2}^{7}f_{1}^{7} bedeutet, dann erhält man, daß Y die Form Y′ − 1 hat, wobei Y′ die Abbildung π′(A_{1}^{7}) = (E_{2} ∩ (F_{1} + F_{2} + F_{3}))/F_{2} → π′(A_{1}^{7}) ist, die \overline{e} auf \overline{e′} abbildet, falls es f ∈ F_{1}, f′ ∈ F_{3}, e′′ ∈ E_{1} ∩ E_{3} gibt, so daß f = e′ + e′′ = e + f′. Wegen der Teilbehauptung eben genügt es also, die folgende Bedingung

π′(A_{1}^{7}) = (E_{2} ∩ (F_{1} + F_{2} + F_{3}))/F_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} F_{1} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} π′(A_{1}^{7})

zu zeigen, denn die Komposition der Abbildungen π′(A_{1}^{7}) → F_{1} und F_{1} → π′(A_{1}^{7}) ist gerade Y′. Diese Bedingung folgt aber aus xxiv. xvi. Hier erhält man sofort A_{1}^{7} = E_{2}/F_{2} ⊕0, A_{2}^{7} = E_{2}/F_{2} ⊕F_{1} ∩(Δ(E_{2})+0⊕ E_{1} ∩ E_{3}) = \{(\overline{e}, f) | f ∈ F_{1}, f − e ∈ E_{1} ∩ E_{3} + F_{2}\}, f_{1}^{7} = Δ(E_{2}) + 0 ⊕ F_{3} und f_{2}^{7} = 0 ⊕ Q. Identifiziert man A_{1}^{7} mit E_{2}/F_{2} und vertauscht f_{1}^{7} und f_{2}^{7} (was wegen Vorbemerkung c. eine äquivalente Gleichung liefert), dann ergibt sich für die Komposition der Abbildungen Y, daß

Y : \overline{e} ↦ \overline{e′},

falls es f ∈ F_{1} gibt, so daß e die E_{2}-Koordinate von f bezüglich der partiellen direkten Zerlegung E_{2} + E_{1} ∩ E_{3} ist und \overline{e + e′} die E_{2}-Koordinate von f bezüglich der partiellen direkten Zerlegung E_{2} +F_{3}. Y ist also von der Form Y′ − 1, wobei Y′ die Abbildung \overline{e} ↦ \overline{e + e′} ist, die beschrieben wird als Komposition der beiden Abbildungen in Punkt xvi. von Behauptung 6 (bis auf Reihenfolge). Das erledigt auch Punkt xvi. und damit Behauptung 6.

Behauptung 7: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2 bei Ẽ_{7}, bzw. i = 3 bei Ẽ_{6}), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-, bzw. Ẽ_{6}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls die folgenden 11 Bedingungen für fast alle Ẽ_{6}-Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt sind:

i. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{E_{3}} F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

ii. A_{1} = (F_{1} + F_{2}) ∩ E_{3} ⟶^{F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

iii. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

iv. A_{1} = F_{3} ⟶^{E_{2}} (F_{1} + F_{2}) ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

v. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{2}} F_{3} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} A_{1};

vi. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{3}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

vii. A_{1} = E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} E_{3} ∩ (F_{1} + F_{2}) ⟶^{F_{3}} A_{1};

viii. A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{2}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

ix. A_{1} = F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} E_{2}/F_{2} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} A_{1};

x. A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} F_{1} ⟶^{E_{1}∩E_{3}+F_{2}} A_{1};

xi. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}+F_{2}} E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1}.

Beweis der Behauptung: Behauptungen 5 und 6 liefern zunächst 24 Bedingungen (nämlich die von Behauptung 6), so daß gilt: Sind diese für fast alle Ẽ_{6}-Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt, dann gelten die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2 bei Ẽ_{7}), für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-) Unzerlegbaren von Defekt −1. Bis auf Permutationen der Indizes bzw. Vertauschen von f_{1} und f_{2} (siehe Vorbemerkung c.) stimmen von den Bedingungen von Behauptung 6 aber überein: i., xii. und xix; ii., xiii. und xx; iii., vi. und ix; iv., xv. und xxi; v., xi., xviii. und xxii.; x. und xxiii; xvi. und xxiv. Damit bleiben nur die Gleichungen i. bis v., vii., viii., x., xiv., xvi. und xvii. zu betrachten: Aber dies sind – wieder bis auf Vertauschen von f_{1} und f_{2} und Permutationen der Indizes – genau die angegebenen. (Die letzte Permutation der Indizes bewirkt etwa, daß in Behauptung 7 nun vi. aus i. durch Vertauschen von A_{1} und A_{2} hervorgeht, was die folgenden Überlegungen erleichtern wird.)

Nun beachte man noch, daß im Falle Ẽ_{6} die Gleichung � _{b_{3}} gerade die Bedingung mit der Nummer i. ist. Das beweist Behauptung 7. Behauptung 8: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2 bei Ẽ_{7}, bzw. i = 3 bei Ẽ_{6}), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-, bzw. Ẽ_{6}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls nur die Bedingungen i. bis iv. und vi. bis viii. von Behauptung 7 für fast alle Ẽ_{6}-Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt sind, das heißt die folgenden sieben (in neuer Numerierung):

i. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{E_{3}} F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

ii. A_{1} = (F_{1} + F_{2}) ∩ E_{3} ⟶^{F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

iii. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

iv. A_{1} = F_{3} ⟶^{E_{2}} (F_{1} + F_{2}) ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

v. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{3}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

vi. A_{1} = E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} E_{3} ∩ (F_{1} + F_{2}) ⟶^{F_{3}} A_{1};

vii. A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{2}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1}.

Beweis der Behauptung: Es genügt, Bedingungen v. und ix. bis xi. von Behauptung 7 zu eliminieren. v. Dies ist äquivalent zu

A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{1}∩E_{3}} E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}) ⟶^{F_{2}} F_{3} ⟶^{E_{2}} A_{1}.

Denn man beachte Vorbemerkung c.; und: Seien x ∈ F_{1}, y ∈ F_{3}, x + y ∈ E_{1} ∩ E_{3} + F_{2}, also x + y = e + f für ein e ∈ E_{1} ∩ E_{3} und f ∈ F_{2}. Dann ist z := e − x = y − f ∈ E_{1} ∩ (F_{2} + F_{3}) und x + z ∈ E_{1} ∩ E_{3}, z − y ∈ F_{2}, wie zu zeigen war. – Und die eben angegebene Gleichung ist mit einem analogen Argument wiederum äquivalent zu

A_{1} = F_{1} ⟶^{(E_{1}∩)E_{3}} (F_{2} + F_{3}) ∩ E_{1} ⟶^{E_{2}} A_{1},

was bis auf eine Permutation der Indizes die Bedingung unter Punkt iv. aus Behauptung 7 ist. ix. ist mit einem Argument wie eben äquivalent zu

A_{1} = F_{1} ⟶^{F_{3}} E_{2} ∩ (F_{1} + F_{3}) ⟶^{F_{2}} E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{2}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{E_{1}∩E_{3}} A_{1}.

Und dies wiederum zu

A_{1} = F_{1} ⟶^{F_{3}} E_{2} ∩ (F_{1} + F_{3}) ⟶^{F_{2}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{E_{1}∩E_{3}} A_{1},

dies zu

A_{1} = F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{(E_{1}∩)E_{3}} A_{1}.

Das ist aber Gleichung vi. aus Behauptung 7 (Vorbemerkung c.). xi. geht ganz ähnlich: Die Bedingung von Punkt xi. ist äquivalent zu

A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}} E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{2}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{F_{3}} A_{1}

und dies zu

A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1},

also Punkt iii. aus Behauptung 7. x. Die Bedingungen viii. und xi., bzw. ix. und x. von Behauptung 7 gehen durch Vertauschen von A_{1} und A_{2} auseinander hervor. Daher zeigen die Überlegungen zu ix. und xi. eben, daß die partielle Operation Y = f_{2}f_{1} sich für viii. bzw. x. jeweils so beschreiben läßt: Bei Punkt viii. wähle zu gegebenem Element aus E_{2}/F_{2} einen (den) Repräsentanten aus E_{1} ∩ E_{2}, davon die E_{3}(∩E_{1})-Koordinate bezüglich der partiellen direkten Zerlegung F_{1} + E_{3}, dazu dann die E_{2}-Koordinate e bezüglich der partiellen direkten Zerlegung F_{3} + E_{2}, und diese werde auf \overline{e} abgebildet; in Punkt x. ganz genauso, nur wählt man die F_{1}-Koordinate bezüglich der partiellen direkten Zerlegung F_{1} + E_{3}.

Somit erhält man, daß Y von x. die Form 1−Y′ hat, wenn Y′ die partielle Operation aus Punkt viii. ist. Das beweist – wegen der Teilbehauptung im Beweis von Behauptung 6 – Behauptung 8. Behauptung 9: Für alle n und fast alle Präprojektiven U über Ẽ_{6} (von Defekt −1) gilt: Um Bedingung j.^{n} aus Behauptung 8 für C^{+}(U) nachzuweisen, genügt es, Bedingung (j+vii).^{n} der folgenden Liste für U zu verifizieren:

viii. A_{1} = F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

ix. A_{1} = E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{3}} A_{1};

x. A_{1} = E_{2} ∩ (F_{1} + F_{3}) ⟶^{E_{3}} F_{2} ⟶^{E_{1}} A_{1};

xi. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}+F_{3}} A_{1};

xii. A_{1} = E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{3}} A_{1};

xiii. A_{1} = F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1};

xiv. A_{1} = F_{2} ⟶^{F_{1}+E_{2}∩E_{3}} F_{3} ⟶^{E_{1}} A_{1}.

Beweis der Behauptung: Man geht vor wie im Beweis von Behauptung 4: Es ist Q^{+} = ker(E_{1} ⊕ E_{2} ⊕ E_{3} → Q) (Tatsache 5.3.1), sei π_{i} : Q^{+} → E_{i} die Projektion nach E_{i}. In den Fällen i. bis vi. (von Behauptung 8) ist A_{1}^{+}, A_{2}^{+} ⊆ E_{i}^{+} für i = 1 oder i = 3, also π_{2} auf A_{1}^{+} + A_{2}^{+} injektiv, da wegen Lemma 8.3.3 (oder Lemma 8.3.4) für Präprojektive F_{i} ∩ E_{k} = 0. Vorbemerkung c. zeigt dann wie üblich, daß für fast alle U von Defekt −1 aus π_{2}(A_{1}^{+}) → π_{2}(A_{2}^{+}) → π_{2}(A_{1}^{+}) folgt, daß die Bedingung A_{1}^{+} → A_{2}^{+} → A_{1}^{+} gilt, das heißt A_{1} → A_{2} → A_{1} für C^{+}(U) (wenn man möchte: für festes n und U); es sind also lediglich einige Projektionen auszurechnen: i. Man erhält zunächst

π_{2}(A_{1}^{+}) = F_{2} ∩ (F_{1} + E_{3}) ⟶^{E_{2}∩(F_{1}+F_{3})} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}∩E_{2}∩(F_{1}+E_{3})} π_{2}(A_{1}^{+}),

das sich sofort zu

π_{2}(A_{1}^{+}) = F_{2} ∩ (F_{1} + E_{3}) ⟶^{F_{1}+F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}∩(F_{1}+E_{3})} π_{2}(A_{1}^{+})

vereinfacht. Aber dies folgt aus

F_{2} ⟶^{F_{1}+F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{E_{1}} F_{2}.

Die übrigen der ersten sechs Punkte gehen ganz analog; übrigens folgt aber v. aus Symmetriegründen sofort aus i., entsprechend vi. aus ii. vii. Man betrachte die äquivalente Bedingung

A_{1} = E_{2}/F_{2} ⟶^{F_{2}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{3}} E_{2} ∩ E_{3} ⟶^{F_{2}} A_{1}

(siehe im Beweis von Behauptung 8 unter Punkt xi.). Es ergibt sich, daß A_{1}^{+} = E_{2}^{+}/F_{2}^{+} = ker(E_{1} ⊕ F_{2} ⊕ E_{3} → Q)/ ker(E_{1} ⊕ E_{3} → Q) ≃ F_{2}, A_{2}^{+} = E_{1}^{+} ∩ E_{2}^{+} = ker(F_{1} ⊕ F_{2} ⊕ E_{3} → Q), A_{3}^{+} = ker(F_{1} ⊕ E_{2} ⊕ F_{3} → Q) und A_{4}^{+} = ker(E_{1}⊕F_{2}⊕F_{3} → Q); entsprechend für die Abbildungen. Identifiziert man nun A_{1}^{+} mit F_{2}, dann zeigt eine Analyse der f_{i}^{+}, daß Y^{+} = f_{4}^{+} · . . . · f_{1}^{+} bis auf das Vorzeichen gleich ist der Komposition der drei Abbildungen in

F_{2} ⟶^{F_{1}} E_{3} ∩ (F_{1} + F_{2}) ⟶^{E_{2}} F_{3} ⟶^{E_{1}} F_{2}.

Dies ist aber (Zusammenfassen der ersten beiden Abbildungen) äquivalent zu

F_{2} ⟶^{F_{1}+E_{2}∩E_{3}} F_{3} ⟶^{E_{1}} F_{2}.

Das beweist Behauptung 9. Behauptung 10: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2 im Falle Ẽ_{7}, bzw. i = 3 im Falle Ẽ_{6}), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-, bzw. Ẽ_{6}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls die folgenden vier Bedingungen für fast alle Ẽ_{6}-Unzerlegbaren von Defekt −1, die im Bild des Funktors S liegen, erfüllt sind:

i. A_{1} = E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{E_{3}} F_{1} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

ii. A_{1} = E_{1} ∩ E_{3} ⟶^{F_{1}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

iii. A_{1} = F_{1} ⟶^{E_{3}} E_{1} ∩ E_{2} ⟶^{F_{2}+F_{3}} A_{1};

iv. A_{1} = E_{2} ∩ (F_{1} + F_{3}) ⟶^{E_{3}} F_{2} ⟶^{E_{1}} A_{1};

Beweis der Behauptung: Behauptung 8 und 9 liefern mit Lemma 8.8.7 zunächst, daß die angegebenen sechs � _{b_{i}} für fast alle Unzerlegbaren von Defekt −1 gelten, falls die Bedingungen i. bis xiv. dieser Behauptungen für fast alle Ẽ_{6}-Unzerlegbaren von Defekt −1, die im Bild von S sind, erfüllt sind. Modulo Vertauschen von f_{1} und f_{2} und Permutationen der Indizes gilt aber: Die Bedingungen viii., ix., xi. bis xiii. kommen unter den übrigen vor, und Bedingung xiv. ist bereits im Beweis von Behauptung 8 (als Bedingung v. von Behauptung 7) eliminiert worden; es genügen also i. bis vii. und x.

Behauptung 9 aber zeigt die folgende triviale (Nummern wie in Behauptung 8 und 9) Teilbehauptung: Sei U eine unter S_{3} (das heißt: unter Permutationen der drei “Arme” einer Darstellung bzw. der Indizes) und unter (C^{+})^{2} invariante Menge von präprojektiven Unzerlegbaren über Ẽ_{6}. Gilt i. (bzw. v., x., iii.) für fast alle U ∈ U, so auch vi. (bzw. ii., iv., vii.). Beweis der Teilbehauptung: Gilt i. für fast alle U ∈ U, so wegen der Invarianz unter S_{3} und Behauptung 9 auch v. für fast alle U ∈ C^{+}(U), damit dann – mit dem gleichen Argument – vi. für fast alle U ∈ (C^{+})^{2}(U). Wegen Satz 4.2.4 und der Invarianz ist (C^{+})^{2}(U) koendlich in U; somit gilt vi. für fast alle U. – Die nächsten beiden Fälle gehen genauso. Und der letzte: Aus iii. für fast alle U ∈ U folgt wegen der S_{3}-Invarianz xi. für fast alle U ∈ U, also iv. für fast alle U ∈ C^{+}(U), also (siehe im Beweis von Behauptung 8, Punkt v.) xiv. für fast alle U ∈ C^{+}(U), also vii. für fast alle U ∈ (C^{+})^{2}(U). Das beweist die Teilbehauptung. Diese Teilbehauptung wendet man nun an auf die Menge U = im(S) ∩ {U | δ(U) = −1}: Die Invarianz von im(S) ist Lemma 5.3.4 und Lemma 5.3.3, die von {U | δ(U) = −1} folgt aus Satz 4.2.4 iv. Das beweist die Behauptung. Behauptung 11: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2 im Falle Ẽ_{7}, bzw. i = 3 im Falle Ẽ_{6}), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-, bzw. Ẽ_{6}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls die folgenden vier Bedingungen für fast alle Ã_{5}-Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt sind:

i. W_{3} ⟶^{e{−1 \atop 2,3}} W_{2} ⟶^{e_{4,3}e{−1 \atop 4,5}e_{6,5}e{−1 \atop 6,1}e_{2,1}+e_{2,3}} W_{3};

ii. W_{1} ⟶^{e_{2,3}e{−1 \atop 2,1}} W_{3} ⟶^{e_{6,1}e{−1 \atop 6,5}e_{4,5}e{−1 \atop 4,3}} W_{1};

iii. W_{2} ⟶^{e_{4,3}e{−1 \atop 4,5}e_{6,5}e{−1 \atop 6,1}e_{2,1}+e_{2,3}} W_{3} ⟶^{e{−1 \atop 2,3}} W_{2};

iv. W_{2} ⟶^{e{−1 \atop 6,5}e_{4,5}e{−1 \atop 4,3}e_{2,3}} W_{6} ⟶^{e{−1 \atop 2,1}e_{6,1}} W_{2}.

Beweis der Behauptung: Der Beweis ist ähnlich dem der Behauptungen 2 und 6: Man übersetzt mittels des Funktors S die Bedingungen i. bis iv. aus Behauptung 10 in entsprechende für Ã_{5}-Unzerlegbare. Zum Beispiel ergibt i. von Behauptung 10 die Bedingung

A_{1} = 0 ⊕ W_{3} ⊕ 0 ⟶^{W_{1}⊕0⊕0} W_{2} = {(e_{2,1}(w_{2}), e_{2,3}(w_{2}), 0) | w_{2} ∈ W_{2}} ⟶^{W_{4}+W_{6}} A_{1};

dabei sind die W_{i} mit ihrem Bild in W_{1} ⊕ W_{3} ⊕ W_{5} identifiziert, also etwa W_{4} = {(0, e_{4,3}(w_{4}), e_{4,5}(w_{4})) | w_{4} ∈ W_{4}}. Das heißt, daß für w_{i} ∈ W_{i} gilt: f_{1}((0, w_{3}, 0)) = (e_{2,1}(w_{2}), e_{2,3}(w_{2}), 0), falls (e_{2,1}(w_{2}), w_{3} + e_{2,3}(w_{2}), 0) ∈ W_{1} ⊕ 0 ⊕ 0, das heißt falls w_{2} = −e_{2,3}^{−1}(w_{3}), bis auf das Vorzeichen also wie behauptet. Analog für f_{2}. Der Rest dieser Behauptung ist genauso einfach. Behauptung 12: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2 im Falle Ẽ_{7}, bzw. i = 3 im Falle Ẽ_{6}), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-, bzw. Ẽ_{6}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls nur für jedes n die folgenden beiden Bedingungen für fast alle Ã_{5}-Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt sind:

i. W_{1} = dom(Y^{n}) + im(Y^{n}) mit Y = (e_{6,1} + e_{2,1}e_{2,3}^{−1}e_{4,3}e_{4,5}^{−1}e_{6,5})e_{6,1}^{−1};

ii. W_{2} = dom(Y^{n}) + im(Y^{n}) mit Y = e_{2,3}^{−1}(e_{4,3}e_{4,5}^{−1}e_{6,5}e_{6,1}^{−1}e_{2,1} + e_{2,3}).

Beweis der Behauptung: i. ist gerade Punkt i. der letzten Behauptung, bis auf eine “Drehung um 120 Grad”; und Punkt ii. ist iii. von Behauptung 11. Es genügt also zu zeigen, daß ii. und iv. von Behauptung 11 für fast alle Ã_{5}-Unzerlegbaren von Defekt −1 erfüllt sind, falls dies für i und ii. aus Behauptung 12 gilt. Nun gilt aber ii. aus Behauptung 11 genau dann für fast alle Ã_{5}-Unzerlegbaren von Defekt −1, wenn die Bedingung

W_{1} ⟶^{e_{6,5}e{−1 \atop 6,1}} W_{5} ⟶^{e_{2,1}e{−1 \atop 2,3}e_{4,3}e{−1 \atop 4,5}} W_{1}

für fast alle Ã_{5}-Unzerlegbaren von Defekt −1 zutrifft: Denn sie geht aus ii. von Behauptung 11 durch eine “Spiegelung an der W_{1}-W_{4}-Achse” hervor (die natürlich Unzerlegbarkeit und Defekt invariant läßt). Nun zeigt die Teilbehauptung aus dem Beweis von Behauptung 6, daß diese Bedingung aus i. von Behauptung 12 folgt. Entsprechend sieht man ein, daß iv. aus ii. von Behauptung 12 folgt. Damit ist auch Behauptung 12 gezeigt.

Die präprojektiven Kronecker-Moduln P_{j} – siehe vor Lemma 5.1.5 – seien, in Abweichung von der dortigen Notation, notiert als

[figure: A; B; h; l]

mit den injektiven Abbildungen h, l : A ⟶ B, also mit dim(A) = j, dim(B) = j+1 in P_{j}. Dann sieht man leicht – etwa mit Lemma 5.1.2 oder Korollar 5.1.3 – , daß jedes präprojektive Unzerlegbare über Ã_{5} im Bild eines der folgenden neun Funktoren H_{1}, …, H_{9} von (präprojektiven) Kronecker-Moduln zu Ã_{5}- Darstellungen ist (siehe auch Seite 215); dabei gebe ich unter Punkt j. nur die Wirkung von H_{j} auf einem unzerlegbaren Kronecker-Modul wie eben an, es sei stets W_{i} ∈ {A, B} (in der Standardnotation von Ã_{5}-Darstellungen), und alle außer den angegeben e_{i,j} seien die Identität:

i. e_{4,5} = h, e_{4,3} = l;

ii. e_{6,1} = h, e_{6,5} = l;

iii. e_{2,3} = h, e_{2,1} = l;

iv. e_{4,5} = h, e_{2,1} = l;

v. e_{6,1} = h, e_{4,3} = l;

vi. e_{2,3} = h, e_{6,5} = l; vii. e_{4,5} = h, e_{6,5} = l;

viii. e_{6,1} = h, e_{2,1} = l;

ix. e_{2,3} = h, e_{4,3} = l.

Behauptung 13: Die � _{b_{i}}, i = 1, 2, 3 (bzw. i = 1, 2 im Falle Ẽ_{7}, bzw. i = 3 im Falle Ẽ_{6}), gelten für fast alle Ẽ_{8}- (bzw. Ẽ_{7}-, bzw. Ẽ_{6}-) Unzerlegbaren von Defekt −1, falls für jedes n die Bedingungen i. und ii. für fast alle (präprojektiven) Kronecker-Moduln P_{j} erfüllt sind (in der Notation wie eben):

i. B = dom(Y^{n}) + im(Y^{n}) mit Y = lh^{−1} + 1;

ii. A = dom(Y^{n}) + im(Y^{n}) mit Y = h^{−1}l + 1.

Beweis der Behauptung: Wie in den Beweisen der Behauptungen 2, 6 und 11 übersetzt man mittels der Funktoren H_{i} die beiden Bedingungen aus Behauptung 12 in entsprechende für Kronecker-Moduln; diese übersetzten Bedingungen haben alle die Form B = dom(Y^{n})+im(Y^{n}) bzw. A = dom(Y^{n})+ im(Y^{n}) für gewisse Y: Aus Punkt i. von Behauptung 12 erhält man der Reihe nach (via H_{1}, …, H_{9}, wobei ich jeweils nur die partielle Operation Y angebe) lh^{−1} + 1, (l + h)h^{−1}, lh^{−1} + 1, lh^{−1} + 1, (l + h)h^{−1}, h^{−1}l + 1, h^{−1}l + 1, (l + h)h^{−1}, h^{−1}l + 1. Und ii. liefert lh^{−1} + 1, lh^{−1} + 1, h^{−1}(l + h), h^{−1}l + 1, lh^{−1} + 1, h^{−1}(l + h), h^{−1}l + 1, h^{−1}l + 1, h^{−1}(l + h). Also bleiben nach Streichen von mehrfach vorkommenden Gleichungen nur die partiellen Operationen Y = lh^{−1} + 1, Y = lh^{−1} + hh^{−1}, Y = h^{−1}l + 1; man beachte, daß etwa h^{−1}(l + h) = h^{−1}l + h^{−1}h als partielle Operationen: denn ist l(a) + h(a) ∈ dom(h^{−1}), so wegen h(a) ∈ dom(h^{−1}) auch l(a) ∈ dom(h^{−1}); umgekehrt klar. Aber die ersten beiden dieser drei Operationen definieren die gleiche Operation, da ihre Definitionsbereiche übereinstimmen. Das beweist Behauptung 13.

Daß die P_{j} die Bedingungen aus Behauptung 13 erfüllen, ist eine leichte Verifikation.

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[��� 89] ��������� ������� ���������� �� ��������� ��������� ���� ������������ � �������� ������ ������� ����

[��� 82] ������� � ��������� �������� ����������� ������ � ��������� ������� � ������ ������ �� � ������ ���� � ���� ������� ������ ������� � ��������� �������� ���� �������� ��� ������� ���������� ���������� ����� �� ��������������� ������ � ������� ������� ����� ���� ���� ������ ������� ����. (Anhang zum ersten Band der russischen Übersetzung des Buches: John Barwise, Handbook of Mathematical Logic. North Holland, Amsterdam, 1977)

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Index

R-Mod, 8 Mod-R, 8 R-mod, 8 mod-R, 8 RL, 8 L_{R}, 8 ≤, 8 φ/ψ, 8 φ/ψ(M), 8 RT, 8 tp^{+}(ā), 9 tp^{−}(ā), 9 pp-tp(ā), 9 p^{+}, 9 p^{−}, 9 M^{[I]}, 10 H(p), 10 RI, 10 (φ/ψ), 10 I(T), 10 I(M), 11 p < q, 11 Dφ, 12 E(M), 12 f : (M, a) → (N, b), 14 R_{𝔭^{∞}}, 20 R̃_{𝔭}, 20 K, 20 OR/𝔭_{n}, 20

OR_{𝔭^{∞}}^{m}, 20

OR̃_{𝔭}^{m}, 20

O_{K}^{r}, 20 N(p), 23 C, 24 rad(R), 25 M^{⋆}, 26, 27 W^{⊥}, 27 V^{⊥}, 27 DT, 29 A_{n}, 32 D_{n}, 32 E_{6}, 32 E_{7}, 32 E_{8}, 32 Ã_{n}, 32, 89 D̃_{n}, 32, 99 Ẽ_{6}, 32, 105 Ẽ_{7}, 32, 111 Ẽ_{8}, 32, 116 τ, 34 τ^{−1}, 34 P_{0}, 34 P_{i}, 34 P, 34 I_{0}, 34 I_{i}, 34 I, 34 R, 35 \underline{dim}(M), 35, 100, 106, 112, 116 M^{α}, 35, 82 c, 35 q, 36 h̄, 36 δ, 36, 90, 101, 106, 112, 117 r(U), 44 dim^{⋆}, 44 R(U), 44 R′(M), 47 r′(U), 47 S_{ψ,ā}, 61 Tr(N), 65 \underline{End}_{R}(N), 65 1_{A}, 76 f ∼ f′, 76 End(f), 76 1_{A}, 79 αΔ, 81 C_{α}^{+}, 82 C_{α}^{−}, 82 C^{+}, 84 C^{−}, 84 e ∪ f, 88 e ∩ f, 88 ∗, 88 Ã_{2m−1}, 89 Ã_{1}, 89 Ã_{3}, 89 Ã_{5}, 90 Q, 92, 93, 172 P_{n}, 93 D̃_{4}, 99 diag, 101, 106, 112, 117 D, 103 D_{1,2}, 103 D′, 103 S, 107 T, 108 T_{1,2,3}, 108 S′, 108

T′, 109
S_{7}, 113
S′_{7}, 114
T_{7}, 114
S_{1}, 122
S′_{1}, 122
S_{i}, 123
k̃[X]_{(X),f=1}, 134
k̃[X]_{(X),g=1}, 134
RL^{P}, 141
RT^{P}, 141
C, 169
b_{i}, 170
γ_{Φ}^{∩}, 171
γ_{Φ}^{Σ}, 171
γ_{b_{i}}^{∩}, 171
γ_{b_{i}}^{Σ}, 171
γ^{∩}, 171
γ^{Σ}, 171
Ũ_{Φ}, 172
U_{Φ}^{∞}, 172
A, 176
AD̃, 176
A_{b,b′}, 180
A_{i}, 180, 239
f_{i}, 180, 239
X_{i}, 180, 181
ϵ, 180, 181
f, 181
g, 181
Y, 181
Ũ_{b′′}, 183
B_{b}, 188
A_{b,b′,b′′}, 192
V_{l}, 193
M_{l}, 194
� _{b′′}^{n}, 205
H_{i}, 215, 260

O(Ũ_{Φ}), 218 H, 221 H′, 221 J, 224 J′, 225 � _{b_{i}}^{n}, 238 � _{b_{i}}, 239 A_{i}^{+}, 239 f_{i}^{+}, 239 A_{i}^{8}, 244 f_{i}^{8}, 244 A_{i}^{7}, 251 f_{i}^{7}, 251

abelsche Struktur, 75 abgeschlossen, 11, 77 absolut rein, 12 Algebra

Artin-, 24 basische, 30 Basische, 30 hereditäre, 33 Köcher-, 31 reduzierte, 30 wilde, 36 zahme, 36 zusammenhängende, 30

alternierende Orientierung, 89 Artin-Algebra, 24 Auslander-Hülle, 52

in R-mod, 52 Auslander-Prä-Hülle, 52

in R-mod, 52 Auslander-Prä-Überdeckung, 52

in R-mod, 52 Auslander-Reiten-Folge

in R-mod, 52

in R-Mod, 52

Auslander-Translat, 34 Auslander-Überdeckung, 52

in R-mod, 52

basisch, 30

Basische Algebra, 30

Coxeter-Funktor, 84

Coxeter-Transformation, 35

Darstellungstyp endlicher, 24, 35 unendlicher, 35 von wildem, 36 von zahmem, 36

Defekt, 36 bei Ã_{2m−1}, 90 bei Ẽ_{6}, 106 bei Ẽ_{7}, 112 bei Ẽ_{8}, 117 bei Quadrupeln, 101 Dimensionstyp, 35, 100, 106, 112,

116 diskret, 35 duale Orientierung, 176 Dynkin-Köcher, 33

Einbettung, reine, 9

endlich axiomatisierbar, 140 im engeren Sinn, 140 modulo _{R}T, 141

endlich erzeugt, 14 endliche Hülle, 23 endlicher Darstellungstyp, 24 endlicher Darstellungstyp (links),

23 Epimorphismus, reiner, 9 Euklidischer Köcher, 33

Fittings Lemma, 22

frei, 14 freie Realisierung, 14

gewöhnlich, 172

hereditär, 33 homogen, 36 Homomorphismus, 8 Hülle

endliche, 23 rein-injektive, 10

interdefinierbar, 139, 140 Invariantenbedingung, 8 +-irreduzibel, 8

Köcher, 31 Dynkin-, 33 Euklidischer, 33

Köcheralgebra, 31 Klasse, abgeschlossene, 11, 77 koendlich erzeugt, 29 Kronecker-Modul, 89, 92

𝔭-adischer, 92 Prüfer, 92 stetiger, 93

links-rein-halbeinfach, 23

Modul, 8

𝔭-adischer, 20, 92, 93, 95, 134,

172 absolut reiner, 12 dualer, 26 Kronecker-, 89, 92 n-Zyklus, 91, 94 Peretjatkin-, 142 Prüfer-, 20, 92, 93, 172 rein-injektiver, 9 rein-projektiver, 9

Modulklasse, abgeschlossene, 11 modulo _{R}T endlich axiomatisier-

bar, 141

n-Zyklus, 91, 94 neg-isoliert, 11

durch ψ, 11

durch q, 11

neu, 202

Okoh, Satz von, 40 Orientierung

alternierende, 89

duale, 176

Paar von pp-Äquivalenzen, 79 𝔭-adischer Modul, 20 𝔭-adischer Modul, 92, 93, 95, 134,

172 𝔭-adisches, 20, 92, 93, 95, 134, 172

gewöhnliches, 172 sporadisches, 172

partielle direkte Zerlegung, 252 Peretjatkin-Modul, 142 Peretjatkin-Struktur, 142 Peretjatkin-Theorie, 142 +-irreduzibel, 8 pp-Äquivalenz, 79 pp-bi-interpretierbar, 76 pp-definierbar, 78 pp-Formel, 8 pp-homotop, 76 pp-Interpretation, 75 pp-interpretierbar, 75 pp-Isomorphismus, 79 pp-Paar, 8 pp-Retrakt, 76 pp-Transformation, 78 pp-Typ, 9

endlich erzeugter, 14 neg-isolierter, 11

unzerlegbarer, 10 präinjektiv, 34 Präinjektives, 34 präprojektiv, 34 Präprojektives, 34

neues, 202 Prüfer, 20, 92, 93, 172

gewöhnlicher, 172 sporadischer, 172

Prüfer-Modul, 20, 92, 93, 172 P -Sprache, 141

Quadrupel, 100 Quelle, 81

reduziert, 30 regulär, 35 rein, 9 rein-exakt, 9 rein-injektiv, 9 rein-injektive Hülle, 10 rein-projektiv, 9 reine Einbettung, 9 reiner Epimorphismus, 9 rekursiv, 128 Ring, 8

rekursiver, 128

Satz von Okoh, 40 Spiegelung, 81 Spiegelungsfunktor, 82 sporadisch, 172 P -Sprache, 141 Standardnotation

bei Ã_{1}, 89 bei Ã_{2m−1}, 89 bei Ã_{3}, 89 bei Ã_{5}, 90 bei Ã_{n}, 89 bei 2-Zyklen, 94 bei Ẽ_{6}, 105 bei Ẽ_{7}, 111 bei Ẽ_{8}, 116 bei Kronecker-Moduln, 89 bei n-Zyklen, 91 bei Quadrupeln, 100

Standardorientierung bei D̃_{4}, 99

bei Ã_{2m−1}, 89
bei Ẽ_{6}, 105
bei Ẽ_{7}, 111
bei Ẽ_{8}, 116

stetig, 36, 93, 105, 111, 115, 126

Struktur abelsche, 75 endlich axiomatisierbare, 140 interdefinierbare, 140 Peretjatkin-, 142

Theorie duale, 29 endlich axiomatisierbare, 140 im engeren Sinn, 140 interdefinierbare, 139 modulo _{R}T endlich axiomati-

sierbare, 141

uniforme Familie (von pp-Interpretationen),

77 Universum, 169 Unterraumsystem, 82 unzerlegbar, 10 Unzerlegbares

(X)-adisches, 95, 134

𝔭-adisches, 20, 92, 93, 95, 134,

172 diskretes, 35 gewöhnliches, 172 homogenes, 36 neg-isoliertes, 11 neues, 202 präinjektives, 34 präprojektives, 34 Prüfer, 20, 92, 93, 172 reguläres, 35 rein-injektives, 9 sporadisches, 172 stetiges, 36, 93, 105, 111, 115,

126

wild, 36

(X)-adisches, 95, 134

zahm, 36 Zerfällungsalgorithmus, 131 Ziegler-Spektrum, 10 Zieglersches Unzerlegbarkeitskrite-

rium, 10 Ziel, 81 zusammenhängend, 30 n-Zyklus, 91, 94