Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
	Institut für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik

Vorlesung Nichtstandardanalysis im WS 1996/97

Zeit: Do 9 - 11
Ort: HS Hebelstr. 29
Übungen dazu: n. V.

Beim Aufbau der Differentialrechnung arbeitete etwa Leibniz mit unendlich kleinen Zahlen (die es in R nicht gibt). Im 19. Jahrhundert wurden diese unendlich kleinen Größen durch die Präzisierung von Grenzprozessen mit der (exakten aber) schwerfälligen epsilon - delta - Technik aus der Mathematik vertrieben.

1960 bemerkte A. Robinson, daß der Bereich R der reellen Zahlen durch Hinzunahme von unendlich kleinen Zahlen zu einem Bereich R* so erweitert werden kann, daß Leibniz' Argumentationen und Redewendungen eine präzise Bedeutung erhalten. Da diese Argumentationen und Redewendungen unserer anschaulichen Vorstellung entsprechen, führt der Aufbau der Analysis in R* (etwa reelle Analysis, komplexe Analysis, Maßtheorie, Differentialgeometrie etc.) zu einem tieferen Verständnis und damit auch zu neuen Ergebnissen.

In R* gibt es unendlich große natürliche Zahlen, die es gestatten, unendliche Strukturen als endliche, unendlichdeminsionale Vektorräume als endlichdimensionale und kontinuierliche Probleme als diskrete zu behandeln. Anwendungen von Nichtstandardmethoden gibt es in den verschiedensten Gebieten der Mathematik. Einen ersten Eindruck vermittelt das Buch [1].

1. Albeverio, S. - Fenstadt, J.E., - Hoegh - Krohn, R. - Lindstrom, T.: Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics.