Lokale Stabilität in generischen Modellen

Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematischen Fakultät

der Albert–Ludwigs–Universität Freiburg im Breisgau

vorgelegt von

Ingo Kraus

überarbeitete Version, September 2001 Dekan: Prof. Dr. Wolfgang Soergel Referenten: Prof. Dr. Martin Ziegler, Freiburg

Prof. Dr. Andreas Baudisch, Berlin

Datum der Promotion: 9.3. 2001 Für meinen Vater

Einleitung

Die Stabilitätstheorie gehört zu den fruchtbarsten Gebieten der Modelltheorie. Obwohl bekannt war, daß Stabilität ein ”lokales Phänomen“ ist, wurde diesem Aspekt wenig Beachtung geschenkt, weil die betrachteten Theorien ”global stabil“ waren. Das hat sich geändert mit der Entdeckung, daß sich auch für die größere Klasse der einfachen Theorien guter Begriff von Unabhängigkeit definieren läßt. Denn obwohl einfache Theorien nicht mehr stabil sind, sind alle bekannten Beispiele hinreichend lokal stabil im folgenden Sinne: die Unabhängigkeitsrelation der einfachen Theorie hängt nur von stabilen Formeln ab. Ich werde in dieser Arbeit die lokale Stabilitätstheorie entwickeln, in dem verallgemeinerten Rahmen der ”generischen Modelle“.

Es sei T einer induktive Theorie. Falls T einen Modellbegleiter T^{∗} hat, so sind die generischen Modelle von T genau die |T^{∗}|^{+}-saturierten Modelle von T^{∗}. In diesem Fall gehört die lokale Stabilitätstheorie der generischen Modelle zur Folklore, denn sie fällt mit der lokalen Stabilitätstheorie von T^{∗} zusammen. Interessanter ist die Tatsache, daß man die lokale Stabilitätstheorie auch im nichtelementaren Fall entwickeln kann, d.h. wenn T keinen Modellbegleiter hat. Die generischen Modelle von T sind dann nicht mehr saturiert, bilden aber eine sich wohlverhaltende Klasse von sich wohlverhaltenden Modellen. Mein wichtigstes Beispiel einer solchen Klasse von generischen Strukturen ist die Klasse der generischen Automorphismen einer modellvollständigen stabilen Theorie. Ich behandele diese Dinge in den ersten beiden Kapiteln. Das dritte Kapitel beinhaltet verschiedene separate Resultate über generische Automorphismen.

In Kapitel 1 werde ich die Klasse G der generischen Modelle einer induktiven Theorie T einführen und ausführlich beschreiben. A. Pillay hat diese Klasse bereits in seinem preprint ”Forking in the category of existentially closed structures“ ([Pi3]) sehr knapp eingeführt. Ich bin unabhängig auf diese Klasse gestoßen, indem ich den Begriff des generischen Automorphismus verallgemeinert habe – deshalb spreche ich von ”generischen“ Modellen. Wie auch für Pillay war das preprint ”Simplicity and the Lascar group“ von E. Hrushovski ([Hr1]) inspirierend für mich für die Einführung der Klasse G. Im ersten Teil dieser Arbeit führt Hrushovski diese Klasse ein für den Spezialfall, daß T eine universelle Theorie mit der Amalgamierungseigenschaft und der joint embedding property ist. In diesem Fall verhält sich G noch etwas besser und Hrushovski skizziert grob, wie man Stabilitätstheorie in G entwickeln kann. Pillay entwickelt in [Pi3] Forking und Einfachheit in G.

In Kapitel 2 gehe ich in eine andere Richtung als Pillay und entwickele lokale Stabilität in G. Ich beweise alle bekannten Resultate aus den Grundlagen der Stabilitätstheorie, bis auf Symmetrie: obwohl eine für die lokale Stabilitätstheorie fundamentale Form der lokalen Symmetrie gilt, wird keine symmetrische Unabhängigkeitsrelation induziert. Das hängt zusammen mit einem Phänomen auf das ich besonders hinweisen möchte, es erscheint mir neu und von seiner Art ungewohnt: es sei Θ eine Familie von Formeln und D eine Instanz einer Formel aus Θ. Wenn D äquivalent zu einer Formel mit Parametern aus A ist, gibt es dann auch eine Instanz einer Formeln aus Θ mit Parametern aus A, zu der D äquivalent ist? Ich fasse das als eine subtile Abgeschlossenheitseigenschaft von Θ auf und nenne sie Striktheit. Sie hat einen wichtigen Einfluß darauf, welche modelltheoretischen Methoden man lokal für Θ verwenden kann und auf die lokal-global Interaktion zwischen Θ und der Theorie.

Ich möchte mich bedanken bei all denen, die mich in den letzten Jahren begleitet haben, dazu gehören neben meinen Freunden auch die Sängerinnen und Sänger des Tallis–Ensembles. Ohne die Aufmerksamkeit von Markus Junker wäre in der Arbeit wahrscheinlich die fünffache Anzahl von Fehlern. Mein Betreuer Prof. Martin Ziegler hatte immer Zeit für mich und ohne seine Hilfe wäre besonders das erste Kapitel unverständlich geblieben. Es war schön, ein bißchen an der ”reinen Kunst gerochen“ zu haben. Dieses Vergnügen verdanke ich in hohem Maße dem Einfluß von Martin Ziegler und allen anderen Mitarbeitern am Institut für Mathematische Logik der Universität Freiburg.

Notation

L ist eine Sprache der Logik der ersten Stufe. Wenn ich über die Kardinalität von L spreche, so meine ich die Kardinalität der Menge aller L-Aussagen. Strukturen sind L-Strukturen, sie dürfen leer sein, falls L keine Konstanten enthält. Modelle sind nicht leer. x ist (wenn nicht anders gesagt) ein endliches Tupel von Variablen, (partielle) Typen sind in endlich vielen Variablen und stets konsistent. (Partielle) Typen in unendlich vielen Variablen nenne ich (partielle) ⋆-Typen.

Ist A (B, M, ...) eine Struktur, so bezeichnet A (B, M, ...) den Träger der Struktur. Teilmengen C ⊂ A sind Teilmengen von A^{n} für ein n < ω. Wenn ich die Tupellänge spezifizieren möchte, so schreibe ich C ⊂ A^{n}. Ist C ⊂ A, so ist A_{C} die Struktur A mit Konstanten für die Elemente von C.

Inhaltsverzeichnis

1 Generische Modelle 1

1.1 Die generischen Modelle einer induktiven Theorie . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 K-generische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Amalgamierung und elementare Abbildungen . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Eine Charakterisierung der generischen Modelle . . . . . . . . . 12

1.2 Generische Modelle als ∃-Universalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Universalbereiche und Robinsontheorien . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Universal domains bei Pillay und Hrushovski . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Weitere Eigenschaften von generischen Modellen . . . . . . . . 22

1.3 Generische Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.1 Generische Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.2 Lokale Automorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4 ∃-Pseudomonster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.1 Pseudomonster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.2 ∃-Pseudomonster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.4.3 Ω-Universalbereiche und Ω-Pseudomonster . . . . . . . . . . . 49

2 Lokale Stabilitätstheorie 51

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1.1 Modelltheorie in Pseudomonstern . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1.2 Lokales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2.1 Charakterisierungen der Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.2 Starke Typen und Stationarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Lokale Stabilität in generischen Modellen . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3.1 (Γ, Y)-Freiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.3.2 Charakterisierungen der Freiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3.3 Der Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.3.4 Globale Symmetrie und Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.4.1 Quantorenfreie Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.4.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

A Generische Modelle 105 A.1 Existenziell abgeschlossene Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

B Lokale Stabilität 109 B.1 Der Rang in der Stonekorrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 B.2 Lokal stabile Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

B.2.1 Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 B.2.2 Generizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 B.2.3 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 ii INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Generische Modelle

In diesem Kapitel definiere ich die Klasse der generischen Modelle einer induktiven Theorie und studiere sie ausführlich. Im ersten Abschnitt führe ich diese Klasse ein und beweise einige grundlegende Eigenschaften. Generische Modelle sind stets ∃-Universalbereiche und als solche betrachte ich sie im zweiten Abschnitt. Dabei unterscheide ich verschiedene Arten von ∃-Universalbereichen danach, welche Familie von Formeln von partiellen Automorphismen erhalten werden müssen, damit diese elementar sind. In diesem Abschnitt bespreche ich auch die Ansätze von Hrushovski und Pillay genauer. Der dritte Abschnitt ist dem Hauptbeispiel dieser Arbeit gewidmet, den generischen Automorphismen einer modellvollständigen Theorie. Im letzten Abschnitt verallgemeinere ich die Idee, daß die Klasse der generischen Modelle einer induktiven Theorie erstens eine sich wohlverhaltende Klasse von Strukturen ist und zweitens aus sich wohlverhaltenden Strukturen besteht.

1.1 Die generischen Modelle einer induktiven Theorie

Es sei T eine induktive Theorie und κ > |L|. Ich definiere nun die Klasse der generischen Modelle von T und beweise in einem allgemeinen Rahmen die grundlegenden Eigenschaften. Danach gebe ich eine Charakterisierung der generischen Modelle, welche zum Begriff des Universalbereichs überleitet, den ich im nächsten Abschnitt besprechen werde.

1.1 Definition Ein κ-generisches Modell von T ist eine Struktur M, so daß für jede Menge Π(x) von existenziellen Formeln über einer Parametermenge A ⊂ M mit |A| < κ gilt: wenn Π in einem Obermodell N ⊃ M realisiert ist, so auch in M.^{1} Ein generisches Modell von T ist ein |L|^{+}-generisches Modell von T. G_{T} ist die Klasse der generischen Modelle von T.

Die in dieser Arbeit benötigten Definitionen und Tatsachen über existenziell abgeschlossene Strukturen behandele ich in Anhang A.1.

1Das ist [Pi3, Definition 2.7], Pillay nennt M ein ”κ-existentially universal model for T“.

1.2 Lemma

(1) Eine Struktur M ist genau dann ein κ-generisches Modell von T, wenn M existenziell abgeschlossen in T ist und κ-∃-saturiert.^{2}

(2) Die κ-generischen Modelle von T sind genau die κ-generischen Modelle von T_{∀}. Sie alle sind Modelle von T.

Beweis

(1) Es sei M existenziell abgeschlossen in T und κ-∃-saturiert, Π(x) sei eine Menge von existenziellen Formeln über einer Parametermenge aus M der Größe < κ, die in dem Obermodell N ⊃ M realisiert ist. Weil M existenziell abgeschlossen ist in N ist Π(x) endlich erfüllt in M, also realisiert wegen κ-∃-Saturation. Die Umkehrung ist klar.

(2) Die T -existenziell abgeschlossenen Strukturen sind genau die T_{∀}-existenziell abgeschlossenen Strukturen. Sie sind Modelle von T, denn T ist induktiv. Wegen (1) sind wir fertig. □

Die folgenden drei Sätze werde ich gleich in einem allgemeineren Setting beweisen.

1.3 Satz A

(1) Jedes Modell A von T hat eine Erweiterung M, die ein κ-generisches Modell von T ist. Ist |A| ≤ λ^{<κ} für eine unendliche Kardinalzahl λ, so kann auch |M| ≤ λ^{<κ} gewählt werden.

(2) Es seien M und N generische Modelle von T.

(i) Ist die universelle Theorie von M in der von N enthalten, so M ≡ N. (ii) Ist A eine in T existenziell abgeschlossene Struktur mit M ⊃ A ⊂ N, so

M ≡_{A} N.

Zwei Folgerungen aus Satz A möchte ich schon erwähnen:

• Sind M ⊂ N generische Modelle von T, so M ≺ N.

• T hat genau dann die Joint Embedding Property (JEP), wenn alle generischen Modelle von T elementar äquivalent sind.

1.4 Satz B Es seien M und N generische Modelle von T: jeder partielle Isomorphismus von M nach N, der die ∃-Formeln erhält, ist elementar.^{3}

1.5 Satz C Die universelle Theorie^{4} von T hat genau dann (AP), wenn jeder nichtleere partielle Isomorphismus zwischen generischen Modellen von T die existenziellen Formeln erhält. Falls T (JEP) hat, so reicht es, daß in jedem generischen Modell von T jeder partielle Automorphismus die existenziellen Formeln erhält.

Die in Satz C vorkommenden partiellen Isomorphismen sind dann wegen Satz B schon elementar.

2Eine Struktur ist κ-∃-saturiert, wenn jeder partielle existenzielle Typ der Struktur über einer Parametermenge < κ in der Struktur realisiert ist.

3Das ist eine Verallgemeinerung von Satz A (2).

4Das ist die Menge T_{∀} der universellen Aussagen, die aus T folgen.

1.1.1 K-generische Strukturen

Ich beweise nun die Sätze A, B und C in einem allgemeineren Rahmen: ich werde bezüglich einer gegebenen Klasse K von Strukturen mit einer Fraïssé-Konstruktion K-generische Strukturen einführen und für die so entstehende Klasse die gewünschten Eigenschaften zeigen.

Es sei K eine gegen Isomorphie abgeschlossene Klasse von L-Strukturen und κ > |L|. Wenn L keine Konstanten enthält, so darf K die leere Struktur enthalten.

1.6 Definition Eine K-Struktur M heißt κ-K-generisch, wenn es für alle A, B ∈ K mit |B| < κ und alle Einbettungen^{5} g : A → B und f : A → M eine Einbettung h : B → M gibt, so daß h ∘ g = f. M heißt K-generisch, wenn M |L|^{+}-K-generisch ist. K_{gen} sei die Klasse der K-generischen Strukturen.

Ich werde gleich zeigen (1.14), daß die generischen Modelle einer induktiven Theorie T genau die E_{T} -generischen Modelle sind, wobei E_{T} die Klasse der T -existenziell abgeschlossenen Strukturen ist.

1.7 Existenzlemma Ist K induktiv mit der Amalgamierungseigenschaft (AP), so hat jede K-Struktur eine κ-K-generische Erweiterung.

Beweis Es sei N ∈ K und (A_{i})_{i<λ} eine Aufzählung der K-Substrukturen von N der Größe < κ. Für jedes i < λ sei (B_{i}^{j})_{j<λ_{i}} eine (bis auf Isomorphie über A_{i}) Aufzählung der K-Oberstrukturen von A_{i} der Größe < κ. Wir ordnen die (i, j) lexikographisch und bauen mit Hilfe der (AP) und der Induktivität eine aufsteigende Kette in K, in deren Vereinigung N^{∗} sich jedes B_{i}^{j} über A_{i} einbetten läßt. Iteriert man die Konstruktion κ^{+}-mal^{6}, so erhält man eine κ-generische Struktur. □

Wenn K (AP) hat und die leere Struktur enthält, so hat K die (JEP). Es sei (LS) die folgende Eigenschaft:

(LS) Für jede K-Struktur M und jede Teilmenge C ⊂ M gibt es eine K-Struktur A der Kardinalität ≤ |L(C)|, so daß C ⊂ A ⊂ M.^{7}

1.8 Besseres Existenzlemma Ist K induktiv mit (AP) und (LS), so gilt für jedes λ mit λ^{<κ} = λ: Jede K-Struktur der Größe ≤ λ hat eine κ-K-generische Erweiterung der Größe ≤ λ.

Beweis Es sei |A| ≤ λ, wegen des Existenzlemmas gibt es eine (eventuell große) κ-K-generische Erweiterung M von A. Die Anzahl der Teilmengen von A der Größe < κ ist λ^{<κ} (siehe etwa [Jech, Seite 43]), es gibt also höchstens λ^{<κ}-viele K-Substrukturen von A der Größe < κ. Jede solche hat bis auf Isomorphie höchstens 2^{<κ} viele K-Erweiterungen, denn es gibt bis auf Isomorphie höchstens 2^{<κ} viele L-Strukturen der Größe < κ. Da M κ-K-generisch ist können wir annehmen, daß alle diese kleinen K-Erweiterungen von A schon Substrukturen von M sind. Alle diese Strukturen zusammen bilden dann eine Teilmenge von M der Größe ≤ λ^{<κ} · κ ≤ λ^{<κ} = λ und wegen (LS) (und weil λ > |L|) liegen sie alle in einer K-Substruktur N^{∗} von M mit |N^{∗}| ≤ λ. Falls κ < λ, so iterieren wir diese Konstruktion κ^{+}-mal und falls κ = λ, so ist κ regulär und wir iterieren κ-mal. In beiden Fällen erhalten wir eine κ-generische Substruktur von M der Größe ≤ λ. □

5Weil K abgeschlossen ist gegen Isomorphie, reicht es, für f und g Inklusionsabbildungen zu nehmen.

6Ist κ regulär, so braucht man nur κ-mal zu iterieren

7Ich werde diese Eigenschaft nur für K-generisches M verwenden.

(LS) ist auch für eine ganz andere Eigenschaft wichtig:

1.9 Vollständigkeitslemma K erfülle (LS), dann gilt für jede K-Struktur A der Größe < κ: je zwei κ-K-generische Erweiterungen von A sind partiell isomorph über A.

Beweis Es seien M und N κ-K-generische Erweiterungen von A und I = {f | f ist ein partieller Isomorphismus von M_{A} nach N_{A}, dessen Definitionsbereich eine kleine K-Substruktur von M_{A} ist}.

Behauptung: I hat die Hin-und-Her-Eigenschaft.

Beweis: Es sei f ∈ I, sei etwa B ⊃ A eine kleine K-Substruktur von M mit B = dom(f). Wir können annehmen, daß B ⊂ N und f = id_{B} (ersetze M durch eine isomorphe Kopie). Nun sei c ∈ M, dann gibt es wegen (LS) eine hinreichend kleine K-Struktur C ⊂ M mit c ∈ C. Da N κ-K-generisch ist, kann man C über B nach N einbetten, das liefert eine Fortsetzung von f in I. I hat also die Hin-Eigenschaft, entsprechend auch die Her-Eigenschaft. □

1.10 Korollar K erfülle (LS), dann gilt für alle K-generischen Strukturen M und N:

M ⊂ N ⇒ M ≺ N

Beweis Es sei a ein (endliches) Tupel aus M. Wegen (LS) gibt es eine K-Struktur A ⊂ M mit a ∈ A und |A| ≤ |L|. Wegen des Vollständigkeitslemmas sind dann M und N partiell isomorph über A, insbesondere M ≡_{A} N.^{8} Es gilt also M ≡_{M} N. □

Ich brauche nun eine schwache Abschlußeigenschaft von K gegen elementare Äquivalenz, um ein Kompaktheitsargument verwenden zu können. Diese zusätzliche Voraussetzung ist stark genug, um dann die Sätze A, B und C in diesem allgemeinen Rahmen beweisen zu können: ich nenne K gut, wenn K nichtleer und induktiv ist mit (AP) und (LS) und außerdem gilt:

(gut) Jede elementare Erweiterung einer K-generischen Struktur läßt sich zu einer K-Struktur erweitern.^{9} 1.11 Satz I Es sei K eine gute Klasse:

8Daß partiell isomorphe Strukturen elementar äquivalent sind, setze ich als bekannt voraus, man zeigt das auch leicht mit einer Induktion über den Aufbau der Formeln.

9Das ist äquivalent dazu, daß K_{gen} in einer gegen elementare Äquivalenz abgeschlossenen Klasse liegt, so daß sich jede Struktur dieser Klasse zu einer K_{gen}-Struktur erweitern läßt. Ich werde später zeigen, daß diese Voraussetzung sogar so stark ist, daß der allgemeinere Rahmen keine wirklich neuen Resultate liefert. Ich sehe andererseits nicht, wie man diese Voraussetzung abschwächen könnte.

(1) Für jedes κ > |L| hat jede K-Struktur A eine κ-K-generische Erweiterung M. Ist |A| ≤ λ^{<κ}, so kann auch |M| ≤ λ^{<κ} gewählt werden.

(2) Es seien M und N aus K_{gen}:

(i) Ist die universelle Theorie der einen Struktur in der der anderen enthalten, so M ≡ N.

(ii) Ist A eine K-Struktur mit M ⊃ A ⊂ N, so M ≡_{A} N.

Beweis

(1) folgt sofort aus dem besseren Existenzlemma.

(2) Es seien M und N K-generische Strukturen, etwa der Größe < λ.

(i) Wenn die universelle Theorie von N in der universellen Theorie von M enthalten ist, so läßt sich M in eine elementare Erweiterung von N einbetten. Weil K gut ist kann man diese elementare Erweiterung zu einer K-Struktur erweitern, also auch zu einer K-generischen Struktur N′. Wegen des vorigen Korollars ist dann N ≺ N′ und die Einbettung von M in N′ ist elementar. M und N sind also elementar äquivalent.

(ii) Es sei A eine K-Struktur mit M ⊃ A ⊂ N. Wegen (1) gibt es λ-K-generische Erweiterungen M′ ⊃ M und N′ ⊃ N und aus dem letzten Korollar folgt, daß diese Erweiterungen elementar sind. Wegen des Vollständigkeitslemmas sind M′ und N′ partiell isomorph über A, also auch elementar äquivalent über A, damit sind auch M und N elementar äquivalent über A.^{10} □

1.12 Korollar Es sei K eine gute Klasse: K hat genau dann die (JEP), wenn alle Kgenerischen Strukturen elementar äquivalent sind.

Beweis Wenn K die (JEP) hat und M und N K-generisch sind, so lassen sie sich gemeinsam in eine K-Struktur einbetten, also wegen Satz I (1) auch in eine K-generische Struktur. Diese Einbettungen sind dann wegen Satz I (2) elementar, also M ≡ N. Es seien umgekehrt A und B K-Strukturen, diese lassen sich wegen Satz I (1) zu K-generischen Strukturen erweitern. Falls diese nun elementar äquivalent sind, so lassen sich sich gemeinsam in eine L-Struktur elementar einbetten. Weil K gut ist kann man diese L-Struktur zu einer K-Struktur erweitern. So erhält man Einbettungen von A und B in eine K-Struktur. □

Ich zeige nun, daß Satz A direkt aus Satz I folgt. Dazu muß ich erst die Definitionen und Voraussetzungen vergleichen.

1.13 Lemma Es sei K eine gute Klasse: Die κ-K-generischen Strukturen sind genau die K-existenziell abgeschlossenen κ-∃-saturierten Strukturen.

10Der Beweis wäre so wie der des letzten Korollars, wenn man (LS) auf A anwenden würde und A mit kleinen K-Substrukturen überdecken würde. Ich habe aber gesagt, daß ich (LS) nur auf Kgenerische Strukturen anwenden möchte.

Beweis Es sei M κ-K-generisch.

Behauptung: M ist K-existenziell abgeschlossen.

Beweis: Es sei A eine K-Erweiterung von M. Wir können A zu einer K-generischen Struktur N erweitern (Satz I), das ist dann eine elementare Erweiterung von M (Satz I). M ist also existenziell abgeschlossen in A (Anhang A.1).

Behauptung: M ist κ-∃-saturiert.

Beweis: Es sei p ein (partieller) existenzieller Typ von M über einer kleinen Parametermenge A, wegen (LS) können wir annehmen, daß A der Träger einer K-Substruktur A ⊂ M ist. p ist dann in einer elementaren Erweiterung von M realisiert. Diese läßt sich (K ist gut) zu einer K-Struktur erweitern, also auch zu einer K-generischen Struktur N (Satz I). Weil p existenziell ist, ist p auch in N realisiert. Wegen (LS) gibt es eine kleine K-Struktur B ⊂ N, die A erweitert und p realisiert. Da M κ-K-generisch ist, können wir B über A in M einbetten und p wird auch in M realisiert.

Es sei nun M κ-∃-saturiert und K-existenziell abgeschlossen. Es sei A eine kleine K-Substruktur, B eine kleine K-Erweiterung von A und p = QF-tp(B/A) (in B). Weil K (AP) hat, ist p in einer K-Erweiterung von M realisiert und weil M K-existenziell abgeschlossen ist, ist p in M_{A} endlich erfüllt, also realisiert. B läßt sich also über A nach M einbetten. □

1.14 Lemma (1) Ist T eine induktive Theorie, so ist E_{T} gut.

(2) Es sei T eine induktive Theorie. Die κ-generischen Modelle von T sind genau die κ-E_{T} -generischen Strukturen.

Beweis

(1) E_{T} ist nichtleer und induktiv: weil T induktiv ist, gibt es T -existenziell abgeschlossene Strukturen (Anhang A.1). Ist M die Vereinigung einer Kette von T -existenziell abgeschlossenen Strukturen und A^{⊧}T eine Erweiterung, so ist jede Existenzformel über M schon über einem Glied der Kette. Wenn sie dann in A erfüllt ist, so auch in diesem Glied der Kette, also auch in M.

E_{T} hat (AP): ist A ⊃ M ⊂ B (in E_{T}), so gibt es Erweiterungen A′ von A und B′ von B, die elementare Erweiterungen von M sind (Anhang A.1). A′ und B′ kann man in T elementar über M amalgamieren und das Amalgam schließlich nach E_{T} erweitern.

E_{T} hat (LS): Es sei M T -existenziell abgeschlossen und C ⊂ M. Es sei A eine elementare Substruktur von M mit C ⊂ A und |A| ≤ |L_{C}|. Dann ist auch A T - existenziell abgeschlossen (Anhang A.1).

Schließlich läßt sich jede elementare Erweiterung einer E_{T} -generischen Struktur zu einer E_{T} -Struktur erweitern. E_{T} ist also gut.

(2) Die κ-generischen Modelle von T sind die κ-∃-saturierten T -existenziell abgeschlossenen Strukturen. Wegen (1) und des vorigen Lemmas sind das genau die κ-E_{T} -generischen Strukturen. □

Beweis von Satz A: wegen des letzten Lemmas folgt Satz A direkt aus Satz I.

Ich werde dieses letzte Lemma von nun an stillschweigend verwenden, ebenso Satz I (1). Wenn K (gut) nicht erfüllt, so können wir über die K-generischen Strukturen nicht so viel aussagen:

Beispiel: L bestehe aus den einstelligen Prädikaten P_{i} (i < ω) und K sei die Klasse der L-Strukturen, in denen alle P_{i} unendlich sind und deren Träger die disjunkte Vereinigung der P_{i} ist. K ist induktiv mit (AP) und (LS), aber nicht gut. Die κ-K-generischen Strukturen sind die, in denen jedes P_{i} mindestens Größe κ hat, aber keine dieser Strukturen ist ω-∃-saturiert.

1.1.2 Amalgamierung und elementare Abbildungen

Ich zeige nun, daß die partiellen elementaren Abbildungen genau die sind, die sich auf eine Amalgamierungsbasis fortsetzen lassen. Damit folgt Satz B schnell. Zusammen mit Satz C zeige ich dann, daß sich der Begriff der K-generischen Struktur nicht verändert, wenn man zu K noch einige Amalgamierungsbasen hinzunimmt.

Amalgamierungsbasen und elementare Abbildungen

Eine Amalgamierungsbasis für K ist eine Struktur A, die (i) eine Erweiterung in K hat und für die (ii) sich je zwei K-Erweiterungen gemeinsam über A in eine K-Struktur einbetten lassen.^{11}

1.15 Lemma K sei gut. Es sei A eine Struktur, die eine Erweiterung in K hat. A ist genau dann eine Amalgamierungsbasis für K, wenn für alle K-generischen Erweiterungen M ⊃ A ⊂ N gilt: M ≡_{A} N.

Beweis Es sei A eine Amalgamierungsbasis für K, M und N seien K-generische Erweiterungen von A. Weil man M und N über A in K amalgamieren kann, so kann man auch in einer K-generischen Struktur M̃ amalgamieren. Die Einbettungen von M und N in M̃ sind dann nach Satz I (2) elementar, insbesondere gilt M_{A} ≡ M̃_{A} ≡ N_{A}. Es seien umgekehrt M und N K-Strukturen mit M ⊃ A ⊂ N. Wir können annehmen, daß M und N K-generisch sind. Falls dann M ≡_{A} N, so kann man in Th(M_{A}) elementar amalgamieren. Da K gut ist, hat dieses Amalgam eine K-Erweiterung: fertig.

□

1.16 Satz II Es sei K eine gute Klasse, M und N seien K-generisch und f ein partieller Isomorphismus^{12} von M nach N, dann sind äquivalent:

(1) f ist elementar.

(2) f erhält die ∃-Formeln.^{13}

(3) f läßt sich zu einem partiellen Isomorphismus von M nach N′ fortsetzen, dessen Definitionsbereich eine Amalgamierungsbasis für K ist. Dabei ist N′ eine geeignete K-generische Erweiterung von N.

11Falls L keine Konstanten hat, so darf A auch die leere Struktur sein. Die leere Struktur ist genau dann eine Amalgamierungsbasis für K, wenn K die (JEP) hat und nichtleer ist.

12Der leere partielle Isomorphismus ist stets zugelassen.

13Achtung, das bedeutet nicht, daß auch f^{−1} die ∃-Formeln erhalten soll!

Beweis Es sei f ein partieller Isomorphismus zwischen M und N und D = dom(f), wir können annehmen, daß f = id_{D}.

(1) nach (2) ist klar.

(2) nach (3): Es sei N′ eine |M|^{+}-K-generische Erweiterung von N. Wenn f die ∃-Formeln erhält, so ist der quantorenfreie Typ von M in M_{D} endlich erfüllt in N′_{D}. Wegen 1.13 ist N′_{D} |M|^{+}-∃-saturiert, deshalb kann man f fortsetzen zu einer Einbettung M →_{D} N′.

(3) nach (1): Das folgt aus dem vorigen Lemma, denn N′ ist eine elementare Erweiterung von N. □

Beweis von Satz B: folgt sofort aus Satz II.

Das nun folgende Lemma wende ich später auf die generischen Automorphismen an, der wichtige Punkt ist die Definition von ”algebraisch abgeschlossen“ bezüglich K_{gen}. Eine Amalgamierungsbasis A (für K) ist stark , wenn man je zwei K-Erweiterungen B_{1} und B_{2} so amalgamieren kann über A, daß der Schnitt ihrer Bilder im Amalgam genau das Bild von A ist. Eine Amalgamierungsbasis A (für K) ist algebraisch abgeschlossen in K_{gen}, wenn für alle K-generischen Erweiterungen M ⊃ A gilt: A ist algebraisch abgeschlossen in M. Wegen Satz II sind alle K-generischen Erweiterungen von A elementar äquivalent über A, deshalb reicht es, daß A algebraisch abgeschlossen ist in einer K-generischen Erweiterung.

1.17 Lemma K sei gut. Eine Amalgamierungsbasis für K ist genau dann stark, wenn sie algebraisch abgeschlossen ist in K_{gen}.

Beweis Es sei A eine Amalgamierungsbasis für K. Ist A eine starke Amalgamierungsbasis, dann gibt es N und M_{i} in K_{gen} (i = 1, 2), so daß A ⊂ M_{i} ≺ N und M_{1} ∩ M_{2} = A. Dann gilt acl^{N} (A) = acl^{M_{i}}(A) ⊂ M_{i}, also acl^{N} (A) ⊂ M_{1} ∩ M_{2} = A. A ist also algebraisch abgeschlossen in K_{gen}. Ist umgekehrt A eine K_{gen}-algebraisch abgeschlossene Amalgamierungsbasis und sind M_{i} in K_{gen} Erweiterungen von A, so ist M_{1} ≡_{A} M_{2} (Satz II) und A ist algebraisch abgeschlossen in den M_{i}. Man kann dann in der Theorie von (M_{i})_{A} stark amalgamieren (diese Tatsache ist Folklore, siehe aber auch Kapitel 2, 80). Da K gut ist, kann man das Amalgam dann zu einer K-Struktur erweitern und man hat M_{1} ⊃ A ⊂ M_{2} in K stark amalgamiert. □

Amalgamierung

1.18 Satz III Es sei K eine gute Klasse und K̃ ⊃ K eine Klasse von Strukturen, von der sich jede zu einer K-Struktur erweitern läßt.

(1) Es sind äquivalent:

(i) K̃ hat (AP).

(ii) Jede κ-K-generische Struktur ist κ-K̃-generisch.

(iii) Jeder partielle Isomorphismus zwischen K-generischen Strukturen, dessen Definitionsbereich eine K̃-Struktur ist, erhält die existenziellen Formeln.

Dann sind die κ-K-generischen Strukturen genau die κ-K̃-generischen Strukturen in K.

(2) Falls K (JEP) hat, so hat K̃ schon dann (AP), wenn in jeder K-generischen Struktur jeder partielle Automorphismus, dessen Definitionsbereich eine K̃-Struktur ist, die existenziellen Formeln erhält.

Beweis

(1) Die Äquivalenz von (i) und (iii) folgt aus 1.15 und Satz II.

(i) nach (ii): Es sei M κ-K-generisch und B′ ⊃ A′ ⊂ M, wobei B′ und A′ K̃- Strukturen sind der Größe < κ. Wegen (LS) (für K) gibt es eine kleine K-Struktur A ⊂ M mit A′ ⊂ A. Da K̃ die (AP) hat, kann man B′ über A′ in eine K̃-Erweiterung C′ von A einbetten. C′ hat nach Voraussetzung eine Erweiterung in K, also auch eine K-generische Erweiterung. Wegen (LS) kann man dann B′ über A′ auch in eine kleine K-Erweiterung C von A einbetten. Nun kann C über A in M eingebettet werden, das liefert auch eine Einbettung von B′ in M über A′.

(ii) nach (i): Es seien B′ ⊃ A′ ⊂ C′ in K̃. Man kann C′ nach Voraussetzung zu einer K-Struktur M erweitern, also auch zu einer |B′|^{+}-K-generischen Struktur, diese ist dann wegen (ii) |B′|^{+}-K̃-generisch, man kann also B′ über A′ nach M einbetten.

Der Zusatz folgt, weil die in (ii) noch fehlende Inklusion wegen K̃ ⊃ K klar ist.

(2) Es sei A ∈ K̃, es reicht zu zeigen, daß A eine Amalgamierungsbasis für K ist, denn jedes Modell von K̃ hat eine Erweiterung in K. Es seien M ⊃ A ⊂ N K-generische Erweiterungen, wegen 1.15 reicht es zu zeigen:

Behauptung: M ≡_{A} N.

Beweis: Wegen (LS) können wir annehmen, daß A klein ist. Es sei ā eine Aufzählung von A und p der existenzielle Typ von ā in M. Wegen (JEP) gilt M ≡ N (1.12), also ist p ein partieller Typ von N und wegen 1.13 gibt es ein b̄ ∈ N, welches p realisiert. Dann ist b̄ ↦ ā ein partieller Automorphismus von N, der nach Voraussetzung die existenziellen Formeln erhält, deshalb gilt N ^{⊧}p(ā). Der partielle Isomorphismus id_{A} von M nach N erhält also die existenziellen Formeln. Nun folgt die Behauptung mit Satz II. □

Beweis von Satz C: Mit K̃ = Mod(T_{∀}), denn jeder nichtleere partielle Isomorphismus läßt sich dann zu einem partiellen Isomorphismus erweitern, dessen Definitionsbereich eine K̃-Struktur ist.

Man beachte, daß ich die generischen Modelle von T nicht als Mod(T)-generische Strukturen definiert habe, sondern als E_{T} -generische Strukturen. Der Grund ist, daß T i.a. nicht die (AP) hat, d.h. daß Mod(T) i.a. nicht gut ist. Das gibt keine Zweideutigkeiten:

1.19 Korollar Es sei T eine induktive Theorie, dann sind äquivalent: (1) T hat (AP).

(2) Die κ-Mod(T)-generischen Strukturen sind genau die κ-generischen Modelle von T.

(3) Für alle generischen Modelle M und N von T und alle A^{⊧}T gilt: wenn M ⊃ A ⊂ N, so M ≡_{A} N.

Beweis Mit K = E_{T} und K̃ = Mod(T) folgt das direkt aus Satz III, wobei man für die Richtung von (1) nach (2) noch beachten muß, daß K̃_{gen} ⊂ K. Das gilt wegen 1.13. □

Ich habe nun Sätze A, B und C bewiesen. Bevor ich weitergehe, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den generischen Modellen von T und den |L|^{+}-saturierten Modellen von T. Danach gebe ich eine Charakterisierung der generischen Modelle, in der die existenzielle Abgeschlossenheit durch eine einfachere Bedingung ersetzt wird

Exkurs: Modellvollständigkeit

Vorbemerkung: Ist Σ eine modellvollständige Theorie, so sind für jedes Modell M^{⊧}Σ äquivalent:

(i) M ist κ-generisch.  (ii) M ist κ-∃-saturiert.  (iii) M ist κ-saturiert.

Begründung: T ist induktiv, jedes Modell von T ist existenziell abgeschlossen in T und jede Formel ist äquivalent zu einer existenziellen Formel (Anhang A.1).

Viele modelltheoretische Methoden sind entwickelt worden in der Klasse der |L|^{+}- saturierten Modelle einer modellvollständigen Theorie Σ, also in der Klasse der generischen Modelle von Σ. Ich spreche vom elementaren Fall, wenn wir in der Klasse der generischen Modelle einer modellvollständigen Theorie arbeiten. In dieser Arbeit werde ich zeigen, wie man viele modelltheoretische Methoden auch im nicht elementaren Fall verwenden kann.

Es sei T eine induktive Theorie, T̃ sei die ∀∃-Theorie^{14} der generischen Modelle von T.^{15} Wegen der folgenden Bemerkung charakterisiert das nächste Lemma den elementaren Fall.

Bemerkung: T̃ ist die maximale induktive Theorie T′, für die G_{T} = G_{T′} gilt. Falls G_{T} die Klasse der generischen Modelle einer modellvollständigen Theorie Σ ist (das ist der elementare Fall), so gilt T̃ ≡ Σ.

Begründung: Jedes generische Modell von T ist ein Modell von T, also T ⊂ T̃. Weil sich jedes Modell von T zu einem Modell von T̃ erweitern läßt, haben T und T̃ dieselbe universelle Theorie, also G_{T} = GT̃. Ist schließlich GT̃ = G_{Σ} für eine modellvollständige Theorie Σ, so gilt wegen dem gerade gesagten Σ ⊂ T̃ und es bleibt Σ^{⊧} T̃ zu zeigen. Es sei A^{⊧}Σ, so kann man A zu einem generischen Modell M erweitern, also zu einem Modell von T̃. Wegen Σ ⊂ T̃ gilt M^{⊧}Σ und weil Σ modellvollständig ist gilt A ≺ M, also A^{⊧} T̃.

1.20 Lemma Es sind äquivalent:

(1) T̃ ist modellvollständig.

(2) T̃ ist der Modellbegleiter von T.

(3) T hat einen Modellbegleiter.

14Die ∀∃-Theorie einer Klasse K von Strukturen besteht aus genau den ∀∃-Aussagen, die in jeder K-Struktur gelten.

15T̃ ist dann auch die ∀∃-Theorie von E_{T} und auch unter dem Namen ”Kaiserhülle“ (von T)

bekannt.

(4) Die generischen Modelle von T sind genau die |L|^{+}-saturierten Modelle von T̃.

(5) Jedes |L|^{+}-saturierte Modell von T̃ ist T -existenziell abgeschlossen.

Beweis

(1) nach (2): Jedes Modell von T läßt sich zu einem Modell von T̃ erweitern.

(2) nach (3) sind klar.

(3) nach (1): Wenn T einen Modellbegleiter T^{∗} hat, so axiomatisiert dieser E_{T} (Anhang A.1, Fakt 4). Deshalb ist jedes T -generische Modell auch ein Modell von T^{∗} und T^{∗} ⊂ T̃. Dann ist auch T̃ modellvollständig.

(1) nach (4): das folgt aus der Vorbemerkung, denn die generischen Modelle von T sind die generischen Modelle von T̃.

(4) nach (5): die generischen Modelle von T sind T -existenziell abgeschlossen.

(5) nach (1): Es sei A^{⊧} T̃ und M eine |L|^{+}-saturierte elementare Erweiterung. Dann ist M T -existenziell abgeschlossen. Dann ist auch die elementare Substruktur A T - existenziell abgeschlossen und wegen T ⊂ T̃ ist A auch existenziell abgeschlossen in T̃. Es sind also alle Modelle von T̃ existenziell abgeschlossen in T̃, d.h. T̃ ist modellvollständig (Anhang A.1, Fakt 3). □

1.21 Lemma Es sind äquivalent:

(1) Für jedes generische Modell M von T ist Th(M) modellvollständig.

(2) Jedes generische Modell von T ist |L|^{+}-saturiert.

(3) Jedes generische Modell von T realisiert alle seine Typen über ∅.

Beweis

(1) nach (2) folgt aus der Vorbemerkung und (2) nach (3) ist klar.

(3) nach (1): Es sei U ein generisches Modell und φ(x) eine existenzielle Formel (über ∅), ich arbeite nun in Th(U). Es sei Φ := {ψ(x)universell | φ → ψ}.

Behauptung: Φ^{⊧}φ.

Beweis: Es sei A ein Modell und A^{⊧}Φ(a), zu zeigen ist A^{⊧}φ(a). Wir können annehmen, daß A eine elementare Erweiterung von U ist, es sei V eine generische Erweiterung von A. Dann ist U ≺ V (V hat also die richtige Theorie) und es gilt V^{⊧}Φ(a). Ist p der existenziellen Typ von a in V, so ist p konsistent mit φ, denn sonst gäbe es mit Kompaktheit eine existenzielle Formel ¬ψ ∈ p mit φ → ψ, also ψ ∈ Φ und a^{⊧}ψ, das ist ein Widerspruch zu ¬ψ ∈ p. Weil V hinreichend ∃-saturiert ist, gibt es ein b ∈ V mit V^{⊧}p ∪ {φ}. Die Abbildung a ↦ b ist dann ein partieller Isomorphismus von V, der die existenziellen Formeln erhält. Wegen Satz II gilt also a ≡ b in V und deshalb V^{⊧}φ(a). Weil φ existenziell ist, gilt dann auch A^{⊧}φ(a). □

T̃ ist genau dann vollständig, wenn T die (JEP) hat. Dann beschreiben beide Lemmas dieselbe Situation. Die Klasse der generischen Modelle ist dann entweder disjunkt zur Klasse der |L|^{+}-saturierten Modelle oder identisch mit ihr.

1.1.3 Eine Charakterisierung der generischen Modelle

Vorbemerkung: Es sei T̃ die gemeinsame universelle Theorie der K-generischen Strukturen. Wenn K (JEP) hat, so ist T̃ genau die universelle Theorie einer jeden K-generischen Struktur, denn diese sind alle elementar äquivalent (1.12). Ist dann A eine beliebige K-Struktur, so gilt A^{⊧} T̃, denn A läßt sich zu einer K-generischen Struktur erweitern. T̃ ist also die (eindeutige) minimale universelle Theorie unter allen universellen Theorien von K-Strukturen. Ist K = E_{T} für eine universelle Theorie T mit (JEP), so gilt sogar T = T̃, jedes generische Modell von T hat also T als universelle Theorie. Denn aus dem gerade Gesagten folgt T ^{⊧} T̃, also T ⊃ T̃. Die andere Inklusion ist klar, weil jedes generische Modell von T ein Modell von T ist.

Eine minimale universelle Theorie von K ist eine universelle Theorie einer K-Struktur, die minimal ist als solche. Man beachte, daß jede universelle Theorie von K (JEP) hat, denn das gilt ganz allgemein für universelle Theorien von Strukturen.^{16}

1.22 Satz Es sei K eine gute Klasse und M ∈ K. M ist genau dann κ-K-generisch, wenn

(i) M ist κ-∃-saturiert.

(ii) Jeder partielle Automorphismus von M, der die existenziellen Formeln erhält, ist elementar.

(iii) M hat eine minimale universelle Theorie von K.

Zusatz: Man kann (ii) abschwächen zu (ii)^{∗}: jeder partielle Automorphismus von M, der die existenziellen Formeln erhält, erhält auch die universellen Formeln.

Beweis Es sei M κ-K-generisch, dann gilt (i) wegen 1.13 und (ii) wegen Satz II. Es sei nun A eine K-Struktur, deren universelle Theorie in der von M enthalten ist.

Behauptung: A und M haben dieselbe universelle Theorie.

Beweis: Es sei N eine K-generische Erweiterung von A, dann ist die universelle Theorie von N in der von A enthalten, also auch in der von M. Mit Kompaktheit läßt sich M in eine elementare Erweiterung von N einbetten, diese läßt sich zu einer K-generischen Struktur M̃ erweitern, denn K ist gut. Dann ist die Einbettung von M in M̃ elementar und die universelle Theorie von M̃ ist in der von N enthalten. Deshalb ist die universelle Theorie von M ist in der von A enthalten.

M erfülle nun umgekehrt (i), (ii)^{∗} und (iii). Wegen Satz II ist M genau dann κ-K-generisch, wenn M K-existenziell abgeschlossen ist. Es sei also φ(a) eine existenzielle Formel über M, die in einem Obermodell A ⊃ M erfüllt ist. Dann haben wegen (iii) beide Strukturen dieselbe universelle Theorie und deshalb ist p := ∃-tp^{A}(a) endlich erfüllt in M und es gilt φ ∈ p.^{17} Weil M hinreichend ∃-saturiert ist, gibt es eine Realisierung b von p in M, dann gilt insbesondere M^{⊧}φ(b). Der partielle Isomorphismus a ↦ b in M erhält dann die existenziellen Formeln: M^{⊧}ψ(a) ⇒ A^{⊧}ψ(a) ⇒ M^{⊧}ψ(b) (ψ ist existenziell). Wegen (ii)^{∗} gilt dann a ≡ b in M, insbesondere M^{⊧}φ(a). M ist also T -existenziell abgeschlossen. □

16Wenn B_{i} ein Modell der universellen Theorie von A ist, so läßt sich B_{i} in eine elementare Erweiterung A_{i} von A einbetten. Die A_{i} kann man dann gemeinsam in eine elementare Erweiterung von A einbetten.

17Ob eine Menge von existenziellen Formeln in einer Struktur endlich erfüllt ist oder nicht, hängt nur von der universellen Theorie der Struktur ab.

1.23 Korollar Es sei T eine universelle Theorie. G_{T} ist die disjunkte Vereinigung der GT̃, wobei T̃ die minimalen universellen Theorien von E_{T} durchläuft.

Beweis Es sei U ∈ G_{T}, dann ist wegen des Satzes seine universelle Theorie T̃ minimal bezüglich E_{T} und aus demselben Grund ist U ein generisches Modell von T̃. Es sei umgekehrt T̃ eine minimale universelle Theorie von E_{T} und U ein generisches Modell von T̃. Dann hat T̃ (JEP) und wegen der Vorbemerkung ist T̃ genau die universelle Theorie von U. Daraus folgt, daß die Vereinigung der GT̃ disjunkt ist und wegen des Satzes ist U auch ein generisches Modell von T. □

In Anhang A.2 beschreibe ich den Verband der universellen Theorien etwas genauer. Dort diskutiere ich insbesondere, welches die minimalen universellen Theorien von E_{T} sind.

Der Vorteil dieser Charakterisierung ist, daß der ”kategoriale Aspekt“ des Begriffs der K-generischen Struktur reduziert ist auf die Eigenschaft (iii), während (i) und (ii) nur über die Struktur selber sprechen. Strukturen mit den Eigenschaften (i) und (ii) werde ich gleich gesondert betrachten. Vorher erkläre ich noch, warum es keine Einschränkung ist, nur noch mit generischen Modellen von universellen Theorien zu arbeiten.

Exkurs: Gute Klassen liefern nichts Neues

Mit den Techniken des letzten Korollars zeige ich nun, daß der Ansatz, generische Strukturen in guten Klassen zu konstruieren, nicht wirklich allgemeiner ist, als wenn man sich auf induktive (universelle) Theorien beschränkt.^{18}

1.24 Lemma Es sei K eine gute Klasse.

(1) K_{gen} ist die disjunkte Vereinigung der GT̃∩K, wobei T̃ die minimalen universellen Theorien von K durchläuft.

(2) Hat K (JEP) und ist T die universelle Theorie der K-generischen Strukturen, so sind die K-generischen Strukturen genau die κ-generischen Modelle von T, die in K liegen.

18Der Grund liegt in der schwachen Abschlußeigenschaft gegen elementare Äquivalenz, daß sich nämlich jede elementare Erweiterung einer K-generischen Struktur zu einer K-Struktur erweitern läßt. Ohne diese Annahme kann ich weder 1.13 noch Satz II beweisen – und ich mußte leider erkennen, daß diese Annahme den allgemeineren Ansatz in gewissem Sinn überflüssig macht.

Beweis

(1) Es sei U K-generisch, dann ist seine universelle Theorie T minimal wegen 1.22 und aus demselben Grund ist U ein generisches Modell von T. Es sei umgekehrt T̃ eine minimale universelle Theorie von K, dann ist T̃ die universelle Theorie seiner generischen Modelle. Die sind wegen 1.22 dann auch K-generisch und die Vereinigung ist disjunkt.

(2) Wenn K die (JEP) hat, dann ist T die eindeutige minimale universelle Theorie von K. Nun geht es weiter wie in (1). □

Das Korollar oben besagt, daß (2) für K = E_{T} auch dann stimmt, wenn T nicht (JEP) hat. Im allgemeinen ist das jedoch falsch, denn die universelle Theorie der K-generischen Strukturen kann Modelle haben, die zwar K-Strukturen erweitern, die sich aber nicht nach K erweitern lassen:

Beispiel: Es sei L = {f, R}, wobei f ein einstelliges Funktionssymbol ist und R ein einstelliges Relationssymbol, P sei die Menge der Primzahlen. Für jedes p ∈ P sei φ_{p} die Aussage ∀xf^{p}(x) = x und es sei T := {∀x f(x) ≠ x, ∀x (Rx → Rfx)}. K_{p} bestehe aus den Modellen von T_{p} := T ∪ {φ_{p}} und K_{0} aus den Modellen von T_{0} := T ∪ {∀xf^{n}(x) ≠ x | n < ω} ∪ {∀xRx}. Es sei K die Vereinigung aller K_{i}, dann gibt es zwei Arten von K-Strukturen: (i) die K_{p}-Strukturen, das sind Familien von gleichlangen Zykeln von Primpotenzlänge, wobei jeweils ein ganzer Zykel gefärbt ist (mit R) oder nicht und (ii) die K_{0}-Strukturen, das sind Familien von unendlichen Zykeln, die alle gefärbt sind. Es ist leicht zu sehen, daß K gut ist. Es sei nun A eine abzählbare K_{0}-Struktur, A und B ⊃ A eine abzählbare Struktur, die aus unendlichen Zykeln besteht, von denen einige ungefärbt sind. B ist dann nicht nach K erweiterbar. B ist aber ein Modell der universellen Theorie T von K, denn man kann B einbetten in ein Ultraprodukt von Strukturen aus den K_{p}. Daraus folgt, daß keine K-generische Erweiterung von A ein generisches Modell von T ist also gilt nicht K_{gen} = G_{T} ∩ K.

1.2 Generische Modelle als ∃-Universalbereiche

Ich untersuche nun weitere Eigenschaften von generischen Modellen, behandele sie jedoch als Teil einer größeren Klasse von Strukturen, der ∃-Universalbereiche. Generische Modelle sind ∃-Universalbereiche (2.2), umgekehrt ist jeder ∃-Universalbereich ein generisches Modell seiner universellen Theorie (2.3). Hrushovski und Pillay arbeiten im wesentlichen mit diesem Begriff. In Abschnitt 1.2.1 charakterisiere ich verschiedene Arten von ∃-Universalbereichen und ihre universellen Theorien. Die Ergebnisse verwende ich in Abschnitt 1.2.2, wo ich genau sagen werde, in welcher Beziehung die hier eingeführten Universalbereiche zu den von Hrushovski und Pillay eingeführten ”universal domains“ stehen. In Abschnitt 1.2.3 setze ich das Studium der generischen Modelle fort.

2.1 Definition Ein κ-∃-Universalbereich ist eine κ-∃-saturierte Struktur, in der jeder partielle Automorphismus, welcher die ∃-Formeln erhält^{19}, elementar ist. U ist ein ∃-Universalbereich, wenn U ein |L|^{+}-∃-Universalbereich ist.

19Ich erinnere daran, daß nur in eine Richtung die ∃-Formeln erhalten werden müssen.

1.2. GENERISCHE MODELLE ALS ∃-UNIVERSALBEREICHE 15

Ist U ein κ-∃-Universalbereich und A ⊂ U mit |A| < κ, so ist auch U_{A} ein κ-∃- Universalbereich.

2.2 Satz Es sei U eine Struktur und T eine universelle Theorie, dann sind äquivalent: (1) U ist ein κ-generisches Modell von T.

(2) U ist ein T -existenziell abgeschlossener κ-∃-Universalbereich.

(3) U ist ein κ-∃-Universalbereich mit einer minimalen universellen Theorie von T.

Beweis Die Äquivalenz von (1) und (2) gilt wegen 1.13 und Satz II. Die Äquivalenz von (1) und (3) folgt aus 1.22. □

2.3 Korollar Ein ∃-Universalbereich U ist ein generisches Modell seiner universellen Theorie T. Die generischen Modelle von T sind genau die zu U elementar äquivalenten ∃-Universalbereiche.

Beweis U hat eine minimale universelle Theorie unter den Modellen von T, ist also ein generisches Modell von T. Dasselbe gilt für elementar äquivalente ∃-Universalbereiche. Andererseits sind alle generischen Modelle von T ∃-Universalbereiche und weil T (JEP) hat^{20}, sind sie alle elementar äquivalent (1.12). □

Anstatt also mit einer universellen Theorie mit (JEP) zu starten und die Klasse der generischen Modelle von T zu betrachten können wir genauso mit einem ∃-Universal-bereich starten und die Klasse der elementar äquivalenten ∃-Universalbereiche betrachten.

1.2.1 Universalbereiche und Robinsontheorien

Ich führe nun verschiedene Arten von Universalbereichen als spezielle ∃-Universal-bereiche ein und charakterisiere sie als ∃-saturierte Strukturen mit gewissen Trennungseigenschaften im Verband der existenziell definierbaren Mengen. Wir sehen später, daß diese verschiedenen Trennungseigenschaften einen großen Einfluß auf die Fruchtbarkeit der modelltheoretischen Methoden hat, die in der Klasse der generischen Modelle einer induktiven Theorie angewendet werden können. Die ”QF-Universalbereiche“ sind im wesentlichen die von Hrushovski eingeführten Universalbereiche, und ihre universellen Theorien sind genau die ”Robinsontheorien“. Die ”Δ_{1}- Universalbereiche“ sind im wesentlichen dasselbe wie QF-Universalbereiche, wenn man die Sprache geeignet modifiziert.

∃ (∀, QF, Δ_{1}(T)) sei die Menge der existenziellen (universellen, quantorenfreien, Δ_{1}(T)-Formeln^{21}) Formeln. Eine ∃-Menge (entsprechend ∀, QF und Δ_{1}) in einer Struktur ist eine mit Parametern ∃-definierbare Teilmenge der Struktur. Kommen die Parameter aus A, so nenne ich sie eine ∃(A)-Menge. Ich erinnere daran, daß Teilmengen einer Struktur U Teilmengen von U^{n} sind für ein n < ω.

20Universelle Theorien von Strukturen haben (JEP)

21Eine Δ_{1}(T)-Formel ist eine Formel, die in T sowohl zu einer existenziellen Formel als auch zu einer universellen Formel äquivalent ist. Ist eine feste Theorie oder ein Modell im Hintergrund, so spreche ich nur von Δ_{1}-Formeln.

2.4 Lemma Für eine κ-∃-saturierte Struktur U sind äquivalent:

(1) U ist ein κ-∃-Universalbereich.

(2) Jeder partielle Automorphismus in U, der die existenziellen Formeln erhält, erhält auch die universellen Formeln.

(3) Jede ∃(∅)-Menge in U ist Schnitt von ∀(∅)-Mengen.

(4) Zu jeder ∃(∅)-Menge D in U und jedem a ∈ U mit a ∉ D gibt es eine zu D disjunkte ∃(∅)-Menge, die a enthält.

Beweis

(1) nach (2) und (3) nach (4) sind klar.

(2) nach (3): Es sei φ existenziell (und konsistent) und Ψ = {ψ universell | φ → ψ}. Es sei ā ∈ Ψ^{U}, dann ist jedes φ′ ∈ ∃-tp^{U}(ā) konsistent mit φ, denn sonst ¬φ′ ∈ Ψ – das geht nicht, da ā^{⊧}φ′ und ā^{⊧}Ψ. ∃-tp^{U}(ā) ist also konsistent mit φ und weil U hinreichend ∃-saturiert ist, gibt es b̄^{⊧}∃-tp^{U}(ā) ∪ {φ} in U. ā ↦ b̄ ist dann ein partieller Automorphismus, der die existenziellen Formeln erhält, wegen (2) gilt das dann auch für b̄ ↦ ā. Daraus folgt φ ∈ ∃-tp^{U}(ā), also a ∈ φ^{U}. Deshalb gilt Ψ^{U} ⊂ φ^{U}, also gilt Gleichheit.

(4) nach (2): Es sei f ein partieller Automorphismus in U, der die existenziellen Formeln erhält, a ∈ dom(f) und ψ universell mit U^{⊧}ψ(a). Wegen (4) (mit D = ¬ψ^{U}) gibt es eine existenzielle Formel φ, so daß U^{⊧}φ(a) und U^{⊧}φ → ψ. Dann gilt U^{⊧}φ(f(a)) und folglich U^{⊧}ψ(f(a)).

(2) nach (1): U erfüllt (i), (ii)^{∗} und (iii) aus 1.22, wobei T die universelle Theorie von U ist und K = E_{T}. U ist dann κ-K-generisch, also wegen 2.2 ein κ-∃-Universalbereich.^{22}

□

In einem ∃-Universalbereich U gelten diese Trennungseigenschaften dann auch über Parametern, denn für jede kleine Parametermenge A aus U ist auch U_{A} ein ∃- Universalbereich. Entsprechendes gilt für die im folgenden beschriebenen Trennungseigenschaften.

2.5 Definition Ein (κ-)QF-Universalbereich ist eine (κ-)∃-saturierte Struktur, in der jeder partielle Automorphismus elementar ist.

Offensichtlich sind die κ-QF-Universalbereiche genau die κ-∃-Universalbereiche, in denen jeder partielle Automorphismus elementar ist. Das folgende Lemma beweist man wie das vorige:

2.6 Lemma Für eine κ-∃-saturierte Struktur U sind äquivalent:

(1) U ist ein κ-QF-Universalbereich.

(2) Jeder partielle Automorphismus in U erhält die existenziellen Formeln.

(3) Jede ∃(∅)-Menge in U ist Schnitt von QF(∅)-Mengen.

(4) Zu jeder ∃(∅)-Menge D in U und jedem a ∈ U mit a ∉ D gibt es eine zu D disjunkte QF(∅)-Menge, die a enthält.

22Alternativ kann man sich überlegen, daß die Familie der kleinen partiellen Automorphismen von U, welche die existenziellen Formeln in beide Richtungen erhalten, die Hin-und-Her-Eigenschaft hat.

Beweis

(2) nach (3): Es sei ψ(x) eine existenzielle Formel und Φ(x) = {φ quantorenfrei | ψ → φ}, dann ist wieder für jedes a ∈ Φ(U) ψ konsistent mit ∃-tp(a) und es gibt ein b in U, das p(x) ∪ {ψ(x)} realisiert. Der partielle Automorphismus b ↦ a erhält wegen (2) die existenziellen Formeln, also gilt a^{⊧}ψ: das reicht.

(4) nach (1): Ist f ein partieller Automorphismus, so erhält er wegen (4) die existenziellen Formeln. Außerdem folgt Eigenschaft (4) des vorigen Lemmas, also ist U ein κ-∃-Universalbereich und deshalb ist f elementar. □

2.7 Lemma Eine ∃-Universalbereich U ist genau dann ein QF-Universalbereich, wenn je zwei disjunkte ∃(∅)-Mengen in U durch eine QF(∅)-Menge getrennt werden können.

Beweis Es sei U ein QF-Universalbereich und D_{1} und D_{2} ∃(∅)-Mengen. Wegen des vorigen Lemmas ist jedes D_{i} Schnitt von QF(∅)-Mengen. Wenn nun die beiden ∃(∅)-Mengen disjunkt sind, so ist der Schnitt aller dieser QF(∅)-Mengen leer und wegen hinreichender ∃-Saturation ist dann schon ein endlicher Schnitt dieser QF(∅)-Mengen leer. D_{1} und D_{2} können also durch eine QF(∅)-Menge getrennt werden. Es sei umgekehrt U ein ∃-Universalbereich mit dieser Trennungseigenschaft, a ↦ b sei ein partieller Automorphismus und ψ_{1} eine ∃(∅)-Formel. U ist ein ∃-Universalbereich und wenn b^{⊧}¬ψ_{1}, so gibt es wegen 2.4 eine existenzielle Formel ψ_{2}, die mit ψ_{1} inkonsistent ist und mit b^{⊧}ψ_{2}. Nach Voraussetzung gibt es dann eine quantorenfreie Formel φ, so daß ψ_{1} → φ und b^{⊧}¬φ. Dann gilt auch a^{⊧}¬φ und a^{⊧}¬ψ_{1}. a ↦ b erhält also die existenziellen Formeln, wegen des vorigen Lemmas ist U ein QF-Universalbereich. □

Die folgenden Begriffe sind von Hrushovski ([Hr1, Definition 1]).

2.8 Definition

(1) Eine Theorie T hat Quantorenseparation, wenn die folgende Eigenschaft erfüllt ist:

Sind ψ_{1} und ψ_{2} miteinander in T inkonsistente existenzielle Formeln, so gibt es eine quantorenfreie Formel φ, so daß T ^{⊧}ψ_{1} → φ und T ^{⊧}¬φ → ψ_{2}.

(2) Eine Robinsontheorie ist eine universelle Theorie mit (JEP) und Quantorenseparation.

2.9 Satz Es sei T eine universelle mit (JEP), dann sind äquivalent:^{23} (1) T ist eine Robinsontheorie.

(2) Alle generischen Modelle von T sind QF-Universalbereiche.

(3) T ist die universelle Theorie eines QF-Universalbereichs.

(4) T hat (AP).

Dann ist jeder partielle Isomorphismus zwischen generischen Modellen von T elementar.

23Die Äquivalenz von (1) und (3) ist [Hr1, Proposition 1.1].

Beweis

(1) nach (2): Es sei U ein generisches Modell, dann ist U ein ∃-Universalbereich und weil Quantorenseparation genau die im vorigen Lemma beschriebene Trennungseigenschaft ist, ist U ein QF-Universalbereich.

(2) nach (3): Weil T (JEP) hat, ist T die universelle Theorie jedes seiner generischen Modelle.

(3) nach (1): Ist U ein QF-Universalbereich und T seine universelle Theorie, so gilt Quantorenseparation in der Theorie U wegen des letzten Lemmas. Aber Quantorenseparation ist eine universelle Aussage und gilt deshalb schon in T.

Die Äquivalenz von (2) und (4): weil T universell ist mit (JEP), hat T nach Satz C genau dann (AP), wenn in jedem generischen Modell von T jeder partielle Automorphismus die existenziellen Formeln erhält. Wegen 2.6 bedeutet das, daß jedes generische Modell von T ein QF-Universalbereich ist.

Zusatz: Ist f der leere partielle Isomorphismus zwischen zwei generischen Modellen, so ist f elementar wegen (JEP) (1.12). Ist f nichtleer, so erhält f nach Satz C die existenziellen Formeln und ist nach Satz II elementar. □

Die Äquivalenz von (1) und (4) kann man auch direkt mit Kompaktheit nachrechnen.

2.10 Korollar Es sei T eine universelle Theorie mit Modellbegleiter T^{∗}. T ist genau dann eine Robinsontheorie, wenn T^{∗} vollständig ist mit (QE).

Beweis Wegen 1.20 sind die generischen Modelle von T genau die |L|^{+}-saturierten Modelle von T^{∗} und T^{∗} ist deren Theorie. T^{∗} ist genau dann vollständig, wenn T (JEP) hat (1.12). Eine |L|^{+}-saturierte Struktur ist genau dann ein QF-Universalbereich, wenn in ihr jede ∃(∅)-Menge Schnitt von QF(∅)-Mengen ist. Mit Kompaktheit ist das äquivalent dazu, daß jede ∃(∅)-Menge eine QF(∅)-Mengen ist. Das ist äquivalent zur (QE) in der Theorie der Struktur. □

Δ_{1}-Universalbereiche

Ich werde in dieser Arbeit noch andere Universalbereiche betrachten:

2.11 Definition Ein κ-Δ_{1}-Universalbereich ist eine κ-∃-saturierte Struktur U, in der jeder partielle Automorphismus, welcher die Δ_{1}(U)-Formeln erhält, elementar ist.

Offensichtlich ist jeder κ-QF-Universalbereich ein κ-Δ_{1}-Universalbereich und jeder κ-Δ_{1}-Universalbereich ein κ-∃-Universalbereich. Es sei U ein ∃-Universalbereich. Führt man für jede Δ_{1}(∅)-Menge ein Prädikat ein, so verändert sich die existenzielle Struktur von U nicht, also auch nicht die Δ_{1}-Struktur und dann ist jede Δ_{1}-Menge quantorenfrei definiert. U ist genau dann ein Δ_{1}-Universalbereich, wenn U ein QF-Universal-bereich in dieser Sprache ist.^{24} 2.12 Lemma Für eine κ-∃-saturierte Struktur U sind äquivalent:

24Deshalb gelten in Δ_{1}-Universalbereich ”dieselben“ Eigenschaften wie in QF-Universalbereichen, wenn man ”QF“ durch ”Δ_{1}“ ersetzt.

(1) U ist ein κ-Δ_{1}-Universalbereich.

(2) Jeder partielle Automorphismus in U, der die Δ_{1}-Formeln erhält, erhält die existenziellen Formeln.

(3) Jede ∃(∅)-Menge in U ist Schnitt von Δ_{1}(∅)-Mengen.

(4) Zu jeder ∃(∅)-Menge D in U und jedem a ∈ U mit a ∉ D gibt es eine zu D disjunkte Δ_{1}(∅)-Menge, die a enthält.

Beweis Wie 2.6. □

2.13 Lemma

(1) Ein Δ_{1}-Universalbereich U ist genau dann ein QF-Universalbereich, wenn jede Δ_{1}(U)-Formel äquivalent zu einer quantorenfreien Formel ist.

(2) Ein ∃-Universalbereich U ist genau dann ein Δ_{1}-Universalbereich, wenn wenn je zwei disjunkte ∃(∅)-Mengen in U durch eine Δ_{1}(∅)-Menge getrennt werden können.^{25}

Beweis

(1) Ist U ein QF-Universalbereich und φ eine Δ_{1}(U)-Formel, so sind φ und ¬φ existenziell und wegen Quantorenseparation (2.9) durch eine quantorenfreie Formel trennbar. φ ist also äquivalent zu einer quantorenfreien Formel. Die Umkehrung ist klar, denn dann ist jeder partielle Automorphismus elementar, denn er erhält die Δ_{1}-Formeln.

(2) Wie 2.7 □

Ich werde später mit dem Begriff des Ω-Universalbereichs auf die allgemeinen Prinzipien eingehen, die hinter dem Begriff des Universalbereichs stehen.

1.2.2 Universal domains bei Pillay und Hrushovski

Ich erkläre nun den Zusammenhang zwischen den hier definierten Universalbereichen und den von Hrushovski bzw. von Pillay definierten ”universal domains“.

Universal domains bei Pillay

Pillay definiert in [Pi3, Definition 2.9] einen ”e-universal domain of cardinality κ“ als eine κ-∃-saturierte Struktur U der Kardinalität κ mit der folgenden Eigenschaft:

(*) wenn A und B Teilmengen von U sind der Kardinalität < κ und f : A → B eine Bijektion ist, welche die existenziellen Formeln erhält, so läßt sich f zu einem Automorphismus von U fortsetzen.

25Das ist eine Eigenschaft der ∀∃-Theorie von U.

Die Eigenschaft (*) ist ist offensichtlich äquivalent dazu, daß (i) partielle Isomorphismen in U schon dann elementar sind, wenn sie die existenziellen Formeln erhalten und (ii) U stark κ-homogen^{26} ist.

Pillay nimmt die Existenz geeigneter großer Kardinalzahlen an, um die Existenz solcher ∃-saturierten Strukturen zu garantieren. Das mache ich in dieser Arbeit nicht. Ein starker κ-∃-Universalbereich sei ein stark κ-homogener κ-∃-Universalbereich. Es folgt:

2.14 Lemma Die starken κ-∃-Universalbereiche der Kardinalität κ sind genau Pillay’s ”e-universal domains of cardinality κ“.

2.15 Satz Jeder κ-∃-Universalbereich kann zu einem stark κ-homogenen κ-∃-Universal-bereich elementar erweitert werden.

Beweis Wir können annehmen, daß κ regulär ist und κ > |L|. Es sei U_{0} ein κ-∃-Universal-bereich, T seine universelle Theorie und (U_{α})_{α<κ} eine stetige elementare Kette von ∃-Universalbereichen, so daß U_{α+1} stets ein |U_{α}|^{+}-∃-Universalbereich ist. Es sei U := ⋃_{α<κ} U_{α}, das ist eine elementare Erweiterung von U_{0} und ein κ-∃-Universalbereich, denn U ist ein generisches Modell von T: als Vereinigung einer Kette von T -existenziell abgeschlossenen Strukturen ist auch U T -existenziell abgeschlossen und wegen der Regularität von κ ist U κ-∃-saturiert.

Behauptung: U ist stark κ-homogen.

Beweis: Es seien A und B klein und f : A → B sei bijektiv und elementar (in U), wegen Regularität ist f in einem U_{α}. Dann gibt es auch ein Ũ_{α} und einen Isomorphismus σ_{α} : U_{α} ≅ Ũ_{α} mit f ⊂ σ̃_{α}. Weil U_{α+1} hinreichend ∃-saturiert ist, kann man Ũ_{α} als Substruktur von U_{α+1} finden (realisiere QFtp(Ũ_{α}/B)). Da beides ∃-Universalbereiche sind mit derselben universellen Theorie, ist Ũ_{α} ≺ U_{α+1}. Entsprechend (nur andersrum) kann man Ũ_{α+1} ≺ U_{α+2} finden, so daß sich σ_{α} fortsetzen läßt zu σ_{α+1} : Ũ_{α+1} ≅ U_{α+1}. Auf diese Weise konstruiert man eine aufsteigende Kette (σ_{α+i})_{i<ω}, so daß ⋃_{i<ω} σ_{α+i} ein Automorphismus von U_{α+ω} ist (”Sandwichprinzip”). Diesen Automorphismus können wir auf dieselbe Weise zu einem Automorphismus von U_{α+ω+ω} erweitern und so fort – schließlich erhalten wir einen Automorphismus von U. □

Fordert man die Existenz geeignet großer Kardinalzahlen, so folgt aus den Lemma, daß sich jeder (kleine) ∃-Universalbereich elementar zu einem ”e-universal domain of cardinality κ” erweitern läßt.

Universal domains bei Hrushovski

Hrushovski definiert in [Hr1, Definition 2] einen ”universal domain“ relativ zu einer Familie Δ von Formeln, die unter Teilformeln und unter booleschen Kombinationen abgeschlossen ist, und relativ zu einem unendlichen κ. Für den Spezialfall, daß Δ = QF, ist ein ”universal domain“ dann eine Struktur M mit den folgenden Eigenschaften:

26Eine Struktur ist stark κ-homogen, wenn sich jede partielle elementare Abbildung zwischen Teilmengen der Größe < κ zu einem Automorphismus fortsetzen läßt.

(*) Jeder partielle quantorenfreie Typ von M über einer Parametermenge < κ ist in M realisiert.

(**) Jeder partielle Automorphismus zwischen Teilmengen der Kardinalität < κ läßt sich zu einem Automorphismus fortsetzen.

2.16 Lemma [Hr1, Lemma 1.6 (1)] Ein ”universal domain“ (bezüglich QF und κ > |L|) ist κ-∃-saturiert.

Beweis Es sei Σ(x) ein partieller existenzieller Typ von M über einer kleinen Parametermenge A. Wir ersetzen jede existenziell abquantifizierte Variable durch eine neue Variable und erhalten so einen quantorenfreien ⋆-Typ Π((x_{i})_{i<κ}) von M in höchstens κ vielen Variablen (|L| < κ) und es reicht, Π zu realisieren. Wir können annehmen, daß Π vollständig ist. Für α < κ sei (a_{i})_{i<α} eine Folge in M, welche die Restriktion von Π auf (x_{i})_{i<α} realisiert.

Behauptung: Es gibt a_{α} in M, so daß (a_{i})_{i≤α} die Restriktion von Π auf (x_{i})_{i≤α} realisiert.

Beweis: Es sei x̄ ist ein endliches Teiltupel von (x_{i})_{i<α}, so ist die Restriktion von Π auf x̄x_{α} in M realisiert wegen (*), etwa durch b̄b. Wegen (**) gilt dann b̄ ≡ ā (ā ist das entsprechende Teiltupel von (a_{i})_{i<α}), also ist {φ(ā, x_{α}) | φ(x̄, x_{α}) ∈ Π} endlich erfüllt in M. Folglich ist auch {φ((a_{i})_{i<α}, x_{α}) | φ((x_{i})_{i<α}, x_{α}) ∈ Π} endlich erfüllt in M und wegen (*) gibt es eine Realisierung a_{α}, die tut’s. □

Der Beweis zeigt, daß eine Struktur, in der jeder partielle Automorphismus elementar ist, schon dann ein κ-QF-Universalbereich ist, wenn (*) erfüllt ist.

2.17 Korollar Ein ”universal domain“ (bezüglich QF und κ > |L|) in Sinne von Hrushovski ist genau ein starker κ-QF-Universalbereich.^{27}

Beweis Wegen des Lemmas ist ein (κ-)”universal domain“ ein κ-QF-Universalbereich und wegen (**) sogar ein stark κ-homogener. Umgekehrt erfüllen die starken κ-QF-Universal-bereiche sicher (*) und (**). □

Außerdem läßt sich jeder QF-Universalbereich elementar zu einem (κ-)”universal domain“ erweitern: wegen 2.15 können wir elementar zu starken κ-∃-Universalbereichen erweitern, das sind dann starke κ-QF-Universalbereiche, also (κ-)”universal domains“. Es sei U ein ”universal domain“ und T seine universelle Theorie, dann ist U ein ”universal domain for T“ [Hr1, Definition 2]. Wegen 2.3 ist das ein generisches Modell von T.

27Ein starker κ-QF-Universalbereich ist ein stark κ-homogener κ-QF-Universalbereich.

1.2.3 Weitere Eigenschaften von generischen Modellen

Es sei nun T eine universelle Theorie mit (JEP), G die Klasse der generischen Modelle von T und U ∈ G. Alternativ könnten wir auch einen ∃-Universalbereich U fixieren und die Klasse der elementar äquivalenten Universalbereiche betrachten. Ich werde zuerst sagen, was ”invariante Mengen in G“ sind und einige Eigenschaften beweisen, die ich später für die lokale Stabilitätstheorie brauche. Danach zeige ich, wie man generischen Modellen Imaginäre hinzufügen kann. Ich zeige, daß die Konstruktion von U^{eq} für Δ_{1}-Universalbereiche die erwarteten Eigenschaften erfüllt. In einem Exkurs erkläre ich, was die induzierte Struktur auf einer durch einen partiellen ∃- Typ gegebenen Menge ist, auch hier verhalten sich die Dinge für Δ_{1}-Universalbereiche besser als allgemein für ∃-Universalbereiche. Abschließend schaue ich kurz auf generische Expansionen und auf eine weitere Art spezieller ∃-Universalbereiche. Solche ”ACL-Universalbereiche” erscheinen mir interessant für Anwendungen. Insbesondere sind die generischen Automorphismen ein Beispiel von generischen Expansionen, die ”ACL-Universalbereiche“ sind.

Ich arbeite meistens in U, werde aber bei Bedarf in hinreichend stark homogene generische Erweiterungen übergehen (das geht wegen 2.15). Ich werde ständig verwenden, daß generische Modelle hinreichend ∃-saturiert sind und daß alle partiellen Automorphismen, welche die ∃-Formeln erhalten, elementar sind.

Invariante Mengen

Vorbemerkung: Es sei A eine beliebige Struktur, eine invariante Menge in A ist eine Menge D ⊂ A^{k}, so daß für alle a ≡ b in A gilt: a ∈ D ⟺ b ∈ D. Dann ist D = ⋃{tp(a)^{U} | a ∈ D}, also gegeben durch eine Menge X von vollständigen Typen (über ∅). Ist dann B eine elementare Erweiterung von A, so sei D^{B} := ⋃{p^{B} | p ∈ X}, das ist dann eine invariante Menge in B. Invariante Mengen sind also Realisierungsmengen von Typenfamilien.

2.18 Definition Es sei U ein generisches Modell, φ eine Formel über U und A ⊂ U. φ heißt G-A-invariant, wenn es eine Menge X ⊂ S(A) gibt, so daß φ und X in jeder generischen Erweiterung von U dieselbe Menge definieren.^{28}

Ich diskutiere nun die folgenden Fragen:

(1) Wenn eine definierbare Menge invariant in einem generischen Modell ist, ist sie dann in jedem generischen Modell invariant?

(2) Wenn eine definierbare Menge invariant in jedem generischen Modell ist, ist sie dann äquivalent zu einer Formeln ohne Parameter?^{29}

(3) Wenn eine Δ_{1}-Formel äquivalent zu einer Formel ohne Parameter ist, ist sie dann äquivalent zu einer Δ_{1}(∅)-Formel?

28Im elementaren Fall würde folgen, daß X die Menge der mit φ konsistenten Typen über A ist und φ äquivalent zu einer Formel über A.

29Die schärfere Frage, wann X = [φ] gilt, stelle ich nicht: weil die generischen Modelle i.a. viele Typen auslassen, ist das nicht zu erwarten.

Ich arbeite in U, A ⊂ U sei klein^{30}, U_{A} ist dann auch ein κ-∃-Universalbereich. Eine A-invariante Menge in U ist eine invariante Menge in U_{A}. Ist U ein starker ∃-Universalbereich, so sind die A-invarianten Mengen in U genau die Aut_{A}(U)- invarianten Mengen.

2.19 Lemma Es sei φ eine Formel über U, die in U A-invariant ist. Dann ist φ G-A-invariant.

Beweis Es sei X = {tp(a/A) | a ∈ φ^{U}} und V eine generische Erweiterung von U.

Behauptung: φ^{V} = ⋃_{p∈X} p^{V}.

Beweis: Es sei etwa φ definiert über der kleinen Menge B ⊃ A in U. Es sei c ∈ φ^{V} und b eine Realisierung von ∃-tp(c/B) in U, dann gilt b ≡_{B} c, also b ∈ φ^{U} und tp(c/A) = tp(b/A) ∈ X. Deshalb gilt ⊂. Ist umgekehrt c ∈ p^{V} für ein p ∈ X und wieder b eine Realisierung von ∃-tp(c/B) in U, dann ist wieder b ≡_{B} c und deshalb tp(b/A) ∈ X, also b ∈ φ^{U}, und c ∈ φ^{V}. □

2.20 Lemma Es sei φ eine G-A-invariante Δ_{1}-Formel: φ ist äquivalent zu einer über A definierten Formel.

Beweis Es sei φ = φ(x, b) über der kleinen Menge B ⊃ A. Wenn φ(x, b) nicht äquivalent ist zu einer Formel über A, so gibt es in einer elementaren Erweiterung (die nicht generisch sein muß) ein c′ ≡_{A} b, so daß c′^{⊧}∃x¬(φ(x, b) ↔ φ(x, y)). Weil φ Δ_{1} ist, ist das eine existenzielle Eigenschaft von c′ (über B). Es sei c eine Realisierung von ∃-tp(c′/B) in U, dann gilt c ≡_{A} b und c^{⊧}∃x¬(φ(x, b) ↔ φ(x, y)). Wir können wegen des vorigen Lemmas annehmen, daß U hinreichend stark homogen ist, dann ist D nicht Aut_{A}(U)-invariant, also nicht A-invariant in U. □

Das folgende Lemma ist eine leichte Verschärfung der Trennungseigenschaft in 2.4 bzw. 2.12.

2.21 Lemma Es sei D eine A-invariante universell-definierbare Menge.

(1) D ist die Vereinigung von ∃(A)-Mengen.

(2) Ist U ein Δ_{1}-Universalbereich, so ist D die Vereinigung von Δ_{1}(A)-Mengen.

(3) Ist U ein Δ_{1}-Universalbereich und D Δ_{1}-definierbar, so ist D äquivalent zu einer Δ_{1}(A)-Menge.

Beweis

(1) Es sei wie immer Ω die Menge der ∀(A)-Formeln, die aus ¬D folgen, dann gilt Ω^{U} = ¬D^{U}: es sei a ∈ Ω^{U}, dann ist ∃-tp(a/A) konsistent mit ¬D und realisiert durch b. Dann ist b ≡_{A} a, also auch a^{⊧}¬D.

(2) Analog, Ω besteht aus Δ_{1}-Formeln und ∃-tp(a/A) wird ersetzt durch Δ_{1}-tp(a/A).

(3) Wendet man (2) auf D und ¬D, so erhält man zwei miteinander inkonsistente Menge von Δ_{1}(A)-Formeln. Wegen hinreichender ∃-Saturation ist dann schon ein endlicher Teil davon inkonsistent, damit folgt (3). □

30U ist ein κ-∃-Universalbereich für ein κ > |L|, ”klein“ bedeutet dann < κ.

Imaginäre

Es sei U ein κ-∃-Universalbereich. Ich behandele nun Problem (iv) aus [Pi3] und definiere U^{eq}, indem ich die Konstruktion in [Hr1, Definition 4] verallgemeinere. Ich zeige dann, daß die resultierende Struktur ein ∃-Universalbereich ist, der ”Imaginärenelimination” erlaubt. Leider liefert das i.a. keine kanonischen Parameter für Δ_{1}-Mengen.

2.22 Definition U erlaubt Δ_{1}-Imaginärenelimination, (Δ_{1}-IE), wenn es für jedes k > 0 und jede Δ_{1}(∅)-definierbare Äquivalenzrelation E auf U^{k} eine Δ_{1}(∅)-definierbare Funktion f gibt, so daß für alle a, b ∈ U^{k} gilt: Eab ↔ f(a) = f(b).

Das ist dann eine Eigenschaft der Theorie von U, gilt also auch in allen elementar äquivalenten ∃-Universalbereichen. In einem QF-Universalbereich mit Δ_{1}-Imaginäre-nelimination haben wir sogar QF-Imaginärenelimination: jede quantorenfrei definierbare Äquivalenzrelation ist die Faserung einer quantorenfrei definierbare Abbildung (denn jede Δ_{1}(∅)-Menge ist eine QF(∅)-Menge).

Es sei E eine Δ_{1}(∅)-definierbare Äquivalenzrelation auf U^{k}. U(E) sei die Struktur (U ∪ U^{k}/E, U, pr_{E}, U^{k}/E). Wenn E quantorenfrei definiert ist sieht man leicht, daß die in U(E) (mit beliebigen Parametern) existenziell definierbaren Teilmengen von U existenziell definierbar sind in U. Insbesondere verändert sich die Δ_{1}-Struktur in U nicht. Das gilt auch dann, wenn E Δ_{1}-definierbar ist (nimmt man E mit in die Sprache, so bleibt die Δ_{1}-Struktur in U dieselbe).

2.23 Lemma U(E) ist ein κ-∃-Universalbereich.

Beweis Es sei Π(x, y) ein partieller existenzieller Typ über wenig Parametern, wobei Π(x, y) ⊧ x ∈ U^{l} ∧ y ∈ (U^{k}/E)^{m}. Dann ist ∃yΠ(x, y) wegen der vorangegangenen Bemerkung äquivalent zu einem partiellen Typ in U, und dieser ist realisiert in U. Also ist ∃yΠ(x, y) realisiert in U(E) und dann auch Π (denn die y sind Bilder unter pr_{E} oder ”dummy”). U(E) ist also κ-∃-saturiert. Ich weise nun die Trennungseigenschaft (4) aus 2.4 nach, dann sind wir fertig. Es sei ψ(x, y) eine existenzielle Formel in U(E) und (a, e) ein Tupel mit ¬ψ(a, e) (es seien x und a aus der U-Sorte, y und e aus der U^{k}/E-Sorte). Es sei etwa e = pr_{E}(b), dann erfüllen (a, b) nicht die existenzielle Formel ∃y(ψ(x, y) ∧ pr_{E}(x′) = y). Weil U die gewünschte Trennungseigenschaft erfüllt, gibt in U eine mit ∃y(ψ(x, y) ∧ pr_{E}(x′) = y) inkonsistente existenzielle Formel χ(x, x′), so daß χ(a, b). Dann ist ∃x′(χ(x, x′) ∧ pr_{E}(x′) = y) eine mit ψ(x, y) inkonsistente existenzielle Formel, die von (a, e) realisiert wird. □

Man kann diese Konstruktion auch für mehrere Äquivalenzrelationen E_{1}, ..., E_{n} durchführen und erhält die Struktur U(E_{1}, ..., E_{n}). Die selben Argumente zeigen, daß U(E_{1}, ..., E_{n}) ein κ-∃-Universalbereich ist, der auf U keine neue existenzielle Struktur induziert. Ist V eine generische Erweiterung von U, so gilt U ≺ V und U(E_{1}, ..., E_{n}) ≺ V(E_{1}, ..., E_{n})^{31}. Nun können wir die übliche (mehrsortige) Konstruktion machen und erhalten U^{eq} – wobei wir nur Δ_{1}(∅)-definierbare Äquivalenzrelationen berücksichtigen. Aus den bisherigen Überlegungen folgt:

31Die Theorie von U interpretiert die von U(E_{1}, ..., E_{n}).

2.24 Satz U^{eq} ist ein κ-∃-Universalbereich, der keine neue existenzielle Struktur auf U induziert. Ist V eine generische Erweiterung von U, so gilt U^{eq} ≺ V^{eq}.

Ist also G die Klasse der zu U elementar äquivalenten ∃-Universalbereiche, so können wir auch von G^{eq} sprechen.

2.25 Lemma U^{eq} erlaubt Δ_{1}-Imaginärenelimination.

Beweis Es sei F̃ eine Δ_{1}-Äquivalenzrelation in U^{eq}, etwa auf ∏_{i≤n} U^{k_{i}}/E_{i}, wobei jedes E_{i} eine Δ_{1}(∅)-Äquivalenzrelation in U auf U^{k_{i}} ist. Für a_{i}, b_{i} ∈ U^{k_{i}} gelte F (a_{0}, ..., a_{n})(b_{0}, ..., b_{n}) ⟺ F̃(pr_{E_{0}}(a_{0}), ..., pr_{E_{n}}(a_{n}))(pr_{E_{0}}(b_{0}), ..., pr_{E_{n}}(b_{n})). Dann ist F eine in U^{eq} Δ_{1}(∅)-definierbare Äquivalenzrelation auf ∏_{i≤n} U^{k_{i}}, also Δ_{1}(∅)- definierbar in U. Es sei f : ∏_{i≤n} U^{k_{i}}/E_{i} → ∏_{i≤n} U^{k_{i}}/F definiert durch f(x_{E_{0}}, ..., x_{E_{n}}) = z_{F} ⟺ ∃x_{0}, ..., x_{n} (pr_{F} (x_{0}, ..., x_{n}) = z_{F} ∧ ⋀_{i} pr_{E_{i}}(x_{i}) = x_{E_{i}}). Diese Funktion ist ∃(∅)-definierbar, also Δ_{1}(∅), ihre Faserung ist gerade F̃.^{32} □

2.26 Lemma Es sei U ein Δ_{1}-Universalbereich mit (Δ_{1}-IE) und A eine kleine Parametermenge. Dann erlaubt auch U_{A} (Δ_{1}-IE).

Beweis Es sei E eine Δ_{1}(A)-Äquivalenzrelation, etwa definiert durch φ(x, x′, a). Der Typ von a (in der Variable y) impliziert dann, daß φ(x, x′, y) eine Äquivalenzrelation ist. Das ist eine universelle Eigenschaft, deshalb gibt es eine Δ_{1}-Formel χ(y) ∈ tp(a), so daß auch χ(y) das impliziert – denn U ist ein Δ_{1}-Universalbereich. Dann definiert y = y′ ∧ (χ(y) → φ(x, x′, y)) eine (globale) Δ_{1}(∅)-Äquivalenzrelation xyF x′y′, welche die Faserung einer Δ_{1}(∅)-Funktion f(x, y) ist. Dann gilt für alle c, c′: f(c, a) = f(c′, a) ↔ φ(c, c′, a), f(x, a) ist also die gesuchte Funktion. □

Die Tatsache, daß dieses Lemma für ∃-Universalbereiche nicht zu gelten scheint, legt nahe, daß der Begriff der (Δ_{1}-IE) eigentlich nur in Δ_{1}-Universalbereichen nützlich ist. Zumindest bräuchte ich (Δ_{1}-IE) über Parametern später in der lokalen Stabilitätstheorie, wenn ich starke Typen durch Typen über algebraisch abgeschlossenen Mengen ersetzen wollte, siehe Kapitel 2, 2.32. Ich sehe auch keinen anderen brauchbaren Ansatz für die Konstruktion von Imaginären.^{33}

2.27 Lemma Es sei U ein Δ_{1}-Universalbereich. U^{eq} ist genau dann ein Δ_{1}-Universal-bereich, wenn in U gilt:

(*) für alle Δ_{1}(∅)-Äquivalenzrelationen E ⊂ U^{k} × U^{k} lassen sich je zwei disjunkte E-saturierte existenziell definierbare Mengen in U^{k} durch eine E-saturierte Δ_{1}(∅)- Menge trennen.

32Das ist ein Grund, warum ich mich nicht auf QF-Imaginärenelimination beschränkt habe: diese Funktionen sind nun einmal Δ_{1}.

33Zwei Ansätze habe ich bedacht: (i) man erlaubt, daß dom(E) existenziell definierbar ist und (ii)

man fordert nur, daß jede E-Klasse Δ_{1} ist.

Beweis Es sind alle definierten Mengen über ∅. Es sei φ(x_{0}, ..., x_{n}) eine existenziell definierbare Teilmenge in U^{eq} und (a_{0}, ..., a_{n})^{⊧} ¬φ. Wegen 2.12 reicht es zu zeigen, daß es eine mit φ inkonsistente Δ_{1}-Formel ψ gibt, so daß ψ(a_{0}, ..., a_{n}). Angenommen φ ist eine Teilmenge von ∏_{i} U^{k_{i}}/E_{i}, dann gibt es eine Δ_{1}-definierbare Bijektion ∏_{i} U^{k_{i}}/E_{i} ∼ ∏_{i} U^{k_{i}}/∏_{i} E_{i} und weil solche Bijektionen ∃-Mengen auf ∃-Mengen abbilden (also auch Δ_{1}-Mengen auf Δ_{1}-Mengen) können wir annehmen, daß φ auf einer einigen Sorte U^{k}/E definiert ist. Es sei dann D = pr_{E}^{−1}(φ), das ist eine in U existenziell definierbare E-saturierte Menge und sei ā ∈ pr_{E}^{−1}(a_{0}, ..., a_{n}), dann ist ā ∉ D. Da U ein ∃-Universalbereich ist, gibt es eine mit D inkonsistente ∃-Menge E, die ā enthält. Es sei F der E-saturierte Abschluß von E (also {b̄ | ∃c̄ ∈ E : b̄Ec̄}), dann auch F inkonsistent mit D. Wegen (*) kann man die beiden Mengen nun durch eine E-saturierte Δ_{1}-Menge trennen, deren pr_{E}-Bild ist dann eine Δ_{1}-Menge, die (a_{0}, ..., a_{n}) enthält und mit φ inkonsistent ist. Die Umkehrung geht analog. □

Ist U ein QF-Universalbereich und (*) erfüllt, so ist U^{eq} ein Δ_{1}-Universalbereich, wobei die quantorenfreie Struktur auf U unverändert bleibt (weil sie mit der Δ_{1}- Struktur übereinstimmt). Will man U^{eq} zu einem QF-Universalbereich machen, so muß man neue Prädikate für die Δ_{1}(∅)-Mengen in den imaginären Sorten einführen - das sind, in der E-Sorte, genau die Faktoren von E-saturierten Δ_{1}(∅)-Mengen. Diesen Weg geht Hrushovski in [Hr1, Definition 4]. Dort findet man auch das folgende Kriterium, welches ich jedoch nicht weiter benötige:

2.28 Lemma Ist U ein Δ_{1}-Universalbereich in dem es keine dichten Ketten von Δ_{1}- Mengen gibt, so ist (*) erfüllt.

Beweis Es sei E ⊂ U^{k} × U^{k} eine Δ_{1}-Äquivalenzrelation und E_{0} und E_{1} seien disjunkte Esaturierte ∃-Mengen in U^{k}. Es sei D_{\frac{1}{2}} ⊃ E_{0} eine trennende Δ_{1}-Menge (die gibt es, weil U ein Δ_{1}-Universalbereich ist), D+_{\frac{1}{2}} sei der E-saturierte Abschluß von D_{\frac{1}{2}} und

D−_{\frac{1}{2}} sei der E-saturierte Abschluß von ¬D_{\frac{1}{2}} , das sind beides wieder ∃-Mengen. E_{0}

und D−_{\frac{1}{2}} sind wieder disjunkt und lassen sich durch eine Δ_{1}-Menge D_{\frac{1}{4}} ⊃ E_{0} trennen,

entsprechend entsteht D_{\frac{3}{4}} zwischen D−_{\frac{1}{2}} und E_{1} . Auf diese Weise erhalten wir eine Kette (D_{i}) von Δ_{1}-Mengen, wobei i die dyadischen Zahlen im offenen Intervall (0, 1) durchläuft, so daß D_{i} ⊂ D_{i}^{+} ⊂ D_{j}^{−} ⊂ D_{j} für i < j. Wegen der Voraussetzung gibt es dann i < j mit D_{i} = D_{j}, die sind dann E-saturiert. □

Achtung, Imaginärenelimination liefert i.a. keine kanonischen Parameter! Leider gibt es selbst in QF-Universalbereichen mit QF-Imaginärenelimination i.a. nicht für jede QF-Menge einen kanonischen Parameter. Ist etwa M saturiert, stabil mit (QE) und (IE), Π ein partieller Typ über ∅ und D eine relativ definierbare Teilmenge von Π, so hat D i.a. keinen kanonischen Parameter in M. Wir sehen aber gleich, daß Π mit der (vollen) induzierten Struktur wieder ein QF-Universalbereich mit (QF-IE) ist, ein kanonischer Parameter von D in Π wäre dann auch einer von D in M (weil sich jeder Automorphismus von Π nach M fortsetzen läßt).

Exkurs: Die induzierte Struktur

Es sei U ein ∃-Universalbereich und Π ein existenzieller partieller Typ über ∅. Für jede Δ_{1}-Formel φ(x_{1}, ..., x_{n}) über ∅ sei R_{φ} ein neues n-stelliges Prädikat (für jedes n > 0), L̃ sei die Sprache aller dieser neuen Relationen. Die induzierte Struktur auf X := Π^{U} ist die L̃-Struktur auf X, für die jedes R_{φ} durch φ^{U} ∩ X^{n} belegt wird. Ich bezeichne diese Struktur mit U ↾ Π.

2.29 Lemma Ist U ein κ-∃-Universalbereich, so ist U ↾ Π κ-∃-saturiert.

Beweis Die existenziell definierbaren Mengen in U ↾ Π sind existenziell typdefinierbar in U. Weil U κ-∃-saturiert ist, ist U ↾ Π es deshalb auch. □

U ↾ Π ist i.a. kein ∃-Universalbereich mehr, auch dann nicht, wenn Π eine quantorenfreie Formel ist. Wir kennen die existenzielle Struktur von U ↾ Π nicht gut genug, sie ist i.a. nicht so fein, wie die von den in U existenziell definierbaren Mengen induzierte Struktur. Der folgende Satz ist [Hr1, Lemma 1.13]:

2.30 Satz Ist U ein κ-QF-Universalbereich, so ist U ↾ Π ein κ-QF-Universalbereich.

Beweis Wegen des letzten Lemmas müssen wir uns nur um die QF-Homogenität kümmern: es seien ā und b̄ Tupel in U ↾ Π mit demselben QF-Typ und a ∈ U ↾ Π: die beiden Tupel haben auch in U denselben QF-Typ, denn in U ist Π ein Schnitt von quantorenfrei definierbaren Mengen. Es gibt also ein b in U, so daß auch āa und b̄b denselben QF-Typ in U haben. Dann haben sie denselben Typ in U und deshalb liegt auch b in Π und in U ↾ Π haben die beiden verlängerten Tupel denselben QF-Typ. □

Ist U ein starker QF-Universalbereich, so auch U ↾ Π (und der vorige Beweis wäre schneller gegangen). Ist U′ ein weiterer QF-Universalbereich und f : U → U′ eine Einbettung, so induziert f eine Einbettung f ↾ Π : U ↾ Π → U′ ↾ Π. Wenn U und U′ dieselbe universelle Theorie haben, dann ist f elementar und U ↾ Π und U′ ↾ Π haben auch dieselbe universelle Theorie. Also ist auch f ↾ Π elementar. Betrachtet man nicht die volle quantorenfrei induzierte Struktur auf Π, so folgt aus dem gerade Gesagten, daß trotzdem f ↾ Π elementar ist. Ich nenne Π(x) abgeschlossen gegen QF-Funktionen, wenn für jede QF(∅)-definierbare Funktion f : U^{k} → U gilt: Π(x̄)^{⊧}∃y(Π(y) ∧ f(x̄) = y)).

2.31 Lemma Es sei Π abgeschlossenen gegen QF-Funktionen. Ist U ein QF-Universal-bereich mit (QF-IE), so auch U ↾ Π.

Beweis Es sei E eine über ∅ quantorenfrei definierbare Äquivalenzrelation in U ↾ Π. Weil Π in U der Schnitt von QF(∅)-Mengen ist, gibt es mit Kompaktheit schon eine QF(∅)- Obermenge von Π^{U}, auf der E immer noch eine Äquivalenzrelation ist - man kann also E zu einer globalen QF(∅)-Äquivalenzrelation F in U fortsetzen. F ist dann die Faserung einer QF(∅)-Funktion f, weil Π abgeschlossen ist gegen QF-Funktionen, ist dann E die Faserung der entsprechenden Restriktion von F. □

Diese beiden Lemmas gelten natürlich auch entsprechend in Δ_{1}-Universalbereichen – leider nicht allgemein in ∃-Universalbereichen.

ACL-Universalbereiche

Viele interessante Beispiele von ∃-Universalbereichen haben die Eigenschaft, daß partielle Automorphismen schon dann elementar sind, wenn sie sich auf den algebraischen Abschluß des Definitionsbereichs fortsetzen lassen. Ich schaue mir diese Eigenschaft nun etwas genauer an. Unter der Annahme, daß der algebraische Abschluß durch quantorenfreie Formeln gegeben ist, beantworte ich die folgende Frage: wie sieht die ”kleinste“ Menge von Formeln aus, die erhalten werden muß, damit partielle Automorphismen zwischen solchen Universalbereichen elementar werden. Zuerst muß ich mir den algebraischen Abschluß in ∃-Universalbereichen genauer anschauen.

Es sei T eine vollständige Theorie, dann bedeute ”φ(x, y)^{⊧}y ∈ acl(x) (in T)“, daß es ein n < ω gibt, so daß T ^{⊧}∀x ∃^{<n}y φ(x, y) ^{34}. Es sei ACL := ACL_{T} die Familie aller solcher φ(x; y). Ist Ω ⊂ L, so ist Ω-ACL die Familie der φ(x; y) ∈ ACL mit φ(x, y) ∈ Ω. Für A ⊂ M^{⊧}T ist dann Ω-acl(A) die Menge der b ∈ M, so daß es eine Formel φ(x; y) ∈ Ω-ACL gibt und ein a ∈ A, so daß M^{⊧}φ(a, b). Achtung, der Operator Ω-acl ist i.a. nicht idempotent und kann sich bei Parameterexpansionen verändern.^{35}

2.32 Lemma

(1) In einem ∃-Universalbereich ist stets acl = ∃-acl.

(2) In einem QF-Universalbereich ist stets acl = QF-acl.

Beweis

(1) Es sei U ein ∃-Universalbereich.

Behauptung: eine endliche A-invariante Menge ist eine ∃(A)-Menge.

Beweis: Es sei p ein algebraischer Typ über A ⊂ U, so ist p^{U} QF-definierbar und A-invariant, also wegen 2.21 Vereinigung von ∃(A)-Mengen. Wegen Vollständigkeit ist p^{U} eine ∃(A)-Menge, das reicht.

Ist also b ∈ acl(A), so gibt es eine algebraische ∃(A)-Formel φ(a, y), so daß b^{⊧}φ(a, y). Die Tatsache, daß φ(a, y) algebraisch ist, ist eine universelle Eigenschaft von a, nämlich ∀y_{1}, ..., y_{n}(⋁_{i} ¬φ(x, y_{i}) ∨ ⋁_{i≠j} y_{i} = y_{j}) für ein n < ω. Es gibt also wegen 2.21 eine ∃(∅)-Formel ψ(x), so daß a^{⊧}ψ(x) und ∀x (ψ(x) → ∃^{<n}y φ(x, y)). Dann ist φ(x, y) ∧ ψ(x) ∈ ∃-ACL und bezeugt, daß b ∈ ∃-acl(A).

(2) Analog. □

2.33 Definition

(1) Ein (κ-)∃-ACL-Universalbereich ist ein (κ-)∃-Universalbereich, in dem jeder partielle Automorphismus, dessen Definitionsbereich algebraisch abgeschlossen ist, elementar ist.

(2) Ein (κ-)ACL-Universalbereich ist ein (κ-)∃-ACL-Universalbereich, in dem gilt: acl = QF-acl.

34y darf das leere Tupel sein, dann gilt ”φ(x, y)^{⊧} y ∈ acl(x) (in T)“ trivialerweise.

35Gibt es φ ∈ Ω und a ∈ A, so daß φ(a, y) algebraisch ist und φ(a, b) gilt, so gilt nicht notwendig b ∈ Ω-acl(A).

2.34 Lemma Es sei U ein ∃-ACL-Universalbereich und T seine universelle Theorie.

(1) Jedes generische Modell von T ist ein ∃-ACL-Universalbereich.

(2) Jeder partielle Isomorphismus zwischen generischen Modellen von T, dessen Definitionsbereich algebraisch abgeschlossen ist, ist elementar.

Beweis

(1) Es sei V generisch und f ein partieller Automorphismus, dessen Definitionsbereich algebraisch abgeschlossen ist. Wir können annehmen, daß dom(f) klein ist. Es gibt einen partiellen Isomorphismus h von V nach U, der die existenziellen Formeln erhält und dessen Definitionsbereich der Graph von f ist, denn U ist hinreichend ∃-saturiert. Das Bild von f ist dann ein partieller Isomorphismus g in U, h ist nach Satz II elementar und der Definitionsbereich von g ist wieder algebraisch abgeschlossen. Nach Definition ist g elementar, also auch f.

(2) Es sei f ein solcher partieller Isomorphismus von V nach U und h eine partielle elementare Abbildung von V nach U, diesesmal mit dom(h) = dom(f). Dann ist f ∘ h^{−1} : im(h) → im(f) ein partieller Automorphismus in U mit algebraisch abgeschlossenem Definitionsbereich. Deshalb ist f ∘ h^{−1} elementar, dann ist auch f elementar. □

QF-Universalbereiche sind sicher ∃-ACL-Universalbereiche und wegen des vorletzten Lemmas sind sie sogar ACL-Universalbereiche. Ich betrachte nun die zugehörige Familie von Formeln.

2.35 Definition Es sei T eine Theorie. Eine T -semiquantorenfreie Formel (SQF-Formel) ist eine Formel der Form ∃ȳφ(x̄, ȳ), wobei φ(x; y) ∈ QF-ACL.

Diese Eigenschaft hängt nur von T_{∀} ab und die Familie der T -semiquantorenfreien Formeln ist abgeschlossen unter positiven booleschen Kombinationen und enthält die quantorenfreien Formeln.

2.36 Lemma Es seien A und B Strukturen mit derselben universellen Theorie, f ein partieller Isomorphismus von A nach B und C der QF-algebraische Abschluß von dom(f), dann sind äquivalent:

(1) f läßt sich fortsetzen zu einem partiellen Isomorphismus von A nach B auf C.

(2) f erhält die SQF-Formeln.

Beweis

(2) nach (1): Es sei a eine Aufzählung von dom(f) und ā eine Aufzählung von C = QF-acl(a). f erhält genau dann die SQF-Formeln, wenn p(x) := SQF-tp(a) ⊂ tp^{B}(f(a)) =: q(x). Es ist leicht zu sehen, daß p(x) genau die Projektion von p(x, ȳ) := QF-tp(a, ā) auf die Variablen von a ist. f erhält also genau dann die SQF-Formeln, wenn q(x) ∪ p(x, ȳ) konsistent ist. Dann gibt es b̄ in einer elementaren Erweiterung von B, so daß dort f(a), b̄^{⊧}p(x, ȳ). Aber p(x, ȳ) erzwingt, daß b̄ schon in B ist und aā ↦ f(a)b̄ ist ein partieller Isomorphismus.

(1) nach (2) ist klar. □

2.37 Satz Es sei U ein ACL-Universalbereich und T seine universelle Theorie.

(1) Jedes generische Modell von T ist ein ACL-Universalbereich.

(2) Jeder partielle Isomorphismus zwischen generischen Modellen von T, der die SQF-Formeln erhält, ist elementar.

Beweis

(1) Jedes generische Modell von T ist wegen 2.34 ein ∃-ACL-Universalbereich und ”acl = QF-acl ist eine Eigenschaft der Theorie von U. Weil alle generischen Modelle von T elementar äquivalent sind zu U, sind wir fertig.

(2) Es sei f ein solcher partieller Isomorphismus von U nach V. Wegen des vorigen Lemmas kann man annehmen, daß dom(f) algebraisch abgeschlossen ist. Dann ist f elementar wegen 2.34. □

Beispiel Es sei T eine vollständige Theorie mit (QF) und (PAPA), dann ist jeder generische Automorphismus von T ein ACL-Universalbereich (siehe 3.14).

Die generischen Automorphismen sind eine Variante des folgenden Themas:

Generische Expansionen

Es sei L ⊂ L^{∗}, T eine induktive L-Theorie und T^{∗} eine induktive L^{∗}-Theorie mit T^{∗}^{⊧}T.

2.38 Lemma Es gelte

(*) Für alle generischen Modelle U^{∗} von T^{∗} und alle A^{⊧}T mit U^{∗} ↾ L ⊂ A gibt es ein B^{∗}^{⊧}T^{∗}, so daß A ⊂ B^{∗} ↾ L und U^{∗} ⊂ B^{∗}.

Dann sind die L-Redukte der κ-generischen Modelle von T^{∗} κ-generische Modelle von T und jedes generische Modell von T hat eine generische Erweiterung, welche sich zu einem generischen Modell von T^{∗} expandieren läßt.

Beweis Es sei U^{∗} ein κ-generische Modell von T^{∗} und U sei L-Redukt. Wegen (*) ist U existenziell abgeschlossen in T und mit U^{∗} ist auch U κ-∃-saturiert. Deshalb ist U ein κ-generisches Modell von T. Ist V ein generisches Modell von T, so hat V wegen (*) eine Erweiterung in T, die sich zu einem Modell B^{∗} von T^{∗} expandieren läßt. B^{∗} aber hat eine generische Erweiterung in T^{∗}. □

Beispiel: Es sei T eine induktive L-Theorie.

(1) Es sei T modellvollständig, L^{∗} = L∪{α}, wobei α ein neues einstelliges Funktionssymbol ist, und T^{∗} = T ∪ ”α ist ein Automorphismus“. Natürlich sind die generischen Modelle von T^{∗} genau die generischen Automorphismen von T. T^{∗} ist eine induktive L^{∗}-Theorie mit T^{∗}^{⊧}T und (*) ist erfüllt: wenn (U, σ) ein κ-generisches Modell von T^{∗} ist und U ⊂ A^{⊧}T, so ist U ≺ A wegen Modellvollständigkeit und σ ein partieller elementarer Automorphismus in A, der Rest ist klar.

(2) Es sei L ∩ L′ = ∅, T′ eine induktive L′-Theorie, L^{∗} = L ∪ L′ und T^{∗} = T ∪ T′. T^{∗} ist eine induktive L^{∗}-Theorie mit T^{∗}^{⊧}T und es ist leicht zu sehen, daß (*) erfüllt ist. Dasselbe gilt, wenn man die Rollen von T und T′ vertauscht: T^{∗}^{⊧}T′ und (*) ist auch für dieses Paar erfüllt. Ist also U^{∗} ein κ-generisches Modell von T^{∗}, so ist U^{∗} ↾ L ein κ-generisches Modell von T und U^{∗} ↾ L′ ein κ-generisches Modell von T′.

(3) Ich betrachte den Spezialfall von (2), in dem R ein neues zweistelliges Prädikat ist, L′ = {R} und T′ = ”R ist irreflexiv und symmetrisch“. T′ hat einen Modellbegleiter, nämlich die Theorie des Zufallsgraphen. Die generischen Modelle von T′ sind also die ℵ_{1}-saturierten Zufallsgraphen und die generischen Modelle von T^{∗} sind generische Modelle von T, auf denen noch ein Zufallsgraph lebt.

2.39 Lemma In Beispiel (3) gilt: Angenommen die generischen Modelle von T sind ∃-ACL-Universalbereiche, dann sind auch die generischen Modelle von T^{∗} ∃-ACL-Universalbereiche und in ihnen ist der algebraische Abschluß genau der L-algebraische Abschluß.

Beweis Es seien U_{i}^{∗} (i = 1, 2) generische Modelle von T^{∗} und U_{i} = U_{i}^{∗} ↾ L. Es sei A^{∗} eine gemeinsame Substruktur von den U_{i}^{∗}, so daß A := A^{∗} ↾ L algebraisch abgeschlossen ist in U_{1}. Weil die U_{i} ∃-ACL-Universalbereiche sind und wegen 1.17 ist A eine starke Amalgamierungsbasis in G. Deshalb gibt es ein T -generisches Modell V ⊃ U_{1} und eine elementare Einbettung von U_{2} nach V über A, so daß A der Schnitt von U_{1} mit dem Bild von U_{2} ist. Ich identifiziere U_{2}^{∗} mit seinem Bild. Mann kann nun V zu einem Modell von T^{∗} expandieren, welches die U_{i}^{∗} erweitert. Daraus folgt, daß A^{∗} eine starke Amalgamierungsbasis in G^{∗} ist. Wegen 1.17 ist A^{∗} algebraisch abgeschlossen in G^{∗} und wegen Satz II sind partielle Isomorphismen zwischen generischen Modellen von T^{∗} mit Definitionsbereich A^{∗} elementar. □

Beispiel Baudisch konstruiert in [Ba] auf die oben beschriebene Weise Theorien als Modellbegleiter von T^{∗} (für den Fall, daß T modellvollständig ist) und beweist in Theorem 3.3:

Wenn die generischen Modelle von T ∃-ACL-Universalbereiche sind, so stimmt das auch für die generischen Modelle von T^{∗}.

Baudisch setzt jedoch voraus, daß T den Quantor ∃^{∞} eliminiert, damit T^{∗} einen Modellbegleiter hat, um also den elementaren Fall zu garantieren. Ich bin davon überzeugt, daß das Resultat auch ohne diese Voraussetzung gilt.

Die Konstruktion von generischen Expansionen ist ein bekanntes Thema. Meistens wird dabei vorausgesetzt, daß T modellvollständig ist und es wird nach Kriterien gesucht, wann T^{∗} einen Modellbegleiter hat. Erst dann studiert man die generischen Modelle von T^{∗} – also nur im elementaren Fall. Ich bin überzeugt, daß man in vielen Fällen die Frage nach der Existenz des Modellbegleiters vernachlässigen kann und die gewünschten Eigenschaften direkt für die generischen Modelle von T^{∗} nachweisen kann. Für die generischen Automorphismen mache ich das nun.

1.3 Generische Automorphismen

Ich bespreche nun die Klasse der ”generischen Automorphismen” ausführlich als Beispiel einer Klasse von generischen Modellen einer induktiven Theorie. Lascar hat die generischen Automorphismen einer vollständigen Theorie T mit (QE) in [La] eingeführt. Dort fordert er, daß die Klasse der ”lokalen Automorphismen“ von T die ”Propriété d’Amalgamation Pour les Automorphisms“, kurz (PAPA), hat. Ich verallgemeinere Lascars Definition, indem ich auf diese Eigenschaft verzichte. Erst im zweiten Teil führe ich lokale Automorphismen ein und zeige, daß die generischen Automorphismen ACF-Universalbereiche sind, falls (PAPA) erfüllt ist. Die bekannten Resultate wurden bisher nur für den elementaren Fall bewiesen (nämlich unter der Voraussetzung, daß die Theorie der generischen Automorphismen modellvollständig ist). Auf diese Voraussetzung verzichte ich natürlich.

1.3.1 Generische Automorphismen

Ich führe nun die Klasse der generischen Automorphismen einer modellvollständigen Theorie T ein und beschreibe kurz die existenziell abgeschlossenen Automorphismen. Danach erkläre ich den Zusammenhang zwischen Stationarität und Amalgamierung in einfachen Theorien und folgere, daß die Klasse der ”T -Automorphismen“ in stabilen Theorien die (AP) hat.

Es sei T eine L-Theorie. Die Kategorie der T -Automorphismen hat als Objekte T - Automorphismen, das sind Paare (σ, M), wobei M ein Modell von T ist und σ ∈ Aut(M), und die folgenden Morphismen: sind (σ, M) und (τ, N) T -Automorphismen, so ist f : (σ, M) → (τ, N) ein Morphismus von T -Automorphismen, wenn f : M → N eine elementare Abbildung ist und f ∘ σ = τ ∘ f.

Ich möchte diese Kategorie als Klasse K von Strukturen in einer geeigneten Sprache auffassen. L_{α} entstehe aus L durch Hinzunahme zwei neuer Funktionssymbole α und α^{−1}. Den T -Automorphismus (σ, M) identifiziert man mit der L_{α}-Struktur (M, σ, σ^{−1}). K ist axiomatisiert durch die Theorie T_{α} :=

T ∪ {”α und α^{−1} sind L-Homomorphismen”} ∪ ∀x α(α^{−1}(x)) = α^{−1}(α(x)) = x

Das Funktionszeichen für den inversen Automorphismus garantiert, daß σ auf Substrukturen surjektiv bleibt. Damit die Morphismen genau die L_{α}-Einbettungen sind, müssen wir voraussetzen, daß T modellvollständig ist. Dann ist T_{α} induktiv.

3.1 Definition Es sei T eine modellvollständige Theorie. Die generischen Automorphismen von T sind die generischen Modelle von T_{α}.

Es sei G die Klasse der generischen Automorphismen von T. Ist (σ, M) ein κ-generischer T -Automorphismus, so ist auch M κ-∃-saturiert. Da T modellvollständig ist, ist M dann sogar κ-saturiert. Ich identifiziere manchmal σ mit dem T -Automorphismus (σ, M) bzw. mit der L_{α}-Struktur (M, σ, σ^{−1}). T_{σ} := Th(σ) ist dann die Theorie von σ = (M, σ, σ^{−1}) und A ⊂ σ bedeutet natürlich A ⊂ M – das sollte keine Verwirrungen geben. Ich nenne σ generisch, wenn σ ∈ G. T_{gen} sei die Theorie von G, also T_{gen} = ⋂{T_{σ} | σ ist generisch}.

Jeder T -Automorphismus der Größe ≤ λ = λ^{<κ} läßt sich zu einem κ-generischen T - Automorphismus der Größe ≤ λ erweitern (Satz I). Ich nehme an, daß es (große) Kardinalzahlen λ gibt mit λ = λ^{<λ} (in (ZFC) + (GCH) gilt das für jedes reguläre λ, siehe etwa [Jech, Seite 49, Corollary 2]). Dann läßt sich jeder kleine T -Automorphismus zu einem λ-generischen T -Automorphismus der Größe λ erweitern, das zugrundeliegende T -Modell ist dann saturiert.

3.2 Lemma Es sei M ein saturiertes Modell von T der Größe λ = λ^{<λ}. Jeder kleine T -Automorphismus in M läßt sich zu einem generischen Automorphismus von M fortsetzen.

Beweis Es sei N ⊂ M klein und τ ∈ Aut(N). Dann läßt sich τ zu einem generischen Automorphismus σ′ ∈ Aut(M′) erweitern, wobei M′ die Größe λ hat. Dann ist auch M′ saturiert und weil T modellvollständig ist, ist M′ ≡_{N} M. Es gibt also einen Isomorphismus f : M′ ≅_{N} M und f ∘ σ′ ∘ f^{−1} ist die gesuchte Fortsetzung von τ nach M. □

Ich arbeite nun in einem solchen großen saturierten Modell C von T, alle betrachteten Modelle von T seien elementare Substrukturen von C. Die Automorphismen von C nenne ich globale Automorphismen. Wegen des Lemmas läßt sich jeder (kleine) Automorphismus zu einem globalen generischen Automorphismus fortsetzen.

Die Sprache von T_{α}

Notation: x^{(k)} := α^{k}(x) für jedes k ∈ ℤ, wobei α^{0}(x) := x. Ist k = (k_{1}, ..., k_{n}) ∈ ℤ^{n} ein Multiindex und x̄ das Variablentupel x_{1}...x_{n}, so sei x_{i}^{(k)} := x_{i}^{(k_{1})}, ..., x_{i}^{(k_{n})}, und x̄^{(k)} := x_{1}^{(k_{1})}, ..., x_{n}^{(k_{n})}. k ∈ ℤ kann auch als Multiindex (k, ..., k) ∈ ℤ^{n} verwendet werden. Die α-Bahn eines Variablentupels x̄ ist das (unendliche) Tupel (von L_{α}- Termen) x̄_{α} := (x̄^{(k)})_{k∈ℤ}.

Es sei φ(x_{1}, …, x_{m}) eine quantorenfreie L_{α}-Formel. Da α mit den L-Symbolen kommutiert (in T_{α}), kann man α in jeder atomaren Formel unmittelbar vor die Variablen schreiben. Es gibt also zu φ(x_{1}, …, x_{m}) Multiindizes k_{1}, ..., k_{n} und eine quantorenfreie L-Formel φ^{∗}(x_{1,1}, …, x_{1,n_{1}}, …, x_{m,1}, …, x_{m,n_{m}}), so daß

T_{α}^{⊧}φ(x_{1}, …, x_{n}) ↔ φ^{∗}(x_{1}^{(k_{1})}, …, x_{m}^{(k_{m})})

Eine quantorenfreie L_{α}-Aussage über x̄ ist also dasselbe, wie eine quantorenfreie L-Aussage über die α-Bahn von x̄. Man kann außerdem annehmen, daß k_{1} mit 0 beginnt, denn für jede L_{α}-Formel ψ(x) gilt T_{α}^{⊧}ψ(x) ↔ ψ(α(x)). Man kann für höhere α-Potenzen auch neue Variable einführen und diese dann abquantifizieren (etwa ψ(x, x^{(−2)}) ≡ ∃y_{−1}, y_{−2}(ψ(x, y_{−2}) ∧ y_{−1} = α(y_{−2}) ∧ x = α(y_{−1}))), auf diese Weise findet man zu φ(x̄) eine quantorenfreie L-Formel φ^{∗∗}, so daß

T_{α}^{⊧}φ(x̄) ↔ ∃ȳφ^{∗∗}(x̄, ȳ, α(x̄), α(ȳ))

Es gilt T_{α}^{⊧}φ^{∗∗}(x̄, ȳ, α(x̄), α(ȳ)) → ȳ ∈ x̄_{α} (wobei ȳ ∈ x̄_{α} die offensichtliche abzählbare Disjunktion ist).

Man muß bei modelltheoretischen Begriffen aufpassen, ob sie in T, in einer Theorie T_{σ} oder in einem generischen Modell σ gemeint sind. Die meisten Begriffe werden T oder generische Modelle σ betreffen, denn solange T_{σ} nicht modellvollständig ist, haben wir nicht genug Kontrolle über die gesamte Theorie von σ. Der Index _{σ} wird dann kenntlich machen, daß man in dem Modell σ und nicht in T arbeitet. So ist etwa acl_{σ}(A) der modelltheoretische algebraische Abschluß von A in der Struktur σ (der σ-algebraische Abschluß von A).

Existenziell abgeschlossene T -Automorphismen

Es seien p(x) und q(y) L-Typen über den T -Automorphismus (M, σ). p^{σ} ist dann wieder ein L-Typ über M und p^{σ} = q soll heißen, daß beide Typen in jeder elementaren Erweiterung von M dieselben Realisierungen haben. Für a^{⊧}p gilt:

(*) σ ∪ {(a, b)} ist genau dann elementar, wenn b^{⊧}p^{σ}.

Ist r ein Typ in den Variablen x und y, so seien r_{x} und r_{y} die Projektionen von r auf die x-Variable bzw. auf die y-Variable. Ist r(x, y) ein L-Typ über M, so nenne ich r σ-verträglich, wenn r_{x}^{σ} = r_{y}. Aus (*) folgt dann

(**) r(x, y) ist genau dann σ-verträglich, wenn r(x, α(x)) in einer Erweiterung von σ erfüllt ist.

3.3 Lemma Für σ ∈ Aut(M) sind äquivalent:

(1) σ ist T_{α}-existenziell abgeschlossen.

(2) Für alle σ-verträglichen r(x, y) ∈ S(M) und alle φ(x, y) ∈ r ist φ(x, α(x)) in (M, σ) realisiert.

Beweis

(1) nach (2): es sei r(x, y) σ-verträglich und φ(x, y) ∈ r. Wegen (**) ist φ(x, α(x)) in einer Erweiterung von σ erfüllt, wegen (1) dann auch in σ.

(2) nach (1): es sei φ(x) eine quantorenfreie L_{α}-Formel über M, wir können annehmen, daß φ = ∃yφ^{∗∗}(x, y, α(x), α(y)), wobei φ^{∗∗} eine L-Formel über M ist. Falls φ(x) eine Realisierung in τ ⊃ σ hat, so gibt es aa′, τ(aa′)^{⊧}φ^{∗∗}. Dann ist r(xx′, yy′) := tp(aa′, τ(aa′)/M) σ-verträglich wegen (**). Wegen (2) ist dann φ^{∗∗}(xy, α(xy)) in (M, σ) realisiert, also auch φ(x). □

T_{gen} ist genau dann modellvollständig, wenn T_{α} einen Modellbegleiter hat. Dann ist T_{gen} die Modellvervollständigung von T_{α} und die generischen T -Automorphismen sind genau die |L|^{+}-saturierten Modelle von T_{gen} (1.20). Das folgende Lemma gibt eine notwendige Bedingung an T, damit T_{α} einen Modellbegleiter hat. Das ist im wesentlichen [La, Exemple 1]:

3.4 Lemma Wenn T_{gen} modellvollständig ist, so eliminiert T den Quantor ∃^{∞}.

Beweis Angenommen T eliminiert den Quantor ∃^{∞}xφ(x, y) nicht, dann sei

Π_{φ}(y) := α(y) = y ∧ ∀x(φ(x, y) → α(x) = x) ∧ ∃^{∞}xφ(x, y)

Behauptung: Π_{φ}(y) ist ein partieller Typ von T_{gen}.

Beweis: es gibt eine Folge (b_{i})_{i<ω}, so daß jedes φ(x, b_{i}) zwar algebraisch ist, aber mindestens i-viele Realisierungen hat. Es sei M_{0} ein Modell, in dem alle b_{i} liegen. Wir können (M_{0}, id) dann zu einem generischen T -Automorphismus (M, σ) erweitern. Da alle φ(x, b_{i}) algebraisch sind, liegen ihre Realisierungen alle in M_{0} und werden deshalb von σ fixiert. Deshalb ist Π in (M, σ) endlich erfüllt.

Behauptung: Π_{φ}(y) wird in keinem generischen Modell realisiert.

Beweis: Es sei (M, σ) generisch und b ∈ M, so daß (M, σ)^{⊧}α(b) = b ∧ ∃^{∞}xφ(x, b). Zu zeigen ist, daß (M, σ)^{⊧}¬∀x(φ(x, b) → α(x) = x). Es sei a^{⊧}φ(x, b), wobei a aus einer elementaren Erweiterung von M kommt, so daß tp(a/M) nicht algebraisch ist. Es gibt dann a′^{⊧}σ(tp(a/M)) mit a ≠ a′, dann ist σ ∪ {(a, a′)} elementar. Deshalb bezeugt a, daß φ(x, b) ∧ x ≠ α(x) in einer Erweiterung von σ erfüllt wird. Da σ existenziell abgeschlossen ist, wird diese Formel auch in (M, σ) erfüllt.

Aus den beiden Behauptungen folgt, daß nicht alle generischen T -Automorphismen ω-saturiert sind. Deshalb ist T_{gen} nicht modellvollständig. □

Stationäre Amalgamierung

Bisher habe ich keine Amalgamierungsannahmen gehabt. Ich werde nun etwas genauer schauen, wann (AP) erfüllt ist.

In einer einfachen Theorie ist für zwei Typen p(x) und q(y) über der Parametermenge A ist die A-invariante Klasse p ⊗ q definiert als p(x) ∪ q(y) ∪ ”x | ⌣_{A} y”. p ⊗ q ist dann typdefinierbar (also A-typdefinierbar), aber i.a. kein vollständiger Typ. Es ist aber leicht zu sehen:

p ist genau dann stationär, wenn p ⊗ q vollständig ist für alle q ∈ S(A).

Das Folgende ist im wesentlichen eine Umformulierung dieser Tatsache. Es sei Σ eine vollständige einfache Theorie, f, g und h seien partielle elementare Abbildungen in Σ (d.h. in einem großen hinreichend saturierten Modell) mit h ⊂ f und h ⊂ g. Ich nenne f und g unabhängig über h, wenn dom(f) | ⌣_{dom(h)} dom(g) und im(f) | ⌣_{im(h)} im(g).

3.5 Stationäre Amalgamierung Es sei Σ vollständig und einfach, h ⊂ f seien partielle elementare Abbildungen, dann sind äquivalent:

(1) tp(dom(f)/dom(h)) ist stationär.

(2) Für alle partiellen elementaren Abbildungen g ⊃ h, so daß f und g unabhängig über h ist, ist f ∪ g eine elementare Abbildung.

Beweis Wir können annehmen, daß h = id_{A}, denn sonst wählt man einen globalen Automorphismus σ, so daß σ ∘ h = id_{A} und ersetzt f durch σ ∘ f und g durch σ ∘ g.

(1) nach (2): Wenn tp(dom(f)/A) stationär ist und dom(f) | ⌣_{A} dom(g), dann ist tp(dom(f)dom(g)/A) = tp(dom(f)/A) ⊗ tp(dom(g)/A). Ist auch im(f) | ⌣_{A} im(g), so ist tp(dom(f)/A) ⊗ tp(dom(g)/A) = tp(im(f)/A) ⊗ tp(im(g)/A), denn f und g sind Aelementar, also dom(f)dom(g) ≡_{A} im(f)im(g). Das bedeutet, daß f ∪ g A-elementar ist.

(2) nach (1): Es sei B ≡_{A} dom(f), dom(f) | ⌣_{A} C und B | ⌣_{A} C. Zu zeigen ist dom(f) ≡_{C} B. Es ist auch B ≡_{A} im(f), also gibt es einen globalen Automorphismus σ über A, so daß σ(B) = im(f). Dann ist f unabhängig von g := σ ↾ C über id_{A} und deshalb ist wegen (2) dom(f)C ≡_{A} im(f)σ(C). Aber im(f)σ(C) ≡_{A} BC, also dom(f)C ≡_{A} BC und dom(f) ≡_{C} B. □

3.6 Korollar Ist T stabil, so hat T_{α} die (AP).

1.3.2 Lokale Automorphismen

Ich werde nun die Klasse der T -Automorphismen erweitern, dazu nehme ich an, daß T Quantorenelimination hat. Ein lokaler T -Automorphismus ist ein Paar (σ, A), wobei es ein Modell M^{⊧}T gibt mit A = acl^{M}(A) ⊂ M und σ ∈ Aut^{M}(A).^{36} Weil T (QE) hat, ist diese Definition unabhängig von der Wahl des umgebenden Modells. Außerdem ist A auf eindeutige Weise eine L-Struktur A. Wenn acl(∅) = ∅, so ist auch der leere lokale T -Automorphismus zugelassen.

Es seien (σ, A) und (τ, B) lokale T -Automorphismen mit zugehörigen umgebenden Modellen M und N. Ein Morphismus f : (σ, A) → (τ, B) ist eine Permutation f : A ∼ B, die elementar ist bezüglich der umgebenden Modelle, so daß f ∘ σ = τ ∘ f. Wegen (QE) ist auch diese Definition unabhängig von der Wahl der umgebenden Modelle. Man identifiziert wieder den lokalen Automorphismus (σ, A) mit der L_{α}-Struktur σ = (A, σ, σ^{−1}). Die Morphismen sind dann wieder genau die L_{α}-Einbettungen.

Es sei K die Klasse der lokalen T -Automorphismen. K ist induktiv und erfüllt (LS), und weil sich jede elementare Erweiterung eines lokalen T -Automorphismus zu einem T -Automorphismus erweitern läßt, ist K genau dann gut, wenn K die (AP) hat.^{37}

Es sei σ ein T -Automorphismus und A eine Parametermenge in σ.

Notation: A_{σ} := {σ^{k}(a) | a ∈ A, k ∈ ℤ} ist der σ-Abschluß von A, σ_{A} := σ ↾ acl(A_{σ}).

σ_{A} ist der von A erzeugte lokale Automorphismus σ ↾ acl(A_{σ}). Ist f ein globaler T - Automorphismus, so ist ^{f}σ := f ∘ σ ∘ f^{−1}. Dann gilt ^{f}(σ_{A}) = (^{f}σ)_{f(A)}. Falls A = A_{σ}, so legt A eine eindeutige L_{α}-Struktur fest, unabhängig vom umgebenden Modell: A legt wegen (QE) eine eindeutige L-Struktur fest, auf die σ eindeutig fortgesetzt wird. Ich sage das, weil deshalb der Begriff der L_{α}-Einbettung von A sinnvoll ist, ohne auf das umgebende L_{α}-Modell zu achten. Insbesondere macht es Sinn zu fragen, ob A eine Amalgamierungsbasis in T_{gen} ist.

PAPA

T sei von nun an vollständig und habe Quantorenelimination, K sei die Klasse der lokalen T -Automorphismen.

3.7 Definition T hat (PAPA), wenn K die (AP) und hat. T hat starke (PAPA), wenn K die starke (AP)^{38} hat.

Wenn K die leere Struktur enthält, dann folgt aus der Definition von (PAPA), daß K (JEP) hat.

3.8 Satz Es sind äquivalent:

(1) T hat (PAPA).

36Aut^{M}(A) ist die Menge der in M elementaren Permutationen von A.

37K ist aber i.a. nicht abgeschlossen gegen elementare Äquivalenz, denn die Eigenschaft, eine algebraisch abgeschlossenen Substruktur von T zu sein ist i.a. nicht abgeschlossen gegen elementare Äquivalenz.

38Das bedeutet, daß jede K-Struktur eine starke Amalgamierungsbasis für K ist.

(2) Die κ-K-generischen T -Automorphismen genau die κ-generischen T -Automor-phismen.

(3) Für alle generischen T -Automorphismen σ und τ und alle partiellen (L_{α}-)Isomor-phismen f von σ nach τ gilt: falls dom(f) σ-invariant ist und algebraisch abgeschlossen (in T), so ist f L_{α}-elementar.

Beweis Der Satz wäre genau Satz III, wenn statt (2) die folgende schwächere Aussage dort stehen würde: die κ-generischen T -Automorphismen sind genau die T -Automorphismen, die κ-K-generisch sind. Es ist also nur noch folgendes zu zeigen:

Behauptung: Falls T (PAPA) hat, so ist jede K-generische Struktur ein T -Automorphismus.

Beweis: Es sei (σ, A) K-generisch, wir müssen A^{⊧}T zeigen. Weil T modellvollständig ist reicht es zu zeigen, daß A T -existenziell abgeschlossen ist. Es sei A ⊂ B^{⊧}T. Weil σ ist T -elementar ist können wir B zu einem Modell M^{⊧}T erweitern, so daß man σ zu einem τ ∈ Aut(M) fortsetzen kann. Da T (PAPA) hat, ist K gut, und weil (σ, A) K-generisch ist, ist (σ, A) existenziell abgeschlossen in (τ, M) (1.13). Dann ist auch A existenziell abgeschlossen in M, also auch in B. □

Da Automorphismen auf eindeutige Weise auch auf den Imaginären operieren, impliziert (PAPA) eine Bedingung an algebraische Imaginäre^{39}:

3.9 Lemma Falls T die (PAPA) hat, so gilt acl^{eq} = dcl^{eq} ∘ acl.

Beweis Es sei A = acl(A) ⊂ M und σ ein Automorphismus von M, der A fixiert. Zu zeigen ist, daß σ auch acl^{eq}(A) fixiert. Aus (PAPA) folgt, daß man ein Konjugat (über A) von σ mit id_{M} zu einem globalen Automorphismus fortsetzen kann (falls A = ∅, so gilt das wegen (JEP)). Nun gilt aber für jede globale Fortsetzung von id_{M}, daß sie acl^{eq}(A) fixiert, das gilt dann auch für das Konjugat von σ, also auch für σ. □

Beispiele:

(1) Es sei T die Theorie der Äquivalenzrelation mit zwei unendlichen Klassen. Dann enthält acl^{eq}(∅) Imaginäre für die beiden Klassen, aber dcl^{eq}(acl(∅)) = ∅. Ein Automorphismus, der die Klassen vertauscht, ist nicht amalgamierbar mit einem Automorphismus, der die Klassen festhält.

(2) Hier kommt eine total kategorische, triviale streng minimale Menge ohne (PAPA) (das Beispiel ist von Martin Ziegler): es sei M = ℤ^{2} und E ⊂ M^{2} × M^{2} die Äquivalenzrelation (k, l)(k′, l′)E(m, n)(m′, n′) ⟺ (k′ = k ∧ l′ = l + 1 ∧ m′ = m ∧ n′ = n + 1) ∨ (k′ = k + 1 ∧ l′ = l ∧ m′ = m + 1 ∧ n′ = n), T sei die Theorie von M. Die beiden Klassen von E repräsentieren die beiden Richtungen ”einen aufwärts“ und ”einen nach rechts“. Es ist acl(∅) = ∅ aber die T -Automorphismen haben nicht (JEP): man betrachte die Identität und einen Automorphismus, der die E-Klassen vertauscht. Ebenso sieht man, daß acl^{eq}(∅) ≠ dcl^{eq}(acl(∅)). T hat nicht die (PAPA).

(3) Der Random Graph ist einfach und instabil, es ist stets acl(A) = A und es gilt genau dann A | ⌣_{B} C, wenn A ∩ C ⊂ B. Falls es Kanten zwischen A und C gibt (außerhalb von B), so kann man elementare Permutationen von A i.a. nicht beliebig mit elementaren Permutationen von C vereinigen. Konjugiert man C jedoch über B so, daß es keine Kanten mehr zwischen A und C gibt (außerhalb von B), so kann man elementare Permutationen vereinigen – deshalb gilt (PAPA), sogar in der starken Form. Im Gegensatz dazu kann man in stabilen Theorien mit (PAPA) zwei lokale Automorphismen schon dann zu einer elementaren Abbildung vereinigen, wenn sie auf ihrem Schnitt übereinstimmen und über ihm unabhängig sind, das zeigt der Beweis des folgenden Lemmas.

39Ich setze keine Imaginärenelimination in T voraus.

3.10 Lemma Ist T stabil, so sind sind äquivalent:

(1) T hat (PAPA).

(2) acl^{eq} = dcl^{eq} ∘ acl.

(3) Typen über algebraisch abgeschlossenen Mengen sind stationär.

(4) T hat starke (PAPA).

Beweis

(1) nach (2) gilt stets wegen des vorigen Lemmas und (4) nach (1) ist klar.

(2) nach (3): Typen über acl^{eq}-abgeschlossenen Mengen sind in stabilen Theorien stationär. Wegen (2) axiomatisiert jeder Typ über acl-abgeschlossenen Mengen also einen stationären Typ und ist damit selber stationär.

(3) nach (4): Es seien σ ⊂ τ_{i} lokale Automorphismen, dann kann man τ_{2} so über dom(σ) konjugieren, daß τ_{1} und τ_{2} unabhängig über σ sind. τ_{1}∪τ_{2} ist dann elementar, denn wegen (3) ist die Stationaritätsvoraussetzung für die stationäre Amalgamierung (3.5) erfüllt. Jeder lokale Automorphismus, der τ_{1} ∪ τ_{2} fortsetzt, ist dann ein starkes Amalgam. □

Dieses Lemma werde ich im Folgenden stillschweigend verwenden.

3.11 Korollar Jede stabile Theorie mit schwacher Imaginärenelimination hat starke (PAPA).

Beweis Schwache (IE) ist äquivalent dazu, daß es zu jedem Imaginären Element e ein nichtimaginäres Tupel a gibt, so daß e ∈ dcl^{eq}(a) und a ∈ acl^{eq}(e). Daraus folgt acl^{eq} = dcl^{eq} ∘ acl. □

Für den Rest des Kapitels sei T eine vollständige Theorie mit (QE) und (PAPA).

α-elementare Abbildungen

Ist τ ein lokaler Automorphismus und A ⊂ τ, so sei (bei einer gegebenen Aufzählung von A) tp_{τ} (A) := tpτ̃(A), wobei τ̃ eine globale generische Fortsetzung von τ ist. Wegen 3.8 ist das unabhängig von der Wahl der generischen Fortsetzung.^{40} Ebenso nenne ich einen partiellen Isomorphismus f zwischen lokalen Automorphismen αelementar, wenn es generische Fortsetzungen der lokalen Automorphismen gibt, so daß f als partieller Isomorphismus f zwischen den generischen Automorphismen L_{α}- elementar ist.

40Mit tp_{τ} (A) ist also nicht der Typ von A in der L_{α}-Struktur τ gemeint.

3.12 Lemma Es seien σ und τ lokale Automorphismen und (f : A ∼ B) ein partieller Isomorphismus von σ nach τ, dann sind äquivalent:

(1) f ist α-elementar.

(2) f läßt sich auf fortsetzen zu einer T -elementaren Abbildung f̃ auf acl(A) ⊂ σ, so daß auf acl(A) gilt: f̃∘ σ = τ ∘ f̃.

(3) f läßt sich auf fortsetzen zu einem Isomorphismus f̃: σ_{A} ≅ τ_{B}.^{41}

Beweis

(1) nach (2): wenn f α-elementar ist, so kann man f fortsetzen zu einer α-elementaren Abbildung f̃: acl_{σ}(A) ∼ acl_{τ} (B). Die Restriktion von f̃ auf acl(A) erfüllt dann (2).

(2) nach (3): Für ein solches f̃ ist dann im(f̃) = acl(B), deshalb ist f̃ schon der Isomorphismus in (3).

(3) nach (1): wegen 3.8 ist f̃ α-elementar, also auch f. □

Es seien σ und τ generische Automorphismen, die A enthalten, aus dem Lemma folgt

σ ≡_{A} τ ⟺ σ_{A} ≅_{A} τ_{A}

3.13 Korollar

(1) Die Vervollständigungen von T_{gen} entsprechen den Isomorphieklassen von lokalen Automorphismen auf acl(∅).

(2) T_{gen} ist genau dann vollständig, wenn acl(∅) = dcl(∅) in T gilt.

Ein starker T -Automorphismus ist ein T -Automorphismus, der acl^{eq}(∅) fixiert.^{42} Wegen acl^{eq} = dcl^{eq} ∘ acl sind das hier genau die Automorphismen, die acl(∅) fixieren. Die generischen starken Automorphismen bilden also gerade die Vervollständigung von T_{gen}, die zu id_{acl(∅)} gehört (ein generischer Automorphismus, der elementar äquivalent zu einem starken generischen Automorphismus ist, ist auch stark, denn id_{acl(∅)} hat keine echten Konjugate). Diese Vervollständigung spielt eine besondere Rolle, etwa zeigt der Beweis von 3.4, daß T schon dann den Quantor ∃^{∞} eliminiert, wenn die Theorie der starken generischen Automorphismen modellvollständig ist.

41Falls acl(∅) = ∅, so ist diese Aussage trivialerweise wahr, aber dann haben wir (JEP) und der leere partielle Isomorphismus ist elementar.

42Das ist nicht ganz die richtige Definition. Die in [La] definierten starken Automorphismen sind in stabilen Theorien genau die, die acl^{eq}(∅) fixieren. Ich benutze den Begriff jedoch wie oben definiert.

ACL-Universalbereiche

Ich erinnere an dom(σ_{A}) = acl(A_{σ}), das ist der T -algebraische Abschluß des σ-Abschlusses von A. Andererseits ist acl_{σ}(A) der algebraische Abschluß von A in der L_{α}-Struktur σ.

3.14 Satz T hat genau dann die starke (PAPA), wenn für alle generischen Automorphismen σ und für alle A ⊂ σ gilt:

acl(A_{σ}) = acl_{σ}(A)

Dann sind die generischen Automorphismen von T ACL-Universalbereiche.

Beweis Es sei σ generisch und A ⊂ σ.

T habe die starke (PAPA), dann ist σ_{A} eine starke Amalgamierungsbasis für K und wegen 1.17 ist σ_{A} algebraisch abgeschlossen in G. Das bedeutet, daß σ_{A} algebraisch abgeschlossen ist in jeder generischen Erweiterung, also auch in σ. Daraus folgt acl(A_{σ}) = acl_{σ}(A). Ist umgekehrt σ_{A} L_{α}-algebraisch abgeschlossen in σ, so auch in jeder generischen Erweiterung von σ_{A}, denn sie sind alle elementar äquivalent über acl(A_{σ}). σ_{A} ist also algebraisch abgeschlossen in G und wegen 1.17 eine starke Amalgamierungsbasis.

Wegen acl(A_{σ}) ⊂ QF-acl_{σ}(A) ⊂ acl_{σ}(A) = acl(A_{σ}) gilt acl_{σ} = QF-acl_{σ}, das ist Bedingung (i) für ACL-Universalbereiche. Bedingung (ii) ist: ein partieller L_{α}-Automor-phismus in σ, dessen Definitionsbereich algebraisch abgeschlossen ist in σ, ist αelementar. Das gilt nach 3.8. □

3.15 Korollar Ist T stabil mit (PAPA), so sind alle generischen Automorphismen von T ACL-Universalbereiche und es gilt stets acl(A_{σ}) = acl_{σ}(A).

Beispiel: Alle generischen Automorphismen des Random Graphs sind ACL-Universalbereiche und es gilt stets acl(A_{σ}) = acl_{σ}(A), denn der Random Graph hat die starke (PAPA).

Ich habe in 2.35 die Formeln eingeführt, welche in ACL-Universalbereichen erhalten bleiben müssen, damit ein partieller Automorphismus elementar wird. Da wir hier den algebraischen Abschluß noch genauer kennen, können wir noch etwas speziellere Formeln einführen, nämlich die, die zum T -algebraischen Abschluß der σ-Bahn gehören: eine SSQF-Formel (spezielle semiquantorenfreie Formel) ist eine L_{α} Formel ∃yφ(x^{(0,...,k)}, y^{(l_{1},...,l_{2})}), wobei φ(x_{0}, ..., x_{k}; y_{l_{1}}, ..., y_{l_{2}}) eine quantorenfreie ACL_{T} - Formel ist mit 0 ≤ l_{1} ≤ l_{2}.

3.16 Lemma SSQF-tp_{σ}(a) ist äquivalent zur Projektion von QF-tp_{σ}(a, acl(a_{σ})) auf die Variable von a.

Beweis SSQF-tp_{σ}(a) ist sicher in dieser Projektion enthalten. Es sei umgekehrt b ∈ acl(a_{σ}) und ψ(x, y) ∈ QF-tp_{σ}(a, b), es reicht zu zeigen:

Behauptung: Es gibt eine ACL_{T} -Formel φ^{∗}(x_{0}, ..., x_{k}; y_{l_{1}}, ..., y_{l_{2}}), so daß für φ(x, y) := φ^{∗}(x^{(0,...,k)}, y^{(l_{1},...,l_{2})}) gilt: σ^{⊧}φ(a, b) und σ^{⊧}φ → ψ.

Beweis: es gibt eine L-Formel ψ^{∗}(x_{0}, ..., x_{m}; y_{0}, ..., y_{n}) und ein i ≥ m, so daß T_{α}^{⊧} ψ(x, y) ↔ ψ^{∗}(x^{(0,..,m)}, y^{(0,..,n)}) und b ∈ acl(a^{(−i,...,i)}). Es sei etwa χ(x_{−i}, ..., x_{i}; y) eine ACL_{T} -Formel mit χ(a^{(−i,...,i)}, b). Für φ^{∗}(x_{−i}, ..., x_{i+n}, y_{0}, ..., y_{n}) := ψ^{∗}(x_{0}, ..., x_{m}; y_{0}, ..., y_{n}) ∧ ⋀_{j≤n} χ(x_{−i+j}, ..., x_{i+j}; y_{j}) ist dann φ^{∗} eine ACL_{T} -Formel und für φ(x, y) := φ^{∗}(x^{(−i,...,i+n)}, y^{(0,...,n)}) gilt: σ^{⊧}φ(a, b) und σ^{⊧}φ → ψ. Das gilt dann auch für φ(x^{(i)}, y^{(i)}), damit folgt die Behauptung. □

Wie in 2.36 folgt dann: ein partieller L_{α}-Isomorphismus ā ↦ b̄ zwischen elementar äquivalenten generischen Automorphismen läßt sich genau dann zu einem partiellen Isomorphismus auf acl(ā_{α}) fortsetzen, wenn er die SSQF-Formeln erhält. Mit 3.12 erhalten wir die syntaktische Beschreibung der α-elementaren Abbildungen:

3.17 Lemma T habe die starke (PAPA). Es seien σ und τ elementar äquivalente generische Automorphismen und f ein partieller L_{α}-Isomorphismus von σ nach τ, dann sind äquivalent:

(1) f ist α-elementar.

(2) f erhält die SSQF-Formeln.

Beweis Klar. □

Exkurs: QF-Universalbereiche

3.18 Lemma Die starken generischen Automorphismen sind genau dann QF-Universal-bereiche, wenn in T für alle A ⊃ acl(∅) gilt: acl(A) = dcl(A).

Beweis Es sei A ⊃ acl(∅) und f sei ein lokaler Automorphismus auf acl(A), der A fixiert. f hat eine generische Erweiterungen σ, σ ist dann stark, denn acl(∅) bleibt fixiert. Es sei nun τ eine (starke) generische Erweiterung von id_{acl(A)}. Falls nun beides QF-Universalbereiche sind, so σ ≡_{A} τ (denn A ist eine gemeinsame L_{α}-Substruktur), dann wird acl(A) auch von τ fixiert. Daraus folgt acl(A) = dcl(A).

Es sei umgekehrt σ stark generisch und f ein partieller L_{α}-Automorphismus (in σ). Da f T -elementar ist, kann man f T -elementar fortsetzen auf acl(∅). Weil σ stark ist, bleibt f dann ein partieller L_{α}-Automorphismus. Wir können also annehmen, daß A = dom(f) ⊃ acl(∅). Nun läßt sich f sicher fortsetzen nach dcl(A_{σ}) = acl(A_{σ}), also ist f α-elementar. □

3.19 Korollar Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(1) Die universelle Theorie von T_{α} ist eine Robinsontheorie.

(2) T_{gen} ist vollständig und die generischen Automorphismen sind QF-Universalbereiche.

(3) In T gilt acl = dcl.

Beweis Es sind äquivalent: (i) die universellen Theorie von T_{α} hat (JEP), (ii) T_{gen} ist vollständig und (iii) acl(∅) = dcl(∅). Wir können diese Eigenschaften also annehmen. Die Äquivalenz von (1) und (2) ist dann 2.9, die von (2) und (3) folgt aus 3.12. □

Hier kommen ein paar sehr einfache Beispiele:

(1) Eine generische Permutation ist ein generischer Automorphismus der Theorie T der unendlichen Menge (bzw. eine generische Struktur in der Klasse aller Permutationen). T ist stabil mit (PAPA) und es gilt acl = dcl. Deshalb ist die universelle Theorie von T_{α}, das ist die Theorie aller Permutationen, eine Robinsontheorie. Eine Permutation ist genau dann existenziell abgeschlossen, wenn sie für jedes k, 0 < k < ω, unendlich viele k-Zykel hat. Deshalb hat T_{α} einen Modellbegleiter, T_{gen} ist also modellvollständig und hat wegen 2.10 (QE).

(2) Es sei P ein einstelliges Prädikat. T besagt, daß es genau n Elemente in P gibt und unendlich viele in ¬P. Ein generischer Automorphismus von T besteht aus einer generischen Permutation von ¬P und einer Permutation von P, das sind alles QF-Universalbereiche. Aber die universelle Theorie von T_{α} ist keine Robinsontheorie, denn (JEP) ist verletzt. Die Vervollständigungen von T_{gen} entsprechen den Konjugationsklassen der Sym(n).

(3) Es seien a, a_{1}, a_{2}, b, b_{1}, b_{2} paarweise verschieden, P = {a, b} eine zweielementige Menge und R = {(a_{1}, a), (a_{2}, a), (b_{1}, b), (b_{2}, b)}. M bestehe aus dieser Struktur zusammen mit unendlich vielen weiteren Elementen, die Sprache ist {P, R}. Die starken generischen Automorphismen von T = Th(M) bilden eine vollständige Theorie mit (QE), aber nicht alle generischen Automorphismen sind QF-Universalbereiche: σ fixiere a, a_{1}, a_{2} und b, vertausche aber b_{1} und b_{2}, das ist ein lokaler Automorphismus auf acl(∅) und legt eine Vervollständigung T_{σ} von T_{gen} fest. a ↦ b ist dann ein partieller Automorphismus in σ, der sich nicht zu einer T -elementaren Abbildung von acl(∅) fortsetzen läßt, die mit σ kommutiert. Die zu T_{gen} gehörenden generischen Automorphismen sind also keine QF-Universalbereiche.

Anmerkung: Mit den generischen Automorphismen hat alles angefangen: ich begann meine Arbeit, indem ich Resultate aus [ChHr] über die Theorie ACF A verallgemeinerte. Das haben auch Chatzidakis und Pillay in [ChHr] gemacht und sie zeigten, daß die Theorie der generischen Automorphismen einer stabilen vollständigen Theorie mit (QE) und (PAPA) einfach ist – wenn sie modellvollständig ist. Die Voraussetzung der Modellvollständigkeit schien wie eine unhinterfragte Voraussetzung immer dabei zu sein, obwohl sie selten in die Beweise einging. Wir verstehen nun besser, warum: sie diente dazu, den elementaren Rahmen zu gewährleisten (siehe 1.20), obwohl man einfach in den generischen Modellen argumentieren konnte. Die Arbeit von Hrushovski über Universalbereiche ([Hr1]) war für mich deshalb ein wichtiger Stein des Anstoßes, denn sie sagte gewissermaßen: ”warum sich um den elementaren Rahmen kümmern, wenn es auch so geht!“ Besser noch: die generischen Automorphismen sind keine QF-Universalbereiche, also schien noch ein allgemeinerer Rahmen möglich zu sein. So kam ich dazu, in ”generischen Klassen“ zu arbeiten und zu schauen, wie lokale Stabilität darin möglich ist. Wie gesagt ist Pillay einen ähnlichen Weg gegangen, er zeigt in [Pi3], daß die generischen Automorphismen einfach sind in seinem verallgemeinerten Sinn und sagt: ”This paper can be seen as a natural continuation of [ChPi], but going beyond the first order context.“ ([Pi3, Einleitung]).

1.4. ∃-PSEUDOMONSTER 43

1.4 ∃-Pseudomonster

Ich werde nun die Klasse der generischen Modelle einer universellen Theorie mit (JEP) axiomatisch beschreiben. In einem ersten Schritt führe ich ”Pseudomonster“ als sich gut verhaltende Klassen G von Strukturen axiomatisch ein, ihre Elemente nenne ich G-Strukturen. Die Klasse der generischen Modelle einer induktive Theorie mit (JEP) ist ein Pseudomonster. Ich zeige die Existenz von stark homogenen ”G-saturierten“ G-Strukturen. Dann verschärfe ich die Definition und zeige, daß die resultierenden ”∃-Pseudomonster“ bis auf ”Äquivalenz“ genau die Klassen der generischen Modelle von universellen Theorien mit (JEP) sind.

Hinter der Namensgebung des Pseudomonsters verbirgt sich die folgende Heuristik: der gerichtete ”Limes“ eines Pseudomonsters G ist ein ”Monstermodell“, in welches alle G-Strukturen elementar einbettbar sind und welches stark homogen ist, aber nicht saturiert. Ein Pseudomonster ist bis auf ”Äquivalenz“ durch sein Monstermodell festgelegt bzw. durch die Familie der ⋆-Typen über ∅, die im Monster realisiert sind.

1.4.1 Pseudomonster

Es sei G eine Klasse von L-Strukturen, abgeschlossen unter Isomorphie, Strukturen aus G nenne ich G-Strukture.

4.1 Definition G nenne ich ein Pseudomonster, wenn

(1) Alle Einbettungen zwischen G-Strukturen sind elementar.

(2) G ist nichtleer und hat (JEP).

(3) Jedes G-Struktur hat für jedes κ eine κ-homogene^{43} Erweiterung in G.

(4) Für alle λ = λ^{|L|} und alle A ⊂ U ∈ G mit |A| ≤ λ gibt es ein U′ ∈ G, so daß A ⊂ U′ ≺ U und |U′| ≤ λ.

Wegen (1) und (JEP) sind alle G-Strukture eines Pseudomonsters elementar äquivalent. Es sei T_{G} die zugehörige vollständige Theorie. Die Eigenschaft (4) nenne ich (LÖSKO).

Beispiele:

(1) Es sei T eine Theorie. Mod(T) ist genau dann ein Pseudomonster, wenn T vollständig und modellvollständig ist.

(2) Es sei A eine Struktur der Größe höchstens 2^{|L|}, dann ist {A_{A}} ein Pseudomonster.^{44}

4.2 Lemma Es sei T eine induktive Theorie mit (JEP), dann ist die Klasse G_{T} der generischen Modelle von T ein Pseudomonster.

43Eine Struktur ist κ-homogen, wenn in ihr gilt: für alle Tupel ā und b̄ der Länge < κ mit ā ≡ b̄ und alle a gibt es ein b, so daß āa ≡ b̄b.

44{A_{A}} ist κ-homogen für jedes κ.

Beweis

(1) und (4): Satz I.

(2): G_{T} ist nach Satz I nichtleer und weil T (JEP) hat, hat auch G_{T} (JEP) (1.12).

(3): Wegen Satz I gibt es stets κ-generische Erweiterungen, diese sind κ-homogen: ā ≡ b̄, so gibt es zu jedem a wegen κ-∃-Saturation (1.13) ein b, so daß b̄b den existenziellen Typ von āa realisiert. Dann ist āa ↦ b̄b elementar wegen Satz II. □

Wenn man Parameter betrachtet, muß man die umgebende G-Struktur kennen, weil sonst ihr Typ nicht festgelegt ist. Ich beschränke mich, wenn nicht ausdrücklich anders gesagt, auf G-Parameter, das sind Parameter, die in einer G-Struktur leben – die G-Struktur werde ich jedoch meistens nicht mit angeben. Ist A ⊂ U ∈ G, so sei G_{U_{A}} := {U′_{A′} | U′ ∈ G, U′_{A′} ≡ U_{A}}. Ich werde meistens nachlässig sein und nur von ”G_{A}“ an Stelle von ”G_{U_{A}}“ sprechen. Ist G ein Pseudomonster, so auch G_{A}.

4.3 Lemma Es sei G ein Pseudomonster und A ⊂ U ∈ G: zu jeder G-Struktur U′_{A′} aus G_{A} gibt es eine elementare Erweiterung Ũ ∈ G von U und eine elementare Einbettung f : U′_{A′} → Ũ_{A}.

Beweis Wegen (JEP) (und weil G abgeschlossen ist gegen Isomorphie) gibt es eine Erweiterung Ũ von U und eine Einbettung g : U′ → Ũ. All diese Einbettungen sind elementar, insbesondere gilt g(A′) ≡ A in Ũ. Wir können annehmen, daß Ũ hinreichend homogen ist, dann gibt es eine elementare Abbildung h : g(U′) → Ũ mit h(g(A′)) = A. f := h ∘ g ist dann die gesuchte Einbettung. □

4.4 Korollar Ein Pseudomonster hat (AP).

4.5 Definition Es sei U eine G-Struktur und A ⊂ U. Ein partieller G-Typ über A ist ein partieller Typ über A, der in einer G_{A}-Struktur realisiert ist. Ein G-Typ über A ist ein vollständiger Typ über A, der in G_{A} realisiert ist.^{45} Ein (partieller) G-Typ ist ein (partieller) G-Typ über einer G-Parametermenge.

4.6 Definition Es sei U eine G-Struktur und κ eine unendliche Kardinalzahl. U ist G-κ-saturiert, wenn für jedes A ⊂ U mit |A| < κ jeder G-Typ über A in U realisiert ist.

Ist U G-κ-saturiert und A ⊂ U mit |A| < κ, so ist U_{A} G_{A}-κ-saturiert.

4.7 Lemma Es sei G ein Pseudomonster und U eine G-Struktur. Ist U G-κ-saturiert, so auch G-κ-universell^{46} und κ-homogen. Falls κ = κ^{|L|}, so gilt auch die Umkehrung.

45Falls der Typ unendlich viele Variable hat, so spreche ich von einem G-⋆-Typ.

46d.h. jede G-Struktur der Größe ≤ κ läßt sich in U elementar einbetten.

Beweis Das ist der Standardbeweis. Es sei U G-κ-saturiert. Es sei (v_{α}) eine Aufzählung einer kleinen G-Struktur V, dann können wir (v_{α}) sukzessive nach U elementar einbetten, deshalb ist U G-κ-universell. Zur Homogenität: sind ā und b̄ kurze Tupel in U mit ā ≡ b̄ und ist a ∈ U, so gibt es in einer hinreichend homogenen elementaren Erweiterung (die eine G-Struktur ist) von U ein b, so daß āa ≡ b̄b. Wegen G-κ-Saturation kann man b schon in U finden.

Ist umgekehrt U G-κ-universell und κ-homogen und ist p ein Typ über einer kleinen Teilmenge A von U, so gibt es wegen (LÖSKO) eine G-Struktur U′ ⊃ A der Größe ≤ κ^{|L|}, das p realisiert. Ist nun κ = κ^{|L|}, so gibt es eine elementare Einbettung f : U′ → U (Universalität). f(p) ist also in U realisiert, wegen Homogenität auch p.

□

Um G-saturierte Strukturen konstruieren zu können brauche ich, daß G induktiv ist.

4.8 Satz Es sei G ein induktives Pseudomonster^{47}. Jede G-Struktur hat für jedes κ eine stark κ-homogene G-κ-saturierte elementare G-Erweiterung.

Beweis Es sei V eine G-Struktur.

Behauptung: V hat für jedes κ eine G-κ-saturierte elementare Erweiterung.

Beweis: Es sei U eine (κ^{|L|})^{+}-G-generische Erweiterung von V, diese Erweiterung existiert weil G induktiv ist mit (AP) (1.7) und ist elementar. Es sei A ⊂ U mit |A| < κ und p ein G-Typ über A. p ist dann in einer elementaren Erweiterung U′ von U realisiert, etwa durch a. Wegen (LÖSKO) gibt es eine G-Struktur U_{0} ≺ U mit A ⊂ U_{0} und |U_{0}| ≤ κ^{|L|} und eine G-Struktur U_{1} ≺ U′ mit U_{0} ∪ {a} ⊂ U_{1} und |U_{1}| ≤ κ^{|L|}. Dann ist U_{0} ≺ U_{1}, und weil U (κ^{|L|})^{+}-generisch ist, kann man U_{1} über U_{0} nach U einbetten. Da diese Einbettung elementar ist, ist p in U realisiert.

Wie im Beweis von 2.15 konstruieren wir nun eine lange elementare Kette, deren Limes stark κ-homogen ist. Wir können annehmen, daß κ regulär ist. Es sei U_{0} eine G-κ-saturierte elementare Erweiterung von V und (U_{α})_{α<κ} eine stetige Kette von G-Strukturen, so daß U_{α+1} stets G-|U_{α}|^{+}-saturiert ist. Diese Kette existiert wegen der vorigen Behauptung. Es sei U := ⋃_{α<κ} U_{α}, das ist eine elementare Erweiterung von U_{0} und eine G-κ-saturierte G-Struktur (κ ist regulär).

Behauptung: U ist stark κ-homogen.

Beweis: Es seien A und B klein und f : A ∼ B sei elementar (in U), wegen Regularität ist f in einem U_{α}. Wegen des vorigen Lemmas ist U_{α+1} |U_{α}|^{+}-homogen, es gibt also eine G-Struktur Ũ_{α} ≺ U_{α+1} und einen Isomorphismus σ_{α} : U_{α} ≅ Ũ_{α} mit f ⊂ σ̃_{α}. Nun geht es weiter wie im Beweis von 2.15. □

4.9 Lemma Es sei G ein induktives Pseudomonster. Es sei κ = κ^{|L|}, A ⊂ U ∈ G und |A| ≤ κ. Dann gibt es ein G-|L|^{+}-saturiertes Modell der Größe ≤ κ, welches A umfaßt.

47d.h. G ist eine induktive Klasse.

Beweis Wir können ein Kette A ⊂ U_{0} ⊂ U_{1} ⊂ ... der Länge κ konstruieren, so daß U_{i+1} stets alle Typen über höchstens |L|-vielen Parametern aus U_{i} realisiert. Wegen (LÖSKO) können wir annehmen, daß alle |U_{i}| ≤ κ. Da cf(κ) > |L|, erfüllt der Limes der Kette das Gewünschte. □

4.10 Lemma Es sei G ein induktives Pseudomonster, G′ die Klasse der G-|L|^{+}-saturierten G-Strukturen und G′′ die Klasse der G-ω-saturierten G-Strukturen. Dann ist G′ ein Pseudomonster und G′′ ein induktives Pseudomonster.

Beweis Einfach, für (LÖSKO) beachte man den vorigen Beweis. □

Äquivalente Pseudomonster

Ich nenne zwei Pseudomonster äquivalent, wenn sie dieselben ⋆-Typen über ∅ realisieren. Offensichtlich gilt:

Zwei Pseudomonster G und G′ sind genau dann äquivalent, wenn sich jede G-Struktur elementar in eine G′-Struktur einbettenläßt und umgekehrt.

Zwei Pseudomonster sind also genau dann äquivalent, wenn sie dasselbe ”Monstermodell“ festlegen.

4.11 Lemma Jedes Pseudomonster ist äquivalent zu einem induktiven Pseudomonster.

Beweis Es sei G ein Pseudomonster und (U_{i})_{i<α} eine aufsteigende Kette in G und I die Familie der aufsteigenden Ketten (U′_{i})_{i<α} in G mit U′_{i} ≺ U_{i}. G′ entstehe dadurch, daß man die Vereinigung jeder Kette aus I zu G hinzunimmt und das Ganze gegen Isomorphie abschließt.

Behauptung: G′ ist ein zu G äquivalentes Pseudomonster.

Beweis: Wir müssen zeigen, daß sich jede G′-Struktur elementar in eine G-Struktur einbetten läßt und daß G′ (LÖSKO) erfüllt. Damit folgt die Behauptung leicht. Es gibt ein V ∈ G, so daß alle U_{i} ≺ V. Dann lassen sich auch alle zu G hinzugenommenen Strukturen elementar in V einbetten. Zu (LÖSKO): es sei (U′_{i})_{i<α} ∈ I, M die Vereinigung und A ⊂ M mit |A| ≤ λ = λ^{|L|}. Wegen (LÖSKO) in G gibt es zu jedem i < α ein V_{i} ≺ U′_{i} mit A ∩ U′_{i} ⊂ V_{i} und |V_{i}| ≤ λ. Es sei N die Vereinigung der V_{i}, dann gilt A ⊂ N ≺ M und |N | ≤ λ.

Wenn man diese Konstruktion nun geeignet iteriert, so sieht man, daß die ”induktive Hülle“ von G ein zu G äquivalentes Pseudomonster ist. □

Ich zeige nun, daß sich induktive Pseudomonster besonders gut unter Äquivalenz verhalten.

4.12 Lemma Es seien G und G′ äquivalente induktive Pseudomonster und λ = λ^{|L|}. Jede G-Struktur der Größe ≤ λ läßt sich zu einer G ∩ G′-Struktur der Größe ≤ λ erweitern.

Beweis Es sei U ∈ G der Größe ≤ λ. Nach Voraussetzung ist tp(U) ein G′-Typ, deshalb gibt es ein U′ ∈ G′ mit U ⊂ U′. Wegen (LÖSKO) können wir annehmen, daß |U′| ≤ λ. Entsprechend gibt es ein U_{1} ∈ G der Größe ≤ λ mit U′ ⊂ U_{1} und wir können eine ”Sandwichkette“ U_{0} := U ⊂ U′_{0} := U′ ⊂ U_{1} ⊂ U′_{1} ⊂ ... ⊂ U_{n} ⊂ U′_{n} ⊂ ... konstruieren mit U_{n} ∈ G und U′_{n} ∈ G′ und so daß jede Struktur der Kette eine Größe ≤ λ hat. Dann sind (U_{n}) und (U′_{n}) elementare Ketten, der Limes ist in G ∩ G′ und hat eine Größe ≤ λ. □

4.13 Satz Es seien G und G′ induktive Pseudomonster. G und G′ sind genau dann äquivalent, wenn G ∩ G′ ein induktives Pseudomonster ist, das zu G und zu G′ äquivalent ist.

Beweis Es sei K = G∩G′. Aus den entsprechenden Eigenschaften von G und G′ folgt sofort, daß K induktiv ist, abgeschlossen gegen Isomorphie und daß alle Einbettungen zwischen K-Strukturen elementar sind. Wegen des letzten Lemmas gilt (JEP).

Behauptung: K erfüllt (LÖSKO).

Beweis: Es sei λ = λ^{|L|}, U ∈ K und A eine Teilmenge von U der Größe ≤ λ. Weil U ∈ G, gibt es mit (LÖSKO) ein U_{0} ∈ G der Größe ≤ λ mit A ⊂ U_{0} ≺ U. Weil U ∈ G′, gibt es entsprechend mit (LÖSKO) ein U′_{0} ∈ G′ der Größe ≤ λ mit U_{0} ⊂ U′_{0} ≺ U. Auf diese Weise können wir wieder eine Sandwichkette innerhalb U konstruieren, deren Limes in K liegt, eine und Größe ≤ λ hat.

Behauptung: Jede K-Struktur hat für jedes κ eine κ-homogene Erweiterung in K.

Beweis: Wir können annehmen, daß κ regulär ist. Es sei U ∈ K, dann hat U eine κ-homogene Erweiterung U_{0} in G. U_{0} hat eine Erweiterung in K, also auch eine κhomogene Erweiterung U′_{0} in G′. Wir konstruieren eine Sandwichkette der Länge κ, deren Glieder jeweils κ-homogen sind. Der Limes ist dann (κ ist regulär) eine κhomogene Struktur in K.

Weil wegen des letzten Lemmas jede G-Struktur eine Erweiterung in K hat und andererseits K ⊂ G, sind G und K äquivalent, ebenso G′ und K. □

1.4.2 ∃-Pseudomonster

4.14 Definition Ein ∃-Pseudomonster ist ein Pseudomonster G mit den folgenden beiden Eigenschaften:

(i) Jeder partielle existenzielle Typ von T_{G} über einer G-Parametermenge ist in G realisiert.

(ii) In allen G-Strukturen sind partiellen Automorphismen, welche die ∃-Formeln erhalten, elementar.

4.15 Lemma Die Klasse der generischen Modelle einer universellen Theorie mit (JEP) ist ein ∃-Pseudomonster.

Beweis Klar nach Definition und mit 4.2. □

Es sei G ein ∃-Pseudomonster. Wegen (JEP) sind auch alle partiellen Isomorphismen zwischen G-Strukturen, welche die ∃-Formeln erhalten, elementar. Außerdem kann man sukzessive auch jeden partiellen existenziellen ⋆-Typ von T_{G} über einer G-Parametermenge in G realisieren.

4.16 Lemma Es sei G ein induktives Pseudomonster, dann sind äquivalent: (1) G ist ein ∃-Pseudomonster.

(2) Für jedes κ > |L| ist jede κ-G-saturierte G-Struktur ein κ-∃-Universalbereich.

(3) Für jedes κ > |L| und jede G-Struktur U gibt es eine G-Oberstruktur U′, die ein κ-∃-Universalbereich ist.

Dann sind die κ-∃-Universalbereiche in G genau die κ-G-saturierten G-Strukturen.

Beweis

(1) nach (2): Es sei U eine κ-G-saturierte G-Struktur und Π ein partieller ∃-Typ von U über einer kleinen Parametermenge. Das ist dann auch ein partieller Typ von T_{G}, also wegen (i) ein G-Typ. Deshalb ist Π in U realisiert und U ist κ-∃-saturiert. Da in U jede Einbettung, welche die ∃-Formeln erhält, elementar ist, ist U ein κ-∃- Universalbereich.

(2) nach (3) folgt aus der Existenz von κ-G-saturierten G-Strukturen (4.8).

(3) nach (1): (i) Es sei A ⊂ U, |A| < κ und Π((x_{α})_{α<κ}) ein partieller existenzieller ⋆- Typ von T_{G} über A. Wir können U wegen (3) elementar zu einem κ-∃-Universalbereich V ∈ G erweitern. V realisiert dann Π und Π ist in G realisiert. (ii) Es sei f ein partieller Isomorphismus in eine G-Struktur U, der die ∃-Formeln erhält. Wähle mit (3) eine elementare G-Oberstruktur, welches ein ∃-Universalbereich ist, in dem ist f dann elementar, also auch in U.

Zusatz: Es sei U ∈ G ein κ-∃-Universalbereich und p ein Typ über einer kleinen Parametermenge A ⊂ U, der ein einer G-Oberstruktur V realisiert ist, etwa durch a. Es gibt in U dann eine Realisierung b von ∃-tp(a/A) und wegen Eigenschaft (ii) ist a ↦ b eine A-elementare Abbildung in V. Deshalb ist auch b eine Realisierung von p, U ist also κ-G-saturiert. Die Umkehrung gilt wegen (2). □

4.17 Satz Die ∃-Pseudomonster sind bis auf Äquivalenz genau die Klassen der generischen Modelle von universellen Theorien mit (JEP).

Beweis Die Klasse der generischen Modelle einer universellen Theorie mit (JEP) ist nach 4.15 ein ∃-Pseudomonster. Es sei andererseits G ein ∃-Pseudomonster. Der Beweis von 4.11 zeigt auch, daß jedes ∃-Pseudomonster äquivalent ist zu einem induktiven ∃-Pseudomonster. Wir können also annehmen, daß G induktiv ist. T sei die universelle Theorie von G und G_{T} die Klasse der generischen Modelle von T. Für jedes U ∈ G ist dann T die universelle Theorie von U und hat deshalb (JEP).

Behauptung: G und G_{T} realisieren dieselben vollständigen ⋆-Typen über ∅.

Beweis: Es sei U ∈ G und p ein in U realisierter Typ über ∅. Wir können annehmen, daß U hinreichend G-saturiert ist, dann ist wegen 4.16 U ein ∃-Universalbereich. Weil T die universelle Theorie von U ist, ist U ein generisches Modell von T und p ist in G_{T} realisiert. Es sei umgekehrt U′ ∈ G_{T} und a ein (beliebig langes) Tupel aus U′. Es sei q der existenzielle Typ von a (in U′ über ∅), dann ist wegen ∃-Saturation q in einem hinreichend großen U ∈ G realisiert, etwa durch b. Wir können wieder annehmen können, daß U ein generisches Modell von T ist, und wegen (JEP) können wir außerdem annehmen, daß U′ ≺ U. Die Abbildung a ↦ b erhält dann in U die existenziellen Formeln, also ist a ≡ b und tp(a) ist in G erfüllt. □

4.18 Definition Ein Δ_{1}-Pseudomonster ist ein Pseudomonster G mit den folgenden beiden Eigenschaften:

(i) Jeder partielle Δ_{1}-Typ von T_{G} über einer G-Parametermenge ist in G realisiert.

(ii) In allen G-Strukturen sind partiellen Automorphismen, welche die Δ_{1}-Formeln erhalten, elementar.

4.19 Lemma Es sei G ein induktives Pseudomonster, dann sind äquivalent:

(1) G ist ein Δ_{1}-Pseudomonster.

(2) Für jedes κ > |L| ist jede κ-G-saturierte G-Struktur ein κ-Δ_{1}-Universalbereich.

(3) Für jedes κ > |L| und jede G-Struktur U gibt es eine G-Oberstruktur U′, das ein κ-Δ_{1}-Universalbereich ist.

Dann sind die κ-Δ_{1}-Universalbereiche in G genau die κ-G-saturierten G-Strukturen.

Beweis Wie der Beweis von 4.16. □

Es folgt, daß jedes Δ_{1}-Pseudomonster auch ein ∃-Pseudomonster ist. Diese Begriffe lassen sich auch allgemeiner bilden, wie ich nun skizzieren werde. Das ist jedoch für den Rest der Arbeit nicht mehr wichtig.

1.4.3 Ω-Universalbereiche und Ω-Pseudomonster

Wir haben bisher Ω-Universalbereiche kennengelernt für Ω = ∃, QF und Δ_{1}. Ich werde nun zeigen, daß es eine uniforme Definition für Ω-Universalbereiche gibt und sie kurz in einer größeren Allgemeinheit studieren. Ω-Universalbereiche tauchen dann in die Definition der Ω-Pseudomonstern auf, welche die ∃-Pseudomonster verallgemeinern. Ω ⊂ L sei abgeschlossen gegen positive boolesche Kombinationen und gegen Variablensubstitution und enthalte die atomaren Formeln.

Es sei A eine Struktur und C ⊂ A. Eine Ω(C)-Formel (auch: Ω-Formel über C) ist eine Formel aus Ω, in der einige Variablen durch Konstanten aus C substituiert sind. Ein partieller Ω(C)-Typ von A ist ein partieller Typ Π(x̄) von A, der aus Ω(C)-Formeln besteht.

4.20 Definition

(1) Eine L-Struktur A heißt κ-Ω-saturiert, wenn jeder partielle Ω-⋆-Typ von A über einer Parametermenge der Mächtigkeit < κ und in höchstens κ-vielen Variablen in A realisiert ist.

(2) Ein κ-Ω-Universalbereich ist eine κ-Ω-saturierte Struktur, in der jeder partielle Automorphismus, der die Ω-Formeln erhält, elementar ist. Ein Ω-Universalbereich ist ein |L|^{+}-Ω-Universalbereich.

4.21 Lemma Es sei A ein κ-Ω-Universalbereich, κ > |L| und ∃Ω der Abschluß von Ω unter existenzieller Quatifikation. Jeder partielle ∃Ω-⋆-Typ über < κ vielen Parametern aus A und in höchstens κ vielen Variablen ist in A realisiert.

Beweis Wie Beweis von 2.16. □

Die κ-L-Universalbereiche sind genau die κ-saturierten Strukturen. Für Ω = ∃ (QF, Δ_{1}) erhalten wir so denselben Begriff, wie zuvor.

4.22 Definition Ein Ω-Pseudomonster ist ein Pseudomonster G mit den folgenden beiden Eigenschaften:

(i) Jeder partielle Ω-Typ von T_{G} über einer G-Parametermenge ist in G realisiert.

(ii) In allen G-Strukturen sind partielle Automorphismen, welche die Ω-Formeln erhalten, elementar.

Entsprechend gilt:

4.23 Lemma Es sei G ein induktives Pseudomonster, dann sind äquivalent:

(1) G ist ein Ω-Pseudomonster.

(2) Für jedes κ > |L| ist jede κ-G-saturierte G-Struktur ein κ-Ω-Universalbereich.

(3) Für jedes κ > |L| und jede G-Struktur U gibt es eine G-Oberstruktur U′, das ein κ-Ω-Universalbereich ist.

Dann sind die κ-Ω-Universalbereiche in G genau die κ-G-saturierten G-Strukturen.

Beweis Wie 4.16. □

Bemerkung: Ist T eine vollständige und modellvollständige Theorie, so bilden die Modelle von T ein L-Pseudomonster. Dieses ist genau dann ein Ω-Pseudomonster, wenn in T jede Formel äquivalent ist zu einer Ω-Formel.

Kapitel 2

Lokale Stabilitätstheorie

Ich werde nun die klassische Stabilitätstheorie erstens lokalisieren und zweitens in dem in Kapitel 1 entwickelten nichtelementaren Rahmen behandeln. Die Grundlagen entwickele ich in einem Pseudomonster; fehlende Kompaktheit macht die Dinge dabei etwas unübersichtlich.^{1} Auf der anderen Seite bekommt man einen Eindruck, wie man in einem solchen Rahmen modelltheoretisch arbeiten kann und worauf man aufpassen muß. Ich werde dort schon definieren, was ein ,,Begriff von freier Fortsetzung für (X, Γ, Y)-Typen” ist^{2} und den Grundbegriff der lokalen Stabilitätstheorie einführen: ,,(Γ, Y)-Freiheit”. Auch die grundlegenden Eigenschaften der Stabilität führe ich allgemein in einem Pseudomonster ein. Bis auf wenige Ausnahmen, bei denen wir Kompaktheit brauchen, klappen die üblichen Konstruktionen, denn sie sind weitgehend kombinatorischer Natur. Insbesondere gilt hier schon das folgende Resultat (3.32):

• Falls es einen Begriff von freier Fortsetzung für (X, Γ, Y)-Typen über G gibt, so ist (X, Γ, Y) G-stabil.

Erst im dritten Abschnitt spezialisiere ich auf den Fall der ∃-Pseudomonster, genauer: auf die Klasse der generischen Modelle einer induktiven Theorie mit (JEP). Ich bin jedoch überzeugt, daß sich all die folgenden Ergebnisse auch in Ω-Pseudomonstern beweisen lassen. Viele der relativ zum Pseudomonster eingeführten Begriffe verhalten sich dann besser und einige stimmen sogar mit den üblichen Begriffen überein. Ich werde den folgenden Satz beweisen (3.31):

• Wenn Γ stabil, dann ist (X, Γ, Y)-Freiheit der einzige Begriff von freier Fortsetzung für (X, Γ, Y)-Typen.

Dieses Resultat ist neu. Ich werde viele aus der globalen Stabilitätstheorie bekannten Eigenschaften beweisen, es bleibt jedoch ein sehr wichtiger Unterschied: die lokale Freiheit induziert keine symmetrische Relation | ⌣. In den Anwendungen zeige ich, daß die in generischen Automorphismen gegebene ”Unabhängigkeitsrelation“ genau quantorenfreie Freiheit ist. Außerdem betrachte ich lokale Freiheit bezüglich der Familie der Gleichungen und beweise, daß lokale Freiheit bezüglich der Familie der Gleichungen mit ,,Srour-Nichtforken” übereinstimmt. Dieses Resultat ist neu und erscheint bald in einer gemeinsamen Arbeit mit M. Junker ([JuKr]). Im Anhang verallgemeinere ich die Grundlagen der stabilen Gruppentheorie auf diesen lokalen, nichtelementaren Rahmen.

1Aber wenn man durch die Hölle der Pseudomonster gegangen ist, dann werden die generischen Modelle wie eine Erlösung sein.

2In der lokalen Stabilität arbeitet man besser mit Fortsetzungsrelationen zwischen lokalen Typen, nicht mit einer dreistelligen ,,Unabhängigkeitsrelation”.

Die wichtigsten Resultate der lokalen Stabilitätstheorie sind bereits im elementaren Rahmen behandelt worden (siehe etwa [Pillay, Kapitel 1]), die Beweise sind jedoch meistens recht ad hoc. Neu scheint mir neben dem nichtelementaren Rahmen auch der Ansatz zu sein, typdefinierbare ,,Sorten” für die Variablen (X) und die Parameter (Y) vorzuschreiben.

2.1 Grundlagen

Ich werde den ersten Unterabschnitt mit ein paar Überlegungen zur einer Modelltheorie in Pseudomonstern beginnen. Dadurch wird klar, wie modelltheoretische Begriffe in einem ”nichtelementaren Rahmen“ gebildet werden. Ich spezialisiere dann aber schnell auf den Fall der ∃-Pseudomonster. Das ist eine sinnvolle Verallgemeinerung der Situation, in welcher G die Klasse der generischen Modelle einer induktiven Theorie mit (JEP) ist: falls T modellvollständig ist mit (JEP), so ist – im Gegensatz zur Klasse der generischen Modelle von T – auch Mod(T) ein ∃-Pseudomonster. Andererseits ist diese Verallgemeinerung geringfügig, weil jedes ∃-Pseudomonster äquivalent ist zur Klasse der generischen Modelle einer induktiven Theorie mit (JEP) (Kapitel 1, 4.17). Solange wir in einem ∃-Pseudomonster mit existenziellen Formeln arbeiten, sind die Methoden und Resultate kaum von der elementaren Situation zu unterscheiden. Ich definiere und diskutiere im zweiten Unterabschnitt den Begriff der lokalen Formel im ∃-Pseudomonster G. Stabilität taucht in diesem Abschnitt nicht auf.

2.1.1 Modelltheorie in Pseudomonstern

Es sei G ein Pseudomonster und T seine vollständige Theorie. Ich werde in G einige Grundbegriffe der geometrischen Modelltheorie definieren, die später in der Arbeit noch auftauchen. Das soll illustrieren, wie modelltheoretische Begriffe in Pseudomonstern definiert werden. Danach zeige ich, wie man in G Indiscernibles konstruieren kann. Schließlich erkläre ich, was (fast) invariante Mengen in G sind. Obwohl ich alle Begriffe im Pseudomonster definiere, werde ich nur für ∃- Pseudomonster ein paar Resultate beweisen.

Anmerkung zu einer nichtelementaren Modelltheorie

Für die meisten üblichen modelltheoretischen Begriffe gibt es jeweils eine syntaktische und eine semantische Definition, wegen des Vollständigkeitssatzes sind diese Definitionen stets äquivalent. In der semantischen Definition wird der Begriff interpretiert in der gesammten Modellklasse, so ist z.B. ein partieller Typ der Theorie T eine Menge von Formeln, die in einem Modell von T realisiert ist. Interpretieren wir nun einen Begriff im Pseudomonster G, so ersetzen wir ”Modell von T“ durch ”G-Struktur“. So ist zum Beispiel ein partieller G-Typ eine Menge von Formeln, die in einer G-Struktur realisiert wird. Der Einfachheit zuliebe nenne ich G-Strukturen von nun an Modelle – wenn ich also von Modellen spreche, so ist stets klar, welches Pseudomonster im Hintergrund ist. Wenn ich unterstreichen möchte, daß ein Begriff in T interpretiert werden soll, so mache ich das durch das Präfix ”T -“ klar. Zum Beispiel ist nicht jeder G-Typ ein T -Typ.

Notationen und Sprechweisen: Eine Formel über G ist eine Formel über Parametern aus G. Was ein (partieller) G-Typ ist, habe ich in Kapitel 1, Definition 4.5 gesagt. Ich nenne ein Modell κ-groß, wenn es stark κ-homogen und κ-G-saturiert ist. Wegen 4.8 hat jedes Modell ein κ-großes Obermodell. Ein hinreichend großes Modell ist ein κ-großes Modell für ein hinreichend großes κ. Ich werde meistens in einem hinreichend großen Modell arbeiten, bei Bedarf betrachte ich aber auch Obermodelle davon.

Teilen und Unabhängigkeitsrelationen

1.1 Definition Es sei A ⊂ U ∈ G.

(1) Eine Formel χ(x, b) über U G-teilt über A, wenn es in G eine A-Indiscerniblefolge (b_{i})_{i<ω} gibt mit b_{0} ≡_{A} b, so daß {χ(x, b_{i}) | i < ω} nicht in G realisiert ist.^{3}

(2) Ein partieller Typ Π über U G-teilt über A, wenn es ein endliches Π_{0} ⊂ Π gibt, so daß ⋀ Π_{0} über A G-teilt.

Falls χ eine existenzielle Formel bzw. Π ein existenzieller partieller Typ ist, so stimmt diese Definition mit der von Pillay überein, siehe [Pi3, Definition 3.2 und Lemma 3.4]. Achtung, es ist möglich, daß eine Δ_{1}-Formel T -teilt, ohne daß die G-teilt: die bezeugende Indiscerniblefolge muß nicht in G realisiert sein.

Eine Fortsetzungsrelation für G-Typen ist eine Familie von Relationen ⊏= (⊏_{U})_{U∈G} zwischen G-Typen, welche (sortenweise) die Inklusion verfeinert und mit:

(Invarianz) Es seien U und U′ Modelle, A ⊂ B, a aus U und A′ ⊂ B′, a′ aus U′: ist tp(a/A) ⊏_{U} tp(a/B) und U_{ABa} ≡ U′_{A′B′a′}, so tp(a′/A′) ⊏_{U′} tp(a′/B′).

Ich lasse bei den Fortsetzungsrelationen den Index für das Modell weg. Das ist ok, weil Einbettungen zwischen Modellen elementar sind.

1.2 Definition Eine Unabhängigkeitsrelation in G ist eine Fortsetzungsrelation ⊏ für G-Typen, so daß für alle G-Typen gilt:

(Erweiterung) Es sei A ⊂ B, zu jedem G-Typ p ∈ S(A) gibt es ein G-Typ q ∈ S(B) mit p ⊏ q.

(Monotonie) p ⊂ q ⊂ r, so p ⊏ r ⇒ p ⊏ q ⊏ r.

(Transitivität) p ⊂ q ⊂ r, so p ⊏ q ⊏ r ⇒ p ⊏ r.

(Lokaler Charakter) zu jedem G-Typ p gibt es A ⊂ dom(p), so daß p ↾ A ⊏ p und |A| ≤ |T |.

(Endlicher Charakter) Für alle p ∈ S(B) ∩ G:

p ↾ A ⊏ p ⟺ p ↾ A ⊏ p ↾ Ab für alle endlichen Tupel b in B (A ⊂ B).

(Symmetrie) Für alle endlichen Tupel a, b und alle Mengen A in G gilt:

tp(a/A) ⊏ tp(a/Bb) ⇒ tp(b/A) ⊏ tp(b/Aa).

3Den alten Begriff des Teilens nenne ich T -teilen.

Es ist wichtig zu sehen, besonders beim Erweiterungsaxiom, daß wir hier innerhalb der Klasse der G-Typen arbeiten. Die folgende Definition verallgemeinert die entsprechenden klassischen Begriffe.

1.3 Definition Es sei ⊏ eine Unabhängigkeitsrelation in G.

(1) Es sei A eine Parametermenge, ⊏ erfüllt den Unabhängigkeitssatz über A, wenn

Für alle Mengen A_{i} ⊃ A (i = 1, 2) mit tp(A^{1}/A) ⊏ tp(A^{1}/A_{2}) und für alle G-Typen p_{i} ∈ S(A_{i}) und p ∈ S(A) gilt: wenn p ⊏ p_{i}, dann gibt es q ∈ S(A_{1}A_{2}), so daß p_{i} ⊏ q.

(2) ⊏ ist einfach, wenn ⊏ den Unabhängigkeitssatz über jedem Modell erfüllt.

(3) ⊏ ist stabil, wenn jeder G-Typ über einem Modell auf jede Obermenge nur eine ⊏-Fortsetzung hat.

Stabile Unabhängigkeitsrelationen sind einfach. Pillay definiert in [Pi3], wann ein ∃-Universalbereich U ”einfach” ist (obwohl das eigentlich eine Eigenschaft der Klasse G(U) der zu U elementar äquivalenten ∃-Universalbereiche ist) und beweist im Wesentlichen den folgenden Satz:

1.4 Satz Es sei G ein einfaches^{4} ∃-Pseudomonster. Dann ist tp(a/A) ⊏^{nd} tp(a/B) :⟺ ∃-tp(a/B) G-teilt nicht über A eine einfache Unabhängigkeitsrelation in G.

Beweis Es sei G einfach, κ groß und U ein κ-großes Modell, dan ist U ein ”e-universal domains of cardinality κ“ im Sinne von Pillay (Kapitel 1, 2.14). Weil U einfach ist, erfüllt ⊏^{nd} (Lokaler Charakter). Wegen [Pi3, Proposition 3.12] ist ⊏^{nd} eine Unabhängigkeitsrelation in G. Aus [Pi3, Corollary 3.18] folgt, daß ⊏^{nd} den Unabhängigkeitssatz über Modellen erfüllt. Deshalb ist ⊏^{nd} einfach. □

Frage: Wenn ⊏^{nd} in einem ∃-Pseudomonster G eine einfache Unabhängigkeitsrelation definiert, ist G dann einfach? Diese Frage scheint mir in [Pi3] nicht beantwortet zu sein.

In 3.53 beweise ich ein entsprechende Resultat für stabile Unabhängigkeitsrelationen und ”stabile” Δ_{1}-Universalbereiche.

Indiscernibles

Ich sage, daß eine Folge (b_{j})_{j∈J} die Folge (a_{i})_{i∈I} A-berührt, wenn es zu jeder endlichen aufsteigenden Teilfolge b̄ von (b_{j}) eine endliche aufsteigende Teilfolge ā von (a_{i}) gibt, so daß b̄ ≡_{A} ā. Das folgende Resultat gilt inzwischen als Folklore (siehe etwa [Sch, Satz 1.4.9]):

1.5 Fakt Es sei M ⊃ A eine Struktur und (a_{i}) eine sehr lange Folge in M, dann gibt es in einer elementaren Oberstruktur von M eine unendliche Indiscerniblefolge (b_{j}), die (a_{i}) A-berührt.

4d.h. jedes U ∈ G ist einfach im Sinne von Pillay [Pi3, Definition 3.2].

1.6 Satz Es sei G ein ∃-Pseudomonster und (a_{i}) eine unendliche Folge in dem Modell U ⊃ A:

(1) Ist (a_{i}) A-indiscernible, so gibt es zu jeder (totalen) Ordnung I ein Obermodell U′ und darin eine zu (a_{i}) äquivalente^{5} A-Indiscerniblefolge.

(2) Ist (a_{i}) sehr lang, so gibt es in G eine A-Indiscerniblefolge, die (a_{i}) A-berührt.

Beweis Behauptung: in ∃-Pseudomonstern gilt die folgende Kompaktheitseigenschaft:

(⋆) Ein vollständiger T -⋆-Typ über einer G-Parametermenge ist genau dann ein G-⋆-Typ, wenn jede seiner Restriktionen auf endliche viele Variablen ein G-Typ ist.

Beweis: Es sei G ein ∃-Pseudomonster und p((x_{i})_{i∈I}) ein vollständiger ⋆-Typ von T über A ⊂ U ∈ G. Wir können annehmen, daß U ein hinreichend G-saturierter ∃-Universalbereich ist (4.8 und 4.16). Dann gibt es in U eine Realisierung (a_{i})_{i∈I} von p ↾ ∃ und für jedes endliche I_{0} ⊂ I eine Realisierung b_{I_{0}} von p ↾ I_{0}. Dann ist b_{I_{0}} ↦ (a_{i})_{i∈I_{0}} ein partieller Isomorphismus in U, der die ∃-Formeln erhält, also b_{I_{0}} ≡ (a_{i})_{i∈I_{0}}. Daraus folgt (a_{i})_{i∈I} ^{⊧}p, p ist also ein G-⋆-Typ.

Nun zum Beweis des Satzes:

(1) Wende (⋆) an auf den vollständigen T -⋆-Typ {x_{i_{0}} … x_{i_{k}} ≡_{A} a_{0} … a_{k} | k < ω, i_{0} < … < i_{k} ∈ I}.

(2) Wende erst den vorigen Fakt an, wegen (⋆) ist der T -⋆-Typ über A der so entstandenen A-Indiscerniblefolge ein G-⋆-Typ. Dieser Typ ist also in G realisiert und jede Realisierung A-berührt (a_{i}). □

Invariante Mengen

1.7 Definition Es sei φ eine Formel über G und A eine G-Parametermenge. φ ist G-A-invariant, wenn es eine Menge X von G-Typen über A gibt, so daß φ und X in jeder G_{A}-Struktur dieselbe Menge definieren.^{6}

Es sei U ⊃ A hinreichend groß. Jede Formel über U, die Aut_{A}(U)-invariant ist, ist wegen hinreichender G-Saturation schon G-A-invariant (vergl. Kapitel 1, Lemma 2.19). Im elementaren Fall ist eine A-invariante Formel sogar äquivalent zu einer Formel über A, hier gilt das i.a. nicht. Für die (lokale) Stabilitätstheorie ist ein weiterer Invarianzbegriff zentral:

1.8 Definition φ(x, b) ist G-fast A-invariant, wenn es ein n < ω gibt, so daß φ(x, b) in jedem Modell, welches Ab enthält, höchstens n viele A-Konjugate hat.^{7} 1.9 Lemma

5Zwei A-Indiscerniblefolgen sind äquivalent, wenn sie sich gegenseitig A-berühren

6Vergleiche Kapitel 1, Definition 2.18.

7Das ist äquivalent dazu, daß für p = tp(b/A) der folgende partielle Typ nicht in G realisiert ist:

p(y_{0}) ∪ … ∪ p(y_{n}) ∪ ⋀_{0≤i<j≤n} ¬(φ(x_{ij}, y_{i}) ↔ φ(x_{ij}, y_{j}))

Es sei G ein ∃-Pseudomonster, φ(x, y) eine Δ_{1}-Formel und b ein G-Parameter.

(1) Wenn φ(x, b) in jedem Modell, welches Ab enthält, nur beschränkt viele A-Konjugate hat, so gibt es ein n < ω, so daß φ(x, b) in jedem solchen Modell höchstens n A-Konjugate hat.^{8}

(2) Für jedes solche n hat φ(x, b) dann auch in jeder Struktur M^{⊧}T_{Ab} höchstens n A-Konjugate.

Beweis Ich arbeite in einem hinreichend großen ∃-Universalbereich U, der elementare Substruktur einer saturierten Struktur M^{⊧}T_{Ab} ist. Es sei E_{φ}yy′ = ∀x (φ(x, y) ↔ φ(x, y′)) und Ẽ_{φ}yy′ := ¬(φ(x_{y,y′}, y) ↔ φ(x_{y,y′}, y′)) dann ist Ẽ_{φ}yy′ existenziell und für b, b′ ist Ẽ_{φ}yy′ genau dann in U realisiert, wenn ¬E_{φ}bb′ in U gilt. Es sei p = ∃-tp(b/A).

(1) Wenn es kein solches n gibt, so gibt es unendlich viele b_{i} ≡_{A} b in U mit ¬E_{φ}b_{i}b_{j}. Wegen ∃-Saturation ist dann {p(y_{i}) | i ∈ I} ∪ {Ẽ_{φ}y_{i}y_{j} | i ≠ j ∈ I} in U erfüllt für ein sehr großes I, etwa durch {b_{i} | i ∈ I} und {a_{ij} | i ≠ j ∈ I}. Dann erhält b ↦_{A} b_{i} die ∃-Formeln, ist also elementar. Für i ≠ j bezeugt dann a_{ij}, daß φ(x, b_{i}) und φ(x, b_{j}) verschiedene Mengen definieren. φ(x, b) hat also sehr viele A-Konjugate in U.

(2) Es seien nun {φ(x, b_{1}), ..., φ(x, b_{n})} die A-Konjugate von φ(x, b) in U und c ∈ M mit c ≡_{A} b. Angenommen es gilt (in M) ¬E_{φ}cb_{i} für alle i = 1, ..., n. Dann gibt es a_{i}^{⊧} Ẽ_{φ}cb_{i}. Es sei c′a′_{1}...a′_{n} eine Realisierung von ∃-tp(ca^{1}...a^{n}/Ab_{1}, ..., b_{n}) in U, dann gilt wieder c′^{⊧}p, also c′ ≡_{A} b und die a′_{i} bezeugen ¬E_{φ}c′b_{i} für alle i = 1, ..., n. φ(x, c′) ist dann zu keinem φ(x, b_{i}) äquivalent, das ist ein Widerspruch. Deshalb sind {φ(x, b_{1}), ..., φ(x, b_{n})} auch schon alle A-Konjugate von φ(x, b) in M. □

Der folgende Satz folgt direkt aus dem Lemma, ich werde ihn noch sehr oft verwenden:

1.10 Satz Es sei G ein ∃-Pseudomonster und D eine Instanz einer Δ_{1}-Formel über G.

(1) Es sind äquivalent:

(i) D ist G-A-invariant.

(ii) D ist äquivalent zu einer Formel über A.

(2) Es sind äquivalent:

(i) D ist G-fast A-invariant. (ii) D ist G-fast acl(A)-invariant. (iii) D ist T -fast A-invariant.^{9}

(3) Es sei U ein Modell, dann sind äquivalent:

(i) D ist G-fast U-invariant.

(ii) D ist äquivalent zu einer Formel über U.

Für komplexere Formeln scheint mir die Situation in (∃-)Pseudomonstern recht pathologisch zu sein: eine G-U-invariante Formel muß wohl nicht äquivalent zu einer Formel über U sein.

8Ein A-Konjugat von φ(x, b) ist eine Formel φ(x, c), wobei c ≡_{A} b. φ(x, c) ist ein von φ(c, b)

verschiedenes A-Konjugat, wenn nicht ∀x(φ(x, b) ↔ φ(x, c)) gilt.

9Das bedeutet, daß D in einer saturierten Erweiterung nur endlich viele A-Konjugate hat. D ist dann in T^{eq} äquivalent zu einer Formel über acl(A).

2.1.2 Lokales

Es sei von nun an G ein ∃-Pseudomonster. Ich werde nun den Begriff der lokalen Formel und des lokalen Typs einführen und ihn ausführlich diskutieren. Dieser Begriff weicht in einigen Punkten von dem vielleicht erwarteten ab: erstens ist er invariant gegen äquivalente Formeln und enthält damit einen nichtlokalen Aspekt. Zweitens schränke ich die Wahl der Parameter ein auf eine vorgegebene ∃-typdefinierbare Menge Y. Der Ansatz, die Parameter einzuschränken, ist neu und ich verfolge ihn durch die gesamte lokale Stabilitätstheorie. Sein Nutzen besteht zum Beispiel darin, daß man lokale Stabilitätstheorie ”innerhalb“ einer typdefinierbaren Struktur entwickeln kann.^{10} Ich werde dann den wichtigen Begriff der Striktheit einführen und im dritten Unterabschnitt erklären, wann lokale Typen definierbar sind. Die meisten der nun gebildeten Begriffe hängen von G ab. Das wird nicht immer aus der Notation hervorgehen, an den wichtigen Stellen weise ich aber darauf hin.

Lokale Formeln

Wie üblich arbeite ich mit Formeln, in denen zwei Sorten von Variablen vorkommen, nämlich ”spezielle“ Variable und ”Parametervariable“. Die Parametervariablen sind für die Substitution von Parametern (genauer: Konstanten) reserviert, die speziellen Variablen bleiben frei. Ist φ eine Formel und x ein Tupel von speziellen Variablen, so ist φ_{x} die Formel, in der genau die freien Variablen speziell sind, die in x vorkommen. Zum Beispiel ist φ_{xy}(xz) = φ_{x}(xz). Es sei φ(x; y) := φ_{x}(x, y) und φ^{−1}(x; y) := φ_{y}(x, y). Entsprechend sei, für Θ ⊂ L, Θ_{x} := {φ_{x} | φ ∈ Θ} und Θ^{∗} := {φ_{x} | φ ∈ Θ, x ist frei in φ}. Es kommt in Θ^{∗} also jede mögliche Separation in spezielle Variable und Parametervariable vor.

Es sei Γ ⊂ L^{∗} und Y ∅-typdefinierbar. Eine (Γ, Y)-Instanz ist eine Formel φ(x, c) mit φ(x, y) ∈ Γ und c^{⊧}Y^{n} für ein n. Ist c aus A, so ist das eine (Γ, Y)(A)-Instanz.^{11}

Notation: Der Einfachheit zuliebe setze ich voraus, daß Y in der ersten Sorte ist. Ist c ein n-Tupel, so schreibe ich statt c^{⊧}Y^{n} einfach nur c^{⊧}Y.

Eine strikte (Γ, Y)-Formel ist eine boolesche Kombination von (Γ, Y)-Instanzen.^{12} Eine strikte (Γ, Y)(A)-Formel ist eine boolesche Kombination von (Γ, Y)(A)-Instanzen. Solche Formeln nenne ich strikt-lokal, im Gegensatz zu den lokalen Formeln, die ich nun bezüglich des ∃-Pseudomonsters G definieren werde:

1.11 Definition

(1) Eine G-(Γ, Y)-Formel ist eine Formel über G, die äquivalent ist zu einer strikten (Γ, Y)-Formel über G.

(2) Eine G-(Γ, Y)(A)-Formel ist eine G-(Γ, Y)-Formel mit Parametern aus A.

Der Unterschied zwischen lokalen und strikt-lokalen Formeln ist sehr wichtig für das Folgende, er zeigt sich besonders über Parametern: eine G-(Γ, Y)(A)-Formel ist i.a. nicht äquivalent zu einer strikten (Γ, Y)(A)-Formel. Sie ist äquivalent zu einer strikten (Γ, Y)-Formel, deren Parameter jedoch nicht in A liegen müssen, aber immerhin noch in G.

10Im Anhang werde ich das für den Fall von typdefinierbaren Gruppen machen.

11Ist Y die Formel y = y, so lasse ich Y aus der Notation weg.

12Ich fasse x = x und x ≠ x stets als (triviale) positive boolesche Kombination auf.

• Eine G-(Γ, Y)-Formel kann Parameter haben, die keine Realisierungen von Y sind.

• Wenn Y nicht definierbar ist, so hängt der Begriff der G-(Γ, Y)-Formel tatsächlich von G ab: Ist φ(x) über G und ϕ(y) := ∀x(φ(x) ↔ ψ(x, y)), so kann Y (y) ∪ {ψ(y)} konsistent sein, ohne in G realisiert zu sein. φ ist dann eine T -(Γ, Y)- Formel, aber keine G-(Γ, Y)-Formel. Ist Y definierbar, so gibt es kein Problem.

• Wir müssen mit diesem Begriff der lokalen Formeln arbeiten, weil wir später brauchen, daß alle ”starken Typen“ eines gegebenen lokalen Typs konjugiert sind.

Konvention: Es sei von nun an Γ ⊂ Δ_{1}^{∗} und Y ∃(∅)-typdefinierbar. Ich spreche nun nur noch von (Γ, Y)-Formeln, meine aber G-(Γ, Y)-Formeln. Falls Y nicht definierbar ist, so setze ich voraus, daß alle Modelle G-ω-saturiert sind.^{13}

Dann ist stets die folgende Eigenschaft erfüllt:

(Y -Saturation) Ist φ(y) eine Formel über einem Modell U, so daß Y^{n} ∧ φ in einem Obermodell von U realisiert ist, so ist Y^{n} ∧ φ auch in U realisiert.

Es sei (Γ_{1}, Y_{1}) ≤ (Γ_{2}, Y_{2}), wenn jede (Γ_{1}, Y_{1})-Formel auch eine (Γ_{2}, Y_{2})-Formel ist. Dann gilt für alle G-Parametermengen A: alle (Γ_{1}, Y_{1})(A)-Formeln sind (Γ_{2}, Y_{2})(A)- Formeln. Das ist falsch für die strikten lokalen Formeln über A. Ich nenne (Γ_{1}, Y_{1}) und (Γ_{2}, Y_{2}) äquivalent, wenn (Γ_{1}, Y_{1}) ≤ (Γ_{2}, Y_{2}) und (Γ_{2}, Y_{2}) ≤ (Γ_{1}, Y_{1}). Diese Begriffe hängen von G ab.

Beispiel:

(1) Es sei Γ̃ der Abschluß von Γ unter der Substitution von Parametervariablen (dabei dürfen natürlich keine speziellen Variable eingesetzt werden) und Γ^{bc} sei der Abschluß von Γ unter booleschen Kombinationen. Dann sind (Γ, Y), (Γ̃, Y) und (Γ^{bc}, Y) äquivalent für jedes Y.

(2) Zu einer endlichen Menge Δ = {φ_{i}(x; y_{i}) | i ≤ n} sei χ_{Δ}(x; y_{0}...y_{n}, z, z_{0} … z_{n}) := ⋁_{i}(φ_{i}(x, y_{i}) ∧ z_{i} = z), dann sind Δ und χ_{Δ} äquivalent (über jeder Parametermenge A mit |Y^{A}| ≥ 2). Ich nenne χ_{Δ} die kodierende Formel von Δ.

Die (Γ, Y)(A)-Formeln bilden die boolesche Unteralgebra L_{(Γ,Y)}(A) von L(A), die strikten (Γ, Y)(A)-Formeln bilden die boolesche Unteralgebra L_{(Γ,Y)}^{strikt}(A) von L_{(Γ,Y)}(A). S_{(Γ,Y)}(A) sei der zu L_{(Γ,Y)}(A) gehörige Stone-Raum, die Typen in S_{(Γ,Y)}(A) nenne ich auch (Γ, Y)(A)-Typen^{14}. Entsprechend werden die strikten (Γ, Y)(A)-Typen gebildet. Weil Y existenziell ist und Γ ⊂ Δ_{1}^{∗} sind alle diese Typen in G realisiert.

Für (Γ′, Y′) ≤ (Γ, Y) und A′ ⊂ A ist L_{(Γ′,Y′)}(A′) ≤ L_{(Γ,Y)}(A), folglich induziert die Restriktion eine stetige Surjektion S_{(Γ,Y)}(A) → → S_{(Γ′,Y′)}(A′). Strikte (Γ, Y)(A)-Typen sind partielle (Γ, Y)(A)-Typen und man hat die Surjektion S_{(Γ,Y)}(A) → S_{(Γ,Y)}^{strikt}(A), p ↦ p^{strikt}. Ist Π ein partieller Typ über A, so sei [Π]_{(Γ,Y)(A)} die Menge der S_{(Γ,Y)}(A)- Typen, die mit Π konsistent sind. Das ist eine abgeschlossene Menge in S_{(Γ,Y)}(A).

13Das ist kein Problem, denn die G-ω-saturierten Modelle in G bilden wieder ein Pseudomonster (Kapitel 1, 4.10). Das ist dann offensichtlich ein zu G äquivalentes ∃-Pseudomonster. Generische Modelle sind sowieso G-ω-saturiert (Kapitel 1, 4.16).

14Wie der Begriff der (Γ, Y)-Formel hängt auch der Begriff des (Γ, Y)-Typs von G ab. Der Konvention von oben folgend deute ich diese Abhängigkeit in der Notation jedoch nicht an. Falls in Γ unendliche viele verschiedene spezielle Variable vorkommen, so kann man auch (Γ, Y)-⋆-Typen betrachten.

Das folgende Beispiel ist trotz seiner Einfachheit sehr instruktiv. Ich werde es immer wieder erwähnen.

Das ID-Beispiel: Es sei ID_{x} := {x = y}, wobei x die spezielle Variable ist und kein Tupel. Die strikten ID_{x}-Formeln definieren dann genau die endlichen bzw. coendlichen Mengen. Die strikten ID_{x}(A)-Formeln definieren die endlichen Vereinigungen von endlichen Teilmengen von A und deren Komplementen, die strikten ID_{x}(A)- Typen entsprechen also den Punkten aus A und ”dem“ Punkt außerhalb. Die ID_{x}-Formeln definieren natürlich dieselben Mengen, wie die strikten ID_{x}-Formeln, die ID_{x}(A)-Formeln jedoch definieren die endlichen Vereinigungen von endlichen Adefinierbaren Teilmengen von acl(A) und deren Komplementen. Die ID_{x}(A)-Typen entsprechen deshalb den algebraischen Typen über A und ”dem” nichtalgebraischen Typ. Die ID_{x}(A)-Formeln sind also genau die strikten ID_{x}(acl(A))-Formeln. Es sei ACL_{x} die Menge aller φ(x; y) ∈ ACL_{T}.^{15} Dann sind ID_{x} und ACL_{x} äquivalent, denn die strikten ACL_{x}-Formeln definieren auch genau die endlichen und die coendlichen Mengen. Es sind also für alle A die ID_{x}(A)-Typen äquivalent zu den ACL_{x}(A)-Typen. Das ist falsch für die strikten Typen über A, denn die strikten ACL_{x}(A)-Typen entsprechen den algebraischen Typen über A bzw. ”dem“ nichtalgebraischen Typ. Der Grund ist, daß eine endliche bzw. coendliche Menge, die äquivalent zu einer L(A)-Formel ist, durch eine strikte ACL_{x}(A)-Formel definiert wird.

ACL_{x} hat die besondere Eigenschaft, daß über jeder Parametermenge A jede ACL_{x}(A)- Formel schon äquivalent ist zu einer strikten ACL_{x}(A)-Formel. Für solche Familien können wir und also auf die strikten Formeln beschränken. Das ist eine für die lokale Stabilität weitreichende Eigenschaft, der ich nun einen Namen gebe.

Striktheit

1.12 Definition (Γ, Y) ist G-strikt über A, wenn jede G-(Γ, Y)(A)-Formel schon äquivalent zu einer strikten (Γ, Y)(A)-Formel ist. (Γ, Y) ist G-strikt, wenn (Γ, Y) strikt über jeder G-Parametermenge ist.

Ich verzichte wieder auf das ”G“ in der Notation.

1.13 Lemma (Γ, Y) ist strikt über Modellen.

Beweis Es sei U ein Modell und ψ(x) eine Formel über U. Falls ψ(x) äquivalent ist zu einer strikten (Γ, Y)-Formel φ(x, c) über einem Obermodell, so ist Y (y) ∪ ∀x (ψ(x) ↔ φ(x, y)) in einem Obermodell realisiert, also auch in U wegen Y -Saturation. □

Die (Γ, Y)-Typen über Modellen sind durch ihre strikten (Γ, Y)-Formeln axiomatisiert. Ich werde i.a. deshalb einen (Γ, Y)(U)-Typ p mit seinem strikten Typ identifizieren. Allgemeiner gilt: (Γ, Y) ist genau dann strikt über A, wenn jeder (Γ, Y)(A)-Typ durch seinen strikten Typ axiomatisiert ist.

15Wir können uns auch auf die existenziellen Formeln in ACL beschränken, siehe Seite 28f.

Das ID-Beispiel: ACL_{x} ist strikt. ID_{x} ist strikt über algebraisch abgeschlossenen Mengen – und nur über solchen.^{16} ID_{x} ist also genau dann strikt, wenn stets acl(A) = A gilt.

Achtung: Ist Θ ⊂ L, so ist eine Θ-Formel über A eine Formel aus Θ mit Parametern aus A, also eine strikte Θ^{∗}(A)-Formel. Insbesondere ist eine Δ_{1}^{∗}(A)-Formel i.a. nicht äquivalent zu einer Δ_{1}(A)-Formel. Man muß also aufpassen, ob man eine Formel mit oder ohne Separation der Variablen betrachtet.

Das folgende Lemma ist der Grund dafür, daß sich viele modelltheoretische Methoden in Δ_{1}-Pseudomonstern besser verhalten, als allgemein in ∃-Pseudomonstern (siehe 2.32 und auch 3.53).

1.14 Lemma

(1) Ist G ein Δ_{1}-Pseudomonster, so ist Δ_{1}^{∗} G-strikt.

(2) Ist G ein QF-Pseudomonster, so ist QF^{∗} G-strikt.

Beweis

(1) Es sei U ⊃ A ein hinreichend G-saturiertes Modell und χ eine Δ_{1}^{∗}(A)-Formel. χ ist dann äquivalent ist zu einer Δ_{1}-Formel φ über U und D := φ^{U} ist eine A-invariante Δ_{1}-Menge. Wegen Kapitel 1, 2.21 (3) ist D äquivalent zu einer Δ_{1}(A)-Formel, denn U ist ein Δ_{1}-Universalbereich (Kapitel 1, 4.19). Nach Definition sind die strikten Δ_{1}^{∗}(A)-Formeln genau die Δ_{1}(A)-Formeln, χ ist also äquivalent zu einer strikten Δ_{1}^{∗}(A)-Formel.

(2) analog. □

Definierbarkeit

Ich sage nun, was Definierbarkeit für (Γ, Y)-Typen bedeutet. Die Dinge werden etwas unübersichtlicher durch die Einschränkung auf den partiellen Typ Y für die Wahl der Parameter. Zum Beispie könnenl definierbare (Γ, Y)-Typen nichtäquivalente Definitionen haben.

Es sei U ⊃ A ein G-ω-saturiertes Modell, p(x) ∈ S_{(Γ,Y)}(A) und ψ_{(Γ,Y)} = (ψ_{φ(x;y)}(y))_{φ∈Γ} eine Familie von Formeln über U, wobei y mit φ variieren darf. ψ_{(Γ,Y)} ist eine schwache Definition von p, wenn für alle c ∈ A gilt: c^{⊧}Y, so φ(x, c) ∈ p ⇔ U^{⊧}ψ_{φ}(c).^{17} Es sei ψ_{(Γ,Y)}|U :=

{φ(x, m) | U^{⊧}ψ_{φ}(m), m ∈ Y^{U}, φ ∈ Γ} ∪ {¬φ(x, m) | U^{⊧}¬ψ_{φ}(m), m ∈ Y^{U}, φ ∈ Γ}

Es sei q ∈ S_{(Γ,Y)}(U). ψ_{(Γ,Y)} ist genau dann eine schwache Definition von q, wenn q = ψ_{(Γ,Y)}|U. Dann ist insbesondere ψ_{(Γ,Y)}|U konsistent. Ist umgekehrt ψ_{(Γ,Y)}|U konsistent, so ist ψ_{(Γ,Y)}|U ∈ S_{(Γ,Y)}(U) und ψ_{(Γ,Y)} ist eine schwache Definition von ψ_{(Γ,Y)}|U.

16ACL_{x} ist sozusagen der strikte Abschluß von ID_{x}.

17Achtung, die Definition weicht etwas von der gewohnten Definition ab, weil zusätzlich auf Y restringiert wird. Das hat zur Folge, daß definierbare lokale Typen über Modellen keine kanonische Definition haben.

1.15 Definition

(1) ψ_{(Γ,Y)} ist eine gute (Γ, Y)-Definition, wenn jede Formel in ψ_{(Γ,Y)} Δ_{1} ist und wenn ψ_{(Γ,Y)}|U konsistent ist.

(2) Eine gute (Γ, Y)-Definition (ψ_{φ})_{φ∈Γ} ist über A, wenn jedes ψ_{φ} über A ist. Dann ist ψ_{(Γ,Y)}|A := (ψ_{(Γ,Y)}|U) ↾ A.^{18}

(3) p(x) ∈ S_{(Γ,Y)}(A) heißt definierbar, wenn es eine gute (Γ, Y)-Definition ψ_{(Γ,Y)} über A gibt, so daß p = ψ_{(Γ,Y)}|A.

(4) Es sei q ∈ S_{(Γ,Y)}(U) definierbar und V ein Obermodell von U. Dann ist q|V := ψ_{(Γ,Y)}|V, wobei ψ_{(Γ,Y)} eine gute Definition von q ist.

Das ist alles wohldefiniert:

1.16 Lemma Es sei U G-ω-saturiert und V ein Obermodell.

(1) Ist ψ′_{(Γ,Y)} eine gute (Γ, Y)-Definitionen über U und ψ_{(Γ,Y)}|U = ψ′_{(Γ,Y)}|U, so gilt auch ψ_{(Γ,Y)}|V = ψ′_{(Γ,Y)}|V.

(2) Ist Π ein partieller Typ über U, so ist Π genau dann konsistent mit ψ_{(Γ,Y)}|U, wenn Π konsistent ist mit ψ_{(Γ,Y)}|V.

Beweis

(1) Angenommen ψ_{(Γ,Y)}|V ≠ ψ′_{(Γ,Y)}|V, dann gibt es φ ∈ Γ, so daß {ψ_{φ}(y)∧¬ψ′_{φ}(y)}∪ Y in V realisiert ist. Wegen Y -Saturation ist das auch in U realisiert und ψ_{(Γ,Y)}|U ≠ ψ′_{(Γ,Y)}|U.

(2) Π sei gegen Konjunktionen abgeschlossen, Π ist genau dann konsistent mit ψ_{(Γ,Y)}|U, wenn für jedes φ(x; y) ∈ Γ, χ ∈ Π und für jedes k < ω gilt:

(Y^{k})^{U} ⊂ (∃x(χ ∧ ⋀_{i<k}(φ(x, y_{i}) ↔ ψ_{φ}(y_{i}))))^{U}

Da U Y -saturiert ist folgt dann stets (Y^{k})^{V} ⊂ (∃x(χ ∧ ⋀_{i<k}(φ(x, y_{i}) ↔ ψ_{φ}(y_{i}))))^{V}, also ist auch ψ|V konsistent mit Π. □

1.17 Korollar

(1) Die Definitionen oben sind unabhängig von der Wahl des G-ω-saturierten Modells U und von ψ_{(Γ,Y)}.

(2) Es sei q ein definierbarer (Γ, Y)-Typ über U. q ist genau dann ein (X, Γ, Y)-Typ, wenn q|V einer ist.

18ψ_{(Γ,Y )}|A ist ein lokaler Typ, nicht nur ein strikt lokaler. Das verdeutlicht noch einmal die ”nicht-Lokalität“ des Begriffs des lokalen Typs: um ψ_{(Γ,Y )}|A zu bestimmen reicht es nicht, (Γ, Y)-Instanzen über A zu betrachten.

Ein definierbarer Typ über einem G-ω-saturierten Modell legt also über jedem Obermodell einen eindeutigen Typ fest. Für definierbare Typen über beliebigen Parametern ist das i.a. falsch.

Notation: q sei ein definierbarer (Γ, Y)-Typ über U. d_{q} = (d_{q}xφ(x, y))_{φ∈Γ} bezeichne eine gute (Γ, Y)-Definition von q. Dabei ist jedes d_{q}xφ(x, y) eine gute (φ, Y)- Definition von q ↾ (φ, Y). Achtung, q kann nicht–äquivalente gute (Γ, Y)-Definitionen haben. Diese Mehrdeutigkeit ist kein Problem, weil die betrachteten Sachverhalte in der Regel unabhängig von der Wahl der guten Definition sein werden. Falls Y trivial ist, so taucht dieses Problem nicht auf.

1.18 Lemma Es sei q ein definierbarer (Γ, Y)-Typ über U und Γ′ ⊂ Γ^{bc}. Der durch q axiomatisierte (Γ′, Y) Typ q̃ über U ist definierbar und es gilt^{19}

dq̃bc(φ_{1}(x, y_{1}), ..., φ_{n}(x, y_{n})) = bc(d_{q}φ_{1}(x, y_{1}), ..., d_{q}φ_{n}(x, y_{n}))

Beweis Für alle m_{i} ∈ Y^{U} und φ_{i}(x, y_{i}) ∈ Γ gilt:

bc(φ_{1}(x, m_{1}), ..., φ_{n}(x, m_{n})) ∈ q̃ ⇔ bc[φ_{1}(x, m_{1}) ∈ q̃, ..., φ_{n}(x, m_{n}) ∈ q̃]
⇔ bc[φ_{1}(x, m_{1}) ∈ q, ..., φ_{n}(x, m_{n}) ∈ q]
⇔ bc(d_{q}φ_{1}(x, m_{1}), ..., d_{q}φ_{n}(x, m_{n})).
□

Achtung, ob eine Menge von Δ_{1}-Formeln eine gute Definition ist oder nicht, hängt von G ab: ψ_{(Γ,Y)}|U kann konsistent sein obwohl es in Mod(T) ”schlechte“ Parameter gibt, so daß ψ_{(Γ,Y)}|M inkonsistent ist in einer saturierten elementaren Oberstruktur von U. Damit wird die gesammte folgende Theorie von G abhängen.

2.2 Stabilität

In diesem Abschnitt werde ich den Begriff der stabilen Relation einführen und seine Interaktion mit der Definierbarkeit von Typen, der Anzahl der Typen und der topologischen Struktur des Typenraums betrachten. Die Definitionen und Beweise sind im wesentlichen klassisch aufgrund der hinreichenden Kompaktheit.

Die Indiscernible-Ordnungseigenschaft

Ich verschärfe hier die Definition der Ordnungseigenschaft. Es sei M eine Struktur und R eine Relation in M. R hat die Indiscernible-Ordnungseigenschaft in M, wenn es eine Indiscerniblefolge (a_{i}b_{i})_{i<ω} in M gibt, so daß Ra_{i}b_{j} ⟺ i < j.

2.1 Definition Es sei R(x, y) eine G-invariante Relation.

(1) R hat die G-Ordnungseigenschaft, wenn es ein Modell gibt, in dem R die Ordnungseigenschaft hat.

19Hier ist ”bc“ ein Term in der Sprache der booleschen Algebren. Das Lemma sowie der Beweis sind unabhängig von der Wahl der guten Definition.

(2) R ist G-stabil, wenn R in keinem Modell die Indiscernible-Ordnungseigenschaft hat.

Wegen der Verlängerbarkeit von Indiscerniblefolgen (1.6) folgt aus der G-Instabilität schon, daß es für jede unendliche Ordnung I eine Indiscerniblefolge (a_{i}b_{i})_{i∈I} in einem Modell gibt mit Ra_{i}b_{j} ⟺ i < j. Rxy ist genau dann G-stabil, wenn {Rxy}∪p(x)∪ q(y) G-stabil ist für alle G-Typen p(x), q(y) über ∅.^{20}

Notation: An Stelle von ”(a_{i})_{i∈I}“ schreibe ich manchmal nur ”(a_{i})_{I}“ oder nur ”(a_{i})“.

2.2 Lemma Es seien R und R_{i} G-invariant:

(1) Ist R G-instabil, so auch ¬R und R^{−1}.

(2) Sind R_{1} und R_{2} G-stabil, so auch R_{1} ∧ R_{2}.

Beweis

(2) Bezeuge (a_{i}a′_{i}, b_{i}b′_{i}) die Indiscernible-Ordnungseigenschaft von R_{1}xy ∧R_{2}x′y′. Für i ≥ j gilt dann ¬R_{1}(a_{i}, b_{j}) oder ¬R_{2}(a′_{i}, b′_{j}). Nach dem Satz von Ramsey gibt es eine unendliche Teilfolge J ⊂ I, so daß für alle i, j ∈ J: i ≥ j ⇒ ¬R_{1}(a_{i}, b_{j}) oder für alle i, j ∈ J: i ≥ j ⇒ ¬R_{2}(a′_{i}, b′_{j}) gilt. Im ersten Fall bezeugt (a_{i}, b_{i}) die Ordnungseigenschaft von R_{1}, im zweiten Fall bezeugt (a′_{i}, b′_{i}) die Ordnungseigenschaft von R_{2}.

□

2.3 Korollar Sind R_{i}(x_{i}, y_{i}) G-stabil und ist R(x_{1}...x_{n}, y_{1}...y_{n}) eine boolesche Kombination der R_{i}, so ist auch R G-stabil.

Die G-invarianten G-stabilen Relationen sind abgeschlossen gegen Variablensubstitution im folgenden Sinn: ist R(x_{1}...x_{n}, y_{1}...y_{n}) G-stabil, so auch R(x′_{1}...x′_{n}, y′_{1}...y′_{n}), wobei {x′_{1}, ..., x′_{n}} und {y′_{1}, ..., y′_{n}} disjunkt sind. Untereinander müssen die x′_{i} bzw. die y′_{i} nicht paarweise verschieden sein.

Ich betrachte nun nur noch ”relativ definierbare“ Relationen: eine G-invariante Relation R(x, y) heißt relativ definierbar, wenn es partielle ∃(∅)-Typen Π(x) und Φ(y) gibt und eine Δ_{1}^{∗}(∅)-Formel φ(x; y), so daß R(x, y) und Π(x)∧φ(x; y)∧Φ(y) in jedem Modell dieselbe Relation definieren. Ich schreibe dann abkürzend R ≡ ΠφΦ. Es seien X und Y ∃(∅)-typdefinierbar und Γ ⊂ Δ_{1}^{∗}. Der Einfachheit zuliebe nehme ich an, daß X und Y in der ersten Sorte sind. Ich schreibe für die relativ definierbare Relation X^{k}φ(x_{1}, ..., x_{k}; y_{1}, ..., y_{l})Y^{l} auch XφY. (X, Γ, Y) fasse ich als die Familie der Relationen XφY auf mit φ ∈ Γ.

2.4 Definition (X, Γ, Y) heißt G-stabil, wenn jede Relation XφY es ist (φ ∈ Γ).

2.5 Lemma Es sind äquivalent:

(1) (X, Γ, Y) ist G-stabil.

(2) (X, Γ, Y) hat nicht die G-Ordnungseigenschaft.

(3) (X, Γ, Y) ist T -stabil.

20Achtung, eine invariante Relation kann stabil sein und trotzdem die Ordnungseigenschaft haben:

es sei T die Theorie der Ordnung ω mit Konstanten für jedes Element von ω. Es sei R die Ordnung auf ω. R ist invariant und hat die Ordnungseigenschaft, die kann aber nicht durch Indiscernibles bezeugt werden.

Beweis Es sei φ ∈ Γ. Wenn XφY nicht T -stabil, so ist {X(x_{i}) | i < κ} ∪ {φ(x_{i}, y_{j}) | i < j < κ} ∪ {¬φ(x_{i}, y_{j}) | j ≤ i < κ} ∪ {Y (y_{j}) | j < κ} konsistent. Weil das ein partieller ∃-Typ ist, ist er in G realisiert und XφY hat die G-Ordnungseigenschaft. Ist κ groß genug, so gibt es wegen 1.6 auch eine realisierende Indiscerniblefolge in G. □

Wegen des Lemmas spreche ich nun nur noch von ”Stabilität“. Ist (X, Γ, Y) stabil, so auch (Y, Γ^{−1}, X). Dann können wir außerdem Γ unter booleschen Kombinationen und unter Variablensubstitution abschließen, ohne die Stabilität zu zerstören. Ich setze jedoch keine solche Abschlußeigenschaft voraus.

2.2.1 Charakterisierungen der Stabilität

Ich beweise hier die bekannte Äquivalenz von Stabilität, Definierbarkeit, geringer Anzahl von Typen und Existenz der lokalen Morleyränge.

Stabilität und Definierbarkeit

Im Beweis des nächsten Lemmas brauchen wir den folgenden Fakt über boolesche Algebren:

• eine Menge P ist genau dann keine positive boolesche Kombination^{21} aus den Mengen C_{0}, …, C_{n−1}, wenn es a ∈ P und b ∉ P gibt, so daß für alle i < n gilt: a ∈ C_{i} → b ∈ C_{i}.

Das folgende kombinatorische Lemma ist der Kern der Definierbarkeit. Ich kenne es aus einem Stabilitätstheorieskript von Martin Ziegler.

2.6 Lemma Es sei M eine Struktur, A, C ⊂ M und p(x) ∈ S_{φ(x;y)}(A) sei endlich erfüllt in C: ist p nicht schwach definierbar durch eine positive boolesche Kombination von φ^{−1}(C)-Instanzen, so hat die Relation φ^{M} ∩ (C × A) die Ordnungseigenschaft.

Beweis Behauptung: es gibt Folgen (c_{i}) in C und (a_{j}), (b_{j}) in A, so daß

(i) φ(x, a_{j}) ∧ ¬φ(x, b_{j}) ∈ p für alle j,

(ii) φ(c_{i}, a_{j}) → φ(c_{i}, b_{j}) für alle i < j,

(iii) φ(c_{i}, a_{j}) ∧ ¬φ(c_{i}, b_{j}) für alle i ≥ j.

Beweis (induktiv): es seien a_{j}, b_{j} ∈ A und c_{i} ∈ C für alle i, j < n bereits gefunden, so daß (i) – (iii) erfüllt sind. Es sei P = {m ∈ A | φ(x, m) ∈ p} und C_{i} = φ(c_{i}, y)^{M} ∩ A.

Da p nicht durch eine positive boolesche Kombination der φ(c_{i}, y) (i < n) definierbar ist, ist P keine positive boolesche Kombination aus den Mengen C_{0}, …, C_{n−1}. Wegen der Bemerkung oben gibt es dann a_{n} ∈ P und b_{n} ∈ A\P, so daß (i) φ(x, a_{n}) ∧ ¬φ(x, b_{n}) ∈ p und (ii) φ(c_{i}, a_{n}) → φ(c_{i}, b_{n}) für i < n.

21∅ ist eine positive boolesche Kombination.

Es sei p_{n} := {φ(x, a_{0}), ¬φ(x, b_{0}), … φ(x, a_{n}), ¬φ(x, b_{n})}, wegen (i) ist p_{n} ⊂ p. Weil p in C endlich erfüllt ist, gibt es ein c_{n} ∈ C mit c_{n}^{⊧}p. Dann gilt (iii) φ(c_{n}, a_{j}) ∧ ¬φ(c_{n}, b_{j}) für j ≤ n (wegen (i)). Die verlängerten Folgen erfüllen also wieder (i) – (iii). Damit ist die Behauptung bewiesen.

Wegen des Satzes von Ramsey kann man annehmen, daß entweder φ(c_{i}, a_{j}) für alle i < j oder ¬φ(c_{i}, a_{j}) für alle i < j. Im ersten Fall bezeugt (c_{i}), (b_{j}) die Ordnungseigenschaft von φ, im zweiten bezeugt (c_{i}), (a_{j}) die Ordnungseigenschaft von ¬φ.

□

Etwas modelltheoretischer formuliert klingt das so:

2.7 Korollar Es sei M eine L-Struktur, in der XφY nicht die Ordnungseigenschaft hat. Ist q ∈ S_{(φ,Y)}(M) in X^{M} endlich erfüllt, so ist q definierbar durch eine positive boolesche Kombination von (φ^{−1}, X)(M)-Instanzen.

Beweis q ist durch seinen strikten (φ, Y)-Typ axiomatisiert. Das ist ein strikter φ-Typ p über A = Y^{M}, der endlich erfüllt ist in C = X^{M}. Da nach Voraussetzung φ^{M} ∩ (C × A) nicht die Ordnungseigenschaft hat, ist p nach dem Lemma schwach definierbar durch eine positive boolesche Kombination von φ^{−1}-Instanzen über C. Diese schwache Definition definiert dann auch q. Weil q über einem Modell ist, ist q deshalb definierbar.

□

Zurück in G folgt für jedes φ ∈ Γ:

2.8 Satz Es sei (X, φ, Y) stabil, dann ist jeder (X, φ, Y)-Typ über einem Modell U definierbar durch eine positive boolesche Kombination von (φ^{−1}, X)-Instanzen über U.^{22}

Beweis Es sei p ein (X, φ, Y)-Typ über einem Modell U. p ist (wegen X-Saturation und weil φ Δ_{1} ist) endlich erfüllt in X^{U}. Da XφY stabil ist, hat XφY nicht die Ordnungseigenschaft. Aus dem letzten Korollar folgt nun, daß p definierbar ist durch eine positive boolesche Kombination von (φ^{−1}, X)(U)-Instanzen. □

Anmerkung: Es sei p ein (φ, Y)-Typ über einem Modell U und (φ, Y) stabil, dann ist p definierbar und d_{p} seine gute (φ, Y)-Definition. d_{p} ist eine φ^{−1}-Formel, ist aber nicht eindeutig bestimmt (siehe Seite 62). Wenn p nun konsistent ist mit X, also ein (X, φ, Y)-Typ, so gibt es wegen des letzten Satzes eine gute Definition von p, die aus (φ^{−1}, X)-Formeln besteht – das muß aber nicht für jede Wahl der Definition gelten. Aus dem jeweiligen Kontext wird hervorgehen, welche Art von Definition ich brauche.

Stabilität und Kardinalität

Ich werden nun zeigen, daß lokale Stabilität bedeutet, daß es nicht zu viele lokale Typen gibt.

22Um gut zu sein muß die (φ, Y)-Definition aus Δ_{1}-Formeln bestehen – das tut sie.

2.9 Definition (X, Γ, Y) heißt G-λ-stabil, wenn für alle A ⊂ U ∈ G mit |A| ≤ λ gilt: |S_{(X,Γ,Y)}(A)| ≤ λ.

A-priori ist nicht ausgechlossen, daß dieser Begriff von G abhängt, es könnte ja viele lokale Typen über T -Parametern geben, die nicht in G realisiert sind. Das ist aber nicht der Fall:

2.10 Satz Es sind äquivalent:

(1) Jeder (X, Γ, Y)-Typ über einem Modell ist definierbar.

(2) (X, Γ, Y) ist G-λ-stabil für jedes λ mit λ = λ^{|L|}.

(3) (X, Γ, Y) ist G-λ-stabil für ein unendliches λ.

(4) (X, Γ, Y) ist stabil.

Beweis

(1) nach (2): es habe A die Größe λ = λ^{|L|}, dann gibt es ein Modell U ⊃ A mit |U| = λ. Über U sind höchstens |U|^{|L|}-viele (Γ, Y)-Typen definierbar, wegen (1) ist insbesondere |S_{(X,Γ,Y)}(U) ∩ G| ≤ λ^{|L|} = λ.

(2) nach (3) ist klar.

(3) nach (4): ist (X, Γ, Y) G-λ-stabil, so sind auch alle (X, φ, Y) G-λ-stabil. Aus dem nächsten Lemma folgt, daß dann jedes (X, φ, Y) stabil ist. Dann ist auch (X, Γ, Y) stabil.

(4) nach (1) folgt aus 2.8. □

Auch beim Begriff der G-λ-Stabilität verzichte ich nun auf das ”G-“. Für die unvollständige Richtung (3) nach (4) müssen wir aus der Indiscernible-Ordnungseigenschaft viele Typen konstruieren, diese Konstruktion ist wohlbekannt: es sei I = (I, <) eine totale Ordnung. Ein Schnitt in I ist eine Teilmenge S ⊂ I, so daß ∀x, y (y < x → (x ∈ S → y ∈ S)). Sind (a_{i})_{I} ⊂ X und (b_{i})_{I} ⊂ Y Folgen in einer Struktur mit φ(a_{i}, b_{j}) ⟺ i < j, so sei für einen Schnitt S Π_{S} := {φ(x, b_{i}) | i ∉ S} ∪ {¬φ(x, b_{i}) | i ∈ S}. Dann ist Π_{S} endlich erfüllt in {a_{i} | i ∈ I} und für verschiedene Schnitte S und S′ ist Π_{S} ∪Π_{S′} inkonsistent. Über {b_{i} | i ∈ I} gibt es also mindestens so viele verschiedene (strikte) (X, φ, Y)-Typen, wie es Schnitte in I gibt. Zu jeder Kardinalzahl λ gibt es eine Ordnung der Kardinalität λ mit mehr als λ-vielen Schnitten.

2.11 Lemma Ist XφY nicht stabil, so gibt es zu jedem unendlichen λ eine Parametermenge der Größe λ, über der es mehr als λ-viele (X, φ, Y)-Typen gibt.

Beweis Es sei λ unendlich und I eine lineare Ordnung der Kardinalität λ, die mehr als λ-viele Schnitte hat. Es sei J eine Ordnung die I umfaßt und alle Schnitte von I realisiert (d.h. zu jedem Schnitt S in I gibt es ein j_{S} ∈ J, so daß i_{1} < j_{S} < i_{2} für alle i_{1} ∈ S, i_{2} ∈ I\S). Wenn XφY nicht stabil ist, so gibt es in einem Modell (a_{j}b_{j})_{j∈J} ⊂ X × Y mit φ(a_{i}, b_{j}) ⟺ i < j. Die Konstruktion oben zeigt, daß es dann mehr als λ-viele strikte (X, φ, Y)-Typen über {b_{i} | i ∈ I} gibt, die in {a_{j} | j ∈ J} realisiert sind. □

Mit der Charakterisierung der Stabilität durch die Anzahl von lokalen Typen erhalten wir:

2.12 Korollar Es sei (Γ′, Y′) ≤ (Γ, Y). Wenn (Γ, Y) stabil ist, so auch (Γ′, Y′).

Stabilität und lokaler Morleyrang

Ein paar allgemeine Bemerkungen über den Cantor-Bendixon-Rang in der Stone-Korrespondenz habe ich in Anhang B.1 gemacht. Ist U ein Modell und Π ein partieller Typ über U, so sei CBRD_{S_{(Γ,Y )}(U)}(Π) der Cantor-Bendixon (Rang, Grad) von [Π]_{S_{(Γ,Y )}(U)} in S_{(Γ,Y)}(U).

2.13 Lemma Es sei U ein G-ω-saturiertes Modell:

(1) Konjugierte partielle Typen über U haben denselben CBRD_{S_{(Γ,Y )}}.

(2) Ist U′ ein Obermodell, dann gilt für jeden partiellen Typ Π über U: CBRD_{S_{(Γ,Y )}(U)}(Π) = CBRD_{S_{(Γ,Y )}(U′)}(Π).

Beweis Es reicht wegen Anhang B, 1.1, in den booleschen Algebren der (Γ, Y)-Formeln zu argumentieren.

(1) Es sei ψ(x, b) eine (Γ, Y)-Formel über U und b ≡ b′ ∈ U, dann gilt für jedes α: R(ψ(x, b)) ≥ α + 1 genau dann, wenn es paarweise inkonsistente (Γ, Y)-Formeln ψ_{i}(x, b_{i}) über U gibt (i < ω), so daß alle ψ_{i}(x, b_{i}) → ψ(x, b) und alle R(ψ_{i}(x, b_{i})) ≥ α. Da U ω-homogen ist gibt es b′_{i} ∈ U, so daß b, b_{1}b_{2} … ≡ b′, b′_{1}b′_{2} . . .. Mit Induktion haben alle ψ(x, b_{i}) einen Rang ≥ α, deshalb gilt R(ψ(x, b′)) ≥ α + 1. Da der Induktionsanfang und die Limesschritte klar sind, folgt die Invarianz des Rangs. Analog geht das mit dem Grad.

(2) Induktiv und analog zu (1), denn jede Folge b′_{i} ∈ U′ ist auch in U realisiert (über endlich vielen Parametern).^{23} □

Deshalb ist der Morleyrang (Grad) wohldefiniert:

2.14 Definition

(1) Der G-(Γ, Y)-Morleyrang (Grad) eines partiellen Typs über einem Modell ist der Cantor-Bendixon Rang (Grad) dieses Typs in einer G-ω-saturierten Erweiterung.

(2) (Γ, Y) heißt G-totaltranszendent, wenn der (Γ, Y)-Stoneraum von jedem Modell zerstreut ist.

(Γ, Y) ist schon dann G-totaltranszendent, wenn es ein G-ω-saturiertes Modell gibt mit zerstreutem (X, Γ, Y)-Stoneraum.

2.15 Lemma Ist (φ, Y) G-totaltranszendent, so auch stabil.

Beweis Indirekt: wenn (φ, Y) nicht stabil ist, so gibt es (a_{i}, b_{i})_{i∈ℚ} in G, wobei alle b_{i}^{⊧}Y und φ(a_{i}, b_{j}) ⇔ i < j. Dann kann man mit geeigneten Paaren b_{i}b_{i′} und der Formel ¬φ(x, y) ∧ φ(x, y′) einen 2-Baum der Höhe ω konstruieren, der die Zerstreutheit des (φ, Y)-Stoneraums zerstört. □

Es sei Σ_{(φ,Y)}(α) := ⋃_{μ∈^{α}2}{φ^{μ(i)}(x_{μ}, y_{μ↾i}) | μ ∈ ^{α}2, i < α} ∪ ⋃_{ν∈^{<α}2} Y (y_{ν}), dabei ist φ^{0} = ¬φ und φ^{1} = φ. Dieser partielle ⋆-Typ beschreibt einen φ-2-Baum der Höhe α (mit Parametern aus Y), für jedes μ ∈ ^{α}2 ist {φ^{μ(i)}(x_{μ}, y_{μ↾i}) ∧ Y (y_{μ↾i}) | i < α} ein Ast in diesem Baum, verschiedene Äste sind miteinander inkonsistent.

23Es kann sein, daß sich der Rang verändert, wenn man in elementare Oberstrukturen geht, die keine Modelle sind.

2.16 Lemma

(1) Es sei n < ω. Falls MR_{(φ,Y)}(x = x) ≥ n, so ist Σ_{(φ,Y)}(n) in G realisiert.

(2) Es sei λ unendlich und κ minimal mit 2^{κ} > λ. Wenn Σ_{(φ,Y)}(κ) in G realisiert ist, so ist (φ, Y) nicht λ-stabil.

Beweis

(1) Es sei U ein G-ω-saturiertes Modell. Weil die (φ, Y)-Instanzen über U L_{(φ,Y)}(U) erzeugen, gibt es (siehe Anhang B, 1.2) eine Funktion f, die jedem Paar (χ, n) ∈ L_{(φ,Y)}(U) × ω mit MR_{(φ,Y)}(χ) > n einen Parameter f(χ, n) ∈ Y^{U} zuordnet mit MR_{(φ,Y)}(χ ∧ φ(x, f(χ, n))) ≥ n und MR_{(φ,Y)}(χ ∧ ¬φ(x, f(χ, n))) ≥ n.

Mit der Funktion f kann man induktiv einen 2-Baum von Parametern konstruieren: es sei b_{∅} = f(x = x, n−1) und für 0 < i < n und ν ∈ ^{i}2 sei b_{ν} = f(⋀_{j<i} φ^{ν(j)}(x, b_{ν↾j}), n− 1 − i). Dann gilt für jedes μ ∈ ^{n}2 und jedes i ≤ n: MR_{(φ,Y)}(⋀_{j<i} φ^{μ(j)}(x, b_{μ↾j})) ≥ n − i. Insbesondere ist MR_{(φ,Y)}(⋀_{j<n} φ^{μ(j)}(x, b_{μ↾j})) ≥ 0 und deshalb ist Σ_{(φ,Y)}(n) konsistent. Weil Σ_{(φ,Y)}(n) endlich ist, ist es in G realisiert.

(2) Es sei (b_{ν})_{ν∈^{<κ}2} eine G-Realisierung von Σ_{(φ,Y)}(κ). Dann ist |{b_{ν} | ν ∈ ^{<κ}2}| = λ, jeder Ast liefert einen partiellen strikten (φ, Y)-G-Typ und die zu verschiedenen Ästen gehörenden partiellen Typen sind inkonsistent. Da es 2^{κ} viele verschiedene Äste gibt, folgt die Behauptung. □

2.17 Satz Es sei φ ∈ Γ, dann sind äquivalent:

(1) (φ, Y) ist stabil.

(2) alle G-MR_{(φ,Y)} sind endlich.

(3) (φ, Y) ist G-totaltranszendent.

Beweis Angenommen es gibt eine (φ, Y)-Formel mit unendlichem (φ, Y)-Morleyrang, dann ist auch MR_{(φ,Y)}(x = x) ≥ n für alle n < ω und alle Σ_{(φ,Y)}(n) sind in G realisiert. Deshalb ist die ∃(∅)-Formelmenge Σ_{(φ,Y)}(κ) konsistent, also in G realisiert. Deshalb ist (φ, Y) in keinem λ stabil, also instabil. □

Wie üblich spreche ich nur noch von ”totaltranszendent“ spreche. Die Abhängigkeit des Morleyrangs von G bleibt in der Notation erhalten. Der letzte Satz gilt auch für endliche Mengen Δ ⊂ Γ, denn die Stoneräume S_{(Δ,Y)}(U) und S_{(χ_{Δ},Y)}(U) sind homöomorph und mit Δ ist auch χ_{Δ} stabil. Dabei ist χ_{Δ} die kodierende Formel von Δ (siehe Seite 60).

Ich fasse die Ergebnisse der letzten Abschnitte zusammen:

2.18 Stabilitätssatz

(1) Es sind äquivalent:

(i) (X, Γ, Y) ist stabil.

(ii) Jeder (X, Γ, Y)-Typ über einem Modell U ist definierbar durch eine positive boolesche Kombination von (Γ^{−1}, X)-Instanzen über U.

(iii) Jeder (X, Γ, Y)-Typ über einem Modell ist definierbar. (iv) (X, Γ, Y) ist λ-stabil für jedes unendliche λ mit λ = λ^{|L|}.

(v) (X, Γ, Y) ist λ-stabil für ein unendliches λ.

(2) Es sind äquivalent:

(i) (Γ, Y) ist stabil.

(ii) (Δ, Y) ist totaltranszendent für jedes endliche Δ ⊂ Γ. (iii) Alle G-MR_{(Δ,Y)} sind endlich für jedes endliche Δ ⊂ Γ.

2.2.2 Starke Typen und Stationarität

Es sei φ(x, y) eine Δ_{1}-Formel und c ein Parameter aus G. Wenn φ(x, c) fast Uinvariant^{24} ist, so ist φ(x, c) äquivalent zu einer φ-Instanz über U. ^{25} Deshalb kann ich annehmen, daß die Parameter der betrachteten fast A-invarianten Δ_{1}-Formeln aus einem vorgegebenen Modell kommen – sonst gäbe es zu viele solche Formeln.

Die Δ_{1}-Formeln, die fast A-invariant sind, bilden eine boolesche Algebra. Dasselbe gilt für die strikten (Γ, Y)-Formeln, die fast A-invariant sind; ihr Stoneraum ist St_{(Γ,Y)}(A). Ein starker (Γ, Y)-Typ ist ein Elements eines solchen Stoneraums. Jede (Γ, Y)(A)-Formel ist äquivalent zu einer strikten fast A-invarianten (Γ, Y)(A)-Formel, deshalb haben wir die übliche Restriktion ↾: St_{(Γ,Y)}(A) → S_{(Γ,Y)}(A). Die Urbilder von p ∈ S_{(Γ,Y)}(A) unter dieser Restriktion nenne ich starke Typen von p. Ist umgekehrt p̃ ein starker Typ von p, so ist p der lokale Typ von p̃. Alle starken (Γ, Y)-Typen sind in G realisiert und starke (Γ, Y)-Typen über Modellen sind durch ihre (strikten) lokalen Typen axiomatisiert.^{26} Ein starker (X, Γ, Y)-Typ ist ein mit X konsistenter starker (Γ, Y)-Typ. stp_{(Γ,Y)}(a/A) ist der starke (Γ, Y)-Typ von a über A. Weil eine Δ_{1}-Menge genau dann fast A-invariant ist, wenn sie fast acl(A)-invariant ist (1.10), gilt stets stp_{(Γ,Y)}(a/A) = stp_{(Γ,Y)}(a/acl(A)).

2.19 Lemma Zwei starke (Γ, Y)(A)-Typen sind genau dann A-konjugiert, wenn sie denselben (Γ, Y)(A)-Typ fortsetzen. Jeder (Γ, Y)(A)-Typ hat nur beschränkt viele starke Typen.

Beweis Es sei p ein (Γ, Y)(A)-Typ, a^{⊧}p und p̃ eine starker Typ von p. Dann ist tp(a/A)∪p̃ konsistent, denn ist ψ ∈ p̃, so ist die Disjunktion der A-Konjugate von ψ eine A-invariante (Γ, Y)-Formel in p̃. Diese Disjunktion ist dann äquivalent zu einer (Γ, Y)(A)-Formel χ ∈ p, deshalb liegt a in einem A-Konjugat von ψ. Also ist tp(a/A) ∪ {ψ} konsistent. Es sei b eine Realisierung von ∃-tp(a/A) ∪ p̃, dann gilt a ≡_{A} b und folglich sind p̃ und stp_{(Γ,Y)}(a/A) A-konjugiert.

Umgekehrt stimmen A-konjugierte starke (Γ, Y)(A)-Typen auf A überein, setzen also denselben (Γ, Y)(A)-Typ fort. Die Anzahl der starken Typen eines lokalen Typs ist beschränkt durch die Anzahl aller Fortsetzungen auf ein gegebenes Obermodell. □

24Wegen 1.10 ist eine Δ_{1}-Formel genau dann G-fast A-invariant, wenn sie T -fast A-invariant ist.

Deshalb spreche ich nur noch von ”fast A-Invarianz“.

25φ(x, c) ist wegen 1.10 äquivalent zu einer Formel ψ(x, b) über U. Es gibt dann ein c′ ∈ U mit c′b ≡ cb und φ(x, c) ist äquivalent zu φ(x, c′).

26Ich lasse auch starke ⋆-Typen zu und die folgenden Ergebnisse gelten, falls nicht anders gesagt, auch für solche.

Beispiel: (Siehe dazu auch das Beispiel auf Seite 59.) Eine strikte ID_{x}-Formel ist genau dann fast A-invariant, wenn sie äquivalent ist zu einer strikten ID_{x}(acl(A))- Formel. Die starken ID_{x}(A)-Typen sind daher identisch mit den strikten ID_{x}(acl(A))- Typen; sie sind gegeben durch die Punkte aus acl(A) und ”dem“ Punkt außerhalb. Die ID_{x}(A)-Typen sind die algebraischen Typen über A zusammen mit dem nichtalgebraischen Typ. Alle starken Typen eines ID_{x}(A)-Typs sind also konjugiert. Die strikten ID_{x}(A)-Typen sind gegeben durch die Punkte aus A und ”dem“ Punkt außerhalb. Es sei p der nichtalgebraische ID_{x}(A)-Typ und p^{strikt} sein strikter ID_{x}(A)- Typ. p hat genau einen starken Typ, dieser ist äquivalent zu p. p^{strikt} hat jedoch viele starke Typen, die meisten davon sind nicht-konjugiert.^{27}

2.20 Definition Es sei ψ_{(Γ,Y)} = (ψ_{(φ,Y)})_{φ∈Γ} eine gute (Γ, Y)-Definition^{28} und p̃ ∈ St_{(Γ,Y)}(A).

(1) ψ_{(Γ,Y)} ist fast A-invariant, wenn jedes ψ_{(φ,Y)} fast A-invariant ist.

(2) ψ_{(Γ,Y)} ist eine gute Definition von p̃, wenn ψ_{(Γ,Y)} fast A-invariant ist p̃ ⊂ ψ_{(Γ,Y)}|U.

(3) p̃ ist fast definierbar, wenn p̃ eine gute Definition hat.

(4) Es sei A_{0} ⊂ A. p̃ heißt fast A_{0}-definierbar, wenn p̃ fast definierbar ist durch eine gute Definition, die fast A_{0}-invariant ist.

(5) p̃ heißt stationär, wenn p̃ fast definierbar ist und alle guten Definitionen von p̃ denselben (Γ, Y)-Typ p̃|U über U definieren. ”dp̃“ bezeichnet dann eine gute Definition von p̃|U.

(6) Wenn p̃ stationär ist und B ⊃ A, dann sei p̃|B die Restriktion von p̃|U auf den starken Typ über B.

Jeder über einer kleinen Parametermenge aus U fast definierbare starke lokale Typ ist die Restriktion eines definierbaren lokalen Typs über U. Ist p̃ stationär, so auch p̃|B. Stationäre Typen können nichtäquivalente gute Definitionen haben wegen der Einschränkung der Parameter auf Y. Die Notation ”dp̃“ ist deshalb mit Vorsicht zu genießen (siehe auch die Anmerkungen auf Seiten 62 und 65). Daß mit (X, φ, Y) auch (Y, φ^{−1}, X) stabil ist werde ich nun ständig verwenden.

2.21 Stationaritätssatz (Hauptsatz über starke Typen)

Es sei Γ stabil: starke (Γ, Y)-Typen sind stationär.

Beweis Es sei p̃ ∈ St_{(Γ,Y)}(A), für Δ ⊂ Γ sei p̃_{Δ} := p̃ ↾ (Δ, Y).

Behauptung 1: Für jedes endliche Δ ⊂ Γ ist p̃_{Δ} fast definierbar.

Beweis: Es sei r̃ eine Fortsetzung von p̃_{Δ} zu einem starken Δ-Typ über A, es reicht zu zeigen, daß r̃ fast definierbar ist. Es sei r der lokale Typ von r̃ und R die Menge der Fortsetzungen von r nach S_{Δ}(U). R ist eine abgeschlossene Aut_{A}(U)-invariante (nichtleere) Teilmenge von S_{Δ}(U). Weil Δ totaltranszendent ist (2.18), gibt es in R endlich viele Typen von maximalem G-Morleyrang. Ist q ein solcher, so ist jedes Aut_{A}(U)-Konjugat auch von maximalem Morleyrang in R, also gibt es nur endlich viele solche Konjugate. Wegen 2.18 ist q definierbar und es hat auch d_{q} nur endlich viele^{29} Aut_{A}(U)-Konjugate. d_{q} ist also fast A-invariant (U ist hinreichend groß) und q fast A-definierbar. Die Restriktion q̃ von q auf den starken Typ über A ist also fast definierbar, weil q̃ und r̃ konjugiert sind, ist auch r̃ fast definierbar.

27Es gilt sogar die folgende Umkehrung: es sei p ein partieller lokaler Typ über A, der einen strikten lokalen Typ über A fortsetzt: p axiomatisiert genau dann einen lokalen Typ über A, wenn alle starken lokalen Typen über A, die p fortsetzen, A-konjugiert sind.

28Ich erinnere daran, daß gute Definitionen Δ_{1} sind.

Behauptung 2: Für jedes φ ∈ Γ ist p̃_{φ} stationär.

Beweis: Wegen Behauptung 1 ist p̃_{φ} fast definierbar. Für i = 1, 2 seien p_{i} ∈ S_{(φ,Y)}(U) definiert durch zwei gute Definitionen von p̃_{φ}, zu zeigen ist p_{1} = p_{2}: Es sei m ∈ Y^{U}, dann gibt es wegen Behauptung 1 (angewendet auf φ^{−1}) eine fast A-definierbare Fortsetzung r ∈ S_{(φ^{−1})}(U) von stp_{φ^{−1}}(m/A). dr ist fast A-invariant, deshalb gilt dr ∈ p_{i} ⇔ dr ∈ p̃_{φ}, also gilt

(i) dr ∈ p_{1} ⇔ dr ∈ p_{2}

Weil auch d_{p_{i}} fast A-invariant ist, gilt d_{p_{i}} ∈ r ⇔ m^{⊧}d_{p_{i}} ⇔ φ(x, m) ∈ p_{i}. Aus dem nächsten Lemma folgt nun d_{p_{i}} ∈ r ⇔ dr ∈ p_{i}, also gilt

(ii) dr ∈ p_{i} ⇔ φ(x, m) ∈ p_{i}

Aus (i) und (ii) folgt φ(x, m) ∈ p_{1} ⇔ φ(x, m) ∈ p_{2}. Da die p_{i} durch (φ, Y)-Instanzen und deren Negate axiomatisiert sind, folgt p_{1} = p_{2}.

Behauptung 3: p̃ ist fast definierbar.

Beweis: Wegen Behauptung 1 ist p̃_{Δ} fast definierbar für jedes endliche Δ ⊂ Γ und wegen Behauptung 2 ist (dp̃_{φ})_{φ∈Δ} eine gute (Δ, Y)-Definition von p̃_{Δ}. Mit Kompaktheit ist dann (dp̃_{φ})_{φ∈Γ}|U konsistent, deshalb ist (dp̃_{φ})_{φ∈Γ} eine gute (Γ, Y)-Definition von p̃.

Die Stationarität von p̃ folgt nun aus Behauptung 2 und 3. □

2.22 Lemma Es sei φ(x; y) ∈ Γ und (X, φ, Y) stabil. Es sei V ein Modell, p(x) ∈ S_{(X,φ,Y)}(V) und q(y) ∈ S_{(Y,φ^{−1},X)}(V): p und q sind stationär und es gilt dp ∈ q ⟺ dq ∈ p.

Beweis Ich arbeite in einem großen Obermodell U von V. p und q sind wegen Stabilität (fast) definierbar (2.18) und stationär wegen 1.16. Es seien induktiv für k < ω Folgen (a_{i})_{i<k} in X und (b_{j})_{j<k} in Y konstruiert, so daß für alle i < k gilt: a_{i}^{⊧}p|Vb_{<i} und b_{i}^{⊧}q|Va_{≤i}. Dann gibt es a_{k} ^{⊧}X ∪ p|Vb_{<k} und entsprechend ein b_{k} ^{⊧}Y ∪ q|Va_{≤k}. Für die so konstruierten Folgen (a_{i})_{i<ω} in X und (b_{j})_{j<ω} in Y gilt dann: i > j, so a_{i}^{⊧}p|Vb_{≤j} und i ≤ j, so b_{j} ^{⊧}q|Va_{≤i}.

Es sei dp ∈ q, dann reicht zu zeigen, daß ein a_{i}^{⊧}dq, denn dq ist eine (φ, Y)-Formel über V und alle a_{i} haben denselben (φ, Y)-Typ über V. Wegen dp ∈ q gilt für jedes j: b_{j} ^{⊧}dp, also φ(x, b_{j}) ∈ p|Vb_{≤j} = tp_{(φ,Y)}(a^{i}/Vb_{≤j}) für jedes i > j. Es gilt also für alle i, j < ω: i > j ⇒ φ(a_{i}, b_{j}). Da φ stabil ist, gibt es i ≤ j mit φ(a_{i}, b_{j}), also φ(a_{i}, y) ∈ tp_{(φ^{−1},X)}(b^{j}/Va_{≤i}) = q|Va_{≤i} ⊂ q|Ṽ und somit a_{i}^{⊧}d(q|Ṽ) = dq. □

29Deshalb arbeite ich nicht in S_{(Δ,Y )}(U), sondern in S_{Δ}(U).

Es ist dieses Lemma, welches die Maschinerie in Gang bringt. In seinem Beweis tauchte die Ordnungseigenschaft das letzte mal auf. Mit dem Stationaritätssatz bekommen wir eine allgemeinere Form:

2.23 Symmetriesatz Es sei Γ stabil, φ(x; y) ∈ Γ, p̃(x) ein starker (X, φ, Y)(A)-Typ und q̃(y) ein starker (Y, φ^{−1}, X)(A)-Typ:^{30}

dp̃ ∈ q̃ ⟺ dq̃ ∈ p̃

Beweis Weil dp̃ = d_{p̃|U} fast A-invariant ist, gilt dp̃ ∈ q̃ ⇔ d_{p̃|U} ∈ q̃|U, entsprechend dq̃ ∈ p̃ ⇔ d_{q̃|U} ∈ p̃|U. Damit folgt die Behauptung aus dem letzten Lemma. □

2.24 Definition Es sei Γ stabil und ψ(x; y) ∈ Γ^{bc}: ψ̃_{(m,A)} := d_{stp_{ψ^{−1}}(m/A)} und ψ̃^{−1}_{(a,A)} := d_{stp_{ψ}(a/A)}.

Diese Formeln werden im weiteren Verlauf eine zentrale Rolle spielen. ψ̃_{(m,A)} hat x als freie Variable und ist eine fast A-invariante Γ-Formel. Falls m^{⊧}Y, so ist das sogar eine (Γ, Y)-Formel (siehe 2.8). Den Symmetriesatz werde ich oft in der folgenden Version verwenden:

2.25 Lemma Es sei Γ stabil, ψ(x, m) eine strikte (Γ, Y)-Formel und p̃ ein starker

(Γ, Y)-Typ über A:

ψ̃_{(m,A)}(x) ∈ p̃ ⟺ ψ(x, m) ∈ p̃|U

Lokale Stabilität bedeutet, daß jeder lokale Typ definierbar ist, daß es also viele gute Definitionen gibt. Die Symmetrie zeigt sogar noch mehr, daß nämlich die guten Definitionen das gesammte Geschehen kontrolliern:

2.26 Satz Es sei Γ stabil und p̃ ein starker (Γ, Y)(A)-Typ: p̃ ist axiomatisiert durch

{φ̃_{(m,A)}(x)|φ(x, m) ∈ p̃|U, φ ∈ Γ oder ¬φ ∈ Γ}

Beweis Es sei p̃_{0} = {φ̃_{(m,A)}(x)|φ(x, m) ∈ p̃|U, φ ∈ Γ oder ¬φ ∈ Γ}. Wegen des Symmetriesatzes gilt φ(x, m) ∈ p̃|U ⇔ φ̃_{(m,A)}(x) ∈ p̃, insbesondere p̃_{0} ⊂ p̃. Es sei q̃ ⊃ p̃_{0} ein starker (Γ, Y)(A)-Typ, dann gilt φ(x, m) ∈ p̃|U ⇔ φ̃_{(m,A)} ∈ p̃_{0} ⇒ φ̃_{(m,A)} ∈ q̃ ⇔ φ(x, m) ∈ q̃|U für jedes (¬)φ ∈ Γ. Daraus folgt q̃|U = p̃|U und q̃ = p̃, also ist p̃ durch p̃_{0} axiomatisiert. □

2.27 (Abgeschlossenheit) Es sei A ⊂ B. Es gibt einen partiellen (Γ, Y)-Typ über B, der genau mit den starken (Γ, Y)(B)-Typen konsistent ist, die fast A-definierbar sind.

30Hier sowie im vorigen Lemma sind die guten Definitionen natürlich als (φ^{−1}, X)-Formel bzw. als (φ, Y)-Formel gewählt. Abgesehen davon ist alles unabhängig von der Wahl der guten Definitionen.

Beweis Weil die Restriktion S_{(Γ,Y)}(U) → St_{(Γ,Y)}(B) abgeschlossen ist können wir B = U annehmen. Es sei Π := {φ(x, m) ↔ φ̃_{(m,A)}(x) | m ∈ Y^{U}, φ ∈ Γ}. Jedes φ̃_{(m,A)}(x) ist eine fast A-invariante (φ, Y)-Formel und Π ist ein partieller (Γ, Y)-Typ über U. Es sei q ∈ S_{(Γ,Y)}(U) und p̃ der von q axiomatisierte starke Typ über A, dann gilt:

q ist konsistent mit Π ⇔ für alle m ∈ Y^{U} und φ ∈ Γ: (φ(x, m) ∈ q ⇔ φ̃_{(m,A)} ∈ p̃)

⇔ für alle m ∈ Y^{U} und φ ∈ Γ: (φ(x, m) ∈ q ⇔ φ(x, m) ∈ p̃|U)

⇔ q = p̃|U.

Weil q genau dann fast A-definierbar ist, wenn q = p̃|U, sind wir fertig. □

Für das folgende Resultat brauche ich, daß für ψ(x; y) ∈ Γ ψ̃_{(m,A)}(x) sogar äquivalent ist zu einer positiven booleschen Kombination von A-Konjugaten von ψ(x, m). Es sei Z = ∃-tp(m/A) und r̃ = stp_{ψ^{−1}}(m/A)|U. r̃ ist dann konsistent mit Z und, wenn man über A argumentiert, definierbar durch eine positive boolesche Kombination von (ψ, Z)-Instanzen. Nun erhält aber m ↦ n für jedes n ∈ Z^{U} die ∃(A)-Formeln, ist also elementar. Jede (ψ, Z)-Instanz ist also ein A-Konjugat von ψ(x, m).

Notation: Es sei Γ stabil und φ(x; y) ∈ Γ: φ_{(m,A)} sei die Disjunktion der endlich vielen A-Konjugate von φ̃_{(m,A)}(x), entsprechend wird φ_{(m,A)}^{−1} definiert.

2.28 Satz Es sei Γ stabil. Es sei q̃ ein starker (Γ, Y)-Typ über B ⊃ A, dann sind äquivalent:

(1) q̃ ist fast A-definierbar.

(2) Für jedes ψ(x, m) ∈ q̃ gilt: ψ_{(m,A)} ∈ q̃.

(3) Zu jedem ψ ∈ q̃ gibt es eine (Γ, Y)(A)-Formel ψ_{A} ∈ q̃, die äquivalent ist zu einer positiven booleschen Kombination von A-Konjugaten von ψ.

Beweis Wir können annehmen, daß Γ abgeschlossen ist unter booleschen Kombinationen.

(1) nach (2): Ist q̃ fast A-definierbar und ψ(x, m) ∈ q̃, so ist ψ̃_{(m,A)} ∈ q̃ wegen Symmetrie, also auch ψ_{(m,A)}.

(2) nach (3): Wegen der vorigen Bemerkung ist ψ̃_{(m,A)} äquivalent zu einer positiven booleschen Kombination von A-Konjugaten von ψ(x, m), also auch ψ_{(m,A)}. Weil ψ_{(m,A)} eine A-invariante Δ_{1}-Formel ist, ist sie äquivalent zu einer L(A)-Formel ψ_{A}.

(3) nach (1): Es sei p der in q̃ enthaltene (Γ, Y)(A)-Typ und X die Menge der fast Adefinierbaren starken (Γ, Y)(B)-Typen, die p fortsetzen. Wegen (Abgeschlossenheit) reicht es zu zeigen, daß X von q̃ berührt wird. Es sei ψ ∈ q̃ und ψ_{A} wie in (3). Dann ist ψ_{A} ∈ r̃ für jedes r̃ ∈ X und wegen der speziellen Gestalt von ψ_{A} enthält jedes r̃ ∈ X ein A-Konjugat von ψ. Es gibt also ein A-Konjugat r̃ eines starken Typs aus X mit ψ(x, m) ∈ r. Dann ist r̃|U eine fast A-definierbare Fortsetzung von p, also identisch mit q̃|U für ein q̃ ∈ X und es gilt ψ ∈ q̃. q̃ berührt also X. □

Die fast A-Definierbarkeit von q̃ entscheidet sich auf der ”Parameterseite“. Der Satz besagt, daß sie sich auf der ”Variablenseite“ wiederspiegelt. Man beachte, daß man in (2) nur die Formeln testen muß, deren Parameter nicht aus A kommen, denn falls m ∈ A, so ist ψ_{(m,A)}(x) = ψ(x, m).

2.29 Korollar Es sei Γ stabil und (Γ′, Y′) ≤ (Γ, Y). q̃ sei ein starker (Γ, Y)(B)-Typ und p̃ seine Restriktion auf (Γ′, Y′). Wenn q̃ fast A-definierbar ist, so auch p̃.

Beweis Mit Γ ist auch Γ′ stabil (2.12). Es sei q̃ fast A-definierbar und ψ(x, m) ∈ p̃. Dann ist auch ψ(x, m) ∈ q̃ und es gibt wegen des Satzes eine L(A)-Formel ψ_{A} ∈ q̃, die äquivalent ist zu einer eine positiven boolesche Kombination von A-Konjugaten von ψ(x, m). ψ_{A} ist dann eine (Γ′, Y′)-Formel, also ψ_{A} ∈ p̃. Wegen des Satzes ist p̃ fast A-definierbar. □

2.30 Lemma Es sei Δ endlich und stabil. Ein (Δ, Y)-Typ über U ist genau dann fast A-definierbar, wenn er nur endlich viele Aut_{A}(U)-Konjugate hat.

Beweis Es sei p ∈ S_{(Δ,Y)}(U). Es sei P die Menge der mit p konsistenten Typen in S_{Δ}(U). Wegen Stabilität ist Δ totaltranszendent (2.18) und es gibt endlich viele Elemente in P von maximalem lokalen G-Morleyrang. Dasselbe gilt für jedes A-Konjugat von p. Es sei r ∈ P von maximalem Rang, wenn p nur endlich viele A-Konjugate hat, dann gilt das folglich auch für r. d_{r} ist dann fast über A und auch eine gute Definition von p. Es sei umgekehrt p fast A-definierbar. Jedes A-Konjugat von p wird durch ein A-Konjugat von d_{p} definiert, davon gibt es nur endlich viele. □

2.31 Konsistenzlemma Es sei Γ stabil, Ψ(x) ein partieller existenzieller Typ über A und p̃(x) ein starker (Γ, Y)(A)-Typ. Wenn Ψ konsistent ist mit p̃, so auch mit p̃|U.

Beweis Es sei Ψ konsistent mit p̃, p der lokale Typ von p̃ und Δ ⊂ Γ endlich. Es sei R die Menge der (Δ, Y)(U)-Typen, die mit Ψ ∪ p ↾ (Δ, Y) konsistent sind und r mit maximalem G-(Δ, Y)-Morleyrang in R. r existiert wegen Stabilität und ist fast Adefinierbar (vergl. Beweis von Behauptung 1 beim Stationaritätssatz). Die Restriktion von r auf den starken Typ über A ist dann A-konjugiert (2.19) mit p̃ ↾ (Δ, Y), denn beide starken Typen haben denselben lokalen Typ. Wegen Stationarität sind dann auch r und (p̃ ↾ (Δ, Y))|U A-konjugiert und (p̃ ↾ (Δ, Y))|U = (p̃|U) ↾ (Δ, Y). Deshalb ist Ψ konsistent mit (p̃|U) ↾ (Δ, Y). Mit Kompaktheit folgt das Gewünschte.^{31} □

Anmerkung zu Imaginären

Starke lokale Typen über A sind dasselbe wie starke lokale Typen über acl(A). Unter geeigneten Voraussetzungen sind starke lokale Typen über algebraisch abgeschlossenen Mengen durch ihre lokalen Typen axiomatisiert: Angenommen G besteht aus ∃-Universalbereichen, die über jeder (kleinen) Parametermenge Δ_{1}-Imaginärenelimi-nation haben. Es sei φ(x) eine strikte (Γ, Y)-Formel, die fast A-invariant ist.

Frage: ist φ(x) acl(A)-invariant?

Antwort: Nicht ganz! Die Äquivalenzrelation E_{φ}(x, x′) := ⋀_{σ∈Aut_{A}}(φ^{σ}(x) ↔ φ(x′)^{σ}) ist Δ_{1}-definiert und A-invariant. Falls E_{φ} sogar durch eine Δ_{1}-Formel über acl(A) definiert werden kann, so ist wegen (Δ_{1}-IE) über acl(A) jede der endlich vielen E_{φ}- Klassen acl(A)-invariant. Damit ist auch φ(x) acl(A)-invariant. Die Antwort wäre also ”Ja!“, wenn jede acl(A)-invariante Δ_{1}-Formel äquivalent wäre zu einer Δ_{1}-Formel über acl(A).^{32}

31Es wurde nicht gebraucht, daß Ψ existenziell ist.

2.32 Lemma G bestehe aus Δ_{1}-Universalbereichen mit Δ_{1}-Imaginärenelimination. Dann ist jeder starke (Γ, Y)-Typ über A axiomatisiert durch seinen (Γ, Y)-Typ über acl(A).

Beweis Δ_{1}-Universalbereiche mit (Δ_{1}-IE) haben nach Kapitel 1, 2.26 auch über Parametern (Δ_{1}-IE). Außerdem ist Δ_{1}^{∗} strikt in G (1.14). Aus der vorangegangenen Bemerkung folgt, daß jede strikte (Γ, Y)-Formel, die fast A-invariant ist, schon acl(A)-invariant ist. Das reicht. □

Besteht G aus Δ_{1}-Universalbereichen, so können wir G^{eq} konstruieren (Kapitel 1,

31) und starke lokale Typen durch lokale Typen über acl^{eq}-abgeschlossenen Mengen ersetzen. In der allgemeinen Situation scheitert das erstens an der fehlenden Striktheit und zweitens daran, daß man keine (Δ_{1}-IE) über Parametern garantieren kann.

2.3 Lokale Stabilität in generischen Modellen

Von nun an sei Γ stabil. Dann sind auch Γ^{−1}, (X, Γ, Y) und (Y, Γ^{−1}, X) stabil. In Γ dürfen unendlich viele spezielle Variable vorkommen, wir können also auch (X, Γ, Y)- ⋆-Typen betrachten. Obwohl die starken lokalen Typen das eigentliche Rückgrat der Theorie bilden, habe ich sie aus den Formulierungen der Ergebnisse eliminiert.

2.3.1 (Γ, Y)-Freiheit

Ich werde nun die (Γ, Y)-Freiheit als Relation zwischen Formelmengen und Parametermengen definieren. Ich arbeite weiterhin in dem großen Modell U, A ⊂ U ist klein.

3.1 Definition

(1) Es sei Ψ(x) eine Menge von Formeln über U: Ψ ist (Γ, Y)-frei über A, wenn es einen starken (Γ, Y)-Typ p̃(x) über A gibt, so daß Ψ ∪ p̃|U in G realisiert ist.

(2) Sind p und q (Γ, Y)-Typen, so p ⊏_{(Γ,Y)} q, wenn p ⊂ q und q ist (Γ, Y)-frei über dom(p).

Genaugenommen ist das eine Familie (frei_{U})_{U∈G} von Relationen. Weil aber alle Einbettungen in G elementar sind und wegen der folgenden Invarianzeigenschaft, kann man das vernachlässigen.

(Invarianz) Es seien U und U′ Modelle, A ⊂ B ⊂ U, A′ ⊂ B′ ⊂ U′ und U_{AB} ≡ U′_{A′B′}. Ψ sei eine Menge von ∃(B)-Formeln und Ψ′ die entsprechende Menge^{33} von ∃(B)- Formeln. Ψ ist genau dann (Γ, Y)-frei über A, wenn Ψ′ (Γ, Y)-frei über A′ ist.

32Das bedeutet, daß Δ_{1}^{∗} strikt über algebraisch abgeschlossenen Mengen ist.

33Ersetze in jeder Formel die Parameter aus B durch die durch U_{B} ≡ U′_{B′} gegebenen entsprechenden Parameter aus B′.

Ich entwickele die Theorie nun für den Fall, daß Ψ aus existenziellen Formeln besteht. Dann ist Ψ genau dann (Γ, Y)-frei über A, wenn es einen starken (Γ, Y)-Typ p̃(x) über A gibt, so daß Ψ ∪ p̃|U konsistent ist.

3.2 Satz Es sei Π(x) ein partieller ∃(A)-Typ und ψ(x, m) eine (Γ, Y)-Formel, dann sind äquivalent:

(1) Π ∪ ψ ist (Γ, Y)-frei über A.

(2) Π ist konsistent mit ψ_{(m,A)}.

(3) Es gibt eine mit Π konsistente L(A)-Formel ψ_{A}, die äquivalent ist zu einer positiven booleschen Kombination von A-Konjugaten von ψ.^{34}

Beweis

(1) nach (2): Es sei Π ∪ ψ (Γ, Y)-frei über A, dann gibt es einen mit Π konsistenten starken (Γ, Y)(A)-Typ p̃, so daß ψ ∈ p̃|U. Wegen 2.28 ist ψ_{(m,A)} ∈ p̃, also konsistent mit Π.

(2) nach (3): ψ_{(m,A)} ist eine positive boolesche Kombination von A-Konjugaten von ψ.

(3) nach (1): Es existiere ein solches ψ_{A}. Es sei r̃ ein mit Π konsistenter starker (Γ, Y)(A)-Typ, der ψ_{A} enthält. Dann enthält r̃|U ein A-Konjugat ψ′ von ψ und Π ∪ ψ′ ist (Γ, Y)-frei über A. Dann ist auch Π ∪ ψ (Γ, Y)-frei über A. □

3.3 Korollar Es sei p ein (Γ, Y)(A)-Typ und ψ(x, m) eine (Γ, Y)-Formel: p ∪ ψ ist genau dann (Γ, Y)-frei über A, wenn ψ_{(m,A)} ∈ p.

Ich werde dieses Korollar ständig verwenden. Das nächste Korollar verallgemeinert 2.28.

3.4 Korollar Es sei Ψ(x) ein partieller existenzieller Typ, dann sind äquivalent: (1) Ψ ist (Γ, Y)-frei über A.

(2) Für jede (Γ, Y)-Formel ψ(x, m) mit Ψ^{⊧}ψ gilt: Ψ ist konsistent mit ψ_{(m,A)}.

(3) Zu jeder (Γ, Y)-Formel ψ(x) mit Ψ^{⊧}ψ gibt es eine konsistente L(A)-Formel ψ_{A}, welche äquivalent ist zu einer positiven booleschen Kombination von A-Konjugaten von ψ.

Beweis

(1) nach (2): Es sei etwa p̃ ein starker (Γ, Y)(A)-Typ, so daß Ψ konsistent ist mit p̃|U. Dann gilt ψ(x, m) ∈ p̃|U und ψ_{(m,A)}(x) ∈ p̃. Ψ ist also konsistent mit ψ_{(m,A)}.

(2) nach (3): ψ_{(m,A)} ist eine positive boolesche Kombination von A-Konjugaten von ψ.

(3) nach (1): Wegen 2.27 und Kompaktheit reicht es zu zeigen, daß es in jeder Umgebung von [Ψ] in S_{(Γ,Y)}(U) einen (Γ, Y)(U)-Typ gibt, der fast A-definierbar ist. Es sei ψ eine (Γ, Y)-Formel mit Ψ^{⊧}ψ. Wegen (3) und dem vorigen Lemma ist ψ (Γ, Y)-frei über A, d.h. ψ ist konsistent mit einem fast A-definierbaren (Γ, Y)(U)-Typ. □

Bevor ich die bekannten Eigenschaften aus der Stabilitätstheorie zeige, werde ich erst noch ein paar einfache Eigenschaften der Freiheitsrelation aufzählen.

34Diese Charakterisierung zeigt, daß Π ∪ ψ genau dann (Γ, Y)-frei über A ist bezüglich G, wenn das bezüglich T der Fall ist.

3.5 Lemma Es sei Ψ ein partieller existenzieller Typ über B ⊃ A.

(1) Ψ ist (Γ, Y)-frei über B.

(2) Ψ ist genau dann (Γ, Y)-frei über A, wenn es einen starken (Γ, Y)-Typ p̃ über A gibt, so daß Ψ ∪ p̃|B konsistent ist.

(3) (Konsistenz) Ist C ⊃ B und Ψ konsistent mit dem (Γ, Y)(C)-Typ p, so auch mit jeder (Γ, Y)-freien Fortsetzung von p.

(4) Es sei (Γ′, Y′) ≤ (Γ, Y), A′ ⊃ A und Ψ^{⊧}Ψ′. Wenn Ψ (Γ, Y)-frei ist über A, dann ist Ψ′ (Γ′, Y′)-frei über A′.

(5) Es seien p und q (Γ, Y)-Typen. p ⊏_{(Γ,Y)} q genau dann, wenn es einen starken Typ p̃ von p gibt, so daß p̃|B ein starken Typ von q ist.

Beweis

(1) Ψ ist konsistent mit einem starken (Γ, Y)(B)-Typ p̃. Wegen 2.31 ist Ψ dann auch konsistent mit p̃|U.

(2) und (3) analog.

(4) Klar mit 2.29.

(5) folgt aus (2). □

Beispiel: tp(a^{1}, ..., a^{n}/A) ⊏_{ID_{x}} tp(a^{1}, ..., a^{n}/B) ⟺ {a_{1}, ..., a_{n}} ∩ acl(B) ⊂ acl(A) Denn stp_{ID}(a^{1}, ..., a^{n}/B) = tp_{ID}^{strikt}(a^{1}, ..., a^{n}/acl(B)) und dieser Typ ist genau dann fast A-definierbar, wenn {a_{1}, ..., a_{n}} ∩ acl(B) ⊂ acl(A).

3.6 Lemma Es sei (Γ′, Y′) ≤ (Γ, Y) und A ⊂ B. Es sei Σ ein partieller existenzieller Typ über A und Π ein partieller (Γ′, Y′)-Typ über B, dann sind äquivalent:

(1) Σ ∪ Π ist (Γ′, Y′)-frei über A.

(2) Σ ∪ Π ist Γ-frei über A.

(3) Σ ist konsistent mit einem (Γ′, Y′)-Typ p über A, so daß p ∪ Π (Γ′, Y′)-frei ist über A.

Beweis

(2) nach (1) folgt aus (4) des letzten Lemmas und (1) nach (3) ist klar.

(3) nach (2): Es sei p ein (Γ′, Y′)(A)-Typ, der konsistent ist mit Σ. Wenn p∪Π (Γ_{0}, Y_{0})- frei über A ist, dann gibt es einen starken Typ p̃ von p, so daß Π ⊂ p̃|U. Andererseits ist Σ ∪ p nach (1) des letzten Lemmas Γ-frei über A. Es gibt also einen globalen^{35} Γ-Typ q, der fast A-definierbar ist und konsistent mit Σ ∪ p. Dann ist q ↾ (Γ′, Y′) ein (vollständiger) (Γ′, Y′)(U-Typ und Γ-frei über A, wegen (4) des letzten Lemmas also auch (Γ′, Y′)-frei über A. q ↾ (Γ′, Y′) und p̃|U sind also fast A-definierbare Fortsetzungen von p und deshalb A-konjugiert. Das entsprechende A-Konjugat von q zeigt dann, daß Σ ∪ Π Γ-frei über A ist. □

Für partielle (Γ′, Y′)-Typen ist also (Γ′, Y′)-Freiheit dasselbe, wie Γ-Freiheit. Das ist falsch für partielle Γ-Typen, denn (Γ′, Y′)-Freiheit besagt nur, daß der (Γ′, Y′)-Anteil frei ist:

35Globale Typen sind Typen über U.

Beispiel: Es sei E eine Äquivalenzrelation mit unendlich vielen unendlichen Klassen und einer ausgezeichneten Klasse Y. Es sei φ(x, y) := Y y → ¬Exy, dann sind alle (φ, Y)-Formeln boolesche Kombinationen von Y x. Es gibt also nur zwei globale (φ, Y)-Typen, nämlich Y x und ¬Y x, beide sind (φ, Y)-frei über ∅. Deshalb ist jede konsistente Formel (φ, Y)-frei über ∅. Es sei b ∉ Y: φ(x, b) ist eine φ-Formel und (φ, Y)-frei über ∅, φ(x, b) ist aber nicht φ-frei über ∅. Das ist nur möglich, weil φ(x, b) keine (φ, Y)-Formel ist.

Die klassischen Eigenschaften

Wenn ich in der Klasse der (Γ, Y)-Typen von ”Freiheit” spreche, so meine ich damit (Γ, Y)-Freiheit.

3.7 Satz Die Freiheitsrelation für (Γ, Y)-Typen erfüllt die folgenden Eigenschaften:

(Erweiterung) Es sei A ⊂ B, zu jedem p ∈ S_{(Γ,Y)}(A) gibt es ein q ∈ S_{(Γ,Y)}(B) mit p ⊏ q.

(Monotonie) : p ⊂ q ⊂ r, so p ⊏ r ⇒ p ⊏ q ⊏ r.

(Transitivität) : p ⊂ q ⊂ r, so p ⊏ q ⊏ r ⇒ p ⊏ r.

(Lokaler Charakter) zu jedem (Γ, Y)-Typ p über einem Modell U gibt es A ⊂ U, so daß p ↾ A ⊏ p und |A| ≤ |L|.

(Stationarität) Jeder (Γ, Y)-Typ über einem Modell hat auf jede Obermenge genau eine (Γ, Y)-freie Fortsetzung.

Beweis (Erweiterung), (Monotonie) und (Stationarität) sind klar. (Lokaler Charakter) gilt, weil jeder lokale Typ über einem Modell definierbar ist. Dazu braucht man höchstens |T |-viele Parameter.

(Transitivität): Es gelte p ⊏ q ⊏ r für (Γ, Y)-Typen über A ⊂ B ⊂ C. Es sei p̃ ein starker Typ von p, der p ⊏ q bezeugt (d.h. p̃|B ist ein starker Typ von q) und q̃ ein starker Typ von q, der q ⊏ r bezeugt. Dann sind p̃|B und q̃ B-konjugiert und deshalb ist auch q̃ fast A-definierbar. Die Einschränkung von q̃ auf den starken Typ über A bezeugt dann p ⊏ r □

3.8 (lokale Symmetrie)

Es sei p ein (Γ, Y)(A)-Typ und ψ(x, m) eine strikte (Γ, Y)-Formel und a^{⊧}p: p ∪ ψ(x, m) ist (Γ, Y)-frei über A ⟺ ψ(a, y) ∪ tp_{Γ^{−1}}(m/A) ist Γ^{−1}-frei über A.

Beweis Es sei a^{⊧}p und p ∪ ψ(x, m) (Γ, Y)-frei über A, dann gibt es einen starken Typ p̃ von p, so daß ψ(x, m) ∈ p̃|U, also m^{⊧}dp̃ und dp̃ ∈ q̃ := stp_{Γ^{−1}}(m/A) . Wegen des Symmetriesatzes 2.23 ist dann dq̃ ∈ p̃. Wegen 2.19 gibt es einen Automorphismus σ von U über A, so daß σ(p̃) = stp_{(Γ,Y)}(a/A). Dann ist σ(d_{σ(q̃)} ∈ stp_{(Γ,Y)}(a/A) und ψ(a, y) ∈ σ(q̃)|U. Also ist ψ(a, y) ∪ tp_{Γ^{−1}}(m/A) Γ^{−1}-frei über A. □

3.9 (Konjugation)

Alle globalen freien Fortsetzungen eines (Γ, Y)(A)-Typs sind A-konjugiert.

Beweis Es sei p ein (Γ, Y)-Typ über A, seine globalen freien Fortsetzungen haben die Form p̃|U, wobei p̃ ein starker Typ von p ist. Da alle starken Typen von p A-konjugiert sind (2.19), sind auch die p̃|U A-konjugiert. □

3.10 (Abgeschlossenheit) Es gibt einen partiellen (Γ, Y)-Typ frei_{(Γ,Y)}(B, A) über B, der genau mit den Typen in S_{(Γ,Y)}(B) konsistent ist, die frei über A ⊂ B sind.

Beweis Weil die Restriktion S_{(Γ,Y)}(U) → S_{(Γ,Y)}(B) abgeschlossen ist können wir B = U annehmen. Dann folgt das sofort aus dem entsprechenden Ergebnis (2.27) über starke Typen. □

3.11 (Endlicher Charakter) Ein partieller ∃-Typ Π ist genau dann (Γ, Y)-frei über A, wenn Π_{0} (Δ, Y)-frei über A ist für jedes endliche Π_{0} ⊂ Π und jedes endliche Δ ⊂ Γ.

Beweis Das folgt mit Kompaktheit aus (Abgeschlossenheit). Dabei beachte man, daß frei_{(Γ,Y)}(B, A) ≡ ⋃_{Δ⊂Γ endlich} frei_{(Δ,Y)}(B, A). □

Bei der Einführung der starken Typen habe ich erklärt, daß stets stp_{(Γ,Y)}(a/A) = stp_{(Γ,Y)}(a/acl(A)) gilt, daraus folgt:

3.12 (ACL) Jeder (Γ, Y)-Typ über acl(A) ist frei über A.

Es sei Frei_{(Γ,Y)}(B, A) die Menge der (Γ, Y)(B)-Typen, die frei sind über A. Die Restriktion ↾ A : Frei_{(Γ,Y)}(B, A) → S_{(Γ,Y)}(A) ist wohldefiniert und stetig, also auch abgeschlossen (beide Räume sind kompakt).

3.13 (Open mapping theorem) ↾ A : Frei_{(Γ,Y)}(B, A) → S_{(Γ,Y)}(A) ist offen.

Beweis Aus Stetigkeitsgründen kann man B = U annehmen. Wir können außerdem annehmen, daß Γ = Γ^{bc}. Eine basis-offene Menge in frei_{(Γ,Y)}(U, A) ist gegeben durch eine (Γ, Y)-Instanz φ(x, b) über U. φ_{(b,A)}(x) ist das Bild von [φ(x, b)] unter dieser Abbildung: ein (Γ, Y)-Typ p über A liegt genau dann im Bild von φ(x, b), wenn p ∪ φ(x, b) (Γ, Y)-frei ist über A. Das ist nach 3.2 genau dann der Fall, wenn φ_{(b,A)} ∈ p. □

F E_{(Γ,Y)}(A) sei die Menge der (Γ, Y)(A)-definierbaren Äquivalenzrelationen mit endlich vielen Klassen.

3.14 (Finite equivalence theorem)

(1) Es sei φ ∈ Γ. Zu p ∈ S_{(φ,Y)}(A) gibt es ein E_{p} ∈ F E_{(φ,Y)}(A), so daß alle starken Typen von p in verschiedenen E_{p}-Klassen liegen.

(2) Je endlich viele über A freie globale (Γ, Y)-Typen können durch ein E ∈ F E_{(Γ,Y)}(A) getrennt werden.

Beweis

(1) Trenne die endlich vielen verschiedenen starken Typen von p durch (φ, Y)-Formeln und betrachte die induzierte Äquivalenzrelation ”für x und x′ gelten dieselben Formeln und deren A-Konjugate“.

(2) Es reicht, starke (Γ, Y)-Typen über A zu betrachten, deshalb folgt das aus (1). □

3.15 (Stabile Einbettung) Es sei ψ(x, m) eine (Γ, Y)-Formel und A eine Parametermenge. ψ_{(m,A)} und ψ(x, m) definieren dieselbe Teilmenge von A.

Beweis Für jedes a ∈ A gilt: a^{⊧}ψ_{(m,A)} ⇔ tp_{(Γ,Y)}(a/A)∪ψ(x, m) ist (Γ, Y)-frei über A. Wegen a ∈ A hat dieser Typ nur eine globale Fortsetzung, deshalb ist tp_{(Γ,Y)}(a/A) ∪ ψ(x, m) genau dann (Γ, Y)-frei über A, wenn a^{⊧}ψ(x, m). □

Unabhängigkeit und Morleyfolgen

Morleyfolgen sind ein enorm starkes technisches Hilfsmittel, welches uns auch in der lokalen Version zur Verfügung steht. Sie werden später in den Beweisen einiger wichtiger Sätze angewendet.

Notation: Ist I eine Ordnung, (a_{i})_{i∈I} eine Folge, so ist a_{I} = (a_{i})_{i∈I}. Für j ∈ I ist a_{<j} = (a_{i})_{j>i∈I}.

3.16 Definition

(1) Eine Folge (a_{i}) heißt (Γ, Y)-unabhängig über A, falls stets tp_{(Γ,Y)}(a^{i}/Aa_{<i}) frei über A ist.

(2) Eine A-Indiscerniblefolge ist eine (Γ, Y)-Morleyfolge über A, wenn sie (Γ, Y)- unabhängig über A ist.

3.17 Lemma

(1) Es sei (a_{i})_{i∈I} eine unendliche A-Indiscerniblefolge. Wenn (a_{i})_{I} beliebig lange endliche Teilfolgen hat, die (Γ, Y)-unabhängig über A sind, so ist (a_{i})_{I} eine Morleyfolge über A.

(2) Es gibt es beliebig lange (Γ, Y)-Morleyfolgen (b_{i}) in stp_{(Γ,Y)}(b/A) mit b_{i} ≡_{A} b.

(3) Ist (a_{i})_{i<α} eine (Γ, Y)-Morleyfolge (bzw. (Γ, Y)-unabhängig) über A ⊂ B, so gibt es (b_{i}) ≡_{A} (a_{i}), so daß (b_{i}) eine (Γ, Y)-Morleyfolge (bzw. (Γ, Y)-unabhängig) über B ist.

Beweis

(1) Das folgt aus dem endlichen Charakter 3.11.

(2) Es gibt in ∃-tp(b/A) beliebig lange über A (Γ, Y)-unabhängige Folgen (in großen Erweiterungen). Wegen 1.6 können wir eine A-berührende^{36} A-Indiscerniblefolge (b_{i}) finden, die wegen (1) eine (Γ, Y)-Morleyfolge über A ist. Es ist dann jedes b_{i} ≡_{A} b.

36Siehe Seite 54.

Wir können nun ein Element der Folge so über A konjugieren, daß es stp_{(Γ,Y)}(b/A) realisiert. Weil alle Elemente einer unendlichen A-Indiscerniblefolge denselben starken Typ über A haben, sind wir dann fertig.

(3) Ich betrachte erst den Fall der Unabhängigkeit induktiv über die Länge der Folge: es sei (a_{i})_{i≤α} (Γ, Y)-unabhängig über A ⊂ B und b_{<α} ≡_{A} a_{<α}, so daß b_{<α} (Γ, Y)- unabhängig über B ist. Es sei etwa σ ein Automorphismus über A mit σ(a_{<α}) = b_{<α} und p̃ ein mit σ(∃-tp(a^{α}/Aa_{<α})) konsistenter (Γ, Y)-Typ über σ(Aa_{<α}) = Ab_{<α}. Für jedes b_{α}^{⊧} p̃|Bb_{<α} (klaro b_{α} ∈ G) ist dann b_{≤α} (Γ, Y)-unabhängig über B. Für den Fall der Morleyfolgen können wir wegen des gerade Gezeigtem annehmen, daß (a_{i}) (Γ, Y)-unabhängig über B ist, außerdem können wir annehmen, daß (a_{i}) sehr lang ist. Es gibt dann eine B-Indiscerniblefolge (b_{i}), die (a_{I}) B-berührt. Die beiden Indiscerniblefolgen sind dann äquivalent über A und wegen (1) ist (b_{i}) eine (Γ, Y)-Morleyfolge über B. □

Beispiel: Es sei tp(a/A) ein nichtalgebraischer Typ und κ eine unendliche Kardinalzahl, dann gibt es eine Folge von Modellen (V_{i})_{κ}, so daß a = a_{0} ∈ V = V_{0} ⊃ A, alle V_{i} ≡_{A} V und für je zwei verschiedene Modelle V_{i}, V_{j} gilt: V_{i} ∩ V_{j} = acl(A). Es sei nämlich a ∈ V ⊃ A und (V_{i})_{κ} eine ID_{x}-Morleyfolge in tp(V/A). Dann gilt für jedes i < κ: tp(V^{i}/V_{<i}) ist ID_{x}-frei über A, insbesondere V_{i} ∩ acl(V_{<i}) ⊂ acl(A).

3.18 Lemma Es sei (a_{i})_{i≤ω} eine A-Indiscerniblefolge und ψ eine (Γ, Y)-Formel: tp_{(Γ,Y)}(a^{ω}/Aa_{<ω}) ∪ ψ ist genau dann (Γ, Y)-frei über Aa_{<ω}, wenn fast alle a_{i}^{⊧}ψ.

Beweis tp_{(Γ,Y)}(a^{ω}/Aa_{<ω}) ∪ ψ(x, m) ist genau dann (Γ, Y)-frei über Aa_{<ω}, wenn ψ_{(}m, a_{<ω}) ∈ tp_{(Γ,Y)}(a^{ω}/Aa_{<ω}). ψ_{(}m, a_{<ω}) ist über den Parametern Aa_{<n} für ein n < ω, deshalb ist ψ_{(}m, Aa_{<ω}) ∈ tp_{(Γ,Y)}(a^{ω}/Aa_{<ω}) genau dann, wenn fast alle a_{i}^{⊧}ψ_{(}m, Aa_{<ω}). Wegen 3.15 gilt a_{i}^{⊧}ψ_{(}m, Aa_{<ω}) ⇔ a_{i}^{⊧}ψ(x, m). □

3.19 Satz Es seien a_{<ω} und a_{J} Folgen und a_{∞} ein Tupel, so daß a_{<ω}a_{J}a_{∞} eine A-Indiscerniblefolge ist. Es sei p = tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/a_{<ω}).

(1) p ist stationär.

(2) p|U = Av_{(Γ,Y)}(a_{<ω}).^{37}

(3) p|Aa_{<∞} = tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<∞}).

Beweis

(1) Es sei ψ eine (Γ, Y)-Formel und p ∪ ψ frei über a_{<ω}. Wegen des letzten Lemmas ist dann p ∪ ¬ψ nicht frei über a_{<ω}.

(2) folgt sofort aus dem vorigen Lemma.

(3) Wegen (1) ist p ⊏ tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<∞}) zu zeigen, das tue ich in zwei Schritten:

Behauptung 1: p ⊏ tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<ω}).

Beweis: Es sei ψ ∈ tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<ω}), wegen A-Indiscernibilität gilt dann a_{i}^{⊧}ψ für fast alle i < ω. Also ψ ∈ Av_{Γ}(a_{<ω}) und mit (2) folgt Behauptung 1.

Behauptung 2: tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<ω}) ⊏ tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<∞}).

37Av_{(Γ,Y )}(a_{<ω}) := {ψ(x) | ψ ist eine (Γ, Y)-Formel und fast alle a_{i} ^{⊧} ψ}.

Beweis: Die (φ, Y)-Definition von tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<ω}) ist fast Aa_{<n}-invariant für ein geeignetes n < ω, tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<ω}) ist also (φ, Y)-frei über Aa_{<n}. Wegen A-Indiscerni-bilität ist dann für jedes endliche Teiltupel c̄ von a_{<∞} tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<n}c̄) (φ, Y)-frei über Aa_{<n} und wegen endlichem Charakter (3.11) ist tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<∞}) (φ, Y)-frei über Aa_{<n}, also auch über Aa_{<ω}. Weil das für jedes φ ∈ Γ gilt, ist tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<∞}) (Γ, Y)-frei über Aa_{<ω}.^{38} □

3.20 Korollar a_{J} ist eine (Γ, Y)-Morleyfolge über A, über a_{<ω} und auch über Aa_{<ω}.

Beweis a_{J}a_{∞} ist eine Aa_{<ω}-Indiscerniblefolge und tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/a_{<ω}) ⊏ tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<ω}a_{J}) wegen (3) des Satzes. Insbesondere ist für jedes j ∈ J tp_{(Γ,Y)}(a^{j}/a_{ω}a_{<j}) frei über a_{<ω} und auch tp_{(Γ,Y)}(a^{j}/Aa_{ω}a_{<j}) frei über Aa_{<ω}. a_{J} ist also (Γ, Y)-unabhängig über a_{<ω} und auch über Aa_{<ω}. □

2.3.2 Charakterisierungen der Freiheit

Ich charakterisiere die Freiheitsrelation nun auf vier verschiedene Weisen, nämlich durch Teilen, Morleyfolgen, lokale Morleyränge, spezielle Fortsetzungen und endliche Erfüllbarkeit.

3.21 Satz Es sei Π(x) ein partieller ∃-Typ über A und ψ(x, m) eine (Γ, Y)-Formel, dann sind äquivalent:

(1) Π ∪ ψ teilt ^{39} nicht über A.

(2) Π ∪ ψ ist (Γ, Y)-frei über A.

(3) Für jede unendliche φ^{−1}-Morleyfolge (m_{i})_{I} in tp(m/A) ist Π ∪ {ψ(x, m_{i}) | i ∈ I} konsistent.

Beweis

(1) nach (3) ist klar.

(3) nach (2): Es sei (m_{i})_{i≤ω} eine φ^{−1}-Morleyfolge über A mit m_{ω} = m und b^{⊧}Π ∪ {ψ(x, m_{i}) | i < ω}. Wegen 3.18 ist dann ψ(b, y) ∪ tp_{φ^{−1}}(m/Am_{<ω}) φ^{−1}-frei über Am_{<ω}. Weil tp_{φ^{−1}}(m/Am_{<ω}) φ^{−1}-frei über A ist, ist dann auch ψ(b, y) ∪ tp_{φ^{−1}}(m/A) φ^{−1}-frei über A. Wegen lokaler Symmetrie ist dann auch tp_{φ}(b/A) ∪ ψ(x, m) φ^{−1}-frei über A. Dann ist ∃-tp(b/A) ∪ ψ(x, m) (Γ, Y)-frei über A (3.2). Insbesondere ist Π ∪ ψ (Γ, Y)-frei über A, denn Π ⊂ ∃-tp(b/A).

(2) nach (1): Wenn Π ∪ ψ(x, m) (Γ, Y)-frei über A ist, so gibt es einen mit Π konsistenten starken (Γ, Y)-Typ p̃ über A, so daß ψ ∈ p̃|U, also m^{⊧}dp̃. Ist (m_{i})_{I} eine unendliche A-Indiscerniblefolge, so haben alle m_{i} denselben starken (Γ, Y)-Typ über A, also alle m_{i}^{⊧}dp̃ und {ψ(x, m_{i}) | i ∈ I} ⊂ p̃|U. Insbesondere ist Π ∪ {ψ(x, m_{i}) | i ∈ I} konsistent. □

38Man beachte, daß der Beweis von Behauptung 1 auf der Seite der speziellen Variablen argumentiert und der von Behauptung 2 auf der Seite der Parameter.

39Wie der Begriff der Freiheit hängt auch der Begriff des G-Teilens von G ab. Trotzdem werde ich nun nur noch ”teilen“ sagen. Vergl. 1.1

3.22 Korollar Für (Γ, Y)-Typen p ⊂ q gilt:

p ⊏_{(Γ,Y)} q ⟺ q teilt nicht über dom(p)

Ich möchte betonen, daß die hier definierte Freiheit nicht dasselbe ist wie Nichtforken, denn Teilen und Forken fallen i.a. auseinander:

Beispiel: Es sei M die lokale (d.h. auf einem Kreis) dichte Ordnung, dann forkt x = x über ∅. Das ist das Standardbeispiel für eine Theorie, in der Forken und Teilen auseinanderfallen, siehe [Wagner, Example 2.2.4]. Es sei Γ stabil und enthalte die Formel x = x ∧ y = y: jeder Γ-Typ über ∅ ist frei über ∅ und forkt über ∅.

3.23 Satz Es sei A ⊂ B, dann sind äquivalent:

(1) tp_{(Γ,Y)}(a/B) ist frei über A.

(2) Jede (Γ, Y)-Morleyfolge in tp(a/B) ist eine (Γ, Y)-Morleyfolge in tp(a/A).

(3) Es gibt eine Indiscerniblefolge in tp(a/B), die eine (Γ, Y)-Morleyfolge über A ist.

Beweis

(1) nach (2): Es sei (a_{i}) eine (Γ, Y)-Morleyfolge in tp(a/B), dann ist stets tp_{(Γ,Y)}(a^{i}/Ba_{<i}) frei über B. Wegen (1) ist tp_{(Γ,Y)}(a^{i}/B) ist frei über A und mit Monotonie und Transitivität ist stets tp_{(Γ,Y)}(a^{i}/Aa_{<i}) frei über A. Deshalb ist (a_{i}) eine (Γ, Y)-Morleyfolge in tp(a/A).

(2) nach (3) ist klar wegen der Existenz von (Γ, Y)-Morleyfolgen 3.17.

(3) nach (1): Es sei (a_{i})_{I} eine Indiscerniblefolge in tp(a/B), die (Γ, Y)-Morleyfolge über A ist. Wir können I = ω ∪ {∞} annehmen. Wegen 3.19 ist tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Ba_{<ω}) frei über a_{<ω}, also auch über Aa_{<ω}. Außerdem ist tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Aa_{<ω}) frei über A. Mit Transitivität ist tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Ba_{<ω}) frei über A, damit folgt (1). □

Ist Ψ ein partieller ∃-Typ, so sei Ψ_{A} := {ψ ∈ L_{∃}(A) | Ψ^{⊧}ψ}.

3.24 Satz Es sei Ψ ein partieller ∃(B)-Typ, der einen (Γ, Y)(B)-Typ axiomatisiert: Ψ ist genau dann (Γ, Y)-frei über A ⊂ B, wenn für jedes φ ∈ Γ gilt:

G-MR_{(φ,Y)}(Ψ) = G-MR_{(φ,Y)}(Ψ_{A})

Beweis Schritt 1: Es sei q der von Ψ axiomatisierte (Γ, Y)(B)-Typ, Ψ ist genau dann (Γ, Y)- frei über A, wenn q es ist. Das ist genau dann der Fall, wenn q (φ, Y)-frei über A ist für alle φ ∈ Γ. Es sei q_{φ} = q ↾ (φ, Y). Da andererseits die (φ, Y)-Morleyränge in S_{(φ,Y)}(U) errechnet werden und [Ψ]_{S_{(φ,Y )}(U)} = [q_{φ}]_{S_{(φ,Y )}(U)} und [Ψ_{A}]_{S_{(φ,Y )}(U)} = [q_{φ} ↾ A]_{S_{(φ,Y )}(U)}, reicht es zu zeigen, daß für jedes φ ∈ Γ gilt: q_{φ} ist genau dann frei über A, wenn MR_{(φ,Y)}(q_{φ}) = MR_{φ,Y)}(q_{φ} ↾ A).

Schritt 2a: Es sei q_{φ} frei über A und ψ ∈ q_{φ} mit demselben (φ, Y)-Morleyrang wie q_{φ}. Wegen 3.2 gibt es in q_{φ} ↾ A eine positive boolesche Kombination χ von A-Konjugaten von ψ. Dann gilt MR_{(φ,Y)}(χ) ≥ MR_{(φ,Y)}(q_{φ} ↾ A) ≥ MR_{(φ,Y)}(ψ). Schreibt man χ in disjunktiver Normalform ⋁ χ_{i}, so ist jedes χ_{i} eine Konjunktion von A-Konjugaten von ψ, also stets MR_{(φ,Y)}(ψ) ≥ MR_{(φ,Y)}(χ_{i}). Dann gilt auch MR_{(φ,Y)}(ψ) ≥ MR_{(φ,Y)}(χ). Es ist also MR_{(φ,Y)}(q_{φ} ↾ A) = MR_{(φ,Y)}(ψ) = MR_{(φ,Y)}(q_{φ}).

Schritt 2b: Es seien nun umgekehrt diese Ränge gleich und q̃_{φ} eine globale Fortsetzung von q_{φ} vom selben (φ, Y)-Morleyrang. Dann ist q̃_{φ} auch eine Fortsetzung von q_{φ} ↾ A vom selben (φ, Y)-Morleyrang und hat deshalb eine endliche A-Bahn. Wegen 2.30 ist q̃_{φ} fast A-definierbar und q_{φ} ist frei über A. □

Ein (Γ, Y)-Typ p ist speziell über A, wenn er eine Fortsetzung q auf ein großes U ⊃ A hat, so daß q über A nicht splittet, d.h. für alle φ(x, b) ∈ q gilt: b′ ∈ U und b′ ≡_{A} b, so φ(x, b′) ∈ q.

3.25 Satz Es sei V ein Modell und p ein Γ-Typ über B ⊃ V: p ist genau dann frei über V, wenn p speziell über V ist.

Beweis Es sei p frei über V und q eine freie globale Fortsetzung, dann ist q V-definierbar. Ist also φ(x, b) ∈ q, so b^{⊧}d_{q}φ, also auch b′^{⊧}d_{q}φ für jedes b′ ≡_{V} b, also φ(x, b′) ∈ q. p ist also speziell über V. Ist umgekehrt q eine über V nicht splittende Fortsetzung von p, so ist dq V-invariant, insbesondere ist p frei über V. □

3.26 Satz Es sei Π(x) ein partieller (Γ, Y)-Typ, dann sind äquivalent:

(1) Π ist (Γ, Y)-frei über A.

(2) Π ist in Modell V ⊃ A endlich erfüllt.

Beweis Es sei ψ(x, b) eine strikte (Γ, Y)-Formel, die äquivalent ist zu einer endlichen Konjunktion aus Π, V ⊃ A und q = tp_{ψ^{−1}}(b/V).

(1) nach (2): Es sei V ⊃ A ein Modell, dann ist ψ(x, b)^{V} = d_{q}(x)^{V} (siehe etwa 3.15). Weil ψ(x, b) frei über V ist, ist d_{q} konsistent, also ψ(x)^{V} ≠ ∅.

(2) nach (1): Es sei V ⊃ A so gewählt, daß q frei über A ist. Wegen (2) gibt es ψ(m, y) ∈ q, also ist ψ(m, y) ∪ q ↾ A Γ^{−1}-frei über A. Wegen lokaler Symmetrie 3.8 ist tp_{Γ}(m/A) ∪ ψ(x, b) Γ-frei über A, insbesondere ist ψ(x, b) Γ-frei über A. Das reicht wegen endlichem Charakter. □

Man beachte, daß im Beweis von (1) nach (2) dq ∪ p ↾ A in V endlich erfüllt ist. Falls also V hinreichend groß ist, so ist p sogar in (p ↾ A)^{V} endlich erfüllt. Ein partieller L-Typ ist also genau dann (Γ, Y)-frei über A, wenn er (Γ, Y)-frei über jedem V ⊃ A ist.

3.27 Korollar Es seien Γ_{1} und Γ_{2} stabile Familien von Δ_{1}-Formeln. Angenommen für alle Modelle M ⊂ N und alle q ∈ S(N) gilt: q ist genau dann Γ_{1}-frei über M, wenn q Γ_{2}-frei über M ist. Dann definieren Γ_{1}-Freiheit und Γ_{2}-Freiheit dieselbe Relation.

Beweis Es sei Ψ ein partieller L-Typ über B ⊃ A, der Γ_{1}-frei über A ist. Es sei M ⊃ A. Dann gibt es ein N ⊃ MB und ein q ∈ [Ψ]_{S(N)}, das Γ_{1}-frei über A ist, also auch über M. Nach Voraussetzung ist q dann Γ_{2}-frei über M und damit auch Ψ. Ψ ist also Γ_{2}-frei über jedem M ⊃ A, also Γ_{2}-frei über A. □

2.3.3 Der Eindeutigkeitssatz

Ich werde nun axiomatisch einführen, was ein Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen und in 3.31 zeigen, daß (Γ, Y)-Freiheit der einzig mögliche Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen ist. Dieses Resultat ist in dieser Allgemeinheit neu. Ich setze nicht voraus, daß (Γ, Y) stabil ist.

Freie Fortsetzungen von lokalen Typen

Eine Fortsetzungsrelation für (Γ, Y)-Typen^{40} ist eine Familie von Relationen ⊏= (⊏_{U} )_{U∈G} zwischen (Γ, Y)-Typen über G, welche die Inklusion verfeinert und mit:

(Invarianz) Es seien U und U′ Modelle, A ⊂ B, a aus U und A′ ⊂ B′, a′ aus U′: ist tp_{(Γ,Y)}(a/A) ⊏_{U} tp_{(Γ,Y)}(a/B) und U_{ABa} ≡ U′_{A′B′a′}, so tp_{(Γ,Y)}(a′/A′) ⊏_{U′} tp_{(Γ,Y)}(a′/B′).

Ich lasse bei den Fortsetzungsrelationen den Index für das Modell weg. Das ist ok, weil alle Einbettungen zwischen Modellen elementar sind.

3.28 Definition Ein Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen ist eine Fortsetzungsrelation ⊏ für (Γ, Y)-Typen, so daß für alle (Γ, Y)-Typen gilt:

(Erweiterung) Es sei A ⊂ B, zu jedem p ∈ S_{(Γ,Y)}(A) gibt es ein q ∈ S_{(Γ,Y)}(B) mit p ⊏ q.

(Monotonie) : p ⊂ q ⊂ r, so p ⊏ r ⇒ p ⊏ q ⊏ r.

(Transitivität) : p ⊂ q ⊂ r, so p ⊏ q ⊏ r ⇒ p ⊏ r.

(lokaler Charakter) zu jedem (Γ, Y)-Typ p über einem Modell U gibt es A ⊂ U, so daß p ↾ A ⊏ p und |A| ≤ |L|.

(Beschränkte Multiplizität) Zu jedem (Γ, Y)-Typ p über einem Modell gibt es ein κ, so daß p auf jedes Obermodell höchstens κ-viele verschiedene freie Fortsetzungen hat.

Es gilt dann sogar eine stärkere Form der beschränkten Multiplizität:

3.29 Lemma Ist ⊏ ein Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen, so gibt es ein κ, so daß jeder (Γ, Y)-Typ über G auf jedes Obermodell höchstens κ-viele verschiedene ⊏-Fortsetzungen hat.

Beweis Es sei A eine Parametermenge der Größe ≤ |L|. Mit (LÖSKO) gibt es ein Modell U ⊃ A der Größe ≤ 2^{|L|}. Nun gibt es über U nur beschränkt viele (Γ, Y)-Typen, also gibt es wegen (Beschränkte Multiplizität) ein κ_{A}, so daß jeder (Γ, Y)-Typ über U höchstens κ_{A}-viele verschiedene freie Fortsetzungen auf jedes Obermodell hat. Es sei nun V ⊃ A ein großes Modell, dann können wir U über A in V einbetten. Wegen (Invarianz) und (Transitivität) hat jeder (Γ, Y)-Typ über A höchstens κ_{A}-viele verschiedene ⊏- Fortsetzungen auf V. Diese Schranke gilt also für jedes Obermodell von A. Nun gibt es nur beschränkt viele Isomorphietypen von Parametermengen der Größe ≤ |L|, deshalb gibt es – mit (Invarianz) – ein κ, so daß jeder (Γ, Y)-Typ über einer Parametermenge der Größe ≤ |L| höchstens κ-viele verschiedene ⊏-Fortsetzungen auf jedes Obermodell hat. Mit (Transitivität) und (lokaler Charakter) gilt diese Schranke für jeden (Γ, Y)-Typ über G. □

40Wie immer sind alle (Γ, Y)-Typen über G.

3.30 Lemma Es sei ⊏ ein Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen, B ⊃ A und q ∈ S_{(Γ,Y)}(B). Falls q G-teilt über A, so q ↾ A ⊏̸ q.

Beweis Ich arbeite in einem hinreichend großen Modell U. q G-teile über A, nach Definition 1.1 gibt es φ(x, b) ∈ q und eine Indiscerniblefolge (b_{i})_{i<ω} in tp(b/A), so daß {φ(x, b_{i}) | i < κ} nicht in G realisiert ist, also inkonsistent ist. Es gibt dann wegen Indiscernibilität ein k < ω, so daß {φ(x, b_{i}) | i < κ} k-inkonsistent ist. Wir können diese Indiscerniblefolge beliebig lang machen, es sei also κ eine große Kardinalzahl und (b_{i})_{i<κ} eine solche Verlängerung. Wähle zu jedem b_{i} ein B_{i}, so daß Bb ≡_{A} B_{i}b_{i}; q_{i} sei der entsprechend konjugierte Typ von q und q̃_{i} sei eine ⊏-Fortsetzung von q_{i} nach U. Da stets φ(x, b_{i}) ∈ q_{i} gibt es wegen k-Inkonsistenz zu jedem i höchstens k viele j, so daß q̃_{i} = q̃_{j}, also |{q̃_{i} | i < κ}| = κ. Jedes q̃_{i} ist dann eine Fortsetzung von q ↾ A und weil κ sehr groß ist, folgt aus dem letzten Lemma, daß nicht alle q̃_{i} ⊏-Fortsetzungen von q ↾ A sind. Wegen (Transitivität) gibt es dann auch schon ein q_{i}, welches keine ⊏-Fortsetzung von q ↾ A ist. Mit (Invarianz) folgt, daß q keine ⊏-Fortsetzung von q ↾ A ist. □

3.31 Eindeutigkeitssatz

(1) Es sei Γ stabil. (Γ, Y)-Freiheit der einzige Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen.

(2) Wenn es einen Begriff ⊏ von freier Fortsetzung für Γ-Typen gibt, so ist Γ stabil und ⊏ ist Γ-Freiheit.

Beweis

(1) Wegen 3.7 ist (Γ, Y)-Freiheit ein Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen. Es sei ⊏ ein weiterer Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen und p ⊂ q seinen (Γ, Y)-Typen. Ist p ⊏ q, so teilt q nicht über A (3.30), also ist q (Γ, Y)-frei über p nach 3.22. Ist umgekehrt q (Γ, Y)-frei über p, so sei r ein globaler (Γ, Y)-Typ mit p ⊏ r. Wegen des ersten Teil des Beweises ist r (Γ, Y)-frei über p. Dann sind r und q|U dom(p)-konjugiert und es gilt auch p ⊏ q|U, also auch p ⊏ q.

(2) Es ist nur zu zeigen, daß aus der Existenz eines Begriffs von freier Fortsetzung für Γ-Typen die Stabilität von Γ folgt. Das besagt das nächste Lemma. □

3.32 Lemma Falls es einen Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen gibt, so ist (Γ, Y) stabil.

Beweis Es sei ⊏ ein Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen. Wegen 3.29 gibt es ein κ, so daß jeder (Γ, Y)-Typ auf jedes Obermodell höchstens κ-viele ⊏-Fortsetzungen hat. Wir können κ = κ^{|L|} annehmen. Ist dann |B| ≤ κ, so gibt es ein Modell U ⊃ B mit |U| ≤ κ (das ist (LÖSKO)). Wegen (lokaler Charakter) ist jeder (Γ, Y)-Typ über U ⊏-frei über einem A ⊂ U mit |A| ≤ |L|. Es gibt nur κ^{|L|} = κ viele solche Teilmengen von U (siehe etwa [Jech, Seite 43, Lemma 6.2])), über jeder solchen gibt es höchstens 2^{|L|} ≤ κ viele (Γ, Y)-Typen und jeder solche hat höchstens κ viele ⊏- freie Fortsetzungen nach U. Es gibt also über U höchstens κ · κ · κ viele (Γ, Y)-Typen. Es folgt, daß (Γ, Y) κ-stabil ist, also stabil (2.18). □

Γ-Freiheit ist also der einzig mögliche Begriff von freier Fortsetzung für Γ-Typen. Der Grund, warum (2) nicht für (Γ, Y) gilt ist, daß die gesamte Theorie die Stabilität von Γ vorausgesetzt hat.

Frage: Wenn (Γ, Y) stabil ist, gibt es dann ein stabiles Γ′ ⊂ Δ_{1}^{∗}, so daß (Γ, Y) und (Γ′, Y) äquivalent sind?

Im elementaren Fall kann man die Frage positiv beantworten. Das heißt, daß dann (Γ, Y)-Freiheit der einzig mögliche Begriff von freier Fortsetzung für (Γ, Y)-Typen ist. Ich bin überzeugt, daß das auch dann der Fall ist, wenn G ein Δ_{1}-Pseudomonster ist.

2.3.4 Globale Symmetrie und Stabilität

Es sei Γ stabil. Ich habe nun die meisten Ergebnisse aus den Grundlagen der klassischen Stabilitätstheorie auf den lokalen und nichtelementaren Rahmen verallgemeinert. Was fehlt, ist Symmetrie in der folgenden Form:

3.33 Definition Die Γ-Freiheit ist symmetrisch, wenn für alle a, b und A gilt: tp_{Γ}(a/Ab) ist genau dann frei über A, wenn tp_{Γ^{−1}}(b/Aa) frei über A ist.^{41}

Diese Form der Symmetrie folgt in stabilen Theorien aus der im Symmetriesatz 2.23 beschriebenen lokalen Symmetrie. Leider stimmt das nicht im Falle der lokalen Stabilität. Ich werde zeigen (3.36), daß es immer ”gute Realisierungen“ des lokalen Typs gibt, so daß Symmetrie gilt. Dann beschreibe ich die Eigenschaften Striktheit und Perfektheit; sie sind gemeinsam stark genug, um Symmetrie zu garantieren. In 3.50 zeige ich die folgende erstaunliche (und neue) globale Konsequenz der Symmetrie: wenn Γ-Freiheit symmetrisch ist, so impliziert sie Γ′-Freiheit für jedes stabile Γ′ ⊂ Δ_{1}^{∗}. Abschließend gebe ich eine Definition für globale Stabilität und zeige, daß sich dann das folgende klassische Ergebnis auf Δ_{1}-Pseudomonster läßt: T ist genau dann stabil, wenn Nichtteilen eine stabile Unabhängigkeitsrelation induziert.

Beispiel: ID_{x}-Freiheit ist genau dann symmetrisch, wenn stets acl(A) = A gilt.

Ich nenne Γ gut, wenn Γ abgeschlossen gegen Variablensubstitution für spezielle Variable und für Parametervariable ist (wobei natürlich die Variablentrennung respektiert werden muß) und außerdem die Formeln x = y und x = x′∧y = y′ (mit speziellen Variablen x und x′) enthält. Wenn Γ gut ist, so ist auch Γ^{−1} gut und man kann spezielle Dummyvariable verwenden: mit φ(x_{1}) ist auch φ(x_{1}) ∧ x_{2} = x_{2} eine Γ-Formel. Aus dieser Überlegung folgt, daß tp_{Γ}(ā/BC) genau dann frei über B ist, wenn tp_{Γ}(a/BC) frei über B ist für jedes endliche Teiltupel a von ā.

3.34 Lemma Es sei Γ gut und ā eine Aufzählung der Menge A, dann sind äquivalent:

(1) tp_{Γ}(ā/BC) ist frei über B.

(2) Für jedes endliche Tupel a aus A ist tp_{Γ}(a/BC) frei über B.

41Man kann das natürlich auch allgemeiner für (X, Γ, Y)-Typen und (Y, Γ^{−1}, X)-Typen formulieren. Darauf verzichte ich im folgenden.

Beweis Ist φ(x_{1}, ..., x_{n}) eine Γ-Formel und Γ-frei über B, so ist auch φ(x_{π(1)}, ..., x_{π(n)}) eine Γ-Formel und Γ-frei über B für jedes π ∈ S_{n}. Wegen der vorangegangenen Überlegung über Dummyvariable reicht das. □

Es sei für den Rest des Kapitels Γ gut.

Notation: A | ⌣_{B}^{Γ} C :⇔ tp_{Γ}(a/BC) ist frei über B für jedes endliche Tupel a aus A.

Es seien A, B, C und D beliebig, dann gelten die folgenden Rechenregeln:

• A | ⌣_{B}^{Γ} C ⇔ a | ⌣_{B}^{Γ} c für alle endlichen Tupel a in A und c in C ⇔ A_{0} | ⌣_{B}^{Γ} C_{0} für alle Teilmengen A_{0} ⊂ A und C_{0} ⊂ C.

• A | ⌣_{B}^{Γ} CD ⇒ A | ⌣_{BC}^{Γ} D.

• A | ⌣_{B}^{Γ} C und A | ⌣_{BC}^{Γ} D ⇒ A | ⌣_{B}^{Γ} D.

Die folgenden beiden Regeln gelten i.a. nicht:

• A | ⌣_{B}^{Γ} C ⇒ AB | ⌣_{B}^{Γ} C.

• A | ⌣_{B}^{Γ} C ⇒ C | ⌣_{B}^{Γ^{−1}} A.

Beispiel (unsymmetrische quantorenfreie Freiheit): Es sei f die zykelfreie Surjektion ohne endliche Fasern auf der Menge M, M = (M, Graph(f)) als relationale {R}-Struktur (R zweistellig) und Γ = QF^{∗}. M ist stabil, insbesondere ist QF^{∗} stabil. Die einzigen (negativ-) atomaren QF^{∗}-Formeln über M, die nicht frei über ∅ sind, sind Rxm, Rmx und x = m (m ∈ M). Es sei p ein nichtalgebraischer QF^{∗}-Typ über M in einer Variablen: p ist genau dann frei über ∅, wenn Rxm ∉ p für alle m ∈ M. Es sei p frei über ∅ und a^{⊧}p, dann gilt f(a) ∉ M und a | ⌣^{Γ} M. Andererseits kann f^{n}(a) ∈ M für ein n > 1 gelten, dann ist M ∩ dcl(a) ⊄ acl(∅), also M |̸ ⌣^{Γ} a und dcl(a) |̸ ⌣^{Γ} M. Diese Tatsachen liegen aber außerhalb der quantorenfreien Information von a über M. Es gibt aber a′^{⊧}p, so daß M | ⌣^{Γ} a′ und acl(a′) | ⌣^{Γ} M – einfach ein solches mit f^{n}(a′) ∉ M für alle n. Wenn man also die ”richtige“ L(M)-Vervollständi-gung von p betrachtet, so verhält sich alles gut. Dieses Phänomen zeigt sich gleich allgemeiner in 3.36.

3.35 Lemma Es sei C ⊂ A ∩ B: ist A | ⌣_{C}^{Γ} B, so ist jede strikte Formel aus tp_{Γ^{−1}}(B/A) frei über C.

Beweis Es sei φ(a, y) eine strikte Γ^{−1}-Formel in tp(B/A), es reicht zu zeigen, daß φ(a, y) ∪ tp_{φ^{−1}}(b/C) frei über C ist. Es gelte etwa φ(a, b) für ein b ∈ B. φ(x, y) ist eine boolesche Kombination von Formeln der Form φ_{i}^{−1}(x_{i}; y) ∈ Γ^{−1}. Da Γ gut ist unter Substitution von speziellen Variablen, ist jedes φ_{i}(x_{i}; y) ∈ Γ und φ(x, b) ist eine strikte Γ-Formel. Weil tp_{Γ}(a/B) frei über C ist, ist tp_{φ}(a/C) ∪ φ(x, b) frei über C. Wegen lokaler Symmetrie ist dann auch φ(a, y) ∪ tp_{φ^{−1}}(b/C) frei über C. □

Daß ein strikter Typ frei ist besagt nicht viel, weil man keine Kontrolle über die Definitionen hat und wir bekommen auch keine Symmetrie auf der Ebene der strikten Typen.^{42} Das Folgende scheint mir die best mögliche Annäherung an die Symmetrie:

3.36 Satz Es sei A ⊂ B und a | ⌣_{A}^{Γ} B. Es gibt ein a′^{⊧}tp_{Γ}(a/B), so daß

(i) acl(Aa′) | ⌣_{A}^{Γ} B und (ii) B | ⌣_{A}^{Γ^{−1}} acl(Aa′).

Beweis Es sei V ein Obermodell von Aa und V′a′^{⊧}stp_{Γ}(Va/A)|B. Wegen Stationarität gilt dann a′^{⊧}tp_{Γ}(a/B). Wegen a′ ∈ V′ und V′ | ⌣_{A}^{Γ} B gilt insbesondere (i) und aus dem letzten Lemma folgt, daß der strikte Typ von tp_{Γ^{−1}}(B/V) frei über A ist. Weil aber tp_{Γ^{−1}}(B/V) durch strikte Formeln axiomatisiert ist, gilt B | ⌣_{A}^{Γ^{−1}} V′ und insbesondere (ii). □

Die Eigenschaften (i) und (ii) gelten dann auch für alle a′′ ≡_{B} a′ und man kann a′ sogar so wählen, daß a′ ≡_{A} a (denn ∃-tp(a/A)∪stp_{Γ}(Va/A) ist frei über A). Mit Γ = L folgt aus dem Satz die globale Symmetrie in stabilen Theorien. Ich verwende bald folgendes Resultat, das man mit dem Beweis von (i) sofort einsieht:

3.37 Bemerkung Es sei a | ⌣_{C}^{Γ} B.

Wenn es A ⊃ Ca gibt, so daß A | ⌣_{C}^{Γ} B und Γ^{−1} strikt über A ist, dann gilt B | ⌣_{C}^{Γ^{−1}} a.

Striktheit und Perfektheit

Wenn Γ und Γ^{−1} äquivalent sind, also dieselben Formeln definieren, so ist | ⌣^{Γ} = | ⌣^{Γ^{−1}} und aus der Symmetrie der Γ-Freiheit folgt auch die der Γ^{−1}-Freiheit. Ich beschränke mich auf diesen Fall und zeige, daß Striktheit und ”Perfektheit“ zusammen hinreichen um Symmetrie zu garantieren.

3.38 Lemma Es seien Γ und Γ^{−1} äquivalent und Γ sei strikt.

(1) Für alle A, B, C mit A ⊂ B ∩ C gilt: C | ⌣_{A}^{Γ} B ⟺ B | ⌣_{A}^{Γ} C.

(2) Γ-Freiheit ist genau dann symmetrisch, wenn

(*) es gilt stets: a | ⌣_{A}^{Γ} B ⇒ aA | ⌣_{A}^{Γ} B.

Beweis Es ist | ⌣^{Γ} = | ⌣^{Γ^{−1}}, denn Γ und Γ^{−1} sind äquivalent. (1) folgt aus 3.37 und (2) folgt aus (1). □

Ich gebe nun eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit von (*). Eine Formel ψ(x_{0}, ..., x_{n}) nenne ich perfekt stabil (der Begriff ist angelehnt an den Begriff der perfekten Gleichung in [JuKr]), wenn für jedes Teiltupel x̄ aus x_{0}, ..., x_{n} ψx̄(x_{0}, ..., x_{n}) stabil ist. Γ nenne ich perfekt stabil, wenn jede Formel aus Γ perfekt stabil ist.^{43} Dann sind Γ und Γ^{−1} äquivalent. Zum Beispiel ist in der Theorie eines Körpers K für jedes Polynom f ∈ K[X_{1}, ..., X_{n}] die Formel f(x_{1}, ..., x_{n}) = x_{0} perfekt stabil.

42Ist tp_{Γ}^{strikt}(A/B) frei über C, so können wir über tp_{Γ^{−1}}^{strikt}(B/A) nicht viel aussagen.

43Das ist genau dann der Fall, wenn Γ = Λ^{∗} für ein Λ ⊂ L. Es würde eauch reichen zu fordern: Γ ist stabil und äquivalent zu einer Familie der Form Λ^{∗}.

3.39 Lemma Es sei Γ perfekt stabil, dann ist (*) erfüllt.

Beweis Es sei A ⊂ B, a | ⌣_{A}^{Γ} B, c ein Tupel in A und ψ(xx′, b) ∈ tp_{Γ}(ac/B). Dann ist ψ(xx′, b) ≡ bc_{i}(φ_{i}(xx′, b)) für geeignete φ_{i} ∈ Γ, und weil Γ perfekt ist, ist bc_{i}(φ_{i}(x, cb)) eine strikte Γ(B)-Formel und folglich ist ψ(x, cb) eine Γ(B)-Formel. Deshalb ist ψ(x, cb) ∈ tp_{Γ}(a/B) und teilt nicht über A, da a | ⌣_{A}^{Γ} B. Dann teilt auch ψ(xx′, b) nicht über A: ist (b_{i})_{ω} A-indiscernible in tp(b/A) und {ψ(xx′, b_{i}) | i < ω} inkonsistent, so ist auch {ψ(x, cb_{i}) | i < ω} inkonsistent und (cb_{i})_{ω} ist indiscernible in tp(cb/A), da c ∈ A. tp_{Γ}(ac/B) ist also frei über A. □

Die beiden Lemmas zeigen:

3.40 Satz Ist Γ strikt und perfekt stabil, so ist Γ-Freiheit symmetrisch.

Leider ziehen diese beiden Bedingungen in verschiedene Richtungen: um Γ strikt zu machen, müssen wir es vergrößern, für die Perfektheit verkleinern. Beides zusammen hat man leider selten.

Beispiel: ID_{x} ist perfekt stabil, aber nicht strikt. ACL_{x} ist strikt und stabil, aber nicht perfekt. ID_{x} und ACL_{x} sind äquivalent.

Ich wende diese Ergebnisse nun auf die Familie aller stabilen Δ_{1}^{∗}-Formeln an.

3.41 Lemma Es sei G ein Δ_{1}-Pseudomonster und Σ die Familie der stabilen Δ_{1}^{∗}-Formeln: Σ ist strikt und äquivalent zu Σ^{−1}.

Beweis Es sei φ(x, a) eine Σ(A)-Formel, etwa φ(x, a) ≡ ψ(x, b) für ein ψ ∈ Σ (Σ ist abgeschlossen gegen boolesche Kombinationen). Die universelle Formel ∀x (φ(x, y) ↔ ψ(x, z)) ist dann (in jedem großen Modell, siehe 2.12) Vereinigung von Δ_{1}-Formeln. Es gibt also eine Δ_{1}-Formel χ′(y, z) ∈ tp(ab), so daß χ′(y, z) → ∀x (φ(x, y) ↔ ψ(x, z)). ∃zχ′(y, z)^{U} ist dann (in jedem großen Modell, siehe 2.12) Schnitt von Δ_{1}- Mengen χ_{i}(y)^{U}. Die Familie der χ_{i} sei abgeschlossen gegen endliche Konjunktionen. Es sei φ_{i}(x, y) := φ(x, y) ∧ χ_{i}(y).

Behauptung: ein φ_{i} ist stabil.

Beweis: falls nicht, so ist {φ_{i}^{k<l}(x_{k}, y_{l}) | k, l ∈ ℤ, i ∈ I} konsistent, also erfüllt in U, etwa durch (c_{k}), (a_{l}). Diese Folgen bezeugen dann auch, daß φ(x, y) ∧ ∃zχ′(y, z) die Ordnungseigenschaft in U hat und es gilt für alle l: ∃xχ′(x, a_{l}). Es gibt also zu jedem a_{l} ein b_{l}, so daß χ′(a_{l}, b_{l}) also φ(x, a_{l}) ≡ ψ(x, b_{l}). (c_{k}) und (b_{l}) bezeugen dann die Ordnungseigenschaft von ψ, das geht nicht.

Für ein i ist also φ_{i} eine stabile Δ_{1}-Formel und offensichtlich ist φ_{i}(x, a) ≡ ψ(x, b). □

Der Beweis illustriert, wie man höhere Quantifikationen in Δ_{1}-Universalbereichen vermeiden kann.^{44} Ein ähnliches Argument zeigt:

44Der elementare Beweis wäre einfacher, würde aber eine ∃∀-Quantifikation benötigen.

3.42 Bemerkung Es sei G ein Δ_{1}-Pseudomonster, dann ist Σ_{g}, die Familie aller Δ_{1}^{∗}-Gleichungen, strikt und äquivalent zu Σ_{g}^{−1}.^{45}

3.43 Lemma Es sei G ein Δ_{1}-Pseudomonster und Σ die Familie aller stabilen Δ_{1}^{∗}- Formeln (aller Δ_{1}^{∗}-Gleichungen).

(1) Für alle A, B, C mit A ⊂ B ∩ C gilt: C | ⌣_{A}^{Σ} B ⟺ B | ⌣_{A}^{Σ} C.

(2) Σ-Freiheit ist genau dann symmetrisch, wenn

(*) es gilt stets: a | ⌣_{A}^{Σ} B ⇒ aA | ⌣_{A}^{Σ} B.

Beweis Die Voraussetzungen von 3.38 sind erfüllt. □

3.44 Satz Es sei G ein Δ_{1}-Pseudomonster und Δ_{1}^{∗} stabil. Dann ist Δ_{1}^{∗}-Freiheit symmetrisch.

Beweis Die Voraussetzungen von 3.40 sind erfüllt. □

Ich werde in den Anwendungen dafür argumentieren, daß in den bekannten Beispielen von symmetrischer QF^{∗}-Freiheit QF^{∗} strikt ist über algebraisch abgeschlossenen Mengen. Deshalb scheint mir eine leicht abgeänderte Version der obigen Sachverhalte wichtiger:

3.45 Satz Wenn Γ und Γ^{−1} äquivalent sind und strikt über algebraisch abgeschlossenen Mengen, so ist Γ-Freiheit genau dann symmetrisch, wenn

(**) es gilt stets: a | ⌣_{A}^{Γ} B ⇒ acl(Aa) | ⌣_{A}^{Γ} B.

Beweis Wie 3.38.^{46} □

Ich fasse Striktheit als eine ”lokal–global Eigenschaft“. Ebenso ist die Symmetrie der lokalen Freiheit eine ”lokal–global Eigenschaft“, wie ich nach dem folgenden Exkurs zeigen werde. Ich vermute, daß Striktheit über algebraisch abgeschlossenen Mengen im wesentlichen äquivalent ist zur Symmetrie der lokalen Freiheit.

Exkurs: Unabhängigkeitsrelationen in G

Ich möchte die Relation ⊏_{(Γ,Y)} nun auf L-Typen anwenden – aber nur auf solche, die in G realisiert sind: auf G-Typen.

3.46 Definition Sind p und q G-Typen, so p ⊏_{(Γ,Y)} q, wenn p ↾ (Γ, Y) ⊏_{(Γ,Y)} q ↾ (Γ, Y).

3.47 Lemma Die Relation ⊏_{(Γ,Y)} auf den G-Typen ist eine Fortsetzungsrelation für G-Typen. Sie erfüllt bis auf Symmetrie alle Eigenschaften einer Unabhängigkeitsrelation in G.^{47} Beweis Bis auf (Erweiterung) ergeben sich alle Eigenschaften aus der Definition und den bekannte Eigenschaften der (Γ, Y)-Freiheit.

45Was eine Gleichung ist, sage ich in 4.6. Gleichungen sind stabil.

46Man beachte jedoch, daß Perfektheit nicht mehr ausreicht, um (**) zu garantieren.

47siehe Definitionen 2.1.1 und 1.2.

Behauptung: jeder G-Typ über A ⊂ B hat eine (Γ, Y)-freie Fortsetzung zu einem G-Typ über B.

Beweis: Es sei p ein G-Typ über A ⊂ B, p_{(Γ,Y)} die Restriktion von p auf (Γ, Y) und ∃-p der existenzielle Typ von p. Ist q_{(Γ,Y)} eine beliebige (Γ, Y)-freie Fortsetzung von p_{(Γ,Y)} nach S_{(Γ,Y)}(B), so ist q_{(Γ,Y)} konsistent mit ∃-p (Konsistenz, 3.5). ist q ⊃ ∃-p ∪ q_{(Γ,Y)} ein G-Typ über B, so ist p ⊏_{(Γ,Y)} q. □

3.48 Korollar Es seien Γ und Γ^{−1} äquivalent. ⊏_{Γ} (auf den G-Typen) ist genau dann eine Unabhängigkeitsrelation in G, wenn Γ-Freiheit symmetrisch ist.

Globale Konsequenzen der Symmetrie

Ich werde nun zeigen, daß aus der Symmetrie der Γ-Freiheit schon folgt, daß Γ-Freiheit Γ′-Freiheit impliziert für jedes stabile Γ′ ⊂ Δ_{1}^{∗}. Das ist ein neues Resultat und es stimmt leider nur, wenn (Γ, Y)-Freiheit ”kanonisch” ist. Im weiteren Sinne stammt die Strategie von Hans Scheuermann [Sch, Satz 1.7.4].

Ich nenne (Γ, Y)-Freiheit kanonisch in G, wenn für alle (Γ, Y)-Typen p über C ⊃ A∪B gilt: wenn p frei über A und auch über B ist, so ist p frei über acl(A) ∩ acl(B).

Eine acl-Morleyfolge über A ist eine unendliche A-Indiscerniblefolge a_{I}, so daß für alle endlichen Teilfolgen āb̄ von a_{I} gilt: acl(Aā) ∩ acl(Ab̄) = acl(A).

3.49 Lemma Es sei (Γ, Y)-Freiheit kanonisch. Jede acl-Morleyfolge über A ist eine (Γ, Y)-Morleyfolge über A.

Beweis Es sei a_{I} eine acl-Morleyfolge über A und es seien b_{<ω} und c_{<ω} Folgen und a_{∞} ein Tupel, so daß b_{<ω}c_{<ω}a_{I}a_{∞} eine A-Indiscerniblefolge ist. Dann ist das auch eine acl-Morleyfolge über A und es gilt acl(Ab_{<ω}) ∩ acl(Ac_{<ω}) = acl(A). Wir müssen zeigen, daß a_{I} (Γ, Y)-unabhängig über A ist, dazu reicht es zu zeigen, daß q := tp_{(Γ,Y)}(a^{∞}/Ab_{<ω}c_{<ω}a_{I}) frei über A ist. Wegen 3.19 ist q frei über b_{<ω} und weil c_{<ω}a_{I}a_{∞} eine Ab_{<ω}-Indiscerniblefolge ist, ist q auch frei über c_{<ω} (wieder mit 3.19). Weil nun (Γ, Y)-Freiheit kanonisch ist, ist q auch frei über acl(b_{<ω}) ∩ acl(c_{<ω}) ⊂ acl(A), also über A. □

3.50 Satz Es sei Γ gut und kanonisch. Wenn Γ-Freiheit symmetrisch ist und Γ′ eine Familie von stabilen Δ_{1}^{∗}-Formeln, so gilt für jeden partiellen existenziellen Typ Ψ und jede Parametermenge A:

Wenn Ψ Γ-frei ist über A, so ist Ψ auch Γ′-frei über A.

Beweis Es sei Ψ über B und Γ-frei über A, dann gibt es einen Γ-Typ tp_{Γ}(a/B), der Γ-frei über A ist und mit a^{⊧}Ψ. Es sei a_{I} eine unendliche Γ-Morleyfolge über B mit a_{i} ≡_{B} a. Wegen 3.23 ist das auch eine Γ-Morleyfolge über A.

Behauptung: a_{I} ist eine acl-Morleyfolge über A.^{48}

Beweis: Es sei āb̄b eine Teilfolge aus a_{I} und es gelte b̄ | ⌣_{A}^{Γ} ā. Wegen b | ⌣_{A}^{Γ} āb̄ und Monotonie gilt b | ⌣_{Ab̄}^{Γ} ā. Aus globaler Symmetrie folgt ā | ⌣_{A}^{Γ^{−1}} b̄ und ā | ⌣_{Ab̄}^{Γ^{−1}} b, also ā | ⌣_{A}^{Γ^{−1}} b̄b und wieder mit Symmetrie bb̄ | ⌣_{A}^{Γ} ā. Mit Induktion schließe ich, daß für alle endlichen Teilfolgen āb̄ von a_{I} gilt: b̄ | ⌣_{A}^{Γ} ā. Dann gilt auch b̄ | ⌣_{A}^{Γ} acl(Aā) und mit Symmetrie acl(Aā) | ⌣_{A}^{Γ^{−1}} b̄ und dann acl(Aā) | ⌣_{A}^{Γ^{−1}} acl(Ab̄), also wieder mit Symmetrie acl(Ab̄) | ⌣_{A}^{Γ} acl(Aā). Weil Γ die Identität enthält folgt acl(Aā)∩acl(Ab̄) = acl(A) und damit die Behauptung.

Wegen des vorigen Lemmas ist a_{I} eine Γ′-Morleyfolge über A. Weil a_{I} B-indiscernible ist, folgt wieder aus 3.23, daß tp_{Γ′}(a/A) Γ′-frei über A ist. Ψ ist also konsistent mit einem Γ′(B)-Typ, der frei über A ist und damit selber Γ′-frei über A. □

Die Symmetrie der Γ-Freiheit wurde nur verwendet um zu zeigen, daß

(*) jede Γ-Morleyfolge über A ist eine acl-Morleyfolge über A.

Man kann die Voraussetzung an Γ also sogar noch abschwächen: schon aus (*) ergibt sich diese ”globale Konsequenz“ der Satzes.^{49} Versteht das jemand???

3.51 Korollar Es sei Γ gut und T modellvollständig mit schwacher Imaginärenelimination. Wenn Γ symmetrisch ist und Γ′ eine Familie von stabilen L^{∗}-Formeln, so gilt stets:

Wenn Π Γ-frei ist über A, so ist Π auch Γ′-frei über A.

Beweis Wir sind in der elementaren Situation, es ist zu zeigen, daß Γ kanonisch ist. Es sei p ein Γ-Typ über C ⊃ A ∪ B und frei sowohl über A als auch über B.

Behauptung: p ist frei über A als auch über acl(A) ∩ acl(B).

Beweis: Es sei p̃ ein starker Typ von p, der ist dann fast definierbar sowohl über A als auch über B. Es sei ē ∈ T^{eq} die kanonische Basis von p̃ (bestehend aus den kanonischen Parametern der φ-Definitionen von p̃). Wegen schwacher Imaginärenelimination gibt es ein Tupel d̄∈ T, so daß acl^{eq}(d̄) = acl^{eq}(ē). Weil ē ∈ acl^{eq}(A), ist d̄∈ acl(A), entsprechend d̄∈ acl(B), also d̄∈ acl(A)∩acl(B). Dann ist ē ∈ acl^{eq}(acl(A)∩acl(B)) und deshalb ist p̃ fast definierbar über acl(A) ∩ acl(B). Damit folgt die Behauptung.

□

Globale Stabilität 3.52 Definition

48Nur hier verwende ich die Symmetrie der Γ-Freiheit.

49Die folgenden beiden Eigenschaften garantieren (*): (i) wenn (a_{i})_{i<ω} eine Γ-Morleyfolge über A ist, so auch (a_{kn}a_{kn+1}...a_{kn+(n−1)})_{k<ω} für jedes große n < ω und (ii) a | ⌣_{A}^{Γ} B ⇒ acl(Aa) | ⌣_{A}^{Γ} B.

(1) G heißt schwach stabil, wenn alle Δ_{1}^{∗}-Formeln stabil sind.

(2) G heißt stark stabil, wenn die folgende Relation eine stabile Unabhängigkeitsrelation in G induziert:

tp(a/A) ⊏^{nd} tp(a/B) :⇔ tp(a/A) ⊂ tp(a/B) und ∃-tp(a/B) G-teilt nicht über A

Es sei G stark stabil. Wegen lokalem Charakter und Stationarität über Modellen gibt es nicht viele ∃-G-Typen. Insbesondere gibt es nicht viele Δ_{1}-G-Typen und wegen des Stabilitätssatzes 2.18 ist Δ_{1}^{∗} stabil. G ist also schwach stabil.

3.53 Satz Es sei G ein Δ_{1}-Pseudomonster.

(1) Wenn G schwach stabil ist, so ist G stark stabil und die stabile Unabhängigkeitsrelation ⊏^{nd} ist gegeben durch Δ_{1}^{∗}-Freiheit.

(2) G ist genau dann stark stabil, wenn es eine stabile Unabhängigkeitsrelation in G gibt. Diese Unabhängigkeitsrelation ist dann identisch mit ⊏^{nd}.

Beweis

(1) In Δ_{1}-Universalbereichen sind die Δ_{1}^{∗}-Formeln strikt (Kapitel 1, 2.21). Ist G schwach stabil, so ist Δ_{1}^{∗} perfekt stabil. Aus 3.44 und 3.48 folgt, daß Δ_{1}^{∗}-Freiheit eine Unabhängigkeitsrelation in G induziert. Diese Unabhängigkeitsrelation ist sogar stabil: die Δ_{1}^{∗}-Typen über Modellen sind stationär und legen in Δ_{1}-Universal-bereichen vollständige G-Typen fest. Es bleibt noch zu zeigen, daß tp(a/A) ⊏^{nd} tp(a/B) ⇔ tp(a/A) ⊏_{Δ_{1}^{∗}} tp(a/B). Wegen 3.21 gilt tp(a/A) ⊏_{Δ_{1}^{∗}} tp(a/B) genau dann, wenn tp_{Δ_{1}^{∗}}(a/B) über A nicht teilt. Deshalb gilt ”⇒“. Gibt es umgekehrt eine Formel φ(x, b) ∈ ∃-tp(a/B), die über A teilt, so teilt auch tp_{Δ_{1}^{∗}}(a/B) über A, denn φ(x, b)^{G} = Φ(x, b)^{G} für ein Φ ⊂ tp_{Δ_{1}^{∗}}(a/b) (Kapitel1, 2.12) und mit {φ(x, b_{i}) |∈ I} ist auch {Φ(x, b_{i}) |∈ I} inkonsistent für jede Indiscerniblefolge b_{I} in tp(b/A). Mit Kompaktheit teilt dann ein ψ ∈ tp_{Δ_{1}^{∗}}(a/B) über A.

(2) Es sei nun ⊏ eine stabile Unabhängigkeitsrelation in G. Sind dann p ⊂ q Δ_{1}^{∗}- Typen, so wird durch p ⊏ q :⇔ p̄ ⊏ q̄ ein Begriff von freier Fortsetzung für Δ_{1}^{∗}-Typen definiert, wobei p̄ und q̄ die durch p und q festgelegten G-Typen sind. Wegen 3.31 ist Δ_{1}^{∗} stabil und ⊏=⊏_{Δ_{1}^{∗}} als Relation zwischen Δ_{1}^{∗}-Typen. Dann ist aber auch ⊏=⊏_{Δ_{1}^{∗}} als Relation zwischen G-Typen. Aus (1) folgt, daß G stark stabil ist und daß ⊏=⊏^{nd}. Die Umkehrung folgt auch aus (1). □

Der Satz ist die Verallgemeinerung des klassischen Resultats: ist T eine vollständige modellvollständige Theorie und G die Klasse der |L|^{+}-saturierten Modelle von T, so ist G genau dann stabil, wenn T stabil (im klassischen Sinn) ist (G ist ein Δ_{1}- Pseudomonster). T ist also genau dann stabil, wenn es eine stabile Unabhängigkeitsrelation in G gibt, diese Unabhängigkeitsrelation ist dann gegeben durch Nichtteilen.

Ich bin davon überzeugt, daß der Satz für beliebige ∃-Pseudomonster falsch ist – habe aber leider kein Gegenbeispiel. Im Falle der Δ_{1}-Pseudomonster haben wir also eine klare Definition und Charakterisierung der globalen Stabilität. Für den allgemeinen Fall der ∃-Pseudomonster scheinen die Dinge zur Zeit noch etwas unklar zu sein und es hat sich noch keine Definition für globale Stabilität durchgesetzt. Eine der zur Zeit gehandelten^{50} möglichen Definitionen ist die folgende:

Ein Paar (φ(x, y), φ^{∗}(x, y)) von miteinander inkonsistenten existenziellen Formeln (ohne Parameter) hat die Ordnungseigenschaft in G, wenn es Folgen (a_{i})_{i<ω} und (b_{i})_{i<ω} in U gibt, so daß i < j ⇒ φ(a_{i}, b_{j}) und i ≥ j ⇒ φ^{∗}(a_{i}, b_{j}).^{51} G ist stabil^{∗}, wenn kein solches Paar die Ordnungseigenschaft hat. Ist G stabil^{∗}, so auch sicher schwach stabil.

3.54 Lemma Es sei G ein Δ_{1}-Pseudomonster. G ist genau dann stabil^{∗}, wenn G stark stabil ist.

Beweis Es seien (a_{i})_{i<ω} und (b_{i})_{i<ω} Folgen in U und (φ(x, y), φ^{∗}(x, y)) ein Paar von miteinander inkonsistenten existenziellen Formeln. Wir können φ und φ^{∗} durch eine Δ_{1}-Formel trennen (Kapitel 1, 2.13). Wenn dann (φ(x, y), φ^{∗}(x, y)) die Ordnungseigenschaft hat, so hat auch diese Δ_{1}-Formel die Ordnungseigenschaft. G ist also nicht schwach stabil und wegen des vorigen Satzes auch nicht stark stabil. Ist umgekehrt G stabil^{∗}, so auch schwach stabil, also stark stabil nach dem vorigen Satz. □

Mit den üblichen Techniken kann man auch im instabilen^{∗} Fall viele ∃-Typen konstruieren. Dann kann G nicht stark stabil sein. Es gilt also stets: stark stabil ⇒ stabil^{∗} ⇒ schwach stabil.

Frage: Folgt aus der Stabilität^{∗} von G stets die starke Stabilität?

2.4 Anwendungen

Ich gebe nun zwei Anwendungen der bisher entwickelten lokalen Stabilitätstheorie. Zuerst nenne ich ein Kriterium dafür, wann eine Unabhängigkeitsrelation in G mit lokaler Freiheit übereinstimmt. Damit zeige ich, daß die übliche Unabhängigkeitsrelation für die generischen Automorphismen einer stabilen Theorie mit lokaler Freiheit zusammenfällt. Danach untersuche ich lokale Freiheit bezüglich Gleichungen. Außerdem werde ich im Anhang zeigen, wie sich die stabile Gruppentheorie in diesem Rahmen entwickeln läßt. Der Ansatz, die Parameter und Realisierungen auf eine typdefinierbare Menge eingeschränkt zu haben erlaubt es uns dann, für typdefinierbare Gruppen G die (G, Γ, G)-Stabilität zu betrachten.

2.4.1 Quantorenfreie Stabilität

Ich werde nun von einigen bekannten Unabhängigkeitsrelationen zeigen, daß sie mit der quantorenfreien Freiheit übereinstimmen. Das wäre offensichtlich, müßte man sich nicht Gedanken um die Striktheit machen: eine quantorenfreie Formel über A ist dasselbe, wie eine strikte QF^{∗}-Formel über A. Wir haben aber gesehen, daß ein lokaler Typ nicht frei sein muß, wenn sein strikter Typ es ist.

50Pillay hat sie erwähnt, er sagte, daß sei vielleicht schon bei Shelah zu finden sei.

51φ^{∗} übernimmt also die Rolle von ¬φ.

4.1 Satz Es sei | ⌣ eine Unabhängigkeitsrelation^{52} in G und Γ ⊂ Δ_{1}^{∗}, so daß die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: für alle A ⊂ B = acl(B) ⊂ U ∈ G und a, a′ aus G gilt:

(i) Wenn a | ⌣_{A} B und a′^{⊧}tp_{Γ}^{strikt}(a/B), dann a′ | ⌣_{A} B.^{53}

(ii) Wenn a | ⌣_{B} U, a′ | ⌣_{B} U und a ≡_{B} a′, dann a′^{⊧}tp_{Γ}(a/U). Dann gilt:

(1) Γ ist stabil.

(2) a | ⌣_{A} B ⟺ tp(a/B) ist Γ-frei über A für alle a, A ⊂ B.

(3) Jede fast A-invariante Γ-Formel äquivalent zu einer strikten Γ-Formel über acl(A).

Beweis

(1) und (2): a | ⌣_{A} B hängt nur von tp_{Γ}(a/B) ab: es sei a′^{⊧}tp_{Γ}(a/B). Da die Fortsetzungen von tp_{Γ}(a/B) nach acl(B) B-konjugiert sind gibt es σ ∈ Aut_{B}, so daß σ(a)^{⊧}tp_{Γ}(a′/acl(B)). Wenn a | ⌣_{A} B, so auch σ(a) | ⌣_{A} B und σ(a) | ⌣_{A} acl(B). Wegen (i) gilt dann a′ | ⌣_{A} acl(B), also a′ | ⌣_{A} B. Es sei nun tp_{Γ}(a/A) ⊏ tp_{Γ}(a/B) :⇔ a | ⌣_{A} B.

Behauptung: ⊏ ist ein Begriff von freier Fortsetzung auf Γ-Typen.

Beweis: Bis auf (Beschränke Multiplizität) folgen dann alle Eigenschaften eines Begriffs von freier Fortsetzung aus der Tatsache, daß | ⌣ eine Unabhängigkeitsrelation ist, (Beschränke Multiplizität) folgt aber aus (ii).

Aus 3.32 folgt dann (1) und wegen 3.31 ist a | ⌣_{A} B genau dann, wenn tp_{Γ}(a/B) Γ-frei über A ist. Das ist äquivalent dazu, daß tp(a/B) Γ-frei über A ist, also gilt (2).

(3) Es sei A = acl(A). Ich zeige zuerst, daß Γ strikt ist über A. Es sei φ(x) eine Γ(A)-Formel. Zu zeigen ist, daß φ äquivalent zu einer strikten Γ(A)-Formel ist. Mit Kompaktheit reicht es zu zeigen, daß jeder strikte Γ(A)-Typ, der mit φ konsistent ist, φ impliziert. Es sei also p ein mit φ konsistenter strikter Γ(A)-Typ.

Behauptung: p^{⊧}φ.

Beweis: Es sei a′^{⊧}p, dann gibt es a ≡_{A} a′, so daß a | ⌣_{A} U. Entsprechend sei b′^{⊧}p ∪ φ und b ≡_{A} b′, so daß b | ⌣_{A} U, dann gilt auch b^{⊧}φ. Wegen (ii) haben also a und b denselben Γ-Typ über U, deshalb gilt auch a^{⊧}φ, also auch a′^{⊧}φ.

Es sei nun φ eine fast A-invariante Γ-Formel. Wegen der gerade gezeigten Striktheit reicht es zu zeigen, daß φ A-invariant ist. Es sei also c^{⊧}φ und c′ ≡_{A} c.

Behauptung: c′^{⊧}φ.

Beweis: Es sei cc′ | ⌣_{A} V für ein geeignetes Modell V, dann ist φ(x) V-invariant und äquivalent zu einer Γ-Formel über V. Wegen (ii) haben c und c′ denselben Γ(V)-Typ, damit folgt die Behauptung. □

4.2 Korollar Es seien die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Starke Γ-Typen durch strikte Γ-Typen über algebraisch abgeschlossenen Mengen axiomatisiert und es gilt:

(*) a | ⌣_{A} B ⇔ es gibt eine strikte Γ-Formel ψ ∈ tp(a/acl(B)), die über A teilt.

52Ich habe in 1.2 eine Unabhänigkeitsrelation als Fortsetzungsrelation zwischen Typen definiert.

Es ist klar, wie man das äquivalent durch eine dreistellige Relation | ⌣ definiert.

53Ich sage dazu: | ⌣ hängt über algebraisch abgeschlossenen Mengen nur vom strikten Γ-Typ ab.

Beweis Aus (3) folgt sofort, daß starke Γ-Typen über A durch strikte Γ-Typen über acl(A) axiomatisiert sind. Es gilt also a | ⌣_{A} B genau dann, wenn der strikte Γ-Typ von a über acl(B) Γ-frei ist über A, wenn also keine seiner Formeln teilt über A (3.21). □

Das ist dann eine besonders schöne Situation, denn wir können ganz mit strikten Formeln arbeiten und auch auf starke Typen verzichten.^{54}

Anmerkung: Es wurde in verschiedenen Arbeiten angedeutet, daß für bestimmte Theorien etwa ”forken = lokales stabiles quantorenfreies forken“ ist. Wenn damit ”lokales forken“ im Sinne der in dieser Arbeit beschriebenen lokalen Freiheit gemeint war, dann scheint mir das Problem der Striktheit übersehen worden zu sein. Ich vermute der Grund dafür ist, daß die meisten bekannten Beispiele von einfachen Theorien, deren Unabhängigkeit durch stabile Formeln kontrolliert wird, in das im Satz beschriebene Bild passen. Das Korollar erklärt also, warum Striktheit bisher nicht beachtet werden mußte. Ich sehe Striktheit jedoch eine tiefliegende strukturelle Eigenschaft, welche gewissermaßen der tiefere Grund für die globale Symmetrie vieler lokaler Freiheitsrelationen ist.

Beispiele

Generische Automorphismen: Ich wende den Satz nun auf die generischen Automorphismen an. Es sei T eine vollständige stabile Theorie mit (QE) und (PAPA), | ⌣ sei die stabile Unabhängigkeitsrelation in T. σ sei ein generischen Automorphismus von T, ich arbeite in der zu σ gehörenden Vervollständigung: es sei G die Klasse der zu σ elementar äquivalenten generischen Automorphismen.

4.3 Definition Es seien a ein Tupel und A ⊂ B: a | ⌣_{A}^{σ} B :⟺ a_{σ} | ⌣_{A_{σ}} B_{σ}.

Diese Relation hängt nur vom T -Typ von A_{σ}a_{σ}b_{σ} ab, also nur vom (strikten) quantorenfreien α-Typ. Die induzierte Fortsetzungsrelation tp_{σ}(a/A) ⊏ tp_{σ}(a/B) : ⟺ a | ⌣_{A}^{σ} B ist eine Unabhängigkeitsrelation:

4.4 Lemma | ⌣^{σ} ist eine Unabhängigkeitsrelation für G.

Beweis Abgesehen von (Erweiterung) ergeben sich alle Axiome sofort aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften von | ⌣ (in T). Zu (Erweiterung):

Es seien p = tp_{σ}(c/A) und B ⊃ A, zu zeigen ist, daß es ein a gibt, so daß a | ⌣_{A}^{σ} B und σ^{⊧}p(a). Sei f ∈ Aut_{acl_{σ}(A_{σ})}, so daß f(c_{σ}) | ⌣_{A_{σ}} B_{σ}. Dann gilt für τ = ^{f}σ: acl(f(c_{σ})) = acl_{τ} (f(c)), τ_{A} = σ_{A} und f(c)^{⊧}_{τ} p. Also acl_{τ} (Af(c)) | ⌣_{acl_{σ}(A)} acl_{σ}(B) und wegen stationärer Amalgamierung (Kapitel 1, 3.5) gibt es dann ein generisches σ̃ ⊃ τ_{Af(c)} ∪ σ_{B}, dann σ̃, f(c)^{⊧}p, f(c) | ⌣σ̃ ; A B und σ̃ ≡_{B} σ. Wähle dann ein a, so daß σ, a ≡_{B} σ̃, f(c), das tut’s. □

54Ich sage nicht, daß Γ strikt ist!

4.5 Satz Es sei σ ein generischer Automorphismus. (1) QF_{α}^{∗} ist stabil und tp_{σ}(a/B) ist genau dann QF_{α}^{∗}-frei über A ⊂ B, wenn a | ⌣_{A}^{σ} B.

(2) Die strikten quantorenfreien α-Typen über α-algebraisch abgeschlossenen Mengen axiomatisieren starke Typen.

(3) Es gilt a | ⌣_{A}^{σ} B genau dann, wenn für alle α-quantorenfreien Formeln φ über acl(B) mit σ^{⊧}φ(a) gilt: φ teilt nicht über A.

Beweis | ⌣^{σ} erfüllt bezüglich Γ = QF_{α}^{∗} die Voraussetzungen des Lemmas oben:

(i) Nach Definition hängt | ⌣^{σ} über jeder Menge nur vom strikten QF_{α}^{∗}-Typ ab.

(ii) Es sei B = acl_{σ}(B) ⊂ C = acl_{σ}(C). Falls a | ⌣_{B}^{σ} C, a′ | ⌣_{B}^{σ} C und a und a′ denselben α-Typ über B in σ haben, so haben a_{σ} und a′_{σ} denselben Typ über B in T und es gilt a_{σ} | ⌣_{B} C und a′_{σ} | ⌣_{B} C. Mit Stationarität in T folgt dann a_{σ} ≡_{C} a′_{σ} in T, also haben a und a′ denselben strikten QF_{α}^{∗}-Typ über C in σ. Wenn also C der Träger einer elementaren Substruktur von σ ist, so haben a und a′ auch denselben QF_{α}^{∗}-Typ über C.

Nun folgen (1), (2) und (3) direkt aus dem Korollar oben. □

Pseudoendliche Körper: Es sei T die Theorie eines pseudoendlichen Körpers. Der algebraische Abschluß in T ist der relative algebraische Abschluß im Sinne der Körpertheorie und algebraische Unabhängigkeit im Sinne der Körpertheorie ist eine einfache Unabhängigkeitsrelation | ⌣ in T. | ⌣ stimmt mit quantorenfreier Freiheit überein und die quantorenfreien Formeln über algebraisch abgeschlossenen Mengen axiomatisieren starke Typen.^{55} Der Grund ist, daß | ⌣ die Voraussetzungen (i) und (ii) bezüglich der quantorenfreien Formeln erfüllt: (i) ist leicht zu sehen und für (ii) müssen wir uns nur überlegen, daß zwei Tupel, die in einem pseudoendlichen Körper F denselben Typ über einer (modelltheoretisch) algebraisch abgeschlossenen Menge A haben, den selben starken Typ in der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper haben. Das ist äquivalent dazu, daß F eine reguläre Körpererweiterung von A ist. Aber A ist sicher relativ algebraisch abgeschlossen in F und F ist perfekt. Daraus folgt, daß F/A regulär ist.

Reell abgeschlossene Körper: Die Unabhängigkeitsrelation in reell abgeschlossenen Körpern ist auch durch algebraische Unabhängigkeit im Sinne der Körpertheorie gegeben. Es gelten wie im vorigen Beispiel die Voraussetzungen (i) und (ii) bezüglich der quantorenfreien Formeln in der Körpersprache.

Random Graph: Die einfache Unabhängigkeitsrelation im Random Graph ist gegeben durch A | ⌣_{B} C ⇔ A ∩ C ⊂ B. Bezüglich der quantorenfreien Formeln in der leeren Sprache sind (i) und (ii) erfüllt.

Exkurs: Generische Expansionen

Die Argumente des letzten Abschnitts lassen sich in einem viel allgemeineren Rahmen wiederholen. Es sei T eine vollständige, modellvollständige stabile Theorie, in der Typen über algebraisch abgeschlossenen Mengen stationär sind. | ⌣ sei die stabile Unabhängigkeitsrelation in T. Es sei L^{∗} ⊃ L und T^{∗} eine induktive L^{∗}-Theorie, welche die Voraussetzung von 2.38 erfüllt. Dann sind die L-Redukte der generischen Modelle von T^{∗} generische Modelle von T und jedes generische Modell von T hat eine generische Erweiterung, die sich zu einem generischem Modell von T^{∗} expandieren läßt.

55Ich finde das gar nicht so offensichtlich, daß es zu einer quantorenfreien Formel, die in T fast A-invariant ist, eine äquivalente quantorenfreie Formel gibt mit Parametern aus acl(A).

G^{∗} sei die Klasse der generischen Modelle von T^{∗} und Γ die Familie aller L-Formeln mit jeder Aufteilung der Variablen. Dann ist jede Γ-Formel eine stabile Δ_{1}^{∗}-Formel in G^{∗} und wir können von Γ-Freiheit in G^{∗} sprechen. Nun sei | ⌣ die stabile Unabhängigkeitsrelation in T, acl^{∗} der algebraische Abschluß in generischen Modellen von T^{∗}. | ⌣^{∗} sei in G^{∗} folgendermaßen definiert: a | ⌣_{A}^{∗} B :⇔ acl^{∗}(Aa) | ⌣_{acl^{∗}(A)} acl^{∗}(AB). Dann gilt:

| ⌣^{∗} ist genau dann eine Unabhängigkeitsrelation in G^{∗}, wenn (Erweiterung) erfüllt ist. Wenn das der Fall ist, dann ist | ⌣^{∗}-Unabhängigkeit dasselbe, wie Γ-Freiheit und wir können starke Γ-Typen ersetzen durch strikte Γ-Typen über algebraisch^{∗} abgeschlossenen Mengen.

Begründung: Bis auf (Erweiterung) hat | ⌣^{∗} alle Eigenschaften einer Unabhängigkeitsrelation in G^{∗}, weil | ⌣ die entsprechenden Eigenschaften hat. Wenn | ⌣^{∗} eine Unabhängigkeitsrelation in G^{∗} ist, so sind auch die Voraussetzungen (i) und (ii) des vorigen Satzes erfüllt.^{56}

Alle mir bekannten Beispiele dieser Form, in denen | ⌣^{∗} (Erweiterung) erfüllt, erfüllen das folgende Kriterium, auch die generischen Automorphismen.

Kriterium:

(i) G^{∗} bestehe aus ∃-ACL-Universalbereichen. (ii) Für alle generischen Modelle V, U_{1} und U_{2} und alle A ⊂ U_{i} ⊂ V für i = 1, 2 gilt: Wenn U_{1} | ⌣_{A} U_{2} und wenn die U_{i} zu generischen Modellen U_{i}^{∗} von T^{∗} expandieren, so daß A zu einer gemeinsamen L^{∗}-Substruktur A^{∗} ⊂ U_{i}^{∗} wird, die in den U_{i}^{∗} algebraisch abgeschlossen ist, dann gibt es ein generisches Modell U ⊃ V, welches zu einem generischen Modell U^{∗} von T^{∗} expandiert, so daß U_{i}^{∗} ⊂ U^{∗}.

Wenn dieses Kriterium erfüllt ist, dann erfüllt | ⌣^{∗} (Erweiterung): Es seien a und A ⊂ B aus einem großen generischen Modell V^{∗} von T^{∗}. acl^{∗}(Aa), acl^{∗}(A) und acl^{∗}(B) seien die jeweiligen algebraischen Abschlüsse. Es sei U_{1}^{∗} ein generisches Untermodell, welches Ba enthält. Dann ist V = V^{∗} ↾ L ein großes generisches Modell von T und es gibt eine partielle elementare Abbildung f : U_{1} → V über acl^{∗}(A), so daß f(acl^{∗}(Aa)) | ⌣_{acl^{∗}(A)} acl^{∗}(B). Es sei U_{2}^{∗} := f(U_{2}^{∗}). Dann erfüllen V, U_{i}^{∗} und acl^{∗}(A) die Voraussetzungen von (ii), also gibt es ein generisches Modell U^{∗} von T^{∗} mit U_{i}^{∗} ⊂ U^{∗} und V ⊂ U^{∗} ↾ L. In U^{∗} gilt dann f(a) | ⌣_{A}^{∗} B und f(a) ≡_{A} a. Nun ist zwar U^{∗} nicht unbedingt eine Erweiterung von V^{∗}, aber die beiden Strukturen sind elementar äquivalent über U_{1}^{∗}, das reicht.

Beispiel: Betrachte das Beispiel aus Kapitel 1, 2.39, wobei T eine Theorie wie oben ist. Die generischen Modelle von T^{∗} sind ∃-ACL-Universalbereiche und man sieht leicht, daß auch (ii) des Kriteriums erfüllt ist. | ⌣^{∗} ist also eine Unabhängigkeitsrelation in G^{∗}. Diese Unabhängigkeitsrelation in G^{∗} ist sogar einfach, der Beweis läßt sich direkt von [ChPi, Theorem 2.7] verallgemeinern.

56Damit man für (ii) Stationarität in T anwenden kann beachte man, daß acl^{∗}-abgeschlossene Mengen auch acl-abgeschlossen sind.

Frage Wenn G^{∗} aus ∃-ACL-Universalbereichen besteht, ist dann | ⌣^{∗} eine Unabhängigkeitsrelation in G^{∗}?

2.4.2 Gleichungen

Ich begebe mich nun ausnahmsweise in den elementaren Fall und arbeite in einem (saturierten) Monstermodell C einer vollständigen Theorie. Ich werde die lokale Stabilitätstheorie auf die Familie der Gleichungen anwenden und zeigen, daß der entstehende Freiheitsbegriff mit dem Begriff des Srour-Nichtforkens übereinstimmt (siehe [Sr]). Ich gebe außerdem eine neue Charakterisierung des Begriffs der abgeschlossenen Menge. Diese Ergebnisse sind neu und erscheinen bald in einem gemeinsamen paper mit M. Junker ([JuKr]) im Journal of Symbolic Logic.

4.6 Definitionen Eine Formel φ(x; y) heißt Gleichung, wenn jeder Schnitt von (beliebig vielen) φ-Instanzen schon ein endlicher Schnitt dieser Instanzen ist. Eine abgeschlossene Menge ist eine durch eine Instanz einer Gleichung definierte Menge. Eine nichtleere definierbare Menge D heißt φ-irreduzibel, wenn sie sich nicht durch eine endliche Vereinigung von φ-Instanzen überdeckt werden kann.

4.7 Bemerkung (1) Ist φ(x, y) eine Gleichung, so auch φ^{−1}(x, y).

(2) Gleichungen sind stabil.

(3) Die Familie aller Gleichungen ist strikt.

Es sei φ(x, y) eine Gleichung und p ein φ-Typ über A. Dann ist der (globale) partielle φ-Typ {φ(x, c) | p^{⊧}φ(x, c)} durch endlich viele solcher φ(x, c) axiomatisiert. φ_{p}(x) sei die Konjunktion dieser Instanzen, das ist eine A-invariante φ-Formel, also φ_{p} ∈ p. Offensichtlich gilt

• φ_{p}(x) ist die kleinste^{57} positive boolesche Kombination von φ-Instanzen, die von p impliziert wird.

• (Monotonie) Falls q^{⊧}p, so auch φ_{q} ^{⊧}φ_{p}.

Man kann φ_{p} auch als den positiven φ-Typ von p auffassen. Ist φ ∈ Γ und q ein Γ-Typ, so sei φ_{q} := φ_{q↾φ}.

4.8 Definition Es sei q ein vollständiger Typ über B ⊃ A. q forkt nicht über A im Sinne von Srour, wenn für jede Gleichung φ gilt: φ_{q} ist fast A-invariant.

Das ist die Definition, die Srour und Hrushovski in dem unveröffentlichten Manuskript ”On Stable Non-equational Theories” verwenden und nicht die Originaldefinition aus [Sr].

57im Sinne der Inklusion der definierten Mengen.

Der stationäre Fall

Vorbemerkung: Es seien φ_{1}(x; y) und φ_{1}(x; y) stabil. Wenn Σ(x) ∪ {φ_{1}(x, a_{1}) ∨ φ_{2}(x, a_{2})} frei ist über A, so auch Σ(x) ∪ {φ_{i}(x, a_{i})} für ein i.

Begründung: Es gibt einen globalen {φ_{1}, φ_{2}}-Typ, der fast A-definierbar ist und konsistent mit Σ(x) ∪ {φ_{1}(x) ∨ φ_{2}(x)}. Dieser enthält ein φ_{i}(x) und bezeugt, daß auch Σ(x) ∪ {φ_{1}(x)} frei ist über A.

4.9 Lemma Es sei φ(x, y) eine Gleichung, p eine stationärer φ-Typ über A und D eine positive boolesche Kombination von φ-Instanzen: p ∪ D ist genau dann frei über A, wenn p^{⊧}D.

Beweis p ∪ φ(x, c) sei frei über A. Es gilt c′^{⊧}d_{p} für jedes c′^{⊧}stp(c/A) (p ist stationär), also Ψ := {φ(x, c′) | c′^{⊧}stp(c/A)} ⊂ p|C. Weil φ eine Gleichung ist ist Ψ äquivalent zu einer Konjunktion ψ von endlich vielen Formeln aus Ψ. Dann ist ψ ∈ p|C. Mit Ψ ist auch φ_{p} acl^{eq}(A)-invariant. Deshalb ist ψ fast A-invariant und weil p als stationärer Typ einen starken Typ axiomatisiert, gilt p^{⊧}ψ. Also gilt auch p^{⊧}φ(x, c). Diese Richtung gilt also für φ-Instanzen und wegen der Vorbemerkung gilt das dann auch für positive boolesche Kombinationen solcher. Die andere Richtung ist klar. □

Offensichtlich ist ∀x(φ_{p}(x) → φ(x, y)) eine schwache φ-Definition von p, sie ist sogar gut:

4.10 Lemma Es sei p ein stationärer φ-Typ über A:

(1) dp ≡ ∀x(φ_{p}(x) → φ(x, y)).

(2) Es sei A_{0} ⊂ A, dann sind äquivalent:

(i) p ist definierbar über A_{0}.

(ii) φ_{p} ist A_{0}-invariant.

(iii) φ_{p↾A_{0}} ≡ φ_{p}.

(3) φ_{p} ist φ-irreduzibel.

Beweis Wegen Stationarität können wir A = acl(A) annehmen.

(1) Für jedes c gilt wegen des vorigen Lemmas:

c^{⊧}dp ⟺ p ∪ φ(x, c) ist frei über A
⟺ p^{⊧}φ(x, c)
⟺ φ_{p}^{⊧}φ(x, c)
⟺ c^{⊧}∀x(φ_{p}(x) → φ(x, y))

(2), (i) nach (ii): ist dp über A_{0}, so ist wegen (1) auch ∀x(φ_{p}(x) → φ(x, y)) A_{0}- invariant. Das gilt dann auch für die Klasse der von p implizierten φ-Instanzen, damit folgt (ii). (ii) nach (iii): φ_{p} ist konsistent mit p ↾ A_{0}. Falls φ_{p} A_{0}-invariant ist, so ist φ_{p} äquivalent zu einer Formel ist p ↾ A_{0}. Daraus folgt p ↾ A_{0}^{⊧}φ_{p} und auch φ_{p↾A_{0}} ^{⊧}φ_{p}. Die andere Inklusion ist klar. (iii) nach (i) folgt aus (1).

(3) Falls φ_{p}^{⊧}φ(x, c_{1}) ∨ … ∨ φ(x, c_{k}), so ist p ∪ φ(x, c_{1}) ∨ … ∨ φ(x, c_{k}) frei über A und es gibt wegen der Vorbemerkung ein i, so daß p ∪ φ(x, c_{i}) frei ist über A. Aus dem Lemma folgt dann p^{⊧}φ(x, c_{i}), also gilt auch φ_{p}^{⊧}φ(x, c_{i}). □

Es folgt, daß für stationäre φ-Typen die Zuordnung P ↦ φ_{p} wohldefiniert und injektiv ist, wobei P die Parallelitätsklasse von p ist.

Für einen stationären φ-Typ p wissen wir nun, daß er genau dann frei ist über einer Menge A, wenn φ_{p} acl(A)-invariant ist.^{58} Das zeige ich nun auch für den nichtstationären Fall.

Der allgemeine Fall

Jetzt werde ich auch nicht stationäre Typen betrachten. Es sei p ∈ S_{φ}(A) und Q = {q_{1}, …, q_{k}} die Menge der starken Typen von p. Wegen Imaginärenelimination sind die starken Typen von p genau die Fortsetzungen von p nach acl(A) und wegen Stabilität gibt es nur endlich viele solche. Dann gilt

φ_{p} ≡ ⋁_{Q} φ_{q} und zwischen den φ_{q} gibt es keine Inklusionen.

Begründung: ⋁_{Q} φ_{q} ^{⊧}φ_{p} gilt wegen (Monotonie). Andererseits gibt es zu jedem a^{⊧}p ein q ∈ Q mit a^{⊧}q und deshalb auch a^{⊧}φ_{q}. Daraus folgt p^{⊧} ⋁_{Q} φ_{q} und deshalb gilt auch ⋁_{Q} φ_{q}, denn ⋁_{Q} φ_{q} ist eine positive boolesche Kombination von φ-Instanzen. Weil schließlich für verschiedene q und q′ aus Q d_{q} ^{⊧}d_{q′} nicht gelten kann, kann wegen (1) des vorigen Lemmas auch φ_{q} ^{⊧}φ_{q′} nicht gelten.

4.11 Lemma

(1) Es sei p ein φ-Typ über B ⊃ A. φ_{p} ist genau dann fast A-invariant, wenn für jeden starken Typ q von p gilt: φ_{q} ist fast A-invariant ist.

(2) φ_{p} ist genau dann fast A-invariant, wenn p frei über A ist.

Beweis

(1) Ist jedes φ_{q} fast A-invariant, so gilt das auch für ⋁_{Q} φ_{q}. Es sei andererseits φ_{p} fast A-invariant. Dann gilt für jeden Automorphismus σ, der acl^{eq}(A) fixiert: {σ(φ_{q}) | q ∈ Q} ist eine Familie von φ-irreduziblen Mengen und ⋁_{Q} σ(φ_{q}) ≡ ⋁_{Q} φ_{q}. Weil es zwischen den φ_{q} keine Inklusionen gibt zeigt das Standardargument über die Eindeutigkeit von irreduziblen Zerlegungen, daß {σ(φ_{q}) | q ∈ Q} = {φ_{q} | q ∈ Q}. Daraus folgt, daß jedes φ_{q} eine endliche Bahn hat unter Aut_{acl^{eq}(A)}, daß also jedes φ_{q} fast acl^{eq}(A)-invariant ist. Dann ist auch jedes φ_{q} fast A-invariant.

(2) Wegen (1) ist φ_{p} genau dann fast A-invariant, wenn alle q ∈ Q fast A-definierbar sind. Das ist äquivalent dazu, daß p frei über A ist. □

58Es ist allerdings nicht hinreichend, daß φ_{p} frei ist über A, denn die Nichtfreiheit eines φ-Typs wird i.a. nicht durch den positiven Teil bezeugt. Man betrachte etwa in ACF eine Gerade G durch den Nullpunkt mit irrationaler Steigung. Sie ist genau durch φ_{g} definiert, wobei g der generische Typ der Gerade ist. Da G den Nullpunkt enthält, ist φ_{g} frei über ∅, g hingegen nicht.

4.12 Satz Es sei q ein vollständiger Typ über B ⊃ A und Γ die Familie aller Gleichungen. q forkt genau dann nicht über A im Sinne von Srour, wenn q Γ-frei ist über A.

Beweis Wegen des vorigen Lemmas gilt: q forkt genau dann nicht über A im Sinne von Srour, wenn q ↾ φ frei über A ist für jede Gleichung φ. Das ist (nach Definition) äquivalent dazu, daß q Γ-frei über A ist. □

Charakterisierung der Abgeschlossenheit

Abschließend zeige ich noch, daß Abgeschlossenheit sogar durch die Eigenschaft aus 4.9 charakterisiert ist. Dazu eine Vorbemerkung: ist D eine definierbare Menge und I ⊂ Aut_{A}, so ist Π := {D^{σ} | σ ∈ I} schon dann ein endlicher Schnitt solcher D^{σ} (σ ∈ I), wenn Π A-invariant ist. Dann gilt nämlich Π ≡ ⋁_{p∈[Π]_{A}} p und mit Kompaktheit gibt es für jedes solche p ein ψ_{p} ∈ p, welches ein D^{σ} impliziert. Da nun die σ über A sind, gilt dann schon ψ_{p}^{⊧}Π, also ⋀_{σ∈I} D^{σ} ≡ ⋁_{p∈[Π]_{A}} ψ_{p}. Mit Kompaktheit folgt dann die Behauptung.

4.13 Satz Eine definierbare Menge D ist genau dann abgeschlossen, wenn sie Instanz einer stabilen Formel ist und wenn

(*) für alle Typen q über Modellen M gilt: ist q ∪ D frei über M, so p^{⊧}D.

Beweis Es sei φ(x, y) stabil. Falls φ(x, c) abgeschlossen ist, so gilt (*) für stationäre φ-Typen wegen 4.9. Damit folgt die eine Richtung. Die andere Richtung zeige ich indirekt. Es sei φ(x, c) nicht abgeschlossen.

Behauptung 1: es gibt eine φ^{−1}-Morleyfolge (c_{i})_{i<ω} über einem Modell M, so daß Π := {φ(x, c_{i}) | i < ω} nicht definierbar ist und c_{i} ≡ c.

Beweis: weil φ(x, c) nicht abgeschlossen ist, gibt es eine Folge von Indiscerniblen (c_{i})_{i<ω} in tp(c), so daß Π := {φ(x, c_{i}) | i < ω} nicht der Schnitt endlich vieler der φ(x, c_{i}) ist.^{59} Wegen 3.17 ist (c_{i}) dann φ^{−1}-unabhängig über einem endlichen Anfangsstück. Wir können deshalb annehmen, daß (c_{i}) eine φ^{−1}-Morleyfolge über einer Parametermenge A ist. Es sei M ⊃ A, dann gibt es wegen 3.17 ein A-Konjugat von (c_{i}), welches eine φ^{−1}-Morleyfolge über M ist, das beweist die Behauptung.

Behauptung 2: Π ist nicht M-invariant.

Beweis: sonst gilt q^{⊧}Π für jedes q ∈ S_{M}, welches mit Π konsistent ist. Mit Kompaktheit gibt es dann für jedes solche q ein ψ_{q} ∈ q, welches ein φ(x, c_{i}) impliziert. Da nun alle c_{i} über M denselben Typ haben, gilt dann schon ψ_{q} ^{⊧}Π, also Π ≡ ⋁_{q∈[Π]_{M}} ψ_{q}. Mit Kompaktheit ist Π dann definierbar und dann schon die Konjunktion endlich vieler der φ(x, c_{i}), Widerspruch.

Wegen Behauptung (2) gibt es ein q ∈ S(M) gibt, welches zwar mit Π konsistent ist, Π aber nicht impliziert. Da (c_{i}) eine φ^{−1}-Morleyfolge über M ist, folgt aus 3.21, daß q ∪ φ(x, c_{0}) frei ist über M. Wegen c_{0} ≡ c sind wir fertig. □

59Das ist nicht schwer zu sehen: falls für jede solche Indiscerniblefolge Π definierbar wäre, so stimmte das auch für jede Folge in tp(c) und mit Kompaktheit gäbe es ein ϕ(y) ∈ tp(c), so daß φ(x, y) ∧ ϕ(y) eine Gleichung ist. Siehe auch [JuLa].

104 KAPITEL 2. LOKALE STABILITÄTSTHEORIE

Anhang A

Generische Modelle

A.1 Existenziell abgeschlossene Strukturen

Die hier genannten Fakten sind Folklore, siehe etwa [Hodges, Kapitel 8]. Es sei M eine Struktur und A eine Erweiterung von M. M ist existenziell abgeschlossen in A, wenn jede Existenzaussage mit Parametern aus M, die in A erfüllt ist, schon in M erfüllt ist.

Fakt 1 M ist genau dann existenziell abgeschlossen in A, wenn sich A in eine elementare Erweiterung von M einbetten läßt.

Es sei K eine Klasse von Strukturen, M ist K-existenziell abgeschlossen, wenn M eine Erweiterung in K hat und wenn M in jeder Erweiterung A ∈ K existenziell abgeschlossen ist. Ist T eine Theorie, so ist M T -existenziell abgeschlossen, wenn M Mod(T)-existenziell abgeschlossen ist. Es sei E_{T} die Klasse der T -existenziell abgeschlossenen Strukturen.

Fakt 2 Die T -existenziell abgeschlossenen Strukturen sind genau die T_{∀}-existenziell abgeschlossenen Strukturen. Ist T induktiv, so gibt es T -existenziell abgeschlossene Strukturen und jede solche ist ein Modell von T.

1.1 Satz Es sind äquivalent:

(1) M ist T -existenziell abgeschlossen.

(2) Jeder in M realisierte existenzielle Typ ist ein maximaler existenzieller Typ von T.

(3) Jeder partielle Homomorphismus von M in ein Modell von T, der die existenziellen Formeln erhält, erhält auch die universellen Formeln.

Beweis Die Äquivalenz von (1) und (2) gilt wegen der folgenden Tatsache:

Behauptung: eine existenzielle Formeln über ā ∈ M ist genau dann in einem T - Obermodell von M realisiert, wenn sie konsistent ist mit T ∪ ∃-tp^{M}(ā).

Beweis: Es sei φ(x̄) eine existenzielle Formel. φ(ā) wird in einem T -Obermodell von M realisiert ⟺ T ∪ Diag(M) ∪ φ(ā) ist konsistent ⟺ für alle quantorenfreien ψ(x̄, ȳ) und alle b̄ aus M ist T ∪ ψ(ā, b̄) ∪ φ(ā) konsistent ⟺ für alle existenziellen ψ(x̄) ∈ ∃-tp^{M}(ā) ist T ∪ ψ(ā) ∪ φ(ā) konsistent ⟺ T ∪ ∃-tp^{M}(ā) ∪ φ ist konsistent.

(2) nach (3): ist f ein solcher partieller Isomorphismus, so ist der existenzielle Typ von ā enthalten im existenziellen Typ von f(ā). Wegen (2) haben ā und f(ā) denselben existenziellen Typ (in der jeweiligen Struktur), also erhält f die universellen Formeln.

(3) nach (2): betrachte solche partiellen Isomorphismen in ω-saturierte Modelle. □

1.2 Korollar

(1) Ist M T -existenziell abgeschlossen und A ≺ M, so ist auch A T -existenziell abgeschlossen.

(2) Es sei M eine |L|^{+}-∃-saturierte Struktur.^{1} M ist genau dann existenziell abgeschlossen in seiner eigenen Theorie, wenn jeder partielle Automorphismus von M, der die existenziellen Formeln erhält, auch die universellen Formeln erhält.

Beweis

(1) Die Eigenschaft (2) aus dem Satz vererbt sich auf elementare Substrukturen.

(2) M realisiert nach Voraussetzung alle ∃-Typen seiner Theorie (über ∅). Deshalb ist (2) aus dem Satz äquivalent dazu, daß jeder partielle Automorphismus von M, der die existenziellen Formeln erhält, auch die universellen Formeln erhält. □

Eine Theorie ist modellvollständig, wenn für alle Modelle A und B gilt: A ⊂ B, so A ≺ B.

Fakt 3: Es sei T eine beliebige Theorie, dann sind äquivalent:

(1) T ist modellvollständig.

(2) Alle Modelle von T sind existenziell abgeschlossen in T.

(3) Jede Formel ist in T äquivalent zu einer existenziellen Formel.

(4) Jede universelle Formel ist in T äquivalent zu einer existenziellen Formel.

Eine Theorie T^{∗} ist ein Modellbegleiter der Theorie T, wenn T^{∗} modellvollständig ist und sich jedes Modell von T zu einem Modell von T^{∗} erweitern läßt und umgekehrt.

Fakt 4: T^{∗} ist genau dann ein Modellbegleiter von T, wenn T^{∗} ein Modellbegleiter von T_{∀} ist. Jede Theorie hat (bis auf Äquivalenz) höchstens einen Modellbegleiter, dieser existiert genau dann, wenn E_{T}, die Klasse der in T existenziell abgeschlossenen Strukturen, axiomatisierbar ist – der Modellbegleiter axiomatisiert dann diese Klasse.

1Es reicht, daß M alle seine ∃-Typen (über ∅) realisiert. Das ist genau dann der Fall, wenn M alle seine quantorenfreien ⋆-Typen in höchstens |L|-vielen Variablen realisiert.

A.2 Universelle Theorien

Die hier dargestellten Ergebnisse habe ich mir selber überlegt. Ich glaube jedoch nicht, daß davon irgendetwas neu ist. Es sei T eine universelle Theorie. T hat wegen Kompaktheit genau dann die (JEP), wenn für alle universellen Formeln φ_{i} gilt: T ^{⊧}φ_{1}∨φ_{2} ⇒ T ^{⊧}φ_{1} oder T ^{⊧}φ_{2}. Syntaktisch gesehen bedeutet (JEP) also ,,universell prim” und diese Eigenschaft hängt nur von der universellen Theorie ab. Insbesondere hat die universelle Theorie einer Struktur stets (JEP). Die universellen Theorien mit (JEP) nenne ich Primtheorien. Soweit nicht anders gesagt, sind alle Theorien nun universell.

Ich nehme an, daß universelle Theorien abgeschlossen sind gegen universelle Konsequenzen. Sie sind dann partiell geordnet durch die Inklusion: T ≤ T′ :⇔ T ⊂ T′ ⇔ T′^{⊧}T. Vieles vom dem Folgenden gilt aus rein verbandstheoretischen Gründen, die Existenz von existenziell abgeschlossenen Erweiterungen jedoch gibt hier zusätzliche Information. Es ist T ≤ T′ genau dann, wenn sich jedes Modell von T′ in ein Modell von T einbetten läßt.

Ist T̃ eine Primtheorie, so sei T̃^{∗} := {¬φ | φ ∉ T̃}. Dann ist T̃^{∗} abgeschlossen unter Konjunktionen und konsistent mit T̃. Ist A^{⊧} T̃ ∪ T̃^{∗}, so T̃ ≡ A_{∀} und T̃^{∗} ≡ A_{∃}.^{2} Die Primtheorien sind genau die universellen Theorien von Strukturen. Eine Primtheorie ist in gewissen Sinne eine ,,vollständige” universelle Theorie.

Da T = ⋂_{A ⊧ T} A_{∀}, ist jede universelle Theorie Schnitt von Primtheorien. Ich werde nun zeigen, daß jede universelle Theorie eindeutig in ,,Primkomponenten” zerfällt. Eine Primkomponente von T ist eine minimale Primtheorie oberhalb von T.

2.1 Lemma Es sei T eine universelle Theorie.

(1) Es sei A eine Struktur mit universeller Theorie T̃. A ist genau dann T -existenziell abgeschlossen, wenn A T̃-existenziell abgeschlossen ist und T̃ eine Primkomponente von T.

(2) Zwischen T und jeder Primtheorie oberhalb von T liegt eine Primkomponente von T.

Beweis

(1) Wenn A T -existenziell abgeschlossen ist, so ist A ein Modell von T, also T ⊂ T̃ und A ist T̃-existenziell abgeschlossen. Außerdem ist T̃ eine Primtheorie. Ich zeige nun die Minimalität: ist M ein Modell von T, dessen universelle Theorie in T̃ enthalten ist, so läßt sich A in eine elementare Erweiterung N von M einbetten. Weil dann aber A in N existenziell abgeschlossen ist, haben beide Strukturen dieselbe universelle Theorie, also M^{⊧} T̃ und T̃ ist eine Primkomponente von T.

Ist umgekehrt T̃ eine Primkomponente von T, so hat jede Erweiterung von A in T schon T̃ als universelle Theorie. Ist A dann T̃-existenziell abgeschlossen, so auch T -existenziell abgeschlossen.

(2) Es sei etwa T̃ = B_{∀} für ein B^{⊧}T, dann läßt sich B zu einer T -existenziell abgeschlossenen Struktur A erweitern. Dann gilt T̃ ⊂ A_{∀} und wegen (1) tut’s A_{∀}. □

2A_{∀} ist die Menge der universellen Aussagen, die in A gelten; entsprechend A_{∃}.

2.2 Korollar T ist der Schnitt seiner Primkomponenten.

Es sei E_{T} die Klasse der T -existenziell abgeschlossenen Strukturen, E_{T} zerfällt disjunkt in Komponenten : zwei E_{T} -Strukturen liegen in derselben Komponente, wenn sie dieselbe universelle Theorie haben. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich gemeinsam in ein Modell von T einbetten lassen. Wegen (1) des Lemmas sind die Komponenten von E_{T} genau die ET̃, wobei die T̃ die Primkomponenten von T sind.

2.3 Korollar Die Klasse der generischen Modelle von T zerfällt disjunkt in die Klassen der generischen Modelle der T̃, wobei die T̃ die Primkomponenten von T durchlaufen.

In jeder Komponente sind alle generischen Modelle elementar äquivalent.

Man kann den Begriff der Primkomponente von T auch syntaktisch beschreiben: es sei T̃ eine Primtheorie oberhalb von T, T̃ ist genau dann eine Primkomponente von T, wenn T ∪ T̃^{∗}^{⊧} T̃.

Ein paar Worte noch zur Eindeutigkeit der Darstellung von T als Schnitt seiner Primkomponenten. ∩ liefert eine surjektive Zuordung von (ungeordneten) Antiketten von Primtheorien zu den universellen Theorien. Diese Zuordnung ist injektiv auf den endlichen Antiketten: ist I eine endliche Antikette von Primtheorien, und T̃ eine Primtheorie oberhalb ⋂ I, so zeigen die üblichen Argumente, daß T̃ schon oberhalb eines Elements aus I liegt. Daraus folgt auch, daß dann I genau die Menge der Primkomponenten von ⋂ I ist. Für unendliches I ist das falsch: in dem Beispiel auf Seite 14 ist I = (T_{i})_{i = 0 oder i prim} eine Antikette von Primtheorien, aber T_{0} ist keine Primkomponente von ⋂ I.

Anhang B

Lokale Stabilität

B.1 Der Rang in der Stonekorrespondenz

Ich wiederhole ein paar Grundlagen für die Einführung des Morleyrangs um zu rechtfertigen, daß er genauso für die booleschen Algebren der (Γ, Y)-Formeln verwendet werden kann, wie in den bisher bekannten Situationen.

Ein topologischer Raum heißt zerstreut, wenn jeder Punkt einen Cantor-Bendixson Rang hat (d.h. dieser Rang ist < ∞). Das ist genau dann der Fall, wenn jede nichtleere abgeschlossene Teilmenge A einen in A isolierten Punkt enthält. Ist X ein kompakter zerstreuter Raum, so hat jede abgeschlossene Teilmenge Y endlich viele Punkte von maximalem CBR, diese Anzahl ist der Cantor-Bendixson Grad von Y. Es sei eine B eine boolesche Algebra. Der Rang R ist die kleinste stetige Zuordnung B → Ord ∪ {∞}, so daß stets R(a) > α ⇔ R(a_{i}) ≥ α für unendlich viele paarweise disjunkte a_{i} < a. Ist R(a) = α, so ist der Grad D(a) die maximale (endliche) Anzahl von paarweise Disjunkten a_{i} ≤ a mit R(a_{i}) = α. Ich nenne B zerstreut, wenn jedes Element einen Rang < ∞ hat. Das ist genau dann der Fall, wenn es keinen binären Baum gibt (d.h. wenn es keine ordnungsumkehrende Einbettung f : ^{<ω}2 → B gibt, so daß stets f(μˆ 0) und f(μˆ 1) disjunkt sind). Die jeweiligen Paare (Rang, Grad) werden lexikographisch geordnet.

Es sei nun B eine boolesche Algebra und S ihr Stoneraum, RD und CBRD sei der jeweilige (Rang, Grad). In S hat man dann zwei Möglichkeiten, den (Rang, Grad) einer abgeschlossenen Teilmenge Π ⊂ S zu berechnen: es sei Y := {p ∈ Π | p hat maximalen CBR in Π}, Y ist wegen Kompaktheit endlich und nichtleer. Es sei α = CBR(p) für ein (jedes) p ∈ Y, dann ist CBRD(Π) := (α, |Y |). Andererseits ist RD(Π) := min{RD(φ) | Π ⊂ φ, φ clopen}.

1.1 Bemerkung

(1) Für jede abgeschlossene Teilmenge Π von S gilt: CBRD(Π) = RD(Π).

(2) Eine boolesche Algebra ist genau dann zerstreut, wenn ihr Stone-Raum es ist.

(3) Ist B_{0} eine boolesche Unteralgebra von B, so gilt für alle b_{0} ∈ B_{0}: RD_{B_{0}}(b_{0}) ≤ RD_{B}(b_{0}).

1.2 Lemma Es sei B eine boolesche Algebra. (1) R(a_{1} ∨ … ∨ a_{k}) ≥ α ⟺ R(a_{i}) ≥ α für ein i.

(2) Es sei D ⊂ B ein Erzeuger von B und R(a) ≥ α + 1: es gibt d ∈ D, so daß R(a ∧ d) ≥ α und R(a ∧ ¬d) ≥ α.

Beweis

(1) Induktion über α.

(2) Es sei R(a) ≥ α + 1, dann gibt es b ∈ B, so daß R(a ∧ b) ≥ α und R(a ∧ ¬b) ≥ α. Da D ein Erzeuger ist, ist b eine boolesche Kombination von Elementen aus D, etwa b = ⋁_{i} ⋀_{j} d_{ij}, wobei d_{ij} ∈ D oder ¬d_{ij} ∈ D. Wegen (1) gibt es dann ein i, so daß auch R(a ∧ ⋀_{j} d_{ij}) ≥ α. Da ¬b = ⋀_{i} ⋁_{j} ¬d_{ij}, ist dann auch R(a ∧ ⋁_{j} ¬d_{ij}) ≥ α. Es gibt also wieder wegen (1) ein j, so daß R(a ∧ ¬d_{ij}) ≥ α und wieder gilt R(a ∧ d_{ij}) ≥ α. □

Die meisten Rechenregeln für den Morleyrang kommen schon aus diesem allgemeinen Kontext.

B.2 Lokal stabile Gruppen

Ich schaue hier, wieviel sich von (den Grundlagen) der klassischen stabilen Gruppentheorie auf den lokalen Kontext verallgemeinern läßt. Die entscheidende Beobachtung ist, daß die Theorie nur davon abhängt, wie eine Gruppe G auf einer gegebenen Familie von Formeln operiert. Dazu muß diese Familie von Formeln abgeschlossen sein bezüglich der Operation von G. Bis auf eine kleine Unschönheit am Ende des Abschnitts klappt alles recht gut – auch ohne Symmetrie. Die Ergebnisse dieses Abschnitts habe ich nirgends aufgeschrieben gefunden.

B.2.1 Gruppenoperationen

Lokales

Ich modifiziere den Ansatz mit lokalen Formeln nun ein wenig. Es sei Γ eine Familie von Formeln der Form φ(x_{1}; x_{2}; ...; x_{n}), das heißt die x_{i} sind (disjunkte) Tupel von Variablen und φ hat eine feste Partition seiner Variablen. φ_{x_{i}}(x_{1}; x_{2}; ...; x_{n}) hat dann x_{i} als spezielle Variable und alle anderen Variablen sind Parametervariable, Γ_{x_{i}} ist die entsprechende Familie. Für jedes i sei X_{i} ein partieller Typ in der Stelligkeit von x_{i}, dann ist eine (Γ_{x_{i}}, X_{1}(x_{1}), ..., X_{n}(x_{n}))-Instanz eine Γ_{x_{i}}-Instanz, wobei die Parameter aus den X_{j} kommen (j ≠ i). So ergibt sich auch der Begriff der strikten (Γ_{x_{i}}, X_{1}, ..., X_{n})(A)-Formel und der (laxen) (Γ_{x_{i}}, X_{1}, ..., X_{n})(A)-Formel – ebenso die (strikten) (Γ_{x_{i}}, X_{1}, ..., X_{n})(A)-Typen, die sollen zusätzlich mit X_{i} konsistent sein. Es ist klar was es heißt, daß (Γ_{x_{i}}, X_{1}(x_{1}), ..., X_{n}(x_{n})) stabil ist. Wenn X_{i}(x_{i}) die Formel x_{i} = x_{i} ist, so lasse ich sie aus der Notation weg. Ich arbeite weiter in G.

Ein paar Anmerkungen zu existenziell definierbaren Funktionen: ist f(x̄) = y eine existenziell definierte Funktion, so ist dom(f) existenziell definiert und f ist Δ_{1} auf dom(f), d.h. es gibt eine universelle Formel φ(x̄, y), so daß dom(f)(x̄ → (f(x̄) = y ↔ φ(x̄, y)). Man kann für φ nämlich ∀y′(f(x̄) = y ∧ f(x̄) = y′ → y = y′) wählen. Ist dom(f) selber Δ_{1}-definierbar, so dann auch f(x̄) = y.

Es sei nun (G, X) eine existenziell typdefinierbare Gruppenoperation, die Operationen stammen dann von existenziell definierbaren Funktionen. Ich nehme aber an, daß die Operationen von Δ_{1}-definierbaren Funktionen kommen. Eine (G, X)-stratifizierte Formel ist eine Formel der Form φ(y · x, v) := ∃u (φ(u, v) ∧ x · y = u), wobei · die Operation von G auf X ist. Ist φ(u, v) Δ_{1}, so auch φ(y · x, v). G operiert auf den Mengen der Form Π ∧ φ(h · x, c), genauer: für g ∈ G^{U} und beliebiges c ∈ U gilt dann g · (φ(x, c)^{U} ∩ X^{U}) = φ(g^{−1} · x, c)^{U} ∩ X^{U}, deshalb schreibe ich für φ(g^{−1} · x, c) auch g · φ(x, c) und allgemeiner g · φ(h · x, c) := φ((h · g^{−1}) · x, c). Das liefert eine Operation von G auf den (φ_{x}(x; y; v), X(x), G(y))-Instanzen, die setzt sich auch auf die (φ_{x}(x; y; v), X(x), G(y))-Formeln fort: g · bc_{i}(φ_{i}(h_{i} · x, c_{i})) = bc_{i}(φ_{i}((h_{i} · g^{−1}) · x, c_{i})). φ(x, v) identifiziere ich mit φ(1 · x, v).

Zu einer Familie Γ von stratifizierten Formeln betrachte ich die (Γ_{x}, X(x), G(y))- Formeln, ich nenne diese Formeln auch einfach nur Γ(X)-Formeln, entsprechend ist Γ(G) die Familie der (Γ_{y}, X(x), G(y))-Formeln. Ein partieller Γ(X)-Typ über A ist dann also ein mit X konsistenter partieller Typ Π(x) über A, so daß jede Formel in Π äyquivalent zu einer booleschen Kombinationen von Formeln der Form φ(g · x, c) ist mit φ ∈ Γ, g ∈ G und c beliebig. G operiert dann auf den Γ(X)-Formeln (und auf den relativ Γ(X)-definierbaren Teilmengen von X). Der wichtige Punkt ist, daß die Γ(X)-Formeln abgeschlossen sind unter G-Translation (die Γ(G)-Formeln nicht). Das gilt auch für jedes Γ_{0} ⊂ Γ.

Ein Translat eines vollständigen Γ(X)-Typs über A ist i.a. kein vollständiger Typ mehr: g · tp_{Γ}(a/A) = {g · ψ(x) | ψ ∈ tp_{Γ}(a/A)}, das ist ein partieller Typ über Ag. Ist g ∈ dcl(A), so ist g · tp_{Γ}(a/A) axiomatisiert durch tp_{Γ}(g · a/A) (ich identifizierte die beiden Typen in diesem Fall), entsprechend ist g · stp_{Γ}(a/A) = stp_{Γ}(g · a/A). Für jedes Modell U operiert also G^{U} auf den Γ(X)-Typen über U. Man beachte, daß jeder Γ(X)-Typ in G realisiert ist.

Stabilität und Stabilisatoren

Es sei nun Γ_{x} stabil. Ist p̃ ein starker Γ(X)-Typ, so ist für jedes φ ∈ Γ dp̃xφ(y · x, c) eine Γ(G)-Formel (für jedes c).

2.1 Lemma Ist ein partieller Γ(X) Typ (Γ(X)-)frei über A und g ∈ dcl(A), so ist auch sein g-Translat frei über A.

Beweis Es sei ψ(x) = bc_{i}(φ_{i}(h_{i} ·x, c_{i}) konsistent mit X und frei über A, dann gibt es eine mit X konsistente positive boolesche Kombination χ(x) von A-Konjugaten von ψ(x), die über A ist. Dann ist auch g·χ eine mit X konsistente positive boolesche Kombination χ(x) von A-Konjugaten von g · ψ(x), die über A ist. □

Ist p̃ ein starker Γ(X)-Typ über A und g ∈ G, so sei g·p̃:= g·(p̃|Ag). Wegen des letzten Lemmas gilt für alle B ⊃ A: g · (p̃|B) = (g · p̃)|Bg. G operiert also auf den starken Γ(X)-Typen von X und respektiert dabei Parallelität. Sind p̃ und q̃ starke Γ(X)- Typen, so bedeutet ,,g · p̃ = q̃”, daß g · p̃ und q̃ parallel sind. In diesem Sinne operiert G also auf St_{Γ(X)}, der Klasse der starken Γ(X)-Typen. Man kann diese Operation auch als die Operation von G auf [X]_{S_{(φx,G)}}(U), den globalen Γ(X)-Typen auffassen (U sei groß). Dieses ist sogar ein topologischer Raum und G operiert homöomorph darauf – das verwende ich im nächsten Beweis. Stab(p̃) sei dann der Stabilisator von p̃ in (G, St_{Γ(X)}). Entsprechend haben wir für jedes Γ_{0} ⊂ Γ die Operation (G, St_{Γ_{0}(X)}) und den Stabilisator Stab(p̃ ↾ Γ_{0}). Es ist dann Stab(p̃) = ⋂_{φ∈Γ} Stab(p̃ ↾ φ).

2.2 Lemma Für jedes φ ∈ Γ sind die Stabilisatoren der starken φ(X)-Typen relativ definierbar durch boolesche Kombinationen von Linkstranslaten von φ(G)-Formeln.

Beweis Es sei Z der zerstreute Raum der globalen φ(X)-Typen und p ∈ Z, dann hat p einen endlichen φ(X)-Morleyrang und es gibt eine Formel ψ(x) = bc_{i}(φ(g_{i} · x, c_{i})) in p mit selbem MRD_{φ(X)} wie p. Weil G homöomorph auf Z operiert, ist MRD_{φ(X)} translationsinvariant. Deshalb haben auch g^{−1} ·p und g^{−1} ·ψ(x) denselben MRD_{φ(X)} und es gilt g^{−1}·p = p ⟺ g^{−1}·ψ(x) ∈ p. Also g ∈ Stab(p) ⟺ g^{−1} ∈ Stab(p) ⟺ g^{−1} · p = p ⟺ g^{−1} · ψ(x) ∈ p ⟺ bc_{i}(φ(g_{i} · g · x, c_{i})) ∈ p ⟺ bc_{i}[φ(g_{i} · g · x, c_{i}) ∈ p] ⟺ bc_{i}(d_{p}xφ(g_{i} ·g ·x, c_{i})) ⟺ g^{⊧}bc_{i}(g_{i}^{−1} ·d_{p}xφ(y ·x, c_{i})). Weil die d_{p}xφ(y ·x, c_{i}) φ(G)-Formeln sind, sind wir fertig. □

Damit auch die Stabilisatoren Γ-Objekte sind, muß ich Γ ein letztes mal modifizieren. Eine doppelt (G, X)-stratifizierte Formel ist eine Formel der Form φ((z · y) · x, v) := ∃u, w (φ(u, v) ∧ z · y = w ∧ w · x = u), wobei z · y = w die Operation in G ist und w ·x = u die von G auf X. Ist φ(z, v) Δ_{1}, so auch φ(z ·y ·x, v). Zu einer Familie Γ von doppelt stratifizierten Formeln betrachte ich die (Γ_{x}, X(x), G(y), G(z))-Formeln (ich nenne sie kurz Γ(X)-Formeln) sowie die (Γ_{y}, X(x), G(y), G(z))-Formeln (ich nenne sie kurz Γ(G)-Formeln). G operiert dann auf den Γ(X)-Formeln sowie auf den Γ(G)- Formeln (im zweiten Fall ist die Operation gegeben durch durch g · φ(h · y · a, c) := φ((h · g^{−1}) · y · a, c)). φ(y · x, v) identifiziere ich mit φ(1 · y · x, v) (und φ(x, v) mit φ(1 · 1 · x, v)).

2.3 Korollar Ist Γ doppelt stratifiziert, so ist der Stabilisator eines starken Γ(X)-Typs der Schnitt von relativ Γ(G)-definierbaren Untergruppen.

Es sei Γ von nun an doppelt stratifiziert und Γ_{x} sowie Γ_{y} stabil.

B.2.2 Generizität

Es sei (G, X) von nun an transitiv.

2.4 Definition Eine Formel χ(x) heißt generisch (in (G, X)), wenn sie mit X konsistent ist und wenn endlich viele ihrer Translate ganz X überdecken. Ein partieller Typ heißt translationsgenerisch, wenn alle endlichen Konjunktionen von Formeln des Typs generisch sind.

Translate und Konjugate von (partiellen) translationsgenerischen Typen sind wieder translationsgenerisch. Ist H eine existenziell typdefinierbare Untergruppe von G mit beschränktem Index, so ist H translationsgenerisch (Kompaktheit).

2.5 Lemma Es sei ψ(x) eine Γ(X)-Formel über A:

(1) ψ ist generisch oder ¬ψ ist generisch.

(2) ψ ist genau dann generisch, wenn es eine endliche Teilmenge von X gibt, so daß jedes Translat dieser Menge einen nichtleeren Schnitt mit ψ hat.

Beweis Ich arbeite in einem großen Modell U. Es sei A der bipartite Graph (G, X, R), wobei gRa ⟺ ψ(g^{−1} · a) (also gRa ⟺ a^{⊧}g · ψ) und G und X reine Mengen sind. Dann operiert die Gruppe G als Automorphismen auf A, insbesondere gibt es nur die beiden 1-Typen p_{G} = y ∈ G und p_{X} = x ∈ X über ∅ in A. Da außerdem ψ_{x}(y · x, v) stabil ist (über dem Parameter in ψ), hat R in A nicht die Ordnungseigenschaft. Ich arbeite nun in einer hinreichend saturierten Erweiterung von A. Man sieht leicht, daß A (hinreichend) ∃-saturiert ist, deshalb ist R stabil. Die Formel gRx ist genau dann frei über ∅, wenn es eine positive boolesche Kombination von ∅-Konjugaten von gRx ∅-definierbar ist. Da x ∈ X ein vollständige Typ ist, ist das genau dann der Fall, wenn eine endliche Disjunktion ⋁_{i} g_{i}Rx schon ganz X überdeckt. Da auch der Typ der g_{i} isoliert ist durch y ∈ G gilt: gRx ist genau dann frei über ∅, wenn es ein n gibt, so daß ∃y_{1}, ..., y_{n}(⋀ G(y_{i})∧∀x ⋁ y_{i}Rx). Entsprechend ist ¬gRx genau dann frei über ∅, wenn es ein n gibt, so daß ∃y_{1}, ..., y_{n}(⋀ G(y_{i})∧∀x ⋁ ¬y_{i}Rx) und man hat die entsprechenden Beschreibungen für die Freiheit von yRa (und ¬yRa). Der wichtige Punkt ist, daß man die Freiheit dieser Formeln schon in A sehen kann und es folgt deshalb:

(*) ψ(x) (¬ψ(x)) ist genau dann generisch, wenn 1Rx (¬1Rx) frei über ∅ ist.

Da mindestens eine der beiden Formeln 1Rx und ¬1Rx frei ist über ∅, folgt (1). Wegen lokaler Symmetrie ist außerdem 1Rx genau dann frei über ∅, wenn yRa frei über ∅ ist (für ein/jedes a ∈ X), damit folgt (2). □

2.6 Korollar (1) Die Klasse der globalen translationsgenerischen Γ(X)-Typen ist abgeschlossen und nicht leer.

(2) Jeder translationsgenerische partielle Γ(X)-Typ ist mit einem globalen translationsgenerischen Γ(X)-Typ konsistent.

(3) Ein partieller Γ(X)-Typ ist genau dann translationsgenerisch, wenn er von einem globalen translationsgenerischen Γ-Typ fortgesetzt wird.

Beweis Es sei GEN_{Γ} := {φ ∈ Γ(X) | ¬φ ist nicht generisch }. Nach Definition ist ein globaler Γ-Typ genau dann generisch, wenn er GEN fortsetzt.

(1) Ich zeige, daß mit φ_{1} ∨φ_{2} auch φ_{1} oder φ_{2} generisch ist (das sind Γ(X)-Formeln). Daraus folgt dann, daß GEN_{Γ} abgeschlossen ist unter Konjunktionen, also konsistent. Es sei etwa X = ⋃_{i} g_{i} · (φ_{1} ∨ φ_{2}) = ⋃_{i} g_{i} · φ_{1} ∪ ⋃_{i} g_{i} · φ_{2}. Angenommen φ_{1} ist nicht generisch, dann ist auch ⋃_{i} g_{i} · φ_{1} nicht generisch, also ist ¬ ⋃_{i} g_{i} · φ_{1} generisch wegen des vorigen Lemmas. Da aber ¬ ⋃_{i} g_{i} · φ_{1} → ⋃_{i} g_{i} · φ_{2}, ist auch ⋃_{i} g_{i} · φ_{2} generisch, also auch φ_{2}.

(2) Ist D eine generische Klasse und φ ∈ GEN_{Γ}, so kann D nicht in ¬φ enthalten sein, also ist D mit φ konsistent. Mit Kompaktheit (und (1)) ist also jeder translationsgenerische partielle Typ von X ist mit GEN_{Γ} konsistent und deshalb auch mit einem globalen Γ-Typ, der GEN_{Γ} fortsetzt. Dieser ist translationsgenerisch.

(3) ist dann klar. □

2.7 Lemma Ist Π ein partieller translationsgenerischer Γ(X)-Typ, so ist MR_{φ(X)}(Π) = MR_{φ(X)}(X) für jedes φ ∈ Γ.

Beweis Es sei ψ eine Konjunktion von Formeln aus Π, so daß MR_{φ(X)}(ψ) = MR_{φ(X)}(Π). Da ψ generisch ist, ist X = ⋃_{i} g_{i} · ψ für geeignete (endlich viele) g_{i}, also MR_{φ(X)}(X) = max_{i}(MR_{φ(X)}(g_{i} · ψ)). Da MR_{φ(X)} translationsinvariant ist, sind alle MR_{φ(X)}(g_{i} · ψ)) = MR_{φ(X)}(ψ)), also MR_{φ(X)}(X) = MR_{φ(X)}(ψ)) = MR_{φ(X)}(Π). □

So erhalten wir:

2.8 Satz Partielle translationsgenerische Γ(X)-Typen sind frei über ∅.

Beweis Es sei Π ein partieller translationsgenerischer Γ(X)-Typ und q eine globale translationsgenerische Vervollständigung. Dann ist MR_{φ(X)}(q) = MR_{φ(X)}(X) für jedes φ ∈ Γ. Insbesondere ist MR_{φ(X)}(q) = MR_{φ(X)}(q ↾ ∅) für jedes φ ∈ Γ und wegen 3.24 ist q frei über ∅. □

2.9 Definition Ein starker Γ(X)-Typ heißt generisch über A, falls jedes seiner Translate frei über A ist. Er heißt generisch, falls er generisch über ∅ ist.

2.10 Satz (1) G operiert transitiv auf Gen_{Γ(X)}.

(2) Ist p ein globaler Γ(X)-Typ, dann sind äquivalent:

(i) p ist translationsgenerisch.

(ii) p ist generisch.

(iii) p ist generisch über einer Parametermenge.

Beweis Es sei q̃ ein globaler translationsgenerischer Γ(X)-Typ. Es sei A ⊂ V ein kleines Modell, p und q seien Γ(X)-Typen über V und [q ⊂ y · p] := {d_{p}xφ(h · y · x, c) | φ(h · x, c) ∈ q}, das ist ein partieller Γ(G)-Typ über V.

Behauptung 1: für jedes g ∈ G gilt q ⊂ g · p ⟺ [q ⊂ g · p].

Beweis: für jede Γ(X)-Instanz φ(h · x, c) gilt φ(h · x, c) ∈ g · p ⟺ (per Definition) φ(h · x, c) ∈ g · (p|g) ⟺ φ(h · g · x, c) ∈ (p|g) ⟺ g^{⊧}d_{p}xφ(h · y · x, c). Deshalb gilt q ⊂ g · p ⟺ φ(h · x, c) ∈ g · p für alle φ(h · x, c) ∈ q ⟺ g^{⊧}d_{p}xφ(h · y · x, c) für alle φ(h · x, c) ∈ q ⟺ g^{⊧}[q ⊂ y · p].

Behauptung 2: q̃ ist generisch und für jeden Γ(X)-Typ r über V ist [(q̃ ↾ V) ⊂ y · r] konsistent.

Beweis: die Translate von q̃ sind translationsgenerisch und translationsgenerische Γ(X)-Typen sind frei über ∅, also ist q̃ generisch. Es sei nun φ(h · x, c) ∈ q̃ ↾ V, da diese Formel generisch ist, gibt es ein g ∈ G, so daß φ(h · g · x, c) ∈ (r|g), also φ(h · x, c) ∈ g · r und g^{⊧}d_{p}xφ(h · y · x, c). Mit Kompaktheit folgt, daß [(q̃ ↾ V) ⊂ y · r] konsistent ist.

Behauptung 3: jeder globale Γ(X)-Typ, der generisch über A ist, ist translatiert zu q̃.

Beweis: Es sei p̃ ein globaler Γ(X)-Typ, der generisch über A ist, dann ist [(q̃ ↾ V) ⊂ y · (p̃ ↾ V)] konsistent, also q̃ ↾ V ⊂ g · (p̃ ↾ V) für ein g ∈ G wegen Behauptung 1. Nun ist g · p̃ ↾ V frei über V und q̃ auch wegen Behauptung 2, deshalb ist q̃ = g · p̃.

Wegen Behauptung 3 operiert G transitiv auf den globalen Γ(X)-Typen, die generisch über A sind und sie sind alle translationsgenerisch – ein globaler Γ(X)-Typ ist also genau dann translationsgenerisch, wenn er generisch über A ist. Damit ist der Satz bewiesen. □

Es gilt dann auch für starke Typen, daß diese Begriffe übereinstimmen. Ich gebe nun weitere Charakterisierungen des Begriffs:

2.11 Lemma Es sei p̃ ein starker Γ(X)-Typ, dann sind äquivalent:

(1) p̃ ist generisch.

(2) Für jedes φ ∈ Γ gilt: MR_{φ(X)}(p̃) = MR_{φ(X)}(X).

(3) p̃ hat beschränkte Bahn unter G.

(4) Stab(p̃) hat beschränkten Index in G.

(5) Jede Nebenklasse von Stab(p̃) ist fast ∅-typdefinierbar durch Γ(G)-Formeln.

(6) Es gibt ein A, so daß jede Nebenklasse von Stab(p̃) fast A typdefinierbar ist.

Beweis

(1) nach (2): ist bekannt, denn p̃ ist translationsgenerisch.

(2) nach (3): wegen (2) hat jedes p̃ ↾ φ(X) eine endliche G-Bahn.

(3) nach (1) indirekt: es sei p̃ definierbar über C, angenommen p̃ ist nicht generisch über C, dann gibt es ein Translat g · p̃, das nicht frei über C ist. g · p̃ hat dann eine unbeschränkte Bahn unter Aut_{C}, aber die Aut_{C}-Konjugate von g ·p̃ sind G-Translate von p̃, weil p̃ von jedem Aut_{C}-fixiert wird. p̃ hat also unbeschränkte G-Bahn.

(3) ⇔ (4) ist klar.

(4) nach (5): Stab(p̃) = ⋂_{φ∈Γ} Stab(p̃ ↾ φ(X)), jedes Stab(p̃ ↾ φ(X)) ist Γ(G)- definierbar, wegen (4) also von endlichem Index in G. Dann ist jede Nebenklasse von Stab(p̃ ↾ φ(X)) fast ∅-definierbar durch Γ(G)-Formeln.

(6) nach (1): es sei V ⊃ A und p̃ definierbar über V. Dann gilt für jedes g ∈ G und σ ∈ Aut_{V}(U): σ(g) · Stab(p̃) = σ(g · Stab(p̃)) = g · Stab(p̃), daraus folgt σ(g · p̃) = σ(g) · p̃ = g · p̃. Jedes Translat von p̃ ist also Aut_{V}(U)-invariant und damit frei über V, also generisch. □

Beispiel: Ist (G, X) eine unendliche reguläre Gruppenoperation, so sind die ACL-Klassen in X die endlichen und koendlichen Teilklassen von X. ACL ist abgeschlossen und wegen Regularität sind alle Urbilder in G sowie deren Translate endlich oder koendlich und ACL_{y}^{∗} ist auch abgeschlossen. (G, X) ist ,,ACL-streng minimal”: es gibt genau einen nichtalgebraischen globalen ACL-Typ, der ist konsistent mit X (denn X ist unendlich), dieser wird natürlich von G fixiert. Alle anderen Typen haben unbeschränkte G-Bahn.

a ∈ X heißt Γ-generisch über A, wenn stp_{Γ}(a/A) generisch ist.

2.12 Lemma Es sind äquivalent:

(1) a ist generisch über A.

(2) ∀g ∈ G : a | ⌣_{A}^{Γ} g ⇒ g · a | ⌣_{A}^{Γ} g.

(3) ∀g ∈ G : a | ⌣_{A}^{Γ} g ⇒ g · a | ⌣^{Γ} Ag.

Beweis

(1) nach (3): g · stp_{Γ}(a/A) = g · stp_{Γ}(a/Ag) = stp(g · a/Ag), das ist ein Translat des generischen Typs stp_{Γ}(a/A), also frei über emptyset

(2) nach (1): es sei g ∈ G und a′^{⊧}stp_{Γ}(a/A), so daß a′ ≡_{A} a und a′ | ⌣_{A}^{Γ} g, dann g · stp_{Γ}(a/A) = stp(g · a′/Ag). Wegen a′ ≡_{A} a gilt (2) auch für a′, also g · a′ | ⌣_{A}^{Γ} g, also ist g · stp_{Γ}(a/A) frei über A. Es folgt, daß stp_{Γ}(a/A) generisch über A ist, also generisch. □

Die Eigenschaft (3) hängt also nur vom Γ(X)-Typ von a über A ab.

Zusammenhängende Räume

Eine Γ(X)-Partition ist eine typdefinierbare Äquivalenzrelation auf X, deren Klassen Γ(X)-Klassen sind. Eine solche heißt generisch, wenn jede ihrer Klassen generisch ist. Ist E eine generische Γ(X)-Partition auf X, so gibt es in jeder E-Klasse einen generischen Γ(X)-Typ. E hat also beschränkt viele Klassen.

2.13 Definition (G, X) heißt Γ(X)-zusammenhängend, wenn es keine (nichttriviale) generische Γ(X)-Partition gibt.

Mit den bisherigen Ergebnissen sieht man leicht:

2.14 Bemerkung Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(1) (G, X) ist Γ(X)-zusammenhängend.

(2) Es gibt einen starken Γ(X)-Typ, der von G fixiert wird.

(3) Es gibt nur einen globalen generischen Γ(X)-Typ.

(4) Für jede Γ(X)-definierbare Klasse D, die fast über ∅ ist, gilt: D ist genau dann generisch, wenn G\D nicht generisch ist.

(5) Es gibt keine (nichttriviale) fast ∅-definierbare generische Γ(X)-Partition auf G mit nur endlich vielen Klassen.

Ist (G, X) zusammenhängend, so sei gen_{Γ}(X) der generische Γ-Typ, er ist dann schon invariant über ∅.

Beispiel: ist a ∈ X und p̃ = stp_{Γ(X)}(a) generisch in (G, X), so hat S := Stab(p̃) beschränkten Index in G und es gibt ein g ∈ G, so daß p̃ konsistent ist mit Y := g·S·a. Ich betrachte nun den Raum (S, Y) (über Parametern a, g). Da p̃ von S fixiert wird, ist (S, Y) Γ(Y)-zusammenhängend.

B.2.3 Gruppen

Ich möchte nun die Gruppe G selber betrachten. Ist also (G, X) die linksreguläre Operation (G, G), so operiert G sowohl von rechts als auch von links auf den Γ(G)- Formeln – die Γ(G)-Instanzen haben ja die Gestalt φ(g · y · h, c). G operiert also auch durch Konjugation auf diesen Formeln. Ist Γ(G) = (Γ_{y}, G(x), G(z)) stabil, so auch (Γ_{z}, G(x), G(y)) als auch (Γ_{x}, G(y), G(z)). Denn hat etwa φ_{x}(z · y · x, v) die Ordnungseigenschaft wegen der Folgen (g_{i}) und (h_{j}h′_{j}), so hat φ_{y}(z · y · x, v) die Ordnungseigenschaft wegen der Folgen (g_{i}) und (1_{j}, h_{j} · h′_{j}). Es sei also Γ(G) stabil. Jede (Γ_{x}, G(y), G(z))-Formel ist auch eine Γ(G)-Formel (φ(h·g ·x) ≡ φ((h·g)·x·1)). Wir haben nun Links- und Rechtsstabilisatoren sowie links- und rechtsgenerische Γ(G)-Formeln, je nach dem, von welcher Seite man G operieren läßt.

2.15 Lemma (1) Die Γ(G)-Stabilisatoren (links und rechts) sind relativ Γ(G)-typdefinierbare Untergruppen von G.

(2) Eine Γ(G)-Formel ist genau dann linksgenerisch in G, wenn sie rechtsgenerisch in G ist.

Beweis

(1) Wie im Beweis des entsprechenden Resultats für (G, X) sieht man, daß für jedes φ ∈ Γ der Links-Stabilisator eines starken φ(G)-Typs durch Linkstranslate von (φ_{z}, G(y), G(x))-Formeln definiert wird. Aber jede solche ist eine φ(G)-Formel.

(2) Das ist Teil (2) von 2.5. □

2.16 Lemma G ist genau dann Γ(G)-zusammenhängend, wenn es keine echte Γ(G)- typdefinierbare Untergruppe von beschränktem Index gibt.

Beweis Wenn es eine solche Gruppe gibt, so ist sie generisch (Kompaktheit), also liefert sie mit ihren Nebenklassen eine echte generische Γ(G)-Partition. Es sei andererseits p̃ ein generischer Γ(G)-Typ von G, wenn er nicht der einzige ist, so ist Stab(p̃) eine echte Γ(G)-typdefinierbare Untergruppe von beschränktem Index. □

Die Zusammenhangskomponente

2.17 Satz (Baldwin-Saxl) Es sei G(x) eine typdefinierbare Gruppe und φ(x; y) eine stabile Formel, dann gibt es ein N = N_{φ} mit der folgenden Eigenschaft: zu jeder Menge {b_{i} | i ∈ I}, so daß jedes φ(x, b_{i}) eine Untergruppe G_{i} von G (relativ) definiert, gibt es ein I_{0} ⊂ I mit

(i) |I_{0}| < N (ii) ⋂_{i∈I} G_{i} = ⋂_{i∈I_{0}} G_{i}

Beweis Angenommen zu jedem m gibt es b_{0}, …, b_{m−1}, so daß für kein i < m ⋂_{j≠i} G_{j} ⊂ G_{i}. Sei dann etwa g_{i} ∈ ⋂_{j≠i} G_{j}\G_{i}, so gilt für J ⊂ m, i ∈ m und g_{J} := ∏_{i∈J} g_{i}: g_{J} ∈ G_{i} ⟺ i ∉ J, also ¬φ(g_{J}, b_{i}) ⟺ i ∈ J. Mit Kompatkheit hat dann ¬φ die Unabhängigkeitseigenschaft, das kann jedoch nicht sein, denn ¬φ ist stabil. Es gibt also ein M < ω, so daß der Schnitt von jeweils M solchen Untergruppen schon der Schnitt von M − 1 von ihnen ist. Das beweist den Satz für endliches I.

Ist nun I beliebig, so wird die partielle Ordnung ∧G_{I} der endlichen Schnitte in {G_{i} | i ∈ I} uniform definiert durch ψ(x, ȳ) := ⋀_{i<M} φ(x, y_{i}). Da auch ψ(x, ȳ) stabil ist, hat diese Formel nicht die starke Ordnungseigenschaft, Ketten in ∧G_{I} haben also beschränkte endliche Länge < N, dieses N beweist dann den Satz. □

2.18 Definition (1) Für ψ ∈ (Γ_{y})^{bc} sei G^{0}[ψ] sei der Schnitt aller durch ψ(G)-Instanzen relativ definierbaren Untergruppen von endlichem Index.

(2) Die Γ-Zusammenhangskomponente von G, G^{0}(Γ), ist der Schnitt aller über ∅ relativ Γ(G)-definierbaren Normalteiler von endlichem Index.

2.19 Satz (1) Für ψ ∈ (Γ_{y})^{bc} ist G^{0}[ψ] ein über ∅ ψ(G)-definierbarer Normalteiler von endlichem Index.

(2) G^{0}(Γ) ist der Schnitt aller relativ Γ(G)-definierbaren Untergruppen von endlichem Index.

Beweis

(1) Es sei ψ ∈ (Γ_{y})^{bc}, aus dem vorigen Satz folgt, daß die durch ψ(G)-Instanzen (relativ) definierbaren Untergruppen von G die decending chain condition (dcc) erfüllen. Deshalb ist G^{0}[φ] ein endlicher Schnitt von solchen Untergruppen, durch eine ψ(G)-Formel relativ definiert und von endlichem Index. Die Familie der durch ψ(G)-Instanzen relativ definierbaren Untergruppen von endlichem Index ist invariant unter Automorphismen, das gilt dann auch für den Schnitt, G^{0}[ψ] ist also ∅- definierbar. Diese Familie ist auch invariant unter Konjugation mit Elementen von G, deshalb ist G^{0}[ψ] ein Normalteiler.

(2) Der Schnitt aller relativ Γ(G)-definierbaren Untergruppen von endlichem Index ist der Schnitt aller G^{0}[ψ], dieser ist sicher in G^{0}(Γ) enthalten und wegen (1) gilt auch die andere Inklusion. □

2.20 Lemma Jeder Γ(G)-Stabilisator ist in G^{0}(Γ) enthalten.

Beweis Es sei p ein globaler Γ(G)-Typ von G und U eine relativ Γ(G)-definierbare Untergruppe von endlichem Index. Dann gibt es ein a ∈ G, so daß p^{⊧}U ·a. Ist nun g·p = p, so gilt auch p^{⊧}g · U · a, also p^{⊧}U · a ∧ g · U · a. Also sind g · U · a und U · a miteinander konsistent, dann auch g · U und U, also g ∈ U. □

So erhalten wir eine weitere wichtige Charakterisierung der generischen Typen:

2.21 Satz Für einen starken Γ-Typ p̃ von G sind äquivalent:

(1) p̃ ist generisch.

(2) Stab(p̃) = G^{0}(Γ).

(3) G^{0}(Γ) fixiert p̃.

Beweis Wegen des letzten Lemmas ist (2) äquivalent zu Stab(p̃) ⊃ G^{0}(Γ), also (3). Da G^{0}(Γ) beschränkten Index hat folgt (1) aus (2). Ist schließlich p̃ generisch, so gilt G^{0}(Γ) ⊂ Stab(p̃ ↾ φ(G)) für jedes φ ∈ Γ, denn diese Gruppen sind Γ(G) definierbar von endlichem Index – also G^{0}(Γ) ⊂ Stab(p̃). □

2.22 Lemma Die G^{0}(Γ) ist Γ(G^{0})-zusammenhängend.

Beweis Es sei r̃ ein globaler generischer Γ(G^{0})-Typ von G^{0}, dann ist jedes ψ ∈ r̃ auch generisch in G, r̃ also ein generischer Γ(G)-Typ, aber er ist weder global noch notwendig stationär. Jedoch werden die globalen Γ(G)-generischen Fortsetzungen von r̃ von G^{0} fixiert, also auch r̃. Weil aber G^{0} transitiv auf seinen generischen Typen operiert, ist r̃ der einzige. □

Es folgt, daß es keine echte Γ(G^{0})-typdefinierbare Untergruppe von G^{0} gibt von beschränktem Index, aber noch nicht, das, was wir eigentlich wollen: daß G^{0} nämlich die kleinste Γ(G)-typdefinierbare Untergruppe von beschränktem Index ist. Man sieht leicht, daß das äquivalent ist zu

(*) es gibt nur einen generischen Γ(G)-Typ in G^{0}.

Im Gegensatz zur globalen stabilen Gruppentheorie wissen wir hier nicht, ob eine Γ(G)-typdefinierbare Untergruppe der Schnitt von relativ Γ(G)-definierbare Untergruppen ist – dann wäre die Sache ok. (Ich glaube auch nicht, daß das stimmt. Falls G selber durch Γ(G)-Formeln (oder Instanzen stabiler Formeln) typdefiniert ist, so kann man definierbare Obergruppen konstruieren - jedoch wird im Laufe dieser Konstruktion quantifiziert und wir haben wenig Chance innerhalb der Γ(G)-Formeln zu bleiben.)

Es reicht für (*) zu zeigen, daß für alle globalen generischen Γ(G)-Typen p und q gilt: zu jedem φ(y) ∈ q ein a ∈ G^{0} gibt, so daß φ(y) ∈ a · p. Möglicherweise kann man das zeigen, wenn man Γ(G) noch gegen Inversenbildung abschließt – es kann aber gut möglich sein, daß man Symmetrie braucht.